Operações e Propriedades de Matrizes

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
MATRIZES 
Prof. Wellington Nishio 
 
MATRIZES 
 
Definição: Chamamos de matriz m x n (lê-se, m por n) 
com n  N* e m  N* qualquer tabela formada por m 
x n números dispostos em m linhas e n colunas. 
Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro 
o número de linhas e, em seguida, o número de 
colunas. 
Utilizamos letras maiúsculas para representar as 
matrizes e minúsculas para representar os elementos 
da matriz, acompanhados de dois índices: o primeiro 
indica a linha a qual o elemento pertence e o segundo 
indica a coluna a qual o elemento pertence. 
De modo geral, uma matriz A do tipo m x n é 
representada, algebricamente, por: 
A = 
















mnm3 m2m1
3n 333231
2n 232221
1n 1312 11
a aa a
 
a a a a
a a a a
a a aa





 
e fica convencionado que as linhas são numeradas de 
cima para baixo e as colunas da esquerda para a 
direita. 
A matriz A também pode ser representada da seguinte 
maneira: 
 
A = (aij) m x n onde i e j representam, respectivamente, a 
linha e a coluna onde o elemento aparece. 
Por exemplo, na matriz anterior o elemento a32 é o 
elemento da 3ª linha e 2ª coluna. 
 
Construção de matrizes através de uma fórmula 
dada 
 
Exemplo: 
Construa a matriz A = (aij) 3 x 2 em que aij = i – j. 
 
Observações: 
1) Matriz Linha: É quando uma matriz é constituída 
apenas por uma única linha. 
2) Matriz coluna: É quando uma matriz é constituída 
apenas por uma única coluna. 
3) Matriz nula: É quando todos os elementos de uma 
matriz são nulos. 
 
Matriz oposta 
Dada uma matriz B = (bij)m x n, a sua matriz oposta será 
representada por –B. Isso significa que para encontrar 
o oposto de uma matriz basta tornar todos os elementos 
da matriz em seus opostos. 
 
Matriz Quadrada 
Definição: É quando uma matriz tem o número de 
linhas igual ao número de colunas. 
OBS: Traço de uma matriz(Tr): é a soma dos 
elementos da diagonal principal de uma matriz. 
Propriedades do Traço: 
i) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) 
ii) Tr(k.A) = k.Tr(A) 
iii) Tr(AB) = Tr(BA) 
iv) Tr(At) = Tr(A) 
 
 
 
Matriz diagonal 
Definição: É quando uma matriz quadrada A = (aij)n x n, 
(n ≥ 2) e aij = 0 para todo i ≠ j, ou seja, se todos os 
elementos que não pertencem a diagonal principal são 
nulos, sendo os elementos da diagonal principal nulos 
ou não. 
Observação: 
Toda matriz quadrada nula é uma matriz diagonal. 
 
Matriz identidade 
Definição: É uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2) 
em que os elementos da diagonal principal são todos 
iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0. 
As matrizes identidades são representadas pela letra In, 
onde n representa a ordem da matriz. 
 
Igualdade de matrizes 
Definição: Quando duas matrizes A e B, do mesmo 
tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os 
elementos que ocupam a mesma posição são 
idênticos. 
 
Matriz transposta 
Definição: Dada uma matriz A = (aij)m x n chamamos de 
matriz transposta de A a matriz do tipo n x m que tem 
as linhas ordenadamente iguais às colunas de A. 
Representaremos a matriz transposta de A por At. 
 
Teorema 
A matriz transposta goza das seguintes propriedades: 
(1) (At)t = A para toda matriz A = (aij)m x n 
(2) Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, então (A + B)t = At + Bt 
(3) Se A = (aij)m x n e K  R, então (kA)t = k . At
 
(4) A = (aij)m x n e e B = (bjk)n x p, então (AB)t = Bt.At 
 
Matriz simétrica 
Definição: Dada uma matriz quadrada A = (aij)m x m 
chamamos de matriz simétrica quando A = At. 
 
Matriz Antissimétrica 
Definição: Dada uma matriz quadrada A = (aij)m x m 
chamamos de matriz simétrica quando A = -At. 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Soma 
Consideremos duas matrizes, A e B, do mesmo tipo 
m x n. 
A matriz C do tipo m x n, obtida pela soma dos 
elementos correspondentes de A e B, é chamada 
matriz soma de A com B indicada por A + B. Em 
símbolos, temos: 
 
A + B = C, onde aij + bij = cij para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 
1 ≤ j ≤ n. 
 
