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www.mestresdamatematica.com.br4 M AT RI Z Matrizes Matemática www.mestresdamatematica.com.br 2 3ª) Matriz Simétrica: É toda matriz quadrada onde tA A . t t2 5 2 5 A e A A A 5 1 5 1 4ª) Matriz Antissimétrica: É toda matriz quadrada onde tA A . t t t 0 3 0 3 0 3 A A A A A 3 0 3 0 3 0 OBS: Igualdade de Matrizes: Sejam duas matrizes A e B de mesma ordem m n . As matrizes A e B são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes de A e B são iguais. Se a 2 a b 2 3 b 3 c d 5 7 c 5 d 7 4) Operações com Matrizes a) Adição e Subtração de Matrizes Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem m x n. Chamamos de soma das matrizes A e B, e escrevemos A + B a uma matriz C também do tipo m x n, tal que seus elementos sejam obtidos somando-se os elementos correspondentes das matrizes A e B. Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem m x n. Chamamos de subtração das matrizes A e B, e escrevemos A – B , a uma matriz C, também do tipo m x n, tal que seus elementos sejam obtidos subtraindo- se os elementos correspondentes das matrizes A e B. b) Multiplicação de uma matriz por um número real k Seja k um número real e A uma matriz do tipo m x n. Definimos o produto de k por A e escrevemos k·A, como uma matriz B, também do tipo m x n, definida por B = k·A, tal que seus elementos são obtidos multiplicando-se todos os elementos da matriz A pelo número k. EX: Determine a matriz X tal que X 2A 3B , onde 1 2 3 4 2 0 A e B 4 5 6 1 3 5 . 1 2 3 4 2 0 2 4 6 12 6 0 10 2 6 X 2 3 X 4 5 6 1 3 5 8 10 12 3 9 15 5 1 3 hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb www.mestresdamatematica.com.br 5 M AT RI Z Matrizes Matemática www.mestresdamatematica.com.br 3 c) Multiplicação de Matrizes Sejam as matrizes m n n pA e B .Chama-se produto das matrizes A e B, nesta ordem, a matriz m pC tal que cada elemento ijC da matriz C é obtido pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de B. OBS: Somente é possível a multiplicação de duas matrizes, se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, ou seja, m n n p m pA B C , e como resultado, a matriz produto m pC , tem o número de linhas igual ao número de linhas da primeira matriz e o número de colunas igual ao número de colunas da segunda matriz. Por exemplo, sejam as matrizes 2 2 1 3 A 0 4 e 2 3 3 4 1 B 2 1 0 , então observamos que o produto A B existe pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, nesse caso, igual a 2. Portanto o produto A B será da ordem 2 3 A B . 1 3 3 4 1 1 3 3 2 1 4 3 ( 1) 1 1 3 0 9 1 1 0 4 2 1 0 0 3 4 2 0 4 4 ( 1) 0 8 4 0 A 1 4 0 B . 5) Matriz Inversa 1A Sabe-se que uma matriz quadrada A é invertível, se e somente se det A 0 , sendo invertível, teremos que 1 1A A A A I . Se 1 12 5 3 5 A então A pois A A I 1 3 1 2 hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb www.mestresdamatematica.com.br6 M AT RI Z Matrizes Matemática www.mestresdamatematica.com.br 4 1) Sejam 1 1 2 A 4 3 0 , 5 0 3 B 1 2 6 e a transposta de B. O produto da matriz A pela matriz é: a) 9 2 10 8 6 0 21 21 6 b) 5 0 6 4 6 0 c) 5 4 0 6 6 0 d) 1 11 20 10 e) 1 10 2 1 2) Considere as matrizes 1 1 2 M 2 0 3 2 1 1 e 0 2 3 N 1 1 1 . 0 1 2 A matriz M N tem em sua segunda coluna elementos cujo produto vale a) 56 b) 28 c) 0 d) 48 e) – 8 hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb hcddb
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C. 350
D. 204