ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO EDO PARA ENVIO 2

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<p>UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA – UNAMA</p><p>CURSO: ENGENHARIA ELETRICA.</p><p>ALUNO: UMBERTO VANE PEREIRA.</p><p>MATRÍCULA: 4149237</p><p>ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA</p><p>CÁLCULO VETORIAL E EDO.</p><p>. PROF.: Karla Adriana Barbosa</p><p>Considere o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada</p><p>em um relevo que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E</p><p>que a função V ⃗= x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula em</p><p>movimento. Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada</p><p>situação proposta:</p><p>1 - Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1).</p><p>2 - Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1).</p><p>3 - Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1).</p><p>1 – Calculando o vetor Gradiente do fluxo no ponto (2, -1);</p><p>Função velocidade é dada por �⃗�⃗ = x²y³ - 4y.</p><p>Vetor gradiente de V (x, y) é obtido derivando parcialmente em relação a x e y;</p><p>grad V (x, y) = (</p><p>𝛛𝑉</p><p>𝛛𝑋</p><p>,</p><p>𝛛𝑉</p><p>)</p><p>𝛛𝑌</p><p>Cálculo das derivadas parciais:</p><p>𝜕𝑉 𝜕</p><p>=</p><p>(𝑥2𝑦3 − 4𝑦) = 2𝑥𝑦3</p><p>𝜕𝑥 𝜕𝑥</p><p>𝛛𝑉</p><p>=</p><p>𝛛 (𝑥2 ↓ −4𝑦) = 3𝑥2𝑦2 − 4</p><p>𝛛𝑦 𝛛𝑦</p><p>Substitui-se os pontos (2, -1):</p><p>𝛛𝑉</p><p>𝛛𝑥</p><p>|(2,−1)</p><p>=2(2)(−1)³ = 2(2) (-1) = - 4</p><p>𝛛𝑉</p><p>𝛛𝑦</p><p>|(2,−1)</p><p>=3(2²) (-1) ² - 4 = 3(4)(1) - 4 = 12 - 4 = 8</p><p>O vetor gradiente em (2,-1) é:</p><p>grad V (2,-1) = (-4,8)</p><p>(</p><p>2 – Cálculo da derivada direcional em relação ao vetor;</p><p>𝑡⃗ ⃗= 2⃗⃗⃗�⃗� + 5⃗⃗⃗ �⃗� , no ponto (2, -1):</p><p>Derivada direcional de V na direção do vetor 𝑡⃗⃗ = ⃗2⃗⃗�⃗� + ⃗5⃗⃗ �⃗� é dada pelo:</p><p>𝐷𝑡⃗⃗V = grad V. 𝑡⃗</p><p>No qual 𝑡⃗ é o vetor 𝑡⃗⃗ normalizado.</p><p>Calculamos 𝑡⃗ :</p><p>𝑡⃗ = 𝑡⃗</p><p>⃗</p><p>|𝑡⃗|</p><p>=</p><p>(2,5)</p><p>√22+5²</p><p>=</p><p>(2,5)</p><p>√4+25</p><p>=</p><p>(2,5)</p><p>√29</p><p>Calculamos o produto escalar:</p><p>𝐷 V = (-4, 8). 2 ,</p><p>5</p><p>) = 1 [(−4)(2) + (8)(5)]</p><p>𝑡⃗⃗</p><p>√29</p><p>√29</p><p>√29</p><p>𝐷𝑡⃗⃗</p><p>V = 1</p><p>√29</p><p>(-8 + 40) = 32</p><p>√29</p><p>3° Cálculo da máxima velocidade do ponto;</p><p>A maior velocidade é alcançada na direção do gradiente. O valor máximo da</p><p>derivada direcional é determinado por;</p><p>Máxima velocidade = | grad V (2, -1) |</p><p>Calculando a magnitude do vetor gradiente:</p><p>| grad V (2, -1) | = √(−4)2 + 8² = √16 + 64 = √80 = 4√5</p><p>Sendo assim, a máxima velocidade no ponto (2, -1) é 4√𝟓</p><p>Ao estudar o fluxo de um fluido em uma tubulação que corre ao longo do solo em</p><p>diferentes alturas, o comportamento da velocidade das partículas em movimento é</p><p>essencial para compreender o comportamento do fluido ao longo do caminho;</p><p>Considerando a função velocidade do fluido V = x²y³ - 4y, é possível analisar as</p><p>características importantes deste fluido no ponto específico (2, -1), como o vetor</p><p>gradiente, a derivada da direção e a velocidade máxima;</p><p>O vetor gradiente no ponto (2,-1) é essencial para identificar a direção na qual a taxa</p><p>de variação da velocidade é máxima;</p><p>O gradiente é obtido diferenciando a função em relação às suas variáveis x e y;</p><p>Como vemos o vetor gradiente no ponto (2, -1) e V = -4i +8j;</p><p>Este vetor indica a direção do aumento mais rápido na velocidade no campo de fluxo.</p><p>Então, a derivada da direção da função velocidade em relação ao vetor t = 2i = 5j, no</p><p>ponto (2, -1), é calculada com o produto escalar do vetor gradiente com o normalizado</p><p>vetor t;</p><p>Isso significa, que a taxa de variação da velocidade na direção do vetor t no ponto (2,-</p><p>1) é</p><p>32</p><p>;</p><p>√29</p><p>Finalmente, para determinar a velocidade máxima no ponto (2,-1), devemos</p><p>considerar que o máximo da velocidade estará no ponto (2,-1), direção do vetor</p><p>gradiente, pois este indica a direção do aumento máximo da função;</p><p>A magnitude desta velocidade máxima será dada pela norma da função.</p><p>Embora a direção e a taxa de mudança do fluxo possam ser bem determinadas, a</p><p>velocidade efetiva do fluido neste ponto é zero. Esta dicotomia destaca a importância</p><p>de uma análise abrangente para trazer mais próximos da condição real de fluxo,</p><p>levando em consideração não apenas a direção do fluxo, mas também as condições</p><p>locais, que podem ocasionar variações que e influenciar significativamente o</p><p>comportamento do fluido em um sistema dinâmico como este.</p><p>Referencias:</p><p>https://www.superprof.com.br</p><p>https://www.hardmob.com.br</p><p>https://www.tutorbrasil.com.br</p><p>https://www.superprof.com.br/</p><p>https://www.hardmob.com.br/</p><p>https://www.tutorbrasil.com.br/</p>