Teorema 
A adição de matrizes do tipo m x n goza das seguintes 
propriedades: 
(1) é associativa: (A + B) + C = A + (B + C) quaisquer 
que sejam A, B e C do tipo m x n. 
(2) é comutativa: A + B = B + A quaisquer que sejam A 
e B, do tipo m x n. 
(3) tem elemento neutro: AMA|M =+ qualquer que 
seja A do tipo m x n. 
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(4) todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m 
x n: M'AA|'A =+ . 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz 
Definição: Dada uma matriz A = (aij) e um número real 
k, chama-se produto de k por A a matriz B = (bij), em 
que bij = k . aij. 
 
B = k . A  bij = k . aij 





n} ..., 3, {1,2, 
m} ..., 3, 2, {1, i
j
. 
 
Para multiplicar um número real por uma matriz, basta 
apenas multiplicar todos os elementos da matriz por 
esse número real e o resultado obtido será uma matriz 
de mesma ordem. 
Teorema 
o produto de um número por uma matriz goza das 
seguintes propriedades: 
(1) a . (b . A) = (ab) . A 
(2) a . (A + B) = a . A + a . B 
(3) (a + b) . A = a . A + b . A 
(4) 1 . A = A 
onde A e B são matrizes quaisquer do tipo m x n e a e 
b são números reais quaisquer. 
 
Multiplicação de matrizes 
Definição: Dada uma matriz A = (aij)m x n e uma matriz 
B = (bjk)n x p, denomina-se produto de A por B a matriz 
C = (cik)m x p, tal que o elemento cik é a soma dos 
produtos da i-ésima linha de A pelos elementos 
correspondentes da j-ésima coluna de B. 
 
C = A . B  cij = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk 
 
Teorema 
A multiplicação de matrizes goza das propriedades 
seguintes: 
(1) é associativa: (AB)C = A(BC) quaisquer que sejam 
as matrizes A = (aij)m x n, B = (bjk)n x p e C = (Ckl)p x r 
(2) é distributiva à direita em relação à adição: 
(A + B)C = AC + BC quaisquer que sejam as matrizes 
A = (aij)m x n, B = (bij)m x n e C = (Cjk)n x p 
(3) é distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB 
quaisquer que sejam as matrizes A = (aij)m x n, 
B = (bij)m x n e C = (Cki)p x m 
(4) (kA)B = A(kB) = k(AB) quaisquer que sejam o 
número k e as matrizes A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p 
(5) A matriz identidade é o elemento neutro da 
multiplicação de matrizes. 
I . A = A ou A . I = A 
(6) A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
 
Matriz inversa 
Definição: Consideremos uma matriz quadrada A e 
outra matriz quadrada B, ambas de ordem n ≥ 2, de 
modo que A . B = In, dizemos que a matriz A é inversível. 
A matriz B (que é única) é chamada de matriz inversa 
de A e indicada por A-1. 
Observações: 
1) Uma matriz nula não admite inversa. 
2) Toda matriz identidade é inversível e igual à sua 
inversa (In = 1
nI− ). 
3) Se uma matriz não admite inversa, dizemos que ela 
é não-inversível ou singular. 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2002) O elemento 2,3X da matriz solução 
da equação matricial 










=










+
80
162
410
86
42
11
X3 é 
a) 0 
b) – 2 
c) 3 
d) 1 
 
2. (EEAr - 2002) Dadas as matrizes 










−
−
−
=
100
121
305
A e
,
42
30
11
B









 −
= o elemento C12 da matriz C = A.B é 
a) -17 
b) 7 
c) -3 
d) 3 
 
3. (EEAr – 2003) Sendo 




−
=





−





− 3
7
5
4
.
3y
x2
, os 
valores de x e y na matriz acima são, respectivamente, 
a) 3 e –3 
b) –3 e 3 
c)
2
9
 e –3 
d) –3 e 
2
9
 
 
4. (EEAr – 2003) Dadas as matrizes 





−
=
41
03
A e 






−
=
01
12
B , então ABBA − é igual a: 
a) 





00
00
 
b) 




 −
05
32
 
c) 




−
19
71
 
d) 




−
72
13
 
 
5. (EEAr – 2004) Seja B uma matriz. Se 






−
=





−− 23
18
B.
25
32
, então o elemento b21 da matriz B 
é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
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Prof. Wellington Nishio6. (EEAr – 2004) Considere as matrizes 




 −
=
02
11
A , 






=
10
12
B e 





=
11
11
C . Então AB + C é igual a: 
a) 





11
03
 
b) 
3 1
5 3
 
 
 
 
c) 





31
53
 
d) 




