Matemática Final (1)

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MateMática 
Conteúdo:
MateMática i
aula 01: 
conjuntos nuMéricos
Definição .......................................................................................................................................................................................................................1
Conjunto dos números reais .........................................................................................................................................................................................1
Intervalos ......................................................................................................................................................................................................................1
Exercícios .....................................................................................................................................................................................................................2
aula 02: DivisibiliDaDe i
Noções de múltiplo e divisor em .............................................................................................................................................................................3
Divisão euclidiana em .............................................................................................................................................................................................3
Paridade de um número inteiro (número par e número ímpar) .....................................................................................................................................3
Número primo e número composto ..............................................................................................................................................................................4
Decomposição em fatores primos .................................................................................................................................................................................4
mdc e mmc ...................................................................................................................................................................................................................4
Exercícios .....................................................................................................................................................................................................................4
aula 03: DivisibiliDaDe ii
Primo entre si ................................................................................................................................................................................................................5
Critérios de divisibilidade ..............................................................................................................................................................................................5
Sistema de numeração ..................................................................................................................................................................................................5
Exercícios .....................................................................................................................................................................................................................6
aula 04: P.i.F e MÓDulo
Prova por indução .........................................................................................................................................................................................................7
Módulo de um número real ..........................................................................................................................................................................................7
Exercícios .....................................................................................................................................................................................................................7
aula 05: MéDias e exercícios Gerais
Média aritmética simples ..............................................................................................................................................................................................9
Média aritmética ponderada .........................................................................................................................................................................................9
Média harmônica ..........................................................................................................................................................................................................9
Média geométrica .........................................................................................................................................................................................................9
Exercícios .....................................................................................................................................................................................................................9
aula 06: GeoMetria eucliDiana
Noções Elementares ....................................................................................................................................................................................................10
Algumas definições essenciais ....................................................................................................................................................................................11
Paralelismo .................................................................................................................................................................................................................13
Classificação dos polígonos ........................................................................................................................................................................................15
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo .................................................................................................................................................15
Soma dos ângulos externos de um polígono convexo ................................................................................................................................................16
Número de diagonais de um polígono convexo ..........................................................................................................................................................16
Polígono regular de gênero par ...................................................................................................................................................................................16
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................16
aula 07: GeoMetria eucliDiana
Classificação ...............................................................................................................................................................................................................18
Condição de existência ...............................................................................................................................................................................................18
Reconhecimento da natureza de um triângulo ...........................................................................................................................................................18
Base média de um triângulo .......................................................................................................................................................................................19
Base média de umtrapézio .........................................................................................................................................................................................19
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................21
aula 08: GeoMetria eucliDiana
Teorema de Tales .........................................................................................................................................................................................................23
Semelhança de polígonos ...........................................................................................................................................................................................24
O retângulo áureo .......................................................................................................................................................................................................24
Círculo .........................................................................................................................................................................................................................25
Posições relativas entre reta e circunferência ..............................................................................................................................................................25
Relações métricas na circunferência ...........................................................................................................................................................................27
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................27
aula 09: GeoMetria eucliDiana
Características do quadrado ABCD .............................................................................................................................................................................29
Características do retângulo ABCD .............................................................................................................................................................................29
Características do losango ABCD ................................................................................................................................................................................29
Características do paralelogramo ABCD ......................................................................................................................................................................30
Área de um triângulo em função da base e da altura .................................................................................................................................................30
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
Área de um triângulo retângulo ..................................................................................................................................................................................30
Área de um triângulo equilátero .................................................................................................................................................................................30
Área de um triângulo em função dos três lados ..........................................................................................................................................................30
Área de um triângulo em função de dois lados e o ângulo formado ...........................................................................................................................31
Área de um triângulo em função dos lados e do circunraio ........................................................................................................................................31
Área de um triângulo em função dos lados e do inraio ...............................................................................................................................................31
Área de um círculo (disco)...........................................................................................................................................................................................31
Área de uma coroa circular .........................................................................................................................................................................................31
Área de um setor circular ............................................................................................................................................................................................31
Área de um segmento circular ....................................................................................................................................................................................31
Área de um polígono regular ......................................................................................................................................................................................31
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................32
aula 10: exercícios
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................34
aula 11: GeoMetria De Posição
Determinação de retas ................................................................................................................................................................................................37
Determinação de planos .............................................................................................................................................................................................37
Posições relativas de duas retas no espaço .................................................................................................................................................................38
Posições relativas entre plano e reta ...........................................................................................................................................................................38
Posições relativas entre plano e plano ........................................................................................................................................................................38
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................39
Características relevantes dos poliedros regulares ......................................................................................................................................................40
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................40
Teorema de Cavalieri ...................................................................................................................................................................................................40
Paralelepípedo reto-retângulo (ortoedro) ....................................................................................................................................................................40
Cubo (hexaedro regular) .............................................................................................................................................................................................40Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................41
aula 12: PirâMiDes
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................42
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................43
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................43
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................44
aula 13: cone circular
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................46
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................47
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................48
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................48
aula 14: esFera
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................50
Fuso esférico ...............................................................................................................................................................................................................51
Cunha esférica ............................................................................................................................................................................................................51
Inscrição e circunscrição..............................................................................................................................................................................................51
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................52
aula 15: revisão Geral
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................54
aula 16: estatística i
Definição e objetivos ...................................................................................................................................................................................................56
Conceitos básicos........................................................................................................................................................................................................56
Gráficos estatísticos ....................................................................................................................................................................................................57
Gráfico em colunas .....................................................................................................................................................................................................57
Gráfico em barras .......................................................................................................................................................................................................57
Gráfico em setores ......................................................................................................................................................................................................58
Pictogramas ................................................................................................................................................................................................................58
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................58
aula 17: estatística ii
Dados brutos e ROL ....................................................................................................................................................................................................62
Frequência absoluta e frequência relativa ...................................................................................................................................................................62
Tabela de frequências .................................................................................................................................................................................................63
Distribuição de frequências para dados contínuos ......................................................................................................................................................63
Ponto médio de uma classe ........................................................................................................................................................................................63
Tipos de frequência .....................................................................................................................................................................................................64
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................64
aula 18: estatística iii
Medidas de tendência central .....................................................................................................................................................................................67
Média aritmética ponderada .......................................................................................................................................................................................67
Propriedades da mediana ...........................................................................................................................................................................................68
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................68
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
aula 19: estatística iv
Medidas de dispersão .................................................................................................................................................................................................72
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................73aula 20: exercícios
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................76
aula 21: revisão i
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................78
aula 22: revisão ii
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................80
aula 23: revisão iii
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................82
aula 24: revisão iv
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................84
aula 25: revisão v
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................86
MateMática ii
aula 01: Fatorial
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................89
Fatorial de um número natural....................................................................................................................................................................................89
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................89
aula 02: PrincíPio FunDaMental Da contaGeM (PrincíPio MultiPlicativo)
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................90
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................92
aula 03: PerMutação siMPles e PerMutação coM rePetição
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................95
Permutação Circular e o Uso da Permutação na Resolução de Problemas Diversos ....................................................................................................96
Exercícios ...................................................................................................................................................................................................................98
aula 04: arranjos siMPles e coMbinações siMPles
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 100
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 102
aulas 05 e 06: núMeros binoMiais e triânGulo De Pascal
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 104
Números binomiais .................................................................................................................................................................................................. 104
Propriedades dos números binomiais ...................................................................................................................................................................... 105
Propriedades do Triângulo de Pascal ........................................................................................................................................................................ 106
Binômio de Newton ................................................................................................................................................................................................ 108
Binômio de Newton – Parte II .................................................................................................................................................................................. 109
Aprofundando Números Binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton ....................................................................................................... 110
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 111
aula 07: sequências
Noções iniciais ......................................................................................................................................................................................................... 114
Definições ................................................................................................................................................................................................................ 114
Representação de uma sequência ................................................................................................................................................................................ 115
Progressão Aritmética (P.A.) – Parte I ....................................................................................................................................................................... 117
Fórmula do termo geral ........................................................................................................................................................................................... 118
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 120
aula 08: ProGressão aritMética (P.a.) – Parte ii
Interpolação aritmética ............................................................................................................................................................................................ 121
Representações especiais ......................................................................................................................................................................................... 122
Termos equidistantes dos extremos ......................................................................................................................................................................... 123
Soma dos termos equidistantes dos extremos ......................................................................................................................................................... 123
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. ............................................................................................................................................................... 123
Exercícios................................................................................................................................................................................................................ 126
aula 09: ProGressão GeoMétrica P.G. – Parte (i)
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 129
Fórmula do termo geral ........................................................................................................................................................................................... 131
Interpolação geométrica .......................................................................................................................................................................................... 132
Representações especiais ......................................................................................................................................................................................... 133
Soma dos termos de uma P.G. finita ......................................................................................................................................................................... 134
Soma dos termos de uma P.G. infinita convergente ................................................................................................................................................. 135
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 137
aula 10: ProGressão GeoMétrica P.G. – (Parte ii)
Produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G. .................................................................................................................................. 139
Produtos dos n primeiros termos de uma P.G. (Pn) ................................................................................................................................................... 139
Dízimas periódicas (complemento) .......................................................................................................................................................................... 141
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 141
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
aula 11:razões triGonoMétricas no triânGulo retânGulo
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 143
Razões trigonométricas em um triângulos retângulo ............................................................................................................................................... 143
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 144
aula 12: lei Dos senos, lei Dos cossenos, FÓrMula triGonoMétrica Da área De uM triânGulo
Lei dos senos ............................................................................................................................................................................................................ 147
Leis dos cossenos ..................................................................................................................................................................................................... 148
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 148
aula 13: o ciclo triGonoMétrico
Ciclo trigonométrico................................................................................................................................................................................................. 151
Arcos côngruos (ou congruentes) ............................................................................................................................................................................. 152
Razões trigonométricas no ciclo trigonométrico ...................................................................................................................................................... 153
Arcos com extremidades no primeiro quadrante (complementares) ........................................................................................................................ 153
Relações entre as funções trigonométricas de arcos associados .............................................................................................................................. 153
Arcos com extremidades no segundo quadrante (suplementares) ........................................................................................................................... 154
Arcos com extremidades no terceiro quadrante (explementares) ............................................................................................................................ 154
Arcos com extremidades no quarto quadrante (replementares) .............................................................................................................................. 154
Para arcos côngruos (ou congruentes) ..................................................................................................................................................................... 154
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 158
aulas 14 e 15: Função seno e cosseno (Parte i)
Função seno ............................................................................................................................................................................................................. 160
Propriedades ............................................................................................................................................................................................................ 160
Função cosseno ........................................................................................................................................................................................................ 163
Propriedades ............................................................................................................................................................................................................ 164
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 166
aula 16: Função tanGente
Função cotangente .................................................................................................................................................................................................. 172
Função secante ........................................................................................................................................................................................................ 174
Função cossecante ................................................................................................................................................................................................... 175
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................177
aulas 17 e 18: transForMações triGonoMétricas e transForMações eM ProDuto
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 182
aulas 19 e 20: equações e inequações triGonoMétricas
Equações básicas ..................................................................................................................................................................................................... 186
Equações polinomiais trigonométricas ..................................................................................................................................................................... 190
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 191
aula 21: triGonoMetria
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 195
aula 22: GeoMetria esPacial
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 196
aula 23: análise coMbinatÓria
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 198
aula 24 e 25: ProbabiliDaDe i
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 199
MateMática iii
aula 01: conjuntos
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 203
Conjunto .................................................................................................................................................................................................................. 203
Principais símbolos lógicos ...................................................................................................................................................................................... 203
Representação dos conjuntos .................................................................................................................................................................................. 203
Número de elementos de um conjunto A : n(A) ....................................................................................................................................................... 203
Conjuntos disjuntos ................................................................................................................................................................................................. 203
Número de subconjuntos ......................................................................................................................................................................................... 204
Operação com Conjuntos ......................................................................................................................................................................................... 205
Interseção ................................................................................................................................................................................................................ 205
Número de elementos da união ............................................................................................................................................................................... 206
Subtração de conjuntos (conjunto diferença) ........................................................................................................................................................... 206
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 207
aula 02: ProDuto cartesiano e relações binárias
Produto cartesiano ................................................................................................................................................................................................... 208
Relação binária ........................................................................................................................................................................................................ 209
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 209
aula 03: Função
Definição de função ................................................................................................................................................................................................. 211
Representação no plano cartesiano ......................................................................................................................................................................... 211
Domínio de uma função ........................................................................................................................................................................................... 211
Contradomínio e imagem de uma função ................................................................................................................................................................ 212
Função injetora ........................................................................................................................................................................................................ 212
Função bijetora ........................................................................................................................................................................................................ 213
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 213
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
aula 04: Função Monotônica
Função monotônica ................................................................................................................................................................................................. 215
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 216
Função par ............................................................................................................................................................................................................... 216
Função ímpar ........................................................................................................................................................................................................... 216
Função periódica ...................................................................................................................................................................................................... 216aula 05: 
Função Afim (1° Grau) ............................................................................................................................................................................................. 218
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 219
aula 06: Função quaDrática (Do 2º Grau)
Função Quadrática (do 2° Grau) ............................................................................................................................................................................. 222
Fórmula de Bháskara ............................................................................................................................................................................................... 222
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 224
aula 07: Função quaDrática (2º Grau) – Parte ii
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 226
aula 08: ProbleMas envolvenDo equações De 1º e 2º Graus
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 228
aula 09: inequações – Parte i
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 230
aula 10: inequações – Parte ii
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 231
aula 11: Função coMPosta
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 233
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 233
aula 12: Função inversa
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 235
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 235
aula 13: Função MoDular i
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 238
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 238
aula 14: Função MoDular ii
Propriedades ............................................................................................................................................................................................................ 241
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 241
aula 15: Função exPonencial i
Potência ................................................................................................................................................................................................................... 242
Propriedades ............................................................................................................................................................................................................ 242
Consequências imediatas das propriedades ............................................................................................................................................................. 243
Equações exponenciais ............................................................................................................................................................................................ 243
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 243
aula 16: Função exPonencial ii
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 244
Gráficos .................................................................................................................................................................................................................... 244
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 245
aula 17: Função loGarítMica i
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 246
Condições de existência ........................................................................................................................................................................................... 246
Consequências da definição ..................................................................................................................................................................................... 246
Propriedades operatórias ......................................................................................................................................................................................... 247
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 247
aula 18: Função loGarítMica ii
Gráficos .................................................................................................................................................................................................................... 248
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 249
aula 19: Matrizes
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 250
Operações com matrizes .......................................................................................................................................................................................... 251
Inversão de matrizes ................................................................................................................................................................................................252
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 253
aula 20: introDução
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 255
Regra de Sarrus ........................................................................................................................................................................................................ 255
Teorema de Laplace ................................................................................................................................................................................................. 255
Propriedades dos determinantes .............................................................................................................................................................................. 255
Regra de Chió .......................................................................................................................................................................................................... 256
Determinante de Vandermonde ............................................................................................................................................................................... 257
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 257
aula 21: sisteMas lineares
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 258
Classificação ............................................................................................................................................................................................................ 259
Teorema de Cramer .................................................................................................................................................................................................. 259
Sistemas lineares equivalentes ................................................................................................................................................................................. 259
Sistemas lineares homogêneos ................................................................................................................................................................................ 259
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 259
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
aula 22: exercícios De revisão – Parte i
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 261
aula 23: exercícios De revisão – Parte ii
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 263
aula 24: exercícios De revisão – Parte iii
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 264
aula 25: exercícios De revisão – Parte iv
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 266
MateMática iv
aula 01: exercícios
Definição de números complexos ............................................................................................................................................................................ 269
Unidade imaginária.................................................................................................................................................................................................. 269
Forma algébrica de um número complexo ............................................................................................................................................................... 269
Operações com números complexos ........................................................................................................................................................................ 269
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 269
aula 02: exercícios
Módulo de um Número Complexo ........................................................................................................................................................................... 271
Plano de Argand-Gauss ............................................................................................................................................................................................ 271
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 271
aula 03 exercícios
Forma Trigonométrica de um número complexo ...................................................................................................................................................... 272
Potenciação de um número complexo ..................................................................................................................................................................... 273
Radiciação de um número complexo ....................................................................................................................................................................... 273
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 273
aula 04:exercícios
Exercícios de Aprofundamento ................................................................................................................................................................................. 275
aula 05: DeFinição, oPerações, Grau e raízes De uM PolinôMio
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 276
Valor numérico de um polinômio ............................................................................................................................................................................. 276
Operações com Polinômios ...................................................................................................................................................................................... 277
Grau de um polinômio ............................................................................................................................................................................................. 277
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................277
aula 06: Divisão De PolinôMios
Divisão de Polinômios .............................................................................................................................................................................................. 278
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 279
aula 07: núMero De raízes De uM PolinôMio
Número de raízes de um polinômio ......................................................................................................................................................................... 280
Teorema das raízes complexas ................................................................................................................................................................................. 281
Teorema de Bolzano ................................................................................................................................................................................................. 281
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 281
aula 08: relações De GirarD
Relações de Girard ................................................................................................................................................................................................... 282
Derivada de uma função polinomial ........................................................................................................................................................................ 283
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 283
aula 09: GeoMetria analítica: Ponto e reta
Distância entre dois pontos ...................................................................................................................................................................................... 284
Razão entre segmentos ............................................................................................................................................................................................ 285
Condição para alinhamento de três pontos ............................................................................................................................................................. 285
Equação da Reta ...................................................................................................................................................................................................... 286
Retas paralelas e perpendiculares ............................................................................................................................................................................ 287
Distância de um ponto a uma reta ........................................................................................................................................................................... 288
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 288
aula 10: GeoMetria analítica: circunFerência
Equação Reduzida .................................................................................................................................................................................................... 289
Equação Geral .......................................................................................................................................................................................................... 290
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 290
aula 11: GeoMetria analítica: cônicas
Elipse ....................................................................................................................................................................................................................... 291
Hipérbole ................................................................................................................................................................................................................. 292
Parábola ................................................................................................................................................................................................................... 293
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 294
aula 12: GeoMetria analítica: questões
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 296
aula 13: ProGressão aritMética
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 297
Classificação ............................................................................................................................................................................................................ 297
Notações especiais ................................................................................................................................................................................................... 298
Fórmula do termo geral ........................................................................................................................................................................................... 298
Soma dos termos ..................................................................................................................................................................................................... 298
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 298
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
aula 14: ProGressão GeoMétrica
Definição .................................................................................................................................................................................................................. 300
Classificação ............................................................................................................................................................................................................ 300
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 301
aula 15: exercícios
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 303
aula 16: ProbabiliDaDe i
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................305
Espaço amostral e evento ........................................................................................................................................................................................ 305
Probabilidade ........................................................................................................................................................................................................... 306
Evento certo, evento impossível e eventos complementares .................................................................................................................................... 306
Interseção de eventos independentes ...................................................................................................................................................................... 307
União de eventos ..................................................................................................................................................................................................... 308
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 309
aula 17: ProbabiliDaDe ii
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 310
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 311
aula 18: ProbabiliDaDe iii
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 313
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 314
aulas 19 a 20: aProFunDanDo e revisanDo ProbabiliDaDe
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 316
aula 21: revisão
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 321
aula 22: revisão
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 322
aula 23: revisão
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 323
aula 24: revisão
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 325
aula 25: revisão
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 326
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
1
MateMática i 
Aula 01: 
Conjuntos Numéricos
Definição
Os números, cujas propriedades e cujas interações são o 
objetivo da álgebra elementar, são classificados da seguinte forma:
Conjunto dos números naturais
Números naturais são aqueles que são utilizados na 
contagem dos elementos de um conjunto. Temos, então:
N = { , , , , , ,...}.0 1 2 3 4 5
Conjunto dos números inteiros
Números inteiros são todos os números naturais e também 
os opostos dos naturais; os opostos dos naturais são os números 
–1, –2, –3, –4, ... Representando o conjunto dos números inteiros 
por Z, temos:
Z = − − −{..., , , , , , , , , ...}.3 2 1 0 1 2 3 4
Conjunto dos números racionais
Chama-se racional todo número que é o quociente entre 
dois números inteiros.
Vamos agora apresentar alguns exemplos de números 
racionais.
• Os números inteiros.
Exemplo: O inteiro 2 é o quociente entre os inteiros 2 e 1 ou
4 e 2 ou –10 e –5 etc.; portanto, 2
2
1
4
2
10
5
= = =
−
−
.
• Os decimais exatos.
Exemplo: 1 3
13
10
0 243
243
1000
3 17
317
100
, ; , ; ,= = =
• Os decimais não exatos e periódicos (dízimas).
Exemplos:
0 222 0 2
2
9
1 444 1 4 1 0 4 1
4
9
9
9
4
9
13
9
0 999 0
, ... ,
, ... , ,
, ...
= =
= = + = + = + =
= ,, 9
9
9
1= =
Agora, vamos apresentar a definição formal de número 
racional, indicando por Q o conjunto formado por eles:
Q z z= ∈ ∈ ≠






p
q
p q, q , 0
Pela definição dos inteiros e dos racionais, concluímos 
facilmente que: 
N z Q⊂ ⊂
Aula
01
Conjunto dos números reais
Números irracionais
Facilmente, podemos construir números decimais não exatos 
e não periódicos. Veja, por exemplo: 0,101001000100001..., onde o 
número de “zeros” aumenta de uma unidade após cada algarismo 1.
Números como esses, cuja representação contém infinitas 
casas decimais após a vírgula e onde não ocorre repetição de período 
como nas dízimas, não são números racionais: esses números são 
chamados de irracionais.
Veja agora mais alguns exemplos de números irracionais:
π = 3,1415926...
e = 2,7182... (número de Euler)
2 1 4142135
3 17320508
=
=
, ...
, ...
Representamos o conjunto dos números irracionais por I.
Números reais
A união do conjunto Q, dos números racionais, com o 
conjunto I dos números irracionais, chama-se conjunto dos números 
reais e representa-se por R.
R Q= ∪ I
Pela definição dos números racionais e dos reais, concluímos 
facilmente que:
N z Q R⊂ ⊂ ⊂
Podemos, portanto, fazer a seguinte representação:
Os números reais podem ser representados numa reta, de 
tal modo que a todo número real corresponde um ponto na reta e 
a todo ponto da reta corresponde um número real.
− − − −2 2 1
1
2
0
1
3
1 3 2 3 4π
Intervalos
Subconjuntos 
de R
Símbolo Nome
Representação 
no eixo real
{ }x a x b∈ < ≤R / ]a, b]
Intervalo aberto à 
esquerda e fechado 
à direita de extremos 
a e b
a b
{ / }x x a∈ ≥R [a, + ∞[
Intervalo ilimitado 
fechado à esquerda 
em a
a
{ / }x x a∈ >R ]a, + ∞[
Intervalo ilimitado aberto 
à esquerda em a a
{ / }x x a∈ ≤R ]–∞ ,a]
Intervalo ilimitado 
fechado à direita em a a
{ / }x x a∈ <R ]–∞ , a[
Intervalo ilimitado 
aberto à direita em a a
R ]–∞, + ∞[
Intervalo ilimitado de 
–∞ a +∞
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
2
MateMática i
Notas:
1) O símbolo deve ser lido “infinito”.
2) A bolinha cheia (•), em um extremo do intervalo, indica que
o número associado a esse extremo pertence ao intervalo.
3) A bolinha vazia (o), em um extremo do intervalo, indica que o
número associado a esse extremo não pertence ao intervalo.
4) Usaremos sempre a denominação aberto no + e no – .
Exercícios 
01. Sejam A = [2, 9] e B = ]7, + ∞[. Se um número real x não
pertence ao conjunto A ∪ B, então pode-se afirmar que x
pertence ao conjunto:
A) ]– ∞, 2]
B) ]– ∞, 2[
C) [2, + ∞]
D) ]2, + ∞ [
E) ]7, 9]
02. O valor de 0 444, ... é:
A) 0,222...
B) 0,333...
C) 0,444...
D) 0,555...
E) 0,666...
03. Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, tem-se
que 1
a b
b a
b a+
=
−
−
. Ass im, o va lo r da soma
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
999 1000+
+
+
+
+
+ +
+
... é:
A) 10 10 1−
B) 10 10
C) 99
D) 100
E) 101
04. (EsPCEx)O número real 25
8
11 2
4
25
8
11 2
4
3 3+ + − pertence ao
conjunto:
A) [–5, –3)D) [1, 3)
B) [–3, –1) E) [3, 5)
C) [–1, 1)
05. No conjunto dos números reais, em que estão definidas as
operações usuais de adição, subtração, multiplicação, divisão
e potenciação, definem-se as operações ∇ e ⊗, como segue:
x ∇ y = x + y 
x ⊗ y = y2 – x2
Nessas condições, o valor de (3 ∇ 4) ⊗ 5 é:
A) 24
B) – 24
C) 35
D) –35
E) 0
06. Considere os números positivos q, m e n, tais que
m
n q+
= 2 e 
m
n q−
= 3. Ordenando-os, tem-se a sequência correta em
A) m > n > q
B) m > q > n
C) n > m > q
D) q > n > m
07. (EsPCEx) O valor da expressão
37
3
0 243243243 1 8 0 656565 6 6
11
8
1 353535 0
× ÷( ) + ×
× −
, ... , , ... ,
, ... ,3383838...( )
 é
A) 4,666666...
B) 4,252525...
C) 4,333333...
D) 4,25
E) 4,5
08. O número real 26 15 33 − é igual a
A) 5 3−
B) 7 4 3−
C) 3 2−
D) 13 3 3−
E) 2
09. (AFA) Se α = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − +2 2 2 2 2 2 2 2 2 , então
a
k
c
) ( )
b) , k .
) [( )
α
α α
α
∈ −
= ∈
∈ −
R N
z
q z
 pode ser escrito na forma 2
∪∪ −
∩ ∩ − ⊃
( )]
d) [( ) ( )]
r q
z q r n α
10. (Efomm) O valor da expressão 16 81 273 4 24 4 3−( ) ⋅ − é
a) ( )
) ( )
) ( )
d) ( )
e) ( )
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− ⋅
−
−
−
1 2
1 2
1 3
1 2
1 3
1 3
2 3
3 4
4 4
5 2
b
c
11. (Efomm) Se a b e c= = =3
61
50
1 222224 , , ..., assinale a opção 
correta.
A) a < c < b
B) a < b < c
C) c < a < b
D) b < a < c
E) b < c < a
12. Considere {p, q} ⊂ Z tal que p e q são números pares. Pode-se
afirmar que:
A) (pq + 1) é múltiplo de 4.
B) p – q p é ímpar.
C) p + q é primo.
D) p2 – q2 é par.
E) p(q + 1) é ímpar.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
3
MateMática i 
13. Se 1
1
27
373x x+ +
= , então
1
23x x+ +
 é igual a:
A) 
27
84
B) 
27
64
C) 
27
38
D) 
28
37
E) 64
27
14. (EsPCEx) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma
triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, 
estão representados alguns valores, nem todos conhecidos.
Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado
do triângulo é sempre 24.
x
y z
5 10
15
 Assim, o valor numérico da expressão x – y · z é 
A) – 2
B) –1
C) 2
D) 5
E) 10
15. Sejam P = +



+



+



+



+



1
1
3
1
1
5
1
1
7
1
1
9
1
1
11
 e
Q = −



−



−



−



1
1
5
1
1
7
1
1
9
1
1
11
. Qual é o valor de 
P
Q
?
a
b
c
d
e
)
)
)
)
)
2
2
5
3
5
Aula 02: 
Divisibilidade I
Noções de múltiplo e divisor em 
Sejam x e y números inteiros quaisquer, dizemos que x é 
um divisor de y, em Z, se e somente se, existe um número inteiro z, 
tal que y = x · z.
Para quaisquer números inteiros x, y e z tais que: y = x · z 
tem-se que:
x é um divisor de y.
x é um fator de y.
y é divisível por z.
y é múltiplo de x.
Notações
Par a e b números inteiros quaisquer, escrevemos:
• ab para indicar que a divide b em Z.
• D(A) para indicar o conjunto dos divisores inteiros de a.
• D
+
(A) para indicar o conjunto dos divisores positivos de a.
• M(A) para indicar o conjunto dos múltiplos inteiros de a.
Em símbolos
• x ∈ D(A) ⇔ a = x · y para algum y ∈ z.
• x ∈ M(A) ⇔ x = a · y para algum y ∈ z.
Assim:
• ( ) .
• ( )
D a x a x y
M a x x a y
= ∈ = ⋅ ∈{ }
= ∈ = ⋅
z z
z
 para algum y
 para algum yy ∈{ }z .
Divisão euclidiana em 
Dados a b com b, ,∈ ≠z 0 existem e são únicos os números 
inteiros q e r, tais que:
a = b · q + r, em que 0 ≤ <r b .
Dispositivo prático
Dividendo Divisor
a b a bq r onde r b↔ = + ≤ <, 0
 r q
 Resto Quociente
Quando r = 0 (resto nulo) diz-se que a divisão é exata. Neste 
caso, é bastante comum dizermos que a é divisível por b.
Paridade de um número inteiro 
(número par e número ímpar)
Um número inteiro a é chamado número par se, e somente se, 
é divisível por 2. Em outras palavras, se, e somente se, o resto 
deixado pela sua divisão por 2 é 0 (zero).
Em símbolos, podemos escrever: a ∈ Z é um número 
par ⇔ ∃t ∈ Z, tal que a = 2t ⇔ a ∈ M(2).
Aula
02
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
4
MateMática i
Exemplos:
• 0 é um número par, porque 0 = 2 · 0.
• 18 é um número par, porque 18 = 2 · 9.
• –34 é um número par, porque –34 = 2 · (–17).
Um número a é chamado número ímpar se, e somente se, 
não for divisível por 2. Em outras palavras, se, e somente se, o resto 
deixado pela sua divisão por 2 é 1 (um).
Em símbolos, podemos escrever: a ∈ Z é um número 
ímpar ⇔ ∃t ∈ Z, tal que a = 2t + 1 ⇔ a ∉ M(2).
Exemplos:
• 1 é um número ímpar, porque 1 = 2 · 0 + 1.
• 19 é um número ímpar, porque 19 = 2 · 9 + 1.
• –101 é um número ímpar, porque –101 = 2 · (–51) + 1.
Número primo e número composto
Um número inteiro p é chamado número primo se, e somente se, 
possuir somente quatro divisores inteiros, a saber: ±1 e ±p.
Em símbolos, podemos escrever: 
p ∈ Z é um número primo ⇔ >
= − −



p
D p p p
1
1 1( ) { , , , }
Exemplos:
Os números inteiros dados abaixo são primos.
±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... ±509,...
Não foi demonstrado, até os dias de hoje, que a 
sequência de números primos acima tem uma lei de formação.
O conjunto de todos os números primos é infinito.
Um número inteiro c é chamado número composto se, 
e somente se, é diferente de zero e possui mais do que quatro 
divisores inteiros.
Exemplos:
Os números inteiros dados abaixo são compostos.
±4, ±6, ±9, ±10, ±12, ...
Os números tais como: π; ; ; ; ; , ;2 2 3
5
6
11
9
0 17+ − 
e (e ≅ 2,71); 9,333...; não podem ser classificados em pares, ímpares, 
primos ou compostos, pelo fato de não serem números inteiros.
Decomposição em fatores primos
Teorema Fundamental da Aritmética:
Seja n ∈ Z, n > 1. Então existem números primos P
1
, P
2
, ... , P
k
 
