AULA 12- MATRIZES E DETERMINENTES

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Disciplina: CÁLCULO I
Prof.: Dr. José André Júnior
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E-mail: andre.jose@mail.uft.edu.br
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Estudo das Matrizes e Determinantes
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MATRIZES
De maneira simples podemos dizer que matrizes são tabelas retangulares de valores, organizadas em linhas e colunas. Estes valores podem representar quantidades específicas, variáveis, equações e até dados nominais. A magnitude de aplicações do conceito e operações de matrizes em diversas áreas do conhecimento (principalmente tecnológico) faz com que o seu estudo seja imprescindível.
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MATRIZES
A magnitude de aplicações do conceito e operações de matrizes em diversas áreas do conhecimento (principalmente tecnológico) faz com que o seu estudo seja imprescindível.
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Dizemos que uma matriz (A) é um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela, Podemos representar genericamente os elementos de uma matriz, isto é, podemos escrever esse elemento utilizando uma representação matemática. O elemento genérico será representado por letras minúsculas (a, b, c…), e, assim como na representação de matrizes, ele também possui índice que indica sua localização. O primeiro número indica a linha em que o elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza. 
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As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (A, B, C…), que são acompanhadas por índices, nos quais o primeiro número indica a quantidade de linhas, e o segundo, o número de colunas.
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COMO FALAMOS... Matrizes são tabelas retangulares (com linhas e colunas) utilizadas para organizar dados numéricos
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A quantidade de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) de uma matriz determina sua ordem. A matriz A possui ordem m por n. As informações contidas em uma matriz são chamadas de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais.
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Ordem
A ordem de uma matriz indica o seu “formato” ou “tamanho”, através do número de linhas e colunas.
A matriz A possui duas linhas e três colunas, logo, sua ordem é dois por três → A2x3.
A matriz B possui uma linha e quatro colunas, logo, sua ordem é um por quatro, por isso recebe o nome de matriz linha → B1x4.
A matriz C possui três linhas e uma coluna, e por isso é chamada de matriz coluna e sua ordem é três por um → C3x1.
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Considere a seguinte matriz A, faremos a listagem de seus elementos.
Observando o primeiro elemento que está localizado na primeira linha e primeira coluna, ou seja, na linha um e coluna um, temos o número 4. A fim de facilitar a escrita, vamos denotá-lo por:
a11 → elemento da linha um, coluna um
Assim temos os seguintes elementos da matriz A2x3:
a11 = 4; a12 =16; a13 = 25; a21 = 81; a22 = 100; a23 = 9
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Tipos de Matrizes
Matriz Nula (ou Matriz Zero)
Matriz Nula (ou Matriz Zero)
Uma matriz é dita “nula”, quando todos os seus elementos são nulos (zero). Simbolicamente: 0 = (aij)mxn tal que aij = 0.
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Matriz Quadrada
Matriz Quadrada
Uma matriz é dita quadrada, quando o número de linhas (m) é igual ao número de colunas (n), ou seja, m = n.
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Representamos a matriz que possui n linhas e n colunas por An (lê-se: matriz quadrada de ordem n).
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Matriz Quadrada
Nas matrizes quadradas, temos dois elementos muito importantes, as diagonais: principal e secundaria. A diagonal principal é formada por elementos que possuem índices iguais, ou seja, é todo elemento aij com i = j. A diagonal secundária é formada por elementos aij com i + j = n +1, em que n é ordem da matriz.
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Matriz Diagonal
Uma matriz é dita diagonal, quando só existem elementos significativos na diagonal principal. Formalmente, dizemos que toda matriz quadrada de ordem “n”, na qual aij = 0 quando i ≠ j, é denominada matriz diagonal.
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Matriz Identidade (ou Unidade)
É uma matriz diagonal onde todos os elementos pertencentes a diagonal principal são iguais a 1. Formalmente, dizemos que toda matriz quadrada de ordem “n”, na qual aij = 0 quando i ≠j e aij = 1 para i = j, é denominada matriz identidade.
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Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo m x n, denominamos a transposta de A [e indicaremos por At], a matriz do tipo n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A.
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Matriz Oposta
Seja uma matriz A qualquer. Definimos como matriz oposta de A, a matriz – A, cujos elementos são opostos aos elementos correspondentes de A.
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Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A, de ordem “n” denomina-se simétrica quando A = At
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Matriz Antissimétrica
Uma matriz quadrada A = [aij] denomina-se antissimétrica quando At = – A
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Matriz Triangular Superior e Inferior
Uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos aij = 0 para i > j denomina-se matriz triangular superior.
Uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos aij = 0 para i < j denomina-se matriz triangular inferior.
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Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais quando forem de mesma ordem e seus elementos correspondentes (mesmo índice) forem iguais. Formalmente, se temos duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, A = B <=> aij = bij 
com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
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Adição e Subtração de Matrizes
Para adicionarmos (ou subtrairmos) duas matrizes A e B, de mesma ordem, basta adicionar (ou subtrair) os elementos correspondentes, ou seja, de mesmo índice.
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Multiplicação de um número real por uma Matriz
Para realizar tal operação, basta multiplicarmos o número real por todos os elementos da matriz em questão.
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Multiplicação de Matrizes
Até o momento, estudamos três operações que envolvem matrizes. A adição, a subtração e a multiplicação de um número real por uma matriz. São operações que envolvem regras relativamente simples.
A multiplicação de matrizes requer uma atenção especial.
O produto de uma matriz por outra NÃO é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. 
Assim, o produto das matrizes A = [aij] m x p e B = [bij] p x n é a matriz C = [cij] m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
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Multiplicação de Matrizes
A = [aij] m x p 
B = [bij] p x n
C = [cij] m x n 
 
Até o momento, estudamos três operações que envolvem matrizes. A adição, a subtração e a multiplicação de um número real por uma matriz. São operações que envolvem regras relativamente simples.
A multiplicação de matrizes requer uma atenção especial.
O produto de uma matriz por outra NÃO é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. 
Assim, o produto das matrizes A = [aij] m x p e B = [bij] p x n é a matriz C = [cij] m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
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Multiplicação de Matrizes
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Multiplicação de Matrizes
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Multiplicação de Matrizes
Portanto: A.B  B.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes NÃO vale a propriedade comutativa.
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Propriedades da Multiplicação de Matrizes
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades..
Observação:
 Vimos que a propriedade comutativa geralmente não vale para a multiplicação de matrizes.
 Não vale também o anulamento do produto, ou seja, sendo Om x n uma matriz nula,
se A.B = Om x n não implica, necessariamente, que A = Om x n ou B = Om x n
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Matriz Inversa
Conceito:
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A.A' = A'.A = In , então A’ é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa de A por A-1.
Condição de existência da matriz inversa:
Nem toda matriz tem inversa. Para uma matriz A ser inversível (ou invertível) será necessário que seu determinante seja diferente de zero, ou seja, det(A) ≠ 0 [estudaremos “determinantes” logo a seguir]
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MatrizInversa
Obtenção da matriz inversa:
Existem alguns métodos para a obtenção de uma matriz inversa, entretanto, neste momento, estudaremos apenas um deles. O método proposto neste momento consiste em APLICAR A DEFINIÇÃO.
Veja: Dada uma matriz A , fazemos: A.A-1 = In para encontrarmos então a matriz A-1.
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Até a próxima aula!
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