Relatório prática - Cálculo Vetorial-EDO_ERONDINO DA SILVA CARVALHO_04081501

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<p>RELATÓRIO DE PRÁTICA</p><p>Erondino da Silva Carvalho, 04081501</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>Erondino da Silva Carvalho</p><p>Matrícula</p><p>04081501</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS: Cálculo Vetorial - EDO</p><p>DADOS DO(A) ALUNO(A):</p><p>NOME: Erondino da Silva Carvalho MATRÍCULA: 04081501</p><p>CURSO: Engenharia Civil POLO: Unama</p><p>PROFESSOR(A): Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo</p><p>Resolvendo os problemas de cálculo relacionados ao fluxo de fluido descrito pela</p><p>função de velocidade �⃑� = x2y3 − 4y. Para isso, é importante entender como calcular o gradiente,</p><p>a derivada direcional e a velocidade máxima.</p><p>Agora, vamos calcular o vetor gradiente do fluxo no ponto (2, −1).</p><p>Dada a função �⃑� (x, y) = x2y3 − 4y. Calcularemos primeiramente o gradiente desta</p><p>função. Onde o gradiente é um vetor que aponta na direção do máximo aumento da função e é</p><p>dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.</p><p>Para calcularmos o gradiente ∇�⃑� , Primeiro temos que encontrar as derivadas parciais de</p><p>�⃑� (x, y)</p><p>- Derivada parcial em relação a x:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥</p><p>(x2y2 – 4y) = 2xy3</p><p>- Derivada parcial em relação a y:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦</p><p>(x2y2 – 4y) = x2 . 3y2 – 4 = 3x2y2 – 4</p><p>Então, o gradiente ∇�⃑� é:</p><p>∇�⃑� = (</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>,</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>) = (2xy3, 3x2y2 – 4)</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>Erondino da Silva Carvalho</p><p>Matrícula</p><p>04081501</p><p>Substituindo x = 2 e y = -1 fica:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2 . 2 . (-1)3 = 2 . 2 . ( -1 ) = - 4</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 3 . 22 . (-1)2 – 4 = 3 . 4 . 1 – 4 = 12 – 4 = 8</p><p>Encontrado, o vetor gradiente no ponto (2, -1) é:</p><p>∇�⃑� (2, -1) = (-4, 8)</p><p>Agora calcularemos a derivada direcional em relação ao vetor t = 2i + 5j no ponto (2,−1).</p><p>A derivada direcional de 𝑉 ⃑⃑ ⃑na direção do vetor t é dada pelo produto escalar do gradiente com</p><p>o vetor unitário na direção de t. Primeiro, normalizamos t.</p><p>Vetor t = (2, 5). Sua magnitude é:</p><p>|| t || = √22 + 52 = √4 + 25 = √29</p><p>O vetor unitário na direção de t é:</p><p>t =</p><p>(2,5)</p><p>√29</p><p>A derivada direcional é encontrada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:</p><p>Derivada direcional = ∇�⃑� . t = (-4, 8 ) .</p><p>(2,5)</p><p>√29</p><p>, logo temos.</p><p>(−4 . 2 + 8 . 5 )</p><p>√29</p><p>=</p><p>−8 + 40</p><p>√29</p><p>=</p><p>32</p><p>√29</p><p>Calcularemos agora a máxima velocidade no ponto (2,−1).</p><p>A máxima velocidade é dada pela magnitude do gradiente, que representa a taxa máxima de</p><p>variação da função 𝑉 ⃑⃑ ⃑.</p><p>A magnitude do gradiente ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ no ponto (2,−1) é:</p><p>|| ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ || = √(</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>)</p><p>2</p><p>+ = √(−4)2 + 82</p><p>= √16 + 64 = √80 = 4√5</p><p>A máxima velocidade no ponto (2,−1) encontrada é 4√5.</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>Erondino da Silva Carvalho</p><p>Matrícula</p><p>04081501</p><p>Texto Argumentativo</p><p>Para resolver problemas de cálculo relacionados ao fluxo de fluido descrito pela função</p><p>𝑉 ⃑⃑ ⃑ (x, y) = x2y3 − 4y, comecei determinando o gradiente da função no ponto (2,−1). O gradiente,</p><p>∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ , é um vetor que aponta na direção de máximo aumento da função e é calculado usando as</p><p>derivadas parciais em relação às variáveis x e y.</p><p>Fiz os cálculos das derivadas parciais como segue abaixo:</p><p>Derivada parcial de 𝑉 ⃑⃑ ⃑em relação a x é</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2xy3.</p><p>Derivada parcial em relação a y é</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 3x2y2 - 4.</p><p>Fiz a substituição de x =2 e y = -1 e obtive:</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2 . 2 . ( -1 )3 = - 4</p><p>𝜕�⃑⃑�</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 3 . 22 . ( -1 )2 = - 4 = 8</p><p>E encontrei o vetor gradiente ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ no ponto (2, -1) é (-4, 8)</p><p>Em seguida, calculei a derivada direcional de 𝑉 ⃑⃑ ⃑ na direção do vetor t = 2i + 5j. A derivada</p><p>direcional é obtida através do produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção de</p><p>t. Normalizamos t, obtendo o vetor unitário t / ∥ t ∥ = (2 / = √29,5 / √29 . O produto escalar</p><p>é então ficou:</p><p>∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ .</p><p>𝐭</p><p>|| 𝑡 ||</p><p>= ( −4 .2 + 8 .5 )</p><p>√29</p><p>=</p><p>32</p><p>√29</p><p>Por fim, a máxima velocidade no ponto (2, −1) é dada pela magnitude do gradiente, que</p><p>representa a taxa máxima de variação da função. Calculamos a magnitude de ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑como:</p><p>|| ∇𝑉 ⃑⃑ ⃑ || = √(−4)2 + 82 = √80 = 4√5</p><p>Em resumo, o vetor gradiente no ponto (2,−1)é (−4, 8), a derivada direcional na direção do</p><p>vetor t é</p><p>32</p><p>√29</p><p>, e a máxima velocidade no ponto é 4√5. Esses cálculos fornecem uma</p><p>compreensão detalhada do comportamento do fluxo de fluido descrito pela função 𝑉 ⃑⃑ ⃑ e suas</p><p>propriedades locais no ponto analisado.</p><p>RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS</p><p>ENSINO DIGITAL</p><p>Erondino da Silva Carvalho</p><p>Matrícula</p><p>04081501</p><p>Referência bibliográficas</p><p>Livro - Stewart, James. Cálculo: Volume 1. 8ª edição. Cengage Learning, 2016.</p><p>Livro - "Fundamentals of Fluid Mechanics" Autor: Bruce R. Monzón, Donald F. Young,</p><p>e Theodore H. Okiishi, Editora: Wiley, Ano: 2013</p><p>Livro - Marsden, Jerrold E., e Anthony J. Tromba. Cálculo Vetorial. 6ª edição. Elsevier,</p><p>2013.</p><p>Apostila: 2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto_EDO</p><p>Livro: Ebook_Cálculo Vetorial e Edo_SER (Versão Digital)</p>