Relatório prática - Cálculo vetorial EDO

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RELATÓRIO DE PRÁTICA 
Lourival Reis da Silva, 04053435 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS 
ENSINO DIGITAL 
 
RELATÓRIO 
DATA: 
 
03/09/2024 
 
 
RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS: Cálculo Vetorial e EDO 
 
DADOS DO(A) ALUNO(A): 
 
NOME: Lourival Reis da Silva MATRÍCULA: 04053435 
CURSO: Engenharia Civil POLO: UNAMA Santarém 
PROFESSOR(A) ORIENTADOR(A): Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo 
 
Atividade proposta: 
No momento da modelagem do fluxo de um fluido, uma abordagem é expressar a 
velocidade de cada partícula individual no fluido. Para fazer isso, podemos descrever esse 
movimento utilizando uma função que usa como entrada as coordenadas de uma partícula, 
e cuja saída seja o vetor velocidade dessa partícula. Uma das formas de representar esse 
processo seria: 
�⃗� como vetor de velocidade 
X e Y, coordenadas de posição 
f, uma função com duas variáveis 
Logo teríamos: 
�⃗�=f(x,y) 
Conside o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada em um relevo 
que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E que a função �⃗�= x² y³ - 4y, 
representa a velocidade de cada partícula em movimento. Considerando essas informações, 
calcule o que se pede, em cada situação proposta: 
Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1) 
Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) 
Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1) 
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-
ii_mat_apostila_ernesto.pdf 
Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto, contendo o máximo de 20 a 30 
linhas, expondo sua argumentação, acerca do solicitado. 
 
 
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf
 
 
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Dada a função de velocidade �⃗�= x² y³ - 4y, resolveremos os problemas sobre cálculo 
ligados ao fluxo de fluido. Para resolver, necessitamos do entendimento objetivo de como 
calcular o vetor gradiente, a derivada direcional e a máxima de velocidade. 
Vamos calcular o vetor gradiente do fluxo no ponto (2,-1). 
A função é dada em �⃗�(x, y) = x2.y3-4y. Primeiramente, iremos calcular o gradiente da 
função descrita, este é o vetor que direciona a máxima de aumento da função e é obtido 
pelas derivadas parciais e, relação a cada variável. 
Para definirmos o vetor gradiente 𝛻�⃗�, deveremos encontrar as derivadas parciais de �⃗�(x,y) 
1. Derivada parcial em relação ao X: 
𝜕�⃗�
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝛾2 − 4𝑦) = 2𝑥𝑦3 
2. Derivada parcial em relação a Y: 
𝜕�⃗⃗⃗�
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑋2 ⋅ 𝑌2 − 4𝑦) = 𝑋2 ⋅ 3𝑦2 − 4 = 3𝑋2𝑦2 − 4. 
Então, o gradiente 𝛻�⃗� é: 
𝛻�⃗� = (
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑥
,
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑦
) = 2𝑥𝛾3, 3𝑥2𝑦2 − 4, agora substituiremos o x=2 e y=-1, obtemos: 
𝜕�⃗�
𝜕𝑥
= 2.2 ⋅ (−1)3 = 2.2 ⋅ (−1) = −4 
𝜕 �⃗⃗�
𝜕𝛾
= 3.2𝑧 ⋅ (−1)2 − 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ 1 − 4 = 12 − 4 = 8 
 Portanto, o vetor gradiente no ponto (2,-1) é: 𝛻�⃗�(2, −1) = (−4,8) 
 Calculando a derivada direcional em relação ao vetor t=2i+5j no ponto (2,-1) 
 A derivada direcional de �⃗� em direção ao vetor t é obtida pelo produto escalar do 
gradiente com o vetor unitário na direção de t. Primeiro equalizamos o t. 
 O vetor t=(2,5), sua magnitude é: 
‖𝑡‖ = √22 + 52 = √4 + 25 = √29 
 O vetor unitário na direção de t é: 𝑡 =
(2,5)
√29
 
 A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário. Derivada 
direcional é 𝛻�⃗� ⋅ 𝑡 = (−4.8) ⋅
(2,5)
√29
, logo obtemos: 
(−4.2+8.5)
√29
=
−8+40
√29
=
32
√29
 
Agora calcularemos a máxima velocidade no ponto (2,-1). 
 
 
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 A máxima velocidade é obtida pela magnitude entre o gradiente que representa a taxa 
máxima de variação da função �⃗�. A magnitude do gradiente 𝛻�⃗� no ponto (2,-1) é: 
‖𝛻�⃗�‖ = √(
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕�⃗⃗�
𝜕𝑦
)
2
= √(−4)2 + 82 = √16 + 64 = √80 = 4√5. 
 Portanto, a velocidade máxima no ponto (2,-1) é 4√5. 
O gradiente da função de velocidade �⃗� = (𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 − 4 no ponto (2, -1) é (-4,8). O 
vetor gradiente é a direção e taxa máxima de variação da velocidade do fluido. No ponto 
(2, -1), o gradiente aponta na direção onde a velocidade obtém velocidade mais 
rapidamente e possui magnitude que indica a intensidade dessa variação. 
 Derivada direcional de �⃗� na direção do vetor t=2i+5j no ponto (2,-1) é 
32
√29
. Esta fornece 
a taxa de variação da velocidade do fluido em direção especificada. A alta taxa de 
variação na direção t nos faz deduzir que é uma direção de fluxo muito eficaz para 
maximizar a velocidade. 
 A máxima velocidade no ponto (2,-1) é obtida pela magnitude do gradiente, que é 4√5, 
este valor representa a máxima taxa de aumento da velocidade do fluido no ponto crítico. 
Indica a eficiência do fluxo no ponto mais intenso. 
Analisando o gradiente (-4, 8), mostra que a velocidade do fluido aumenta mais 
rapidamente na direção de y e diminui em direção a x. Informação chave para analisar e 
compreender onde o fluido segue mais rapidamente. O gradiente de direção pode ser 
usado para ajustar a orientação da tubulação e melhorar o desempenho. 
 A derivada direcional 
32
√29
 indica que, em direção de t, a velocidade do fluido está 
aumentando significativamente. Deduz-se que, para otimizar o fluxo, a tubulação deve 
ser ajustada ou projetada para alinhar com essa direção sempre que possível, pois 
seguindo a maior derivada pode reduzir perdas e obter maior eficiência e fluxo. 
 Quando analisamos a máxima velocidade dada em 4√5 no ponto (2,-1), observamos 
que ela fornece uma métrica sobre eficiência máxima do sistema em ponto crítico. Se o 
sistema não estiver projetado para suportar ou otimizar esse valor em velocidade, há a 
probabilidade de perca em eficiência e possíveis problemas operacionais do sistema. 
 Portanto, a avaliação dos resultados evidencia que a otimização do fluxo no sistema 
pode ser obtida com ajuste no design, alinhando com a direção da derivada direcional 
máxima, alinhando com a máxima velocidade calculada. 
 
 
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Referencia bibliográficas 
 
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_
cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf 
 
"Gradient-Based Optimization for Fluid Flow Problem s" Autores: G. H. Golub, C. F. 
Van Loan Publicado em: Journal of Computational Physics Ano: 2014 
 
Livro de Mecânica dos Fluidos "Fundamentals of Fluid Mech anics" Autor: Bruce R. 
Munson, Donald F. Young, e Theodore H. Okiishi, Editora: Wiley, Ano: 2013 
 
UNIVESP. (23m. 28s.). son. color. port. Disponível em: Acesso em: 30 jan. 2023. 
 
FLEMING, D. M; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson 
 
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf
https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf