Matematica_10a_classe

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<p>REPÚBLICA DE MOÇAMBIQUE</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DESENVOLVIMENTO HUMANO</p><p>DIRECÇÃO NACIONAL DE ENSINO SECUNDÁRIO</p><p>STOP Sida</p><p>STOP Covid -19</p><p>FICHA TÉCNICA</p><p>Título:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática – 10ª classe</p><p>Direcção: Gina Guibunda - Directora Nacional do Ensino Secundário</p><p>Coordenação Geral: João Jeque - Director Nacional Adjunto do Ensino Secundário</p><p>Elaborador: Anselmo Chuquela</p><p>Concepção gráfica da capa: Hélder Bayat, Bui Nguyet, e Manuel Biriate</p><p>Layout: Helder Bayat</p><p>Impressão e acabamentos: MINEDH</p><p>Revisão: João Sapatinha e Cláudio Monjane</p><p>Tiragem: xxx exemplares.</p><p>ÍNDICE</p><p>Unidade temática 1 : Teoria de conjunto 1</p><p>I. Resumo ............................................................................................................... 1</p><p>1.1.Conjunto - Definição ...................................................................................... 1</p><p>1.2.Elemento ......................................................................................................... 1</p><p>1.3.Relação de Pertença ..................................................................................... 1</p><p>1.4.Formas de definir um Conjunto .................................................................. 2</p><p>1.5.Formas de Representação de um Conjunto .............................................. 2</p><p>1.6.Tipos de Conjuntos ........................................................................................ 3</p><p>1.7.Cardinal de um Conjunto .............................................................................. 4</p><p>1.8.Conjunto Finito ............................................................................................... 4</p><p>1.9.Conjunto Infinito ............................................................................................. 4</p><p>1.10.Relação de Inclusão .................................................................................... 5</p><p>1.11.Igualdade de Conjuntos .............................................................................. 5</p><p>1.12.Operações sobre os conjuntos .................................................................. 5</p><p>1.13.Propriedades Sobre as Operações com Conjuntos ............................... 7</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................... 8</p><p>Unidade temática 2 : Equações quadráticas paramétricas simples 12</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 12</p><p>1.1. Equações quadráticas paramétricas simples .................................... 12</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 13</p><p>Unidade temática 3 : Equação biquadrada 15</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 15</p><p>1.1.Conceito de equação biquadrática ............................................................ 15</p><p>1.2.Resolução de equações biquadráticas .................................................... 15</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 16</p><p>Unidade temática 4 : Função quadrática 18</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 18</p><p>1.1.Funções Quadráticas .................................................................................. 18</p><p>1.2.Determinação da expressão analítica de uma função quadrática a partir</p><p>do gráfico 25</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 26</p><p>Unidade temática 5 : Inequação quadrática 31</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 31</p><p>1.1.Inequações Quadráticas - Definição ......................................................... 31</p><p>1.2.Resolução de inequações quadráticas..................................................... 31</p><p>1.3.Resolução de problemas envolvendo inequações quadráticas ........... 32</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 33</p><p>Unidade temática 6 : Função exponencial 35</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 35</p><p>1.1.Função exponencial..................................................................................... 35</p><p>1.2.Gráfico da função exponencial .................................................................. 35</p><p>1.3.Gráfico da função .............................................................. 36</p><p>1.4.Estudo da função .................................................................... 37</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 38</p><p>Unidade temática 7 : Logaritmo e função logarítmica 41</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 41</p><p>1.1.Logaritmo – Definição ................................................................................. 41</p><p>1.2.Propriedades dos logaritmos ..................................................................... 41</p><p>1.3.Funções logarítmicas .................................................................................. 42</p><p>1.4.Representação gráfica da função logarítmica e a partir da função ..................................................... 43</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 45</p><p>Unidade temática 8: Trigonometria 48</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 48</p><p>1.1.Teorema de Pitágoras ................................................................................. 48</p><p>1.2.Semelhança de triângulos .......................................................................... 48</p><p>1.3.Razões trigonométricas de um ângulo agudo ......................................... 49</p><p>1.4.Identidade fundamental da trigonometria................................................. 50</p><p>1.5.Razões trigoométricas de ângulos especiais: ................. 50</p><p>1.6.Relação entre as razões trigonométricas................................................. 50</p><p>II. Exercícios resolvidos ................................................................................ 51</p><p>III. Exercícios propostos ................................................................................. 51</p><p>Unidade temática 9: Estatística 55</p><p>I. Resumo ............................................................................................................. 55</p><p>1.1.Revisão sobre os conceitos básicos de estatística descritiva .............. 55</p><p>1.2.Recolha e organização de dados .............................................................. 56</p><p>1.3.Frequência absoluta, relativa percentual e acumuladas ....................... 56</p><p>1.4.Gráficos de barras ....................................................................................... 57</p><p>1.5.Medidas de tendência central .................................................................... 57</p><p>II. Exercícios propostos ................................................................................. 58</p><p>Tópicos de correcção dos exercícios propostos 60</p><p>Bibliografia 66</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>1</p><p>UNIDADE TEMÁTICA I: TEORIA DE CONJUNTO</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Conjunto - Definição</p><p>Chama-se conjunto a uma colecção ou agrupamento de objectos, coisas, seres, classe,</p><p>das idades por anos, de alunos de uma certa escola.</p><p>a) Determine a média aritmética das idades.</p><p>b) Qual é a moda das idades?</p><p>if</p><p>ix</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>60</p><p>Tópicos de correcção dos exercícios propostos</p><p>Unidade temática I: Teoria de conjunto</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) V h) V</p><p>2. a) V b) F c) F d) V e) V f) F g) V h) V</p><p>3. a) { } b) { } c) { } d) { }</p><p>e) { } f)</p><p>4.</p><p>5. a) { } b) { } c) { } d) { }</p><p>6. a) b)  c)  d)  e)  f) </p><p>7.</p><p>8.</p><p>9.</p><p>10. { } b) { } c) { } d) { }</p><p>e) { } f) { } g) { } h) { }</p><p>11.