sld_1 Tópicos de Matemática (PRD)

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Unidade I 
 
 
 
 
Tópicos de matemática 
 
 
 
Profª Isabel Espinosa 
Matrizes 
 Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e 
colunas. 
 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou 
complexos), funções, vetores ou ainda outras matrizes. 
 
 
Matrizes 
Aplicação – uma tabela das distâncias (em milhas inglesas) de 
vôo entre as cidades indicadas: 
 
 Londres Madri Nova York Tóquio 
 
Londres 
Madri 
Nova York 
Tóquio 
 
Fonte: Kolman p.11 
 
 
 0 785 3469 5959 
 
 785 0 3593 6706 
 
3469 3593 0 6757 
 
5959 6706 6757 0 
 
Matrizes 
 
 a11 a12 a13 . . . a1n 
 
Amxn = a21 a22 a23 . . . a2n = ( aij )mxn 
 . . . . 
 . . . . 
 . . . . 
 am1 am2 am3 . . .amn 
 
 
 
Amxn lê-se “matriz m por n” 
 
m linhas e n colunas 
 
 
Matrizes 
A i-ésima linha de A: aij , com 1 ≤ j ≤ n 
ai1 ai2 ai3 . . . ain 
 
A j-ésima coluna de A: aij , com 1 ≤ i ≤ m 
a1j 
a2j 
 . 
. 
. 
amj 
 
Matrizes 
Uma matriz pode ser escrita nas seguintes formas: 
 Entre colchetes 
 
 
 Entre parênteses 
 
 
 Entre barras duplas 
 
 3 - 4 
0 15 
 3 - 4 
 0 15 
 3 - 4 
0 15 
Matrizes 
Exemplos de matrizes: 
x - 2 
2 
0 5y 
1 2π 
A3x2 = 
 3 
-2 
 4 
D3x1 = 
Matrizes 
 
 , Identidade de ordem 2 1 0 
0 1 
C2x2 = = I2 
 3 - 2 4 E1x3 = 
 3i B1x1 = 4 
Matrizes 
 O elemento aij de uma matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 a13 = 39 linha 1 coluna 3 
 a32 = 153 linha 3 coluna 2 
 a44 = 0 linha 4 coluna 4 
 
 
 
 0 52 39 10 
 
 14 2 -34 8 
 
 9 153 0 22 
 
 0 - 6 57 0 
 
Matrizes 
 Igualdade de matrizes: 
 Amxn = ( aij ) Brxs = ( bij ) 
 
 A = B ⇔ m = r e n = s e aij = bij 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 A = B 
 
 23 ln e - 5/2 
 2 25 1 
 8 1 - 10/4 
 2 32 50 
A = 
 
 
B = 
Matrizes 
Exemplo: 
1) Determine os valores de x e y de modo que as matrizes A e B 
sejam iguais. 
 
 
 1 4 
x – 2y -3 
0 10 
B3x2 = 
2x + 1 4 
6 y 
x2 100 
A3x2 = 
Matrizes 
A = B : mesmo tipo e elementos correspondentes iguais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo x = 0 e y = -3 
 
 
2x + 1 = 1 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0 
4 = 4 ok! 
y = - 3 
 
x2 = 0 ⇒ x = 0 
x – 2 y = 6 ⇒ 0 – 2 (- 3) = 6 ⇒ 6 = 6 ok! 
10 = 10 ok! 
 
Matrizes 
2) Determine os valores de m e n de modo que as matrizes A e 
B sejam iguais. 
 
 
 3 4 
-2 5 
 6 102 
B3x2 = 
m 4 
-2 n+1 
m+n 100 
A3x2 = 
Matrizes 
A = B ⇔ m = r e n = s e aij = bij 
igualando os elementos correspondentes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema não tem solução, logo A ≠ B 
 
 
m = 3 
-2 = - 2 ok! 
m + n = 6 ⇒ 3 + 4 = 6 (falso) 
 
4 = 4 ok! 
n + 1 = 5 ⇒ n = 4 
100 = 102 ok! 
 
