Grátis: 3 Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de 1.000 cm2. (a) Qual o raio do disco produzido? (b) Se f...

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3 Foi pedido a um torneiro mecânico que fabricasse um disco de metal circular com área de 1.000 cm2.

(a) Qual o raio do disco produzido?

(b) Se for permitido ao torneiro uma tolerância do erro de ±5 cm2 na área do disco, quão próximo do raio ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?

(c) Em termos da definição de ε, δ de lim x→a f(x), com base nos itens (a) e (b), o que são x, f(x), a e L? Qual valor de ε é dado? Qual o valor de δ correspondente?

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C1 Lista de Exercícios de Limites

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1 Use a definição de limite para provar que o limite dado está correto.

(a) lim x→2 (3x− 5) = 1

(b) lim x→5 x2 = 25

(c) lim x→+∞ 1/x = 0

(d) lim x→0 1/x2 = +∞

4 Faça um esboço do gráfico de suas respectivas funções e ache o limite indicado, se existir; caso não exista, justifique o porque.

(a) f(x) = {−3 ; x < 0
3 ; x ≥ 0
(i) lim x→0+ f(x) (ii) lim x→0− f(x) (iii) lim x→0 f(x).

(b) f(t) = {t+ 5 ; t ≤ −5
5− t ; t > −5
(i) lim t→−5+ f(t) (ii) lim t→−5− f(t) (iii) lim t→−5 f(t).

(c) f(x) = {x2 ; x ≤ 2
8− 2x ; x > 2
(i) lim x→2+ f(x) (ii) lim x→2− f(x) (iii) lim x→2 f(x).

(d) f(x) = {x2 − 4 ; x < 2
4 ; x = 2
4− x2 ; x > 2
(i) lim x→2+ f(x) (ii) lim x→2− f(x) (iii) lim x→2 f(x).

5 Determine o limite abaixo, caso exista.

(a) lim x→7 (x2 − 49)/(x− 7)

(b) lim x→ 3 (2(4x2 − 9)/(2x+ 3))

(c) lim x→−2 (x3 + 8)/(x+ 2)

(d) lim x→1 (√(x− 1)/(x− 1))

(e) lim x→0 (√(x+ 2)−√2)/x

(f) lim x→0 (3√(x+ 1)− 1)/x

(g) lim x→−3 (√(x2 − 9)/(2x2 + 7x+ 3))

(h) lim x→−1 (2x2 − x− 3)/(x3 + 2x2 + 6x+ 5)

(i) lim x→4 (3x2 − 8x− 16)/(2x2 − 9x+ 4)

(j) lim h→0 ((3 + h)−1 − 3−1)/h

(k) lim x→3 (2x+ |x− 3|)

6 Calcule, em cada situação, o seguinte limite:

(a) lim x→3− (x+ 3)/(x2 − 9)

(b) lim x→0+ (√(x2 + 3)/(3x))

(c) lim x→0+ (1/x − 1/x2)

(d) lim x→0− (2− 4x3)/(5x2 + 3x3)

(e) lim x→−2+ (6x2 + x− 2)/(2x2 + 3x− 2)

(f) lim x→2− (x− 2)/(2−√(4x− x2))

7 Ache as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso.

(a) f(x) = (2x+ 1)/(x− 3)
(b) g(x) = 1 + (1/x2)
(c) h(x) = 1/(x2 + 5x− 6)
(d) k(x) = 2√(x2 − 4)

8 Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte limite:

(a) lim x→+∞ (3x+ 4√(2x2 − 5))

(b) lim x→+∞ (x√(x2 + 1))

(c) lim x→−∞ (4x3 + 2x2 − 9)/(8x3 + x+ 2)

(d) lim x→−∞ (3x+(1/x2))

(e) lim x→+∞ (2/x2 − 15x)

(f) lim x→−∞ (√(x2 + 4)/(x+ 4))

(g) lim x→+∞ (√(x+ 1)−√(x))

9 Encontre os limites.

(a) lim x→0+ e^(1/x)

(b) lim x→0− e^(1/x)

(c) lim x→+∞ (1− e^x)/(1 + e^x)

(d) lim x→+∞ (e^x + e^(−x))/(e^x − e^(−x))

(e) lim x→1− ln(1− x)

(f) lim x→π/2− ln(tg x)

(g) lim x→+∞ ln(2x)/ln(3x)

(h) lim x→+∞ (ln(x2 − 1)− ln(x− 1))/2

10 No decorrer do nosso curso, você será capaz de mostrar o seguinte limite:
lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e . (1)
Admita por um momento a veracidade deste fato para calcular os limites abaixo:

(a) lim x→+∞ (1− 1/x)^(−x)
(b) lim x→−∞ ((x− 1)/x)^x
(c) lim x→0− (1 + 2x)^(3/x)

11 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descontínuas.

