Função de Duas Variáveis - Versão 18 de Outubro de 2021

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<p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>1</p><p>FUNÇÃO DE</p><p>DUAS</p><p>VARIÁVEIS</p><p>Nos cursos iniciais de Cálculo trabalhamos</p><p>apenas com funções de apenas uma variável</p><p>𝑦 = 𝑓(𝑥) . Podemos ampliar este conceito</p><p>considerando situações em que uma grandeza</p><p>depende de várias outras e estender para tais</p><p>funções os conceitos de limite, derivada e</p><p>integral.</p><p>.</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>.</p><p>Por exemplo:</p><p>• A área de um retângulo de base 𝑥 e altura 𝑦</p><p>é uma função de 𝑥 e 𝑦 dada por:</p><p>𝑨 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚</p><p>• O volume de um paralelepípedo de arestas</p><p>medindo 𝑥, 𝑦 e 𝑧 é uma função das três</p><p>variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧, dada por:</p><p>𝑽 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚𝒛</p><p>Agora, daremos início ao estudo de funções de</p><p>várias variáveis. Daremos ênfase às funções de</p><p>duas variáveis, estendendo os conceitos e</p><p>resultados para três variáveis, quando for o caso.</p><p>.</p><p>• O volume V de um gás ideal depende da</p><p>temperatura T, do número de moles n, da</p><p>pressão P e da constante universal dos gases</p><p>perfeitos R:</p><p>V = 𝒏𝑹</p><p>𝑻</p><p>𝑷</p><p>Uma função 𝒇 de duas variáveis é uma regra que</p><p>associa, a cada par ordenado de números reais</p><p>(x,y) de um conjunto D, um único valor real</p><p>denotado por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). O conjunto D é o</p><p>domínio de 𝑓, e sua imagem, o conjunto de</p><p>valores possíveis de 𝑓 , ou seja,</p><p>{𝑓(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦)  𝐷}.</p><p>.</p><p>Na notação 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), temos que 𝑥 e 𝑦 são as</p><p>variáveis independentes e 𝑧 é a variável</p><p>dependente.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>x</p><p>y</p><p>z0</p><p>(x,y)</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦)</p><p>𝑓</p><p>Em uma função de duas variáveis temos que o</p><p>domínio é um subconjunto de 𝑅2 e a imagem é</p><p>um subconjunto de 𝑅.</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>2</p><p>Se uma função 𝑓 é dada por sua fórmula e seu</p><p>domínio não é mencionado, então fica</p><p>subentendido que o domínio de 𝑓 é o conjunto</p><p>de todos os pares de valores (𝑥, 𝑦) para os quais</p><p>a fórmula dada fornece um número real bem</p><p>definido.</p><p>Se 𝑓: 𝐷 𝑅2→ 𝑅 e (𝑎, 𝑏)  𝐷 , dizemos que</p><p>𝑓(𝑎, 𝑏) é a imagem do elemento (𝑎, 𝑏).</p><p>.</p><p>1) Determine o domínio de cada uma das</p><p>seguintes funções:</p><p>x y 1</p><p>a) f(x,y)</p><p>x y</p><p>+ +</p><p>=</p><p>−</p><p>( )= −2b) f(x,y) x ln y x</p><p>( )=  + +  2D { x,y R ; x y 1 0 e x y}</p><p>( )=  2 2D { x,y R ; x y }</p><p>= − −2 2c) g(x,y) 9 x y</p><p>= +2 2d) h(x,y) 4x y</p><p>( )=  + 2 2 2D { x,y R ; x y 9}</p><p>2D R=</p><p>( )= −e) f(x,y) arccos x y</p><p>( )=  −  − 2D { x,y R ; 1 x y 1}</p><p>GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>As curvas de nível de uma função 𝑓 de duas</p><p>variáveis são aquelas com equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘,</p><p>sendo 𝑘 uma constante na imagem de 𝑓.</p><p>.</p><p>Uma curva de nível 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 é o conjunto de</p><p>todos os pontos do domínio de 𝑓 nos quais o</p><p>valor de 𝑓 é 𝑘.</p><p>Um método para representar geometricamente</p><p>uma função de duas variáveis é semelhante ao</p><p>da representação de uma paisagem</p><p>tridimensional por meio de um mapa</p><p>topográfico bidimensional . Isto é feito através</p><p>das chamadas curvas de nível, descritas a seguir.