Matrizes e Determinantes

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Matrizes e Determinantes
As Matrizes e os Determinantes são conceitos utilizados na matemática e em outras áreas como, por exemplo, da informática.
São representadas na forma de tabelas que correspondem a união de números reais ou complexos, organizados em linhas e colunas.
Matriz
A Matriz é um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. As linhas são representadas pela letra 'm' enquanto as colunas pela letra 'n', onde n ≥ 1 e m ≥ 1.
Nas matrizes podemos calcular as quatro operações: soma, subtração, divisão e multiplicação:
Exemplos:
Uma matriz de ordem m por n (m x n)
A = | 1 0 2 4 5|
Logo, A é uma matriz de ordem 1 (com 1 linha) por 5 (5 colunas)
Lê-se Matriz de 1 x 5
Logo B é uma matriz de ordem 3 (com 3 linha) por 1 (1 colunas)
Lê-se Matriz de 3 x 1
Determinante
O Determinante é um número associado a uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz que apresenta o mesmo número de linhas e de colunas (m = n).
Neste caso, é chamada de Matriz Quadrada de ordem n. Em outras palavras, toda matriz quadrada possui um determinante, seja ele um número ou uma função associado à ela:
Exemplo:
Assim, para calcular o Determinante da Matriz Quadrada:
Deve se repetir as 2 primeiras colunas
Encontrar as diagonais e multiplicar os elementos, não esquecendo de trocar o sinal no resultado da diagonal secundária:
Diagonal principal (da esquerda para a direita): (1,-9,1) (5,6,3) (6,-7,2)
Diagonal secundária (da direita para a esquerda): (5,-7,1) (1,6,2) (6,-9,3)
Portanto, o Determinante da matriz 3x3 = 182.
Curiosidades
Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) foi um matemático francês que inventou um método para o encontrar os determinantes das matrizes quadradas de ordem 3 (3x3) conhecido como a "Regra de Sarrus".
O "Teorema de Laplace", um método para calcular o determinante de qualquer tipo de matriz quadrada, foi inventado pelo matemático e físico francês Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827).
Os determinantes considerados nulos são aqueles em que a soma dos elementos de qualquer das diagonais seja igual a zero.
São tipos de Matrizes Quadradas: Matriz Identidade, Matriz Inversa, Matriz Singular, Matriz Simétrica, Matriz Positiva Definida e Matriz Negativa. Há também as matrizes transpostas e opostas.
Tipos de Matrizes
Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. São classificadas em: matriz linha, coluna, nula, quadrada, transposta, oposta, identidade, inversa e iguais.
Definição de Matriz
Antes de mais nada, devemos atentar ao conceito de matriz. Trata-se de uma representação matemática que inclui em linhas (horizontais) e colunas (verticais) alguns números naturais não-nulos.
Os números, chamados de elementos, são representados entre parênteses, colchetes ou barras horizontais.
Representações de uma matriz
Regra de Sarrus
Regra de Sarrus é um método prático usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, sendo o determinante um número associado a uma matriz quadrada e seu cálculo depende da ordem da matriz.
Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada genérica do tipo 3X3 (3 linhas e 3 colunas), fazemos as seguintes operações:
Passo a passo
Note que decorar a fórmula do determinante de uma matriz de ordem terceira, indicada acima, não é uma tarefa fácil. Sendo assim, utilizamos a regra de Sarrus.
Para aplicar o método, devemos seguir os seguintes passos:
1º passo: Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas.
2º passo: Multiplicar os elementos localizados na direção da diagonal principal, com o sinal de mais na frente de cada termo. Observe que são tomadas as diagonais que apresentam 3 elementos.
O resultado será: a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
3º passo: Multiplica-se os elementos localizados na direção da diagonal secundária, trocando o sinal do produto encontrado.
O resultado será: - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33
4º passo: Juntar todos os termos, resolvendo as adições e subtrações. O resultado será igual ao determinante.
A regra de Sarrus pode ainda ser feita considerando o seguinte esquema:
Classificação das Matrizes
Matrizes Especiais
Há quatro tipos de matrizes especiais:
Matriz Linha: formada por uma única linha, por exemplo:
Matriz Coluna: formada por uma única coluna, por exemplo:
Matriz Nula: formada por elementos iguais a zero, por exemplo:
Matriz Quadrada: formada pelo mesmo número de linhas e colunas, por exemplo:
Matriz Transposta
A matriz transposta (indicada pela letra t) é aquela que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz.
No entanto, os elementos iguais entre as duas são invertidos, ou seja, a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra. Ou ainda, a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.
Matriz Oposta
Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:
Matriz Identidade
A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero):
Matriz Inversa
A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.
A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)
Obs: Para encontrar a matriz inversa utiliza-se a multiplicação de matrizes.
Igualdade de Matrizes
Quando temos matrizes iguais, os elementos das linhas e das colunas são correspondentes:
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