(a) f(x) = |x|/x
(b) f(x) = 1/x
(c) f(x) = (x+ 1)/(x2 − 1)
(d) f(x) = {2x+ 1 se x ≤ −2
x− 2 se − 2 < x ≤ 2
2− x se 2 < x

12 Determine os valores de x, nos quais a função dada é contínua.

(a) f(x) = {3x− 1 se x > 2
4− x2 se 2 ≤ x
(b) f(x) = {2x− 3 se x ≤ 1
x2 se 1 < x
(c) h(x) = (x+ 1)/(2x+ 5)

13 Calcule os seguintes limites, quando eles existirem.

(a) lim x→0 (sen 4x)/x
(b) lim x→0 (sen3 x)/x2
(c) lim x→0 (1− cosx)/x
(d) lim x→0 (1− cosx)/(1 + senx)
(e) lim x→π/2 (1− senx)/(π/2 − x)
(f) lim x→π+ (senx)/(x− π)
(g) lim x→0 (sen(senx))/x
(h) lim x→0 (x2 + 3x)/(senx)
(i) lim x→0 (tg x)/(2x)
(j) lim x→+∞ (arcsen(x/(1− 2x)))

14 Mediante o Teorema do “Sanduíche”, encontre os seguintes limites:

(a) lim x→0 (x cos(1/x)).

(b) lim x→3 g(x) , se |g(x) + 4| < 2(3− x)4 , para todo x.

15 Uma função g de domínio A é dita limitada se |g(x)| ≤M, para todo x ∈ A.
Considere f e g duas funções com mesmo domínio tais que lim x→a f(x) = 0 e g é limitada. Prove que lim x→a [f(x) · g(x)] = 0.

16 Dada g(x) = {1 ;x < 0
−1 ;x ≥ 0, calcule lim x→0 [x2 · g(x)].

17 Ache os valores das constantes a e b que tornam contínua a função f em (−∞,+∞) e faça o esboço do gráfico de f . {2x+ 1 ; x ≤ 3
ax+ b ; 3 < x < 5
x2 + 2 ; x ≥ 5

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1 Use a definição de limite para provar que o limite dado está correto.(a) lim x→2 (3x− 5) = 1(b) lim x→5 x2 = 25(c) lim x→+∞ 1/x = 0(d) lim x→0 1/x2 = +∞

6 Calcule, em cada situação, o seguinte limite:(a) lim x→3− (x+ 3)/(x2 − 9)(b) lim x→0+ (√(x2 + 3)/(3x))(c) lim x→0+ (1/x − 1/x2)(d) lim x→0− (2− 4x3)/(5x2 + 3x3)(e) lim x→−2+ (6x2 + x− 2)/(2x2 + 3x− 2)(f) lim x→2− (x− 2)/(2−√(4x− x2))

7 Ache as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso.(a) f(x) = (2x+ 1)/(x− 3)(b) g(x) = 1 + (1/x2)(c) h(x) = 1/(x2 + 5x− 6)(d) k(x) = 2√(x2 − 4)

9 Encontre os limites.(a) lim x→0+ e^(1/x)(b) lim x→0− e^(1/x)(c) lim x→+∞ (1− e^x)/(1 + e^x)(d) lim x→+∞ (e^x + e^(−x))/(e^x − e^(−x))(e) lim x→1− ln(1− x)(f) lim x→π/2− ln(tg x)(g) lim x→+∞ ln(2x)/ln(3x)(h) lim x→+∞ (ln(x2 − 1)− ln(x− 1))/2

10 No decorrer do nosso curso, você será capaz de mostrar o seguinte limite:lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e . (1)Admita por um momento a veracidade deste fato para calcular os limites abaixo:(a) lim x→+∞ (1− 1/x)^(−x)(b) lim x→−∞ ((x− 1)/x)^x(c) lim x→0− (1 + 2x)^(3/x)

