cx algoritmo da matematica

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13. **Problema 13**: Calcule \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 a) \(1\) 
 b) \(e - 1\) 
 c) \(\ln(e)\) 
 d) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Resposta**: d) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de \(1\) a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
14. **Problema 14**: Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{5x^2 + 3}\)? 
 a) \(\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\) 
 b) \(\frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{5x^2 + 3}}\) 
 d) \(\frac{5}{\sqrt{5x^2 + 3}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 + 3}} \cdot 
(10x) = \frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}\). 
 
15. **Problema 15**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 1 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(x)}{x} = 1\). 
 
16. **Problema 16**: Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - 
\frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = \frac{1}{5} - 
\frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{1}{5} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{3}{15} = 
\frac{1}{5}\). 
 
17. **Problema 17**: Qual é a integral de \(\int \cos^2(x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), então a 
integral se torna \(\int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\). 
 
18. **Problema 18**: Qual é o valor de \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 d) \(e - 1\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\), então \(dx = 
\frac{du}{2x}\). As novas fronteiras de \(u\) são de \(0\) a \(1\). A integral se torna 
\(\frac{1}{2}\int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2}(e - 1)\). 
 
19. **Problema 19**: Calcule \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 1 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1\). 
 
20. **Problema 20**: Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{2(x^2 + 1)}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos que \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) 
= \frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
21. **Problema 21**: Calcule a integral \(\int (3x^2 + 2x + 1)e^{x^3} \, dx\). 
 a) \(e^{x^3} + C\) 
 b) \(e^{x^3} + x^3 + C\) 
 c) \(e^{x^3} + \frac{2}{3} + C\) 
 d) \(e^{x^3} + \frac{1}{3} + C\) 
 **Resposta**: a) \(e^{x^3} + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^3\), \(du = 3x^2 \, dx\), temos \(\int (3x^2 + 
2x + 1)e^{u} \, \frac{du}{3} = e^{u} + C\). 
 
22. **Problema 22**: Qual é o valor de \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\)? 
 a) \(-\frac{1}{12}\) 
 b) \(\frac{1}{12}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{1}{12}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{2x^4}{4} - 
\frac{3x^3}{3} + x\right]_0^1 = \left[\frac{1}{2} - 1 + 1\right] = \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\). 
 
23. **Problema 23**: Calcule \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2