(únicos), com P
1
 < P
2
 < P
3
 < ... < P
k
, e números naturais α
1
, α
2
, α
3
, ... , α
k
, 
tais que n P P P Pk
k= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 3
1 2 3α α α α... .
mdc e mmc
Definição (mdc e mmC)
Sejam a, b ∈ Z não nulos. Definimos o máximo divisor 
comum de a e b, denotado por mdc (a, B), como sendo o maior 
inteiro que divide a e b simultaneamente.
Nas mesmas condições, definimos o mínimo múltiplo 
comum, denotado por mmc (a, B), como sendo o menor inteiro 
positivo múltiplo comum de a e b.
Propriedades do mdc e mmc
• ( , ) , ;
• ( ) ( , ) , ;
• ( , ) ,
*
*
mdc a a a
b D a mdc a b b b
mmc a a a
0
1
= ∀ ∈
∈ ⇒ = ∀ ∈
= ∀ ∈
z
z
zz
z
z
*
*
;
• ( ) ( , ) , ;
• ( , ) ( , ) , ,
b D a mmc a b a a
mdc a b mmc a b a b a b
∈ ⇒ = ∀ ∈
⋅ = ⋅ ∀ ∈ **.
Em particular, quando mdc (a, B) = 1, temos: mmc a b a b( , ) .= ⋅
• mdc(–a, –B) = mdc(–a, B) = mdc(a, –B) = mdc(a, B) e
 mmc(–a, –B) = mmc(–a, B) = mmc(a, –B) = mmc(a, B), ∀ a, b ∈ Z*;
• Para a, b, c ∈ Z* tais que a c b c e mdc a b, ( , ) = 1 tem-se que 
ABab c.
Exercícios 
01. (EsPCEx) Determine o algarismo das unidades da seguinte soma 
S n
n
=
=
∑ !,
1
2016
 em que n! é o fatorial do número natural n.
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
02. (Efomm) Qual é o número inteiro cujo produto por 9 é um 
número natural composto apenas pelo algarismo 1?
A) 123459 D) 12345789
B) 1234569 E) 123456789
C) 12345679
03. Deseja-se acondicionar, em um certo número de caixas, 1.590 
bolinhas brancas, 1.060 amarelas e 583 azuis, de modo que 
cada caixa contenha bolinhas de todas as cores. Calcule o 
número máximo de caixas, de modo que qualquer dessas caixas 
contenha, para cada cor, quantidades iguais de bolinhas.
A) 51 D) 54
B) 52 E) 55
C) 53
04. Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20. Dividindo-se 
12.384 por n, obtém-se resto 9. Ache n.
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
05. O 2007o dígito da sequência 123454321234543... é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
06. O maior inteiro n, tal que 
n
n
2 37
5
+
+
 também é inteiro, tem como 
soma dos seus algarismos um valor igual a
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
5
MateMática i 
07. A Seja n o número obtido como a soma dos inversos 
multiplicativos dos números primos positivos que são fatores 
do número 195. Se p é o inverso multiplicativo de n, então, 
p cumpre a condição
A) 1,5 < p < 1,7 C) 1,8 < p < 1,9
B) 1,4 < p < 1,6 D) 1,7 < p < 1,8
08. Uma professorado Colégio Militar do Rio de Janeiro tem três 
filhas matriculadas regularmente em uma escola. O produto da 
idade da professora com as idades de suas três filhas é 26.455. 
Desta forma, pode-se afirmar que a soma das idades da filha 
mais velha e da filha mais nova é um
A) número ímpar.
B) número primo.
C) número múltiplo de 3.
D) número múltiplo por 5.
E) número divisível por 7.
09. Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno 
conseguiu determinar corretamente o número de soluções 
inteiras e positivas da equação 5x2 + 11y2 = 876543. Qual foi 
o número de soluções que este aluno obteve?
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
10. Seja x um número inteiro, 0 < x ≤ 60 e o conjunto 
A = K K
x
∈ ={ }N |
60
. Nessas condições, o número máximo de 
elementos do conjunto A é
A) 6 C) 12
B) 8 D) 16
11. O número de divisores positivos de 17640 que, por sua vez, 
são divisíveis por 3 é:
A) 24 D) 54
B) 36 E) 72
C) 48
12. Considere o número inteiro P = 100 · 101 · 102 · ... · 200, 
produto de 101 números inteiros sucessivos.
Ao escrever-se P como um produto de fatores primos, o número 
de vezes que o fator 7 aparece é:
A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
13. Sejam a, b e c números primos distintos positivos, em que 
a > b. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 
m = a2bc2 e n = ab2 são, respectivamente, 21 e 1764. Pode-se 
afirmar que a + b + c é:
A) 9 D) 42
B) 10 E) 62
C) 12
14. O resto da divisão do número 62015 por 10 é igual a
A) 4 C) 6
B) 5 D) 8
E) 9
15. Quantos são os números primos p para os quais p2004 + p2005 é 
um quadrado perfeito?
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
Aula 03: 
Divisibilidade II
Primo entre si
Diz-se que os números inteiros a e b são primos entre si se, 
e somente se, mdc (a, B) = 1.
• Os números inteiros 4 e 9 são primos entre si, já que mdc(4, 9) = 1.
• Dois números inteiros consecutivos sempre serão primos entre 
si, já que mdc (n, n + 1) = 1, ∀ n ∈ Z.
Se n é um número composto, então existe um número primo 
p tal que p n e p n≤ .
Uma fração do tipo 
a
b
com e, *,a b∈ ∈z z é chamada 
fração irredutível se, e somente se, mdc(a, B) = 1 e no caso contrário 
a fração é dita redutível.
Critérios de divisibilidade
• Divisibilidade por 2
 Um número natural é divisível por 2 se, e somente se, terminar 
em 0, 2, 4, 6, 8.
• Divisibilidade por 3
 Um número natural é divisível por 3 se, e somente se, a soma 
dos seus algarismos for um número divisível por 3.
• Divisibilidade por 4
 Um número natural é divisível por 4 se, e somente se, 
os dois últimos algarismos da direita formarem um número 
divisível por 4.
• Divisibilidade por 5
 Um número natural é divisível por 5 se, e somente se, terminar 
em 0 ou 5.
• Divisibilidade por 6
 Um número natural é divisível por 6 se, e somente se, for divisível 
por 2 e por 3.
• Divisibilidade por 9
 Um número natural é divisível por 9 se, e somente se, a soma 
de seus algarismos for um número divisível por 9.
Sistema de numeração
Os algarismos do sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Exemplo:
• O número 562702 pode ser escrito na seguinte forma:
 562702 = 2 · 100 + 0 · 101 + 7 · 102 + 2 · 103 + 6 · 104 + 5 · 105, 
e por isso, dizemos que o número 562702 está escrito na base 
10.
Em alguns casos, é bastante útil utilizar um sistema de 
numeração diferente do decimal.
Aula
03
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
6
MateMática i
Exercícios 
01. O número 45 pode ser escrito na forma
k
5
 · 25 + k
4
 · 24 + k
3
 · 23 + k
2
 · 22 + k
1
 · 21 + k
0
 · 20, na qual as 
constantes k
i
, 0 ≤ i ≤ 5, assumem somente um dos valores: 
0 ou 1. Nessas condições, é verdade que:
A) k
1
 = 1 D) k
1
 = 1
B) k
2
 = 0 E) k
5
 = 1
C) k
3
 = 0
02. (EsPCEx) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto 
dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade 
de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é
A) 1
2
 D) 
2
3
B) 
3
5
 E) 
3
8
C) 
1
3
03. Uma família é composta de x irmãos e y irmãs. Cada irmão 
tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada irmã 
tem o dobro do número de imãs igual ao número de irmãos. 
O valor de x + y é:
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
04. Se n é natural, então 2n3 + 3n2 + n é sempre divisível por:
A) 5 D) 8
B) 6 E) 10
C) 7
05. Seja x um número natural maior que 2. Se a representação 
de um numeral N na base x é 1.041 e na base x – 1 é 1.431, 
então a sua representação na base binária é
A) 10001111 D) 11011110
B) 11011011 E) 11110001
C) 11100111
06. A soma dos quatro algarismo do número N = abcd é 16. A soma 
dos três primeiros algarismo é igual ao algarismo da unidade e 
o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena 
e dezena. O produto dos algarismos da dezena e da centena é
A) 4 C) 2
B) 3 D) 1
07. O sistema binário, ou de base 2, é um sistema de numeração 
posicional em que todas as quantidades se representam com 
base em dois algarismos, zero e um (0 e 1).
 Para converter um número de base decimal para a base binária, 
podemos utilizar o algorítimo ilustrado na figura a seguir.
23
11
10111
2
 = 23
2
2
2
2
0
1
1
1
1
2
5
 Nesse contexto, o número 99, convertido para o sistema de 
base binária, será representado por
A) 1100011
B) 1100100
C) 1100010
D) 1011001
08. Os dois números entre 60 e 70 que dividem 248 – 1 são:
A) 61 e 62
B) 61 e 63
C) 63 e 65
D) 65 e 67
E) 67 e 69
09. No sistema de numeração decimal, a soma dos dígitos do 
número inteiro 1025 – 25 é igual a
A) 625
B) 453
C) 219
D) 75
10. O número inteiro N = 1615 + 256 é divisível por:
A) 5
B) 7
C) 11
D) 13
E) 17
11. O número natural N = 474747... 47X possui 47 algarismos e 
é múltiplo de 9. O valor do algarismo X é:
A) 4
B) 7
C) 3
D) 8
E) 5
12. O maior fator primo do número n = 314 + 313 – 12 é igual a:
A) 67
B) 71
C) 73
D) 97
E) 101
13. A soma de três potências consecutivas de 2 é sempre divisível 
por:
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
14. Se P é o produto de todos os números primos menores que 
1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 5
E) 9
15. O algarismo das unidades do número 72004 é igual a:
A) 0
B) 1
C) 7
D) 9
E) 3
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
7
MateMática i 
Aula 04: 
P.I.F E MÓDULO
Prova por indução
Para demonstrar que uma propriedade P, relativa aos 
números naturais, é verdadeira para todo número natural n ≥ 1, 
existe um método baseado no que chamamos princípio de indução 
finita, que pode ser enunciado como segue.
A propriedade P é verdadeira para todo natural n ≥ 1 
se satisfaz às duas condições seguintes:
I. P é verdadeira para n = 1.
II. P é verdadeira para n = k; k ∈ n* implica que P é verdadeira 
para n = k + 1
A demonstração por indução finita consta, então, de duas 
partes:
1ª parte: provar que P vale para n = 1.
2ª parte: admitindo que P é válida para n = k, k ∈ n* (hipótesE), 
provar que ela vale também para n = k + 1 (tesE).
Juntando as duas partes, note que estamos provando que a 
propriedade vale para n = 1 (1ª partE); valendo para n = 1, ela valerá 
para n = 2 (pela 2ª partE); valendo para n = 2, ela valerá para n = 3 
(pela 2ª partE), e assim sucessivamente. Concluímos, então, 
que a propriedade vale para todo n ≥ 1.
Nota:
Conforme a propriedade a ser provada, na primeira 
parte podemos ter n = 0 (prova-se que ela vale para todo 
n ≥ 0) ou qualquer outro natural n = n
0
 (prova-se que ela vale 
para todo n ≥ n
0
).
Módulo de um número real
Considere, no eixo real de origem 0, um ponto P de abscissa 
x.
O P
• •
0x
Chama-se módulo ou valor absoluto de x, que indicamos 
por x , a distância entre os pontos P e O.
Para qualquer número real x, temos:
x
x se x
x se x
= ≥
− <{ ,
,
0
0
Aula
04
Propriedades do módulo
Para quaisquer números reais x e y e para uma constante 
real positiva d, temos:
•
•
•
• ,
•
•
•
x
x d x d
x x
x
y
x
y
com y
x x
x y x y
x d d x
≥
= ⇔ = ±
=
= ≠
= ⇔ =
= ⇔ = ±
≤ ⇔ − ≤ ≤
0
0
0 0
2
dd
x d x d ou x d
x y x y
•
•
≥ ⇔ ≤ − ≥
⋅ = ⋅
Exercícios 
01. P é uma propriedade relativa nos números naturais, sabe-se 
que:
I. P é verdadeira parao natural n = 10;
II. Se P é verdadeira para n, então P é verdadeira para 2n;
III. Se P é verdadeira para n, n ≥ 2, então P é verdadeira para 
n – 2.
Pode-se concluir que:
A) P é verdadeira para todo natural n.
B) P é verdadeira somente para os números naturais n, n ≥ 10.
C) P é verdadeira para todos os números naturais pares.
D) P é verdadeira somente para as potências de 2.
E) P não é verdadeira para os números ímpares.
02. Sabendo que n é um número natural, classifique as afirmativas 
abaixo, sobre números primos, como verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
( ) Todos os números da forma 2n – 1 são primos.
( ) Se n é um número primo, então 2n – 1 também é um 
número primo.
( ) Se 2n – 1 é um número primo, então n é um número 
primo.
( ) Existem infinitos números primos.
 Assinale a opção que contém a sequência correta.
A) V – V – F – V
B) F – V – F – F
C) V– F – V – F
D) F – F – F – V
E) F – F – V – V
03. Supondo que uma certa propriedade P é verdadeira para o 
número n natural, consegue-se provar que ela é verdadeira 
para o número 3n. Se P é verdadeira para n = 2, então, pode-se 
garantir que ela é verdadeira para n igual a:
A) 216
B) 162
C) 512
D) 261
E) 270
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
8
MateMática i
04. Qualquer número que pode ser representado como nas figuras 
seguintes é chamado número triangular.
(1) (3) (15)(10)(6)
Seguindo esse padrão, é correto afirmar que o vigésimo número 
triangular é:
A) 240
B) 210
C) 196
D) 180
E) 176
05. A expressão − + − +
n n n3 2
6
3
2
7
3
3 não representa número primo 
para n igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
06. A expressão 2 12n
+ não representa um número primo para n 
igual a
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
07. Seja n natural, n ≥ 1. A soma S = 13 + 23 + 33 + ... + n3 é igual 
a:
A) 
n n( )−1
2
B) 
n n( )+1
2
C) 
n n( )−



1
2
2
D) 
n n( )+



1
2
2
08. Seja n natural, n ≥ 1.
A soma S
n
= + + + +
+
1
2
2
3
3
4 1! ! !
...
(n )!
 é igual a:
A) n +
+
1
1(n )!
 C) 1
1
−
n!
B) 1
1
1
−
+(n )!
 D) 1
1
1
+
+(n )!
09. Sendo n um número natural, n ≠ 0, assinale a alternativa 
verdadeira.
A) O número n2 + 3 é sempre um número ímpar.
B) O número n3 é sempre divisível por 3.
C) O número n · (n – 1) é sempre ímpar.
D) O mínimo múltiplo comum entre n e 2n é sempre um número 
par.
E) O máximo divisor comum entre n e 2n é 2n.
10. Um número é chamado “perfeito” se ele for igual à soma de 
seus divisores, excluindo ele mesmo.
Se S = 2n – 1 é um número primo, então o número P = 2n–1·S 
será um número “perfeito”.
Paul Karlson. A magia dos números. Adaptado. 
Sabendo que o número 496 é um número “perfeito”, os valores 
de n e S são, respectivamente,
A) 5 e 31.
B) 5 e 29.
C) 3 e 29.
D) 3 e 31.
11. (EsPCEx) Se Y y tal que y y= ∈ − ≥ −{ }R 6 1 5 10 , então:
a Y
b Y
c Y
d
Y
) ,
)
)
) Y
e) ,
= − ∞



= −{ }
=
= ∅
= + ∞



1
6
1
1
6
R
12. O conjunto solução da inequação x − + ≤4 1 2 é um 
intervalo do tipo [a, b[. O valor de a + b é igual a
A) – 8
B) – 2
C) 0
D) 2
E) 8
13. (EsPCEx) O número de soluções da equação 
 
1
2
3 2
3
2
⋅ ⋅ − = ⋅ −x x x , no conjunto R, é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14. (Efomm) Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada 
por f x x( ) = − − −4 2 1 6 está definida, formam o conjunto
a d
b
) , ) , ,
) , ,
−



−



∪ 



− −



∪
1
2
3
2
5
2
0 0
7
2
9
2
5
2
3
2
7
22
9
2
1
2
3
2
11
2
5
2
1
2
7
2
11
2




− −



∪ 



− −



∪
e
c
) , ,
) , ,




15. Para n inteiro positivo, os números da forma 3 3 3
2 2 23 4 5n n n+ + ++ + 
são sempre múltiplos de
A) 5
B) 7
C) 11
D) 13
E) 17
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
9
MateMática i 
Aula 05: 
Médias e Exercícios Gerais
Média aritmética simples
A média aritmética é a mais empregada no cotidiano. 
Se tivermos uma série de n termos positivos na variável x, a média 
aritmética será calculada pela expressão matemática:
MA
x x x
n
n. .
...
=
+ + +1 2
Média aritmética ponderada
Consideremos um conjunto formado por n termos positivos 
x
1
, x
2
, ... , x
n
 de forma que cada um esteja sujeito a um peso, 
respectivamente, indicado por p
1
, p
2
, ... , p
n
. A média aritmética 
ponderada desses n termos é a soma dos produtos de cada um por 
seu peso, dividida por n, isto é:
M
p x p x p x
p p p
n n
n
.P.
...
...
=
+ + +
+ + +
1 1 2 2
1 2
Média harmônica
A média harmônica dos n termos positivos x
1
, x
2
, ... , x
n
 é 
definida como a razão entre o número de termos e a soma de seus 
inversos, como segue:
M
n
x x xn
.H.
...
=
+ + +1 1 1
1 2
Média geométrica
Sejam x
1
, x
2
, ... , x
n
 números reais positivos. Define-se a média 
geométrica dos números x
1
, x
2
, ... , x
n
 da seguinte forma:
MG x x xn
n. . ...= ⋅ ⋅ ⋅1 2
Exercícios 
01. Um homem viaja da cidade A para a cidade B à velocidade 
média de 60 km/h. Na viagem de volta, de B para A, pelo 
mesmo caminho, o homem viaja à velocidade média de 100 
km/h. Determine a velocidade média de toda a viagem de ida 
e volta.
A) 60 km/h
B) 65 km/h
C) 70 km/h
D) 75 km/h
E) 80 km/h
Aula
05
02. O valor mínimo de x
x
2 16
+ para todos os valores positivos 
de x é:
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
03. Se n é inteiro positivo, determine o valor mínimo para o produto 
20 20n n⋅ .
A) 1
B) 2
C) 4
D) 200
E) 400
04. O valor mínimo da expressão 6
24
2
x
x
+ , quando x > 0, é:
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
05. A média aritmética dos 100 números de um conjunto é 56. 
Retirando-se os números 48 e 64 daquele conjunto, a média 
aritmética dos números restantes será:
A) 28
B) 28,5
C) 38
D) 48,5
E) 56
06. ABCD é um quadrado de área igual a 1 cm2. São tomados 
dois pontos P AB e Q AD tais que PA AQ AD∈ ∈ + =, . Então, 
o maior valor da área do triângulo APQ é:
a)
b)
c)
d)
1
2
1
8
1
4
1
16
07. 
O
A B
C
y
x
y = 1 2x−
D
Q
A P B
C
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
10
MateMática i
ABCO é um retângulo de área máxima, então seu perímetro 
é igual a:
A) 
1
2
 D) 2
B) 1 E) 
5
2
C) 
3
2
08. A área de um triângulo é dada pela fórmula A
a b
=
+2 2
4
, onde 
a e b são dois de seus lados. Determine (em graus) a medida 
do maior dos ângulos do triângulo.
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 90°
E) 120°
09. Sejam x e y números reais tais que xy = 2 3 . Sendo assim, o 
valor mínimo de x8 + y8 é
A) múltiplo de 18.
B) um número primo.
C) divisível por 5.
D) divisível por 13.
E) par maior que 300.
10. Embora pouco conhecida, a “média harmônica” é utilizada 
em várias situações do dia a dia. Por exemplo, para calcular 
a velocidade média em um percurso que é feito metade 
da distância com velocidade v
1
 e a outra metade com 
velocidade v
2
.
 Podemos definir a média harmônica entre dois valores não 
nulos x e y, como sendo o número H, tal que:
1 1 1 1
H H x y
+ = +
 Utilizando a definição acima, encontre uma expressão algébrica 
destacando H em função de x e y.
A) H xy=
B) H
x y= +
2
C) H
xy
x y
=
+
2
D) H
x y= +2 2
2
E) H
x y= +
4
11. Considere quatro números positivos. A cada um desses quatro 
números, soma-se a média aritmética dos outros três, obtendo-
se como resultados os números 48, 42, 32 e 34.
 Um dos números originais é
A) 34 D) 33
B) 31 E) 32
C) 30
12. Dados a e b, números reais positivos distintos, definimos as 
médias aritmética, geométrica e heroniana de a e b como 
sendo, respectivamente, A
a b
G ab e H
a b ab
=
+
= =
+
2 3
, .
 A partir das definições acima, é correto afirmar que
A) A < G < H.
B) A < H < G.
C) G < A < H.
D) G < H < A.
E) H < G < A.
13. Se x é a média aritmética dos números reais a, b e c, y é a 
média aritmética de seus quadrados, então a média aritmética 
de seus produtos dois a dois (ab, ac, bC), em função de x e y, 
é
A) 
3
2
2x y−
B) 3
2
x y+
C) 3
2
2x y+
D) 
3
2
x y−
14. Sejam p e q números reais positivos tais que 
1 1 1
2010p q
+ = . 
Qual o valor mínimo do produto pq?
A) 8040
B) 4020
C) 2010
D) 1005
E) 105
15. Sejam a eb números reais positivos. O menor valor para a 
expressão 
a
b
b
a
+ é
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Aula 06: 
Geometria Euclidiana
Noções Elementares
• Ponto: é uma figura geométrica adimensional, que pode ser 
compreendida como o encontro de duas retas concorrentes.
P
r
s
Aula
06
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
11
MateMática i 
• Reta: é uma figura geométrica unidimensional, que pode ser 
compreendida como a interseção de dois planos concorrentes.
• Plano: é uma figura geométrica bidimensional, que pode ser 
entendida como o resultado do deslocamento de uma reta em 
uma só direção.
Algumas definições essenciais
• Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
• Pontos coplanares: são pontos que pertencem a um mesmo plano.
• Figuras geométricas: são conjuntos não vazios de pontos.
Figuras planas
Triângulo retângulo Trapézio isósceles Pentágono
Paralelogramo Retângulo Quadrado Losango
Hexágono Heptágono Octógono Decágono Circunferência
• Semirreta: é a parte da reta limitada por um ponto P.
• Segmento de reta: é a parte da reta limitada por dois pontos 
P e Q.
• Segmentos consecutivos: dois segmentos de reta são 
consecutivos se existir uma extremidade P comum.
• Segmentos adjacentes: dois segmentos consecutivos, contidos 
numa mesma reta, são adjacentes se possuem em comum apenas 
uma extremidade P.
Os segmentos QP e PR são adjacentes; 
P é o único ponto comum.
• Ponto médio: se os segmentos QP e PR forem congruentes e 
adjacentes, então P é um ponto médio de QR.
• Ângulo: designaremos de ângulo plano a figura formada por 
duas semirretas de mesma origem O.
AÔB ou Ô é o ângulo formado pelas
semirretas OA
 
 e OB
 
, em que O é o vértice 
e OA
 
 e OB
 
 são os lados.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
12
MateMática i
• Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos sempre 
que tiverem um lado comum.
São consecutivos AÔB e BÔC.
Lado comum: OB
 
São consecutivos AÔB e BÔC.
Lado comum: OB
 
• Ângulos adjacentes: dois ângulos são adjacentes se, e somente 
se, forem consecutivos e não possuírem pontos internos comuns.
AÔB e BÔC são adjacentes.
• Ângulos opostos pelo vértice: os lados são semirretas opostas 
de mesma origem.
AÔB e CÔD são o.p.v.
• Bissetriz: é uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos 
de mesma medida.
OP
 
 é bissetriz de AÔB.
AÔP ≡ PÔB
• Unidades usuais de medidas de ângulos.
Grau: um grau é a medida de um ângulo central que corresponde 
a 
1
360
 da circunferência. Portanto, a medida angular da 
circunferência é igual a 360°.
Radiano: um radiano é a medida de um ângulo central que 
corresponde a um arco cujo comprimento coincide com o raio 
do setor determinado.
Como um arco de medida r determina uma medida angular de 
1 radiano, então o comprimento linear da circunferência, que é 2πr, 
determinará, na circunferência, uma medida angular de 2π radianos.
• Ângulos suplementares adjacentes.
B
COA
AÔB e BÔC são suplementares adjacentes.
AÔB + BÔC = 180°
• Ângulo reto.
A O
B
C
AÔB e BÔC são retos, pois são suplementares adjacentes e
AÔB ≡ BÔC
AÔB = 90º = BÔC
• Ângulo agudo: ângulo não nulo, menor que um ângulo reto.
O
A
B
α
Med (AÔB) = α
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
13
MateMática i 
• Ângulo obtuso: ângulo não raso, maior que um ângulo reto.
A
BO
α
90º < α < 180º
• Ângulos complementares: α e θ são complementares quando 
a soma é igual a 90°.
• Ângulos suplementares: α e θ são suplementares quando a 
soma é igual a 180°.
POSTULADOS E TEOREMAS
A Geometria é um ramo da Matemática que estuda as 
figuras geométricas e suas propriedades. A partir de conceitos não 
definidos, chamados noções primitivas, estabelecem-se as relações 
existentes entre os objetos, denominadas propriedades.
Algumas das propriedades podem ser obtidas a partir de 
outras, através de dedução lógica.
As propriedades que servem como ponto de partida 
para esse processo de dedução recebem o nome de postulados, 
propriedades primitivas ou axiomas. As propriedades deduzidas a 
partir dos postulados são chamadas teoremas.
Exemplos de axiomas:
• Por um ponto P, passam infinitas retas.
P
• Dois pontos distintos, P e Q, determinam uma única reta.
P
Q
Exemplos de teoremas:
• Se a e b são o.p.v, então a = b.
 Justificativa:
a b
x
Veja que:
a + x = b + x = raso → a = b
• Se a2 = b2 + c2, com a, b e c positivos → a > b e a > c.
 Justificativa:
I) a b c a b c a b a b c c2 2 2 2 2 2= + → − = → +( ) ⋅ −( ) = ⋅ →
+
+123 
 → a – b é positivo → a – b > 0 → a > b.
II) a b c a c b a c a c b b2 2 2 2 2 2= + → − = → +( )⋅ −( )= ⋅ →
+
+123 
 → a – c é positivo → a – c > 0 → a > c.
Paralelismo
• Ângulos determinados por duas paralelas cortadas por uma 
transversal.
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
determinam um plano e oito ângulos.
b
a
d
c
f
e
h
g
Classificação
• Correspondentes: {(a, E); (b, f); (c, g); (d, h)}
• Opostos pelos vértices: {(a, C); (b, D); (e, g); (f, h)}
• Alternos 
internos {(c, E); (d, f)}
externos {(a, g); (b, h)}
1
2
3
• Colaterais internos {(c, f); (d, E)}
externos {(a, h); (b, g)}
1
2
3
Nota:
• Os ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos 
e opostos pelos vértices são congruentes (medidas iguais).
• Os ângulos colaterais internos e colaterais externos são 
suplementares (soma igual a 180º).
Compreensão da propriedade
b
b
a
a
A
D
B
C
I) ABCD é um retângulo;
II) Sua diagonal BD determina dois triângulos retângulos BAD e 
DCB, iguais;
III) Fazendo a superposição dos triângulos citados, temos que:
 
ABD BDC
ADB CBD
alternos iguais
ˆ ˆ
ˆ ˆ , .
≡
≡


⇒ internos
Consequência
A
B C
α1
α1
α2
α3
α3
r
s
r//s (paralelas)
A soma dos ângulos internos de um ∆ABC qualquer é igual a 180º.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
14
MateMática i
Um notável teorema da geometria
A B E
C
D
a ab
b
c
c
α
α
θ
θ
I) ∆CAB ≡ ∆BED (sobreposição, evidentE)
II) Área(∆CAB) + Área(∆DEB) + Área(∆CBD) = Área (trapézio ACDE)
Então: c b c b a a b c b c⋅
+
⋅
+
⋅
=
+( ) ⋅ +( )
2 2 2 2
Simplifi cando, obtemos:
 a2 = b2 + c2 (Relação de Pitágoras)
Ângulos na circunferência
Considerando uma reta do plano de uma circunferência, sua 
posição em relação à essa circunferência pode ser:
• externa: não intersecta a circunferência.
• tangente: intersecta a circunferência em um único ponto.
• secante: intersecta a circunferência em dois pontos distintos.
Para a resolução com desenvoltura de situações-problema 
relativos a áreas e ângulos na circunferência é de fundamental 
importância o reconhecimento dos ângulos formados por 
retas secantes e/ou tangentes, bem como o conhecimento das 
relações existentes entre as medidas das áreas determinados na 
circunferência por esses retas.
Dependendo das retas que as formam e da posição do vértice 
no círculo, os ângulos recebem nomes espécies. Veja a seguir:
Ângulo central
O: centro
α = ( )m AB
α é chamado de central.
A
B
O α
Ângulo inscrito
B
A
O αP
O: centro
Propriedade: β α=
2
β é chamado de inscrito.
Arco capaz
A
B
α
α
α
P
P´
P´´
α =
( )m AB
2
Observação:
Todo triângulo inscrito num semicírculo é retângulo.
B A
O
O: centro
Ângulo de segmento ou semi-inscrito
α =
2
m( ))AB
A
B
α
semirreta tangente
α é chamado de ângulo de segmento.
Ângulo excêntrico interior
D
C
A
B
α α =
2
m( )) )
AB ( )CD+m
Observação:
Também chamado de excêntrico interno.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
15
MateMática i 
Ângulo excêntrico exterior
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
α = ângulo excêntrico exterior.
α =
( ) − ( )m AB m CD 
2
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
θ = ângulo excêntrico exterior.
θ =
( ) − ( )m CB m AB 
2
A
P
B
N Mβ
β = ângulo circunscrito.
β =
( ) − ( )m AMB m ANB 
2
POLÍGONOS
Consideremos, em um plano, n pontos (n ≥ 3), A
1
, A
2
, 
A
3
,...,A
n
, ordenados de modo que três consecutivos não sejam 
colineares.
Chama-se polígono A
1
A
2
A
3
...A
n
 a figura formada pela união 
dos n segmentos consecutivosnão colineares.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
• Vértices do polígono: A
1
, A
2
, A
3
,...,A
8
.
• Lados do polígono: 
 A A A A A A1 2 2 3 7 8, ,..., .
• Perímetro: (2p) é a soma dos 
comprimentos de todos os lados.
• Gênero de um polígono é o número 
de lados.
• Vértices adjacentes: dois vértices 
P e Q são adjacentes se, e somente 
se, PQ é lado.
• Diagonal de um polígono: segmento de reta que une dois vértices 
não adjacentes.
Classificação dos polígonos
Quanto à região
• Polígono convexo: uma reta qualquer só corta o polígono em 
dois pontos.
• Polígono não convexo: uma reta qualquer pode cortar o 
polígono em mais de dois pontos.
Quanto ao gênero
De acordo com o gênero, os polígonos podem receber as 
denominações:
Triângulo ......................................................................... 3 lados
Quadrilátero ................................................................... 4 lados
Pentágono ....................................................................... 5 lados
Hexágono ....................................................................... 6 lados
Heptágono ...................................................................... 7 lados
Octógono ........................................................................ 8 lados
Eneágono ........................................................................ 9 lados
Decágono .......................................................................10 lados
Undecágono ...................................................................11 lados
Dodecágono ...................................................................12 lados
Pentadecágono ...............................................................15 lados
Icoságono ....................................................................... 20 lados
Para os demais, dizemos polígonos de n lados.
• Um polígono é equilátero quando seus lados forem congruentes.
• Um polígono é equiângulo quando seus ângulos internos forem 
congruentes.
• Um polígono é regular quando for equilátero e equiângulo.
Soma dos ângulos internos de um 
polígono convexo
Para encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo qualquer, basta fazer uma decomposição do polígono em 
triângulos a partir de um ponto interior.
a b
c
d
e
f
g
Exemplo: heptágono convexo.
Assim:
S a b c d e f gi
o= ⋅ − + + + + + +7 180 ( )1 2 3
S
i
 = 7 ⋅ 180º – 360º
Generalizando: S
i
 = n ⋅ 180º – 360º
S
i
 = (n – 2) ⋅ 180º
Se o polígono for regular, teremos:
a
n
n
i
o
=
− ⋅( )2 180
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
16
MateMática i
Soma dos ângulos externos 
de um polígono convexo
Sabemos que:
Num polígono convexo qualquer, a soma do ângulo interno 
com o externo adjacente é sempre 180º.
 Então:
i
1
 + e
1
 = 180º
i
2
 + e
2
 = 180º

i
n
 + e
n
 = 180º
n igualdadesn igualdades
e3 i3
e2
i2
e1
i1
 Somando:
 S
i
 + S
e
 = n ⋅ 180º
 n ⋅ 180º – 360º + S
e
 = n ⋅ 180º
 Logo: S
e
 = 360º
 Se o polígono for regular, teremos: a
n
e
o
=
360
Número de diagonais de 
um polígono convexo
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V1
Exemplo: heptágono convexo.
Perceba:
1. Diagonais que partem de um vértice: D
v
 = 7 – 3
2. Número total de diagonais: DT = ⋅ −7 7 3
2
( )
Generalizando, para um polígono convexo de n lados, temos:
• Número de diagonais que partem de um vértice é igual a n – 3.
• Número de diagonais de um polígono convexo é igual a 
n n⋅ −( )
.
3
2
Polígono regular de gênero par
 Exemplo: Determinar o número de diagonais que não passam 
pelo centro do octógono regular.
 Perceba:
 De um vértice é possível traçar 8 – 4 diagonais que não passam 
pelo centro.
 Como são 8 vértices, então o total de diagonais que não passam 
pelo centro é igual a 8 8 4
2
⋅ −( )
.
Generalizando, para n par, encontramos:
• Nº de diagonais de um vértice que não passam pelo centro: 
d
v
 = n – 4.
• Nº de diagonais que não passam pelo centro: d
n n
nc =
⋅ −( )4
2
• Nº de diagonais que passam pelo centro: d
n
c =
2
Exercícios 
01. No triângulo AEF da figura abaixo, temos que med(AB) = 
med(BC), BC // DE e CD // EF.
F
E
C
A
B D
α
β
θ
 O valor de θ escrito em função de α e β é
A) θ = α + β
B) θ = β – α
C) θ
α β
=
+ +180
2
º
D) θ
α β
=
− −180
2
º
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
17
MateMática i 
02. A medida, em graus, do ângulo interno de um polígono regular 
é um número inteiro. O número de polígonos não semelhantes 
que possuem essa propriedade é:
A) 24 D) 18
B) 22 E) não sei
C) 20
03. Na figura a seguir, calcule o ângulo α.
30°
38°
42°
α
37°
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo.
A) 30º D) 38º
B) 33º E) 42º
C) 37º
04. No circuito de centro O, seja AD um diâmetro. Sejam B e C tais 
que AOC = 90º e AOB BOC =
1
2
.
B
A
C
O
D
Assinale o valor de ODB
A) 12º D) 22,5º
B) 15º E) 30º
C) 18º
05. No eneágono regular estrelado da figura abaixo, um dos 
ângulos abaixo não pode ser medido entre seus lados ou seus 
prolongamentos. Assinale-os
A) 20º D) 60º
B) 30º E) 80º
C) 40º
06. Considere três polígonos regulares tais que os números que 
expressam a quantidade de lados de cada um constituam 
uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes 
três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos 
internos dos três polígonos é igual a 3780º. O número total 
das diagonais nestes três polígonos é igual a:
A) 63 D) 97
B) 69 E) 106
C) 90
07. De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados 
e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e 
de diagonais dos dois polígonos é igual a:
A) 63 D) 70
B) 65 E) 77
C) 66 
08. Duas circunferências C
1
 e C
2
, ambas com 1 m de raio, são 
tangentes. Seja C
3
 outra circunferência cujo raio mede 
2 1−( )m e que tangencia externamente C
1
 e C
2
. A área, em 
m2, da região limitada e exterior às três circunferências dadas, 
é:
A) 1 1
2
2
− −




