calculo qualificado CCXXIX

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<p>**Explicação**: Usamos a integração por partes, definindo \( u = x^3 \) e \( dv = e^x dx \).</p><p>Após o processo, obtemos o valor.</p><p>22. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)?</p><p>a) 6</p><p>b) 3</p><p>c) 9</p><p>d) 0</p><p>**Resposta: a) 6**</p><p>**Explicação**: O numerador pode ser fatorado como \( (x-3)(x+3) \). Cancelando e</p><p>avaliando, temos \( 3 + 3 = 6 \).</p><p>23. Calcule a integral \( \int_1^2 (3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>a) \( 7 \)</p><p>b) \( 6 \)</p><p>c) \( \frac{11}{3} \)</p><p>d) \( 8 \)</p><p>**Resposta: a) \( 7 \)**</p><p>**Explicação**: A integral é \( \left[x^3 + 2x\right]_1^2 = (8 + 4) - (1 + 2) = 12 - 3 = 9 \).</p><p>24. Determine \( \int x e^x \, dx \).</p><p>a) \( e^x + x^2 \)</p><p>b) \( e^x (x - 1) + C \)</p><p>c) \( e^x (x + 1) + C \)</p><p>d) \( e^x x \)</p><p>**Resposta: b) \( e^x (x - 1) + C \)**</p><p>**Explicação**: Usamos a integração por partes, resultando nesta forma.</p><p>25. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \)?</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( \frac{1}{2} \)</p><p>d) \( -1 \)</p><p>**Resposta: c) \( \frac{1}{2} \)**</p><p>**Explicação**: Multiplicamos pelo conjugado: \( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-</p><p>1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2} \).</p><p>26. Qual é a integral de \( \int x^2 \sin(x) \, dx \)?</p><p>a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C \)</p><p>b) \( x^2 \cos(x) - 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C \)</p><p>c) \( x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \)</p><p>d) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \)</p><p>**Resposta: a) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C \)**</p><p>**Explicação**: Usamos a integração por partes duas vezes para chegar à resposta.</p><p>27. O que representa uma função que não possui derivada em um ponto?</p><p>a) É contínua em todo lugar</p><p>b) Apresenta um ponto de máximo ou mínimo</p><p>c) Tem descontinuidade</p><p>d) None of the above</p><p>**Resposta: c) Tem descontinuidade**</p><p>**Explicação**: Se a função não tem derivada, pode ser indicativa de uma</p><p>descontinuidade, como um canto ou um salto.</p><p>28. O que é uma função crescente em um intervalo?</p><p>a) Quando \( f(a) 0 \)</p><p>b) \( f''(x) 0 \)</p><p>d) \( f'(x) 0 \)**</p><p>**Explicação**: Se a segunda derivada de uma função é positiva em um intervalo, a</p><p>função é considerada convexa nesse intervalo.</p><p>33. Como se calcula a soma de Riemann?</p><p>a) Definindo a média aritmética</p><p>b) Usando limites de integrais</p><p>c) Dividindo em subintervalos e multiplicando pelas alturas</p><p>d) Calculando a derivada total</p><p>**Resposta: c) Dividindo em subintervalos e multiplicando pelas alturas**</p><p>**Explicação**: A soma de Riemann aproxima a área sob a curva, usando o produto da</p><p>largura por altura nos subintervalos.</p><p>34. O que é uma assimptota vertical em uma função?</p><p>a) Quando a função cresce para infinito</p><p>b) Quando a função é contínua</p><p>c) Ocorre em um intervalo onde a função não é definida</p><p>d) Quando a função atinge o valor de 1</p><p>**Resposta: c) Ocorre em um intervalo onde a função não é definida**</p><p>**Explicação**: Uma assimptota vertical é um valor de \( x \) onde a função se aproxima</p><p>de infinito, indicando que não é definida nesse valor.</p><p>35. O que é a regra de L'Hôpital?</p><p>a) Usada para derivadas de produtos</p><p>b) Aplicável a limites que resultam em formas indeterminadas</p><p>c) Usada para integrals definidas</p><p>d) Requer a expressão em máxima forma</p><p>**Resposta: b) Aplicável a limites que resultam em formas indeterminadas**</p><p>**Explicação**: A regra de L'Hôpital é uma técnica útil para resolver limites que resultam</p><p>em \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \).</p><p>36. Qual é o intervalo de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x -</p><p>a)^n \)?</p><p>a) Determinado pelo centro</p>