Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas.
PROPÓSITO
Identificar a função de várias variáveis a valores reais, as derivadas parciais e o gradiente da função, além do conceito da
regra da cadeia, derivadas direcionais e derivadas parciais de ordem superior.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar as funções de várias variáveis
MÓDULO 2
Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar
MÓDULO 3
Aplicar a regra da cadeia para funções escalares
MÓDULO 4
Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para seu domínio e sua imagem.
Diversos fenômenos naturais, bem como diversas aplicações do nosso cotidiano fornecem, como resultado (saída), um
valor real, mas que depende de várias variáveis em suas entradas ao invés de apenas uma.
 EXEMPLO
A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa sala. Assim, a função que
representa o valor dessa temperatura dependerá de três variáveis que representam a posição do ponto no espaço, isto é
(x,y,z).
Dito isso, necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial (várias variáveis) e forneça
como resultado um valor real.
O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ NO CONJUNTO
DOS NÚMEROS REAIS. ESTAS FUNÇÕES SÃO DENOMINADAS DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS A VALORES REAIS, OU SIMPLESMENTE FUNÇÕES
ESCALARES.
Este módulo definirá as funções escalares e suas representações gráficas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES ESCALARES
Vamos relembra a definição do conjunto Rn, com n inteiro e n > 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento do conjunto é uma n-upla que representa um vetor com n componentes, sendo que cada componente xj, 1 ≤ j
≤ n é um número real.
Seja uma função f cujo domínio está em subconjunto de conjunto Rn e sua imagem está em um subconjunto do Rm, com
n e m inteiros maiores ou iguais a 1. Dependendo dos valores de m e n, teremos definidas funções de tipos diferentes.
Vejamos as possibilidades:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 04
Quando n = 1 e m = 1, se tem uma função de uma variável real a valores reais, ou simplesmente funções reais (f: R →
R). Em outras palavras, a entrada e saída da função é um número real. Este tipo de função é estudado no cálculo integral
e diferencial com uma variável.
Por exemplo:
Rn ={(x1,x2, … ,  xn)  com  x1,  x2¸ … ,  xn  reais}
f(x) = 3x + 5, x ∈ R, que é uma função f:R → R
g(y) = 4 cos y + 8, y ∈ R, que é uma função g:R → R
Quando n = 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais, ou simplesmente funções vetoriais
(f: R → Rm). Isto é, a entrada é um número real e a imagem é um vetor.
Por exemplo:
f(t) =〈t2 + 1, cos t ,5t〉 , t ∈ R, que é uma função f: R → R3
h(u) =〈3u, 4- eu〉, u ∈ R, que é uma função h: R → R2
Quando n > 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais, ou simplesmente campos
vetoriais (f: Rn → Rm). Ou seja, a entrada e a saída são vetores.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 〈x + y, tg x + 2〉, que é uma função f: R3 → R2
g(u,v) = 〈3u2+ 5v, sen v + 3u, u - 2v〉, que é uma função f: R2 → R3
Por fim, quando n > 1 e m = 1, se tem a função de uma variável vetorial, ou de várias variáveis a valores reais ou
simplesmente função escalar (f: Rn → R). Isto é, a entrada é um vetor, e a saída, um número real.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 9xy , que é uma função f: R3 → R
h(u,v) = u2 + 3uv, que é uma função f: R2 → R
As funções escalares, que serão o objeto deste tema, contêm diversas aplicações práticas, pois, de forma geral, os
fenômenos dependem de várias variáveis. Por exemplo, o volume de um recipiente depende do raio e da altura, ou a
temperatura de uma região na terra depende da latitude, longitude e altura.
Vamos começar por definir formalmente a função escalar.
DEFINIÇÃO
UMA FUNÇÃO ESCALAR SERÁ UMA FUNÇÃO F: S ⊂ RN → R, NA QUAL S É UM
SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN COM N INTEIRO E N > 1.
Assim, a cada elemento será associado um único número real denotado por .
Portanto, a imagem da função será dada por:
(x1,x2, … ,  xn)∈ S f(x1,x2, … ,  xn)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As variáveis são denominadas de variáveis independentes, enquanto que a variável
 é denominada de variável dependente.
 ATENÇÃO
Quando o domínio não é especificado, se considera este como o subconjunto do Rn que permite, através da equação
que define a função, se obter um número real.
EXEMPLO 1:
Determine o domínio da função escalar .
SOLUÇÃO
Ao se analisar o numerador da função, verifica-se a existência de uma raiz quadrada.
Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero:
Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de f(x,y) será:
.
EXEMPLO 2:
Determine, caso seja possível, os valores de para e .
SOLUÇÃO
Como calculado no exemplo anterior, o domínio da função será o conjunto S tal que
O par ordenado (4,2) ∈ S, assim
Im f ={f(x1,x2, … ,  xn)∈ R/ (x1,x2, … ,  xn)∈ S ⊂ Rn}
x1,x2, … ,  xn
y  =  (x1,x2, … ,  xn)
f(x, y)=
√x+y−2
x−y
x + y − 2 ≥ 0 → x + y ≥ 2
x − y ≠ 0 → x ≠ y
Dom  f ={(x, y)  ∈ R2/ x + y ≥ 2 e x ≠ y}
f(x, y)=
√x+y−2
x−y (x, y)=(4,2) (x, y)=(3,3)
S ={(x, y)/ x + y ≥ 2 e x ≠ y}
f(x, y)= → f(4,2)= = = 1
√x+y−2
x−y
√4+2−2
4−2
2
2
O par ordenado (3,3) não pertence a S, pois, apesar de x + y ≥ 2, o valor de x é igual a y, não pertencendo, portanto, ao
domínio da função, não sendo possível obter f(3,3).
EXEMPLO 3:
Determine o domínio da função escalar
e calcule, caso seja possível, os valores de g(1, 0, 2) e g(1, 0, –3).
SOLUÇÃO
Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio. Da mesma forma, o denominador y2 + 1 nunca fornecerá um valor de
zero.
Assim, a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano, que só pode ser aplicado a um
número maior do que zero. Portanto, devemos ter 2x + y + z > 0
Então: 
Quanto aos valores pedidos para a função:
A trinca ordenada (1, 0, 2) ∈ dom g, assim
A trinca ordenada (1, 0, -3) não pertence ao dom g, pois, 2x + y + z = –1 < 0, não sendo possível obter g(1, 0, –3).