π D) 
π
16
2
1
2




−



B) 
1
2 6
−
π
 E) π 2 1 1−( ) −
C) 2 1 2−( )
09. (EsPCEx) Na figura a seguir temos uma espiral formada pela 
união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo 
das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual 
a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo 
anterior, o comprimento da espiral é igual a
y
x21
desenho ilustrativo fora de escala
A) π D) 4π
B) 2π E) 5π
C) 3π 
10. (EsPCEx) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 
canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com seu modelo, 
tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de 
giro horizontal de 360º. Sabendo que as distâncias entre A e 
B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, 
determine, em km2, a área total que está protegida por esses 
3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.
A) 
23
2
π D) 
195
4
π
B) 
23
4
π E) 
529
4
π
C) 
385
8
π
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
18
MateMática i
11. (EsPCEx) O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros 
de um relógio às 14 horas e 30 minutos vale
A) −
+( )3 1
2
 D) −
−( )6 2
4
B) −
+( )2 1
2
 E) 
2 3
4
+( )
C) 
1 2
4
+( )
12. (EsPCEx) Determine o comprimento do menor arco AB na 
circunferência de centro O, representada na figura a seguir, 
sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos CÔD = 
30º e OÂB = 15º e que a área do triângulo CDO é igual a 18 
cm2.
B
O
D
C
A
A) 5π cm D) 12π cm
B) 12 cm E) 10π cm
C) 5 cm
13. A figura abaixo mostra duas circunferências tangentes em A. 
Uma reta corta a circunferência maior em B e C e é tangente 
à circunferência menor em T. A reta TA encontra novamente a 
circunferência maior em D.
B
C T
A
D
 No sentido anti-horário, sobre a circunferência maior, o arco BD 
mede 150º, e o arco DA mede 110º. Então, o arco AC mede:
A) 20º D) 50º
B) 30º E) 60º
C) 40º 
14. No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e também a medida 
do ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é
A) uma circunferência.
B) um arco de circunferência.
C) a uniãode dois arcos de circunferência.
D) uma reta.
E) a união de duas retas paralelas.
15. Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma 
de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004º, determine 
o número n de lados do polígono.
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 20
Aula 07: 
Geometria Euclidiana
TRIÂNGULOS
Classificação
Quanto aos lados
Isósceles
(2 lados congruentes)
Escaleno
(3 lados diferentes)
Equilátero
(3 lados congruentes)
60º
60º60º
Quanto aos ângulos
40º
60º 80º
Acutângulo
(3 ângulos agudos)
Retângulo
(1 ângulo reto)
Obtusângulo
(1 ângulo obtuso)
120º
Condição de existência
Sabemos que a menor distância entre dois pontos distintos 
é representada pelo segmento de reta que une estes pontos.
Então:
A
C a
cb
B
Qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma 
dos outros dois e maior que a diferença em módulo dos outros dois.
b c a b c− < < +
Reconhecimento da natureza de um triângulo
A
C B
cb
a
Se a é o maior lado do triângulo, temos:
a2 = b2 + c2 ⇒ triângulo retângulo
a2 < b2 + c2 ⇒ triângulo acutângulo
a2 > b2 + c2 ⇒ triângulo obtusângulo
Congruência de triângulos
Dois triângulos são iguais se, e somente se, seus lados e seus 
ângulos são ordenadamente iguais.
Aula
07
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
19
MateMática i 
Critérios de congruência
Para assegurarmos que dois triângulos são congruentes, 
basta verificar a igualdade de alguns de seus elementos. Estamos 
nos referindo às condições mínimas para que se possa concluir que 
dois triângulos dados são congruentes.
Critério 1 (L.L.L): Dois triângulos são iguais se têm na devida 
ordem os três lados iguais.
B
A C
Q
P R
Se 
AB PQ
BC QR
CA RP
≡
≡
≡





, então ∆ABC ≡ ΔPQR.
Critério 2 (L.A.L): Dois triângulos são iguais se têm na devida 
ordem além de dois lados iguais, o ângulo compreendido entre eles.
B
A C
Q
P R
Se
AB PQ
A P
CA RP
≡
≡
≡





ˆ ˆ , então ∆ABC ≡ ΔPQR.
Critério 3 (A.L.A): Dois triângulos são iguais se têm na devida 
ordem além de um lado congruente, os dois ângulos a ele adjacentes.
B
A C
Q
P R
Se
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
B Q
AB PQ
A P
≡
≡
≡





então ∆ABC ≡ ΔPQR.
Consequências triviais
Bissetriz
Todos os pontos pertencentes à bissetriz de um ângulo 
equidistam dos lados do ângulo.
Veja que:
ΔPAO ≡ ΔPBO, então PA = PB
A
P bissetriz
B
O
α
α
Mediatriz
Todos os pontos pertencentes à mediatriz de um segmento 
equidistam das extremidades do segmento.
Veja que:
ΔPMA ≡ ΔPMB, então PA = PB
P
BA M
mediatriz
Base média de um triângulo
Um segmento de reta é a base média de um triângulo se, e 
somente se, esse segmento tiver as extremidades nos pontos médios 
de dois lados desse triângulo.
A
M
B
N
C
M e N são os pontos médios dos lados AB e AC MN; é uma 
base média do ∆ABC.
Propriedade
A base média de um triângulo é paralela à base desse 
triângulo e mede a metade dessa base. Assim, na figura anterior 
teremos:
MN BC e MN
BC
/ / =
2
Base média de um trapézio
Um segmento de reta é a base média de um trapézio se, e 
somente se, esse segmento tiver extremidades nos pontos médios 
dos lados não paralelos.
A D
NM
CB
MN é a base média do trapézio ABCD
Propriedade
A base média de um trapézio é paralela às bases e sua 
medida é a média aritmética das medidas das bases.
Assim, temos:
MN AD BC e MN
AD BC
/ / / / = +
2
Mediana de Euler
Se os pontos P e Q são os pontos de interseção da base média 
MN com as diagonais AC e BD, então PQ é a mediana de Euler.
A
P Q
B
N
CD
M
Propriedade: PQ
CD AB= −
2
 (mediana de Euler)
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
20
MateMática i
Pontos notáveis do triângulo
Altura de um triângulo
Segmento perpendicular que liga um vértice ao lado oposto 
ou ao seu prolongamento.
Ortocentro (O)
O
O
O
acutângulo retângulo obtusângulo
As retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se 
num ponto chamado ortocentro (indicado por O na figura acimA).
O ortocentro de um triângulo é interno, vértice do ângulo 
reto ou externo ao triângulo, conforme este seja acutângulo, 
retângulo ou obtusângulo, respectivamente.
Mediana de um triângulo
Segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Baricentro (G)
As três medianas de um triângulo concorrem no mesmo 
ponto, chamado baricentro (indicado por G na figura abaixo), 
do triângulo e situado a 2/3 de cada mediana, a partir do vértice.
O baricentro de um triângulo é sempre um ponto interior.
A
G
B C
M3 M2
M1
Teorema: GA = (2/3)AM
1
; GB = (2/3)BM
2
 e GC = (2/3)CM
3
Bissetriz de um triângulo
Uma bissetriz interna (ou externA) de um triângulo é um 
segmento com extremos num vértice e na reta suporte do lado 
oposto, contido na bissetriz interna (respectivamente externA) do 
ângulo do vértice.
A A
B BC
CI
J
AI - Bissetriz interna AJ - Bissetriz externa
αα α
α
Incentro (I)
As bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num 
ponto chamado incentro (indicado por I em geral), que é o centro 
da circunferência inscrita (circunferência tangente internamente 
aos lados de um triângulo).
A
CB
I
As bissetrizes externas interceptam-se, duas a duas, em três 
pontos denominados ex-incentros e estes são centros das circunferências 
que tangenciam as retas suportes dos lados do triângulo.
Na figura abaixo, temos: AI
1
, AI
3
, BI
1
, Bl
2
, CI
2
, CI
3
 são as 
bissetrizes dos ângulos externos, I
1
, I
2
 e I
3
 são os ex-incentros e as 
circunferências são as ex-inscritas.
A
B C
I1 I3
I2
Mediatriz de um triângulo
Uma mediatriz de um triângulo é uma reta perpendicular a 
um dos lados desse triângulo no seu ponto médio.
Circuncentro (C)
As mediatrizes de um triângulo se interceptam num ponto 
chamado circuncentro. O circuncentro é o centro da circunferência 
circunscrita (circunferência que contém os vértices do triângulo).
O circuncentro de um triângulo pode ser interior, ponto 
médio da hipotenusa ou exterior ao triângulo, conforme este seja 
acutângulo, retângulo ou obtusângulo, respectivamente.
A
Acutângulo Retângulo Obtusângulo
CB
o
CB
A
o
A
B C
o
Importantíssimo:
• Em um triângulo isósceles, coincidem a mediana, a altura, a 
bissetriz interna e a mediatriz relativas à base.
• Em todo triângulo isósceles, os pontos notáveis (baricentro, 
ortocentro, incentro e circuncentro) são alinhados.
• Em todo triângulo equilátero, os pontos notáveis são 
coincidentes.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
21
MateMática i 
Exercícios 
01. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem 
de A e de B são perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, e valor 
de AB é:
A
2a
2b
a
b
B C
A) 3 6
B) 4 3
C) 12 7
D) 2 5
E) 4 2
02. No círculo a seguir, O é o centro, AB = 2 e AC = 3 . Então α 
vale:
A
α
O
B
C
A) 75º D) 30º
B) 60º E) 15º
C) 45º
03. Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a poligonal 
L = BCB
1
C
1
B
2
C
2
B
3
C
3
... O comprimento de L é:
C
60°
60°
a
B
60°
A B
3 B
2
B
1
C
3
C
2
C
1
60°
b
c
A) 2c D) 2(a + C)
B) a + b + c E) 
a b
c
+
+
2
C) 2(a + B)
04. Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto 
dos demais, BAC, mede 40º. Sobre o lado AB, tome o ponto E 
tal que ACE = 15º. Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que 
DBC= 35º. Então, o ângulo EDB vale:
A) 35º
B) 45º
C) 55º
D) 75º
E) 85º
05. Num trapézio retângulo circunscritível, a soma do dois lados 
paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados 
é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o 
comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r 
(em cm) é igual a:
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
06. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o 
dobro do produto dos catetos. Então, um dos ângulos agudos 
do triângulo vale:
A) 30º
B) 60º
C) 45º
D) 15º
E) 10º
07. A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo 
que acomoda exatamente os cigarros, como na figura. Se o 
raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são:
A) 14r e 2r (1 + 3 ) D) 14r e 3r
B) 7r e 3r E) (2 + 3 3 )r e 2r e 3
C) 14r e 6r08. A figura a seguir representa uma estrutura metálica, em que 
ABC é um triângulo isósceles e os segmentos BC, CD, DE, EF 
e FA são congruentes.
F
E
C
D
B
A
 Então, a medida do ângulo de vértice A é igual a:
A) 10º
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
22
MateMática i
09. Na figura a seguir, AB e AC são congruentes. A medida, em 
graus, do ângulo x é:
A
E
D
B C
x
20º
20º50º
A) 8º D) 14°
B) 10º E) 15°
C) 12º 
10. Na figura abaixo, AD é bissetriz do ângulo BÂC, AB = 9 cm, 
AC = 15 cm e M é o ponto médio de BC. A medida do segmento 
DM é igual a:
A
B M C
D
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4 
11. Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD 
medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são 
os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o 
perímetro do quadrilátero RSTU vale:
A) 22 cm D) 11 cm
B) 5,5 cm E) 13 cm
C) 8,5 cm 
na f
12. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OM do ângulo 
MÔN da figura, onde traçamos:
O
Q
M
A
B N
P
I. AB ⊥ ON
II. AQ || ON
III. PQ = 2 · OA
 Se PÔB = 26º, então MÔN é igual a:
A) 66º C) 78º
B) 72º D) 79º
13. No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem 
respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro 
das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, 
a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
QB
M
A
P N
R C
A) 
10
9
 D) 4
3
B) 
9
8
 E) 7
5
C) 7
6
 
14. Considere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os 
pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente. Então, 
se AB tem comprimento x e CD tem comprimento y < x, MN 
é igual a
A) x – y D) 
1
3
( )x y+
B) 1
2
( )x y− E) 1
4
( )x y+
C) 
1
3
( )x y−
15. Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência 
de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em 
seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. 
Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido 
gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento 
seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as 
circunferências envolvidas nesse processo é igual a:
2R
desenho ilustrativo – fora de escala
A) 2 1
3
2
R +




B) 4 1
3
2
R +




C) 4 1
3
4
R +




D) R( )2 3+
E) 2 1
3
4
R +




IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
23
MateMática i 
Aula 08: 
Geometria Euclidiana
Teorema de Tales
O teorema de Tales garante que um feixe de paralelas 
determina, em duas transversais, quaisquer segmentos proporcionais.
t
a c
r
s
v
db
A A’
B’B
C’C
t’
Propriedade:
2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
n vezes
n
1 2 3
 r // s // v (paralelas)
 t e t’ (transversais)
Uma rápida justificativa para o Teorema de Tales:
t
a paralelogramo
paralelogramo
a c
d h
s
r
v
b b
A A’
B’B’’B
C’C’’C
t’
Propriedades auxiliares:
• triângulos que têm a mesma base e a mesma altura são 
equivalentes, isto é, têm áreas iguais.
• quando dois triângulos têm a mesma altura, suas áreas são 
diretamente proporcionais às respectivas áreas.
 Aplicando as propriedades auxiliares na figura acima, obtemos:
 
á â
á â
rea do tri ngulo A’B’B"
rea do tri ngulo B"B’C"
 ( I )= a
b
áá â
á â
rea do tri ngulo A’B"B’
rea do tri ngulo B’B"C’
 ( II= c
d
 )
Veja que:
 Como B”B’C” e B’B”C’ são triângulos de mesma base e mesma 
altura, então são equivalentes.
base
b d
s
v
h = altura
B’’ B’
C’C’’
Aula
08
De (I) e (II), concluímos que:
a
b
=
c
d
(Proporcionalidade de Tales)
Teorema da bissetriz interna
A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o 
lado oposto em dois segmentos (aditivos) proporcionais aos lados 
adjacentes do triângulo.
B
A
c
a
α α
m n
b
D C
Se AD é a bissetriz interna do ângulo Â, então:
Teorema: 
c
m
b
n
onde m n a= + =,
Teorema da bissetriz externa
Se a bissetriz externa de um triângulo encontrar a reta 
que contém o lado oposto, em tal caso ela divide o lado oposto 
externamente em dois segmentos (subtrativos) proporcionais aos 
lados adjacentes do triângulo.
a n
b
c
A
C
α
α
DB
m
Se AD é a bissetriz externa do ângulo Â, então:
Teorema: 
c
m
b
n
onde m n a= − =,
Semelhança de triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus 
pares de lados correspondentes, ordenadamente proporcionais e 
os ângulos correspondentes iguais.
B B’ C’
A’
C
bc c’ b’
a’a
A
Se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, então:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ’ ’ ’
A A
B B
C C
e
c
c
a
a
b
b
k
=
=
=





= = =
’
’
’
 (raz o de semelhanã çça)
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
24
MateMática i
Casos de semelhanças
• Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente 
iguais.
A
c
c’
b
a a’
b’
CB B’ C’
A’
 Â
B B
ABC A B C
a
a
b
b
c
c
k e C C
≡
≡



⇒ ⇒ = = = =’
ˆ ˆ ’
’ ’ ’
’ ’ ’
’∆ ∆∼  
• Segundo caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm um ângulo igual, compreendido 
entre dois lados proporcionais.
Ca
b
c
C’
A’
A
B B’
c’
b’
a’
c
c
b
b
k
A A
ABC A B C
a
a
k B B C C’ ’
’
’ ’ ’
’
, ˆ ’ ˆ , ˆ ˆ ’
= =
≡




⇒ ⇒ = ≡ ≡


 
∼∆ ∆ 
• Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente 
proporcionais.
C
B
a
b
c C’
A’A
B’
c’
b’
a’
a
a
b
b
c
c
k ABC A B C A A B B C C
’ ’ ’
’ ’ ’ ( ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’)= = = ⇒ ⇒ ≡ ≡ ≡∆ ∆∼
Importantíssimo:
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade 
se mantém constante para quaisquer dois segmentos 
correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, inraios, 
circunraios etc.
Semelhança de polígonos
Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer 
uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de 
vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes 
sejam proporcionais.
E
G
G’
D
Heptágono côncavo
C
F’
e’
d’
c’
b’
a’
f’
E’
D’
C’
B’A’BA
F
e
d
c
b
a
f
ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’
’ ’
A A B B C C D D E E F F G G
a
a
b
b
c
c
= = = = = = =
= =
’’ ’ ’ ’ ’
= = = = =




⇒d
d
e
e
f
f
g
g
k
ABCDEFG A∼ ’B’C’D’E’F’G’
Importantíssimo:
• k é chamado razão de semelhança.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão 
de semelhança k, a razão entre as áreas é k2.
• Uma extensão razoável dos resultados acima, vemos na 
geometria espacial. Quando se tem dois sólidos semelhantes, 
diremos que a razão entre os seus volumes é igual ao cubo da 
razão entre as linhas homólogas, isto é, a razão de semelhança 
(razão entre as linhas homólogas) sendo igual a k, a respectiva 
razão entre os volumes será k3.
O retângulo áureo
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando ele 
apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, 
o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo original.
B a
a
a
b
b
A
F
E
E F
D C
C
D
ABCD ~ CDEF, então:
a
a b
b
a+
= .
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem:
b2 + ab = a2
Dividindo ambos os membros por b2, encontramos:
1 + a
b
a
b
= 



2
Tomando k = 
a
b
 (conhecido como Razão ÁureA), teremos:
k2 = k + 1
Portanto, k = + ( )1 5
2
número áureo .
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
25
MateMática i 
Relações métricas no triângulo retângulo
A
BC
b c
H
a
h
m n θ
θ
α
α











b e c → catetos
a → hipotenusa
h → altura relativa à 
hipotenusa
m → projeção do 
cateto b sobre a
n → projeção do 
 cateto c sobre a
Elementos do ∆ABC:
A partir da semelhança de triângulos, podemos encontrar 
facilmente as seguintes relações métricas válidas no triângulo ABC.
Veja:
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
AHC BHA
m
h
b
c
h
n
I
AHC BAC
m
b
b
a
h
c
II
BHA BAC
h
b
c
a
∼
∼
∼
→ = =
→ = =
→ =
( )
( )
==
n
c
III( )
Temos:
Em ( I ) → 
m
h
h
n
h mn= → =2 
Leitura: a altura relativa à hipotenusa é igual a média geométrica 
entre os segmentos que ela determina sobrea hipotenusa.
Em ( II ) → 
b
a
h
c
bc ah= → = 
Leitura: o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa 
pela altura relativa a ela.
Em (II) e (III) → 
m
b
b
a
b ma
c
a
n
c
c na
= → =
= → =





2
2
 
Leitura: um cateto é média geométrica entre a hipotenusa e sua 
projeção sobre ela.
Somando b2 com c2, vem:
b2 + c2 = ma + na = a(m + n) = a · a
b2 + c2 = a2
Leitura: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos.
Relação de Stewart (Triângulo qualquer)
Seja um triângulo ∆ABC, com BC = a, AC = b e AB = c. 
Se x é o comprimento de um ceviana AD, que divide o lado BC, 
no ponto D, em dois segmentos tais que BD = m e DC = n, então, 
b
2
 · m + c2 · n – x2 · a = m · n · a.
a
mB
A
D
Cn
x bc
Relações métricas na circunferência
O conjunto de todos os pontos P de um plano α, situados 
a uma distância d = r de um ponto fixo O pertencente a α, 
chamaremos de circunferência de centro O e raio r.
O
P
α
r
r
rr
Círculo
O conjunto de todos os pontos P de um plano α, situados 
a uma distância d ≤ r de um ponto fixo O pertencente a α, 
chamaremos de círculo de centro O e raio r.
O
P
r
α
Posições relativas entre reta e 
circunferência
Reta tangente
Reta tangente é a reta que intercepta a circunferência 
num único ponto P.
P
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
26
MateMática i
Reta secante
Reta secante é a reta que intercepta a circunferência em 
dois pontos distintos P e Q.
P
Q
Reta externa
 Reta externa é a reta que não intercepta a circunferência.
Algumas propriedades
• Propriedade 01:
 A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência P.
O
r
P
t
• Propriedade 02:
 Se dois segmentos tangentes têm uma extremidade comum, 
então são congruentes.
A
P
B
 Relação métrica: PA = PB (conhecido como Teorema do Bico).
• Propriedade 03:
 Todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência tem as 
somas de lados opostos iguais.
C
Q
B
P
y
A
y
N
x
x
M
t t
z
z
D
 Relação métrica: AB + CD = BC + AD (conhecido como Teorema 
de Pitot).
Propriedades das tangentes
P
1
 – A tangente é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de 
contato.
Centro: O
raio: r
o
t
r
P
2
 – Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos 
tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, 
então PA ≡ PB.
PO
A
B
(cateto – hipotenusA)
∆ ∆PAO PBO PA PB Teorema do bico≡ ⇒ ≡ ( ) 
R. métrica → PA = PB.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
27
MateMática i 
P
3
 – Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, 
a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
D
b
a
c
c
d
a
b
d
C
A
B
R m trica AB CD BC AD Teorema de Pitot. é → + = + ( ) 
Relações métricas na circunferência
Considerando a presença de triângulos semelhantes em 
cada um dos casos a seguir, encontramos:
• Corda × Corda
D
O P
C
A
B
R m trica PA PB PC PD. é → ⋅ = ⋅ 
• Secante × Secante
D
PO
C
A
B
R m trica PA PB PC PD. é → ⋅ = ⋅ 
• Tangente × Secante
A
B
T
O
P
R m trica PT PA PB. é → = ⋅ 2
Exercícios 
01. (EsPCEx) Na fi gura, o raio da circunferência de centro O é 25
2
cm
e a corda MP mede 10 cm
M N
P
Q O
desenho ilustrativo – fora de escala
A medida, em centímetros, do segmento PQ é
A) 
25
2
cm D) 21
B) 10 E) 2 21
C) 5 21
02. Na fi gura abaixo, sem escala, o raio da circunferência de centro
O é r = 3 cm e o segmento OP mede 5 cm.
O P
T
Q
Sabendo que o segmento PQ tangência a circunferência no 
ponto T, pode-se dizer que o segmento OQ mede:
A) 1,25 cm D) 4 cm
B) 5 cm E) 3,5 cm
C) 3,75 cm
03. Considere um decágono regular com centro no ponto O
cuja medida do lado é igual a 2 m. Se U e V são dois vértices
consecutivos deste decágono e se a bissetriz do ângulo OÛV
intercepta o segmento OV no ponto W, então, a medida do
perímetro do triângulo UVW é
A) ( )m.3 5+ C) ( )m.2 5+
B) ( )m.3 3+ D) ( )m.2 3+
04. Na fi gura a seguir, pelo ponto O, foram traçadas retas paralelas
aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos assinalados 
com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triângulo ABC é
O
A
CB
A) 25 D) 64
B) 36 E) 81
C) 49
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
28
MateMática i
05. Os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, 
e sua área mede 84 cm2. Considere um segundo triângulo, 
semelhante ao primeiro, cuja área mede 336 cm2.
A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetro, é
A) 42 D) 168
B) 84 E) 336
C) 126 
06. Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em 
A e D, respectivamente. Sabe-se que AC = 15 cm, AD = 16 cm 
e BD = 12 cm.
D
E
A
C
B
 A área do triângulo ABE é de
A) 100 cm2. C) 75 cm2. 
B) 96 cm2. D) 60 cm2.
07. O lampião, representado na figura, está suspenso por duas 
cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas 
cordas mede 1/2 e 6/5, distância do lampião ao teto é:
A) 1,69 D) 1/2
B) 1,3 E) 6/13
C) 0,6 
08. Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas avenidas A e 
B tem a forma de um trapézio ADD’A. com AD = 90 m e 
A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.
Rua 1
Rua 2
BA
Avenida A
Avenida B
A1
B1
C1
D1
C D
 Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B, e CDD’C’. todos 
na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que 
AB = 40 cm, BC = 30 cm e CD = 20 m.
 De acordo com essas informações, a diferença em metros, 
A’B’ – C’D’ é igual a 
A) 20. C) 15.
B) 30. D) 45.
09. Na figura dada, as circunferências de centros P e S são ambas 
tangentes à reta l no mesmo ponto Q e a reta que passa por 
P e R tangência a circunferência menor no ponto T. Sendo os 
raios das circunferências respectivamente 8 m e 3 m, a medida 
do segmento QR é:
T
P S
Q
R

A) 4 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 2 m
E) diferente dos quatro valores anteriores
10. Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC , CB e 
AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D 
um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do 
ângulo ACBˆ e seja E um ponto do prolongamento de CD , na 
direção de D, tal que DBE DCBˆ ˆ .= A medida, em cm, de CE é
A) 
11 6
3
 D) 
20 6
3
B) 
13 6
3
 E) 
25 6
3
C) 
17 6
3
11. Na figura, o segmento AC é perpendicular a reta r. Sabe-se que 
o ângulo AÔB, com O sendo um ponto da reta r, será máximo 
quando O for o ponto onde r tangência uma circunferência 
que passa por A e B.
O C
A
B
r
 Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pedestal BC 
de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo AOB de visão da 
estátua seja máximo, é
A) 10 m.
B) 8,2 m.
C) 8 m.
D) 7,8 m.
E) 4,6 m.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
29
MateMática i 
12. Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais 
perpendiculares. Determine a área do trapézio.
A) 
ab
2
 
B) 
a b+


2
2
 
C) 
a b
ab
+


2
 
D) 
2
2
a b
ab
+



E) 
a b
a b
+


2
2
13. No triângulo ABC a seguir, a é a base, h a altura relativa a esta 
base, e b o lado oposto ao ângulo de 45º.
B
45°
h
A
b
Ca
 Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
A) 16. 
B) 
16
5
. 
C) 
4
5
.
D) 4 5.
E) 16 5.
14. Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta 
sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, 
conforme figura a seguir.
Fonte
luminosa
7 cm
25 cm dd
28 cm
 Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância d do centro da esfera 
até a parede, em cm, é
A) 23 D) 32
B) 25 E) 35
C) 28 
Aula 09: 
Geometria Euclidiana
Áreas dos quadriláteros
Características do quadrado ABCD
• É um paralelogramo equiângulo e equilátero, isto é, regular.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um quadrado determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
• É, simultaneamente, retângulo e losango.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
A
B C
Da
a
xx
x
x
Diagonal AC BD a
ABCD S a
= = =
( ) = =




2
2Área
Características do retângulo ABCD
• É um paralelogramo equiângulo.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• Asdiagonais de um retângulo determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
A
B C
Da
b
x x
xx
Diagonal AC BD a b
ABCD S a b
= = = +
( ) = = ⋅




2 2
Área
Características do losango ABCD
• É um paralelogramo equilátero.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um losango determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
Aula
09
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
30
MateMática i
A
B
D
d
2
 = 2y
d
1
 = 2x
C
a
aa
a
x x
y
y
Diagonal AC d a a a a B a B
Diagonal BD d
= = = + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
= =
1
2 2
2
2 2 2cos cos 
== + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
( ) = = ⋅







a a a a a
ABCD S
d d
2 2
1 2
2 2 2
2
cos cos Â
Área
Características do paralelogramo ABCD
• Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
• Os lados opostos são congruentes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um paralelogramo determinam nele quatro 
triângulos de áreas iguais.
D
A B
C
a
a
b
b h
x
x
y
y
Diagonal AC a b a b B
Diagonal BD a b a b
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
2 2
2 2
2
2
cos
cos

Â
Árrea ABCD S a h a b sen A a b sen B( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅






ˆ ˆ
Áreas dos triângulos
Área de um triângulo em 
função da base e da altura
A
B C
bc
a
h
a
Onde:
h
a
: medida da altura relativa ao vértice A.
h
b
: medida da altura relativa ao vértice B.
h
c
: medida da altura relativa ao vértice C.
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a h b h c ha b c∆( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅
2 2 2
.
Área de um triângulo retângulo
A
B
Cb
c
a
Onde:
b: medida do cateto AC.
c: medida do cateto AB. 
a: medida da hipotenusa BC. 
Relação métrica: a2 = b2 + c2 (Pitágoras).
Área ABC S
b c cateto cateto∆( ) = = ⋅ = ⋅
2 2
.
Área de um triângulo equilátero
A
B C
a
a a
h
Onde:
a: medida dos lados do ΔABC.
h: medida da altura do ΔABC → h
a= ⋅ 3
2
.
Área ABC S
a∆( ) = = ⋅2 3
4
.
Área de um triângulo 
em função dos três lados
A B
C
b
c
a
Onde:
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
p: semiperímetro.
Área ABC S p p a p b p c∆( ) = = ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) (Heron).
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
31
MateMática i 
Área de um triângulo em função de dois 
lados e o ângulo formado
A
B
C
b c
α
a
Onde:
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
α: medida do ângulo formado pelos lados b e c.
Á
Â
rea ABC S
b c sen b c sen∆( ) = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅α
2 2
.
Área de um triângulo em função 
dos lados e do circunraio
B
A
C
O
b
R
P
a
Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = R (circunraio).
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a b c
R
∆( ) = = ⋅ ⋅
4
.
Área de um triângulo em função dos 
lados e do inraio
A
B
C
O
b
c
r
P
a
Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = r (inraio).
a, b, c: medidas dos lados do 
ΔABC.
p: semiperímetro.
Área (ΔABC) = S = p · r.
Áreas do círculo e suas partes
Área de um círculo (disco)
O
R
P Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = R (raio do círculo).
π: número irracional = 3,1415...
Comprimento da circunferência = C = 2πR
Área do círculo (disco) = S = πR2
Área de uma coroa circular
O
Q
P
Onde:
O: centro dos círculos concêntricos.
P: ponto da circunferência maior.
Q: ponto da circunferência menor.
OP = R (raio do círculo maior).
OQ = r (raio do círculo menor)
Área da coroa circular = S = πR2 – πr2 = π · (R2 – r2)
Área de um setor circular
Onde:
d
R
R
αO
Q
P
O: centro do círculo.
P, Q: pontos distintos da circunferência.
OP = OQ = R (raio do círculo = raio do setor).
α: medida do ângulo central.
d: medida linear do arco AB .
Área do setor circular = S R= 



α π
360
2
º
, α em graus.
Área do setor circular = S R
R= 



= ⋅α
π
π α
2 2
2
2
, α em radianos.
Área do setor circular = S
d R= ⋅
2
.
Área de um segmento circular
R R
QP
α
O
Onde:
O: centro do círculo.
P, Q: pontos distintos da circunferência.
OP = OQ = R (raio do círculo).
α: medida do ângulo central.
Área (segmento circular) = S = Área (setor POQ) – Área (triângulo POQ).
Área (segmento circular) = S R
R R sen= 



⋅ − ⋅ ⋅α π α
360 2
2
º
, α em 
graus.
Área de um polígono regular
α
Ok
k k
k
k
k
P
Q
Ra
a
R
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
32
MateMática i
Onde:
O: centro do círculo.
OP = OQ = R (raio do círculo).
α: medida do ângulo central.
a: medida do apótema.
p: semiperímetro.
k: medida do lado do polígono regular de n lados.
Área (polígono regular):
S
k a k a k a n k a p a
p a= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
2 2 2 2
2
2