</p><p>12. { } b) { } c) { } c) {c;e} d) { }</p><p>e) { } f) { } g) { } h) { } i) { }</p><p>13. a)A b) U c) d) U e) A f) A g) A h) i) U j)</p><p>14. ] ] { } b) ] [ [ ] c) [ [ d) ] [</p><p>e) ] ] [ ] f) ] ] [ ] g) ] [</p><p>15. a) b) 45 c) 50</p><p>16. a) 95 b) 125 c) 625 d) 100 e) 725</p><p>17. a) 20 b) 24 c) 22 d) 32</p><p>18. a) 140 b) 230 c) 480</p><p>19. +a) b) 240</p><p>Unidade temática II: Equações quadráticas paramétricas simples</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>61</p><p>5. a) b) + + b) m =</p><p>c) ] [</p><p>Unidade temática III: Equação biquadrada</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1.</p><p>2. c) { }</p><p>3. b) √ b) 18</p><p>Unidade temática IV: Função quadrática</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1.</p><p>2. a) Pois tem o b) pois tem o</p><p>3. a) 7 a) 6 b) 34 c) 3 d) =; > e</p><p>(1999), Matemática pela pratica, 1ª edição, Moçambique</p><p>editora, Maputo.</p><p> Chuquela A. et al (2016), Manual Básico de Ensino Técnico Profissional, 1ª edição,</p><p>Maputo;</p><p> Instituto Nacional de Desenvolvimento da Educação (2008). Programa de Matemática da</p><p>10ª classe. Maputo-Moçambique.</p><p> Martins Z. (2011), Matemática 9ª Classe, 2ª edição, Texto editores Lda.- Moçambique.</p><p>família,</p><p>animais, pessoas etc que apresentam uma determinada caracteristica.</p><p>No geral os objectos de um conjunto apresentam mesmas caracteristicas.</p><p>Exemplo:</p><p> Conjunto dos números inteiros negativos;</p><p> Conjunto das vogais do alfabeto português;</p><p> Conjunto dos alunos de uma turma.</p><p>1.2. Elemento</p><p> É cada objecto, sere ou pessoa que constitue o conjunto.</p><p>Exemplo:</p><p> -3 é elemento do conjunto dos números inteiro negativos.</p><p> a é um elemento do conjunto das vogais</p><p> √ é um elemento do conjunto dos números irracionais.</p><p> 3 é elemento do conjunto solução da equacão</p><p>N.B.</p><p>Um dado conjunto está bem definido quando podemos estabelecer certamente, que um elemento</p><p>pertence ou não ao conjunto dado, isto é, os seus elementos apresentam todas as caracteristicas</p><p>do conjunto.</p><p>1.3. Relação de Pertença</p><p>Um elemento pode pertencer ou não a um determinado conjunto. Para indicar que um elemento</p><p>pertence a um dado conjunto, utilizamos o simbolo  lê-se pertence e quando não pertence</p><p>utilizamos o simbolo lê-se não pertence.</p><p>Ax  lê-se x pertence a A</p><p>Bx  lê-se x não pertence a B</p><p>N.B. Os simbolos e são usados apenas para relacionar um elemento com um conjunto.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>2</p><p>Simbologia Tradução O elemeto 5 pertence ao conjunto dos números naturais.  O elemento 2,33 não pertence ao conjunto dos números</p><p>naturais.</p><p>1.4. Formas de definir um Conjunto</p><p>1.4.1. Por extensão</p><p>Quando se coloca todos os elementos do conjunto dentro de chavetas e separando-os por</p><p>virgulas.</p><p>Exemplos:</p><p>a) Conjuto dos números naturais menores que dez.</p><p> 9,8,7,6,5,4,3,2,1A</p><p>b) Conjunto dos números impares menores que 99.</p><p> 97,...,5,3,1B</p><p>c) Conjunto dos números inteiros não negativos.</p><p> ,...5,4,3,2,1,0C</p><p>1.4.2. Por Compreensão</p><p>Quando o conjunto está definido por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.</p><p>Exemplo:</p><p>a) Conjuto dos números naturais menores que dez.</p><p> 10:  xINxA</p><p>b) Conjunto das vogais</p><p> vogaléxxB :</p><p>1.5. Formas de Representação de um Conjunto</p><p>Os conjuntos, em geral podem ser representados por meio de chavetas, Diagrama de Venn ou na</p><p>forma de intervalos e na forma geométrica (recta graduada).</p><p>1.5.1. Por Chavetas</p><p>Exemplo:</p><p> 9,8,7,6,5,4,3,2,1A</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>3</p><p>1.5.2. Por diagrama de Venn</p><p>Os elementos que pertencem ao conjunto são pontos internos ao recinto delimitado por uma linha</p><p>curva continua, enquanto que os elementos que não pertencem ao conjunto são pontos externos</p><p>ao recinto.</p><p>Exemplo:</p><p>Conjunto dos números pares positivos menores que 10.</p><p>.2 .4</p><p>0 .6 .8 -2</p><p>1.5.3. Sob forma de intervalos</p><p>Exemplo:</p><p>Conjunto dos números reais positivos</p><p>] [</p><p>1.6. Tipos de Conjuntos</p><p>1.6.1. Conjunto Vazio</p><p>Chama-se conjunto vazio e representa se por  ou a qualquer conjunto que não possue</p><p>nenhum elemento.</p><p>Exemplo:  0:  xINxV</p><p>1.6.2. Conjunto Singular</p><p>Chama-se conjunto singular ou unitário ao conjunto constituído por um e só um elemento.</p><p>Exemplos:</p><p>}2{D .</p><p> 025: 2  xINxB</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>4</p><p>N.B</p><p>O simbolo { } ou  representa o conjunto vazio e que o conjunto {} é um conjunto singular e não</p><p>vazio.</p><p>Exemplo: Um saco vazio dentro doutro saco vazio.</p><p>1.6.3. Conjunto Universal ou Universo</p><p>Chama-se conjunto Universo ou universal e representa-se por U, ao conjunto constituido por todos</p><p>os elementos com os quais estamos a trabalhar.</p><p>Exemplo:</p><p>Para os conjuntos  2:  xIRxA  2:  xIRxB , o conjunto universal é IR.</p><p>Se tratamos de elementos que são números inteiros negativos ou positivos, o conjunto universal é</p><p>o conjunto dos números inteiros relativos Z.</p><p>Se tratarmos dos alunos da 8ª, 9ª, 10ª, 11ª e 12ª, o conjunto universal são alunos do ensino</p><p>secundário.</p><p>1.7. Cardinal de um Conjunto</p><p>Chama-se cardinal de um conjunto e representa-se por #, ao número de elementos desse</p><p>conjunto.</p><p>Exemplo:</p><p> 9,8,7,6,5,4,3,2,1A # A = 9</p><p> vogaléxxB : # B = 5</p><p> D # D = 0</p><p>1.8. Conjunto Finito</p><p>Chama-se conjunto finito aquele conjunto cujos elementos é possível enumerar todos os seus</p><p>elementos (determinar o seu cardinal).</p><p>Exemplo:</p><p> 102:  xINxF</p><p>1.9. Conjunto Infinito</p><p>Chama-se conjunto infinito ao conjunto cujo número total de elementos não é possível determinar.</p><p>Exemplos:</p><p>1.  2:  xIRxA</p><p>2. Todos os conjuntos IN, Z, Q e IR.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>5</p><p>3. Qualquer conjunto representado na forma de intervalo em R, como:  2;0x .</p><p>1.10. Relação de Inclusão</p><p>A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro</p><p>conjunto.</p><p>Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido</p><p>no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o</p><p>primeiro conjunto não esteja contido no segundo.</p><p>Simbologia Tradução</p><p>BA  O conjunto A está contido no conjunto B</p><p>BA  O conjunto A não está contido no conjunto B</p><p>BA  O conjunto A contém o conjunto B</p><p>No diagrama de Venn</p><p>A B</p><p>BA </p><p>N.B</p><p>Os simbolos  e; são usados apenas para relacionar conjunto com conjunto.</p><p>1.11. Igualdade de Conjuntos</p><p>Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer</p><p>ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez.</p><p>Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por:</p><p>A= { a; b; c} = { c; b; a}</p><p>Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como:   B e  A</p><p>1.12. Operações sobre os conjuntos</p><p>1.12.1. Reunião ou união</p><p>A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos elementos que pertencem a A ou B.</p><p>Indicaremos a união pelo símbolo .</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>6</p><p>Simbolicamente: { }</p><p>No Diagrama de Venn</p><p>1.12.2. Interseção de conjuntos</p><p>A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.</p><p>Indicaremos a interseção pelo símbolo :</p><p>Simbolicamente: { }</p><p>No diagrama de Venn</p><p>1.12.3. Diferença de conjuntos</p><p>A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A</p><p>e não pertencem a B.</p><p>Simbolicamente: {  }</p><p>1.12.4. Conjunto complementar</p><p>Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U, a diferença U – A, é</p><p>chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos o conjunto U conjunto universo.</p><p>Simbolicamente: ̅ {  }</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>7</p><p>No Diagrama de venn</p><p>1.12.5. Diferença Simétrica</p><p>A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e</p><p>não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. Indicaremos a</p><p>diferença simétrica entre A e B por .