GRÁFICO, CURVAS DE NÍVEL E SUPERFÍCIE DE NÍVEL
Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as suas variáveis independentes e o
valor real a ser obtido no resultado da função. Neste tópico, analisaremos a representação gráfica da função escalar.
Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica para funções escalares cujo
domínio está no R2 ou no R3.
Quando o domínio é um subconjunto do R2, isto é, S ⊂ R2, o elemento de entrada da função será um vetor ou par
ordenado (x, y). A função, então, será visualizada através de sua representação gráfica no espaço através dos eixos
cartesianos, considerando que z = f(x, y). Assim, o gráfico da função z = f(x, y) será o conjunto de todos os pontos do
espaço (x, y, z) ∈ R3, tal que z = f(x, y) e (x, y) pertence ao domínio de f(x, y).
Portanto, o gráfico de f(x, y) será definido por
g(x, y, z)= 3√3x + 5 
ln(2x+ y+z)
y2+1
Dom  f ={(x, y, z)∈ R3/ 2x + y + z > 0}
g(1, 0,2)= 3√3.1 + 5  = 3√8  ln(4)= 2 ln(4)
ln(2.1+ 0+2)
02+1
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z = f(x, y)  com   (x, y)∈ S}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O gráfico representará uma superfície que fica acima do conjunto que representa o domínio S da função f(x, y).
 Gráfico de uma função escalar no R2.
EXEMPLO 4:
Esboce o gráfico associado à função f(x, y) = 8 - 4x - 2y.
SOLUÇÃO
O gráfico de f(x,y) será definido como
Repare que a equação z = 8 - 4x - 2y é uma funçãolinear, assim representará, no espaço, um plano.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos.
Para x = y = 0 → z = 8 – 0 – 0 = 8
Para z = 0 → 8 – 4x – 2y = 0 → 4x + 2y = 8 → 2x + y = 4, assim quando x = 0 → y = 4 e para y = 0 → x =2.
Assim a representação será
Fonte: Autor
A figura apresenta apenas uma parte do plano, pois ele vai tanto para cima quanto para baixo, até o infinito.
Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as curvas de nível ou curvas de
contorno, que é uma forma de representação planar para a função.
As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os pontos em que o valor de z = f(x, y)
é constante, isto é, z = f(x, y) = k, na qual k é uma constante real. Assim, definimos uma curva de nível para cada nível k.
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z = 8 − 4x − 2y}
 EXEMPLO
Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que fornecem temperaturas de
determinada região.
EXEMPLO 5:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 8 - 2x - 4y.
SOLUÇÃO
Se fosse para traçar o gráfico de f(x, y), seria representado uma figura espacial, que neste caso seria um plano cuja
equação se daria por z = 8 - 2x - 4y.
Como se deseja esboçar as curvas de nível, é preciso desenhar no plano xy os pontos que atendem a equação 8 - 2x -
4y = k, com k real.
Portanto, 2x + 4y + (k - 8) = 0, que é a equação de uma reta no plano xy.
Por exemplo:
Para k = 0 → 2x + 4y - 8 = 0 → x + 2y - 4 = 0
Para k = –2 → 2x + 4y - 10 = 0 → x + 2y - 5 = 0
Para k = 4 → 2x + 4y - 4 = 0 → x + 2y - 2 = 0
Assim, as curvas de nível do gráfico que seria um plano, serão retas paralelas.
Fonte: Autor
EXEMPLO 6:
Seja a função g(x, y) = 4 - x2 - y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza G para os pontos em
uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a superfície formada pelo gráfico da função g(x, y).
SOLUÇÃO
O gráfico de g(x, y) será definido como
Repare que , como .
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos:
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z = 4 − x2 − y2}
g(x, y)= 4 − x2 − y2 = 4 − (x2 + y2) x2 + y2 ≥ 0  →  z  ≤  4
Para x = y = 0 → z = 4 – 0 – 0 = 4
Para z = 0 → 0 = 4 -x2 - y2 → x2 + y2 = 4, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio 
Repare que se mantivermos um valor de z = k , k < 4
, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio .
Esboçando a figura no plano cartesiano.
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
EXEMPLO 7:
Seja a função g(x,y) = 16 - x2 - 9y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza G para os pontos em
uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a figura formada por todos os pontos do plano que apresentam
o valor de G = 7.
SOLUÇÃO
Neste caso, o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível igual a 7.
Que representa uma elipse em (x,y) = (0,0):
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
Quando o domínio for um subconjunto do R3, isto é, S ⊂ R3, o elemento de entrada da função será um vetor ou terna
ordenado (x, y, z). O gráfico da função f(x, y, z) será o conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z, w) ∈ R4, tal que w =
f(x, y, z) e (x, y, z) pertence ao domínio de f(x, y, z).
Esse gráfico será um subconjunto do R4, portanto, não será possível a representação dele através de uma forma
geométrica. Para se ter uma visão geométrica de tal função, vamos nos valer das superfícies de nível, que serão o
conjunto de pontos do R3, ou as superfícies do espaço xyz, tais que f(x, y, z) = k, na qual k é uma constante real. Por
isso, definimos uma superfície de nível para cada nível w = f(x, y, z) = k, k real.
EXEMPLO 8:
√4 = 2
k = 4 − x
2 − y2 → x2 + y2 = (4 − k) √4 − k
g(x, y)= 16 − x2 − 9y2 = 7
x2 + 9y2 = 16 − 7
x2 + 9y2 = 9 → + = 1
x2
9
y2
1
Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
SOLUÇÃO
As superfícies de nível serão definidas por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = k, k real.
Como x2 + y2 + z2 ≥ 0, para todo (x, y, z), então só é possível se definir níveis k ≥ 0.
Para facilitar a visualização, vamos definir k = R2 que será um número sempre maior ou igual a zero.
Desse modo, as superfícies de níveis definidas pela equação x2 + y2 + z2 = R2, serão esferas de centro (0, 0, 0) com raio
dado por R, em que R ≥ 0.
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Deseja-se montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m. O topo do monte é considerado o
ponto central do mapa. Cada ponto será marcado pela distância (x, y) determinada pela distância a dois eixos cartesianos
que passam no ponto central.
O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com altura, medida em metro, dada por
uma equação h (x, y) = H – 2x2 - 3y2, com x e y também medidos em metros. Esboce o mapa topográfico através das
curvas de níveis.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO
ESCALAR
INTRODUÇÃO
A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções escalares, porém de uma forma um
pouco diferente do que no caso das funções reais.
Como a função escalar depende de várias variáveis, devemos obter uma operação que determina a variação da função
em relação a uma variável, mantendo as demais constantes. Esta operação será denominada de derivação parcial
PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA VARIÁVEL
INDEPENDENTE, ASSIM CONSEGUIMOS DEFINIR UM VETOR QUE APRESENTA
COMO COMPONENTES ESTAS DERIVADAS PARCIAIS. TAL VETOR É
DENOMINADO DE GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR E APRESENTA
APLICAÇÕES PRÁTICAS IMPORTANTES NA OBTENÇÃO DAS TAXAS DE
VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA QUALQUER DIREÇÃO.
Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente.
DERIVADAS PARCIAIS
Quando estudamos a função real, definimos a operação da derivação que representava a taxa de variação da função em
relação a sua variável independente. Isto é, como a função variava em relação a sua variável de entrada em determinado
ponto do seu domínio.
No caso de a função escalar, a entrada é composta por várias variáveis. Ao se tentar descobrir como uma função varia
em relação a uma das variáveis, devemos isolar o efeito das demais variáveis. Este isolamento é obtido mantendo as
demais variáveis constantes.
 EXEMPLO
Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura. Para se obter a taxa de variação desse
volume ao se alterar o raio do cone, devemos manter o valor da altura constante e observar como o volume se altera ao
se alterar o raio. Esta operação será denominada de derivada parcial. O nome parcial vem do fato que se está analisando
a taxa de variação de apenas uma das variáveis.
Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples, ou seja, para uma função com domínio no R2, ou z = f (x, y).
Seja (x0, y0) um ponto de o domínio da função escalar f. Se fixarmos o valor y0, podemos definir uma função que
depende de apenas uma variável, dada por
A função h(x) será uma função real, pois depende apenas de uma variável, e a derivada de h(x) no ponto x0 será dada
por
Esta derivada representa como a função h(x) varia em relação a variável x, no ponto x0.
Substituindo a função h(x) pela função escalar f(x,y0)
que representará como a função f(x, y) irá variar em relação a variação de x, com y constante e igual a y0, no ponto (x0,
y0). Esta função será denominada de derivada parcial de f em relação a variável x, representada por
Se considerarmos que podemos obter uma outra definição equivalente:
Seja D o subconjunto de S, formado por todos os pontos (x, y), tais que existe. Assim, definirmos uma função indicada
por , definida em D ⊂ S ⊂ R2, tal que:
h(x)  =  f( x,  y0)
h'(x0)= lim
x→x0
h (x ) −h (x0 )
x−x0
h'(x0)= lim
x→x0
f (x,y0 ) −f (x0,y0 )
x−x0(x0, y0)= h'(x0)= lim
x→x0
∂f
∂x
f (x,y0 ) −f (x0,y0 )
x−x0
Δx = x − x0
(x0, y0)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x0+Δx,y0 ) −f (x0,y0 )
Δx
∂f
∂x
(x, y)∂f
∂x
(x, y)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x+Δx,y ) −f (x,y )
Δx
ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE PRIMEIRA
ORDEM DE F, EM RELAÇÃO A X, OU SIMPLESMENTE DERIVADA PARCIAL DE F
EM RELAÇÃO A X.
De forma análoga, podemos definir
que é a derivada parcial de f em relação a y.
Outras notações utilizadas:
Resumindo:
A função obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no ponto (x0, y0), em relação
apenas a variável x, mantendo y constante e igual a y0
A função obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no ponto (x0, y0), em relação
apenas a variável y, mantendo x constante e igual a x0
Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3
IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE REPRESENTA O
VALOR DO VOLUME DE UMA CAIXA RETANGULAR. DESSA FORMA, O VALOR
DA FUNÇÃO DEPENDERÁ DE TRÊS VARIÁVEIS (L, C, A), COM L, C E A
NÚMEROS REAIS QUE REPRESENTAM A LARGURA, O COMPRIMENTO E A
ALTURA DA CAIXA. ASSIM, V(L, C, A). DESEJAMOS OBTER COMO O VOLUME
DA CAIXA IRÁ VARIAR COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS DIMENSÕES, OU
SEJA, QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V EM FUNÇÃO, POR EXEMPLO
DE L.
Assim, necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L,
que será semelhante a derivada de uma função real, pois dependerá da variação de apenas uma variável, neste caso L,
mantendo todas as demais constantes (C e A).
(x, y)= lim
Δy→0
∂f
∂y
f (x,y+Δy ) −f (x,y )
Δy
(x, y)= fx(x, y)= D1f(x, y)
∂f
∂x
(x, y)= fy(x, y) = D2f(x, y)∂f
∂y
fx(x, y)
fy(x, y)
(x, y, z)= fx(x, y, z)= D1f(x, y, z)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x+Δx,y,z ) −f (x,y,z )
Δx
(x, y, z)= fy(x, y, z)= D2f(x, y, z)= lim
Δy→0
∂f
∂y
f (x,y+Δy,z ) −f (x,y,z )
Δy
(x, y, z)= fz(x, y, z)= D3f(x, y, z)= lim
Δz→0
∂f
∂z
f (x,y,z+Δz ) −f (x,y,z )
Δz
(L,C,A)= lim
h→0
∂V
∂L
V (L+h,C,A ) −f (L,C,A )
h
Para o caso geral da função com domínio em S ⊂ Rn. Seja f(x1,x2, ..., xn ), a derivada parcial de f em relação a variável xj
será definida por
representando a variação de f em relação a xj, mantendo as n – 1 variáveis constantes.
Podemos também usar as notações
 ATENÇÃO
A notação é usada para derivar a função real f em relação a x, quando a função depender apenas da variável x.
A notação é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x, quando a função depender de outras
variáveis, além da variável x.
Na prática, as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite, e sim, por fórmulas e regras de derivação. Como
consideraremos a função dependendo de apenas uma variável, pois todas as demais permaneceram como constantes,
então pode ser utilizada as mesmas propriedades e regras que utilizamos no caso da função real.
REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A VARIÁVEL XJ
1) CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS, QUE NÃO SEJAM XJ, COMO
CONSTANTES.
2) USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL PARA ACHAR A
DERIVADA DE F EM RELAÇÃO A XJ.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = 2xy + 3x2 y3 + 5y - 3x e obtenha seus valores no ponto (2, 1).
SOLUÇÃO
Vamos obter fx(x, y), considerando y como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a x.
O primeiro termo 2xy será observado como kx, assim (2yx)' = 2y(x)' = 2y.
O termo 3x2 y3 será observado como kx2, assim (3y3 x2 )' = 3y3 (x2 )' = 3y3 . 2x = 6xy3.
O termo 5y será observado apenas como uma constante, independente de x, assim (5y)' = 0.
Por fim, (-3x)' = -3.
Então, fx (x, y) = 2y + 6xy3 -3 e fx (2, 1) = 2 . 1 + 6 . 2 . 13 -3 = 11
(x1,x2, … ,  xn)= lim
h→0
∂f
∂xj
f (x1,x2,…,xj+h, …, xn )−f (x1,x2,…xj,…, xn )
h
Djf(x1,x2, … ,  xn)= fj(x1,x2, … ,  xn)
df
dx
∂f
∂x
Vamos obter fy(x, y), considerando x como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a y.
O primeiro termo 2xy será observado como ky, assim (2xy)' = 2x(y)' = 2x.
O termo 3x2 y3 será observado como ky3, assim (3x2 (y3)' = 3x2 (y3 )' = 3x2 3y2 = 9x2 y2.
O termo (-3x) será observado apenas como uma constante, independente de y, assim (-3x)' = 0
Por fim, (5y)' = 5.
Logo, fy (x, y) = 2x + 9x2 y2 + 5 e fy (2, 1) = 2 . 2 + 9 . 22 12 + 5 = 45
EXEMPLO 2
Deseja obter a taxa de variação da função , em relação a variável w, no
ponto (x, y, z, w)=(1, 1, 1, 1).
SOLUÇÃO
O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w.
Assim se mantém na função h todas as demais variáveis (x, y, z) como constantes e aplica as regras de
derivação em relação a variável w.
O termo será observado como uma constante, pois independe de w, então .
O termo será observado como , assim .
Por fim, o termo , será observado como , assim .
Então, e 
GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Seja uma função de várias variáveis a valores reais, com domínio em S⊂ R2, e que admite as derivadas parciais,
em um ponto (x0,y0), para todas as suas duas variáveis independentes (x e y).
Define o vetor gradiente da função f como
 h(x, y, z,w)= 2yz lnx + 3xew
2
+  zw2y3
2yz lnx (2yz lnx)' = 0
3xew
2
kew
2 (3xew
2)
'
=  3x (ew2)
'
= 3x 2wew
2
= 6xwew
2
zw2y3 kw2 (zy3w
2)
'
= zy3(w2)
'
= zy32w = 2zy3w
fw(x, y, z, w)= 6 xwew2
+ 2 zy3 w fw(1,1, 1,1)= 6.1. 1e1 + 2.1. 1.1 = 2 + 6e
∇f(x0, y0)=( (x0, y0), (x0, y0))∂f
∂x
∂f
∂y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A outra notação para o vetor gradiente será grad f.
Observe que só existe gradiente de uma função escalar e o resultado é um vetor cujas componentes são as
derivadas parciais de cada uma das variáveis independentes.
Portanto,
EXEMPLO 3
Obtenha o vetor gradiente para a função f(x, y) = 3x2y, no ponto (x, y) = (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais
Logo,
 e 
O vetor gradiente da função escalar pode ser definido, de forma análoga, para quando o domínio for S ⊂ Rn.
Assim:
O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica. Ele apontará para direção e sentido no qual a função f terá a
sua maior variação, em relação a suas variáveis independentes, no ponto analisado.
Por exemplo, obtivemos que no ponto (1, 2) a função f(x, y) = 3x2y tem um vetor gradiente
. Vamos supor que esta função f(x, y) represente a temperatura, em um ponto (x,y),
de uma placa plana. Assim, se estivermos no ponto de coordenada (x,y) = (1,2) e desejarmos saber para que
direção/sentido teremos a maior variação de temperatura ao variar a posição, ela será dada pela direção/sentido
definida pelo vetor .
EXEMPLO 4
Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 no
ponto (1, 1, 1)
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de f(x, y, z):
∇f(x0, y0)= (x0, y0)x̂ + (x0, y0)ŷ
∂f
∂x
∂f
∂y
= (3yx2)= 3y (x2)= 3y 2x = 6xy
∂f
∂x
∂
∂x
∂
∂x
= (3x2y)= 3x2 (y)= 3x2∂f
∂y
∂
∂y
∂
∂y
∇f(x, y)= (6xy, 3x2) ∇f(1,2)= (6.1. 2,3. 12)  = (12, 3) =  12x̂  +  3ŷ
∇f(x1,x2, … ,  xn)=( (x1,x2, … ,  xn), … ,   (x1,x2, … ,  xn), … ,    (x1,x2, … ,  xn))∂f
∂x1
∂f
∂xj
∂f
∂xn
∇f  = (12,  3) =  12x̂   +  3ŷ  
∇f  =  12x̂   +  3ŷ  
Assim, o vetor gradiente será 
No ponto (1, 1, 1), se tem ∇f(1, 1, 1)=(2, 2, 2)
Portanto, o vetor representa a direção de maior variação da função no ponto (1, 1, 1).
Como foi pedido o versor, isto é, o vetor unitário, devemos dividir pelo seu módulo
Portanto, o versor será
Quanto a amplitude do vetor ∇f, ele representará a maior taxa de variação da função em relação à variação de
suas variáveis. No exemplo anterior, a função terá uma variação de 2 unidades quando ocorre uma variação
 de módulo unitário, na direção do vetor .
Por fim, uma última característica do vetor gradiente de uma função, é o fato de ser sempre normal às curvas de
nível da função, ou seja, às curvas ou superfícies de nível da função.