Área (polígono regular): S n
R R sen= ⋅ ⋅ ⋅



α
2
, onde α = 360º
n
.
Exercícios de Fixação
01. (EsPCEx) Se o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em 
um círculo é 3 cm, a área do círculo (em cm2) é igual a
A) 
π
3
 D) 3 3π
B) 3π E) 81π
C) π
02. (EsPCEx) Na fi gura abaixo, a circunferência de raio 3 cm
tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área
deste retângulo é igual a 72 cm2, a medida do segmento EF,
em cm, é igual a:
A B
CD
E
F
desenho ilustrativo – fora de escala
A) 3 5 D)
12 5
5
B) 
6 5
5
E) 12 5
C) 6 5
03. (EsPCEx) As regras que normatizam as construções em um
condomínio defi nem que a área construída não deve ser
inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta.
O proprietário de um lote retangular pretende construir um
imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na fi gura.
12 m 18 m
20 m
x
Área
Livre
Área
Construída
Desenho ilustrativo – fora de escala
Para respeitar as normas acima defi nidas, assinale o intervalo 
que contém todos os possíveis valores de x.
A) [6, 10]
B) [8, 14]
C) [10, 18]
D) [16, 24]
E) [12, 24
04. (EsPCEx) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem
3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo,
tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de
giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e
B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km,
determine, em km2, a área total que está protegida por esses
3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.
A) 
23
2
π
B) 
23
4
π
C) 
385
8
π
D) 
195
4
π
E) 
529
4
π
05. (Efomm) Qual é área de uma circunferência inscrita em um
triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito
em uma circunferência de comprimento igual a 10π cm?
A) 
75
4
π
 D)
25
16
π
B) 
25
4
π
E)
5
4
π
C) 
5
2
π
06. Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, 
de área X cm², de acordo com a fi gura abaixo.
Q P
M N
Desenho ilustrativo fora de escala
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com 
os lados do paralelogramo, a área X, em cm², é
A) 11 6 3+
B) 
30 14 3
3
+
C) 10 5 3+
D) 11 6 3−
E) 
36 20 3
3
+
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
33
MateMática i 
07. Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm
e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na fi gura
abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das
áreas hachuradas, em cm2, é:
A
C B
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
08. Considere na imagem abaixo:
– os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem,
respectivamente, S
1
 e S
2
;
– o triângulo retângulo ABC;
– o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa
BC, que contém o ponto X.
E
D
CF
G A B
I H
x
Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é 
igual a:
A)
S S1 2
2
+
B)
S S1 2
3
+
C) S S1 2
D) (S ) (S )1
2
2
2+
09. No plano, considere duas circunstâncias cuja medida do raio de
cada uma delas é 10 m. Se o centro de uma delas está sobre a
outra, a medida da área corresponde a interseção das regiões do
plano, limitadas por cada uma dessas circunferências, é igual a
A) 
100
3
25 3 2π
−



m .
B) 
200
3
25 3 2π
−



m .
C) 
100
3
50 3 2π
−



m .
D) 
200
3
50 3 2π
−



m .
10. A fi gura a seguir representa a vista superiorde um curral
retangular, de y metros por 8 metros, localizado em terreno
plano. Em um dos vértices do retângulo, está amarrada uma
corda de x metros de comprimento. Sabe-se que y > x > 8.
8 metros
y metros
x metros
Um animal, amarrado na outra extremidade da corda, foi deixado 
pastando na parte externa do curral. Se a área máxima de alcance 
do animal para pastar é de 76 πm2, então x é igual a
A) 9,8.
B) 9,6.
C) 10,0.
D) 10,4.
E) 9,0.
11. Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é 3π, a
área do triângulo equilátero ABC é:
C
A B
A) 7 3 12+
D) 11 3
B) 7 4 3+
E) não sei
C) 19 3
12. A fi gura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões
de mesma área. A razão 
a
b
 é igual a
a
b
A) 3 1+ .
B) 2 1+ .
C) 3.
D) 2.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
34
MateMática i
13. Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F 
os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, 
conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, 
então a área do triângulo AEF vale:
C
A D E B
F
A) 42 D) 30
B) 36 E) 28
C) 32
14. A figura representa uma semicircunferência de diâmetro CD, 
perfeitamente inscrita no retângulo ABCD. Sabe-se que P é 
um ponto de AB, e que AP é diâmetro da circunferência que 
tangência a semicircunferência maior em T. 
C
BPA
A
D
T
 Se CD = 8 cm, a área sombreada na figura é, em cm2, igual a
A) 
64 15
2
− π
 D) 32 9− π
B) 32 8− π E) 16 4− π
C) 
64 15
4
− π
15. A figura indica um hexágono regular ABCDEF, de área S
1
, e um 
hexágono regular GHIJKL, de vértices nos ponto médios dos 
apótemas do hexágono ABCDEF e área S
2
.
A B
E D
K
J
I
H
G
L
F C
 Nas condições descritas, 
S
S
2
1
 é igual a 
A) 
3
4
 D) 
1
5
B) 
8
25
 E) 
3
16
C) 
7
25
Aula 10: 
Exercícios
Exercícios de Fixação
01. A figura a seguir descreve o movimento executado por uma 
máquina para o corte de uma placa metálica:
C
BA
60º
60º
 Partindo de A, ela sistematicamente avança 6 cm e gira 60º para 
esquerda, até retornar ao ponto A. A área da superfície recortada é:
A) 18 3 2cm .
B) 36 3 2cm .
C) 54 3 2cm
D) 64 3 2cm .
E) 120 3 2cm .
02. Considere a figura e os dado a seguir:
A
G
D
O
E
C F
B
 Dados:
– O é o circuncentro do triângulo ABC
– med( )ACD

 = 50º
– BEG

 e BDC

 são retos
– FG é o diâmetro da circunferência de centro O
 A medida do ângulo AFG

, em graus, é igual a
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
Aula
10
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
35
MateMática i 
03. Em um plano, duas circunferências tem seus centros nos pontos 
P e Q e as medidas de seus raios são ambas iguais a 3 m. 
Se essas circunferências cortam-se nos ponto R e S e se distância 
entre P e Q é igual a distância entre R e S, então, a medida da 
área quadrilátero convexo cujos vértices são os ponto P, Q, R e S, 
em m2 , é
A) 18.
B) 9 2.
C) 9 3.
D) 9.
04. A figura mostra um quadrado ABCD de 8 cm de lado, com os 
pontos E, F e G pontos médios dos segmentos DC, AE e BE, 
respectivamente. O ponto R é ponto médio da diagonal BD 
e do segmento FG e o ponto Q pertence à intersecção dos 
segmentos BD e AE.
A B
D CE
F G Fora de escala
Q
R
A área do triângulo FQR, assinalado na figura, é
A) 
4
3
. 
B) 
8
3
. 
C) 
3
4
.
D) 
3
8
.
05. Na figura abaixo, M, N e P são os pontos de tangência 
do triângulo retângulo ABC com sua circunferência inscrita. 
Se AB = 3 e AC = 4, a área do triângulo BMN é igual a:
B
N
A
M
P C
A) 1,2
B) 2,0
C) 1,8
D) 2,4
E) 1,6
06. Considere os círculos tangentes da figura, cujas tangentes 
comuns exteriores formam um ângulo de 60º. A razão entre 
as áreas do menor e do maior círculo é:
A) 
1
3
 D) 
1
8
B) 
1
4
 E) 
1
9
C) 
1
6
07. Os lados AB, BC, CD e DA de um quadrado foram divididos 
em 3 partes iguais, respectivamente, pelos ponto P, Q, R, S, T, 
U, V e W, conforme a figura a seguir.
D
V
W
A P Q B
R
S
C
U T
 As interseções AR e DP, AR e UQ, WS e DP e WS e UQ são 
vértices de um quadrado de área 1, ressaltado na figura.
 Qual a área do quadrado ABCD?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
08. Na figura abaixo, MNPQ é um retângulo, o ponto E é o centro da 
circunferência tangente aos lados NP, PQ e MQ. Se MN = 4 cm 
e NP = 8 cm, então a distância do ponto E à diagonal MP, 
em cm, é:
N P
E
QM
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
36
MateMática i
A) 
12
5
B) 
15
5
C) 
18
5
D) 
20
5
09. Na figura, o hexágono regular ABCDEF tem lado medindo 2 
cm e o arco de circunferência CE tem centro no vértice A.
F
E D
C
BA
 A área da região sombreada, em cm2, é igual a 
A) 2 2 3π +
B) π + 2 3
C) π + 3
D) 2 3π +
E) 3 3π +
10. Considere o pentágono regular de lado 1 e duas de suas 
diagonais, conforme representado na figura abaixo.
A área do polígono sombreado é
A) 
sen36
2
º
.
B) 
sen72
2
º
.
C) 
sen72
3
º
.
D) sen36º
E) sen72º.
11. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC = 6 cm e 
M é o ponto médio do lado AB. Se os semicírculos no interior 
do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, 
P e R, então a área de ABCD, em centímetros quadrado, é
DA
M
B C
P
R
A) 36 3 C) 18 3
B) 36 2 D) 18 2
12. Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, 
em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e CD = 5 cm. Então, o ângulo 
θ é igual a 
B C D
0
A
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
13. Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois 
círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do 
quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r 
com centros nos outros dois vértices dos quadrado e tangentes 
aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.
 A área da região sombreada é
A) 
2
2
1+



π D) 1 2 1+ −( ) .π
B) ( )2 1− π E) 1
2
2
1+ −




π.
C) 1 2
1
2
+ −



π .
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
37
MateMática i 
14. O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. 
A corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que 
QA = 6 cm e AB = 4 cm.
A
C
B
R
QP
S
 Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, 
em cm, é igual a
A) 2 10.
B) 5 2.
C) 2 15.
D) 6 2.
E) 7 2.
15. A partir de um hexágono regular de lado unitário, constroem-
se semicírculos de diâmetros também unitários, conforme 
indicados na figura abaixo.
A
B
E
F
C
D
 A medida da área sombreada é
A) 
3 3
4
− π
B) 
π
4
C) 
3 3
4
D) 
3 3
4
+ π
E) 
3 3
2
Aula 11: 
Geometria de Posição
Determinação de retas
• Por um ponto P passam infinitas retas.
P
• Por dois pontos P e Q distintos passa uma única reta PQ
 
.
P
Q
Determinação de planos
• Três pontos não alinhados P, Q e R determinam um único plano 
Pl(PQR).
R
P
Q
• Uma reta r e um ponto P ∉ r determinam um único plano Pl(PQR).
P
r
Q
R
• Duas retas r e s concorrentes determinam um único plano 
Pl(PQR).
s
r
Q P
R
Aula
11
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
38
MateMática i
• Duas retas r e s paralelas distintas determinam um único 
plano Pl(PQR).
r
s
P
Q
R
Posições relativas de 
duas retas no espaço
• Duas retas são paralelas distintas, se elas estão no mesmo plano 
e não têm um ponto comum.
r
s
• Se duas retas estão no mesmo plano e têm um único ponto 
comum (P), são chamadas de concorrentes.
P
S
r
• Se duas retas não estão contidas em um mesmo plano, as retas 
são chamadas de reversas.
s
r
• Se duas retas são coplanares e têm mais de um ponto comum, 
as retas são chamadas de coincidentes.
Q
P
r = s
Posições relativas entre plano e reta
• Uma reta r pode está contida no plano α.
r
α
• Uma reta r pode ser secante ao plano α.
α
r
• Uma reta r pode ser paralela ao plano α.
α
r
Posições relativas entre plano e plano
• Os planos α e β podem ser paralelos distintos.
α
β
• Os planos α e β podem ser secantes.
α
β
• Os planos α e β podem ser coincidentes.
α = β
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
39
MateMática i 
GEOMETRIA DOS POLIEDROS
Introdução
Denomina-se poliedro o sólido ou corpo geométrico 
limitado pelo conjunto finito de polígonos planos, tais que cadaum dos seus lados pertença a dois dos referidos polígonos e dois 
polígonos quaisquer que tenham um lado comum e não estejam 
situados no mesmo plano.
aresta
face
vértice
Os polígonos são denominados faces do poliedro.
Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, 
respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
Poliedros convexos e não convexos
Um poliedro é dito convexo quando o segmento da reta 
que une dois quaisquer de seus pontos está contido no poliedro. 
Em caso contrário, é não convexo.
Poliedro côncavo Poliedro convexo
De acordo com o número de faces, temos os seguintes 
poliedros:
• tetraedro ⇒ poliedro convexo com quatro faces;
• pentaedro ⇒ poliedro convexo com cinco faces;
• hexaedro ⇒ poliedro convexo com seis faces;
• heptaedro ⇒ poliedro convexo com sete faces;
• octaedro ⇒ poliedro convexo com oito faces;
• icosaedro ⇒ poliedro convexo com vinte faces.
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, vale a relação:
V + F = A + 2
V = número de vértices
A = número de arestas
F = número de faces




Propriedades 
Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as 
faces é dada por:
S = (V – 2) ⋅ 360º
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são 
polígonos regulares e congruentes, e todos os ângulos poliédricos 
são congruentes.
Há somente cinco tipos de poliedros regulares, que são:
Tetraedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
Hexaedro regular (cubo)
Planificação
Faces: quadrados
Octaedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
Dodecaedro regular
Planificação
Faces: pentágonos regulares
Icosaedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
40
MateMática i
Características relevantes dos 
poliedros regulares
• Tetraedro
– Faces triangulares
– Vértices triédricos
• Hexaedro
– Faces quadrangulares
– Vértices triédricos
• Octaedro
– Faces triangulares
– Vértices tetraédricos
• Dodecaedro
– Faces pentagonais
– Vértices triédricos
• Icosaedro
– Faces triangulares
– Vértices pentaédricos
PRISMAS
Introdução
Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases 
(polígonos congruentes) situadas em planos paralelos distintos e 
várias faces laterais (paralelogramos).
base
basearesta da
base
face
lateral
aresta
lateral
Comentários:
• Em um prisma, o número de faces laterais corresponde ao 
número de arestas da base.
• A nomenclatura está associada ao polígono da base:
– prisma triangular → a base é um triângulo;
– prisma quadrangular → a base é um quadrilátero;
– prisma pentagonal → a base é um pentágono;
– prisma hexagonal → a base é um hexágono;
– prisma heptagonal → a base é um heptágono.
Teorema de Cavalieri
Se dois sólidos estão situados entre dois planos paralelos 
(têm a mesma alturA) e qualquer outro plano, paralelo a eles, corta 
os dois sólidos determinando secções de mesma área, então os 
sólidos são equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
Para compreender melhor as ideias de Cavalieri (matemático 
italiano que viveu na Itália no século XVII), acompanhe o exemplo abaixo.
Pe
ta
i J
an
tr
ap
oo
n/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
Imagine uma pilha formada com 20 moedas iguais de 
25 centavos. Observe que podemos formar pilhas de várias formas, 
com a mesma base e a mesma altura. Escolhendo qualquer uma das 
pilhas, iremos concluir naturalmente que o volume de uma pilha é a 
soma dos volumes das moedas e, como as moedas são as mesmas, 
as pilhas têm o mesmo volume, apesar de terem formas diferentes.
Portanto, se dois sólidos forem constituídos por camadas iguais, 
de mesma área e de mesma espessura, então seus volumes são iguais.
Paralelepípedo reto-retângulo 
(ortoedro)
É um prisma reto cujas faces são todas retangulares.
D
d b
c
a
Medidas no ortoedro
• Área total do ortoedro = 2 ⋅ (ab + ac + bC)
• Diagonal do ortoedro = a b c2 2 2+ + = D
• Volume do ortoedro = (área da basE) × (alturA) = a ⋅ b ⋅ c
Cubo (hexaedro regular)
Um cubo é um prisma regular formado por seis faces 
quadradas.
a
a
a
D
d
Medidas no hexaedro regular
• Área da superfície total do cubo = 2 ⋅ (a ⋅ a + a ⋅ a + a ⋅ A) = 6a2
• Diagonal do cubo = D a a a a= + + =2 2 2 3
• Volume do cubo = (área da basE) ⋅ (alturA) = a ⋅ a ⋅ a = a3
Observações:
• Pelo princípio de Cavalieri, podemos garantir que dois 
prismas que têm a mesma área da base e mesma altura, 
têm volumes iguais.
• Prisma reto: é um prisma cujas arestas laterais são 
perpendiculares às bases.
• Prisma regular: é um prisma reto cujas bases são polígonos 
regulares.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
41
MateMática i 
Exercícios de Fixação
01. (EsPCEx/2017) Considere dois planos α e β perpendiculares e 
três retas distintas r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β e t = α ∩ β.
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que:
A) as retas r e s somente definirão um plano se forem 
concorrentes com t em único ponto.
B) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t.
C) as retas r e s são necessariamente concorrentes.
D) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano 
perpendicular a α e β.
E) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s.
02. No México, há mais de mil anos, o povo asteca resolveu o 
problema da armazenagem da pós-colheita de grãos, com um 
tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base 
circular de alvenaria.
 A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e 
mais 12 placas pentagonais.
 Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:
A) 90 arestas e 60 vértices.
B) 86 arestas e 56 vértices.
C) 90 arestas e 56 vértices.
D) 86 arestas e 60 vértices.
E) 110 arestas e 60 vértices.
03. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são 
diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, e soma dessas medidas 
é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em cm2, é
A) 752 D) 1.302
B) 820 E) 1.504
C) 1.024
04. Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal 
que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é 
3
3
. 
Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se 
a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 
108 cm3. O volume do prisma original é
A) 18 cm3
B) 36 cm3
C) 18 3 3cm
D) 36 3 3cm
E) 40 cm3
05. O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é 
construído a partir de um octaedro regular, contendo-se, 
para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base 
quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces 
do octaedro truncado é:
A) 2160º D) 10060º
B) 5760º E) 13680º
C) 7920º
06. O sólido geométrico a seguir é formado pela justaposição de um 
bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. 
Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto 
do prisma.
K
I
C
B
A
F
E
H
D
G
L
L
 Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos 
dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI, e as retas AD e GK. 
As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente,
A) concorrentes; reversas; reversas.
B) reversas; reversas; paralelas.
C) concorrentes, reversas, paralelas.
D) reversas; concorrentes; reversas.
E) concorrentes; concorrentes; reversas.
07. Considere as seguintes afirmações:
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então todas as 
retas de α são perpendiculares ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um 
plano α é a metade da medida do segmento AB, então a reta 
AB faz com α um ângulo de 60º;
III. Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro plano γ intercepta 
α e β, as intersecções entre esses planos serão retas reversas;
IV. Se α e β são dois planos secantes, todas as retas de α também 
interceptam β.
Estão corretas as afirmações
A) apenas I e II. D) I, II e IV.
B) apenas II e III. E) II, III e IV.
C) I, II e III.
08. Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que
– O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido 
em α; 
– O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido 
em α e é perpendicular aAB;
– O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular 
a α.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
42
MateMática i
Nessas condições, a medida do segmento CD é
A) 26 cm
B) 28 cm
C) 30 cm
D) 32 cm
E) 34 cm
04. Considere as seguintes afirmações:
I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas 
r 
1 
⊂
 
α e r 
2 
⊂
 
β;
II. Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas 
r 1 ⊂ 
α e r 2 ⊂ 
β tal que r
1
 e r
2
 são paralelas;
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, 
então qualquer reta α que passa por P é perpendicular a r.
Dentre as afirmações anteriores, é (são) verdadeira(s)
A) Somente II
B) I e II
C) I e III
D) II e III
E) I, II e III
05. As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular 
são as raízes da equação polinomial x3 – 142 + 64x – 96 = 0. 
Denominando-se r, s e t essas medindo 14, se for construído 
um novo bloco retangular, com arestas medindo (r – 1), (s – 1) 
e (t – 1), ou seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do 
bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será
A) 36 cm3 D) 60 cm3
B) 45 cm3 E) 80 cm3 
C) 54 cm3
06. O quadrado ABCD é a face de um cubo e I é o centro da face 
oposta. Sendo α o ângulo entre os planos ABI e CDI, calcule 
tg
α
2
.
A) 
1
2
 D) 4
B) 2 E) 
1
4
C) 
1
3
07. Os segmentos VA, VB e VC São arestas de um cubo. Um plano α, 
paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. 
A intersecção do plano α com o cubo é um:
A) triângulo. 
B) quadrado. 
C) retângulo.
D) pentágono.
E) hexágono.
08. Considere um paralelepípedo retângulo, cujas arestas têm 
comprimento 6 cm, 8 cm e 10 cm, e um triângulo cujos vértices 
são os centros (intersecção das diagonais) de três faces de 
dimensões distintas, como ilustra a figura a seguir.
 O perímetro P desse triângulo é tal que
A) P < 14 cm
B) 14 cm < P < 16 cm
C) 16 cm < P < 18 cm
D) P > 18 cm
 
09. O poliedro convexo tem 32 vértices, possui apenas faces 
triangulares. O número de arestas deste poliedro é
A) 100 C) 90 
B) 120 D) 80
10. Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 
12 pentágonos. O número de vértices deste polígono
A) 90 C) 60
B) 72 D) 56
Aula 12: 
Pirâmides
Introdução
V
C
B A
E
h
D
Chama-se pirâmide o conjunto de pontos do espaço 
limitados por um ângulo poliédrico e por um plano que, não 
passando pelo vértice, corte todas as arestas do ângulo poliédrico. 
A secção plana do ângulo poliédrico chama-se base da 
pirâmide (ABCDE) e as porções das faces do ângulo poliédrico 
limitadas por essa base chamam-se faces da pirâmide. 
O vértice do ângulo poliédrico chama-se vértice da pirâmide (V).
Uma rápida justificativa para o volume da pirâmide
Abaixo, temos a decomposição de um prisma triangular em 
três pirâmides triangulares.
A
D E
F
B
C
= + +
A B
D
F
( I ) ( I I )
D
B
E
F
( I I I )
A B
C
F
Veja que:
• As pirâmides I e II têm volumes iguais, pois os triângulos ABD e 
BDE têm a mesma área e a distância de F ao plano ABED é única, 
isto é, as duas pirâmides têm a mesma altura.
• As pirâmides II e III têm volumes iguais, pois os triângulos BEF 
e BCF têm a mesma área e a distância da aresta AD ao plano 
BCFE é única, pois AD//Pl (BCFE), então as duas pirâmides têm 
a mesma altura.
Portanto, o volume de cada uma dessas pirâmides é igual a um 
terço do volume do prisma.
Observações:
• Pelo princípio de Cavalieri, podemos garantir que duas 
pirâmides que têm mesma área da base e mesma altura, têm 
volumes iguais.
• Pirâmide reta: é a pirâmide cujo pé de sua altura coincide 
com o centro de sua base.
• Pirâmide regular: é a pirâmide reta de base regular.
Aula
12
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
43
MateMática i 
TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES 
PARALELAS E DO TETRAEDRO REGULAR
Introdução
Consideremos uma pirâmide cuja base tem área B e 
cuja secção, paralela à base, à distância h
t
 da base, tem área b. 
Chamando de h a distância da secção ao vértice da pirâmide, 
o volume do tronco, V
t
, é dado por: V
h
B b Bbt
T= ⋅ + +
3
( ). Veja:
h
t
h
h + h
t
B: área da base maior
b: área da base menor
h
t
: altura do tronco
h: altura da pirâmide menor
h + h
t
: altura da pirâmide maior
• Sendo a pirâmide de altura h + ht semelhante à pirâmide 
de altura h, temos:
I. As áreas dessas bases estão entre si, assim como os quadrados 
das alturas das pirâmides.
Então:
B
b
h h
h
B
b
h h
h
B
b
h
h
B b
b
h
h
h B b h b
t t t
t
t
=
+




 → =
+
→ = + →
−
= → ⋅ − = ⋅
2
1
( )
II. Volume (tronco) = Volume (pirâmide maior) – Volume 
(pirâmide menor)
Então:
V
B h h b h B h Bh b h
V
h B b B b B
tronco
t t
tronco
=
⋅ +
−
⋅
=
⋅ + − ⋅
=
⋅ − ⋅ + +
( )
( ) ( )
3 3 3
hh
V
h b B b Bh h
B b Bb
t
tronco
t t t
3
3 3
=
⋅ ⋅ + +
= ⋅ + +
( )
( )
• Tetraedro regular: pirâmide triangular regular que tem 
todas as arestas congruentes
h
a
a
V
a
c
Ba
V’
A
2x x
D
Comentários
• V’ é a projeção ortogonal do vértice V.
• Como a pirâmide é regular → V’ é o baricentro do 
∆ABC → AV’ = 2 ⋅ (V’D)
• 3
3
2
x
a= (altura do ∆ equilátero de lado A) → 2
3
3
x
a= .
• Pitágoras (∆VV’A):
a x h a
a
h h
a
h
a2 2 2 2
2
2 2
2
2
3
9
6
9
6
3
= + → = + → = → =( )
• Área da base (∆ABC) = a2 3
4
.
• Área lateral da pirâmide (V – ABC) = ⋅





3
3
4
2a
.
• Área total da pirâmide (V – ABC) = ⋅





 =4
3
4
3
2
2a
a .
• Volume da pirâmide (V – ABC) =
⋅
=
a a
a
2
3
3
4
6
3
3
2
12
.
CILINDRO CIRCULAR
Introdução
É o sólido geométrico limitado por uma superfície 
lateral cilíndrica fechada e por duas superfícies planas circulares 
(bases B
1
 e B
2
) contidas em planos paralelos (α
1
 e α
2
).
e: eixo
g: geratriz
α
1
B
1
B
2
r
α
2
h
Elementos do cilindro circular
• B1 – base circular superior.
• B2 – base circular inferior.
• h – altura do cilindro = dist(α
1
 e α
2
)
• r – raio das bases do cilindro.
• e (eixo) – reta que passa pelos centros das bases.
• g (geratriz) – segmento com extremidades nas circunferências 
das bases e paralelos ao eixo (E).
Classificação dos cilindros circulares
• Cilindro reto: as geratrizes são perpendiculares às bases.
r
r
g = h → cilindro reto
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
44
MateMática i
• Cilindro oblíquo: as geratrizes não são perpendiculares às 
bases.
h < g → cilindro oblíquog
• Cilindro equilátero: é o cilindro reto cuja altura é igual ao 
diâmetro da base.
h = 2 r → cilindro equilátero
2r
Área da superfície lateral e total do cilindro reto
h
2r
2πr
h
lateral
lateral planificada
Área da superfície lateral do cilindro reto = 2πrh
A
L
 = 2πrh
Área da superfície total do cilindro reto = 2πrh + πr2 + πr2
A
T
 = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r)
Volume do cilindro
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
h
r
h
S: área da base S: área da base
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
SSS SSS
Volume (cilindro) = Volume (prismA)
Como o volume do prisma é o produto da área da base (S) 
pela altura (h), segue-se que o volume do cilindro é dado por:
Volume (cilindro) = (área da basE) × (alturA) = πr2 · h
Exercícios de Fixação
01. Determine o volume (em cm3) de uma pirâmide retangular de 
altura a e lados da base b e c (a, b e c em centímetros), sabendo 
que a + b + c = 36 e a, b e c são respectivamente, números 
diretamente proporcionais a 6, 4 e 2.
A) 16 D) 432
B) 36 E) 648
C) 108
02. Na figura a seguir, está representado um cubo em que os pontos 
T e R são pontos médios de duas de suas arestas. Sabendo-se 
que a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do sólido 
geométrico definido pelos pontos PQRST, em cm3, é:
A) 
2
3
B) 
4
3
C) 
1
3
D) 
3
2
E) 
15
2
 
03. Considere uma pirâmide regular ABCDV de base ABCD. Sendo 
2 2 cm a medida da aresta da base 2 3 cma medida da altura 
dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC é
A) 2 2 C) 4
B) 2 3 D) 3
04. A figura a seguir representa a planificação de um troncode cone 
reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências 
das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é
A) 13 cm
B) 12 cm
C) 11 cm
D) 10 cm
E) 9 cm
05. A figura a seguir representa dois tanques cilíndricos, T
1
 e T
2
, 
ambos com altura h, e cujos raios das bases medem R e 72
18
8
2
!
!respectivamente. Esses tanques são usados para armazenar 
combustível existente em cada um deles é, tal que seu nível 
corresponde a 
2
3
 da altura.
Desenho fora de escala
11cm
6cm
13 cm
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
45
MateMática i 
 O tanque T
1
, contém gasolina pura e o tanque T
2
 contém 
uma mistura etanol-gasolina, com 25% de etanol. Deseja-se 
transferir gasolina pura do tanque T
1
 para T
2
, até que o teor 
de etanol na mistura em T
2
 caia para 20%. Nessas condições, 
ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de 
T
1
 e T
2
 será
A) 
1
2
h D) 
1
5
h
B) 
1
3
h E) 
1
6
h
C) 
1
4
h
06. A figura espacial representada a seguir, construída com hastes 
de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do 
cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor 
por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma 
medida. Se as arestas dos cubos maiores e menores medem, 
respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de de cada uma das 
arestas que ligam os dois cubos é
A) 6 2 cm
B) 3 2 cm
C) 2 3 cm
D) 4 3 cm
E) 6 3 cm
 
07. A figura a seguir, está representado um sólido geométrico de 
9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo 
que todas as arestas desse sólido têm medida l, então as 
medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da 
superfície total desse sólido são respectivamente,
A) l l
2 2
2
3 42+



+( )e
B) l l
2 2
2
3 52+



+( )e
C) l l
3 2
2
3
4
52+



+




e
D) l l
2
2
3 52




+( )e
E) l l
3
2
3
4
42




+




e
08. Na figura a seguir, tem-se um cubo cuja aresta mede k 
centímetros; as superfícies S
1
 e S
2
, ,,, dsafsaf, contidas nas faces desse 
cubo, são limitadas por arcos de circunferências de raio k 
centímetros e centros em, respectivamente, D e B, H e F.
 O volume do sólido formado por todos os segmentos de reta 
com extremidades em S
1
 e S
2
, paralelos a CG e de bases S
1
 e 
S
2
, é, em cm3, igual a 
A) 
k3 1
2
π −( )
B) 
k3 2
2
π −( )
C) 
k3 1
4
π −( )
D) 
k3 2
4
π −( )
09. Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que 
sua aresta lateral AV mede 3 cm. Sendo 5 cm a altura de tal 
pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a
A) 
30
2
B) 7
C) 
26
2
D) 2 2
10. Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide 
hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma 
pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 
4 dos vértices da base da primeira coincidam com os vértices da 
base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume 
da cota, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede 
5 cm, então, o volume do sólido obtido, em cm3, é igual a 
A) 15 3
B) 20 3
C) 25 3
D) 30 3
12. A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto 
formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base 
no solo, e de um semi-cilíndrico.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
46
MateMática i
 Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo 
mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é:
A) 11.000 π D) 5.000 π
B) 10.000 π E) 1.100 π
C) 5.500 π
13. A medida de cada aresta do cubo da figura 1 é 2 cm, e os pontos 
A, B e C são pontos de três arestas. Seccionando o cubo por 
um plano que passe por ABC, podemos retirar o sólido que 
se forma em seu vértice. Se repetirmos esse procedimento em 
todos os vértices do cubo, obtemos um cubo truncado, como 
mostra a figura 2.
 O volume do cubo truncado, em cm3, é
A) 
10
9
 D) 
47
6
B) 
16
3
 E) 
20
3
C) 
1
6
14. Uma coroa cilíndrica é a região espacial situada entre dois 
cilindros concênctricos de mesma altura, um com raio R e outro 
com raio r, sendo r < R. Se a altura, o volume e a soma das 
medidas dos raios dessa coroa cilíndricas são, respectivamente, 
4 cm, 4,25 π cm3 e 4,25 cm, então a área total de sua superfície é:
A) 34 π cm2
B) 18,0625 π cm2
C) 20,125 π cm2
D) 18,125 π cm2
E) 36,125 π cm2
15. Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em 
grandes cidades e em rodovias é a construção de túneis. A 
realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia.
 Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte 
rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir.
 Qual é o volume, em m3, no interior desse túnel?
A) 4.800 π 
B) 7.200 π 
C) 14.400 π
D) 28.800 π
E) 57.600 π
Aula 13: 
Cone Circular
Introdução
É o sólido geométrico limitado por uma superfície lateral 
cônica fechada e por uma superfície plana circular (base B) contida 
em um plano (A).
V e: eixo
B r
g: geratriz h
α
Elementos do cone circular
• B – base circular.
• h – altura do cone = dist(V, pl(A)).
• r – raio da base do cone.
• g (geratriz) – segmento com uma extremidade em V e a outra 
na circunferência da base.
• e (eixo) – reta que passa por V e pelo centro da base.
Classificação dos cones circulares
• Cone reto: o eixo (E) é perpendicular ao plano da base.
e
V
O
h
r
VO = h → cone reto
• Cone oblíquo: o eixo (E) não é perpendicular ao plano da base.
e
V
O
r
h < VO = cone oblíquo
• Cone equilátero: é o cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro 
da base.
Aula
13
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
47
MateMática i 
g
V
O
h
rr
g = 2r → cone equilátero
Área da superfície lateral e total do cone reto
g
g g
lateral planificada 2πrαV
h
r
Área da superfície lateral do cone reto = πrg
A
L
 = πrg
Área da superfície total do cone reto = πrg + πr2
A
T
 = πrg + πr2 = πr(g + r)
Ângulo central (A) do setor associado à lateral do coneα
π
α= =
2 r
g
α
π
=
2 r
g
, em radianos
Volume do cone
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
S: área da base S: área da base
S S
h h
r
Volume (conE) = Volume (pirâmidE)
Como o volume da pirâmide é 
1
3
 do produto da área da 
base (S) pela altura (h), segue-se que o volume do cone é dado por:
Volume (conE) =
1
3
(área da basE) × (alturA) =
1
3
· πr2 · h
TRONCO DE CONE CIRCULAR
Introdução
É o sólido geométrico compreendido entre a base do cone do 
vértice V e uma secção transversal (superfície plana paralela à basE).
R
r
secção transversal
V
base do cone
Elementos do tronco de cone de bases paralelas
r
h
2
g
2
R
• ht – altura do tronco
• gt – geratriz do tronco
• r – raio da base menor
• R – raio da base maior
Área da superfície lateral e total do tronco de cone
g – g
t
h – h
t
h
t
r
R
lateral do tronco
2πr
2πRg – g
t
g
t
gh
• A área da superfície lateral do tronco de cone é determinada 
subtraindo-se da área lateral do cone maior a área lateral do 
cone menor.
A tronco Rg r g g R r gL t t( ) ( ) ( )= − − = +π π π
• Área da superfície total do tronco de cone = π(R + r)g
t
 + πR2 + πr2
A R r g R rT t= + + +π π π( ) 2 2
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
48
MateMática i
Volume do tronco de cone
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, tem o mesmo volume.
S
2
h
2
S
2
S
1
S
1
S
1 
e 
 