</p><p>Simbolicamente: {   } = ( B – A)</p><p>1.13. Propriedades Sobre as Operações com Conjuntos</p><p>PROPRIEDADES DA REUNIÃO DE</p><p>CONJUNTOS</p><p>PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE</p><p>CONJUNTOS</p><p>1. Comutativa: Quaisquer que sejam os</p><p>conjuntos A e B, tem-se:</p><p>ABBA </p><p>1. Comutativa: Quaisquer que sejam os</p><p>conjuntos A e B, tem-se:</p><p>ABBA </p><p>2. Associativa: Quaisquer que sejam os</p><p>conjuntos A, B e C tem-se</p><p>CBACBA  )()(</p><p>2. Associativa: Quaisquer que sejam os</p><p>conjuntos A, B e C tem-se</p><p>CBACBA  )()(</p><p>3. Conjunto vazio: Elemento neutro na</p><p>reunião:</p><p>AU=A</p><p>3. Conjunto Universal: Elemento neutro na</p><p>intersecção</p><p>UA=A</p><p>4. Conjunto Universal: Elemento</p><p>absorvente na reunião</p><p>UUA=U</p><p>4. Elemento absorvente na Intersecção:</p><p>A=</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>8</p><p>5. Distributividade da Reunião em</p><p>relação à Intersecção: Quaisquer que</p><p>sejam os com juntos A, B e C, tem-se</p><p>)()()( CABACBA </p><p>5. Distributividade da Intersecção em</p><p>relação à Reunião: Quaisquer que sejam os</p><p>conjuntos A, B e C, tem-se</p><p>)()()( CABACBA </p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. No diagrama seguinte A, B e C são três conjuntos não vazios.</p><p>Indica com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas em</p><p>cada um dos seguintes casos:</p><p>) ) ) )</p><p>)</p><p>a A B b C B c B A d A C</p><p>e B</p><p>   </p><p> ) ) )A f A C g B A h A   B</p><p>2. Dado o conjunto { { }}, diz se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:</p><p>a) ____</p><p>b) { } _____</p><p>c) ____</p><p>d) { } _____</p><p>e) { } ______</p><p>f) ______</p><p>g) ______</p><p>h) ______</p><p>3. Dados os conjuntos a baixo, defina-os por extensão:</p><p>a) { }</p><p>b) { }</p><p>c) { 5}</p><p>d) { }</p><p>e) { }</p><p>f) M = { }</p><p>4. Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}:</p><p>5. Com base nos conjuntos do exercício anterior, determine por extensão:</p><p>a)</p><p>b) c) – d) –</p><p>6. Com base nos conjuntos { } { } { } preencha os espaço</p><p>em branco com os símbolos adequados de modo a obter proposições verdadeiras:</p><p>a) 3 ___ A b) 7 ___ C c) A ___ B</p><p>d) B ___ C e) C ___ A f) A ___ C</p><p>7. Dados os seguintes conjuntos A e B, determina</p><p>a) A={ } e B { }</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>9</p><p>b) A { } e B { }</p><p>c) A { } e B { }</p><p>8. Sendo { } { } C { } e</p><p>D={ }. Determina:</p><p>a) A B</p><p>b) A C</p><p>c) A D</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g) (A B) C h) (A C) D</p><p>i) (B C) D</p><p>9. Dados os conjuntos { } { } { }, determina o conjunto M tal</p><p>10. que: { } { }</p><p>11. Dados { } , A { } e B { } Determine:</p><p>a) A∩B b) BA  c) A d) BA </p><p>e) ̅</p><p>f) ̅ ̅ g) ̅ ̅ h) ̅</p><p>12. Sejam dados os conjuntos { } { } { } { }. Determine:</p><p>) ) ) ) ) )a A b B c A C d A B e A f B C</p><p>13. Sejam { } { } { }. Achar:</p><p> </p><p>) ) ) ) )</p><p>) ) ) )</p><p>a A B b B A c B d B A e A B</p><p>f A B g A B h B A i A B</p><p></p><p></p><p>14. Aplicando as propriedades das operações com conjuntos determina:</p><p>) ) ) ) )</p><p>) ) ) ) )</p><p>a U A b c A A d U A e A A</p><p>f A A g A h U i A A j A</p><p></p><p> </p><p>15. Dados os conjuntos. ] ] ] [ [ [; Determina:</p><p>) ) ) ) ) ) )a A b B c A B d A B e A B f A B g A   </p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>10</p><p>16. Numa escola 30 professores leccionam no período da manha, 25 professores leccionam a</p><p>tarde e 5 leccionam nos 2 turnos.</p><p>a) Represente os dados num diagrama de Venn</p><p>b) Quantos professores leccionam num só período?</p><p>c) Quantos professores têm a escola?</p><p>17. Na figura, U é o conjunto dos 1500 alunos de uma escola e os números representam o</p><p>número de elementos de cada conjunto.</p><p>F – Conjunto dos alunos que estudam Física</p><p>M – Conjunto de alunos que estudam matemática</p><p>Q – Conjunto dos alunos que estudam Química</p><p>Indique quantos alunos estudam:</p><p>a) Só Matemática.</p><p>b) Matemática e Química.</p><p>c) Física ou Matemática.</p><p>d) Matemática, Física e Química.</p><p>e) Determine o número de alunos que não estuda nenhuma das disciplinas.</p><p>18. Um exame que tinha 2 questões A e B foi realizado por 60 candidatos. Houve 40 candidatos</p><p>que responderam certamente a questão A, 36 que responderam certamente questão B e 6</p><p>que não conseguiram responder certamente questão A e B.</p><p>a) Quantos candidatos que não responderam certamente a questão A?</p><p>b) Quantos candidatos que não responderam certamente a questão B?</p><p>c) Quantos candidatos que responderam certamente questão A e B ambas?</p><p>d) Quantos candidatos conseguiram apenas uma questão?</p><p>19. Em uma Academia, 200 alunos praticam Voleibol, 250 Andebol, 60 fazem as duas</p><p>modalidades e 90 não fazem nem Voleibol nem Andebol.</p><p>a) Quantos alunos fazem somente Voleibol?</p><p>b) Quantos alunos não praticam Andebol?</p><p>c) Quantos alunos têm a Academia?</p><p>20. A tabela mostra as preferências dos alunos de uma escola em relação às disciplinas de</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>11</p><p>Matemática e Física.</p><p>Disciplinas Matemática Física Matemática e Física</p><p>Nº de alunos 120 200 80</p><p>a) Represente os dados num diagrama de Venn.</p><p>b) Determine o número total de alunos desta escola.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>12</p><p>UNIDADE TEMÁTICA II : Equações quadráticas paramétricas simples</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Equações quadráticas paramétricas simples</p><p>Chama-se equação quadrática paramétrica a toda aquela que para além da incógnita</p><p>considerada, contêm outra variável, denominada parâmetro.</p><p>Considera as seguintes equações quadráticas na variável :</p><p> com ; { }</p><p> ;</p><p>Ambas são equações quadráticas. Mas o que as diferencie?</p><p>A equação quadrática para além de depender da incógnita depende</p><p>também de um parâmetro . Diz-se, por isso, equação quadrática paramétrica, onde o n é o</p><p>parâmetro.</p><p>Já a equação quadrática depende apenas da incógnita . Diz-se equação</p><p>quadrática numérica.</p><p>1.1.1. Resolução de equações quadráticas paramétricas simples</p><p>A resolução de equações quadráticas paramétricas consiste na determinação do valor ou valores</p><p>do parâmetro para o qual ou os quais determinadas condições se verificam.</p><p>Exemplo:</p><p>Considerando a equação: :</p><p>a) Determine o binómio descriminante;</p><p>Resolução:</p><p>b) Determine o valor de n de modo que a equação admita uma raiz (raiz dupla);</p><p>Resolução:</p><p>Condição: A equação tem apenas uma raiz (raiz dupla), quando ↔ ↔ ↔</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>13</p><p>{ }</p><p>c) Determine o(s) valor(es) de n de modo que a equação admita raízes reais diferentes;</p><p>Resolução:</p><p>Condição: A equação admita raízes reais diferentes, quando ↔ ↔ ↔ ↔</p><p>Sol: + *</p><p>d) Determine o (s) valor (es) de n de modo que a equação não admita raízes reais;</p><p>Resolução:</p><p>Condição: A equação não admita raízes reais ou seja a equação é impossível em IR, quando ↔ ↔ ↔</p><p>Sol: + *</p><p>e) Resolva a equação para</p><p>Resolução:</p><p>Condição: [ ]</p><p>↔</p><p>↔ { }</p><p>Usando a fórmula</p><p>resolvente, teremos:</p><p>√ √ {</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. O número é a raíz da equação . Nessas condições, determine o valor</p><p>do coeficiente .</p><p>2. Calcule o valor de na equação de modo que uma de suas raízes seja</p><p>3. Calcule o valor de m na equação de modo que uma das raízes seja o triplo</p><p>da outra.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>14</p><p>4. Na equação , a soma das raízes é e o produto é . Calcule</p><p>5. Dada a equação , de parâmetro m:</p><p>a) Resolva-a para .