</p><p>FONTE: http://www.unitins.br/ates/arquivos/outros/Cartografia</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>3</p><p>2) Esboce o gráfico das curvas de nível de cada</p><p>uma das funções para os valores de k indicados:</p><p>= − − = − −a) f(x,y) 1 x y; k 2, 1,0,1,2</p><p>= + =2 2b) g(x,y) x y ; k 0,1,2,3,4</p><p>= − = − −2c) h(x,y) 1 y ; k 2, 1,0,1</p><p>= − = − −2 2d) h(x,y) x y ; k 2, 1,0,1</p><p>Exemplo a</p><p>− − − − − − − − − −  </p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>Exemplo b</p><p>− − − − − − − − − − − −   </p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>Exemplo c</p><p>− − − − − − − − − − − − − −   </p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>Exemplo d</p><p>3) Para esboçar o gráfico das funções abaixo,</p><p>determine o domínio, determine e trace as</p><p>interseções da superfície com os planos</p><p>coordenados, determine e trace as curvas de</p><p>nível.</p><p>= − −2 2a) f(x,y) 16 x y</p><p>= 2b) g(x,y) x</p><p>= − −c) h(x,y) 8 2x 4y</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>4</p><p>Seja 𝑓 uma função de duas variáveis de domínio</p><p>𝐷. A derivada parcial de 1a. ordem de 𝒇 em</p><p>relação a 𝒙 é a função que associa da cada</p><p>(𝑥, 𝑦)  𝐷 o número dado por</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝑥, 𝑦 = lim</p><p>Δ𝑥→0</p><p>𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)</p><p>Δ𝑥</p><p>desde que o limite exista.</p><p>DERIVADAS PARCIAIS A derivada parcial de 1a. ordem de 𝒇 em relação</p><p>a 𝒚 é a função que associa da cada (𝑥, 𝑦)  𝐷 o</p><p>número dado por</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑥, 𝑦 = lim</p><p>Δ𝑦→0</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)</p><p>Δ𝑦</p><p>desde que o limite exista.</p><p>( )</p><p>x x</p><p>f</p><p>A derivada x,y também é representada por</p><p>x</p><p>f</p><p>; D f(x,y); f (x,y).</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>( )</p><p>y y</p><p>f</p><p>A derivada x,y também é representada por</p><p>y</p><p>f</p><p>; D f(x,y); f (x,y).</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo: Calcule as derivadas parciais de f,</p><p>em relação a x e em relação a y, sendo</p><p>f(x,y) = 2x2y + 3xy2 – 4x.</p><p>( ) 2f</p><p>x,y 4xy 3y 4</p><p>x</p><p></p><p>= + −</p><p></p><p>( ) 2f</p><p>x,y 2x 6xy</p><p>y</p><p></p><p>= +</p><p></p><p>O que você pode concluir?</p><p>Você poderia estabelecer uma regra prática para o</p><p>cálculo das derivadas parciais?</p><p>Na prática, podemos obter as derivadas parciais</p><p>usando as regras de derivação das funções de uma</p><p>f</p><p>variável. Para calcular mantemos o y constante</p><p>x</p><p>f</p><p>e para calcular mantemos o x constante.</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2Por exemplo, se f(x,y) 2x y 3xy 4x, então= + −</p><p>( ) 2f</p><p>x,y 4xy 3y 4</p><p>x</p><p></p><p>= + −</p><p></p><p>( ) 2f</p><p>x,y 2x 6xy</p><p>y</p><p></p><p>= +</p><p></p><p>4) Calcule as derivadas parciais de primeira</p><p>ordem das seguintes funções:</p><p>2 2a) f(x,y) x y xy xy= + +</p><p>( )b) f(x,y) sen 2x y= +</p><p>2 2c) f(x,y) x y 2= + −</p><p>2x yd) f(x,y) e=</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>5</p><p>As derivadas parciais de f em (a,b) são os coeficientes</p><p>angulares das retas tangentes (T1 e T2) às curvas C1 e C2 no</p><p>ponto (a,b,c).</p><p>Figura 1</p><p>FONTE: STEWART, J. Cálculo, volume 2, 2007.</p><p>Uma das ideias mais importantes em cálculo de funções</p><p>com uma única variável é que, à medida que ampliamos o</p><p>gráfico de uma função diferenciável perto de um ponto,</p><p>esse gráfico vai se tornando indistinguível de sua reta</p><p>tangente, e podemos aproximar a função por uma função</p><p>linear.</p><p>Ideia semelhante pode ser desenvolvida para três</p><p>dimensões. À medida que vamos nos aproximando de</p><p>um ponto pertencente à uma superfície, que é o gráfico</p><p>de uma função diferenciável de duas variáveis, a</p><p>superfície parece mais e mais com um plano (seu plano</p><p>tangente) e podemos aproximar a função, nas</p><p>proximidades do ponto, por uma função linear de duas</p><p>variáveis.