−
12
11
 
 
7. (EEAr – 2005) Sabendo-se que 





=+
43
21
NM e 






=−
00
01
NM , a matriz N é igual a 
a) 








2
2
3
11
 
b) 








2
2
3
01
 
c) 








2
2
3
10
 
d) 








20
2
3
1
 
 
8. (EEAr - 2005) Sendo A uma matriz 3 X 4 e B uma 
matriz N X M, coloque V (Verdadeira) ou F (Falsa) nas 
afirmações a seguir: 
( ) Existe A + B se, e somente se, N = 4 e M = 3. 
( ) Existe A . B se, e somente se, N = 4 e M = 3. 
( ) Existem A . B e B . A se, e somente se, N = 4 e 
M = 3. 
( ) A + B = B + A se, e somente se, A = B. 
( ) A . B = B . A se, e somente se, A = B. 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
a) V - V - V - V - V 
b) F - V - F - V - F 
c) F - F - V - F - F 
d) V - V - V - F - V 
 
9. (EEAr – 2006) Se 




 −
=
yx
12
B é a matriz inversa de






=
41
21
A , então x – y é 
a) 2. 
b) 1. 
c) –1. 
d) 0. 
 
 
10. (EEAr – 2006) Sendo 





−
=
12
43
A e 




 −
=
30
25
B , a 
soma dos elementos da 2ª linha de (A – B)t é igual a: 
a) -4 
b) -2 
c) 2 
d) 4 
 
11. (EEAr - 2006) Sendo ,
301
354
Be
54
12
A 







−
=






 −
= a 
soma dos elementos da 1ª linha de "A.B" é 
a) 22 
b) 30 
c) 46 
d) 58 
 
12. (EEAr – 2007) Sejam as matrizes 




 −
=
22
11
A e 






−
−
=
30
11
B . Se At e Bt são as matrizes transpostas de 
A e B, respectivamente, então At + Bt é igual a: 
a) 





−10
20
 
b) 





−− 32
12
 
c) 





−− 22
20
 
d) 




 −
50
10
 
 
13. (EEAr – 2008) A soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz A = (aij)3x3, tal que 




=+

=
jisej,i
jise,i
a
2
ij é 
um número 
a) múltiplo de 3. 
b) múltiplo de 5. 
c) divisor de 16. 
d) divisor de 121. 
 
14. (EEAr – 2008) Sejam as matrizes 





−
=
12
a4
A e 






=
2
b
B . Se A . B é uma matriz nula 2 x 1, então a + b é: 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
15. (EEAr - 2009) Seja 







−
−
=
−
x1
12
A
1 a matriz inversa 
.
21
11
A 







= Sabendo que A.A-1 = I2, o valor de x é 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
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16. (EEAr – 2010) Seja a matriz A = (aij)2x2 tal que 
aij = 



+
=
jise,ji
jise,0
. A soma dos elementos de A é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
17. (EEAr - 2010) Sejam as matrizes Am x 3, Bp x q e 
C5 x 3. Se A. B = C, então m + n + q é igual a 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
 
18. (EEAr – 2011) Seja 





=
10
11
P e Pt a matriz 
transposta de P. A matriz Q = P.Pt é 
a) 





21
21
 
b) 





11
12
 
c) 





01
11
 
d) 





02
11
 
 
19. (EEAr – 2012) Na matriz 









 −
=
3...5
12...
101
A faltam 2 
elementos. Se nessa matriz aij= 2i – j, a soma dos 
elementos que faltam é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
20. (EEAr – 2013) Sejam as matrizes 





−
=
10
11
A e 





−
=
01
21
B . A soma dos elementos da A.B é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
 
21. (EEAr – 2014) Seja a matriz 







−
=
26
24
A . A matriz 
A
2
1
X = tem como soma de seus elementos o valor 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 1 
22. (EEAr – 2016) Se 







− 21
a1
e 






 −
k2x
1b
 são matrizes 
opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamente 
a) 1, -1, 1, 1 
b) 1, 1, -1, -1 
c) 1, -1, 1, -1 
d) -1, -1, -2, -2 
23. (EEAr – 2019) Dadas as matrizes 
1 3
A
2 0
 
=  
 
 e 
0 1
B
1 2
 
=  
 
, o produto A . B é a matriz 
a) 
3 7
2 2
 
 
 
 
b) 
4 7
2 2
 
 
 
 
c) 
3 7
0 2
 
 
 
 
d) 
4 4
0 2
 
 
 
 
 