</p><p>b) Determine m de modo que a equação admita duas raízes reais iguais.</p><p>c) Determine m de modo que o produto das raízes seja positivo.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>15</p><p>UNIDADE TEMÁTICA III : EQUAÇÃO BIQUADRADA</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Conceito de equação biquadrática</p><p>Toda a equação que, pela aplicação dos princípios de equivalência, pode ser reduzida à forma</p><p>canónica , com e números reais, e , chama-se equação</p><p>biquadrática.</p><p>Nota: Se, numa equação biquadrática, os coeficientes e forem todos não nulos, a equação</p><p>diz-se completa. Caso contrário, diz-se incompleta.</p><p>Exemplo:</p><p> → Completa</p><p> → Completa</p><p> → Incompleta</p><p> → Incompleta</p><p> → Incompleta</p><p>1.2. Resolução de equações biquadráticas</p><p>1.2.1. Resolução de equações biquadráticas incompletas</p><p>Seja a um número real não nulo. Podem ocorrer os seguintes casos: . A equação é sempre possível admitindo a raiz x = 0.</p><p>Exemplo: . Logo, S ={0}</p><p>√</p><p>. A equação é possível se .</p><p>Exemplo: √ .</p><p>Portanto, { }.</p><p> √ A equação</p><p>é possível se</p><p>.</p><p>{ √ √ }</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>16</p><p>Exemplo: √</p><p>Logo, { }</p><p>1.2.2. Resolução de equações biquadráticas completas</p><p>Para resolver equações biquadráticas completas usamos um processo que consiste na mudança</p><p>de variável.</p><p>Exemplo:</p><p>Considera a equação biquadrática:</p><p>Repara que</p><p>Então, começa por considerar . Assim, substituindo por t na equação dada, vem</p><p>Aplicando a fórmula resolvente, teremos:</p><p>√ {</p><p>√ √</p><p>Voltando a expressão e substituindo os valores de t, teremos: √ √</p><p>Assim, o conjunto solução da equação biquadrática apresentada é: { }</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Determine o conjunto solução de cada uma das equações:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>i)</p><p>k)</p><p>l)</p><p>m)</p><p>n)</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>17</p><p>e) j) o)</p><p>2. O conjunto solução da equação é:</p><p>a) { } b) { }</p><p>c) { } d) { }</p><p>3. O produto das raízes da equação é:</p><p>a) √ b) √ c) 6 d) 18</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>18</p><p>UNIDADE TEMÁTICA IV : FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Funções Quadráticas</p><p>Chama-se função quadrática a toda função polinomial do 2o grau a uma variável do tipo</p><p>2( )f x ax bx c   (com 0a  , ).</p><p>Exemplo:</p><p>a) 2( ) 2 3 9; a 2,b 3,c 9f x x x      c) 2( ) 5; 1, 0, 5f x x a b c     </p><p>b) 2( ) 3 5 ; 3, 5, 0f x x x a b c       d) 21 1</p><p>( ) ; , 0, 0</p><p>2 2</p><p>f x x a b c   </p><p>1.1.1. Gráfico de funções Quadráticas</p><p>O gráfico de uma função quadrática é uma linha continua curva chamada parábola.</p><p>Para construir-se o gráfico de uma função quadrática, é necessário ter um número suficiente de</p><p>pares ordenados  ;x y que permitam esboçar o gráfico. Para tal, deve-se construir uma tabela de</p><p>valores e num sistema cartesiano ortogonal representar os pares ordenados determinados.</p><p>1.1.2. Função do tipo ; ( – Revisão</p><p>Para lembrar o estudo das funções deste tipo vamos considerar os seguintes exemplos:</p><p>2 2( ) ( )f x x e g x x   . Vamos construir os gráficos de cada função e fazer o respectivo estudo</p><p>completo.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>19</p><p>Estudo completo de 2( )f x x Construção do gráfico de 2( )f x x</p><p> O domínio da função: , isto</p><p>é  ;x    ;.</p><p> O contradomínio: , isto é</p><p> 0;y   ;</p><p> Monotonia ou variação da função:</p><p> Variação do sinal:</p><p>A função é positiva para</p><p>   ;0 0;x    </p><p> Zero da função: 0x  ;</p><p> Ordenada na origem: 0y  ;</p><p> O eixo de simetria coincide com o</p><p>eixo das ordenadas ( y ).</p><p>Equação do eixo de simetria:</p><p>0x </p><p>x y</p><p>-3 9</p><p>-2 4</p><p>-1 1</p><p>0 0</p><p>1 1</p><p>2 4</p><p>3 9</p><p>Estudo completo de 2g( )x x  Construção do gráfico de 2g( )x x </p><p> O domínio da função: , isto</p><p>é  ;x    ;.</p><p> O contradomínio: , isto é</p><p> ;0y   ;</p><p> Monotonia ou variação da função:</p><p> Variação do sinal:</p><p>x y</p><p>-3 -9</p><p>-2 -4</p><p>-1 -1</p><p>0 0</p><p>1 -1</p><p>2 -4</p><p>3 -9</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>-3 -1 1 3</p><p>x 0</p><p>y 0</p><p>x 0</p><p>y 0</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>20</p><p>A função é negativa para</p><p>   ;0 0;x    </p><p> Zero da função: 0x  ;</p><p> Ordenada na origem: 0y  ;</p><p> O eixo de simetria coincide com o</p><p>eixo das ordenadas ( y ).</p><p>2( )f x ax</p><p>Equação do eixo de simetria:</p><p>0x </p><p>Nota: O gráfico da função do tipo 2( )f x ax tem a concavidade virada para cima se 0a  e</p><p>virada para baixo se a</p><p>- Revisão</p><p>Para revermos as funções do tipo tomemos como exemplos as funções:</p><p>  12  xxg</p><p>0x   1100 2 g</p><p>1y  1;0</p><p>2</p><p>21 xx</p><p>xv</p><p></p><p></p><p>0</p><p>2</p><p>11</p><p></p><p></p><p>vx</p><p>caxy  2</p><p>Como se quer isolar a variável passa-se o 1 que está a adicionar</p><p>no primeiro membro para o segundo membro a subtrair.</p><p>Para termos o coeficiente da variável positivo multiplica-se ambos</p><p>os membros por .</p><p>Para encontrar extraímos a raiz quadrada.</p><p>1</p><p>x</p><p>   </p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>111</p><p>1</p><p>01</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>22</p><p>, ;</p><p>Representando os gráficos das funções</p><p>no mesmo S.C. teremos:</p><p>Nota:</p><p>Todo gráfico do tipo</p><p>obedece as seguintes propriedades:</p><p> Vértice: ;</p><p> Eixo de simetria: ;</p><p> Sentido da concavidade: virada para cima se e virada para baixo se</p><p> Contradomínio: [ [ se e ] ] se ;</p><p>1.1.4.2. Função do tipo , com</p><p>Seja dada a função . Esta é também uma função quadrática diferente das</p><p>anteriormente apresentadas. Ela é do tipo , onde . Que diferenças encontra no</p><p>gráfico da função dada, representado abaixo, comparando com os das funções anteriores?</p><p>Verifique.</p><p> O vértice da parábola não se situa no eixo</p><p>das ordenadas nem sobre o eixo das</p><p>abcissas;</p><p> Não há simetria em relação ao eixo das</p><p>ordenadas, mas o gráfico é simétrico em</p><p>relação à recta</p><p> Os zeros não são simétricos em relação</p><p>ao eixo das ordenadas, mas são</p><p>simétricos à recta .</p><p>A função pode ser escrita da seguinte forma: . Para escrever a</p><p>função dessa forma, tivemos que:</p><p>  xxxf 42 </p><p>bxaxy  2</p><p>0a</p><p>2x</p><p>2x</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>23</p><p>i. Adicionamos e subtraímos na ao quadrado da metade do coeficiente b,</p><p>ou seja: ;</p><p>ii. Olhando os primeiros termos da função, nota-se que representam um quadrado de</p><p>uma diferença, ou seja:</p><p>iii. Assim na função , temos os valores dos parâmetro e .</p><p>iv. Olhando para o gráfico desta função, nota-se que deslocou por duas unidades para</p><p>direita e quatro unidades para baixo. Esta deslocação para direita deve-se ao valor do</p><p>parâmetro p e para baixo pelo valor do parâmetro q.</p><p>No geral:</p><p>Todo gráfico do tipo obedece as seguintes propriedades:</p><p> Vértice: ;</p><p> Eixo de simetria: ;</p><p> Sentido da concavidade: virada para cima se e virada para baixo se</p><p> Contradomínio: [ [ se e ] ] se ;</p><p>1.1.4.3. Representação gráfica da função 2( )f x ax bx c   (com 0a  , ).</p><p>Para representar o gráfico das funções quadráticas é preciso:</p><p> Identificar o sinal do coeficiente a para saber o sentido da concavidade da parábola;</p><p> Determinar os zeros;</p><p> Determinar o vértice da parábola;</p><p> Determinar a ordenada na origem.</p><p>Seja dado a função – – , vamos representar o gráfico desta função e fazer o</p><p>estudo completo.</p><p>1. O coeficiente , logo a parábola da função estará voltada para baixo, já que .