EXEMPLO 5
Determine a reta tangente a curva de nível da função no ponto (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo o gradienteda função:
 e , então 
No ponto (1, 2): ∇f(1, 2) = (4, 4), que é um vetor normal à curva de nível no ponto (1, 2), sendo, portanto, um vetor
normal à reta tangente neste ponto.
Por isso, para se obter a equação da reta tangente, seguindo conceitos de geometria analítica:
Portanto
Então, a reta x + y - 3 = 0 e tangente à curva de nível da função f(x,y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 2).
= 2x,   = 2y e  = 2z
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∇f(x, y, z)= (2x, 2y, 2z)
(2,2, 2)= 2x̂ + 2ŷ + 2ẑ
∇f(1,1, 1)= (2,2, 2) →|∇f|= √22 + 22 + 22 = √12 = 2√3
= (2,2, 2)=( , , )=( , , )∇f
| ∇f |
1
2√3
1
√3
1
√3
1
√3
√3
3
√3
3
√3
3
√3
Δs = Δxx̂ + Δyŷ + Δzẑ ( , , )√3
3
√3
3
√3
3
f(x, y)= 2x2 + y2
= 4x
∂f
∂x
= 2y
∂f
∂y
∇f(x, y)=(4x, 2y)
[(x, y)−(x0 − y0)].
→
n r = 0 →[(x, y)−(x0, y0)]. ∇f(x0, y0)= 0
[(x, y)−(1,2)]. ∇f(1,2)= 0 →(x − 1, y − 2).(4,4)= 0
4(x − 1)+4(y − 2)= 0 → 4x + 4y − 12 = 0 → x + y − 3 = 0
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se determinar a equação de um plano
tangente ao gráfico de uma função z = f(x, y) em um ponto (x0, y0) e com ele realizar uma aproximação linear para
a função. A equação do plano tangente ao gráfico no ponto (x0, y0, f(x0,y0) será dada por:
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x2 + 2y2 + 1 no ponto (1, 1) e verifique
através de uma aproximação linear, a partir deste ponto, o valor de 
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
z − f(x0, y0)= fx(x0, y0)(x − x0)+fy(x0, y0)(y − y0).
f(1 + , 1 + )1
100
1
100
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES ESCALARES
INTRODUÇÃO
Seja uma função escalar. Suponha que se conheça a dependência desta função em relação a um conjunto de
variáveis, denominadas de intermediárias, que por sinal, depende de outro conjunto que são denominados de
variáveis independentes.
A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER AS DERIVADAS DA
FUNÇÃO ESCALAR EM RELAÇÃO AS VARIÁVEIS INDEPENDENTES, MESMO
NÃO SE OBTENDO A FUNÇÃO QUE EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAÇÃO.
Estudaremos, neste módulo, três teoremas que definem esta regra da cadeia para serem aplicadas em funções
escalares.
REGRA DA CADEIA
Para o caso de uma função real, ou melhor, que dependa de apenas uma variável, a regra da cadeia permitia a
diferenciação de uma função composta. Se y = f(x) e x = g(t), com as funções f e g diferenciáveis, se obtinha a
derivada de y em relação a t de uma forma indireta:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, mesmo não se tendo a relação direta de y em relação a t, podia se obter como a função y variava em
relação a variável t.
Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções compostas para as funções
escalares. Iremos propor o seguinte teorema:
TEOREMA 1
SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(T) E Y = G(T). SE
AS FUNÇÕES H(T) E G(T) FOREM DIFERENCIÁVEIS EM T, ENTÃO
Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma forma indireta. Não se conhece
a relação explicita da função em relação a variável t, mas se conhece a relação da função com x e y, e destas
variáveis em relação a variável t.
Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f.
Seja 
Vejamos um exemplo de sua aplicação.
EXEMPLO 1:
Seja a função f(x, y) = 2xy2 e que x = t3 e y = 2t + 5. Obtenha a derivada de f em relação à variável t.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia 
Como , , e , se tem
Substituindo x e y em relação a variável t
É obvio que neste caso, poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e depois obter a derivada.
Assim, a derivada será obtida se derivando em relação a t através da regra do produto
=
dy
dt
dy
dx
dx
dt
(x(t), y(t)) = +
df
dt
∂f
∂x
dx(t)
dt
∂f
∂y
dy(t)
dt
γ(t)= (x(t), y(t))
(y(t)) = ∇f(γ(t)). γ '(t)df
dt
= +
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂f
dy
dt
= 2y2∂f
∂x
= 4xy
∂f
∂y
= 3t2dx
dt
= 2
dy
dt
= + = 2y23t2 + 4xy. 2 = 6y2t2 + 8xy
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂f
dy
dt
= 6y2t2 + 8xy = 6(2t + 5)2
t2 + 8t3(2t + 5)
df
dt
f(x ,  y)  =  2xy2  →  f(t3,  2t + 5)  =  g(t)  =   2 t3 (2t + 5)
2
df
dt
 obtendo o mesmo valor.
Todavia, às vezes, essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais complexa do que usar a regra da
cadeia diretamente.
EXEMPLO 2:
Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula , na qual r é o raio da base e h é a altura
do cilindro, ambas medidos em metros. Determine a taxa de variação do volume do cilindro, para r = 1 m e h = 1
m, sabendo que o raio está variando a uma taxa de 0,5 m/s e a altura a uma taxa de –0,25 m/s.
SOLUÇÃO
Se , usando a regra da cadeia, se tem 
Como , , e , se tem
Para r = 1m e h = 1m
 ATENÇÃO
A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo, e pode ser analisada nos livros que constam na
referência bibliográfica deste material.
Agora vamos analisar outra situação. Seja z = f(x, y), mas x = h(u, v) e y = g(u, v). Então a função f depende
indiretamente de u e de v. Podemos usar o seguinte teorema para obter as derivadas parciais de f em relação a
variável u e em relação a variável v.
TEOREMA 2
SEJA A FUNÇÃO F(X,Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(U,V) E Y = G(U,V).
SE AS FUNÇÕES H(U,V) E G(U,V) SÃO DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V, ENTÃO
 E 
As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes, enquanto as variáveis x e y serão denominadas
de variáveis intermediárias, pois serão usadas para obter a variável dependente z em relação às variáveis
independentes.
Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir.