24. (EEAr - 2019) Considere as tabelas das lojas A e 






=
4554
5432
A e 





=
2433
3445
B , em que cada 
elemento aij ou bij representa o número de unidades 
vendidas do produto i no dia j. Considerando as 
quantidades vendidas nas duas lojas juntas, por dia, o 
melhor dia de vendas foi o dia ____. 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
25. (EEAr – 2020) Sejam as matrizes
1 3
A
2 5
− 
=  
 
 e 
0
B
11
 
=  
− 
. Se X é uma matriz tal que A . X = B, então 
a soma dos elementos da matriz X é 
a) -4 
b) -2 
c) 2 
d) 4 
 
26. (EEAr – 2021) Seja A = (aij) uma matriz de ordem 
2x2m com 
( )
i j
i
2 ,i j
.
1 ,i j
+ =

− 
 Considere 1 a b
A
c d
−  
=  
 
 a 
matriz inversa de A. Então, a soma dos elementos 
a + b é: 
a) 18 b) 17/65 c) 19/20 d) 12/17 
 
27. (EEAr – 2021) Sejam as matrizes t 2 4
A
x 1 3
 
=  
+ 
e 
t 1 2y 3
B
3 1
− 
=  
− 
 
Se 
3 2
A B
5 4
 
+ =  
 
 , então x + y é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
 
 
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28. (EsPCEx – 2001) Uma fábrica de doces produz 
bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos 
acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A 
tabela 1 abaixo fornece a quantidade de bombons de 
cada tipo que compõe as caixas grandes e pequenas, 
e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada 
tipo produzidas em cada mês do 1° trimestre de um 
determinado ano. 
 
 
Se associarmos as matrizes 












=
73
84
52
A e 








=
180150120
130220150
B às tabelas 1 e 2 
respectivamente, o produto A.B fornecerá 
a) a produção média de bombons por caixa fabricada. 
b) a produção total de bombons por caixa fabricada. 
c) número de caixas fabricadas no trimestre. 
d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de 
bombom. 
e) a produção mensal de cada tipo de bombom. 
 
29. (EsPCEx – 2002) As matrizes A, B e C são do tipo 
r x s, t x u e 2 x w, respectivamente. Se a matriz (A−B).C 
é do tipo 3 x 4, então r + s + t + u + w é igual a 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
30. (EsPCEx – 2012) Considere as matrizes








=
x1
53
A
e







 +
=
3y
4yx
B . Se x e y são valores para os quais B é 
a transposta da inversa da matriz A, então o valor de x 
+ y é 
a) -1 
b) -2 
c) -3 
d) -4 
e) -5 
 
31. (EsPCEx – 2013) O elemento da segunda linha e 
terceira coluna da matriz inversa da matriz 












110
012
101
é: 
a) 
3
2
 b) 
2
3
 c) 0 d) -2 e) 
3
1
− 
 
32. (EsPCEx – 2019) Duas cidades A e B têm suas 
áreas urbanas divididas em regiões Comercial, 
Residencial e Industrial. A tabela 1 fornece as áreas 
dessas regiões em hectares para as duas cidades. A 
tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais médios 
de arrecadação, em milhões de reais por hectare, 
referentes ao Imposto Predial e Territorial Urbano 
(IPTU), ao fornecimento de energia elétrica e ao 
fornecimento de água. 
 
 
 
Considere as matrizes T1 e T2, associadas 
respectivamente às tabelas 1 e 2. 
 
 
   
= =   
    
1 2
12 6 5
10 25 42
T T 25 12 60
8 12 18
15 10 50
 
 
Seja aij os elementos da matriz resultante do produto 
T1·T2. Nessas condições, a informação 
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas 
residenciais. 
b) fornecimento da água da cidade A. 
c) fornecimento da água nas áreas residenciais. 
d) IPTU nos distritos industriais. 
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
 
33. (AFA - 2007) Assinale a alternativa INCORRETA. 
a) Se 








−
−
=
69
46
C , então C2 é matriz nula. 
b) Se 












=
111
111
111
3
1
A , então A2 = A. 
c) A matriz M = (mij)3x3 tal que mij = ( ) 1ji + , sendo 
i  {1, 2, 3} e j  {1,2, 3}, é uma matriz simétrica. 
d) Dada uma matriz quadrada T não-nula, a operação 
T - Tt, em que Tt é a matriz transposta de T, tem como 
resultado uma matriz anti-simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
MATRIZES 
Prof. Wellington Nishio 
34. (AFA - 2010) Para a fabricação de três modelos de 
avião, a Embraer precisa de alguns equipamentos, 
conforme a tabela abaixo 
 
Para o ano de 2009, a Embraer recebeu encomendas 
dos três modelos, conforme a tabela abaixo 
 