</p><p>2. Determinação dos zeros. ↔ – –</p><p>Como o valor de , a função tem duas raízes reais diferentes. Usando a fórmula resolvente: √ , vamos determinar as raízes.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>24</p><p>√ √ {</p><p>3. Determinação das coordenadas do vértice da parábola</p><p>Fórmula do cálculo de :</p><p>Fórmula do cálculo de :</p><p>4. Determinação da ordenada na origem</p><p>– – – –</p><p>5. Gráficos</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>25</p><p>1.2. Determinação da expressão analítica de uma função quadrática a partir do gráfico</p><p>Dado o gráfico, determine a sua expressão analítica.</p><p>Para determinar expressão analítica de uma função quadrática, temos que:</p><p>i) Encontrar as coordenadas do vértice da parábola, para este caso, V (-1; -4).</p><p>ii) Encontrar as coordenadas de um ponto qualquer onde o gráfico passa, por exemplo o</p><p>ponto (0; -3).</p><p>iii) Como é sabido que as coordenadas do vértice indicam igualmente os valores dos</p><p>parâmetros p e q. Da expressão se substituir os valore dos</p><p>parâmetros p e q e as coordenadas do ponto, teremos o valor do coeficiente a, isto é: ↔</p><p>↔ ↔</p><p>iv) Voltando a substituir novamente os parâmetros p e q e o valor do</p><p>coeficiente a teremos: [ ] esta é a expressão analítica do gráfico dado.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>26</p><p>Nota: Há casos em que o gráfico que pretendemos determinar a expressão analítica não</p><p>apresenta as coordenadas do vértice, mas sim os zeros da função ( . Para este caso,</p><p>recorre-se a expressão: que corresponde a factorização do trinómio .</p><p>Exemplo:</p><p>Dado o gráfico, determine a sua expressão analítica.</p><p>Como o gráfico tem como raízes: e</p><p>passa pelo ponto (0;-2). vamos recorrer a expressão</p><p>para determinar a expressão</p><p>analítica.</p><p>1º Vamos substituir as coordenadas do ponto por</p><p>onde o gráfico passa e os valores das raízes para obter o valor do coeficiente a: ↔ [ ] ↔ →</p><p>2º Voltando a expressão Vamos substituir os valores das raízes ( e</p><p>do coeficiente a que determinamos anteriormente assim teremos: [ ] esta é a expressão analítica do gráfico dado.</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Considere as funções definidas por: , . Represente-as graficamente no mesmo referencial cartesiano.</p><p>2. Das funções do exercício anterior quais são as que têm concavidade:</p><p>a) Virada para baixo? Justifique.</p><p>b) Viradas para cima? Justifique.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>27</p><p>3. Considere a função . Calcule:</p><p>a) 1)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d) Compare:</p><p>i)</p><p>ii)</p><p>iii)</p><p>4. Seja a função – , em que e . Calcule e o valor</p><p>da expressão ).</p><p>5. Considere o gráfico da função a baixo e indique:</p><p>a) O domínio da função.</p><p>b) O contradomínio da função.</p><p>c) Os zeros da função.</p><p>d) A ordenada na origem.</p><p>e) As coordenadas de vértice.</p><p>f) Equação do eixo de simetria.</p><p>g) Para que valores de a função</p><p>é:</p><p>i) Crescente</p><p>ii) Decrescente</p><p>h) Resolva graficamente:</p><p>i)</p><p>ii)</p><p>6. Esboce o gráfico das funções abaixo:</p><p>a) – b) –</p><p>c) d) – –</p><p>e) – f) –</p><p>7. Dadas as funções quadráticas: e . Determine:</p><p>a) As coordenadas dos vértices de cada uma das funções.</p><p>b) Eixo de simetria</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>28</p><p>c) Escreva cada função definida acima na forma .</p><p>d) Identifica o contradomínio.</p><p>e) Estude a variação de sinal</p><p>f) Esboce o gráfico das funções</p><p>8. Dadas as funções quadráticas: ; e .</p><p>Determina:</p><p>a) Zeros</p><p>b) Coordenadas de vértice</p><p>c) Ordenada na origem</p><p>d) Estude a variação do sinal de cada uma</p><p>e) Indica concavidade de cada uma.</p><p>f) Estude a variação</p><p>da função.</p><p>g) Constrói os gráficos correspondentes.</p><p>9. Determine o (s) valor (s) do parâmetro de modo que a função: – tenha:</p><p>a) Duas raízes Reais;</p><p>b) Uma raiz.</p><p>10. Determine o valor de de modo que a função tenha uma e única raiz.</p><p>11. Seja dada a função – , em que e . Calcule e o</p><p>valor da expressão</p><p>12. A função quadrática – – – Está definida quando:</p><p>a) b) c) d)</p><p>13. A parábola da função passa pelo ponto (1,0). Então a + b + c é igual a:</p><p>a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) Nenhuma das alternativas</p><p>14. Para que valores é positiva</p><p>a) Para b) Para .</p><p>c) Para d) Para .</p><p>15. Dada a função – , tem um valor:</p><p>a) Mínimo, igual a – 16, para b) Mínimo, igual a 16, para x = – 12</p><p>c) Máximo, igual a 56, para x = 6 d) Máximo, igual a 72, para x = 12</p><p>e) Máximo, igual a 240, para x = 20</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>29</p><p>16. Considerando-se a função real , o valor mínimo desta função é:</p><p>a) 1 b) - 3 c) 4 d) -1 e) 14</p><p>17. Em relação ao gráfico da função – – , Pode se afirmar que:</p><p>a) É uma parábola de concavidade voltada para cima;</p><p>b) Seu vértice é o ponto</p><p>c) Intercepta o eixo das abscissas em – e</p><p>d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas;</p><p>e) Intercepta o eixo das ordenadas em</p><p>18. Considere a função definida por para todo real. É incorreto afirmar</p><p>que:</p><p>a) O vértice do gráfico da função é</p><p>b) A função é negativa para todos os valores de pertencentes ao intervalo [ ]</p><p>c) O contradomínio da função é o intervalo [ [.</p><p>d) A intersecção da recta de equação com o gráfico de são os pontos e .</p><p>e) Todas as raízes da função são números inteiros</p><p>19. Dadas as funções ao lado, determina:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) Os valores de para os quais é crescente.</p><p>d) As coordenadas do vértice de .</p><p>e) A expressão analítica de .</p><p>20. Um futebolista chutou uma bola que se</p><p>encontrava parada no chão e ela descreveu uma</p><p>trajectória parabólica, indo tocar o solo</p><p>adiante, como mostra a figura. Se, a 10 m do</p><p>ponto de partida, a bola atingiu a altura de 7,5 m,</p><p>então a altura máxima, em metros, atingida por</p><p>ela, foi de:</p><p>a) 12 b) 10 c) 9,2 d) 8,5 e) 8</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>30</p><p>21. O saldo de uma conta bancária é dado por – , Onde S é o saldo em</p><p>meticais e t é o tempo em dias. Determine:</p><p>a) Em que dias o saldo é zero;</p><p>b) Em que período o saldo é negativo;</p><p>c) Em que período o saldo é positivo;</p><p>22. Em cada uma das funções abaixo, ache o vértice, o eixo de simetria do gráfico e classifique o</p><p>vértice como um ponto máximo ou mínimo da função dada.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>23. Considere as funções e .</p><p>a) Represente as no mesmo sistema cartesiano ortogonal.</p><p>b) A partir da figura resolva</p><p>c) Qual é o contradomínio de ?</p><p>d) Para que valores de , ?</p><p>24. Determina as expressões analíticas das seguintes funções:</p><p>a) c)</p><p>a) d)</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>31</p><p>UNIDADE TEMÁTICA V : INEQUAÇÃO QUADRÁTICA</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Inequações Quadráticas - Definição</p><p>Inequação quadrática é uma expressão do segundo grau com uma variável, representada na</p><p>forma: , onde a, b, c são</p><p>números reais com .</p><p>Exemplos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>1.2. Resolução de inequações quadráticas</p><p>1.2.1. Método gráfico</p><p>Para resolver uma inequação quadrática pelo método gráfico, devemos estudar o sinal de cada</p><p>função correspondente à inequação.</p><p>Exemplos:</p><p>Seja dada a inequação: , resolva-a graficamente.</p><p>(1) Formar a função correspondente a inequação:</p><p>(2) Determinar os zeros da função:</p><p>√</p><p>(3) Fazer o esboço do gráfico da função e analisar da variação do sinal.</p><p>(4) A partir do gráfico, extrair a solução da inequação.</p><p>S:    2 2x ; ;    </p><p>1.2.2. Método analítico</p><p>Para resolver uma inequação quadrática pelo método analítico, devemos estudar o sinal do</p><p>produto de factores de cada função correspondente à inequação.