C1 Lista de Exercícios de Limites

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<p>Nome:</p><p>1 Use a definição de limite para provar que o limite dado está correto.</p><p>(a) lim</p><p>x→2</p><p>(3x− 5) = 1</p><p>(b) lim</p><p>x→5</p><p>x2 = 25</p><p>(c) lim</p><p>x→+∞</p><p>1</p><p>x</p><p>= 0</p><p>(d) lim</p><p>x→0</p><p>1</p><p>x2</p><p>= +∞</p><p>2 Use o gráfico abaixo dado de f para encontrar um número δ tal que</p><p>se |x− 1| −5</p><p>(i) lim</p><p>t→−5+</p><p>f(t) (ii) lim</p><p>t→−5−</p><p>f(t) (iii) lim</p><p>t→−5</p><p>f(t).</p><p>1</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ</p><p>INSTITUTO DE TECNOLOGIA</p><p>(c)</p><p>f(x) =</p><p>{</p><p>x2 ; x ≤ 2</p><p>8− 2x ; x > 2</p><p>(i) lim</p><p>x→2+</p><p>f(x) (ii) lim</p><p>x→2−</p><p>f(x) (iii) lim</p><p>x→2</p><p>f(x).</p><p>(d)</p><p>f(x) =</p><p></p><p>x2 − 4 ; x 2</p><p>(i) lim</p><p>x→2+</p><p>f(x) (ii) lim</p><p>x→2−</p><p>f(x) (iii) lim</p><p>x→2</p><p>f(x).</p><p>5 Determine o limite abaixo, caso exista.</p><p>(a) lim</p><p>x→7</p><p>x2 − 49</p><p>x− 7</p><p>(b) lim</p><p>x→ 3</p><p>2</p><p>4x2 − 9</p><p>2x+ 3</p><p>(c) lim</p><p>x→−2</p><p>x3 + 8</p><p>x+ 2</p><p>(d) lim</p><p>x→1</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>x− 1</p><p>(e) lim</p><p>x→0</p><p>√</p><p>x+ 2−</p><p>√</p><p>2</p><p>x</p><p>(f) lim</p><p>x→0</p><p>3</p><p>√</p><p>x+ 1− 1</p><p>x</p><p>(g) lim</p><p>x→−3</p><p>√</p><p>x2 − 9</p><p>2x2 + 7x+ 3</p><p>(h) lim</p><p>x→−1</p><p>2x2 − x− 3</p><p>x3 + 2x2 + 6x+ 5</p><p>(i) lim</p><p>x→4</p><p>3x2 − 8x− 16</p><p>2x2 − 9x+ 4</p><p>(j) lim</p><p>h→0</p><p>(3 + h)−1 − 3−1</p><p>h</p><p>(k) lim</p><p>x→3</p><p>(2x+ |x− 3|)</p><p>6 Calcule, em cada situação, o seguinte limite:</p><p>(a) lim</p><p>x→3−</p><p>x+ 3</p><p>x2 − 9</p><p>(b) lim</p><p>x→0+</p><p>√</p><p>x2 + 3</p><p>3x</p><p>(c) lim</p><p>x→0+</p><p>(</p><p>1</p><p>x</p><p>− 1</p><p>x2</p><p>)</p><p>(d) lim</p><p>x→0−</p><p>2− 4x3</p><p>5x2 + 3x3</p><p>(e) lim</p><p>x→−2+</p><p>6x2 + x− 2</p><p>2x2 + 3x− 2</p><p>(f) lim</p><p>x→2−</p><p>x− 2</p><p>2−</p><p>√</p><p>4x− x2</p><p>7 Ache as asśıntotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso.</p><p>(a) f(x) =</p><p>2x+ 1</p><p>x− 3</p><p>(b) g(x) = 1 +</p><p>1</p><p>x2</p><p>(c) h(x) =</p><p>1</p><p>x2 + 5x− 6</p><p>(d) k(x) =</p><p>2√</p><p>x2 − 4</p><p>8 Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte limite:</p><p>(a) lim</p><p>x→+∞</p><p>3x+ 4√</p><p>2x2 − 5</p><p>(b) lim</p><p>x→+∞</p><p>x√</p><p>x2 + 1</p><p>(c) lim</p><p>x→−∞</p><p>4x3 + 2x2 − 9</p><p>8x3 + x+ 2</p><p>(d) lim</p><p>x→−∞</p><p>(</p><p>3x+</p><p>1</p><p>x2</p><p>)</p><p>(e) lim</p><p>x→+∞</p><p>(</p><p>2</p><p>x2</p><p>− 15x</p><p>)</p><p>(f) lim</p><p>x→−∞</p><p>√</p><p>x2 + 4</p><p>x+ 4</p><p>(g) lim</p><p>x→+∞</p><p>(</p><p>√</p><p>x+ 1−</p><p>√</p><p>x)</p><p>9 Encontre os limites.</p><p>(a) lim</p><p>x→0+</p><p>e1/x</p><p>(b) lim</p><p>x→0−</p><p>e1/x</p><p>(c) lim</p><p>x→+∞</p><p>1− ex</p><p>1 + ex</p><p>(d) lim</p><p>x→+∞</p><p>ex + e−x</p><p>ex − e−x</p><p>(e) lim</p><p>x→1−</p><p>ln(1− x)</p><p>(f) lim</p><p>x→π/2−</p><p>ln(tg x)</p><p>(g) lim</p><p>x→+∞</p><p>ln(2x)</p><p>ln(3x)</p><p>(h) lim</p><p>x→+∞</p><p>ln(x2 − 1)− ln(x− 1)</p><p>2</p><p>10 No decorrer do nosso curso, você será capaz de mostrar o seguinte limite:</p><p>lim</p><p>x→±∞</p><p>(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>x</p><p>)x</p><p>= e . (1)</p><p>Admita por um momento a veracidade deste fato para calcular os limites abaixo:</p><p>(a) lim</p><p>x→+∞</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>x</p><p>)−x</p><p>(b) lim</p><p>x→−∞</p><p>(</p><p>x− 1</p><p>x</p><p>)x</p><p>(c) lim</p><p>x→0−</p><p>(1 + 2x)3/x</p><p>11 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descont́ınuas.</p><p>(a) f(x) =</p><p>|x|</p><p>x</p><p>(b) f(x) =</p><p>1</p><p>x</p><p>(c) f(x) =</p><p>x+ 1</p><p>x2 − 1</p><p>(d)</p><p>f(x) =</p><p></p><p>2x+ 1 se x ≤ −2</p><p>x− 2 se − 2 2</p><p>4− x2 se 2 ≤ x</p><p>(b)</p><p>f(x) =</p><p>{</p><p>2x− 3 se x ≤ 1</p><p>x2 se 1</p><p>√</p><p>6</p><p>5</p><p>(h) −1</p><p>(i)</p><p>16</p><p>7</p><p>(j) −1</p><p>9</p><p>(k) 6</p><p>6 (a) −∞</p><p>(b) +∞</p><p>(c) −∞</p><p>(d) +∞</p><p>(e) −∞</p><p>(f) −∞</p><p>6</p><p>7 (a) Asśıntota horizontal y = 2; asśıntota vertical:</p><p>x = 3.</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>x = 3</p><p>y = 2</p><p>−1</p><p>2</p><p>−1</p><p>3</p><p>y = f(x)</p><p>(b) Asśıntota horizontal: y = 1; asśıntota vertical:</p><p>x = 0</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>y = 1</p><p>y = g(x)</p><p>(c) Asśıntota horizontal: y = 0; asśıntotas verticais:</p><p>x = 1, x = −6.</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>y = h(x)</p><p>x = 1x = −6</p><p>−1</p><p>6</p><p>(d) Asśıntota horizontal: y = 0; asśıntotas horizontais:</p><p>x = ±2.