</p><p>FONTE: STEWART, J. Cálculo, volume 2, 2007.</p><p>PLANO TANGENTE E RETA NORMAL Seja S uma superfície que tem equação z = f(x,y),</p><p>onde f tem derivadas parciais de primeira ordem</p><p>contínuas e seja P(a,b,c) um ponto de S. Sejam C1</p><p>e C2 curvas obtidas pela interseção de S com os</p><p>planos verticais y = b e x = a. O ponto P pertence à</p><p>interseção de C1 com C2. Sejam T1 e T2 as retas</p><p>tangentes às curvas C1 e C2 no ponto P. O plano</p><p>tangente à superfície S no ponto P é definido</p><p>como o plano que contém as duas retas tangentes</p><p>T1 e T2.</p><p>A reta normal à superfície S no ponto P é a reta</p><p>que contém o ponto P e é perpendicular ao plano</p><p>tangente nesse ponto.</p><p>Figura 2</p><p>FONTE: MUNEM e FOULIS. Cálculo, vol. 2, 2011</p><p>Figura 3</p><p>FONTE: MUNEM e FOULIS. Cálculo, vol. 2, 2011</p><p>Seja 𝑓 uma função diferenciável no ponto (𝑎, 𝑏).</p><p>Uma equação do plano tangente ao gráfico de</p><p>𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto (𝑎, 𝑏, 𝑐) é dada por:</p><p>𝑧 – 𝑐 = 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 – 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 – 𝑏)</p><p>Equação da reta normal ao gráfico de</p><p>𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto (𝑎, 𝑏, 𝑐) é dada por:</p><p>(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) + 𝑡 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏), 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏), −1 ; t ∈ 𝑅</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>6</p><p>6) Determine a equação do plano tangente ao</p><p>parabolóide elíptico z = 2x2 + y2 no ponto (1,1,3).</p><p>7) Determine a equação do plano tangente à superfície de</p><p>equação z = xcos(y) + yex no ponto (0,0,0).</p><p>8) Determine as equações do plano tangente e da reta</p><p>normal à superfície de equação z = exln(xy) no ponto</p><p>P0(1,2).</p><p>9) Determine as equações do plano tangente e da reta</p><p>normal à superfície de equação</p><p>( )( )2 2z ln cos x y , no ponto (1,0).= +</p><p>REGRA DA CADEIA</p><p>1º Caso: Suponha 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função</p><p>diferenciável de 𝑥 e 𝑦, sendo 𝑥 = 𝑔(𝑡) e y = ℎ 𝑡</p><p>são funções diferenciáveis de 𝑡. Então 𝑧 é uma</p><p>função diferenciável de 𝑡 e</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝜕𝑡</p><p>=</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>.</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑡</p><p>+</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>.</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>Podemos escrever a fórmula anterior como o</p><p>produto escalar de dois vetores:</p><p>𝑑𝑧</p><p>𝜕𝑡</p><p>= ∇𝑓 · 𝛾′(𝑡)</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>,</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑒</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑡</p><p>,</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>sendo o primeiro o vetor gradiente da função</p><p>𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e o segundo é o vetor tangente à</p><p>curva 𝛾 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) . Assim,</p><p>REGRA DA CADEIA</p><p>2º Caso: Suponha 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função</p><p>diferenciável de 𝑥 e 𝑦 , sendo 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) e</p><p>𝑦 = ℎ 𝑠, 𝑡 são funções diferenciáveis de 𝑠 e 𝑡.</p><p>Então</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑠</p><p>=</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>.</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝜕𝑠</p><p>+</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>.</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕𝑠</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑡</p><p>=</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>.</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝜕𝑡</p><p>+</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>.