Para a função \(g(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-2x-3}\), vamos calcular os limites solicitados e analisar o comportamento na assíntota vertical. Primeiramente, é útil fatorar o numerador e o denominador da função, pois isso simplifica a análise em pontos críticos. Fatorando o numerador:\(x^{2}-9\) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como \((x-3)(x+3)\).Fatorando o denominador:\(x^{2}-2x-3\) é um trinômio do segundo grau. Precisamos encontrar dois números que, somados, dão \(-2\) e, multiplicados, dão \(-3\). Esses números são \(-3\) e \(1\).Portanto, o denominador pode ser fatorado como \((x-3)(x+1)\). Assim, a função \(g(x)\) pode ser reescrita como:\(g(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}\) Para \(x\ne 3\), podemos cancelar o termo \((x-3)\), resultando em uma forma simplificada da função para a análise do limite:\(g(x)=\frac{x+3}{x+1}\) a) Limite da função quando \(x\) tende a menos infinito Para determinar \(\lim _{x\rightarrow -\infty }g(x)\), usamos a forma original da função e dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\) (neste caso, \(x^{2}\)): \(\lim _{x\rightarrow -\infty }g(x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{2}-9}{x^{2}-2x-3}\) \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{9}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}\) \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac{1-\frac{9}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}\) À medida que \(x\rightarrow -\infty \), os termos \(\frac{9}{x^{2}}\), \(\frac{2}{x}\) e \(\frac{3}{x^{2}}\) tendem a zero. \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac{1-0}{1-0-0}=\frac{1}{1}=1\) O limite da função g, quando x tende a menos infinito, é 1. b) Limite da função quando \(x\) tende a 3 Para determinar \(\lim _{x\rightarrow 3}g(x)\), podemos usar a forma simplificada da função, já que \(x\) está se aproximando de 3, mas nunca é exatamente 3. \(\lim _{x\rightarrow 3}g(x)=\lim _{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\lim _{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{x+1}\) Agora, podemos substituir diretamente \(x=3\): \(\lim _{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{x+1}=\frac{3+3}{3+1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\) O limite da função g, quando x tende a 3, é \(\frac{3}{2}\). c) Comportamento da função na assíntota vertical \(x=-1\) O denominador da função, na sua forma fatorada \((x-3)(x+1)\), é igual a zero quando \(x=3\) e \(x=-1\). Como o termo \((x-3)\) foi cancelado na forma simplificada, a descontinuidade em \(x=3\) é um "buraco", enquanto a descontinuidade em \(x=-1\) é uma assíntota vertical. Para analisar o comportamento da função perto de \(x=-1\), calculamos os limites laterais usando a forma simplificada \(g(x)=\frac{x+3}{x+1}\). Limite lateral pela direita (\(x\rightarrow -1^{+}\)) Quando \(x\) se aproxima de \(-1\) pela direita (ou seja, \(x\) é um número um pouco maior que \(-1\)), o numerador \(x+3\) se aproxima de \(-1+3=2\), que é positivo. O denominador \(x+1\) se aproxima de zero, e, como \(x>-1\), o valor de \(x+1\) é positivo. Portanto, temos um valor positivo dividido por um valor positivo que tende a zero: \(\lim _{x\rightarrow -1^{+}}g(x)=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\frac{x+3}{x+1}=\frac{\text{valor\ positivo}}{\text{valor\ positivo}\rightarrow 0^{+}}=+\infty \) Limite lateral pela esquerda (\(x\rightarrow -1^{-}\)) Quando \(x\) se aproxima de \(-1\) pela esquerda (ou seja, \(x\) é um número um pouco menor que \(-1\)), o numerador \(x+3\) se aproxima de \(-1+3=2\), que é positivo. O denominador \(x+1\) se aproxima de zero, e, como \(x<-1\), o valor de \(x+1\) é negativo. Portanto, temos um valor positivo dividido por um valor negativo que tende a zero: \(\lim _{x\rightarrow -1^{-}}g(x)=\lim _{x\rightarrow -1^{-}}\frac{x+3}{x+1}=\frac{\text{valor\ positivo}}{\text{valor\ negativo}\rightarrow 0^{-}}=-\infty \) Conclusão sobre a assíntota vertical: Como os limites laterais resultam em \(\pm \infty \), a função \(g(x)\) possui uma assíntota vertical em \(x=-1\). A função tende a \(+\infty \) quando \(x\) se aproxima de \(-1\) pela direita e tende a \(-\infty \) quando \(x\) se aproxima de \(-1\) pela esquerda.