MAFU geometria

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- B) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 - C) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{4}x^3 + 2x + C \) 
 - D) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 **Explicação:** Integrando, temos \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \). 
 
77. **Problema 77:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(3x + 2) \)? 
 - A) \( \frac{3}{3x + 2} \) 
 - B) \( \frac{2}{3x + 2} \) 
 - C) \( \frac{1}{3x + 2} \) 
 - D) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{3x + 2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{3x + 2} \cdot 3 = 
\frac{3}{3x + 2} \). 
 
78. **Problema 78:** Calcule \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \). 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta:** B) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1\right) = 2 \). 
 
79. **Problema 79:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - x}{x^2} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) -1 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Simplificando, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 - 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 
\frac{x^2 - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (x - \frac{1}{x}) = 0 \). 
 
80. **Problema 80:** Calcule a integral \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \). 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta:** B) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x\right]_1^2 = (16 - \frac{16}{3} 
+ 6) - (1 - \frac{2}{3} + 3) = 2 \). 
 
81. **Problema 81:** Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \sin(3x) \)? 
 - A) \( e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x)) \) 
 - B) \( e^{2x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x)) \) 
 - C) \( 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \) 
 - D) \( e^{2x}(2\sin(3x) - 3\cos(3x)) \) 
 **Resposta:** C) \( 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = e^{2x} \cdot 3\cos(3x) + 
\sin(3x) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x}\sin(3x) + 3e^{2x}\cos(3x) \). 
 
82. **Problema 82:** Calcule \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \). 
 - A) 0 
 - B) \( \frac{1}{5} \) 
 - C) \( \frac{1}{10} \) 
 - D) \( \frac{1}{15} \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 
\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{5} \). 
 
83. **Problema 83:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** O limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Fatorando, temos \( 
\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \). Avaliando em \( x = 1 \), obtemos \( 2 \). 
 
84. **Problema 84:** Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2) e^{x^3 + 2x} \, dx \). 
 - A) \( e^{x^3 + 2x} + C \) 
 - B) \( e^{x^3 + 2x} + x + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} e^{x^3 + 2x} + C \) 
 - D) \( e^{x^3 + 2x} + \frac{2}{3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^{x^3 + 2x} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 + 2x \), temos \( du = (3x^2 + 2)dx \), 
resultando em \( \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^3 + 2x} + C \). 
 
85. **Problema 85:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
86. **Problema 86:** Calcule a integral \( \int (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x^2 + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 - C) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{4}x^3 + 2x + C \) 
 - D) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 **Explicação:** Integrando, temos \( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C \). 
 
87. **Problema 87:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(3x + 2) \)?