Interatividade 
Os valores de x e y para termos A = B 
 
 
 
a) x = 2 e y = 1 
b) x = 4 e y = - 1 
c) x = - 4 e y = 1 
d) x = - 1 e y = 4 
e) x = - 2 e y = 1 
 
 -2 2x 
 y3 0 
A2x2 = -2 8 
-1 0 
B2x2= 
Resposta 
a) x = 2 e y = 1 
b) x = 4 e y = - 1 
c) x = - 4 e y = 1 
d) x = - 1 e y = 4 
e) x = - 2 e y = 1 
 
 -2 2x 
 y3 0 
 -2 8 
-1 0 
= 
- 2 = - 2 ok! 
2 x = 8 ⇒ x = 4 
y3 = - 1 ⇒ y = - 1 
0 = 0 ok! 
Matrizes 
Matriz através de uma condição 
Exemplos: 
 
1)A = (aij) 2x2 e 
 
aij = 
2 se i = j 
 
1 se i ≠ j 
Matrizes 
 
 A = (aij) 2x2 
 
a11= 2 
a12= 1 
a21= 1 
a22= 2 
aij = 
2 se i = j 
 
1 se i ≠ j 
 2 1 
 1 2 
A2x2 = 
Matrizes 
 
2)Determinar os elementos a13 , a22 , a32 da matriz A = (aij) 3x2 
 
 sendo 
 
 
 
a13: i = 1 e j = 3 então i j, logo a32 = i + j = 3 + 2 = 5 
 
 
aij = 
i + j se i > j 
-1 se i = j 
1 se i j 
 1 3 
 0 1 
a) A = 
 1 5 
 0 1 
b) A = 
 1 0 
 5 1 
c) A = 
 1 0 
 3 1 
d) A = 
 1 0 
- 3 1 
e) A = 
Resposta 
 
 A = (aij)2x2 tal que: 
 
 
 
 
a11 = 1 e a22 = 1, pois i = j 
a12 = 0, pois 1 1, assim 
a21 = 2 . 2 - 1 = 4 - 1 logo a21 = 3 
 
 
 
aij = 
0 se i j 
 1 0 
 3 1 
d) A = 
Operações com matriz 
Adição: 
A = (aij)mxn 
 A + B = (aij + bij)mxn 
B = (bij)mxn 
Exemplo: 
 
 
 
 
 A B A + B 
 1 -2 
 6 0 
 2 -5 
+ = = 
 0 4 
 -2 -5 
 7 10 
 1+0 -2+4 
 6-2 0-5 
 2+7 -5+10 
 1 2 
 4 -5 
 9 5 
Operações com Matrizes 
Multiplicação por escalar 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
2 10 
 - 4 
 
- 3 * = = 
-3*2 -3*10 
-3* -3*(- 4) 
 
-6 -30 
-1 12 
1 
3 
1 
3 
 a b 
 c d 
α * = 
 α*a α*b 
 α*c α*d 
Operações com Matrizes 
Transposta de A (AT ou A’): 1ª linha vira 1ª coluna e assim por 
diante. 
 
Exemplo: 
 2 1 
 0 3 
-1 4 
A = 
 2 0 -1 
 1 3 4 
AT = 
Multiplicação de Matrizes 
Importante: 
 
 
 
 
 
 
Notações: A*B, AB, A.B 
mxnpxnmxpCBA =*
Tem que ser iguais 
Multiplicação de Matrizes 
A multiplicação de matrizes não é comutativa 
 
Podemos ter: 
 existe AB e não existe BA. 
 
 existe AB e BA, tipos diferentes 
 
 existe AB e BA, mesmo tipo 
( A e B quadradas de mesma ordem) mas A ≠ B 
 
Multiplicação de Matrizes 
 
A = (aik)mxp 
 A . B = C = (cij) mxn 
B = (bkj)pxn 
 
 
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj (linha por coluna) 
 
 
Multiplicação de Matrizes 
Determinar o produto das matrizes: 
 1 2 
 3 -1 
1) A = 
2x2 
 3 1 
 4 3 
 B = 
2x2 
 1 2 
 3 -1 
 A . B = . = 
 3 1 
 4 3 
 1.3 + 2.4 1.1 + 2.3 
 3.3 - 1.4 3.1 - 1.3 
11 7 
 5 0 
A . B = 
2x2 
Multiplicação de Matrizes 
2) 
 1 2 -1 
 3 -1 3 
A = 
2x3 
 3 1 
 4 3 
 0 1 
 B = 
3x2 
 1 2 -1 
 3 -1 3 
A . B = . = 
 3 1 
 4 3 
 0 1 
11 6 
 5 3 
A . B = = 
2x2 
1.3 + 2.4 + (-1).0 1.1 + 2.3 + (-1).1 
3.3 + (-1).4 + 3.0 3.1 + (-1).3 + 3.1 
Multiplicação de Matrizes 
 