= (2t + 5)2 6 t2  +  2t3 2 (2t + 5) .  2  =  6(2t + 5)2
t2 + 8t3(2t + 5)
df
dt
V (r,h)= πr2h
V (r,h)= πr2h = +dV
dt
∂V
∂r
dr
dt
∂V
∂h
dh
dt
= 2πhr∂V
∂r
= πr2∂V
∂h
= 0,5dr
dt
= −0,25 m/sdh
dt
(r, h)= 2πhr.  0,5 +  πr2(−0,25)dV
dt
(r, h)= πhr −   r2dV
dt
π
4
(1, 1)= π −   =  m3/sdV
dt
π
4
3π
4
= +
∂f
∂u
∂f
∂x
∂x
∂u
∂f
∂y
∂y
∂u
= +
∂f
∂v
∂f
∂x
∂x
∂v
∂f
∂y
∂y
∂v
EXEMPLO 3:
Seja g(x,y) = , na qual e . Determine as derivadas parciais de g(x,y) em relação a u e a
v para os pontos em que u = 1 e v = 2.
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y.
 e 
Além disso,
, , , 
Assim,
Quando u = 1 e v = 2 → x = u2 v = 2 e y = uv2 = 4.
Deste modo:
Podemos agora definir a situação geral.
Seja a função escalar f: S ⊂ Rn, ou seja, a função dependente z é função de n variáveis intermediárias (x1,x2,…,xn
). Cada uma das variáveis intermediárias xj, a seu tempo, depende de m variáveis independentes (u1,u2,…,um ).
Se deseja agora obter o valor da derivada parcial de z em relação a uma das variáveis independentes ui.
TEOREMA 3
SEJA A FUNÇÃO F: S⊂ RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO AS N VARIÁVEIS (X1,
X2, ..., XN), EM QUE CADA XJ É DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO A M VARIÁVEIS
(U1, U2, ..., UM). ENTÃO:
para cada j = 1,2,..., m.
Vamos aplicar esse teorema em um exemplo.
2eyco s(x) x = u2v y = uv2
= −2eysen(x)
∂g
∂x
= 2eycos(x)
∂g
∂y
= 2uv∂x
∂u
= u2∂x
∂v
= v2∂y
∂u
= 2uv
∂y
∂v
= + =(−2eysen(x))2uv + 2eycos(x)v2∂g
∂u
∂g
∂x
∂x
∂u
∂g
∂y
∂y
∂u
= 2v2 e
y
cos(x)−4uv eysen(x)
∂g
∂u
= + =(−2eysen(x))u2 + 2eycos(x)2uv
∂g
∂v
∂g
∂x
∂x
∂v
∂g
∂y
∂y
∂v
= 4uv eycos(x)−2u2eysen(x)
∂g
∂u
(1,2)= 2. 4 e4cos(2)−4. 1.2 e4sen(2)= 8e4cos(2)−8e4sen(2)
∂g
∂u
(1,2)= 4.1. 2 e4cos(2)−2. 12e4sen(2)= 8 e4cos(2)−2e4sen(2)
∂g
∂u
= + + … +
∂f
∂uj
∂f
∂x1
∂x1
∂uj
∂f
∂x2
∂x2
∂uj
∂f
∂xn
∂xn
∂uj
EXEMPLO 4:
Seja a função , na qual r = xz + 2yz , s = 3x2z e t = 2xy. Determine as derivadas parciais da
função h, em relação as variáveis x, y e z, para os valores de (x, y, z) = (1, 0, 2).
SOLUÇÃO
Neste exemplo, as variáveis intermediárias serão r,s e t, enquanto as variáveis independentes serão x, y e z.
Calculando as derivadas parciais da função h
, e 
Mas
, e 
, e 
, e 
Desta forma,
a) 
b) 
c) 
Para (x, y, z) = (1,0, 2) → r = xz + 2yz = 1 . 2 + 2 . 0 . 2 = 2, s = 3x2z = 3 . 1 . 2 = 6 e t = 2xy = 2 . 1 . 0 = 0, assim:
a) 
b) 
c) 
h(r, s, t)= sr2 + 2rst
= 2sr + 2st∂h
∂r
= r2 + 2rt∂h
∂s
= 2rs∂h
∂t
= z∂r
∂x
= 2z∂r
∂y
= x + 2y∂r
∂y
= 6xz∂s
∂x
= 0∂s
∂y
= 3x2∂s
∂z
= 2y∂t
∂x
= 2x∂t
∂y
= 0∂t
∂z
= + +∂h
∂x
∂h
∂r
∂r
∂x
∂h
∂s
∂s
∂x
∂h
∂t
∂t
∂x
=(2rs + 2st)z +(r2 + 2rt) 6xz +(2rs) 2y∂h
∂x
= + +∂h
∂y
∂h
∂r
∂r
∂y
∂h
∂s
∂s
∂y
∂h
∂t
∂t
∂y
=(2rs + 2st) 2z +(r2 + 2rt) 0 +(2rs) 2x∂h
∂y
= + +∂h
∂z
∂h
∂r
∂r
∂z
∂h
∂s
∂s
∂z
∂h
∂t
∂t
∂z
=(2rs + 2st) (x + 2y) +(r2 + 2rt) 3x2 +(2rs) 0∂h
∂z
(x, y, z)=(2.2. 6 + 2.6. 0). 2 +(22 + 2.2. 0) 6.1. 2 +(2.2. 6)2.0∂h
∂x
(x, y, z)= 48 + 48 + 0 = 96∂h
∂x
=(2.2. 6 + 2.6. 0). 2.2 +(22 + 2.2. 0) 0 +(2.2. 6)2.1∂h
∂y
= 96 + 0 + 48 = 144∂h
∂y
=(2.2. 6 + 2.6. 0).(1 + 2.0) +(22 + 2.2. 0) 3.1 +(2.2. 6)0∂h
∂z
= 24 + 12 = 36∂h
∂z
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa com formato de um paralelepípedo retangular é feita de um material que apresenta um custo de R$
10,00 por m2. Sabendo que o comprimento da caixa cresce a uma taxa de 2 m/s, a largura decresce a uma taxa de
1 m/s e a altura cresce a uma taxa de 3 m/s, determine a taxa de variação do custo de produção da caixa em
relação ao tempo, para quando comprimento(C) = 10 m, largura(L) = 5m e altura (A) = 2 m.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 APLICAR A DERIVADA DIRECIONAL E A DERIVADA PARCIAL DE ORDEM
SUPERIOR
INTRODUÇÃO
Em algumas aplicações, se torna necessário obter a taxa de variação de uma função escalar quando ocorre a
variação das variáveis seguindo certa direção. Esta derivada é denominada de derivada direcional e será
determinada através do gradiente de uma função escalar
A DERIVADA PARCIAL TAMBÉM SERÁ UMA FUNÇÃO ESCALAR, CAPAZ DE
POSSUIR, POR SUA VEZ, UMA DERIVADA PARCIAL. ESTA DERIVADA É
DENOMINADA DE FUNÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR E SERÁ
CALCULADA ATRAVÉS DAS DERIVAÇÕES PARCIAIS SUCESSIVAS.
