1VVE8 algoritmo da math

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**Resposta:** c) 9 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 9 \). 
 
88. **Problema 88:** 
 Calcule a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) no intervalo [0, 1]. 
 a) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \sqrt{\pi} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \sqrt{\pi} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) não possui uma antiderivada elementar, 
mas pode ser avaliada numericamente, resultando em aproximadamente \( \frac{1}{2} 
\sqrt{\pi} \). 
 
89. **Problema 89:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), a integral se transforma em \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4} \). 
 
90. **Problema 90:** 
 Encontre a solução da equação diferencial \( y' + 2y = 4 \). 
 a) \( y = Ce^{-2x} + 2 \) 
 b) \( y = Ce^{2x} + 2 \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + 4 \) 
 d) \( y = Ce^{2x} + 4 \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{-2x} + 2 \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). Multiplicando a 
equação por \( e^{2x} \) e resolvendo, obtemos a solução geral. 
 
91. **Problema 91:** 
 Calcule \( \int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{1}{2}} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( x = \sin^{1/3}(\theta) \), a integral se 
transforma em uma forma que pode ser resolvida. 
 
92. **Problema 92:** 
 Determine o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 6x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) 7 
 **Resposta:** c) 6 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln( 
Claro! Aqui estão 100 problemas de probabilidade complexos em formato de múltipla 
escolha, adequados para o nível de ensino superior. Cada problema vem com uma 
resposta e uma explicação detalhada. 
 
1. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Se duas bolas são retiradas ao 
acaso, qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas? 
 A) 1/28 
 B) 3/28 
 C) 1/14 
 D) 1/8 
 **Resposta: B) 3/28** 
 **Explicação:** O número total de maneiras de escolher 2 bolas de 8 é C(8,2) = 28. O 
número de maneiras de escolher 2 bolas vermelhas é C(3,2) = 3. Portanto, a probabilidade 
é 3/28. 
 
2. Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de obter uma soma igual a 7? 
 A) 1/6 
 B) 1/12 
 C) 1/36 
 D) 5/36 
 **Resposta: D) 5/36** 
 **Explicação:** As combinações que resultam em 7 são (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), 
(6,1). Existem 6 combinações favoráveis em 36 possíveis (6x6). 
 
3. Em uma sala com 30 alunos, qual é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas 
compartilhem o mesmo aniversário, assumindo 365 dias por ano? 
 A) 0,5 
 B) 0,7 
 C) 0,9 
 D) 0,99 
 **Resposta: C) 0,9** 
 **Explicação:** A probabilidade de que nenhuma das 30 pessoas compartilhe um 
aniversário é dada por P(nenhum) = 365/365 * 364/365 * ... * (365-29)/365. A 
probabilidade de pelo menos uma coincidência é 1 - P(nenhum) ≈ 0,9. 
 
4. Uma empresa possui 3 máquinas, sendo que 2 delas são defeituosas. Se uma máquina 
é escolhida aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ela funcione corretamente? 
 A) 1/3 
 B) 1/2 
 C) 2/3 
 D) 1/4 
 **Resposta: A) 1/3** 
 **Explicação:** Existem 3 máquinas, das quais 1 é boa. Assim, a probabilidade de 
escolher uma máquina que funcione é 1/3.