</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝜕𝑡</p><p>Seja 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função diferenciável no</p><p>ponto (𝑎, 𝑏), então o vetor gradiente de 𝑓 no</p><p>ponto (𝑎, 𝑏) , denotada por 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑎, 𝑏) ou</p><p>𝑓(𝑎, 𝑏) é um vetor cujas componentes são as</p><p>derivadas parciais de 1a. ordem de 𝑓 nesse ponto.</p><p>Ou seja,</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 𝑎, 𝑏 =</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>(𝑎, 𝑏),</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>(𝑎, 𝑏)</p><p>VETOR GRADIENTE</p><p>Num ponto genérico (𝑥, 𝑦), representamos o vetor</p><p>gradiente por</p><p>∇𝑓 =</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>,</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>5) Determine o vetor gradiente das funções nos</p><p>pontos indicados:</p><p>a) f(x,y) = senx + exy ; (0,1)</p><p>b) f(x,y) = x2 + (1/2)y2; (1,3)</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>7</p><p>DERIVADA DIRECIONAL</p><p>É a derivada numa dada direção.</p><p>É olhar a taxa de variação de uma função em uma</p><p>direção arbitrária, genérica, qualquer.</p><p>Ela mede o quanto a função varia em uma dada</p><p>direção.</p><p>Como caracterizar uma direção?</p><p>A derivada direcional da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) no</p><p>ponto (𝑥0, 𝑦0), na direção do versor 𝑢 = 𝑎, 𝑏 , é</p><p>definida por:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝑥0 , 𝑦0 = lim</p><p>ℎ→0</p><p>𝑓(𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)</p><p>ℎ</p><p>Fonte: https://wp.ufpel.edu.br/bottega/files/2015/08/Cap14_Sec6.pdf</p><p>DERIVADA DIRECIONAL E VETOR GRADIENTE</p><p>Como calcular a derivada direcional?</p><p>Qual é o valor da derivada direcional na direção de</p><p>um vetor que é perpendicular ao vetor gradiente?</p><p>O que isso quer dizer?</p><p>Em qual direção a função cresce muito ou decresce</p><p>muito?</p><p>Em qual direção a taxa de variação da função é</p><p>máxima?</p><p>A derivada direcional é dada pelo módulo da</p><p>projeção do vetor gradiente na direção do vetor 𝑢 ,</p><p>sendo 𝑢 um vetor unitário.</p><p>Como calcular a derivada direcional?</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑢</p><p>𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 · 𝑢</p><p>A derivada direcional é zero, o que significa que</p><p>você está em uma direção que a função é</p><p>constante. Então, você está em uma curva de</p><p>nível.</p><p>Qual é o valor da derivada direcional na</p><p>direção de um vetor que é perpendicular ao</p><p>vetor gradiente? O que isso quer dizer?</p><p>Em qual direção a taxa de variação da função é</p><p>máxima?</p><p>A derivada direcional de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é máxima</p><p>na direção de ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 , isto é, o gradiente de 𝑓</p><p>aponta na direção de maior crescimento de 𝑓.</p><p>Observação: O gradiente de 𝑓 é sempre</p><p>perpendicular às curvas de nível de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>8</p><p>Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis.</p><p>Dizemos que (x0,y0) pertencente ao domínio de f é</p><p>ponto de máximo absoluto ou global de f se, para</p><p>todo (x,y) pertencente ao domínio de f,</p><p>f(x,y) ≤ f(x0,y0). Dizemos que f(x0,y0) é o valor</p><p>máximo absoluto.</p><p>Exemplo: O ponto (0,0) é um ponto de máximo</p><p>absoluto de f(x,y) = 4 – x2 – y2 . O valor máximo de</p><p>f é f(0,0) = 4.</p><p>MÁXIMOS E MÍNIMOS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis.</p><p>Dizemos que (x0,y0) pertencente ao domínio de f é</p><p>ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para</p><p>todo (x,y) pertencente ao domínio de f,</p><p>f(x,y) ≥ f(x0,y0). Dizemos que f(x0,y0) é o valor</p><p>máximo absoluto.</p><p>Exemplo: O ponto (0,0) é um ponto de máximo</p><p>absoluto de f(x,y) = 1 + x2 + y2 . O valor mínimo de</p><p>f é f(0,0) = 1.