DERIVADAS DIRECIONAIS
Certas práticas exigem a obtenção da taxa de variação de uma função escalar em determinada direção/sentido.
Essa taxa será denominada de derivação direcional da função e dependerá do ponto analisado e do vetor que
determina a direção/sentido desejado.
 ATENÇÃO
A direção/sentido desejado deve ser definido através de um vetor unitário (versor).
Vamos iniciar a definição para funções escalares com domínio em R2.
Seja a função f: S ⊂ R2 → R, a derivada direcional de f em um ponto (x0, y0) na direção e no sentido do vetor
unitário (a,b) é
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta derivada vai existir se o limite acima existir.
Observe que se ⃗(a, b) = (1, 0), a derivada direcional será a própria derivada parcial em relação a variável x. E
se (a,b) = (0, 1), a derivada direcional será a própria derivada parcial em relação a variável y. Dizemos,
portando, que as derivadas parciais de f em relação a x e a y são casos particulares da derivada direcional.
Não iremos calcular a derivada direcional através de sua definição, ou melhor, através do cálculo do limite. Para
a determinação da derivada direcional, usaremos o teorema, a seguir, por permitir seu cálculo pelo gradiente da
função escalar f.
TEOREMA
SE F É UMA FUNÇÃO ESCALAR DIFERENCIÁVEL EM X E EM Y, ENTÃO A
DERIVADA DIRECIONAL NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DE QUALQUER VETOR
UNITÁRIO (A, B) É DADO POR
Observe que o maior valor da derivada direcional será quando o vetor unitário tiver a mesma direção e sentido
que o ∇f, tendo o módulo desta derivada o valor do módulo do ∇f. Este fato comprova o que foi dito: que o
gradiente da função é o vetor que representa a maior taxa de variação da função.
A derivada direcional pode ser analisada como sendo a projeção do vetor gradiente sobre a direção e sentido
definidos pelo vetor unitário .
EXEMPLO 1:
Determine a derivada direcional da função f(x, y) = 5x3 y + 5 na direção do vetor (3, 4), para o ponto (x, y) = (1,
1)
SOLUÇÃO
Observe que o vetor (3, 4) não é um versor, ou seja, um vetor unitário. Assim, necessitamos achar o vetor
unitário na direção/sentido de (3, 4).
→
v
Dvf(x0, y0)= lim
h→0
f (x0+ah,y0+bh ) −f (x0,y0 )
h
→
v
→
v
→
v
Dvf(x, y)= ∇f(x, y).
→
v (a, b)  = afx(x, y)+b fy(x, y)
→
v
→
v
→
v
→
v
∣
∣
→
v ∣
∣= √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
Dessa forma, o versor será
Sabe-se que f(x, y) = 5x3 y + 5, então
Portanto, ∇f(x, y) = (15yx2, 5x3)
Assim, a derivada direcional será dada por
Para o ponto (x,y)=(1,1)
DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar, conforme já estudada neste tema, é também uma função escalar. Por
serem funções escalares, podemos também determinar as suas derivadas parciais em relação as variáveis
independentes.
A DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO QUE JÁ É DERIVADA PARCIAL DE UMA
FUNÇÃO É DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM. SE
REPETIRMOS O PROCESSO, TEREMOS AS DERIVADAS PARCIAIS DE
TERCEIRA, QUARTA, ..., ENÉSIMA ORDEM.
ESTAS DERIVADAS PARCIAIS SÃO CONHECIDAS COMO DERIVADAS PARCIAIS
DE ORDEM SUPERIOR.
Iniciaremos nosso estudo pelas derivadas parciais de segunda ordem para uma função escalar f(x,y), isto é, com
domínio no R2. Por exemplo, seja f(x, y) = 4x2y3, então
 e 
Vamos agora determinar as derivadas parciais de segunda ordem, ou, a derivada parcial da função escalar fx (x,
y) = 8xy3
Usamos a seguinte notação
 ou 
 ou 
v̂ = = (3,4)=( , )
→
v
∣
∣
→
v ∣
∣
1
5
3
5
4
5
= 5y(x3)'
= 5y 3x2 = 15yx2∂f
∂x
= 5x3(y)' = 5x3∂f
∂y
Dv(x, y)= ∇f. v̂ = 15yx2 + 5x3 = 9yx2 + 4x33
5
4
5
Dv(x, y)= ∇ = 9.1. 12 + 4. 13 = 9 + 4 = 13
fx(x, y)= 8xy3 fy(x, y)= 12x2y2
fx(x, y)= 8xy3 → = 8y3∂fx
∂x
fx(x, y)= 8xy3 → = 24xy2∂fx
∂y
= ( )= = 8y3∂fx
∂x
∂
∂x
∂f
∂x
∂2f
∂x2 (fx)x = fxx = 8y3
= ( )= = 24xy2 
∂fx
∂y
∂
∂y
∂f
∂x
∂2f
∂y∂x
(fx)y = fxy = 24 xy2
De forma análoga, podemos fazer o mesmo raciocínio para as derivadas parciais da função escalar fy (x, y) = 12x2
y2
Usamos a notação
 ou 
 ou 
Portanto, as funções fx(x, y) e fy(x, y) são denominadas de derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y).
As funções fxx(x, y) , fxy(x, y), fyx(x, y) e fyy(x, y) são as derivadas de segunda ordem da função f(x, y).
 ATENÇÃO
É preciso cuidado com a notação utilizada, pois a ordem das variáveis na notação determina a ordem da
derivação.