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>32</p><p>Exemplos:</p><p>Seja dada a inequação: , resolva-a.</p><p>(1) Transformar a inequação numa equação correspondente:</p><p>(2) Determinar as raízes da equação e factoriza-la;</p><p>(3) Representar a inequação na forma factorizada;</p><p>(4) Fazer a tabela da variação dos sinais e a análise do sinal do produto dos factores;</p><p>x  2;  -2  2 2; 2  2;  -4  0   0  4   0  0 </p><p>(5) A partir da tabela, extrair a solução da inequação.</p><p>S:    2 2x ; ;    </p><p>1.3. Resolução de problemas envolvendo inequações quadráticas</p><p>Tal como na resolução de outro tipo de problemas, para resolver problemas que envolvem</p><p>inequações quadráticas pode seguir o seguinte procedimento:</p><p> 1.º - Identificar a incógnita e os dados do problema;</p><p> 2.º - Traduzir o problema em linguagem matemática (que, neste caso, dará origem a uma</p><p>inequação quadrática);</p><p> 3.º - Resolver a inequação quadrática obtida;</p><p> 4.º - Interpretar o resultado de acordo com o contexto do problema;</p><p> 5.º - Dar resposta ao problema.</p><p>Exemplo:</p><p>Considere o seguinte problema:</p><p>A multiplicação de dois números inteiros quaisquer e consecutivos, não deve exceder 20.</p><p>Determine esses números.</p><p>Resolução</p><p>1. Incógnita: x</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>33</p><p>Seja x o primeiro número e 1x  o segundo número.</p><p>2. Tradução do problema:</p><p>A sua multiplicação resulta em: ( 1)x x  ;</p><p>Para não exceder o 20, temos: 2( 1) 20 20 0x x x x     </p><p>3. Resolução:</p><p>Usando o método gráfico.</p><p>2 20 0x x   , primeiro determina-se as raízes da equação quadrática correspondente.</p><p>2 20 0 ( 5)( 4) 0 5 0 4 0 5 4x x x x x x x x                 </p><p>A partir das raízes esboça-se o gráfico</p><p>Como  0 1a a  , logo a parábola está voltada para cima.</p><p>A partir do gráfico pode-se concluir que  5,4x   .</p><p>Resposta: Os números inteiros consecutivos, pretendidos estão pertencem ao intervalo  5,4 ,</p><p>portanto, são -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e 4.</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Resolva graficamente as seguintes inequações:</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>e) f)</p><p>2. Seja dada a função .</p><p>a) Determina os zeros de .</p><p>b) Determina o sinal de , e .</p><p>c) Represente graficamente a função.</p><p>d) Resolva graficamente:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>34</p><p>i.</p><p>ii.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>35</p><p>UNIDADE TEMÁTICA VI : FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Função exponencial</p><p>Chama-se função exponencial de base a a uma função definida pela expressão na forma , com , .</p><p>Exemplos:</p><p>) ( ) 3 ; 3x</p><p>a f x a </p><p>2 2</p><p>b) ( ) ;</p><p>3 3</p><p>x</p><p>f x a</p><p>   </p><p> </p><p>c) ( ) ( 7) ; 7x</p><p>f x a </p><p>1.2. Gráfico da função exponencial</p><p>Para construir o gráfico de uma função exponencial ( ) x</p><p>f x a , constrói-se uma tabela de valores,</p><p>onde uma das colunas é de x e a outra é de y e, de seguida representam-se os pares ordenados</p><p>no S.C.O. Ao unir os pontos representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função como nos</p><p>exemplos que se seguem:</p><p>Função exponencial ( ( ) x</p><p>f x a )</p><p>0 1a </p><p>Função exponencial ( ( ) x</p><p>f x a )</p><p>1a </p><p>Ex:</p><p>1</p><p>( )</p><p>2</p><p>x</p><p>f x</p><p>   </p><p> </p><p>; a função é decrescente</p><p>Ex: ( ) 2x</p><p>f x  ; a função é crescente</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4</p><p>x y</p><p>-3 8</p><p>-2 4</p><p>-1 2</p><p>0 1</p><p>1 0.5</p><p>2 0.25</p><p>3 0.125</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>x y</p><p>-3 0.125</p><p>-2 0.25</p><p>-1 0.5</p><p>0 1</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>3 8</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>36</p><p>1.3. Gráfico da função</p><p>Para construir o gráfico de uma função exponencial ( ) x b</p><p>f x a</p><p> , constrói-se uma tabela de</p><p>valores, onde uma das colunas é de x e a outra é de y e, de seguida representam-se os pares</p><p>ordenados no S.C.O. Ao unir os pontos representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função</p><p>como nos exemplos que se seguem:</p><p>Esquerda se 0b  ( ( ) x b</p><p>f x a</p><p> ) Direita se 0b  ( ( ) x b</p><p>f x a</p><p> )</p><p>Ex: Considere ( ) 2x</p><p>f x  e 1g( ) 2x</p><p>x</p><p></p><p>Ex: Considere ( ) 2x</p><p>f x  e 1g( ) 2x</p><p>x</p><p></p><p>Observando os gráficos acima, pode-se concluir que:</p><p> O domínio para as duas funções é: ;</p><p> O contradomínio para as duas funções é: ;</p><p> Se 0 1a  , a função é decrescente;</p><p> Se , a função é crescente;</p><p> O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada .</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4</p><p>Observando os gráficos acima, pode-se concluir que:</p><p> O domínio para as duas funções é: ;</p><p> O contradomínio para as duas funções é: ;</p><p> Se 0 1a  , a função é decrescente;</p><p> Se 1a  , a função é crescente;</p><p> A função não tem zeros;</p><p> O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 1 isto é (0) 1f </p><p> Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação</p><p> A função é positiva em todo domínio;</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>37</p><p> Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação</p><p> A função é positiva em todo o seu domínio;</p><p> Em geral o gráfico da função ( ) x b</p><p>f x a</p><p> obtêm-se a partir do gráfico da função ( ) x</p><p>f x a</p><p>através de uma translação horizontal em b unidades para:</p><p> Direita se b</p><p> Esquerda se b</p><p>1.4. Estudo da função</p><p>Considera uma função f definida por . Como se obtém o gráfico da função do tipo</p><p>a partir do gráfico de f ?</p><p> Se , o gráfico desloca-se para cima unidades, se o gráfico desloca-se para</p><p>baixo unidades.</p><p> O domínio da função é e o contradomínio é ] [</p><p> Se , a função é crescente; se , a função é decrescente.</p><p> O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada .</p><p> A equação da assimptota é .</p><p>Para cima se ( ) Para baixo se ( )</p><p>Considere as funções e</p><p>Considere as funções e</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>38</p><p>Observando os gráficos acima, pode-se concluir que:</p><p> O domínio para as duas funções é: ;</p><p> O contradomínio para as duas funções é: ] [;</p><p> O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada .</p><p> Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação</p><p> Em geral o gráfico da função Obtêm-se a partir do gráfico da função</p><p>( ) x</p><p>f x a através de uma translação vertical em C unidades para:</p><p> Cima se</p><p> Baixo se</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Construir os gráficos das funções exponenciais:</p><p>a) b) ( )</p><p>c) d)</p><p>2. Dos gráficos a baixo, indique os são funções exponenciais:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>39</p><p>3. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada</p><p>abaixo como crescente ou decrescente</p><p>a. b. ( )</p><p>c.</p><p>d.</p><p>4. Dadas as funções: , ,</p><p>a) Represente – as no mesmo SCO.</p><p>b) Determine: Domínio, contradomínio, zeros, monotonia e o ponto de intercepção dos</p><p>gráficos.</p><p>5. Dado o gráfico ao lado, determine:</p><p>a) A (s) raiz (es).</p><p>b) Ordenada na origem.</p><p>c) Estude a variação do sinal da função.</p><p>d) Estude a variação da função (monotonia).</p><p>e) Equação da assimptota horizontal.</p><p>6. Determinar os valores de para cada caso</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>d. ( )</p><p>e. ( )</p><p>f.</p><p>7. Dadas as funções ao lado, determine:</p><p>a) Os valores de para os quais .</p><p>b) Os valores de para os quais</p><p>c) Os valores de para os quais .