S
2: 
áreas das bases
 
S
1 
e 
 
S
2: 
áreas das bases
 
h
2
Volume (tronco de conE) = Volume (tronco de pirâmidE)
Como o volume do tronco de uma pirâmide é dado por 
V h B b B bT T= ⋅ ⋅ + + ⋅
1
3
( ), onde B: (área da base maior) e b: (área da 
base menor), segue-se que o volume do tronco de cone é dado por: 
Volume tronco de cone h R r RrT( ) ( )= ⋅ ⋅ + +
1
3
2 2π
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Introdução
Superfície de revolução é a superfície gerada por uma linha 
girando ao redor do eixo (E).
e
P
Q
e
P
Q
N
M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cilindro.
A poligonal MNPQ geraa superfície 
total de um cilindro.
e
P
Q
e
P
Q M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cone.
A poligonal MPQ gera a superfície 
total de um cilindro.
Por outro lado, sólidos de revolução, são sólidos obtidos a 
partir da rotação de uma superfície plana em torno de um eixo (E).
Os mais conhecidos sólidos de revolução são: o cilindro, 
o cone e a esfera.
Exercícios de Fixação
01. O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é 
a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é
R
a
R
a
1 2
Desenho ilustrativo fora de escala
a
2
a
2
A) 
13
12
a 
B) 
7
6
a 
C) 
5
4
a
D) 
4
3
a
E) 
17
12
a
02. Corta-se de uma circunferência de raio 4 cm, um setor circular 
de ângulo 
π
2
rad (ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é o 
centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a 
partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.
C
A
desenho ilustrativo – fora de escala
B
 O volume desse cone, cm3, é igual a
A) 
3
3
π D) 
15
5
π
B) 
3
5
π E) 
5
5
π
C) 15
3
π
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
49
MateMática i 
03. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base 
R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-
se que a superfície de contato os líquidos está inicialmente na 
metade da altura do cone, o recipiente dispõe de uma torneira 
que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme 
indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até 
o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura 
do nível do óleo, medida a partir do vértice será
A) 
7
2
3
h D) 
23
2
3
h
B) 
7
3
3
h E) 
23
3
3
h
C) 
12
2
3
h 
04. Considere a região E do plano cartesiano dada por
 
E
y x
y x
x
y
=
+ ≤
+ ≥
≥
≥







3 3
1
1
0
0
 O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270º 
em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a 
A) 
26
3
π
 C) 
13
2
π
B) 26 π D) 
13
3
π
05. A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar 
combustível com o formato de um tronco de cone conforme, 
figura a seguir. Qual é a capacidade em litros desse reservatório?
A) 
40
3
102π
B) 
19
2
105 π
C) 
49
3
10π
D) 
49
3
104 π
E) 
19
3
103 π
06. Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360º do 
triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela 
ao lado AB.
 Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC BC R m= = 2 , 
AB Rm= 2 (sendo R uma constante real não nulA), e que o volume 
do sólido obtido é V m= 4 3 3π .
 A medida de R, em metros, é igual a
A) 36
B) 33
C) 93
D) 3
07. A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um 
setor circular de 216º, quando planificada. Se a geratriz do cone 
mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
08. Um recipiente cônico utilizado em experiências de química 
deve ter duas marcas horizontais circulares, uma situada a 1 
centímetro do vértice do cone, marcando um certo volume v, 
e outra marcando o dobro deste volume, situada a H 
centímetros do vértice, conforme a figura.
marca 2
1 cm
H cm
marca 1
 Nestas condições, a distância H, em centímetros, é igual a:
A) 23
B) 3
C) 4/3
D) 3/2
09. Se um cone circular reto tem uma altura igual a 4 cm e base 
circunscrita a um hexágono regular de lado medindo 2 cm, 
então a sua área lateral, em cm2, mede, aproximadamente,
A) 4 6π
B) 4 5π
C) 4π
D) π 3
E) π 2
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
50
MateMática i
10. Um reservatório, de água tem formato de um cilindro circular 
reto de 3 m de altura e base com 1,2 m de raio, seguido de 
um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de 
raios medindo 1,2 m e 0,6 m, respectivamente, e altura 1 m, 
como representado na figura a seguir.
3 m
1 m
1,2 m
0,6 m
 Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 
1
3
 do 
seu volume por semana.
 Considerando a aproximação π ≅ 3 e sabendo que 
1 dcm3 = 1l,
A) 4.320 litros D) 12.960 litros
B) 15,48 litros E) 5.160 litros
C) 15.480 litros
11. Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado 
por um plano paralelo à sua base, resultando dois sólidos de 
volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja 
medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é
A) R3 = 3r3
B) R2 = 2r2
C) R3 = 2r3
D) R2 = 3r2
12. Todo sólido obtido através do 
movimento de rotação completa de 
uma região plana em torno de uma 
reta, sendo ambas no mesmo plano, 
é chamado sólido de revolução.
 Um giro completo na região 
destacada, em torno da reta r, 
determina um sólido de revolução. 
 É correto afirmar que o volume desse 
sólido é:
A) 75 π cm3
B) 81 π cm3
C) 57 π cm3
D) 99 π cm3
E) 72 π cm3
13. Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto 
são, respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, então o volume 
do cone original é:
A) 98 π cm3
B) 49 π cm3
C) 13,5 π cm3
D) 62 π cm3
E) 76 π cm3
14. A figura a seguir representa um recipiente cônico com solução 
aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido 
tem 12 cm de altura.
12 cm
H
 Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial 
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução 
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%
 Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a
A) 16 
B) 18 
C) 20
D) 22
15. Um cone circular reto, cuja medida da altura h, é seccionado, 
por um plano à base, em duas partes: um cone cuja medida 
da altura é 
h
5
e um tronco de cone, conforme a figura.
 A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone 
menor é:
A) 15 
B) 45
C) 90
D) 125
Aula 14: 
Esfera
Introdução
Esfera é o sólido geométrico gerado pela rotação completa 
de um semicírculo em torno do seu diâmetro.
R
R
R
360º
R
x
Aula
14
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
51
MateMática i 
Volume da esfera
Enchendo o recipiente cônico duas vezes com líquido e 
despejando em seguida no recipiente semiesférico, concluímos 
empiricamente que o volume da esfera é dado por:
2R 2R
R R
· volume (esferA) = 2 · volume (conE) → volume (esferA) = 4 · volume (conE) 
V V
R R
R( ) ( )esfera cone= ⋅ = ⋅
⋅
=4 4
3
4
3
2
3π
π
Área da superfície esférica
B
i
Decompondo a esfera em pirâmides hexagonais cujo vértice 
é o centro da esfera e cuja base é um pedaço muito pequeno (quase 
plano) da superfície esférica, podemos concluir que:
Vi
i=
∞
∑
1
(volumes das pirâmides) = volume da esfera
Então: 
B R B R B R B R
Rn1 2 3 3
3 3 3 3
4
3
⋅
+
⋅
+
⋅
+ +
⋅
=... ,π onde B
i
 são as áreas 
das bases das pirâmides.
R B B B B
Rn
erf cie esf rica3
4
3
1 2 3 3+ + + +







=
...
sup í é
1 2 3 π
Logo:
Bi
i
=
=
∞
∑
1
 área da superfície esférica = 4 πR2
ELEMENTOS E PARTES DA ESFERA
Fuso esférico
É a intersecção de uma superfície esférica com um setor 
diedral, cuja aresta contém o diâmetro da esfera.
Cálculo da área do fuso
• Seja α (a medida do diedro) dado em graus. 
α
 Então, temos:
A RF =
°






α
π
360
4 2· (área do fuso).
• Seja α dado em radianos.
 Então:
A RF = 





α
π
π
2
4 2· (área do fuso).
Cunha esférica
É a intersecção de uma esfera com um setor diedral, cuja 
aresta contém o diâmetro da esfera.
Cálculo do volume da cunha
• Com α dado em graus:
α
V RC = 




 ⋅
α
π
360
4
3
3
º
 (volume da cunhA).
• Com α dado em radianos:
V RC = 




 ⋅
α
π
π
2
4
3
3 (volume da cunhA).
• Segmento esférico e calota esférica:
Um plano que intercepta uma esfera em mais de um 
ponto a divide em duas partes chamadas segmentos esféricos. 
A superfície esférica fica dividida em duas partes chamadas 
calotas esféricas.
A = 2πR ⋅ h V = 
1
3
 πh2 ⋅ (3R – h)
(área da calotA) (volume do segmento)
e
h
R
0R
h
e
Inscrição e circunscrição
Cilindro e esfera
R R = h
2
h
2
R hh
Cubo e esfera
aR
diâmetro = diagonal diâmetro = aresta
R
a = 2R
R
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
52
MateMática i
Octaedro regular e esfera
A
C
Bsecção
D
A
C
B2RD
R R
R
a
a
R
V
r
M
V
O
O
a
secçãoVeja:
2
a
2
3
a
2
2
a
2
3
a
r
2
a
2
2
MM
Cone e esfera
h
h
r
h – R R
R
R
R
Tetraedro regular e esfera
h
h
R
R
r
R = 3
4
 h r = 1
4
 h
Cubo e octaedro regular
b a2 =( ) b
a
=



2
3
b
b a
aa
a
Na Figura 2, os vértices do cubo são os centros das faces do 
octaedro regular de aresta a.
Exercícios de Fixação
01. A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela 
inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento 
de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, em um procedimento de angioplastia, o raio 
inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante 
de 0,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm3, então o 
tempo, sem segundo, que o balão leva para atingir esse volume é
A) 10 D) 103 π
B) 10
5
3
π
 E) 10
3
3
π
C) 10
2
3
π
02. Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medidas R, 
contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é 
mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, 
sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 
9
16
R , então o raio da esfera mede
A) 
2
3
R 
B) 
3
4
R 
C) 
4
9
R
D) 
1
3
R
E) 
9
16
R
03. Um cone de revolução tem altura de 4 cm e está circunscrito 
a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm3) é 
igual a
A) 
1
3
π
B) 
2
3
π
C) 
4
3
π
D) 
8
3
π
E) 3 π 
04. Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 
4 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície 
total de cada gomo mede:
A) 
4
3
3
2π
cm D) 
4
9
2
2π
cm
B) 
4
9
3
2π
cm E) 43 π cm2
C) 
4
3
2
2π
cm
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
53
MateMática i 
05. Considerando-se um cubo cuja medida de cada aresta é igual a 1 m 
pode-se afirmar corretamente que a medida do volume do poliedro 
convexo cujos, vértices são os centros das faces desse cubo é
A) 
2
3
3m
B) 
2
7
3m
C) 
1
6
3m
D) 
4
7
3m
06. Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um cone 
equilátero cujo volume é igual a 10
3
7
3πcm , então o volume 
dessa pirâmide, em cm3, é igual a
A) 
45
7
 
B)
15 3
7
 
C) 
30 3
7
D) 
135
7
07. Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, esta água 
até 
7
8
 de sua altura. Dos sólidos geométricos a seguir, o que, 
totalmente imerso nessa caixa, não provoca transbordamento 
de água é
A) uma esfera de raio 23 dm.
B) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e 
altura meçam 30 cm.
C) um cone reto, cujo raio da base meça 3 dm e a altura 
3 dm.
D) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm.
08. Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone 
circular reto, de altura 8 cm e raio de base 6 cm. Uma parte 
da vela será feita com parafina transparente, e a outra com 
parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita 
no cone, como indicado na figura, feita fora da escala.
 Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparente é o 
dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha.
 Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina 
vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, correto afirmar que:
A) 
T
V
= 5
6
 D) 
T
V
= 8
3
B) 
T
V
= 5
2
 E) 
T
V
= 10
3
C) 
T
V
= 9
2
09. No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é 
conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível 
de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador 
conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, 
conforme ilustra e figura a seguir. A distância entre os pontos 
A e B, em que as bolas tocam o chão, é
A) 8
B) 6 2
C) 8 2
D) 4 3
E) 6 3
10. Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero cuja área 
lateral mede 16 π cm2. O volume da esfera inscrita é
A) 8 π
B) 16 π
C) 
32
3
π
D) 
256
3
π
11. Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da 
base, está inscrito em uma esfera. A razão entre os volumes 
da esfera e do cilindro é igual a
A) 
4 2
3
 C) 
3 2
4
B) 
4
3
 D) 2
12. De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi 
lapidada uma joia na forma de octaedro regular, como mostra 
a figura seguinte.
 Se tal joia tem 9 2 cm3 de volume, quantos centímetros cúbicos 
de rocha foram retirados do cristal original para lapidá-la?
 (Use: π = 3)
A) 36 2 D) 18 2
B) 32 2 E) 12 2
C) 24 2
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
54
MateMática i
13. Em uma caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, 
de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se 
a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas 
iguais a essa que cabem juntas na caixa é
A) 1 D) 6
B) 2 E) 8
C) 4
14. Um cubo de lado 2a possui uma esfera circunscrita nele. Qual 
seria a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da 
esfera, esse ponto ser interno ao cubo?
A) 
π
6
 D) 
2
6 3
π
B) 
2 3
3π
 E) 
1
2
C) 
π 3
6
15. Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com 
a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo 
e o volume da esfera é igual a
A) 
1
π
 D) 
π
3
B) 
π
12
 E) 
π
6
C) 
2
3
π
Aula 15: 
Revisão Geral
Exercícios 
01. Um copo, em forma de cilindro circular reto de raio 5 cm e 
altura 20 cm, tem um nível h de água. O ângulo máximo que 
o fundo do copo forma com a horizontal, de modo que a água 
não transborde é de 60º: O nível h da água é de:
A) 20 2 3−
B) 20 3 3−
C) 20 5 3−
D) 20 6 3−
E) 20 7 3−
02. Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são 
também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do 
tetraedro e o volume do cubo é
A) 
1
8
 D) 
1
4
B) 
1
6
 E) 
1
3
C) 
2
9
Aula
15
03. Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma joia 
exclusiva. Para isto, imaginou um pingente, com o formato 
de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o 
formato de uma esfera de raio r, conforme representado na 
figura a seguir.
r
 Se a aresta do ocatedro regular tem 2 cm de comprimento, 
o volume da pérola, em cm3, é:
A) 
π 2
3
 
B) 
8
3
π
 
C) 
8 2
9
π
D) 
4 6
8
π
E) 
4 6
27
π
04. Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases 
inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base 
do prisma, possui quantas arestas?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
05. Para decorar uma caixa com a forma de paralelepípedo reto 
retângulo, uma pessoa colou algumas fitas sobre suas faces, 
como mostra a Figura.
 Cada fita foi colada, sem folga, ligando dois vértices opostos 
de uma mesma face, e havia fitas com comprimetos iguais a 
10 cm, 3 29 cm e 17 cm. Portanto, o volume da caixa, em 
cm3, é
A) 360
B) 540
C) 600
D) 720
E) 840
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
55
MateMática i 
06. Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja medida da aresta é 
2 m. A medida do volume da região exterior ao cubo e interior 
à esfrea é
A) 4 3 2 3π −( )m
B) 3 3 2 3π +( )m
C) 4 3 2 3π +( )m
D) 3 3 2 3π −( )m
07. Um tonel está com 30% da sua capacidade preenchida por um 
certo combustível. Sabendo que esse tonel tem diâmetro de 
60 cm e altura 
600
π
cm, a quantidade de combustível contida 
nesse tonel, em litros, é
A) 1,62 
B) 16,2
C) 162
D) 180
E) 162.000
08. Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. 
Sabendo que as faces laterais dessa pirâmide são triângulos 
equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é
A) q2 2 D) 
q3 3
6
B) 
q3 2
6
 E) 
q3 3
3
C) 
q 2
2
09. Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide 
(incluindo a basE) é 3.600 graus, então, a base da pirâmide é 
um polígono com
A) 9 lados
B) 10 lados
C) 11 lados
D) 12 lados
10. Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa 
retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de 
comprimento, contando-se, de cada canto da chapa, um 
quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para 
cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir.
 O volume, em dm3, da caixa assim obtida é
A) 80x – 36x2 + 4x3 
B) 80x + 36x2 + 4x3
C) 80x – 18x2 + x3
D) 20x – 9x2 + x360 cm
cm600___
π
11. Nesta figura, está representada a região T em torno do eixo y. 
e pelas retas y = x + 1 e y = 3x.
 Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do 
eixo y. Então, é correto afirmar que o volume de S é:
A) 
π
24
C) 
π
8
B) π
12
D) 
π
4
12. Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que contém um 
de seus lados e calcula o volume V do sólido obtido. Depois, ele 
traça a diagonal do retângulo e o separa em dois triângulos, 
como mostra a figura.
 Ao girar cada um dos triângulos,em torno do mesmo eixo de 
rotação, os volumes dos sólidos obtidos são
A) 
1
3
2
3
V e V 
B) 
1
4
3
4
V e V
C) 
1
5
4
5
V e V
D) 
1
6
5
6
V e V
13. São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere 
em um dos planos um triãngulo ABC de área 30 cm2 e no outro 
plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:
A) 10 cm3
B) 20 cm3 
C) 30 cm3
D) 40 cm3
E) 50 cm3
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
56
MateMática i
14. As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais 
de uma das civilizações mais intrigantes da humanidade. 
Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. 
De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides 
foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao 
quadrado da altura da pirâmide.
Contador, Paulo Roberto Martins. A matemática na arte e na vida. 
2a. Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
 Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, 
a altura H e altura da face h, construída segundo a lenda de 
Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é 
correto afirmar que:
A) S = (a + h) (a – h)
B) S = (h + A) (h – A)
C) S = (a + h)2
D) S = (h – A)2 
15. Otimização é uma área do conhecimento que se nutre das 
ciências exatas para solucionar problemas práticos e efetivos 
independentemente do contexto onde surgem. As indústrias 
buscam sistematicamente otimizar o processo fabril visando 
minimizar o desperdício de material e, em decorrência disso, 
reduzir custos e ofertar produtos com qualidade a preços 
menores. Nesse sentido, uma empresa pretende cortar, nos 
cantos de uma folha de papelão, quadrados de lado x cm, 
de modo que o volume da caixa aberta seja máximo, conforme 
a figura a seguir.
x cm
L cm
 Nessas condições, e sabendo que a medida do lado do quadrado 
a ser cortado corresponde a uma das raízes da equação 
12x2 – 8 Lx + L2 = 0 o volume máximo dessa caixa será obtido 
quando o lado do quadrado a ser cortado nos cantos da folha 
de papelão medir:
A) 
L
cm
6
C) 
L
cm
4
D) 
L
cm
3
E) 
L
cm
2
Aula 16: 
Estatística I
Definição e objetivos
Estatística é o ramo da Matemática Aplicada que fornece 
métodos para a coleta, organização, descrição, análise e 
interpretação de dados, objetivando a integração de fenômenos 
sociais de qualquer natureza com o intuito de fornecer ao homem 
informações suficientes para o planejamento de ações futuras.
Conceitos básicos
População (universo estatístico) e amostra
Querendo saber por qual time torcem os moradores de um 
edifício, pode-se consultar um a um todos os seus moradores. 
No entanto, isto não é possível quando queremos pesquisar o time 
favorito entre os habitantes de uma cidade. Nesse caso, recorremos 
ao que se chama de amostra, ou seja, um grupo de habitantes 
da cidade que, consultados, permitem que se chegue ao resultado 
mais próximo possível da realidade.
No exemplo anterior, todos os habitantes da cidade 
constituem a população ou universo estatístico.
Chamando de U a população (universo estatístico) e de A 
uma amostra, temos A ⊂ U.
População (U)
Amostra A Amostra B
População ou universo estatístico é, pois, o conjunto de 
entes portadores de pelo menos uma característica comum. Amostra 
é um subconjunto finito de elementos extraídos de uma população.
Uma amostra, para ser boa, tem de ser representativa, 
ou seja, deve conter em proporção tudo o que a população possui qualitativa 
e quantitativamente. E tem de ser imparcial, isto é, todos os elementos da 
população devem ter igual oportunidade de fazer parte da amostra.
Para garantir a representatividade e a imparcialidade, 
é preciso obedecer a certas regrinhas.
Queremos Fazemos
Representatividade
• Análise da população para ver 
se seus elementos distribuem-se 
homogeneamente ou se formam 
grupos com características peculiares. 
Se for esse o caso, temos de respeitar 
as proporções com que esses grupos 
integram a população.
Aula
16
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
57
MateMática i 
Imparcialidade
• Sorteio (mediante a utilização de 
uma máquina geradora de números 
aleatórios ou de uma tábua de 
números aleatórios) dos elementos 
que farão parte da amostra.
Tendo uma amostra representativa da população inicial, 
os elementos da amostra passam, a partir deste momento, a ser 
tratadas como dados (estaturas) e podem dar origem a diversas 
relações estatísticas, como, por exemplo, média aritmética, mediana, 
moda, variância, desvio-padrão etc.
Indivíduo ou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou 
objeto. Quando se faz uma pesquisa para saber o grau de aceitação 
de determinado governante, cada pessoa consultada é um indivíduo 
da pesquisa. Escolhendo-se algumas marcas de celular para testar a 
duração da carga da bateria, cada marca é um objeto da pesquisa.
Variável
É a característica estudada de uma população. Por exemplo: 
uma indústria automobilística que pretende lançar um novo 
modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a preferência dos 
consumidores sobre tipo de combustível, número de portas, potência 
do motor, preço, cor, tamanho etc. Cada uma dessas características 
é uma variável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser, por 
exemplo, entre álcool e gasolina. Dizemos que esses são valores ou 
realizações da variável “tipo de combustível”.
As variáveis podem ser qualitativa (expressa por atributos ou 
palavras), quantitativa discreta (resultante da contagem – número 
inteiro) ou quantitativa contínua (proveniente de medida, podendo 
assumir qualquer valor, entre dois limites – número real).
Exemplo de variável qualitativa:
Em uma pesquisa que envolve pessoas, as variáveis 
consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau 
de instrução. Nesse caso, dizemos que as variáveis são qualitativas, 
pois apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) 
dos indivíduos pesquisados.
Observação:
Dizemos que as variáveis qualitativas podem ser ordinais, 
quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando 
isso não ocorre.
Exemplo:
“Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, já que 
seus valores podem ser ordenados (fundamental, médio, superior 
etc.) e “esporte favorito” é uma variável qualitativa nominal.
Exemplo de variável quantitativa:
Quando as variáveis de uma pesquisa são, por exemplo, 
altura, peso, idade em anos e números de irmãos, dizemos que 
elas são quantitativas, pois seus possíveis valores são números. 
No caso da variável “número de irmãos”, ela é quantitativa discreta, 
pois podemos contar (0, 1, 2 etc.). Já no caso da variável “altura”, 
ela é quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (1,55 m, 
1,80 m, 1,73 m etc.).
Sinopse dos tipos de variável de uma pesquisa.
Variável
1


2


3
1
2
3
1
2
3
qualitativa
nominal
ordinal
discreta
contínua
quantitativa
 
Observação:
A idade em anos exatos pode ser considerada variável 
quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.).
Gráficos estatísticos
O gráfico estatístico é uma forma direta e objetiva de 
apresentar os dados estatísticos relativos ao fenômeno estudado, 
caracterizando-se por sua simplicidade, clareza e veracidade. 
Os gráficos devem produzir no público uma impressão mais viva 
e rápida da característica estudada. Os principais tipos de gráficos 
estatísticos são:
Diagramas
Os diagramas, cuja construção tem por base o sistema de 
coordenadas cartesianas, estão subdivididos em diagramas:
• em linhasou em curvas;
• em colunas;
• em barras;
• em setores.
Gráfico em linha ou em curva
Este tipo de gráfico se utiliza de uma linha poligonal para 
representar uma série estatística.
Exemplos nos exercícios a seguir.
Gráfico em colunas
É a representação de uma série estatística por meio de 
retângulos, dispostos verticalmente, cujas bases são iguais e cujas 
alturas são proporcionais às frequências dos respectivos dados.
Gráfico em barras
É a representação de uma série estatística por meio de 
retângulos, dispostos horizontalmente, cujas alturas são iguais e 
cujos comprimentos são proporcionais às frequências dos respectivos 
dados.
Exemplos:
1. Gráfico em barras horizontais:
 
3ª Série/Médio
2ª Série/Médio
1ª Série/Médio
8ª Série
7ª Série
6ª Série
5ª Série
4ª Série
3ª Série
2ª Série
1ª Série
0 1.000.000
NÚMERO DE ALUNOS POR SÉRIE
ESCOLAR (ANO 2000)
NÚMERO DE ALUNOS POR SÉRIE
ESCOLAR (ANO 2000)
2.000.000 3.000.000 4.000.000 5.000.000 6.000.000 7.000.000
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
58
MateMática i
Gráfi co em setores
É representado por meio de um círculo, em que cada classe 
é dada por um setor circular cujo ângulo é proporcional ao tamanho 
da amostra, podendo ser calculado por meio de uma regra de três 
simples e direta, na qual 100% corresponde a 360º (círculo todo). 
Nesse gráfi co, a área de cada setor também é proporcional ao 
tamanho da amostra, podendo também ser calculada por meio de 
uma regra de três simples e direta, na qual 100% corresponde 
a π ⋅ R2 (área do círculo todo, de raio R).
Pictogramas
A representação gráfi ca por pictogramas utiliza fi guras 
relacionadas à ideia central dos dados que se deseja representar, 
com o objetivo de tornar o gráfi co mais sugestivo e atraente.
Exemplos:
169,5
Em
 U
S$
 B
ilh
õe
s
(2
00
2)
MERCADO DE ELITE: O desequilíbrio no faturamento mundial da indústria farmacêutica
100,8
45,8
30,5
20,1
10,6
7,4 7,3 5,4 5,3
América
do Norte
Europa Japão América Latina
e Caribe
Ásia Oriente
Médio
Europa
Oriental
Índia Austrália África
EDUCAÇÃO e RENDIMENTO
Veja como o rendimeno mensal domiciliar per capita influencia
a frequência à escola ou creche...
RE
N
D
IM
EN
TO
 M
EN
SA
L 
D
O
M
IC
IL
IA
R
PE
R 
C
A
PI
TA
 E
M
 S
A
LÁ
RI
O
 M
ÍN
IM
O
2
1
0
mais de 2
frequentam não frequentam
15 a 17
15 a 17
7 a 14
4,6%
0,6%
9,6%
69,1%
4 a 6
0 a 3
95,2%
99,4%
90,4%
30,9%
Exercícios de Fixação
01. (Insper) A tabela a seguir mostra as quantidades de alunos que 
acertaram e que erraram as 5 questões de uma prova aplicada
em duas turmas. Cada questão valia dois pontos.
Questão
Acertos 
turma A
Erros 
turma A
Acertos 
turma B
Erros 
turma B
1 32 8 42 18
2 28 12 48 12
3 36 4 48 12
4 16 24 24 36
5 20 20 30 30
O gráfi co que melhor representa o percentual de acerto por 
questão de todos os alunos é:
A) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
B) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
C) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
D) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
E) 
100
80
40
20
60
1
0
(%)
2 3 4 5 (Questão)
02. O gráfi co a seguir apresenta o desempenho de uma turma do 9º ano
de certa escola na primeira prova de Matemática de 2016.
Desempenho em Matemática
15%
25%
35%
Ruim Regular Bom Ótimo
25%
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
59
MateMática i 
 Esse gráfico foi construído a partir das notas (de 0,0 a 10,0) 
dos quarenta alunos da turma baseada no padrão apresentado 
na tabela.
Nota Classificação
De 0,0 a 4,9 Ruim
De 5,0 a 6,9 Regular
De 7,0 a 8,4 Bom
De 8,5 a 10,0 Ótimo
 Sabe-se que:
• no dia da referida avaliação, nenhum aluno faltou;
• a média estipulada pela escola é 7,0; 
• alunos com nota abaixo de 5,0 devem fazer recuperação.
 Podemos afirmar que
A) 20 alunos devem fazer recuperação.
B) 18 alunos tiraram nota abaixo da média.
C) 36 alunos não precisam fazer recuperação.
D) 24 alunos tiraram nota maior ou igual à media.
03. Uma agência de viagem entrevistou 50 idosos, perguntando-lhes 
quantas viagens eles tinham feito para o exterior. O gráfico a 
seguir apresenta os resultados dessas entrevistas.
Duas vezes
12%
Três ou mais
vezes 8%
Uma vez
30%
Nenhuma vez
50%
 Baseando-se na informação do gráfico, a mediana do número 
de vezes que esses idosos viajaram para o exterior é de
A) 0,5 
b 0,8
C) 1,0
D) 1,5
E) 2,0
04. O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no 
período das 10 às 17 horas, em um dia em que elas oscilaram 
acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
10
100
150
200
280
330
380
460
11 12 13
Tempo (em horas)
Va
lo
r 
da
 a
çã
o 
(e
m
 r
ea
is
)
14 15 16 17
 Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo 
volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com 
a seguinte tabela.
Investidor Hora da compra Hora da venda
1 10:00 15:00
2 10:00 17:00
3 13:00 15:00
4 15:00 16:00
5 16:00 17:00
 Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, 
qual investidor fez o melhor negócio?
A) 1 
B) 2
C) 3 
D) 4
E) 5
05. A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8° PIB municipal 
do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. 
Em proporção, possui a economia que mais cresce em 
indústrias, conforme mostra o gráfico.
Crescimento - Indústria
65%
60%
50%
55%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Brasil São Paulo
(estado)
São Paulo
(capital)
Guarulhos
30,95%
14,76%
3,57%
60
,5
2%
IBGE, 2002-2008. Adaptado.
 Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença 
entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das 
indústrias?
A) 75,28 
B) 64,09 
C) 56,95 
D) 45,76
E) 30,07
06. (Enem) Uma das alternativas apontadas por especialistas para 
reduzir o trânsito nas cidades é o uso do transporte coletivo. 
Todavia, a baixa velocidade média desenvolvida pelos ônibus 
nas vias pode ser um desestímulo ao uso desse tipo de veículo. 
Pesquisas revelam que a velocidade média dos ônibus nas 
cidades depende da extensão do congestionamento das vias, 
que, por sua vez, depende do horário. O gráfico a seguir mostra 
o comportamento da velocidade média de um ônibus que faz 
certo trajeto em função do total de vias congestionadas, em 
certo dia da semana. O outro gráfico indica a extensão do 
congestionamento ao longo desse dia.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
60
MateMática i
Congestionamento
250
200
150
100
50
0
Horário
km
 d
e 
le
nt
id
ão
7h 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h
0
5
10
15
20
25
30
50 100 150 200 250
0
km de lentidão
ve
lo
ci
da
de
 m
éd
ia
 (k
m
/h
)
 Suponha que um ônibus dessa linha faça um percurso de 5 km 
entre dois pontos situados nessas vias congestionadas. A diferença 
em minutos entre o maior e o menor intervalo de tempo 
necessário para fazer esse percurso é de
A) 20 min D) 14 min 
B) 18 min E) 12 min 
C) 16 min 
07. O gráfico ilustra o número percentual de pessoas que, atendidas 
em um posto de saúde, em determinado período, apresentaram 
problemas cardíacos.
Mulheres Homens Total
32
42
37
Pe
ss
oa
s 
at
en
di
da
s 
(e
m
 %
)
 Com base nos dados do gráfico e considerando-se M o número 
de mulheres e H o número de homens atendidos, nesse período, 
é correto afirmar:
A) H = M – 10 D) H = M + 10 
B) H = M E) H = 2M
C) H = M + 5 
08. O Centro de Estudos, Resposta e Tratamento de Incidentes de 
Segurança no Brasil (CERT.br) é responsável por tratar incidentes 
de segurança em computadores e redes conectadas à Internet 
no Brasil. A tabela a seguir apresenta o número de mensagens 
não solicitadas (spams) notificadas ao CERT.br no ano de 2015, 
por trimestre. Qual dos gráficos que seguem representa os 
dados dessa tabela?
Trimestre Notificações
4° T 135335
3° T 171523
2° T 154866
1° T 249743
A)
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
25%
22%
40%
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
22%
20%
45%
4° T
3° T
2° T
1° T
17%
27%
23%
33%
4° T
3° T
2° T
1° T
19%
24%
22%
35%
4° T
3° T
2° T
1° T
11%
24%
23%
42%
B)
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
25%22%
40%
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
22%
20%
45%
4° T
3° T
2° T
1° T
17%
27%
23%
33%
4° T
3° T
2° T
1° T
19%
24%
22%
35%
4° T
3° T
2° T
1° T
11%
24%
23%
42%
C)
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
25%
22%
40%
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
22%
20%
45%
4° T
3° T
2° T
1° T
17%
27%
23%
33%
4° T
3° T
2° T
1° T
19%
24%
22%
35%
4° T
3° T
2° T
1° T
11%
24%
23%
42%
D)
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
25%
22%
40%
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
22%
20%
45%
4° T
3° T
2° T
1° T
17%
27%
23%
33%
4° T
3° T
2° T
1° T
19%
24%
22%
35%
4° T
3° T
2° T
1° T
11%
24%
23%
42%
E)
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
25%
22%
40%
4° T
3° T
2° T
1° T
13%
22%
20%
45%
4° T
3° T
2° T
1° T
17%
27%
23%
33%
4° T
3° T
2° T
1° T
19%
24%
22%
35%
4° T
3° T
2° T
1° T
11%
24%
23%
42%
09. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos 
mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama 
de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, 
filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado 
no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado 
foi de 282 kton (quilotoneladas).
PET RECICLADO – 2010PET RECICLADO - 2010
Usos Finais Usos Finais Têxteis
Não tecidosResinas Insaturadas
 e Alquídicas
Emb. Alimentos
e não alimentos
Laminados
e chapas
Fitas de Arquear
Tubos
Outros Têxteis Cerdas/Cordas/
Mono�lamentos
Tecidos e Malhas
43%
18,9%
17,2%
7,9%
6,8%
3,8%
7,6% 37,8%
27%
30%
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
61
MateMática i 
PET RECICLADO - 2010
Usos Finais Usos Finais Têxteis
Não tecidosResinas Insaturadas
 e Alquídicas
Emb. Alimentos
e não alimentos
Laminados
e chapas
Fitas de Arquear
Tubos
Outros Têxteis Cerdas/Cordas/
Mono�lamentos
Tecidos e Malhas
43%
18,9%
17,2%
7,9%
6,8%
3,8%
7,6% 37,8%
27%
30%
Disponível em: <www.abipet.org.br>. Acesso em: 12 jul. 2012. Adaptado.
 De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET 
recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, 
é mais aproximada de
A) 16,0
B) 22,9
C) 32,0
D) 84,6
E) 106,6
10. A matriz a seguir apresenta a distribuição das matrículas, 
por níveis, nas escolas de Porto Alegre.
Nível Matrículas
Pré-escolar 25007
Fundamental 159162
Médio 45255
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais – INEP – 
Censo Educacional, 2015.
 