 1 2 -1 
 3 -1 3 
A = 
2x3 
 3 1 
 4 3 
 0 1 
 B = 
3x2 
 6 5 0 
13 5 5 
 3 -1 3 
B . A = = 
3.1+1.3 3.2+(-1).1 3.(-1)+1.3 
4.1+3.3 4.2+3.(-1) 4.(-1)+3.3 
0.1+1.3 0.2+1.(-1) 0.(-1)+1.3 
 1 2 -1 
 3 -1 3 
B . A = . = 
 3 1 
 4 3 
 0 1 
Multiplicação de Matrizes 
 
3) 
 
 
 
 
 
 O produto A . B não é possível 
 0 2 
 1 -1 
 A = 
2x2 
 3 1 
 4 3 
-1 2 
 B = 
3x2 
≠ 
 
Matriz Inversa 
 
A-1 é inversa de A ⇔ A-1*A = A*A-1 = In 
( A = matriz quadrada) 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar a matriz inversa, A-1 , se possível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 4 
-1 2 
A = 
Matriz Inversa 
 
Devemos verificar se existe tal que, A*A-1 = I 2 
 a b 
 c d 
A-1 = 
 a b 
 c d 
A * A-1 = I2 ⇒ * = 
 0 4 
-1 2 
 1 0 
 0 1 
 0.a+4c 0.b+4d 
-1.a+2c -1.b+2d 
 1 0 
 0 1 
= 
Matriz Inversa 
Temos então: 
 
 
 
 
 Resolvendo o sistema temos: a = ½ ; b = -1, c = ¼ ; d = 0 
 
 Logo, 
 
0a + 4c = 1 
- a +2c = 0 
0b + 4d = 0 
-b + 2d = 1 
A-1 = 
 ½ -1 
 1/4 0 
Matriz Inversa 
2) Determinar a matriz inversa, A-1 , se possível, sendo 
 
 
 
Devemos verificar se existe tal que, A*A-1 = I 2 
 a b 
 c d 
A-1 = 
 -2 1 
 2 -1 
A = 
Matriz Inversa 
 
 a b 
 c d 
A * A-1 = I2 ⇒ * = 
 -2 1 
 2 -1 
 1 0 
 0 1 
 -2a+c -2b+d 
 2a - c 2b - d 
 1 0 
 0 1 
= 
Matriz Inversa 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 O sistema não tem solução, logo a matriz não é invertível 
-2a + c = 1 - 2a + 2a = 1 0 = 1 (F) 
2 a - c = 0 c = 2 a 
2b - d = 1 
-2b + d = 0 
Interatividade 
Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, sendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) n.d.a. 
 -2 3 
 -1 0 
 4 -5 
 A = 
 1 2 3 
-2 1 0 
 B = 
 8 -6 
 0 4 
 4 2 
 C = 
- 3 5 
- 4 1 
 5 -9 
 a) - 1 5 
- 4 1 
 7 -9 
 b) - 3 5 
 0 1 
 7 -7 
 c) 3 5 
 0 1 
 1 -7 
 d) 
Resposta 
 
 
 
 
 
Queremos X = 2A - BT + (1/2)C 
- 1 5 
- 4 1 
 7 -9 
 b) 
 - 4 6 
 - 2 0 
 8 -10 
 X = + + = 
 4 -3 
 0 2 
 2 1 
 - 1 2 
 - 2 -1 
 -3 0 
- 1 5 
- 4 1 
 7 -9 
Matriz Inversa 
 Processo prático para determinar a inversa 
 operações permitidas com as linhas: 
 Permutar linhas 
 Multiplicar uma linha por um número real não nulo 
 Substituir uma linha por sua soma com outra, multiplicadas 
ou não por número real não nulo 
 
 
 