</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>y = k(x)</p><p>x = 2x = −2</p><p>8 (a) 3</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>(b) 1</p><p>(c)</p><p>1</p><p>2</p><p>(d) −∞</p><p>(e) −∞</p><p>(f) −1</p><p>(g) 0</p><p>9 (a) +∞</p><p>(b) 0</p><p>(c) 1</p><p>(d) 1</p><p>(e) −∞</p><p>(f) +∞</p><p>(g) 1</p><p>(h) +∞</p><p>10 (a) e (faça t = −x) (b)</p><p>1</p><p>e</p><p>(faça t = −x) (c) e6 (faça t = −1/(2x))</p><p>11 (a) x = 0</p><p>(b) x = 0</p><p>(c) x = ±1</p><p>(d) x = −2</p><p>7</p><p>12 (a) R \ {2} (b) R \ {1} (c) R \</p><p>{</p><p>−5</p><p>2</p><p>}</p><p>13 (a) 4</p><p>(b) 0</p><p>(c) 0</p><p>(d) 0</p><p>(e) 0</p><p>(f) −1</p><p>(g) 1</p><p>(h) 3</p><p>(i) 1</p><p>2</p><p>(j) −π</p><p>6</p><p>14 (a) 0 (b) −4</p><p>15 Sugestão: Use definição de valor absoluto e o Teorema do Sandúıche.</p><p>16 Sugestão: Use o exerćıcio anterior.</p><p>17 a = 10 , b = −23</p><p>18 100%. Não, para p se aproximar 100% (como um limite) seriam necessários aumentos ilimitados de gastos, o</p><p>que é imposśıvel.</p><p>19 5 bilhões de dólares.</p><p>20 (c) 3,82 dias.</p><p>21 Considere u(t) a distância do monge ao monastério como uma função do tempo no primeiro dia e d(t) a</p><p>distância do monge ao monastério como uma função do tempo no segundo dia. Ainda denote D como sendo a</p><p>distância do monastério ao topo da montanha. Por fim, considere a função (u− d)(t) definida no intervalo [0, 12]</p><p>a valores na sua imagem, a saber [0, D]. Disto, é só aplicar o teorema do valor intermediário.</p><p>22 Sugestão: Defina f(x) = cos x− x3.</p><p>23 15; -1.</p><p>24 (a) A equação só é válida se x 6= 2. (b) Neste caso, note que x → 2, logo, sendo admisśıvel a referida simpli-</p><p>ficação.</p><p>25 Sugestão: Inicie com o seguinte limite: lim</p><p>x→</p><p>[f(x)−8]. Multiplique e divida este limite por um fator conveniente</p><p>de modo que você use a hipótese fornecida. A resposta almejada é lim</p><p>x→1</p><p>f(x) = 8.</p><p>26 (a)</p><p>-3 -2 -1 1 2 3 4 5</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>0</p><p>y = [[x]]</p><p>8</p><p>(b) Não existe.</p><p>(c) lim</p><p>x→n−</p><p>[[x]] = n− 1 e lim</p><p>x→n+</p><p>[[x]] = n .</p><p>27 (a) c = 2 : +∞, −∞, não existe; não é cont́ınua.</p><p>(b) c = 0 : −1</p><p>2</p><p>, −1</p><p>2</p><p>, −1</p><p>2</p><p>; cont́ınua; c = 2 : −2, 0, não existe; não é cont́ınua.</p><p>(c) c = −5</p><p>2</p><p>: 0, 0, 0; cont́ınua; c = 0 : −1, −2, não existe; não é cont́ınua. c = 1 : 0, 0, 0; cont́ınua; c = 2 : 1, 0,</p><p>não existe; não é cont́ınua.</p><p>(d) c = 0 : 2, 2, 2; cont́ınua; c = 2 : 2, 2, 2; não é cont́ınua; c = 3 : −∞, +∞, não existe; não é cont́ınua.</p><p>9</p>