 Se esses dados forem organizados em um gráfico de setores, 
o ângulo central correspondente ao nível Fundamental será de, 
aproximadamente,
Pré-escolar
Médio
Fundamental
A) 150°
B) 180°
C) 200°
D) 230º
E) 250°
11. Em 2010, cerca de 3,24 milhões de passageiros foram 
transportados entre os Estados Unidos e o Brasi l , 
de acordo com dados
Chile 
8%
França
11%
Portugal 
16%
Argentina
30%
Estados
Unidos
35%
 
divulgados pela Agência 
Nacional de Aviação Civil 
(ANAC). O gráfico mostra a 
distr ibuição relativa do 
número de passageiros 
transportados entre o Brasil 
e os cinco destinos mais 
procurados, dos quais apenas 
dois países são europeus: 
França e Portugal.
 De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para a 
quantidade total de passageiros transportados em 2010 entre 
o Brasil e os países europeus mostrados no gráfico é
A) 874800 
B) 1018285
C) 1481142 
D) 2499428
E) 3240000
12. A média mínima para um aluno ser aprovado em certa disciplina 
de uma escola é 6. A distribuição de frequências das médias dos 
alunos de uma classe, nessa disciplina, é dada a seguir.
3
4 4
6
15
9
6
3
2 3 4 5 6 7 8 9
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Média
Número de
alunos
 A porcentagem de alunos aprovados foi
A) 62% 
B) 63%
C) 64% 
D) 65%
E) 66%
13. Uma revista publicará os dados, apresentados no gráfico, sobre 
como os tipos sanguíneos estão distribuídos entre a população 
brasileira. Contudo, o editor dessa revista solicitou que esse 
gráfico seja publicado na forma de setores, em que cada grupo 
esteja representado por um setor circular.
 
40
35
TIPOS SANGUÍNEOS
Rh positivo
Rh negativo
Grupo A Grupo AB Grupo B Grupo O
30
36
%
 d
a 
po
pu
la
çã
o 
br
as
ile
ira
6
3 2
8
2
34
9
25
20
15
10
5
0
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
62
MateMática i
 O ângulo do maior desses setores medirá, em graus,
A) 108,0 
B) 122,4
C) 129,6 
D) 151,2
E) 154,8
14. O diretor de um curso de Inglês resolve montar as turmas 
fazendo uma distribuição por idade dos alunos do curso, 
conforme o gráfico a seguir. 
0
1
2
3
4
5
6
16 17 18 19 20 21
Idade dos alunos (em anos)
N
úm
er
o 
de
 a
lu
no
s
 Qual a porcentagem de alunos que irá formar uma turma com 
idade de 16 e 17 anos? 
A) 20% 
B) 30%
C) 45% 
D) 55%
E) 65%
15. Uma dona de casa vai ao supermercado fazer a compra mensal. 
Ao concluir a compra, observa que ainda lhe restaram R$ 88,00. 
Seus gastos foram distribuídos conforme mostra o gráfico. 
As porcentagens apresentadas no gráfico são referentes ao valor 
total, em reais, reservado para a compra mensal.
30,2%
35
30
25
20
15
10
5
0
Carnes e
embutidos
Produtos de
limpeza
Frutas e
verduras
Massas e 
enlatados
Tipo de produto
%
 g
as
ta
 e
m
 c
ad
a 
tip
o 
de
 p
ro
du
to
17,5%
12,4% 
22,3%
 Qual o valor total, em reais, reservado por essa dona de casa 
para a compra mensal?
A) 106,80
B) 170,40
C) 412,00
D) 500,00
E) 588,00
Aula 17: 
Estatística II
Dados brutos e ROL
Os dados coletados de uma amostra, não organizados, 
são chamados de dados brutos. Esses dados brutos organizados em 
ordem crescente ou decrescente passam a ser chamados de ROL.
Exemplo: 
20 famílias são entrevistadas sobre o número de filhos que 
cada uma têm. Suponha os resultados obtidos:
DADOS BRUTOS ROL
0 0
1 0
3 0
4 1
2 1
3 1
1 2
2 2
5 2
0 2
3 2
3 2
1 3
0 3
2 3
4 3
2 3
2 4
3 4
2 5
Frequência absoluta e 
frequência relativa
O número de vezes que um valor é citado representa a 
frequência absoluta daquele valor. No exemplo anterior, a variável 
é “número de filhos” e a frequência absoluta de cada um de seus 
valores é: nenhum filho, 3; um filho, 3; dois filhos, 6; três filhos, 5; 
quatro filhos, 2 e cinco filhos, 1.
A frequência relativa registra a frequência absoluta em 
relação ao total de citações. No exemplo anterior, temos um total 
de 20 citações e as seguintes frequências relativas:
para nenhum filho: 
3
20
15
100
ou ou 15% ou 0,15;
Aula
17
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
63
MateMática i 
para um filho: 
3
20
15
100
ou ou 15% ou 0,15;
para dois filhos: 
6
20
30
100
ou ou 30% ou 0,3;
para três filhos: 
5
20
25
100
ou ou 25% ou 0,25;
para quatro filhos: 
2
20
10
100
ou ou 10% ou 0,1;
para cinco filhos: 
1
20
5
100
ou ou 5% ou 0,05.
Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), 
com as respectivas frequências absoluta (f
i
) e relativa (f
r
), é chamada 
de tabela de frequências. 
Assim, usando o mesmo exemplo, temos:
Nº de filhos (xi) fi fr
0 3 15%
1 3 15%
2 6 30%
3 5 25%
4 2 10%
5 1 5%
Total 20 100%
Distribuição de frequências 
para dados contínuos
A distribuição dos dados contínuos normalmente é feita 
usando a tabela de distribuição de frequências com classes. 
O que chamamos de classes são intervalos de variação da variável, 
intervalos estes representados por i = 1, 2, 3, ..., k, onde i indica o 
número da classe e k, o total de classes.
Exemplo:
Considere os seguintes dados relativos às alturas de uma 
amostra dos estudantes homens que cursam a 3ª série do ensino 
médio de certo colégio.
1,73 m 1,66 m 1,78 m 1,75 m 1,68 m
1,70 m 1,62 m 1,76 m 1,68 m 1,79 m
1,74 m 1,65 m 1,63 m 1,69 m 1,70 m
1,75 m 1,72 m 1,69 m 1,73 m 1,66 m
Para a variável “altura” aparecem muitos valores diferentes, 
o que torna inviável colocar na tabela uma linha para cada valor. 
Em casos como esse, agrupamos os valores em intervalos (ou 
classes), como veremos a seguir:
1º Calculamos a diferença entre a maior e a menor altura registrada, 
obtendo a amplitude total.
 (1,79 m – 1,62 m =0,17 m)
2º Escolhemos o número de intervalos (geralmente superior a 
quatro), consideramos um número conveniente (um pouco acima 
da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada intervalo 
(classE). No exemplo, para 6 intervalos, fazemos 0,18 m: 6 = 0,03 m.
3º Elaboramos a tabela de frequências:
i
Altura 
(em classes)
Contagem fi
fr 
(decimal)
(%)
1 1,62 1,65 m 2 0,10 10
2 1,65 1,68 m 3 0,15 15
3 1,68 1,71 m 6 0,30 30
4 1,71 1,74 m 3 0,15 15
5 1,74 1,77 m 4 0,20 20
6 1,77 1,80 m 2 0,10 10
Total 20 1,00 100
Observações:
1. As classes (intervalos) foram obtidas, a partir de 1,62 m, 
fazendo a adição de 0,03:
 (1,62 + 0,03 = 1,65; 1,65 + 0,03 = 1,68; e assim por diantE).
2. O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita. Assim, a altura 1,68 m não foi registrada em 
1,65 1,68 m, mas no intervalo 1,68 1,71 m.
A tabela de distribuição de frequências com intervalos de 
classe também pode ser usada para dados discretos, mas em uma 
amostra com mais de 30 elementos.
Ponto médio de uma classe
Chamamos de ponto médio de uma classe o ponto que 
divide esse intervalo de classe em duas partes iguais.
Saiba:
• O ponto médio é denotado por xi, onde i indica a i-nésima classe 
considerada.
• O ponto médio de uma classe é determinado pela semissoma 
do limite superior e limite inferior dessa classe, isto é, é a média 
aritmética dos limites de classe.
 
x
L
i ki =
+
∀ =
�
2
1 2 3, , ,...,
• O ponto médio de uma classe é o seu legítimo representativo. 
Ao ser determinado, faremos a suposição de que todos os 
elementos pertencentes a essa classe serão iguais ao seu ponto 
médio.
• Os pontos médios de uma distribuição estão em progressão 
aritmética, isto é, a diferença entre eles é constante.
 
 No exemplo anterior, temos:
 
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0 2
2
1
2 4
2
3
4 1
2
5
6 8
2
7
8 10
2
9
= + =
= + =
= + =
= + =
= + =
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0 2
2
1
2 4
2
3
4 1
2
5
6 8
2
7
8 10
2
9
= + =
= + =
= + =
= + =
= + =
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
64
MateMática i
Observe que a diferença entre os pontos médios consecutivos 
é constante e igual a 2, ou seja, eles estão em progressão aritmética 
de razão 2.
Amplitude de um intervalo de classe
É a medida do intervalo que define a classe. É obtida 
pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e 
indicada por:
h L li = −
Veja com atenção:
• A diferença entre os pontos médios é igual à amplitude de classe.
• O limite superior de uma classe é o ponto médio do intervalo 
dessa classe somado à metade da amplitude de classe.
L x
h
i
i= +
2
• O limite inferior de uma classe é o ponto médio do intervalo 
dessa classe diminuído da metade da amplitude da classe.
l x
h
i
i= −
2
Amplitude total da distribuição
É a diferença entre o limite superior da última classe (limite 
superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior 
mínimo).
A
T
 = L
máx.
 – l
mín.
Tipos de frequência
Frequência absoluta (fi)
Indica quantos elementos da amostra pertencem a cada 
classe.
Frequência relativa (fr)
É determinada quando dividimos a frequência absoluta de 
cada classe pela frequência total, isto é, pelo tamanho da amostra.
f
f
f
r
i
i
=
∑
Indica, em porcentagem, o número de elementos de cada 
classe.
Veja:
• Para o seu cálculo em porcentagem, basta multiplicar o seu valor 
por 100.
• A soma das frequências relativas será igual a 1 (um) ou bastante 
próximo de 1.
• Para se calcular a frequência relativa percentual, basta multiplicar 
a frequência relativa por 100.
Frequência absoluta acumulada crescente – fac
É a soma da frequência absoluta de uma classe com as 
frequências absolutas de todas as classes anteriores. É conhecida, 
também, como frequência “abaixo de”.
Indica o número inferior ao limite superior da classe.
Frequência relativa acumulada crescente – frac 
É a soma da frequência relativa de uma classe com as 
frequências relativas de todas as classes anteriores.
Indica a porcentagem inferior ao limite superior da classe.
Exercícios de Fixação
01. A tabela seguinte informa a quantidade de pessoas que 
compraram ingressos antecipados de um determinado show, 
cujos preços eram modificados semanalmente. 
Valor do ingresso (R$) Número de pessoas
50 75 300
75 100 640
100 125 500
125 150 1310
150 175 850
=∑ 3600
 O percentual de pessoas que adquiriram o ingresso por menos 
de R$ 125,00 foi
A) 40% D) 55%
B) 45% E) 60%
C) 50% 
02. Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de 
baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam 
muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando 
a bicicleta em estacionamentos próprios.
 A tabela a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre a 
faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta 
para ir ao trabalho.
Faixa salarial em reais Número de funcionários
350 450 380
450 550 260
550 650 200
650 750 180
750 850 120
850 950 60
Total 1200
 O salário médio desses trabalhadores é
A) R$ 400,00 
B) R$ 425,00
C) R$ 480,00 
D) R$ 521,00
E) R$ 565,00
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
65
MateMática i 
03. Na tabela seguinte, estão representados os resultados de 
um levantamento realizado com 180 turistas, em Canoa 
Quebrada-Ce, no mês de dezembro, sobre os gastos diários 
com hospedagem.
Gastos (reais) Nº de pessoas
100 150 30
150 200 x + 24
200 250 2x
250 300 x/2
 O valor numérico de x é
A) 20 
B) 28
C) 30 
D) 36
E) 42
04. Os dados a seguir referem-se ao tempo, em horas, que os 
pacientes hospitalizados dormiram durante a administração 
de certo anestésico.
Tempo (horas) Número de pacientes
0 4 8
4 8 15
8 12 24
12 16 20
16 20 13
 Os pacientes que dormiram, em média, 10 horas correspondem 
a que porcentagem dos pacientes que tomaram o anestésico?
A) 24% 
B) 25%
C) 30% 
D) 32%
E) 36%
05. Um total de N famílias (N ≠ 0) foi questionado sobre quantos 
aparelhos eletrônicos possui na cozinha de sua residência. 
Todas as famílias responderam corretamente à pergunta. 
Os dados tabulados são:
Total de aparelhos 
eletrônicos na cozinha
Frequência (em %)
0 12,5
1 0
2 50
3 25
4 12,5
 De acordo com os dados, o menor valor possível de N é
A) 2 
B) 5
C) 8 
D) 16
E) 25
06. O contingente de pessoas ocupadas no Brasil foi estimado em 
21,3 milhões, em setembro de 2007, segundo o Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística – IBGE. A tabela a seguir apresenta a 
distribuição de pessoas ocupadas, segundo a faixa etária.
População ocupada Total (%)
10 a 14 anos 0,3
15 a 17 anos 1,7
18 a 24 anos 15,5
25 a 49 anos 63,4
50 anos ou mais 19,1
Total 100
 Em setembro de 2007, o número de pessoas ocupadas, no 
Brasil, com menos de 18 anos era de
A) 330 mil. D) 3664 mil.
B) 362 mil. E) 3727 mil.
C) 426 mil. 
07. Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema “Maioridade Penal, 
Contra ou a Favor?”, foram obtidas 123 respostas a favor, 
72 contra, 51 pessoas não quiseram opinar e o restante não 
tinha opinião formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses 
dados em uma tabela, obtém-se:
Opinião
Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa
Favorável 123 x
Contra 72 y
Omissos 51 0,17
Sem opinião 54 0,18
Total 300 1,00
 Na coluna “frequência relativa”, os valores de x e y são, 
respectivamente,
A) 0,38 e 0,27 D) 0,30 e 0,35 
B) 0,37 e 0,28 E) 0,41 e 0,24
C) 0,35 e 0,30 
08. Um pesquisador fez um conjunto de medidas em um laboratório 
e construiu uma tabela com as frequências relativas (em 
porcentagem) de cada medida, conforme se vê a seguir.
Valor medido Frequência relativa (%)
1,0 30
1,2 7,5
1,3 45
1,7 12,5
1,8 5
Total = 100
 Assim, por exemplo, o valor 1,0 foi obtido em 30% das 
medidas realizadas. A menor quantidade possível de vezes que 
o pesquisador obteve o valor medido maior que 1,5 é
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9
E) 10
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
66
MateMática i
09. Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de 
Estatística mostra, em horaspor dia, como os jovens entre 
12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feirA) como no fim de semana (sábado e 
domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
Rotina Juvenil
Durante a 
semana
No fim de 
semana
Assistir à televisão 3 3
Atividades domésticas 1 1
Atividades escolares 5 1
Atividades de lazer 2 4
Descanso, higiene e 
alimentação
10 12
Outras atividades 3 3
 De acordo com essa pesquisa, quantas horas de seu tempo 
gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de 
segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? 
A) 20
B) 21
E) 27
C) 24 
10. A distribuição dos salários dos 20 funcionários de uma empresa 
está representada no quadro a seguir.
Salário
(em reais)
Número de 
funcionários (fi) 
fia fr (%)
860 2 2 10
950 6 8 _____
1130 _____ 16 40
1480 3 ____ 15
2090 1 20 5
 Os valores que completam corretamente as lacunas do quadro 
são
A) f
i
 = 10; f
ia
 = 13; f
r
 = 30 
B) f
i
 = 10; f
ia
 = 13; f
r
 = 20
C) f
i
 = 8; f
ia
 = 11; f
r
 = 20 
D) f
i
 = 8; f
ia
 = 19; f
r
 = 30
11. A tabela a seguir apresenta os preços pagos ao produtor de açaí, 
por quilograma da fruta, nos meses de julho/2011 e julho/2012 
em estados da região Norte.
Estados Unidade Julho/2011 Julho/2012
Acre (AC) kg 0,75 1,00
Amapá (AP) kg 1,30 1,49
Amazonas (AM) kg 0,98 0,94
Maranhão (MA) kg 1,21 1,37
Pará (PA) kg 2,16 1,69
Rondônia (RO) kg 0,65 1,25
 Sobre a variação de preço, considerando-se a tabela, é correto 
afirmar que o(A):
A) maior variação de preço ocorreu no estado do Acre.
B) maior decrescimento de preço ocorreu no estado do 
Amazonas.
C) taxa de variação de preço no estado do Maranhão foi de, 
aproximadamente, 13%.
D) taxa de variação de preço no estado do Pará foi de, 
aproximadamente, – 15%.
E) maior preço pago em julho/2012 foi no estado do Amapá.
12. Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. 
Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, 
deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas 
irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma 
delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, 
decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro 
médio anual.
 O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado 
ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.
Empresa
Lucro (em milhões 
de reais)
Tempo 
(em anos)
F 24 3,0
G 24 2,0
H 25 2,5
M 15 1,5
P 9 1,5
 O empresário decidiu comprar a empresa:
A) F D) M
B) G E) P
C) H 
13. Seja x a variável “batimentos cardíacos por minuto”. A seguinte 
distribuição de frequências mostra os resultados obtidos de uma 
amostra de 50 estudantes.
x (bat./min.) Frequência
60 64 3
64 68 7
68 72 10
72 76 14
76 80 9
80 84 5
84 88 2
 Com base nos dados anteriores. podemos afirmar que
A) a média é igual a 73,36 batimentos por minuto.
B) a frequência absoluta da quinta classe é igual a 14.
C) o ponto médio da terceira classe é igual a 69 batimentos 
por minuto.
D) o tamanho da amostra é igual a 88.
E) o número de estudantes com batimentos cardíacos por 
minuto inferior a 76 é igual a 14.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
67
MateMática i 
14. Uma famosa rede de lojas de calçados brasileiros deseja saber 
o perfil dos frequentadores, para arquitetar futuras campanhas 
promocionais e lançar novos produtos no mercado. Dessa 
forma, durante um determinado mês, identificou o perfil dos 
frequentadores que realizaram compras em sua rede de filiais 
na cidade de São Paulo, distribuindo os perfis coletados em 
cinco faixas etárias.
I Idade
Frequentadores de 
rede de lojas
1 15 25 2500
2 25 35 1820
3 35 45 1240
4 45 55 860
5 55 65 480
 Levando em conta os dados amostrais coletados, a idade média, 
aproximada, dos frequentadores dessa rede de lojas é:
A) 18 anos. D) 32 anos. 
B) 22 anos. E) 40 anos.
C) 26 anos. 
15. Uma pequena fábrica de cintos paga a seus funcionários o 
salário, conforme tabela a seguir.
Cargo
Salários 
(em reais)
Nº de 
funcionários
Costureiro(A) 1000 10
Secretário(A) 1500 4
Consultor 2000 3
Gerente x 1
 Certo mês, houve um aumento de 10% sobre os salários da 
tabela anterior para todos os cargos.
 Sabendo-se que a nova média salarial passou a ser de 1650 
reais, o novo salário do gerente é, em reais, igual a:
A) 3000 C) 5000 
B) 3300 D) 5500
Aula 18: 
Estatística III
Medidas de tendência central
Buscando controlar melhor as suas vendas, o proprietário 
de uma panificadora fez os seguintes registros das quantidades de 
tortas de chocolate vendidas diariamente durante duas semanas 
(14 dias): 8, 6, 4, 10, 11, 6, 8, 8, 7, 9, 10, 14, 13, 5.
A partir dessas quantidades, o proprietário poderá 
estabelecer uma única quantidade que caracterize todo o grupo, 
que lhe dê uma ideia aproximada de como foram as vendas de tortas 
de chocolate. Esse número estabelecido é a medida de tendência 
central dos vários números usados. Dentre as medidas de tendência 
central, a mais conhecida e utilizada é a média aritmética. 
Estudaremos também a mediana e a moda.
Aula
18
Média aritmética
Considerando os números reais x
1
, x
2
, x
3
, ... x
n
, a média 
aritmética dessa lista de n números é o valor a que pode substituir 
todos os seus n elementos e não alterar a sua soma. Assim, temos 
que:
x x x x x x x x
x x x x n x
n
vezes
n
1 2 3
1 2 3
+ + + + = + + +
+ + + + = ⋅
... ...
...
n
DDa x
x x x x
n
ní,
...
=
+ + + +1 2 3
Média aritmética ponderada
Em uma lista na qual os números reais x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
 
aparecem, respectivamente, f
1
, f
2
, f
3
, ..., f
n
 vezes, a soma de todos 
os (f
1
 + f
2
 + f
3
 + ... + f
n
) números é igual a f
1
 · x
1
 + f
2
 · x
2
 + f
3
 · x
3
 + 
... + f
n
 · x
n
. A média aritmética desses números (razão entre a soma 
e a quantidadE) recebe o nome de média aritmética ponderada (x) 
e os números f
1
, f
2
, f
3
, ..., f
n
 são chamados de pesos.
x
f x f x f x f x
f f f f
n n
n
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
+ + + +
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
Moda (Mo)
Em estatística, moda é a medida de tendência central 
definida como o valor mais frequente de um grupo de valores 
observados.
No exemplo das quantidades de tortas de chocolate vendidas 
(8, 6, 4, 10, 11, 6, 8, 8, 7, 9, 10, 14, 13, 5), a moda é Mo = 8 tortas 
(aparece 3 vezes).
Caso na distribuição de dados apareçam dois números com 
maior frequência, dizemos que a distribuição é bimodal. Podemos 
também ter uma distribuição trimodal. 
Já quando não há repetição de números na distribuição, não 
temos moda; a distribuição é amodal.
Em resumo, quanto ao número de modas, um conjunto 
poderá ser:
• Amodal: conjunto sem moda;
• Unimodal: conjunto com uma única moda;
• Bimodal: conjunto com duas modas;
• Multimodal: conjunto com três ou mais modas. 
Observação
A moda é a única medida de tendência central que pode 
representar variáveis qualitativas. 
Mediana (ME)
Considerando um rol de n dados (n números em ordem 
crescente ou decrescentE), a mediana será:
• o número que ocupa a posição central, caso n seja ímpar.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
68
MateMática i
Observação
A posição central é dada por 
1
2
+ n
, onde n é ímpar.
• a média aritmética dos dois números centrais, caso n seja 
par.
As duas posições centrais são dadas por 
n
e
n
2 2
1+



.
No exemplo das quantidades de tortas de chocolate 
vendidas (8, 6, 4, 10, 11, 6, 8, 8, 7, 9, 10, 14, 13, 5), 
temos um número par de valores. Ordenando esses valores, 
temos:
Posição 7 + 1 (8ª posição)
Posição 14/2 = 7 (7ª posição)
4 5 6 6 7 8 8 8 9 10 10 1113 14
6 6
, , , , , , , , , , , , ,
valores valores
14 n merosú( )
Daí, a mediana será Me = + =8 8
2
8
Já considerando as idades, em anos, dos 11 sobrinhos de João 
(13, 12, 12, 3, 4, 6, 8, 7, 5, 7, 15), ordenando essas idades, 
temos:
3 4 5 6 7 7 8 12 12 13 15
5 5
, , , , , , , , , ,
valores valores
Posi o posi oçã çã
1 11
2
6 6
+
= ( )ª
Daí, a mediana será Me = 7
Propriedadesda mediana
• A mediana não é influenciada por valores extremos.
• Os elementos do conjunto devem estar ordenados.
• A mediana de um conjunto numérico ordenado tem como 
característica ser o elemento que possui, à sua esquerda e à sua 
direita, o mesmo número de elementos.
Posição relativa da média, da mediana e 
da moda
• Simétrica:
x = M
0
 = M
d
 
• Assimétrica positiva:
M
0
 < M
d
 < x
• Assimétrica negativa:
x < Md
 < M0 
Exercícios de Fixação
01. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de 
futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra 
o número de gols marcados e a coluna da direita informa em 
quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Gols marcados Quantidade de partidas
0 5
1 3
2 4
3 3
4 2
5 2
7 1
 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda 
dessa distribuição, então
A) X = Y < Z 
B) Z < X = Y
C) Y < Z < X 
D) Z < X < Y
E) Z < Y < X
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
69
MateMática i 
02. Um nutricionista indicou três dietas diferentes para grupos de 
pacientes que gostariam de perder peso (em quilogramas). 
A tabela a seguir indica a perda de peso (em quilogramas) por 
paciente de cada grupo.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
2 2 3
3 2 4
4 2 4
4 3 4
5 3 5
6 5 6
8 8 6
10 9 5
 A partir desses dados, a média de perda de peso do grupo 1, 
a mediana de perda de peso do grupo 3 e a moda da perda 
de peso do grupo 2 são dados, respectivamente, por
A) 5,25; 4,5; 2,0 
B) 4,25; 4,5; 3,0
C) 4,75; 2,0; 4,0 
D) 5,25; 3,0; 4,5
E) 4,75; 4,0; 4,5
03. O gráfico a seguir mostra o tempo de votação de cada um 
dos doze primeiros eleitores a votarem no segundo turno das 
eleições para prefeito do município de Fortaleza, em uma 
determinada seção eleitoral.
1 2 3 4 5 6
Eleitor
7 8 9 10 11 120
10
Te
m
po
 g
as
to
 p
ar
a 
vo
ta
r 
(s
eg
un
do
s)
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
 Para fazer uma estimativa de quanto tempo um eleitor gasta 
na votação, o mesário decide utilizar a mediana dos dados para 
fazer seus cálculos. A mediana dos dados apresentados é
A) 14 segundos.
B) 16 segundos.
C) 17 segundos.
D) 18 segundos.
E) 20 segundos.
04. A distribuição de frequência a seguir refere-se à exportação de 
soja realizada por uma cooperativa no mês de abril.
xi
Toneladas
exportadas
fi
1 10 20 3
2 20 30 2
3 30 40 8
4 40 50 10
5 50 60 7
fi =∑ 30
Dados fictícios
 Com base nos dados apresentados, a mediana da distribuição 
pertence à
A) 1ª classe. 
B) 2ª classe. 
C) 3ª classe. 
D) 4ª classe. 
E) 5ª classe. 
05. Preocupada com o hábito de leitura na escola onde trabalha, 
uma bibliotecária aplicou uma pesquisa, em um grupo de 200 
estudantes escolhidos de forma aleatória, sobre a quantidade 
de livros que cada aluno havia solicitado por empréstimo no 
primeiro semestre de 2015. Os dados coletados na pesquisa 
estão apresentados na tabela a seguir:
Livros emprestados por aluno
Número de livros Número de alunos
3 90
2 55
1 30
0 25
Total 200
 Para esses dados, a média, a moda e a mediana são, 
respectivamente,
A) 1,50; 2,00; 3,00 
B) 1,50; 3,50; 2,00 
C) 1,50; 3,00; 3,00
D) 2,05; 3,00; 2,00
E) 2,05; 3,00; 3,00
06. Preocupada com a sua locadora, Maria aplicou uma pesquisa 
com um grupo de 200 clientes escolhidos de forma aleatória, 
sobre a quantidade de filmes que estes locaram no primeiro 
semestre de 2011. Os dados coletados estão apresentados na 
tabela a seguir:
Número de filmes alugados
Número de filmes Frequência
0 25
1 30
2 55
3 90
Total 200
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
70
MateMática i
 A média, a moda e a mediana destes dados são, respectivamente, 
os seguintes:
A) 2,05; 3; 2
B) 1,5; 2; 3
C) 1,5; 3; 3
D) 1,5; 3; 2
E) 2,05; 2; 3
07. As idades dos atletas que participaram da Seleção Brasileira 
Masculina de Basquete, convocados para a preparação dos 
Jogos Olímpicos 2016, variaram de 24 a 36 anos, como se 
pode observar na tabela a seguir.
Idade (anos) 24 26 28 30 32 33 35 36
Número de atletas 3 1 1 1 1 4 1 2
 De acordo com a tabela, a média, a mediana e a moda dessas 
idades são, respectivamente,
A) 30,5; 32,5 e 33
B) 31; 32 e 33
C) 31,5; 31 e 33
D) 30,5; 31 e 24
E) 31; 24 e 33
08. Os salários, em reais, dos funcionários de uma empresa são 
distribuídos conforme o quadro a seguir
Valor do 
salário (R$)
622,00 1.244,00 3.110,00 6.220,00
Número de 
funcionários
24 1 20 3
 A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais, 
A) 622,00 
B) 933,00
C) 1.244,00 
D) 2.021,50
E) 2.799,00
09. Para as pessoas que não gostam de correr grandes riscos no 
mercado financeiro, a aplicação em caderneta de poupança é 
indicada, pois, conforme a tabela (período 2005 até 2011), a 
rentabilidade apresentou pequena variação.
Ano Rentabilidade (%)
2005 7,0
2006 4,9
2007 6,4
2008 6,2
2009 7,2
2010 6,8
2011 7,0
 Com base nos dados da tabela, a mediana dos percentuais de 
rentabilidade, no período observado, é igual a
A) 6,2 
B) 6,5
C) 6,6 
D) 6,8
E) 7,0
10. (UFSM) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, 
tais como a redução da emissão de gases do efeito estufa e a 
diminuição da poluição atmosférica. 
 O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de litros) 
em uma usina, durante o período de um ano.
5
Pr
od
uç
ão
 (m
ilh
õe
s 
de
 li
tr
os
)
Jan
8
Fev
10
Mar
12
Abr
10
Mai
6
Jun
12
Jul
10
Ago
6
Set
10
Out
5
Nov
6
Dez (mês)
 De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em 
milhões de litros) são, respectivamente, iguais a
A) 8,5; 10 e 9. 
B) 8; 9 e 10.
C) 8; 9,5 e 8. 
D) 8,5; 9 e 10.
E) 8,5; 9,5 e 10.
11. Após encerrar o período de vendas de 2012, uma concessionária 
fez um levantamento das vendas de carros novos no último 
semestre desse ano. Os dados estão expressos no gráfico:
Julho
0
10
20
C
ar
ro
s 
ve
n
d
id
o
s
30
40
5
Agosto
6
Setembro
14
Outubro
35
Novembro
35
Dezembro
25
 Ao fazer a apresentação dos dados aos funcionários, o gerente 
estipulou como meta para o mês de janeiro de 2013 um volume 
de vendas 20% superior à média mensal de vendas do semestre 
anterior.
 Para atingir essa meta, a quantidade mínima de carros que 
deveriam ser vendidos em janeiro de 2013 seria
A) 17
B) 20
C) 21
D) 24
E) 30
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
71
MateMática i 
12. Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, 
no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para 
um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada 
valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; 
B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, 
as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, 
em porcentagem, para cada valor da diária.
25%
A
C
B
D
10%
25%
40%
A
C
D
B
 O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de 
casal nessa cidade, é
A) 300,00
B) 345,00
C) 350,00
D) 375,00
E) 400,00
13. Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um 
curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou esses 
dados em um gráfico.
21
15
12
9 12 18 Idade (ano)
Fr
eq
uê
nc
ia
 d
e 
oc
or
rê
nc
ia
 Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?
A) 9
B) 12
C) 13
D) 15
E) 21
14. (Enem) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico 
de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre 
no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do 
primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, 
uma vez que os dados coletados servem de referência para 
estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos 
meses e anos.
 As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro. 
Dia do mês Temperatura (em °C)
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
 Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e 
moda são, respectivamente, iguais a
A) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C
B) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C
C) 17 °C, 135 °C e 18 °C
D) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C
E) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C
15. Preocupadacom seus resultados, uma empresa fez um balanço 
dos lucros obtidos nos últimos sete meses, conforme os dados 
do quadro.
Mês I II III IV V VI VII
Lucro (em milhões 
de reais)
37 33 35 22 30 35 25
 Avaliando os resultados, o conselho diretor da empresa decidiu 
comprar, nos dois meses subsequentes, a mesma quantidade 
de matéria-prima comprada no mês em que o lucro mais se 
aproximou da média dos lucros mensais dessa empresa nesse 
período de sete meses.
 Nos próximos dois meses, essa empresa deverá comprar a 
mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês
A) I
B) II
C) IV 
D) V
E) VI
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
72
MateMática i
Aula 19: 
Estatística IV
Medidas de dispersão
Em um mesmo grupo de pessoas, podem variar a altura, 
a idade, a massa, o salário e o número de irmãos. Calculando, 
por exemplo, a média das massas, estamos apontando para o 
valor central da distribuição das massas, mas não temos ideia 
de quão distante está a massa de cada pessoa da média, pois 
nem sempre a média nos dá uma ideia exata da série. Ela pode 
distanciar-se bastante dos valores que representa, influenciada pela 
preponderância de valores muito baixos, ou muito altos.
Para qualificar os valores de uma variável, mostrando a maior 
ou menor concentração ou dispersão em torno da média, recorre-se 
às medidas de dispersão ou variabilidade.
Utilizaremos o termo dispersão para indicar o grau de 
afastamento de um conjunto de números da sua média.
Para uma melhor compreensão, considere a seguinte situação.
O serviço de atendimento ao consumidor de uma 
concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via 
telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados 
os números de chamadas durante um período de sete dias 
consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia Número de chamadas
domingo 3
segunda 4
terça 6
quarta 9
quinta 5
sexta 7
sábado 8
A média do número de chamadas por dia é , 
x = + + + + + + =( )3 4 6 9 5 7 8
7
6 mas não temos ideia do grau de 
dispersão dos números observados. Uma forma de medir a dispersão 
consiste simplesmente em calcular a diferença entre o maior e o 
menor valor. Essa grandeza é chamada de amplitude total. No 
entanto, a amplitude total não é uma boa medida de dispersão, pois 
não nos dá nenhuma informação relativa a qualquer dos elementos 
do conjunto, exceto seus valores máximo e mínimo. No caso, a 
amplitude dos valores observados é 9 – 3 = 6.
Um problema com a amplitude é que ela é fortemente 
afetada pela presença de valores muito grandes ou muito pequenos. 
Numa série com um grande número de valores observados, uma 
forma de contornar esse problema é substituir a amplitude pelo 
chamado intervalo interquartil.
Para calculá-lo:
I. Coloque os dados em ordem crescente;
II. Calcule o valor tal que 3/4 dos valores da relação estejam abaixo 
dele. (Esse valor é chamado de terceiro quartil);
III. Calcule o valor tal que 1/4 dos valores da relação esteja abaixo 
dele. (Esse valor é chamado de primeiro quartil);
IV. Calcule a diferença entre esses dois valores. (Essa diferença é 
que chamamos de intervalo interquartil.)
Aula
19
A amplitude mostra pouco como os dados se desviam 
da média. Para calcular esse desvio, precisamos observar as 
discrepâncias (diferenças positivas) entre cada dado e a média. Para 
isso, usaremos a fórmula d x xi i= − . No nosso exemplo, temos 
as seguintes discrepâncias:
d d
d d
d d
d
1 2
3 4
5 6
7
3 6 3 4 6 2
6 6 0 9 6 3
5 6 1 7 6 1
8 6 2
= − = = − =
= − = = − =
= − = = − =
= − =
(Note que se não usássemos o módulo, a soma dos desvios seria 
sempre zero)
De posse das discrepâncias, podemos calcular o desvio médio 
absoluto (DM), que indica a distância média entre um dado e a média 
aritmética. Esse desvio é calculado através da média aritmética das 
discrepâncias. No caso:
 