Sabendo-se que a quantidade necessária de poltronas 
para a fabricação dos três modelos de aviões no ano 
de 2009 é 3280, então a soma dos algarismos de y é 
igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
35. (EFOMM - 2008) Considere a matriz 








=
0
2
1
20
A . 
A matriz onde 
=
10
1j
jA é: 
a) I2x2 
b) A 
c) I2x2 + A 
d) 5.( I2x2 + A) 
e) 7A 
 
36. (EFOMM - 2008) Seja 








−
−
=
301
012
A e 












−
−−
−
=
0204
1312
1041
B e C=A.B, o resultado de 
211423 ccc ++ é: 
a) um número natural menor que 2. 
b) um número cujo sua raiz quadrada resulta em um 
número complexo conhecido como imaginário. 
c) o mesmo resultado que a soma dos inversos das 
raízes da equação x2 - 2x - 1 = 0 . 
d) o mesmo resultado que o conjunto verdade da 
equação exponencial 2x+2 + 2x-1 =18 
e) o mesmo resultado do produto dos 6 primeiros 
termos da P.G (2-1,2-2 ,2-3 ,...) 
 
 
37. (EFOMM - 2006) Se 








=
10
21
M e 








=
11
02
N então 
MN - NM é: 
a) 








−
−
20
22
 
b) 








00
00
 
c) 








10
01
 
d) 








11
24
 
e) 








−
−
01
21
 
 
38. (EFOMM – 2017) Para descrever um código que 
permite transformar uma palavra P de três letras em um 
vetor w  R3, inicialmente, escolhe-se uma matriz 3 x 3. 
Por exemplo, a nossa “matriz-código” será: 
2 2 0
A 3 3 1 .
1 0 1
 
 
=
 
  
 
A partir da correspondência: 
A → 1 / B → 2 / C → 3 / D → 4 / E → 5 / F → 6 / G → 7 
/ H → 8 / I → 9 / J → 10 / L → 11 / M → 12 / N → 13 / 
O → 14 / P → 15 / Q → 16 / R → 17 / S → 18 / T → 19 
/ U → 20 / V → 21 / X → 22 / Z → 23 
a palavra P é transformada no vetor v  R3. Em 
seguida, o código da palavra P é obtido pela operação 
w = Av. Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao 
vetor (12,1,17) = v, a qual é codificada com 
w = Av = (26,56,19). Usando o processo acima para 
decodificar w = (64,107,29), teremos: 
a) x = 18, y = 14, z = 11 / SOL 
b) x = 12, y = 5, z = 11 / MEL 
c) x = 12, y = 1, z = 20 / MAU 
d) x = 11, y = 20, z = 1 / LUA 
e) x = 20, y = 21, z = 1 / UVA 
 
39. (ITA – 2015) Seja A = (aij)5x5 a matriz tal que 
aij = 2i-1(2j – 1), 1 ≤ i.j ≤ 5. 
Considere as afirmações a seguir: 
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão 
aritmética de razão 2i. 
II. Os elementos de cada coluna j formam uma 
progressão geométrica de razão 2. 
III. tr A é um número primo. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas II e III. 
d) apenas I e III. 
e) I, II e III. 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
MATRIZES 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
40. (ITA – 2016) Se 
1 1
M
2 0
− 
=  
 
 e 
2 1
N
1 3
 
=  
− 
, então 
MNT – M-1N é igual a: 
 
a) 
3 5
2 2
5 3
2 2
 
− 
 
 
−
  
 
b) 
3 1
2 2
7 5
2 2
 
− 
 
 
−
  
 
c) 
3 11
2 2
13 5
2 2
 
− 
 
 
−
  
 
d) 
3 5
2 2
13 3
2 2
 
− 
 
 
−
  
 
e) 
3 11
2 2
13 3
2 2
 
− 
 
 
−
  
 
 
41. (EN – 2010 - Adaptada) Coloque F (falso) ou V 
(verdadeiro) nas afirmativas abaixo, assinalando a 
seguir a alternativa correta. 
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas então AB 
também é simétrica. 
( ) Se A e B são matrizes reais n x n então 
A2 - B2 = (A = B) . (A - B). 
( ) Se A é uma matriz real quadrada e A2 = 0 então A 
= 0 
a) F V F 
b) V V V 
c) V F F 
d) F F F 
e) F V V 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 25, 31, 37, 38 
B) 6, 17, 18, 20, 24, 26, 27, 34 
C) 4, 7, 8, 9, 15, 16, 22, 23, 30, 33, 36, 40 
D) 5, 10, 19, 21, 35, 41 
E) 28, 29, 32, 39