</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>40</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>41</p><p>UNIDADE TEMÁTICA VII : LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Logaritmo – Definição</p><p>Chamamos de logaritmo de na base , representado por , o valor , tal que elevado</p><p>a seja igual a . Por exemplo, ao escrevermos (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos</p><p>procurando o número que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8. , pois .</p><p>No geral: , pois</p><p>Onde:</p><p> – logaritmando, ;</p><p> – base; ; ( a \ { 1 }</p><p> – é o logaritmo.</p><p>Exemplos</p><p>a) , pois b) , pois</p><p>c) , pois d) , pois</p><p>1.2. Propriedades dos logaritmos</p><p>Propriedades Exemplos</p><p>( ) ( )</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>42</p><p>√ √</p><p>1.3. Funções logarítmicas</p><p>Chama-se função logarítmica à função , definida por ,onde é</p><p>a base da função, x .</p><p>Exemplos:</p><p>  </p><p>1.3.1. Gráficos das funções logarítmicas</p><p>Para construir o gráfico de uma função logarítmica , constrói-se uma tabela de valores</p><p>da função , em seguida troca-se a ordem dos pares, o que era domínio para contradomínio</p><p>e vice-versa. De seguida representam-se os pares ordenados no S.C.O. Ao unir os pontos</p><p>representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função como nos exemplos que se seguem:</p><p>Função exponencial Função logarítmica</p><p>-3 0,125</p><p>-2 0,25</p><p>-1 0,5</p><p>0 1</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>3 8</p><p>0,125 -3</p><p>0,25 -2</p><p>0,5 -1</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>4 2</p><p>8 3</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>43</p><p>1.4. Representação gráfica da função logarítmica e a partir</p><p>da função</p><p>Para construir os gráficos das funções e a partir da função primeiro faz-se a tabela de valores da função , em seguida constrói-se o</p><p>gráfico desta.</p><p> Por translação vertical em b unidades obtém-se o gráfico de</p><p>i. Para cima se .</p><p>ii. Para baixo se .</p><p> Por uma translação horizontal em c unidades obtém-se o gráfico de</p><p>i. Para esquerda se .</p><p>ii. Para direita se .</p><p>Função logarítmica 0 1a  Função logarítmica 1a </p><p>A função é decrescente</p><p>A função é crescente</p><p>Observando os gráficos acima, pode-se concluir que:</p><p> O domínio para as duas</p><p>funções é: ;</p><p> O contradomínio para as duas funções é: ;</p><p> Se 0 1a  , a função é decrescente;</p><p> Se 1a  , a função é crescente;</p><p> Zero da função: ;</p><p> Os gráfico não intersectam o eixo das ordenadas, isto é, tem como assimptota o</p><p>eixo das ordenadas cuja a equação é:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>44</p><p>Nota: A traslação vertical o corre quando o valor da constante b estiver fora de (parêntesis) e</p><p>horizontal quando o valor da constate c estiver dentro de (parêntesis).</p><p>Exemplo:</p><p>Sejam dadas as funções , e represente no</p><p>mesmo SC.</p><p>Função do tipo: Função do tipo:</p><p>Observando o gráfico da função , pode-se concluir que:</p><p> O domínio da função é: ;</p><p> O contradomínio é: ;</p><p> A função é decrescente;</p><p> Zero da função:</p><p> O gráfico não intersecta( m ) o eixo</p><p>das ordenadas, isto é, tem como</p><p>assimptota o eixo das ordenadas</p><p>cuja a equação é:</p><p>Observando o gráfico , pode-</p><p>se concluir que:</p><p> O domínio da função é: ] [;</p><p> O contradomínio é: ;</p><p> A função é crescente;</p><p> Zero da função: ;</p><p>O gráfico tem como assimptota o eixo cuja a</p><p>equação é:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>45</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Dos gráficos a baixo, indique os que são funções logarítmicas:</p><p>a) c)</p><p>b) d)</p><p>2. Calcule:</p><p>a. b. c.</p><p>d. e. √ f.</p><p>g. h. √ i.</p><p>j. k. l.</p><p>m. ( )</p><p>n. √</p><p>3. Dadas as funções a baixo, classifique em crescente e decrescente:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>46</p><p>a. b.</p><p>c. d.</p><p>4. Dado o gráfico ao lado, determine:</p><p>a) A (s) raiz (es).</p><p>b) Ordenada na origem.</p><p>c) Estude a variação do sinal da função.</p><p>d) Estude a variação da função (monotonia).</p><p>e) Equação da assimptota vertical.</p><p>5. Dadas as funções ao lado, determine:</p><p>a) Os valores de para os quais .</p><p>b) Os valores de para os quais .</p><p>c) Os valores de para os quais .</p><p>6. Observa a figura.</p><p>a) Qual é o domínio da função f(x)?</p><p>Resolva graficamente:</p><p>b) .</p><p>c)    f x g x .</p><p>d) .</p><p>e) Determine a expressão analítica da função g(x).</p><p>7. Observa a figura.</p><p>a) Qual é o domínio da função ?</p><p>Resolva graficamente:</p><p>b) .</p><p>c) .</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>47</p><p>d) .</p><p>e) Determine a expressão analítica da função h(x).</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>48</p><p>UNIDADE TEMÁTICA VIII : TRIGONOMETRIA</p><p>I. RESUMO</p><p>A Trigonometria é o ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos ângulos e</p><p>as medidas dos lados de um triângulo. A palavra trigonometria deriva das palavras gregas tri</p><p>(três), gonos (ângulos) e metron (medir). Nesta secção vamos começar por recordar teorema</p><p>de Pitágoras e semelhança de triângulos.</p><p>1.1. Teorema de Pitágoras</p><p>O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo rectângulo. Essa figura</p><p>geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado ângulo recto.</p><p>O enunciado desse teorema é: A soma dos quadrados de seus</p><p>catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa.</p><p>Fórmula:</p><p>A hipotenusa é o maior lado de um triângulo rectângulo e o lado</p><p>oposto ao ângulo recto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois</p><p>lados tem medida igual a 90º (ângulo recto).</p><p>1.2. Semelhança de triângulos</p><p>A Viana tirou uma fotografia tipo passe para um documento. Depois mandou reproduzir a mesma</p><p>foto em A4 para colocar no seu álbum e outra em A3 para colar no seu quarto. As três fotos são</p><p>parecidas diferindo apenas no tamanho. Elas são semelhantes. As duas fotos tipo passe que a</p><p>Viana recebeu do fotógrafo são iguais.</p><p>Dada a figura:</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>49</p><p>Observe que na figura, os triângulos OCD e OEF são uma ampliação do triângulo OAB. Também</p><p>se pode dizer que o triângulo OCD é uma redução do triângulo OEF. Eles são triângulos</p><p>rectângulos, têm a mesma forma e por isso dizem-se semelhantes.</p><p>Lembre-se que:</p><p> Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são</p><p>semelhantes; isto é: Se ̂ ̂ e ̂ ̂ então .</p><p> Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então eles são</p><p>semelhantes; isto é:</p><p>̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , logo .</p><p> Se dois triângulos têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual, então</p><p>eles são semelhantes; ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ e ̂ ̂ logo .</p><p>1.3. Razões trigonométricas de um ângulo agudo</p><p>Observa o triângulo [ ].</p><p>Catetos: lados e</p><p>Hipotenusa: lado</p><p>α, β e γ são os ângulos internos do triângulo.</p><p>Soma dos ângulos internos de um triângulo:</p><p>Ângulos complementares são aqueles cuja a soma é igual a 90º:</p><p>Ângulos suplementares são aqueles cuja a soma é igual a 180º.</p><p>Considerando o triângulo rectângulo dado, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:</p><p></p><p></p><p></p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>50</p><p></p><p>1.4. Identidade fundamental da trigonometria</p><p>1. Considerando o Teorema de Pitágoras .Se dividirmos ambos membros</p><p>por , teremos:</p><p>fórmula fundamental da trigonometria.</p><p>2. Se dividirmos ambos membros por teremos</p><p>portanto da mesma maneira podemos ter</p><p>1.5. Razões trigonométricas de ângulos especiais:</p><p>Aplicando as difinições das razões trigonometricas já conhecidas, obtemos os valores das razões</p><p>trigonométricas correspodentes aos ângulos: .