DM = + + + + + + = ≅3 2 0 3 1 1 2
7
12
7
171,
O DM = 1,71 nos diz que, em média, os dados diferem 
1,71 da média aritmética deles, ou seja, a distância média de cada 
número em relação à média é de 1,71.
Muito embora o desvio médio absoluto seja uma boa medida 
de dispersão, para muitos propósitos, é mais conveniente elevar 
ao quadrado cada desvio e tomar a média aritmética de todos 
esses quadrados. Essa grandeza é chamada de variância, que a 
representaremos por S2. 
No caso:
S
S
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 6 4 6 6 6 9 6 5 6 7 6 8 6
7
9 4
=
− + −( ) + − + − + + + − + −
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
++ + + + +
= =
0 9 7 1 4
7
28
7
42S
 A desvantagem da variância (S2) é a difícil interpretação do 
seu valor numérico. Uma variância igual a 4 significa uma grande 
dispersão ou uma pequena dispersão? Boa parte do problema se 
deve à questão da unidade: A variância é medida em uma unidade 
que é o quadrado da unidade de medida x. No nosso caso, x é o 
número de chamadas telefônicas e S2 = 4 (chamadas telefônicas)2 
(o que quer que isso signifiquE). 
Em geral, é melhor calcular a raiz quadrada da variância, 
chamada de desvio padrão, cuja representação será S: Variância: S2 = 4
Desvio padrão: S = S2 4= = 2 chamadas telefônicas. 
(a unidade do desvio padrão é a mesma dos dados x).
Se quisermos saber se a dispersão é muito grande em 
relação à média, podemos calcular uma estatística conhecida como 
coeficiente de variação (CV):
CV = desvio padrão
 média
No nosso caso, CV = 
2
6
 ≅ 0,333 = 33,3%
Em geral, para os valores x
1
, x
2
, ..., x
n
 da variável, temos:
Média aritmética: x
x x x
n
X
n
n
i
i
n
= + + + = =
∑
1 2 1...
Discrepância: d x xi i= − (distância do número x à médiA)
Desvio médio absoluto: 
 
DM
x x x x x x
n
x x
n
n
i
i
n
=
− + − + + −
=
−
=
∑
1 2 1...
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
73
MateMática i 
Variância: 
S
x x x x x x
n
x x
n
n i
n
2 1
2
2
2 2 1
2
1=
−( ) + −( ) + + −( ) =
−( )
=
∑...
Desvio padrão:
 
S S
x x x x x x
n
x x
n
n
i
i
n
= =
−( ) + −( ) + + −( ) =
=
−( )
=
∑
2 1
2
2
2 2
2
1
...
Coeficiente de variação CV = 
S
x
 
Observações:
• Se o CV for superior a 50% indica alto grau de dispersão. 
Logo, uma pequena representatividade da média.
• Para qualquer lista, ao menos 75% dos números da mesma 
estarão a dois desvios padrão da média (acima ou abaixo). No 
exemplo trabalhado, temos que dois desvios abaixo da média 
correspondem a 6 – 2 · 2 = 2 e dois desvios acima da média 
correspondem a 6 + 2 · 2 = 10. Então, ao menos 75% dos 
números de chamadas diárias se encontram entre 2 e 10. 
(Acontece que 100% dos valores estão efetivamente dentro 
desse intervalo).
• Quanto menor o desvio padrão, maior é a concentração dos 
dados em torno da média, menos dispersa é a série.
• Dadas duas ou mais séries de espécies diferentes (alturas, 
salários, número de irmãos etc.), para saber qual delas 
apresenta maior grau de dispersão em torno da média, deve-se 
ver qual delas tem maior coeficiente de variação.
• Quanto mais próximas são a média, a moda e a mediana, 
melhor é a representatividade da média, menor é o desvio 
padrão.
Exercícios de Fixação
01. A tabela de frequências a seguir informa o número de filhos 
dos 80 funcionários de uma escola.
Número de 
filhos
Frequência 
absoluta
0 20
1 36
2 14
3 8
4 2
 Qual é o desvio padrão correspondente ao número de filhos?
A) 0 72, D) 112,
B) 0 95, E) 1 35,
C) 1 01, 
02. A tabela seguinte informa a distribuição do número de cartões 
amarelos recebidos por um time durante os 35 jogos de um torneio.
Número de cartões Número de jogos
0 5
1 19
2 10
3 7
4 4
 De acordo com a tabela, o desvio padrão referente ao número 
de cartões recebidos é aproximadamente igual a
A D
E
) , ) ,
B) , ) ,
C) ,
1 28 1 77
1 41 1 83
1 65
03. O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos.
0
1
2
3
3 4 6
massa de cada objeto (em kg)
nú
m
er
o 
de
 o
bj
et
os
 Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, 
sabe-se que a média não se altera, mas o desvio-padrão se 
reduz à metade do que era. Assim, é correto afirmarque n é 
igual a:
A) 18 D) 9
B) 15 C) 12 
E) 8
04. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para 
classificação no concurso o candidato deveria obter média 
aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de 
empate na média, o desempate seria em favor da pontuação 
mais regular. No quadro a seguir são apresentados os 
pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e 
Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio-padrão 
dos dois candidatos.
 Dados dos candidatos no concurso:
Mat. Port.
Conh. 
Gerais
Média Mediana
desvio- 
Padrão
Marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
 O candidato com pontuação mais regular, portanto, mais bem 
classificado no concurso, é:
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio-padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
74
MateMática i
05. O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre 
os atletas dos esportes de combate. Para participar de um 
torneio, quatro atletas de categoria até 66 kg, peso-pena, 
foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. 
Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo 
regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre 
o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. 
As informações com base nas pesagens dos atletas estão no 
quadro.
A
tl
et
a
1ª
 p
es
ag
em
 
(k
g
)
2ª
 p
es
ag
em
 
(k
g
)
3ª
 p
es
ag
em
 
(k
g
)
M
éd
ia
M
ed
ia
n
a
D
es
vi
o
p
ad
rã
o
I 78 72 66 72 72 4,90
II 83 65 65 71 65 8,49
III 75 70 65 70 70 4,08
IV 80 77 62 73 77 7,87
 Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram 
aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta.
A primeira luta foi entre os atletas
A) I e III 
B) I e IV 
C) II e III 
D) II e IV 
E) III e IV
06. Ao realizar o levantamento das famílias de uma pequena cidade 
do interior, cujos filhos são beneficiários de algum programa 
social, um pesquisador obteve os seguintes dados:
Beneficiados em programa social
Número de filhos Quantidade de famílias
5 03
4 07
3 21
2 28
1 23
0 18
Total: 100
 Com base nessas informações, é correto afirmar que o 
desvio padrão do número de filhos dessa amostra é de, 
aproximadamente:
A) 1,3
B) 1,8
C) 2,0
D) 2,5
E) 6,7 
07. Em um torneio de tiro ao alvo, Miguel e Manoel empataram 
na primeira colocação, uma vez que obtiveram o mesmo total 
de pontos, como mostra o quadro a seguir.
Ordem de tiro
Pontos obtidos
Miguel Manoel
1ª 100 85
2ª 80 90
3ª 90 95
4ª 90 90
 O critério de desempate da competição, nesse caso, aponta 
o vencedor como sendo aquele que obteve pontuações mais 
próximas nos quatro tiros, ou seja, uma menor dispersão. Foi 
adotado para cálculo o desvio médio absoluto do conjunto de 
pontos obtidos por cada competidor. Portanto, conclui-se que 
o vencedor foi:
A) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, com o valor 
5 para o desvio médio absoluto.
B) Miguel, pois obteve um melhor desempenho, com o valor 
5 para o desvio médio absoluto.
C) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, com o valor 
2,5 para o desvio médio absoluto.
D) Miguel, pois obteve um melhor desempenho, com o valor 
2,5 para o desvio médio absoluto.
E) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, com o valor 
7,5 para o desvio médio absoluto.
08. Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela 
em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo 
fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato 
foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado 
pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, 
estão representados os dados estatísticos das cinco melhores 
equipes classificadas.
DADOS ESTATÍSTICOS DAS MELHORES EQUIPES
CLASSIFICADAS (EM MINUTOS)
Equipes Média Moda Desvio-padrão
Equipe I 45 40 5
Equipe II 45 41 4
Equipe III 45 44 1
Equipe IV 45 44 3
Equipe V 45 47 2
 Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a 
equipe:
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
75
MateMática i 
09. O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária 
de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. 
Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados 
os números de chamadas durante um período de sete dias 
consecutivos.
 Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia Número de chamadas
Domingo 3
Segunda 4
Terça 6
Quarta 9
Quinta 5
Sexta 7
Sábado 8
 Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as 
seguintes afirmativas:
I. o número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6;
II. a variância dos dados é 4;
III. o desvio-padrão dos dados é 2.
 Assinale a alternativa correta.
A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) Somente a afirmativa I é verdadeira.
E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
10. Um conjunto é formado por três elementos: 8, 10 e x. 
Determine os possíveis valores de x para os quais a variância 
desses elementos é igual a 
26
3
.
A) x = 3 ou x =15.
B) x = 3 ou x =18.
C) x = 5 ou x =11.
D) x = 5 ou x = 9.
E) x = 2 ou x = 8.
11. Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um 
relatório de consultoria estatística, constando, entre outras 
informações, o desvio-padrão das produções de uma safra 
dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área 
de 30000 m2 e o valor obtido para o desvio-padrão foi de 90 
kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre 
a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg 
por hectare (10000 m2).
 A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/
hectarE)2 é:
A) 20,25
B) 4,50
C) 0,71
D) 0,50
E) 0,25
12. O quadro a seguir mostra o número de gols marcados em cada 
uma das partidas do grupo do Brasil na primeira fase da Copa 
do Mundo de 2014.
Partida Gols marcados
Brasil × Croácia 4
México × Camarões 1
Brasil × México 0
Croácia × Camarões 4
Camarões × Brasil 5
Croácia × México 4
 O desvio médio de gols marcados por partida nos jogos desse 
grupo foi de, aproximadamente,
A) 3,0 D) 1,5 
B) 2,0 E) 1,2
C) 1,7 
13. A tabela a seguir apresenta o número médio e o desvio padrão 
de unidades vendidas de um produto durante os doze meses 
de 2008, nas cinco regiões brasileiras.
Região Vendas médias Desvio padrão
Centro-Oeste 10000 2500
Sul 13000 3000
Sudeste 18000 4100
Nordeste 19000 3700
Norte 20000 7100
 É correto afirmar que a região que manteve as vendas mais 
homogêneas durante o ano foi:
A) Centro-Oeste. 
B) Sul.
C) Sudeste. 
D) Nordeste.
E) Norte.
14. O histograma a seguir mostra a distribuição de gastos com 
guloseimas registrada em uma barraca instalada na saída de 
uma estação de metrô.
1
72 %
porcentagem
3 5 7 gastos (em reais)
?
?
 Por falha de impressão, não aparecem no histograma as 
frequências relativas aos intervalos de 3 a 5 reais e de 5 a 7 
reais. Sabe-se, entretanto, que a média de gastos é R$ 2,80.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
76
MateMática i
 Os valores relativos às frequências que não aparecem no gráfico 
e a variância correspondente são, respectivamente, iguais a
A) 16%, 12% e 1,92
B) 16%, 10% e 1,89
C) 15%, 12% e 1,92
D) 14%, 12% e 1,76
E) 12%, 11% e 1,92
15. Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro 
em uma competição de salto em distância. Segundo o 
regulamento dessa competição, a medalha de ouro será 
dada ao atleta mais regular em uma série de três saltos. 
Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas 
estão no quadro.
Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Mediana
Desvio
padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 3,7 3,5 2,2 3,1 3,5 0,81
 A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número:
A) I 
B) II 
C) III 
D) IV
E) V
Aula 20: 
ExercíciosExercícios de Fixação
01. Se a sequência de números reais (x
n
) é definida por
x
x x
se n
se n
se n
n
n n
=
+




=
=
≥− −
0
1
1
2
32 1
,
,
,
 então a raiz quadrada positiva de x
13 
é igual a:
A) 10 
B) 11
C) 12
D) 13
Aula
20
02. Uma torneira enche um tanque em 4 horas, O ralo do tanque 
pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos, 
simultaneamente, a torneira e o ralo. Então, o tanque:
A) nunca se esvazia. 
B) esvazia-se em 1 hora. 
C) esvazia-se em 4 horas. 
D) esvazia-se em 7 horas.
E) esvazia-se em 12 horas.
03. Se ja R a ra i z pos i t i va da equação x x2 3
4
0+ − = . 
Se R
sen A A
sen
= º cos º
º cos º11 11
, em que 0º < A < 90º. Calcule o 
valor de A.
A) 30 
B) 41 
C) 60 
D) 75
E) 80
04. Em um triângulo com lados de comprimentos a, b, c, tem-se 
(a + b + C) (a + b – C) = 3ab. A medida do ângulo oposto ao 
lado de comprimento c é:
A) 30º 
B) 45º
C) 60º 
D) 90º
05. Dados estatísticos indicam que, em uma fábrica de rádios, 
o operário consegue montar, em t dias, Q(t) rádios, onde 
Q(t) = 700 – 399,546 ⋅ e–0,5t, com e = 2,718. Nessas condições, 
o número de rádios que um operário montará em 2 dias será:
A) 553 
B) 603
C) 583 
D) 513
06. Sendo a um número real, considere a matriz A
a= −




1
0 1
. 
Então, A2017 é igual a:
A) 
1 0
0 1



 
B) 
1
0 1
a
−




C) 
1 1
1 1



 
D) 1
0 1
2017a
−




07. A figura representa um quadrado ABCD de lado 1 cm. O ponto 
F está em BC BF, mede 
5
4
cm , o ponto E está em CD e AF 
é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE 
mede:
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
77
MateMática i 
A) 
3 5
40
cm 
B) 
7 5
40
cm
C) 
9 5
40
cm 
D) 
11 5
40
cm
08. Seja I a unidade imaginária, isto é, i2 = –1. O lugar geométrico 
dos pontos do plano cartesiano com coordenadas reais (x, y), 
tais que (2x +yi) (y + 2xi) = i, é uma:
A) elipse 
B) hipérbole
C) parábola 
D) reta
09. Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2 cm2, 3 cm2 
e 4 cm2. O volume desse paralelepípedo é igual a:
A) 2 3 3cm 
B) 2 6 3cm
C) 24 cm3 
D) 12 cm3
10. Quantas soluções reais e distintas possui a equação 
x2 + 9 = 3 sen x?
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3
E) infinitas
11. A reta EF, inclinada de 30º relativamente ao lado DC, divide o 
quadrado ABCD da figura em dois trapézios de mesma área. 
Então, a razão DE
DA
 é igual a:
A) 
3 3
6
−
 
B) 
4 2 3
3
−
C) 2 3
2
− 
D) 3 3
8
12. A área da base de um cone reto é igual à área da secção 
meridiana. Se o raio da base vale R, a altura do cone valerá:
A) 
2
3
πR
 
B) 
πR
2
C) πR 
D) 2πR
13. Seja R um ponto da diagonal MP do retângulo MNPQ, U 
e V as projeções ortogonais de R sobre os lados MQ e QP, 
respectivamente. Se as medidas dos lados MQ e QP são relativas 
a 3 m e 4 m, então a medida, em m2, da maior área possível 
do retângulo URVQ é:
A) 4,50 
B) 4,00 
C) 3,50 
D) 3,00
14. Seja x um número real, 0
2
< <x
π , tal que a sequência (tan 
x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (P.A.). Então, a razão 
dessa P.A. é igual a:
A) 1 
B) 5
4
C) 
4
3
 
D) 
1
3
15. Um cilindro circular reto, cuja medida do raio da base é 5 m, 
é cortado por um plano perpendicular às suas bases (paralelo 
ao eixo do cilindro). A distância do plano ao eixo do cilindro 
é 3 m. Se a diferença entre a área lateral do cilindro e a área 
retangular determinada sobre o plano é 234 m2, considerando π 
igual a 3,14, então, a medida do volume do cilindro, em m3, é:
A) 578 
B) 875
C) 758 
D) 785
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
78
MateMática i
Aula 21: 
Revisão I
Exercícios 
01. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel 
aumenta 26% e o salário 5%, que percentagem do salário esta 
pessoa passará a gastar com aluguel?
A) 18
B) 17
C) 16
D) 15
E) 14
02. Dez homens trabalhando 8 horas por dia executaram uma 
tarefa em 12 dias. Para a realização da mesma tarefa, 6 homens, 
trabalhando 10 horas por dia, necessitariam de:
A) 16 dias.
B) 9 dias.
C) 15 dias.
D) 18 dias.
03. Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. 
Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja 
comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá 
comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, 
em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo 
comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. 
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado 
ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.
Empresa
Lucro
(em milhões de reais)
Tempo
(em anos)
F 24 3,0
G 24 2,0
H 25 2,5
M 15 1,5
P 9 1,5
O empresário decidiu comprar a empresa
A) F 
B) G 
C) H
D) M
E) P
04. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte 
procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura 
desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da 
torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. 
O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de 
π
3
 radianos. 
Aula
21
A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre 
e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β = 3 3 .
α β
É correto afirmar que a altura da torre, em metro, é:
A) 4 3 D) 7 3 
B) 5 3 E) 8 3
C) 6 3 
05. Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo 
equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma 
circunferência de comprimento igual a 10π cm?
A) 75
4
π 
B) 25
4
π 
C) 
5
2
π
D) 25
16
π
E) 5
4
π
06. O conjunto das soluções em r e θ do sistema de equações 
r sen
r
para r e⋅ =
⋅ =



> < <θ
θ
θ π3
1
0 0 2
cos
 é:
A) 2
6
,
π





 D) 1 0,{ }
B) 1
3
,
π





 E) 2
3
,
π





C) 2 1,{ }
07. Um cubo de aresta 2a possui uma esfera circunscrita nele. Qual é 
probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da esfera, 
esse ponto ser interno ao cubo?
A) 
π
6
B) 2 3
3π
C) π 3
6
D) 2
6 3
π
E) 1
2
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
79
MateMática i 
08. O gráfico de barras a seguir mostra a distribuição das notas de 
uma turma de alunos em uma prova de matemática. A nota é 
sempre um número inteiro de 0 a 10.
n° de 
alunos
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
notas
Assim, por exemplo, 2 alunos tiraram zero, e 1 aluno tirou dez.
 Se a nota mínima para aprovação é 5, qual é a porcentagem 
de alunos aprovados?
A) 32%
B) 38%
C) 44%
D) 64%
E) 72%
09. Determine a imagem da função f, definida por f(x) = ||x + 2| – |x – 2||, 
para todo x ∈ R, conjunto dos números reais.
A) Im(f) = R
B) Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 0}
C) Im(f) = {y ∈ R | 0 < y < 4}
D) Im(f) = {y ∈ R | y < 4}
E) Im(f) = {y ∈ R | y > 0}
10. Dois tipos de comprimidos, I e II, são fabricados de modo que 
cada comprimido do tipo I contenha 10 unidades de vitamina A 
e 5 unidades de vitamina B e cada comprimido do tipo II 
contenha 3 unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B. 
Calcule o número total de comprimidos I e II (juntos) que uma 
pessoa deve ingerir de modo a absorver 35 unidades de vitamina A 
e 20 unidades de vitamina B.
A) 10 
B) 9 
C) 8
D) 7
E) 6
11. Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado 
na figura a seguir:
D
A B
y
C
30°
10 cm
x
x
A) 5 3 5+ 
B) 5 2 2 3 1( ) ( )+ + 
C) 20 4 5+
D) 45
E) 50
12. Seja um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios de 
cada lado, temos um segundo quadrado. Unindo os pontos 
médios do segundo quadrado, temos um terceiro quadrado, e 
assim sucessivamente. O produto das áreas dos dez primeiros 
quadrados é
A) 2
9
2
−
B) 2
25
2
−
C) 2
45
2
−
D) 2 45−
E) 2 25−
13. Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com 
a mesma área de superfície. A razão entre o volume do cubo 
e o volume da esfera é igual a
A) 
1
π
B) 
π
12
C) 
2
3
π
D) 
π
3
E) 
π
6
14. Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência 
de centro O, representada na figura a seguir, sabendo que o 
segmento OD mede 12 cm, os ângulos CÔD = 30° e OÂB = 15°, 
e quea área do triângulo CDO é igual a 18 cm2.
B
O
C
D
A
A) 5π cm
B) 12 cm
C) 5 cm
D) 12π cm
E) 10π cm
15. Sabe-se que z é diretamente proporcional a x e inversamente 
proporcional a y. Se z = 5 quando x = 2 e y = 3, calcule o valor 
de z quando x = 96 e y = 10.
A) 72
B) 70
C) 68
D) 66
E) 64
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
80
MateMática i
Aula 22: 
Revisão II
Exercícios de Fixação
01. Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 
2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o 
final do ano de 2025. O gráfico a seguir mostra as quantidades 
de tratores produzidos no período 2010-2017.
FÁBRICA BOA SAFRA
Quantidade anual de tratores fabricados
720 790 860 930 1.000
1.070
1.2101.140
20172016201520142013201220112010
Desenho ilustrativo fora de escala
 Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua 
nos anos seguintes, segundo a mesma razão de crescimento 
do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista
A) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.
B) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.
C) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores 
a menos.
D) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores 
a menos.
E) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores 
a menos.
02. O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 
cm3 é igual a
A) 38π cm3 
B) 36π cm3 
C) 34π cm3
D) 32π cm3
E) 30π cm3
03. Um professor de matemática aplica três provas em seu curso 
(P
1
, P
2
, P
3
), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do 
aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo 
que o peso da prova P
n
 é igual a n2. Para ser aprovado na 
matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5, 4. 
De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa 
disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas 
primeiras provas, se tirar na P
3
, no mínimo, nota
A) 7,6 
B) 7,9 
C) 8,2
D) 8,4
E) 8,6
Aula
22
04. A tabela a seguir apresenta dados sobre a quantidade de lixo 
produzida por 25 apartamentos de um condomínio.
Lixo produzido em kg
kg Apartamentos
1 3 1
3 5 3
5 7 ?
7 9 7
9 11 9
 É correto afirmar que a produção média de lixo por apartamento 
nesse condomínio é
A) entre 9 e 10 kg.
B) menor que 5 kg.
C) entre 8 e 9 kg.
D) entre 7 e 8 kg.
E) maior que 10 kg.
05. Em um triângulo ABC, BC= 12 cm e a mediana relativa a esse 
lado mede 6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado 
AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?
A) 35 2cm
B) 2 35 2cm
C) 6 35 2cm
D) 35
2
2cm
E) 3 35 2cm
06. Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses 
círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a 
esses dois círculos é
A) 12 cm
B) 24 cm
C) 30 cm
D) 32 cm
E) 26 cm
07. Na figura a seguir ABCD é um retângulo, ABMN é um quadrado 
e MD é um arco da circunferência de centro A e raio AM. O 
valor de tgθ é:
MB C
DNA
θ
A) 3 
B) 3
2
 
C) 2
D) 2
2
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
81
MateMática i 
08. Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120°. O 
valor de tg2(x) é igual a
A) 3 2−
B) 4 3 7−
C) 7 – 4 3
D) 2 – 3
E) 2 – 4 3
09. Determine o volume (em cm3) de uma pirâmide retangular 
de altura “a“ e lados da base “b“ e “c“ (a, b e c em 
centímetros), sabendo que a + b + c = 36 e “a“, “b“ e “c“ 
são, respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 
4 e 2.
A) 16 D) 432
B) 36 E) 648
C) 108
10. Corta-se de uma circunferência de raio 4 cm, um setor circular 
de ângulo π
2
rad (ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é o 
centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a 
partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.
C
A B
desenho ilustrativo – fora de escala
O volume desse cone, em cm3, é igual a
A) 3
3
π D) 
15
5
π
B) 3
5
π E) 5
5
π
C) 15
3
π
11. Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e θ = 60° é um 
dos ângulos formados pelas diagonais. Se a e b são, 
respectivamente, os lados CD e BC, pode-se dizer que: 
C
a
bB
A D
θ
A) b a= 3 
B) b a=
3
2
 
C) a b= 3
D) a b=
3
2
12. Na figura a seguir, o raio da circunferência de centro O 
é 
25
2
 cm e a corda MP mede 10 cm.
P
NM
OQ
desenho ilustrativo – fora de escala
 A medida, em centímetros, do segmento PQ é
A) 25
2
 D) 21
B) 10 E) 2 21
C) 5 21
13. Se o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em um círculo 
é 3 cm, a área do círculo (em cm2) é igual a
A) 
π
3
 D) 3 3π
B) 3π E) 81π
C) π
14. O número real
25
8
11 2
4
25
8
11 2
4
3 3+ + − pertence ao conjunto
A) [–5, –3)
B) [–3, –1)
C) [–1, 1)
D) [1, 3)
E) [3, 5)
15. Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência 
de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em 
seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. 
Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido 
gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento 
seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as 
circunferências envolvidas nesse processo é igual a:
2R
desenho ilustrativo – fora de escala
A) 2 1
3
2
R +




 D) R 2 3+( )
B) 4 1
3
2
R +




 E) 2 1
3
4
R +




C) 4 1
3
4
R +




IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
82
MateMática i
Aula 23: 
Revisão III
Exercícios 
01. As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são 
diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma dessas medidas 
é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em cm2, é
A) 752
B) 820
C) 1.024
D) 1.302
E) 1.504
02. Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, 
contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é 
mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, 
sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu
9
16
R, então o raio da esfera mede:
A) 
2
3
R D) 
1
3
R
B) 3
4
R E) 
9
16
R
 
C) 4
9
R
03. Na figura a seguir, r//s e r, s, t são tangentes ao círculo PQ = 3 cm 
e MN = 8 cm. A área do círculo, em cm2, é igual a:
r
s M N
P Q
A) 24π
B) 26π
C) 28π
D) 30π
04. Na figura a seguir, a circunferência de raio 3 cm tangencia três 
lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo 
é igual a 72 cm2, a medida do segmento EF, em cm, é igual a
F
E
A
D C
B
desenho ilustrativo – fora de escala
Aula
23
A) 3 5
B) 6 5
5
C) 6 5
D) 12 5
5
E) 12 5
05. Na figura a seguir temos uma espiral formada pela união de 
infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das 
abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 
1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo 
anterior, o comprimento da espiral é igual a
A) π
B) 2 π
C) 3 π
D) 4 π
E) 5 π
 desenho ilustrativo – fora de escala
06. Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma 
esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm3) é igual a
A) 
1
3
π D) 
8
3
π
B) 2
3
π E) 3π
C) 4
3
π 
07. No triângulo ABC da figura, retângulo em A, ABCˆ ,= α AC = 3 
e AB = tg α.
C
tg α
α
A B
3
•
 Então, o perímetro do triângulo vale:
A) 3 + 4 D) 2 2 + 3
B) 2 3 + 4 E) 3 2 + 4
C) 3 3 + 3 
08. Se α está no intervalo 0
2
,
π



 e satisfaz sen4 4 1
4
α α− =cos , 
então o valor da tangente de α é:
A) 
3
5
 D) 7
3
B) 
5
3
 
C) 
3
7
21
y
x
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
83
MateMática i 
09. Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a 
razão entre a aresta da base e a aresta lateral é
3
3
.Aumentando-se 
a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o 
volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. O volume 
do prisma original é
A) 18 cm3
B) 36 cm3
C) 18 3 3cm
D) 36 3 3cm
E) 40 cm3
10. Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A, ADEF é 
um quadrado, AC cm e AB cm= =150 100
π π
. Determine o 
comprimento do círculo inscrito no quadrado ADEF, em cm.
DA
F
B
E
C
A) 60
B) 54
C) 50
D) 48
E) 36
11. Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 
4 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície 
total de cada gomo mede:A) 4
3
3
2π
cm 
B) 4
9
3
2π
cm 
C) 
4
3
2
2π
cm
D) 
4
9
2
2π
cm
E) 43π cm2
12. Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões 
A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem 
um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro 
horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 
9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, 
em km2, a área total que está protegida por esses 3 canhões, 
admitindo que os círculos são tangentes entre si.
A) 23
2
π D) 195
4
π
B) 23
4
π E) 
529
4
π
C) 385
8
π
13. Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em 
setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, 
obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando 
no final uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N 
+ 1.
fatia 2
fatia 1
fatia N + 1
fatia N
Considerando π = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, é:
A) 0,74
B) 0,72
C) 0,68
D) 0,56
E) 0,34
14. Considere o triângulo ABC a seguir, retângulo em C, em que 
BÂC = 30°. Nesse triângulo está representada uma sequência 
de segmentos cujas medidas estão indicadas por L
1
, L
2
, L
3
, ...., L
n
, 
em que cada segmento é perpendicular a um dos lados do 
ângulo de vértice A.
L
2L
1
L
3 L
4
30°
AC
B
O valor
L
L
9
1
é
A) 27 3
128
B) 
1
128
C) 
81
256
D) 27
64
E) 
1
256
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
84
MateMática i
15. A figura espacial representada a seguir, construída com hastes de 
plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo 
maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por 
uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida.
 Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 
8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os 
dois cubos é
A) 6 2 cm D) 4 3 cm
B) 3 2 cm E) 6 3 cm
C) 2 3 cm
Aula 24: 
Revisão IV
Exercícios 
01. Na figura a seguir está representado um sólido geométrico de 
9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo 
que todas as arestas desse sólido têm medida l, então as 
medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da 
superfície total desse sólido são, respectivamente,
G
C
F
H
E
D
A
B