 
 a b c 1 0 0 
 d e f 0 1 0 
 g h i 0 0 1 
A I 3 
Matriz Inversa 
Determinar a inversa da matriz, se existir, utilizando o processo 
prático 
1) 2 1 1 
-1 0 2 
 1 2 2 
A = 
 2 1 1 1 0 0 
 -1 0 2 0 1 0 
 1 2 2 0 0 1 
Matriz Inversa 
 rascunho 
L2 = 2L2 + L1 
 L1 2 1 1 1 0 0 
2 L2 -2 0 4 0 2 0 
 0 1 5 1 2 0 
L3 = 2L3 - L1 
 -L1 -2 -1 -1 -1 0 0 
2 L3 2 4 4 0 0 2 
 0 3 3 -1 0 2 
 2 1 1 1 0 0 
 -1 0 2 0 1 0 
 1 2 2 0 0 1 
 2 1 1 1 0 0 
 0 1 5 1 2 0 
 1 2 2 0 0 1 
 rascunho 
Matriz Inversa 
L3 = -3L2 + L3 
 L3 0 3 3 -1 0 2 
-3 L2 0 -3 -15 -3 -6 0 
 0 0 -12 -4 -6 2 
L2 = 12L2 + 5 L3 
12 L2 0 12 60 12 24 0 
 5L3 0 0 -60 -20 -30 10 
 0 12 0 -8 -6 10 
 2 1 1 1 0 0 
 0 1 5 1 2 0 
 0 3 3 -1 0 2 
 2 1 1 1 0 0 
 0 1 5 1 2 0 
 0 0 -12 -4 -6 2 
 rascunho 
Matriz Inversa 
L1 = L1 – L2 
 L1 24 12 0 8 -6 2 
 -L2 0 -12 0 8 6 -10 
 24 0 0 16 0 -8 
L1 = 12L1 + L3 
12 L1 24 12 12 12 0 0 
 L3 0 0 -12 -4 -6 2 
 24 12 0 8 -6 2 
 2 1 1 1 0 0 
 0 12 0 -8 -6 10 
 0 0 -12 -4 -6 2 
 24 12 0 8 -6 10 
 0 12 0 -8 -6 10 
 0 0 -12 -4 -6 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
Matriz Inversa 
L1 = L1 /24 
L2 = L2 /12 
L3 = -L3 /12 
 24 0 0 16 0 -8 
 0 12 0 -8 -6 10 
 0 0 -12 -4 -6 2 
 1 0 0 2/3 0 -1/3 
 0 1 0 - 2/3 - ½ 5/6 
 0 0 1 1/3 ½ -1/6 
2/3 0 -1/3 
- 2/3 - ½ 5/6 
 1/3 ½ -1/6 
A-1 = 
Matriz Inversa 
2) Determine A-1 , se existir 
 1 -1 1 
 2 2 -1 
 4 0 1 
A = 
 1 -1 1 1 0 0 
 2 2 -1 0 1 0 
 4 0 1 0 0 1 
 rascunho 
L2 = 2L1 - L2 
 -L2 -2 -2 1 0 -1 0 
2 L1 2 -2 2 2 0 0 
 0 -4 3 2 -1 0 
L3 = 4L1 – L3 
 -L3 -4 0 -1 0 0 -1 
4 L1 4 -4 4 4 0 0 
 0 -4 3 4 0 - 1 
 1 -1 1 1 0 0 
 2 2 -1 0 1 0 
 4 0 1 0 0 1 
 1 -1 1 1 0 0 
 0 -4 3 2 -1 0 
 4 0 1 0 0 1 
Matriz Inversa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo não admite inversa 
Matriz Inversa 
L3 = L3 – L2 
 L3 0 -4 3 4 0 - 1 
 -L2 0 4 -3 -2 1 0 
 0 0 0 2 1 -1 
 1 -1 1 1 0 0 
 0 -4 3 2 -1 0 
 0 -4 3 4 0 -1 
 1 -1 1 1 0 0 
 0 -4 3 2 -1 0 
 0 0 0 2 1 -1 
Interatividade 
 
A inversa da matriz é: 
 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 2 1 
-1 0 
A = 
 0 -1 
 1 2 
A-1 = 
 0 1 
 1 2 
A-1 = 
 1 1 
-1 2 
A-1 = 0 -1 
 1 -2 
A-1 = 
 1 -1 
 1 2 
A-1 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí a = 0, b = -1, c = 1 e d = 2 
 
Resposta 
 a b 
 c d 
A * A-1 = I2 ⇒ * = 
 2 1 
 -1 0 
 1 0 
 0 1 
 2a+c 2b+d 
 -a - b 
 1 0 
 0 1 
= 
 0 -1 
 1 2 
a) A-1 = 
 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
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	Matrizes
	MatrizesMatrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Interatividade
	Resposta
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes especiais
	Matrizes especiais
	Matrizes especiais
	Matrizes especiais
	Matrizes especiais
	Matrizes
	Matrizes
	Matrizes
	Interatividade
	Resposta
	Operações com matriz
	Operações com Matrizes
	Operações com Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Interatividade
	Resposta
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Interatividade
	Resposta
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