</p><p>1.6. Relação entre as razões trigonométricas</p><p>√</p><p>√ √</p><p>√</p><p>√</p><p>√</p><p>√ √</p><p>𝐜𝐨𝐬𝛂 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟐</p><p>𝐭𝐠𝛂 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶</p><p>𝐜𝐨𝐭𝐠𝛂 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒆𝒏𝜶</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>51</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Determine:</p><p>a) O comprimento do lado ̅̅ ̅̅ .</p><p>b) O comprimento de lado ̅̅̅̅ . √ √</p><p>c) √ √</p><p>d) √ √</p><p>2. Sabendo que determine o valor de , e</p><p>a) ( ) √</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>52</p><p>2. Nas figuras abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcule o valor de em cada figura.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>3. Calcule :</p><p>4. Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos.</p><p>a)</p><p>4</p><p>3</p><p>b)</p><p>6</p><p>7</p><p>c)</p><p>6</p><p></p><p> d)</p><p>3</p><p>16</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>53</p><p>e) f)</p><p>3</p><p>2</p><p>g)</p><p>4</p><p>7</p><p>5. Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus.</p><p>a) 30 b) 300º c) 1080º d) 135º</p><p>e) 330º f) 20º g) 150º</p><p>6. Indique no circulo trigonométrico em que quadrante pertence cada um dos seguintes arcos:</p><p>a)</p><p>6</p><p>5</p><p>b)</p><p>5</p><p>6</p><p>c)</p><p>4</p><p></p><p> d)</p><p>7</p><p>3</p><p></p><p>7. Calcular os catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos</p><p>mede 60º.</p><p>8. No triângulo rectângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas.</p><p>(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)</p><p>9. Considerando o triângulo rectângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.</p><p>(Sen 60° = 0,866)</p><p>10. Sabe-se que, em um triângulo rectângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm.</p><p>Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.</p><p>11. Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:</p><p>a) b) c)</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>54</p><p>12. Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3.</p><p>13. Encontre e :</p><p>a)</p><p>b)</p><p>14. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º . Calcula a altura em que se encontra o avião</p><p>depois de percorrer 8 km.</p><p>15. Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º, calcule a medida da altura de um</p><p>triângulo equilátero de lado 20 cm.</p><p>16. Sabendo que é um arco do primeiro quadrante e que , determine e .</p><p>17. Calcule o valor de:</p><p>a) sen 150o b) sen 120o c) sen 300o d) sen 270o</p><p>e) cos 150o f) cos 120o g) cos 300o h) cos 270o</p><p>i) tg 150o j) tg 120o k) tg 300o l) tg 270o</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>55</p><p>UNIDADE TEMÁTICA IX : ESTATÍSTICA</p><p>I. RESUMO</p><p>1.1. Revisão sobre os conceitos básicos de estatística descritiva</p><p>A estatística é ramo da Matemática que tem como objectivo obter, organizar e fazer análise</p><p>numérica das informações.</p><p>População ou universo estatístico é uma colecção de seres com alguma característica comum.</p><p>Por exemplo:</p><p> Todos os alunos de uma determinada escola;</p><p> Conjunto dos números racionais.</p><p>Amostra é conjunto finito da população que seja representativo desta.</p><p>Variável estatística ou Carácter estatístico é uma propriedade que permite caracterizar os</p><p>indivíduos de uma população.</p><p>As variáveis estatísticas podem ser: Qualitativas (não mensuráveis) e quantitativas (mensuráveis).</p><p>Qualitativas ou nominais (não mensuráveis): Que não se podem medir.</p><p>Exemplo: A cor dos olhos, profissão, cor dos cabelos, etc.</p><p>As variáveis estatísticas qualitativas podem estabelecer-se diferenças que se chamam de</p><p>modalidades.</p><p>Por exemplo: Na variável qualitativa “profissão”, podem-se considerar modalidades: professor,</p><p>médico, electricista, mecânico, etc.</p><p>Quantitativas ou numéricas (mensuráveis): Que se podem medir.</p><p>Exemplo:</p><p>Temperatura, altura, idade, etc.</p><p>As variáveis quantitativas podem ser discretas ou continuas.</p><p>Discretas quando não podem tomar todos valores de um determinado intervalo real.</p><p>Exemplo:</p><p>Número de filhos de uma mãe, número de golos marcados num jogo de futebol.</p><p>Continuas quando pode tomar quaisquer valores de um determinado intervalo real.</p><p>Exemplo:</p><p> Altura dos alunos de uma turma da 9ª classe;</p><p> As temperaturas registadas num determinado lugar durante um dia.</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>56</p><p>Resumindo: Variáveis{ ,</p><p>1.2. Recolha e organização de dados</p><p>Um estudo estatístico envolve a recolha, organização e análise dos dados. A análise e</p><p>interpretação dos dados permite fazer previsões e tomar decisões.</p><p>1.3. Frequência absoluta, relativa percentual e acumuladas</p><p>Para organizar dados e fazer a respectiva análise, usam-se tabelas e gráficas.</p><p>Exemplo:</p><p>O número de golos obtidos numa jornada de futebol no moçambola 2021 foi o seguinte:</p><p>Vamos organizar esses dados numa tabela de frequências:</p><p>Nº de</p><p>golos</p><p>Frequência</p><p>absoluta ( )</p><p>Frequência relativa ( )</p><p>Frequência</p><p>Absoluta</p><p>acumulada (F)</p><p>Frequência</p><p>relativa</p><p>Acumulada</p><p>0 5</p><p>5</p><p>1 4</p><p>9</p><p>2 7</p><p>16</p><p>3 4</p><p>20 1,00</p><p>n=20 _____ _____</p><p>2 3 2 0 2 3 1 0 1 2</p><p>3 0 1 1 2 0 3 2 2 0</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>57</p><p>1.4. Gráficos de barras</p><p>1.5. Medidas de tendência central</p><p>1.5.1. Média Aritmética</p><p>Sendo , n valores de uma variável quantitativa, chama-se media ao valor que se</p><p>obtém pela fórmula: ̅</p><p>1.5.2. Moda</p><p>Chama-se moda, de um conjunto de n valores, de uma variável estatística, ao valor</p><p>que ocorre com maior frequência.</p><p>1.5.3. Mediana</p><p>Sejam , n dados estatísticos ordenados do menor para o maior e vice-versa,</p><p>chama-se mediana ao valor que ocupa a posição central.</p><p>Considerando o exemplo dado sobre número de golos obtidos numa jornada de futebol no</p><p>Moçambola 2021:</p><p>2 3 2 0 2 3 1 0 1 2</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>58</p><p>Vamos calcular:</p><p>a) A média ̅</p><p>̅</p><p>Logo em média marcou-se 2 golos.</p><p>b) Moda</p><p>Verificando os dados, podemos concluir que a moda é 2 pois é o valor que ocorre com maior</p><p>frequência.</p><p>c) Mediana</p><p>Colocando de forma crescente os dados teremos:</p><p>0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3</p><p>Podemos notar que o valor central é formado por dois números (2 2) sendo assim temos que</p><p>somar os dois números e dividir por 2, ou seja:</p><p>Logo a mediana é 2.</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores: idade,</p><p>classe, sexo, local de estudo, classificação obtida na última prova de Matemática e</p><p>quantidade de livros que possui.</p><p>a) Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?</p><p>b) Das variáveis quantitativas, diga quais são discretas?</p><p>2. As notas do João em cinco testes de Matemática foram as seguintes: 15, 16, 13, 15, 11.</p><p>a) Qual é a moda das notas?</p><p>3 0 1 1 2 0 3 2 2 0</p><p>Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES</p><p>59</p><p>b) Calcule a média aritmética das notas.</p><p>c) Qual deve ser a nota do sexto teste para que a média suba em 1 valor?</p><p>3. Na Cidade da Maxixe, fez-se um levantamento do número de pessoas de cada agregado</p><p>familiar. Num dos bairros obteve-se os seguintes resultados:</p><p>5 2 4 4 3 5 1 5 5 6 3 3 4 4 5 6 6 4 2 3</p><p>a) Construa uma tabela de frequências de acordo com os dados.</p><p>b) Determine:</p><p>iii. A média das pessoas de cada agregado familiar;</p><p>iv. . A mediana;</p><p>v. A moda.</p><p>4. Determine para cada um dos conjuntos de números seguintes, o valor de , de modo que a</p><p>média seja 7.</p><p>a) 8 7 3 14</p><p>b) 4 2 6 10 8 1</p><p>5. O gráfico mostra a distribuição</p>