</p><p>Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis.</p><p>Dizemos que:</p><p>a) (x0,y0) pertencente ao domínio de f é ponto de</p><p>máximo relativo ou local de f se existir uma bola</p><p>aberta B((x0,y0);r) tal que f(x,y) ≤ f(x0,y0), para todo</p><p>(x,y) pertencente a B e ao domínio de f.</p><p>b) (x0,y0) pertencente ao domínio de f é ponto de</p><p>mínimo relativo ou local de f se existir uma bola</p><p>aberta B((x0,y0);r) tal que f(x,y) ≥ f(x0,y0), para todo</p><p>(x,y) pertencente a B e ao domínio de f.</p><p>Os pontos de máximos e mínimos de uma função são</p><p>chamados pontos extremantes (locais ou globais).</p><p>Pontos críticos</p><p>Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis</p><p>definida em um conjunto aberto D contido em R2.</p><p>Um ponto (x0,y0) pertencente a D é um ponto</p><p>crítico de f se as derivadas parciais</p><p>são iguais a zero ou se f não</p><p>é diferenciável em (x0,y0) pertencente a D.</p><p> </p><p> </p><p>0 0 0 0</p><p>f f</p><p>(x ,y ) e (x ,y )</p><p>x y</p><p>Geometricamente, podemos pensar nos pontos</p><p>críticos de uma função z = f(x,y) como os pontos</p><p>em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o</p><p>plano tangente é horizontal.</p><p>Os pontos extremantes de z = f(x,y) estão entre os</p><p>seus pontos críticos. No entanto, nem sempre um</p><p>ponto crítico é um ponto extremante.</p><p>Um ponto crítico que não é um ponto extremante</p><p>é chamado ponto de sela.</p><p>PROPOSIÇÃO (condição necessária para a</p><p>existência de pontos extremantes). Seja z = f(x,y)</p><p>uma função diferenciável em um conjunto aberto</p><p>D contido em R2. Se (x0,y0) pertencente a D é um</p><p>ponto extremante local, então</p><p>isto é, (x0,y0) é um ponto crítico de f.</p><p> </p><p>= =</p><p> </p><p>0 0 0 0</p><p>f f</p><p>(x ,y ) 0 e (x ,y ) 0</p><p>x y</p><p>Função de duas variáveis - Profa. Rosely Pestana</p><p>9</p><p>Exemplo: Determinar os pontos críticos de</p><p>f(x,y) = 3xy2 + x3 – 3x.</p><p>Os pontos críticos são (0,1), (0,-1), (1,0) e (-1,0).</p><p>PROPOSIÇÃO (condição suficiente para um ponto</p><p>crítico ser extremante local). Seja z = f(x,y) uma</p><p>função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem</p><p>são contínuas em um conjunto aberto que contém</p><p>(x0,y0) e suponha que (x0,y0) seja um ponto crítico</p><p>de f. Seja H(x,y) o determinante</p><p>( )</p><p> </p><p> </p><p>=</p><p> </p><p>  </p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>f f</p><p>(x,y) (x,y)</p><p>y xx</p><p>H x,y</p><p>f f</p><p>(x,y) (x,y)</p><p>x y y</p><p>Temos:</p><p></p><p> </p><p></p><p>2</p><p>0 0 0 0 0 02</p><p>f</p><p>a) H(x ,y ) 0 e (x ,y ) 0, então (</p><p>ponto de mínimo lo</p><p>x ,</p><p>ca</p><p>y ) é um</p><p>x</p><p>dl e f.</p><p></p><p> </p><p></p><p>2</p><p>0 0 0 0 0 02</p><p>f</p><p>b) H(x ,y ) 0 e (x ,y ) 0, então (</p><p>ponto de máximo lo</p><p>x ,</p><p>ca</p><p>y ) é um</p><p>x</p><p>dl e f.</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0</p><p>c) H(x ,y ) 0, então (x ,y ) não é um ponto extre-</p><p>mante local. Nesse caso, (x , ponto dy ) é um e sela.</p><p>=0 0 0 0d) H(x ,y ) 0, nada se pode afirmar sobre (x ,y ).</p><p>A matriz</p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>     </p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>f f</p><p>(x,y) (x,y)</p><p>y xx</p><p>f f</p><p>(x,y) (x,y)</p><p>x y y</p><p>é conhecida como matriz hessiana. O seu</p><p>determinante é chamado determinante hessiano</p><p>da função z = f(x,y).</p><p>Exemplo: Classificar os pontos críticos de</p><p>f(x,y) = 3xy2 + x3 – 3x.</p><p>(0,1) é um ponto de sela.</p><p>(0,-1) é um ponto de sela.</p><p>(1,0) é um ponto de mínimo local de f.</p><p>(-1,0) é um ponto de máximo local de f.</p><p>Exemplo: Analisar os pontos críticos de</p><p>f(x,y) = 2x3 + 2y3 – 6x – 6y.</p><p>(1,1) é um ponto de mínimo local de f.</p><p>(-1,-1) é um ponto de máximo local de f.</p><p>(1,-1) e (-1,1) são pontos de sela.</p>