11 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descontínuas.(a) f(x) = |x|/x(b) f(x) = 1/x(c) f(x) = (x+ 1)/(x2 − 1)(d) f(x) = {2x+ 1 se x ≤ −2x− 2 se − 2 < x ≤ 22− x se 2 < x

12 Determine os valores de x, nos quais a função dada é contínua.(a) f(x) = {3x− 1 se x > 24− x2 se 2 ≤ x(b) f(x) = {2x− 3 se x ≤ 1x2 se 1 < x(c) h(x) = (x+ 1)/(2x+ 5)

14 Mediante o Teorema do “Sanduíche”, encontre os seguintes limites:(a) lim x→0 (x cos(1/x)).(b) lim x→3 g(x) , se |g(x) + 4| < 2(3− x)4 , para todo x.

15 Uma função g de domínio A é dita limitada se |g(x)| ≤M, para todo x ∈ A.Considere f e g duas funções com mesmo domínio tais que lim x→a f(x) = 0 e g é limitada. Prove que lim x→a [f(x) · g(x)] = 0.

16 Dada g(x) = {1 ;x < 0−1 ;x ≥ 0, calcule lim x→0 [x2 · g(x)].

17 Ache os valores das constantes a e b que tornam contínua a função f em (−∞,+∞) e faça o esboço do gráfico de f . {2x+ 1 ; x ≤ 3ax+ b ; 3 < x < 5x2 + 2 ; x ≥ 5

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(d) lim x→0 1/x2 = +∞

6 Calcule, em cada situação, o seguinte limite:

(a) lim x→3− (x+ 3)/(x2 − 9)

(b) lim x→0+ (√(x2 + 3)/(3x))

(c) lim x→0+ (1/x − 1/x2)

(d) lim x→0− (2− 4x3)/(5x2 + 3x3)

(e) lim x→−2+ (6x2 + x− 2)/(2x2 + 3x− 2)

(f) lim x→2− (x− 2)/(2−√(4x− x2))

7 Ache as assintotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo e faça seu esboço em cada caso.

(a) f(x) = (2x+ 1)/(x− 3)
(b) g(x) = 1 + (1/x2)
(c) h(x) = 1/(x2 + 5x− 6)
(d) k(x) = 2√(x2 − 4)

10 No decorrer do nosso curso, você será capaz de mostrar o seguinte limite:
lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e . (1)
Admita por um momento a veracidade deste fato para calcular os limites abaixo:

(a) lim x→+∞ (1− 1/x)^(−x)
(b) lim x→−∞ ((x− 1)/x)^x
(c) lim x→0− (1 + 2x)^(3/x)

11 Dar em cada situação, os pontos onde as seguintes funções são descontínuas.

(a) f(x) = |x|/x
(b) f(x) = 1/x
(c) f(x) = (x+ 1)/(x2 − 1)
(d) f(x) = {2x+ 1 se x ≤ −2
x− 2 se − 2 < x ≤ 2
2− x se 2 < x

12 Determine os valores de x, nos quais a função dada é contínua.

(a) f(x) = {3x− 1 se x > 2
4− x2 se 2 ≤ x
(b) f(x) = {2x− 3 se x ≤ 1
x2 se 1 < x
(c) h(x) = (x+ 1)/(2x+ 5)

14 Mediante o Teorema do “Sanduíche”, encontre os seguintes limites:

(a) lim x→0 (x cos(1/x)).

(b) lim x→3 g(x) , se |g(x) + 4| < 2(3− x)4 , para todo x.

15 Uma função g de domínio A é dita limitada se |g(x)| ≤M, para todo x ∈ A.
Considere f e g duas funções com mesmo domínio tais que lim x→a f(x) = 0 e g é limitada. Prove que lim x→a [f(x) · g(x)] = 0.

16 Dada g(x) = {1 ;x < 0
−1 ;x ≥ 0, calcule lim x→0 [x2 · g(x)].

17 Ache os valores das constantes a e b que tornam contínua a função f em (−∞,+∞) e faça o esboço do gráfico de f . {2x+ 1 ; x ≤ 3
ax+ b ; 3 < x < 5
x2 + 2 ; x ≥ 5