Para determinar os limites apresentados, vamos analisar cada um deles. Vou fornecer a resposta correta para cada item. (a) \( \lim_{x \to 7} \frac{x^2 - 49}{x - 7} \) Aqui, podemos fatorar o numerador: \( x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \). Assim, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 7} \frac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7} = \lim_{x \to 7} (x + 7) = 14 \] (b) \( \lim_{x \to 3} \frac{2(4x^2 - 9)}{2x + 3} \) Substituindo \( x = 3 \): \[ \frac{2(4(3^2) - 9)}{2(3) + 3} = \frac{2(36 - 9)}{6 + 3} = \frac{2(27)}{9} = 6 \] (c) \( \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} \) Fatorando o numerador: \( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \): \[ \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = 4 \] (d) \( \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} \) Esse limite não existe, pois a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais. (e) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x} \) Usando a multiplicação pelo conjugado: \[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 2} - \sqrt{2})(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \] (f) \( \lim_{x \to 0} \frac{3\sqrt{x + 1} - 1}{x} \) Usando a regra de L'Hôpital ou o conjugado, o resultado é \( \frac{3}{2} \). (g) \( \lim_{x \to -3} \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{2x^2 + 7x + 3} \) Substituindo \( x = -3 \): \[ \frac{\sqrt{(-3)^2 - 9}}{2(-3)^2 + 7(-3) + 3} = \frac{0}{0} \text{ (indeterminado)} \] Usando L'Hôpital, o limite é \( \frac{1}{-3} \). (h) \( \lim_{x \to -1} \frac{2x^2 - x - 3}{x^3 + 2x^2 + 6x + 5} \) Substituindo \( x = -1 \): \[ \frac{2(-1)^2 - (-1) - 3}{(-1)^3 + 2(-1)^2 + 6(-1) + 5} = \frac{2 + 1 - 3}{-1 + 2 - 6 + 5} = \frac{0}{0} \text{ (indeterminado)} \] Usando L'Hôpital, o limite é \( -\frac{1}{-1} = 1 \). (i) \( \lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 8x - 16}{2x^2 - 9x + 4} \) Substituindo \( x = 4 \): \[ \frac{3(4^2) - 8(4) - 16}{2(4^2) - 9(4) + 4} = \frac{48 - 32 - 16}{32 - 36 + 4} = \frac{0}{0} \text{ (indeterminado)} \] Usando L'Hôpital, o limite é \( -\frac{1}{-1} = 1 \). (j) \( \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^{-1} - 3^{-1}}{h} \) Esse limite é a definição da derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \) em \( x = 3 \), que resulta em \( -\frac{1}{9} \). (k) \( \lim_{x \to 3} (2x + |x - 3|) \) Para \( x \to 3 \), \( |x - 3| = 0 \): \[ \lim_{x \to 3} (2(3) + 0) = 6 \] Resumindo, os limites são: (a) 14 (b) 6 (c) 4 (d) Não existe (e) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \) (f) \( \frac{3}{2} \) (g) \( \frac{1}{-3} \) (h) 1 (i) 1 (j) \( -\frac{1}{9} \) (k) 6 Se precisar de mais detalhes sobre algum limite específico, é só avisar!