Veja a primeira notação:
 a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável
x.
 a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável
y.
 COMENTÁRIO
Observe que a ordem de derivação parcial no denominador aparece da direita para a esquerda.
Agora analisemos a segunda notação:
 a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável x.
 a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que, neste caso, a ordem da derivação parcial no índice aparece da esquerda para a direita.
fy(x, y)= 12x2y2 → = 24 xy2∂fy
∂x
fy(x, y)= 12x2y2 → = 24x2y
∂fy
∂y
= ( )= = 24 xy2∂fy
∂x
∂
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x∂y
(fy)x
= fyx = 24 xy2
= ( )= = 24x2y 
∂fy
∂y
∂
∂y
∂f
∂y
∂2f
∂y2
(fy)y
= fyy = 24x2y
→
∂2f
∂x∂y
→∂2f
∂y∂x
fyx  →
fxy  →
O número de derivadas parciais de segunda ordem dependerá do domínio da função. Como vimos no exemplo, a
função f(x . y) tinha domínio no R2, assim possuía 4 derivadas de segunda ordem, correspondendo a 2 variáveis
vezes 2 variáveis.
Desse modo, se o domínio da função escalar for no Rn, ela possuirá n2 derivadas de segunda ordem. Vamos ver
o caso do R3, seja g(x, y, z): S ⊂ R3, as derivadas de segunda ordem de g(x, y, z) serão nove:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função h(x, y) = 4x3y + y2 cos(x)
SOLUÇÃO
Inicialmente, precisamos obter as derivadasparciais de primeira ordem
Agora iremos derivar parcialmente as derivadas parciais de primeira ordem para obter as quatro derivadas
parciais de segunda ordem.
 ATENÇÃO
Foram dados exemplos de derivadas parciais de segunda ordem, mas as derivadas parciais de ordem maiores do
que a segunda seguem a mesma notação e o mesmo procedimento.
EXEMPLO 3:
Seja a função f(x, y, z) = 2xez + 3x2y3z – 2 cos x. Determine as derivadas parciais de ordem superior fxyz.
,   ,   ,   ,   ,   ,    e 
∂2g
∂x2
∂2g
∂y∂x
∂2g
∂z∂x
∂2g
∂x∂y
∂2g
∂y2
∂2g
∂z∂y
∂2g
∂x∂z
∂2g
∂y∂z
∂2g
∂z2
= 12x2y − y2 sen(x)∂h
∂x
= 4x3y + 2y cos(x)∂h
∂y
( )= = 24xy − y2 cos(x)∂
∂x
∂h
∂x
∂2h
∂x2
( )= = 12x2 − 2y sen(x)∂
∂y
∂h
∂x
∂2h
∂y∂x
( )= = 12x2y − 2y sen(x)∂
∂x
∂h
∂y
∂2h
∂x∂y
( )= = 4x3 + 2 cos(x)∂
∂y
∂h
∂y
∂2h
∂y2
SOLUÇÃO
Como visto na teoria, a notação fxyz, representa uma derivada parcial de terceira ordem com a seguinte
sequência de derivadas x, y e por último z.
Assim 
As derivadas parciais de ordem superior que envolvem variáveis diferentes são denominadas derivadas mistas
da função.
NOS EXEMPLOS APRESENTADOS ATÉ AQUI, AS DERIVADAS MISTAS
ENVOLVENDO AS MESMAS VARIÁVEIS APRESENTARAM OS MESMOS
VALORES, MAS NEM SEMPRE ISSO ACONTECE. AS DERIVADAS MISTAS,
ENVOLVENDO O MESMO CONJUNTO DE VARIÁVEIS, APENAS EM ORDEM
DIFERENTE, SERÃO IGUAIS SE FOREM FUNÇÕES CONTÍNUAS.
Por exemplo, para o caso do R2, elas serão e . Estas derivadas serão iguais se, e somente se, as
derivadas e forem contínuas. Assim, se uma for contínua, obrigatoriamente a outra também será e terá
o mesmo valor da primeira.
Esta conclusão diminui o número de cálculo para obter as derivadas de ordem superior, pois necessitaremos
apenas fazer a conta uma vez para cada conjunto de derivadas mistas.
fxyz =
∂3f
∂z∂y∂x
= 2ez(x)
'
+ 3y3z(x2)
'
− 2(cosx)
'
= 2ez + 3y3z 2x − 2(−senx)
∂f
∂x
= 2ez + 6xy3z + 2senx
∂f
∂x
= ( )= (2ez)' + 6xz(y3)'
+ (2senx)' = 0 + 6xz 3y2 + 0 = 18xzy2∂2f
∂y∂x
∂
∂y
∂f
∂x
= ( )= 18xy2(z)
'
= 18xy2∂3f
∂z∂y∂x
∂
∂z
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
RESUMO DO MÓDULO 4
TEORIA NA PRÁTICA
A temperatura em uma placa plana é dada pela equação , que apresenta a temperatura (T),
medido em °C em um ponto (x, y), com x e y medida em metros. Um objeto se encontra no ponto (1, ).
Determine a taxa de variação da temperatura sofrida pelo objeto, quando ele segue uma trajetória definida pelo
vetor (2, 4).
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
T (x, y)= √x2 + 2y2
√2
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função de várias variáveis, também conhecida como função
escalar, e suas derivadas.
No primeiro módulo, definimos a função escalar e vimos as suas representações, além de analisarmos o gráfico
e as curvas e superfícies de nível.
No segundo e terceiro módulos, aplicamos as derivadas parciais, o gradiente e a regra da cadeia, bem como
algumas de suas aplicações no cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Por fim, apresentamos a
derivada direcional e as derivadas parciais de ordem superior.
Temos certeza de que, a partir deste momento, você saberá definir e trabalhar com funções escalares e aplicar
suas derivadas.
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AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. 1 ed. Barcelona – Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. cap. 8, p. 243-281
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 8, p.147-162, cap. 12, p. 211-225, cap. 13, p.
245-273 e cap. 14, p. 274-287.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 14, p. 884-977
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet e nas referências:
Sobre funções escalares, derivadas parciais e derivadas direcionais.
Sobre as superfícies planas e espaciais, de forma a conhecer possíveis representações gráficas obtidas por
uma função escalar no plano ou no espaço.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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