V
A) l l
2 2
2
3 42+



+( )e D) l l
2
2
3 52




+( )e
B) l l
2 2
2
3 52+



+( )e E) l l
3
2
3
4
42




+




e
C) l l
3 2
2
3
4
52+



+




e 
Aula
24
02. A figura a seguir ropresenta a planificação do um tronco de cone 
reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências 
das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é
11 cm
13 cm
6 cm
desenho ilustrativo – fora de escala
A) 13 cm
B) 12 cm
C) 11 cm
D) 10 cm
E) 9 cm
03. Os triângulos A
1
B
1
C
1
, A
2
B
2
C
2
, A
3
B
3
C
3
, ilustrados a seguir, 
possuem perímetros p
1
,p
2
,p
3
, respectivamente. Os vértices 
desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios 
dos lados do triângulo anterior.
C
1
A
2
B
2
C
3
C
2
A
3
A
1
B
3
B
1
Admita que A B B C e A C1 1 1 1 1 17 4= = = .
Assim, (p
1
, p
2
, p
3
) define a seguinte progressão:
A) aritmética de razão = – 8
B) aritmética de razão = – 6
C) geométrica de razão = 1
2
D) geométrica de razão = 1
4
04. No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz 
do ângulo interno em A, e AD DB= .
D
C
60°
A B
 O ângulo interno em A é igual a
A) 60° C) 80°
B) 70° D) 90°
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
85
MateMática i 
05. O Tangram é um quebra-cabeça chinês que contém sete peças: 
um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos 
isósceles. Na figura, o quadrado ABCD é formado com as peças 
de um Tangram.
R
P
S
A M B
T
N
CD
Observe os seguintes componentes da figura:
– NP – lado do quadrado;
– AM – lado do paralelogramo;
– CDR e ADR – triângulos congruentes, bem como CNP e RST.
 A razão entre a área do trapézio AMNP e a área do quadrado 
ABCD equivale a:
A) 3
32
 C) 3
16
B) 5
32
 D) 5
16
06. O número de divisores inteiros e positivos do número 20182 – 20172 é
A) 8 C) 10
B) 14 D) 12
07. A soma dos quatro algarismos distintos do número N = abcd, é 16. 
A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da 
unidade e o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos 
da centena e da dezena. O produto dos algarismos da dezena 
e da centena é
A) 4 C) 2
B) 3 D) 1
08. No armazém de uma pastelaria, há 6 tonéis distintos de 15, 
16, 18, 19, 20 e 31 litros. Um tonel está cheio de nata e os 
restantes estão cheios de leite ou de chocolate líquido, havendo, 
no total, duas vezes mais leite do que chocolate.
A capacidade do tonel que tem a nata é de
A) 16 litros. C) 19 litros.
B) 18 litros. D) 20 litros.
09. Uma mulher tem três filhas matriculadas regularmente no Ensino 
Fundamental. O produto da sua idade com as idades de suas 
3 filhas é 37.037. Desta forma, pode-se afirmar que a diferença 
entre as idades de sua filha mais velha e sua filha mais nova é
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
10. A conta armada a seguir indica a adição de três números naturais, 
cada um com três algarismos, resultando em um número natural 
de quatro algarismos. Os algarismos que compõem os números 
envolvidos na conta, indicados pelas letras A,C, D e E, representam 
números primos distintos entre si.
 AEC
+ CDD
 EAE 
 1CDC
Assim, o valor de E · D + A · C é igual a
A) 35
B) 33
C) 31
D) 29
E) 27
11. Na divisão de um número natural n por 12, o resto é igual a 7 
e o número natural r é o resto da divisão do mesmo número 
por 4. Então, o valor de (7 + r) é igual a:
A) 12
B) 11
C) 10
D) 13
12. O número de divisores positivos de 102015 que são múltiplos 
de 102000 é
A) 152 D) 256
B) 196 E) 276
C) 216
13. Três alunos, X, Y e Z, estão matriculados em um curso de inglês. 
Para avaliar esses alunos, o professor optou por fazer cinco 
provas. Para que seja aprovado nesse curso, o aluno deverá ter 
a média aritmética das notas das cinco provas maior ou igual 
a 6. Na tabela, estão dispostas as notas que cada aluno tirou 
em cada prova.
Aluno
1ª 
Prova
2ª 
Prova
3ª 
Prova
4ª 
Prova
5ª 
Prova
X 5 5 5 10 6
Y 4 9 3 9 5
Z 5 5 8 5 6
 Com base nos dados da tabela e nas informações dadas, 
ficará(ão) reprovado(s)
A) apenas o aluno Y.
B) apenas o aluno Z.
C) apenas os alunos X e Y.
D) apenas os alunos X e Z.
E) os alunos X, Y e Z.
14. O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões 
inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo 
retângulo da figura, é
8
36
20
A) 64
B) 90
C) 48
D) 125
E) 100
15. Qual o expoente da maior potência de 3 que divide 27030?
A) 70
B) 80
C) 90
D) 100
E) 110
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
86
MateMática i
Aula 25: 
Revisão V
Exercícios de Fixação
01. Um número é chamado “perfeito“ se ele for igual a soma de 
seus divisores, excluindo ele mesmo.
 Se S = 2n – 1 é um número primo, então o número P = 2n–1 · S 
será um número “perfeito“.
A magia do Números/ Paul Karlson. Adaptado.
 Sabendo que o número 496 é um número “perfeito“, os valores 
de n e S são, respectivamente
A) 5 e 31
B) 5 e 29
C) 3 e 29
D) 3 e 31
02. A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 0,444... e 
o decimal de representação finita 0 444 4
10
, ...12 3
  vezes
 é igual a 1 dividido 
por:
A) 90.000
B) 120.000
C) 150.000
D) 160.000
E) 220.000
03. Sobre o natural 230 –1, é incorreto afirmar que ele é:
A) divisível por 215 –1
B) divisível por 220 + 210 + 1
C) divisível por 215 + 1
D) divisível por 210 – 1
E) um número primo
04. No trapézio isósceles ABCD (figura a seguir) é conhecido que a 
medida da base maior AB é o dobro da medida da base menor 
CD e que o ângulo α mede 60°. Se a medida da base CD é
2 34 cm,determine em cm2, a área do trapézio.
D
A
α
B
C
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Aula
25
05. Um pedaço de papel, em forma retangular, tem vértices nos 
pontos A, B, C e D, conforme mostra a figura. Dobra-se o papel 
de tal forma que o vértice C fique sobre o lado AD. Sabendoque AB = 6 cm e cosθ = 3
2
, calcule, em centímetros, o 
comprimento da dobra BE.
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
06. Na figura a seguir, o triângulo ABC é subdividido, em triângulos 
menores, pelos segmentos de reta AQ BP e CM, , sendo O o 
ponto de encontro destes. Se os triângulos AOM, AOP, BOQ 
e COQ possuem áreas iguais a 6 cm2, 4 cm2, 4 cm2 e 2 cm2, 
respectivamente, determine a área do triângulo ABC.
A) 24
B) 23
C) 22
D) 21
E) 20
07. O algarismo da unidade do resultado de 
1! – 2! + 3! – 4! + 5! – ... + 999! é
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
08. 
A avaliação de rendimento de alunos de um curso 
universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas 
nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como 
mostra o quadro:
Avaliação Média de notas (M)
Excelente 9 < M < 10
Bom 7 < M < 9
Regular 5 < M < 7
Ruim 3 < M < 5
Péssimo M < 3
Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado 
período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas 
para o período seguinte.
Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação 
“Bom” ou “Excelente’’ conseguirá matrícula nas disciplinas que 
deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que 
está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina 
I, conforme o quadro.
Disciplinas Notas Número de créditos
I 12
II 8,00 4
III 6,00 8
IV 5,00 8
V 7,50 10
D
A B
θ
CE
A
P Q
o
BM
C
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
87
MateMática i 
 Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve 
conseguir na disciplina I é
A) 7,00 D) 8,25
B) 7,38 E) 9,00
C) 7,50
09. Embora pouco conhecida, a “média harmônica“ é utilizada 
em várias situações do dia a dia. Por exemplo, para calcular 
a velocidade média em um percurso que é feito metade da 
distância com velocidade v1 e a outra metade com velocidade v2.
 Podemos definir a média harmônica entre dois valores não nulos 
x e y, como sendo o número H, tal que: 
1 1 1 1
H H x y
+ = + .
 Utilizando a definição acima, encontre uma expressão algébrica 
destacando H em função de x e y.
A) H xy= 
B) H
x y= +
2
 
C) H
xy
x y
=
+
2
D) H
x y= +2 2
2
E) H
x y= +
4
10. Na figura a seguir, a equação da circunferência é x2 + y2 = 3 e a 
reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual 
a 3.
M
N
y
x
O
P
Desenho ilustrativo fora de escala
 O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em 
relação ao eixo y é
A) 
3
8
π
B) 21
8
π
C) 
9 3
8
π
D) 24 3
7
π
E) 
63 3
8
π
11. Para determinar a ordem de largada numa corrida de automóveis, 
dez pilotos participarão de um treino classificatório no dia anterior 
à corrida. Pelo regimento, para cada piloto, faz-se a tomada de 
tempo em três voltas no circuito, e a primeira posição no grid de 
largada pertencerá àquele piloto que obtiver a menor média desses 
três tempos. Nove pilotos já terminaram as voltas classificatórias no 
circuito, e o piloto X ainda vai realizar sua última volta. Os dados 
e a média de cada piloto estão na tabela.
TEMP (MIN.) NAS VOLTAS CLASSIFICATÓRIAS DE 
CADA PILOTO E SUAS MÉDIAS
Piloto 1ª volta 2ª volta 3ª volta Média
I 1,42 1,62 1,49 1,51
II 1,36 1,49 1,68 1,51
III 1,53 1,44 1,53 1,50
IV 1,53 1,50 1,50 1,51
V 1,50 1,47 1,53 1,50
VI 1,60 1,67 1,56 1,61
VII 1,41 1,63 1,46 1,50
VIII 1,48 1,50 1,49 1,49
IX 1,70 1,77 1,63 1,70
X 1,57 1,50 ***** *****
 Qual o tempo, em minuto, a ser batido pelo último piloto, na 
terceira volta, que lhe garanta a primeira posição no grid de 
largada?
A) 1,36 D) 1,50
B) 1,40 E) 1,51
C) 1,49 
12. As raízes da equação x2 – px + q = 0, onde p e q são 
constantes, são os cubos das raízes da equação x2 + x + 1 = 0. 
Determine a soma p + q.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
13. O valor exato de 32 10 7 32 10 7+ + − é:
A) 12 D) 9
B) 11 E) 8
C) 10
14. A distribuição de frequência a seguir refere-se à exportação de 
soja realizada por uma Cooperativa no mês de abril.
xi
Toneladas 
exportadas
fi
1 10 20 3
2 20 30 2
3 30 40 8
4 40 50 10
5 50 60 7
fi =∑ 30
 Dados fictícios
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
88
MateMática i
 Com base nos dados apresentados anteriormente, a mediana 
da distribuição pertence à
A) 1ª classe
B) 2ª classe
C) 3ª classe
D) 4ª classe
E) 5ª classe
15. Um garoto dispõe de um único exemplar de cada poliedro 
de Platão existente. Para brincar, ele numerou cada vértice, 
face e aresta de cada poliedro sem repetir nenhum número. 
Em seguida, anotou esses números no próprio poliedro. 
Se ele sortear um dos números usados, aleatoriamente, 
qual será a probabilidade de o número sorteado representar 
um vértice?
A) 5
9
 
B) 5
14
 
C) 
1
3
D) 
5
19
E) 1
10
Anotações
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
89
MateMática ii
Aula 01:
Fatorial
Introdução
Às vezes, contar não é uma tarefa muito fácil. Certas 
contagens, se feitas uma a uma, além de exaustivas, mostram-se 
inviáveis. Por exemplo, como calcular quantos cartões da 
Mega-sena, no mínimo, devemos fazer, marcando em cada cartão 
seis dezenas dentre sessenta possíveis, para se ter certeza absoluta 
de ser premiado? Financeiramente, compensa fazer isso? Usando 
três letras e quatro algarismos, as placas diferentes que podem 
ser formadas são suficientes para emplacar toda a frota de uma 
cidade com um milhão de veículos? Para um banco que tem 200 
mil clientes, senhas de segurança criadas aleatoriamente para seus 
clientes, com seis dígitos, em que três, e somente três dígitos, são 
iguais e apareçam juntos, são suficientes? 
Para resolver problemas de contagem em que interessa-nos 
apenas quantos elementos são, e não necessariamente quais são 
esses elementos, como no caso dos problemas anteriores, é que 
foram criadas as técnicas de contagem. Estudaremos os seguintes 
métodos de contagem: princípio fundamental da contagem, 
permutação (simples e com repetição), arranjo e combinação. 
Ao campo da Matemática que se ocupa das técnicas de contagem 
chamamos de Análise Combinatória.
Antes, porém, do estudo dessas técnicas de contagem, 
convém conhecer e saber trabalhar com uma ferramenta 
matemática de relevante importância: o fatorial.
Fatorial de um número natural
Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (ou n 
fatorial), cuja representação é n!, por meio das relações:
1ª) Se n = 0, 0! = 1 (lê-se: o fatorial de zero é igual a um ou zero 
fatorial é igual a um);
2ª) Se n = 1, 1! = 1;
3ª) Se n ≥ 2, n! = n · (n – 1) · (n – 2) · . . . · 3 · 2 · 1 (produto dos 
n primeiros naturais positivos).
Exemplos:
A) 2! = 2 · 1 = 2
B) 3! = 3 · 2 · 1 = 6
 (note: 3 3 2 1
2
!
!
= ⋅ ⋅
 , ou seja, 3! = 3 · 2!)
C) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
 (note: 4 4 3 2 1
3
!
!
= ⋅ ⋅ ⋅ , ou seja, 4! = 4 · 3! e, também,
4! = 4 · 3 · 2!)
D) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
(note: 5! = 5 · 4!, 5! = 5 · 4 · 3! e 5! = 5 · 4 · 3 · 2!)
Em geral, se n é um número natural, da definição decorre que:
n! = n · (n – 1)!, para n ≥ 2;
n! = n · (n – 1) · (n – 2)!, para n ≥ 3;
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3)!, para n ≥ 4.
Aula
01
Exercícios Resolvidos
01. Simplifique as seguintes expressões:
A) 
12
11
!
!
12
11
12 11
11
12
!
!
!
!
= ⋅ =
B) 
n
n
+( )
+( )
5
3
!
!
n
n
n n n
n
n n
+( )
+( )
=
+( ) +( ) +( )
+( )
= + +
5
3
5 4 3
3
9 122!
!
!
!
C) 
8 6
9 8
! !
! !
+
−
8 6
9 8
8 7 6 6
9 8 7 6 8 7 6
6 56 1
6 504 56
57
4
! !
! !
! !
! !
!( )
!( )
+
−
=
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
+
−
=
448
D) 
4 8 1
1
⋅ + ⋅ −
− −
n n
n n
! ( )!
! ( )!
4 8 1
1
4 1 8 1
1 1
4
⋅ + ⋅ −
− −
= ⋅ ⋅ − + ⋅ −
− − −
=n n
n n
n n n
n n n
! ( )!
! ( )!
( )! ( )!
( )! ( )!
⋅⋅ − +
− −
= ⋅ +
−
( )![ ]
( )![ ]
[ ]n n
n n
n
n
1 2
1 1
4 2
1
02. Se n é um número natural, resolva a seguinte equação:
( )! ( )!
( )!
4 4 1
4
23
24
n n
n
− − =
Solução:
( )! ( )!
( )!
( )( )! ( )!
( )( )!
4 4 1
4
23
24
4 4 1 4 1
4 4 1
23
2
n n
n
n n n
n n
− − = ⇒ − − −
−
=
44
( )![ ]
( )( )!
[ ]
( )
4 1 4 1
4 4 1
23
24
4 1
4
23
24
96 24 92
n n
n n
n
n
n n
− −
−
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒
n = 6Resposta: S = {6}
Exercícios 
01. (EsPCEx) A solução da equação
3 1
4 3
182 2
2 2
!( )!
( )!
( )! !
( )!
x
x
x x
x
−
−
= − −
−
 é 
um número natural
A) maior que nove.
B) ímpar.
C) cubo perfeito.
D) divisível por cinco.
E) múltiplo de três.
02. (EsPCEx) Determine o algarismo das unidades da seguinte
soma S n
n
=
=
∑ !
1
2016
, em que n! é o fatorial do número natural n.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
90
MateMática ii
03. (UFF-RJ) O produto 20 · 18 · 16 · 14 · ... · 6 · 4 · 2 é equivalente a:
A) 
20
2
!
 D) 210 · 10!
B) 2 · 10! E) 
20
10
!
!
C) 
20
210
!
04. Resolve-se cem vezes a equação 1! + 2! + 3! + ... + n! = y2 no
conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100
a n. As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo:
A) [–8, 0] D) [–3, 5]
B) [–4, 1] E) [–5, –1]
C) [–2, 6]
05. (UFRJ) Considere a equação
6 12 18 24 300
50
216
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
!
n . 
O valor de n real, que verifica essa igualdade, é:
A) 
1
3
 D)
25
3
B) 
3
2
E)
50
3
C) 
15
2
06. Qual o menor valor do número natural n, tal que sen
n!
?
π
5 040
0




=
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
07. Simplificando a expressão (m + 1) · m! – m!, obtemos m · m!.
Como base nesse fato, podemos inferir que o valor da expressão 
S = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! + ... + 100 · 100! é:
A) 101!
B) 101! – 100
C) 101! + 100
D) 101! – 1
E) 101! + 1
08. (UFC) Seja n um número inteiro e positivo. Se (n!)2 = 14 400,
então n3 + n é igual a:
A) 130 C) 350
B) 222 D) 520
09. Se f n
n n
n
( ) =
−( ) ⋅
+( )
2 1
1
!
!
, então f(2 019) é igual a:
A) 
1
2 020
D) 2 019
B) 
1
2 017
E) 2 020
C) 2 018
10. (Fuvest) O valor de m na expressão 9 · (2m)! = 2m · m! · 1 · 3 ·
5 · 7 · ... · (2m + 1) é igual a:
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
11. Defina n
a
!, para n e a inteiros positivos, como n
a
! = n · (n – a) ·
(n – 2a) · (n – 3a) · ... · (n – ka), para todo k inteiro e positivo
e n > ka.
Então o quociente 72
18
8
2
!
!
 é igual a:
A) 45 D) 49
B) 46 E) 412
C) 48
12. (UFC) Dentre os cinco números a seguir, aquele que representa 
a melhor aproximação para a expressão: 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4!
+ 5 · 5! + 6 · 6! é:
A) 5 030 D) 5 058
B) 5 042 E) 5 070
C) 5 050
13. (Esc. Naval) Se a
n n
n n n
n = + −
− +
( )! !
[( )! !]
1
12
, então a
1997
 é:
A) 
1 997
1 996
D) 1 997
B) 
1
1 998 E) 1
C) 1 998!
14. (PUC-RS) A soma das raízes da equação (x + 1)! = x2 + x é:
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
15. Em quantos zeros termina 2 018!?
A) 504 D) 501
B) 503 E) 500
C) 502
Aula 02: 
Princípio fundamental da contagem 
(Princípio Multiplicativo)
Introdução
Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e bastante 
intuitiva é o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), que 
apresentaremos por meio de exemplos.
Exemplo 1:
Tenho 3 blusas – uma verde (V), uma azul (A) e uma branca 
(B) – e duas calças – uma preta (P) e uma branca (B). De quantas
maneiras diferentes posso me vestir?
V
P
A
B
B
Blusas Calças
Aula
02
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
91
MateMática ii
Maneiras de vestir-me:
(V, P); (V, B); (A, P); (A, B); (B, P) e (B, B).
Existem, portanto, 6 maneiras diferentes de vestir-me.
Note que para cada blusa escolhida, existem duas possibilidades 
para a escolha da calça (preta ou branca). Como são 3 blusas 
diferentes, tenho: 
3 · 2 = 6 maneiras diferentes de vestir-me.
Eis o que diz o princípio fundamental da contagem:
Observações:
“Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, 
sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um 
destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número 
de modos de realizar a ação é dado pelo produto m · n”.
No caso das ações com mais de duas etapas, o número 
de modos da ação ocorrer é o produto dos números de 
possibilidades das respectivas etapas.
No exemplo 1 anterior, a ação (vestir-se) é composta de duas 
etapas: a escolha da blusa (3 possibilidades) e a escolha da calça 
(2 possibilidades). Daí, pelo P.F.C., temos:
Blusas Calças
Possibilidades: 3 · 2 = 6 modos de vestir-me
Observações:
Caso tivéssemos que escolher, além da blusa e da calça, 
um par de tênis, dentre quatro pares possíveis, o número de 
vestimentas passaria a ser 3 · 2 · 4 = 24, pois, para cada um dos 
6 modos do exemplo 1 anterior, temos 4 possibilidades para a 
escolha do par de tênis (6 · 4 = 24).
Exemplo 2:
Uma igreja tem 7 portas. De quantas maneiras diferentes pode uma 
pessoa entrar por uma porta e sair por outra?
Comentários:
Temos, aqui, uma ação composta de duas etapas: a escolha da 
porta para entrar, com 7 possibilidades (a pessoa poderá entrar por 
qualquer uma das 7 portas), e a escolha da porta para sair, com 6 
possibilidades (a pessoa poderá sair por qualquer das portas, exceto 
a que usou para entrar).
Solução:
Utilizando o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), temos:
Entrar Sair
Possibilidades: 7 · 6 = 42
Resposta: 42 maneiras.
Exemplo 3: 
Quantos subconjuntos tem o conjunto A = {1, 3, 4}?
Comentários:
Formar um subconjunto de A é formar um conjunto em que cada 
um dos elementos de A (1, 2 e 3) pode ou não participar de sua 
formação. São, por exemplo, subconjuntos de A:
S
1
 = {1, 4}, onde 1 ∈ S
1
; 3 ∉ S
1
 e 4 ∈ S
1
S
2
 = {3}, onde 1 ∉ S
2
; 3 ∈ S
2
 e 4 ∉ S
2
S
3
 = {1, 3, 4}, onde 1 ∈ S
3
, 3 ∈ S
3
 e 4 ∈ S
3
S
4
 = ∅, onde 1 ∉ S
4
, 3 ∉ S
4
 e 4 ∉ S
4
Observe que cada elemento de A pode fazer parte ou não de um 
subconjunto de A. Assim, formar um subconjunto de A é uma ação 
composta de três etapas, cada etapa com duas possibilidades, pois A 
tem três elementos, e para cada elemento temos duas possibilidades: 
pertencer ou não pertencer ao subconjunto.
Solução:
Usando o princípio fundamental da contagem, temos:
Elemento 
1
Elemento 
3
Elemento 
4
Possibilidades: 2 · 2 · 2 = 23 = 8
Note:
Cada etapa tem duas possibilidades (o elemento pode pertencer 
ou não pertencer ao subconjunto).
Resposta: A tem 8 subconjuntos.
É fácil deduzir que se A tem n elementos, então ele terá, pelo P.F.C., 
2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
n vezes
n
   subconjuntos.
Em símbolos:
N(A) = n ⇒ N(P(A)) = 2n
(Leia: Se o número de elementos de A é igual a n, então 
o número de elementos do conjunto das partes de A é igual a 2
elevado a n.)
Nessa sentença, tem-se:
P(A): Conjunto das partes de A, ou seja, conjunto cujos elementos 
são os subconjuntos de A.
N(P(A)): Número de elementos do conjunto das partes de A ou 
número de subconjuntos de A.
Exemplo 4:
De quantas maneiras podemos colorir o seguinte mapa, utilizando 
somente 4 cores (azul, amarelo, verde e violeta), com a condição 
de que as províncias vizinhas tenham cores diferentes?
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
92
MateMática ii
Solução:
Chamando as províncias de A, B, C, D e E, temos:
1º Para pintar a primeira província (A), pode-se usar qualquer uma 
das 4 cores;
2° Para pintar a segunda província (B), só não se pode usar a cor 
utilizada na província A. As outras 3 podem;
3° Para pintar a terceira província (C), não se pode usar as cores 
utilizadas nas províncias A e B (vizinhas de C. As outras duas 
podem;
4° Para pintar a quarta província (D), não se pode usar as cores 
utilizadas nas províncias B e C, mas já se pode utilizar a cor da 
província A. Portanto, duas cores podem ser utilizadas em D;
5° Para pintar a quinta província (E), pode-se usar qualquer das quatro 
cores, exceto a cor da província D. Portanto, três cores podem 
ser utilizadas em D.
E
D
C
B
A
Então, pelo P.F.C., obtemos:
A C B D E 
Possibilidades: 4 · 3 · 2 · 2 · 3 = 144
Resposta: 144 maneiras diferentes.
Exemplo 5:
(UFC – Adaptada) Um número natural é divisível por 4 quando 
os seus dois últimos algarismos da direita (dezenas e unidades) 
formarem um número múltiplo de 4. Seja A o conjunto dos números 
inteiros positivos divisíveis por 4 e de cinco dígitos que se podem 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se n é o número de 
elementos de A, determine o valor de 
n
36
.
Solução:
Como o enunciadonão especificou, os algarismos de um elemento 
de A podem ser repetidos ou não. As possíveis terminações para um 
elemento de A são 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56 e 64 (múltiplos de 
4 com dois algarismos que podem ser formados com os algarismos 
dados, repetidos ou não). Daí, usando o princípio fundamental da 
contagem, temos:
* *
Possibilidades: 6 · 6 · 6 · 9 = 63 · 9
(**) , , , , , , , ,→ 12 16 24 32 36 44 52 56 64
9 possibilidades
  
Daí, A tem 63 · 9 elementos, ou seja, n = 63 · 9.
Portanto, 
n
36
6 9
6
6 9 54
3
2
= ⋅ = ⋅ =
Resposta: 54
Exercícios 
01. (EsPCEx) Para se ter acesso a um arquivo de computador, é 
necessário que o usuário digite uma senha de 5 caracteres, na 
qual os três primeiros são algarismo distintos, escolhidos de 
1 a 9, e os dois últimos caracteres são duas letras, distintas ou 
não, escolhidas dentre as 26 do alfabeto. Assim, o número 
de senhas diferentes, possíveis de serem obtidas por esse 
processo, é
A) 327650
B) 340704
C) 473805
D) 492804
E) 501870
02. (EsPCEx) Um grupo é formado por oito homens e cinco 
mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, 
conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres 
ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as 
posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser 
formadas obedecendo essas restrições?
2 65 81 43 7
figura ilustrativa – fora de escala
A) 56
B) 456
C) 40 320
D) 72 072
E) 8 648 640
03. (EsPCEx) Duas instituições financeiras fornecem senhas para 
seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos:
 1a instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos 
do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 
 2a instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, 
dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, 
seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto 
{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
 Para comparar a eficiência entre os métodos de construção 
das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi 
definida a grandeza “força da senha”, de forma que quanto 
mais senhas puderem ser criadas pelo método mais “forte” 
será a senha.
 Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação 
à 2a instituição, a senha da 1a instituição é
A) 10% mais fraca.
B) 10% mais forte.
C) de mesma força.
D) 20% mais fraca.
E) 20% mais forte.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
93
MateMática ii
04. (Efomm) O código Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835, é um sistema de representação que utiliza letras, 
números e sinais de pontuação através de um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, perturbações 
sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse trabalha com duas letras 
pré-estabelecidas, ponto e traço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras criadas é
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
05. (Efomm) Uma turma de alunos do 1º ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 e de 
10h30 às 12h. As matérias são Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos 
modos pode ser feito o horário dessa turma?
A) 9
B) 18
C) 36
D) 48
E) 54
06. (AFA) Um colecionador deixou sua casa provido de R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor lhe 
mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir.
• 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada miniatura;
• 3 diferentes miniatura de livros, custando R$ 1,00 cada miniatura;
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada miniatura.
 O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é
A) 15
B) 21
C) 42
D) 90
07. (AFA) Um baralho é composto por 52 cartas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). Cada naipe é constituído 
por 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 valete (J), 1 dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A)
 Ao serem retiradas, desse baralho, duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que 
a primeira carta seja de outros e a segunda não seja um ás é igual a
A) 612
B) 613
C) 614
D) 615
08. (Enem-PPL) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais 
caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. 
Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres 
devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.
 Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por:
A) 100 
B) 90 
C) 80
D) 25
E) 20
09. (Unicamp) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro 
algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234 ABCD 123
 Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo 
de placas em vigor seria:
A) inferior ao dobro.
B) superior ao dobro e inferior ao triplo.
C) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
D) mais que o quádruplo.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
94
MateMática ii
10. (Enem) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, 
cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver 
mais pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma atribuída 
pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a 
divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quesitos 1. Fantasia e Alegoria
2. Evolução e 
Conjunto
3. Enredo e 
Harmonia
4. Bateria
Total
Jurado A B A B A B A B
Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55
Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66
Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50
Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68
Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54
 Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B, no quesito Bateria, tornariam campeã a Escola II?
A) 21 
B) 90 
C) 750
D) 1 250
E) 3 125
11. Um mágico se apresenta em público, vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões 
com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
A) 24 
B) 11 
C) 12
D) 10
E) 8
12. (Enem) Um banco solicitou, aos seus clientes, a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, 
para acesso à conta-corrente pela Internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou, à direção 
do banco, recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora 
o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de 
sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema 
de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
 O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
A) 
62
10
6
6
 
B) 
62
10
!
!
 
C) 
62 4
10 56
! !
! !
D) 62! – 10!
E) 626 – 106
13. (Enem) “O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O 
sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição 
de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o 
branco são identificadospor pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os 
símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas 
são claras ou escuras.”
Folha de São Paulo. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br>. 
Acesso em: 18 fev. 2012 Adaptado.
 De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? 
A) 14 D) 21
B) 18 E) 23
C) 20
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
95
MateMática ii
14. (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro 
ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 
5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos 
personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. 
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por 
qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
 Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é 
sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre 
distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser 
sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver 
correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. 
 O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
15. (Enem) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos 
no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos 
em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em 
relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por:
 O número total de caracteres que podem ser representados no 
sistema Braile é:
A) 12 D) 63
B) 31 E) 720
C) 36
Aula 03: 
Permutação simples e permutação
com repetição
Introdução
Teoricamente, todo problema de análise combinatória pode 
ser resolvido usando-se apenas o princípio fundamental da contagem. 
Entretanto, o conhecimento antecipado dos resultados de alguns 
problemas, que surgirão com relativa frequência, será providencial, 
facilitando as resoluções de outros problemas mais sofisticados.
Vejamos, agora, alguns problemas que vale a pena você 
conhecer seus resultados.
Permutação simples (problema das filas 
formadas por nn objetos distintos)
De quantos modos podemos colocar, em fila, 4 pessoas?
Para ocupar o primeiro lugar na fila, temos 4 possibilidades; 
para o segundo lugar, 3 possibilidades; para o terceiro, 2; e para o 
quarto e último lugar, 1 possibilidade. Daí, usando o P.F.C., temos:
4 · 3 · 2 · 1 = 4! filas (24 filas)
De modo análogo, com n objetos distintos, podemos formar 
n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 = n! filas diferentes. As filas formadas são 
agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) e são chamadas de 
permutações simples dos n objetos. O número total de permutações 
(de filas) é indicado por:
P
n
 = n! (lê-se: permutação de n)
Aula
03
Saiba: 
Permutar n objetos, na prática, significa colocá-los em fila 
e fazer todas as trocas possíveis nas posições, significa obter todas 
as filas possíveis.
Com o conhecimento do resultado do número de permutações 
simples, podemos resolver facilmente problemas, tais como:
Exemplo 1:
“Anagrama de uma palavra é um rearranjo das letras que a 
compõem, fazendo sentido ou não. Quantos são os anagramas 
da palavra VESTIBULAR que começam por VES ou VIS e terminam 
por vogal?”
Solução:
Para o grupo formado pelas três primeiras letras, temos 
2 possibilidades (VES ou VIS). Escolhidas as três primeiras letras, 
sobram sempre três vogais para escolhermos uma e colocarmos 
na última posição (U, A, E, se VIS foi usado, ou U, A, I, se VES foi 
usado). Para as outras 6 letras, temos P
6
 = 6! = 720 possibilidades. 
Daí, pelo P.F.C., temos 2 · 3 · P
6
, ou seja, 2 · 3 · 6! = 4 320 
anagramas, começando por VES ou VIS e terminando por vogal. 
Exemplo 2:
“Quantas filas diferentes podemos formar com 8 pessoas, se três 
delas, Raquel, Júlia e Tomás, não podem ficar juntas (as três)?
Solução: 
Temos um total de P
8
 = 8! filas, os três ficando juntos ou não. 
Agora, supondo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só pessoa, 
o número de maneiras deles ficarem juntos é P
3
 = 3!, e o número 
de modos de acomodar os seis elementos (o grupo RJT e as outras 
5 pessoas) na fila é P
6
 = 6!. Pelo P.F.C., temos 3! · 6! filas, em que os 
três ficam juntos. Daí, temos 8! – 3! · 6! = 40 320 – 4 320 = 36 000 
filas, em que os três não ficam juntos.
Esquematizando:
R J T E E E E E
P
P total de filas, , , , , , , ! (1 2 3 4 5 8
8
8 40 320   ⇒ = = ))
RJT E E E E E P P
P
P
3
1 2 3 4 5
6
3 6 3 6 4 320

  , , , , , ! !⇒ ⋅ = ⋅ = (filas com os três 
juntos).
40 320 – 4 320 = 36 000 (filas em que os três não ficam juntos)
Permutação com repetição (problema das 
filas formadas por n objetos, sendo alguns 
repetidos)
De quantos modos podemos colocar 7 bolas de sinuca 
em fila, sendo todas distintas, exceto três delas que são 
idênticas?
Solução:
Se as bolas fossem todas diferentes, teríamos 7! filas. 
Para qualquer uma dessas filas, se permutarmos apenas as 
bolas idênticas, temos 3! filas repetidas, ou seja, para cada 3! 
filas, devemos contar apenas uma. Daí, o número correto de 
filas é 
7
3
840
!
!
= .
A solução desse problema é uma permutação de 7 objetos, 
com repetição de 3, cuja representação é P7
3 7
3
= !
!
 . Se fossem 10 
bolas diferentes apenas nas cores, sendo 4 azuis, 3 vermelhas, 
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
96
MateMática ii
2 verdes e 1 amarela, a solução seria uma permutação de 10 objetos, 
com repetição de 4, 3 e 2, cuja representação é P10
4 3 2 10
4 3 2
, ,
! ! !
=
⋅ ⋅
. 
(Note que 1! =1 não é necessário usar.)
Em geral, o número de permutações de n objetos, dos quais 
a
1
 são iguais a X
1
, a
2
 são iguais a X
2
 , a
3
 são iguais a X
3
 , ..., a
K
 são 
iguais a X
k
 , é dado por:
P
n
n
k
kα α α α
α α α α
1 2 3
1 2 3
, , ,..., !
! ! ! ... !
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Com o conhecimento do resultado do número de 
permutações de n objetos, com repetição, podemos resolver 
facilmente problemas, tais como:
Exemplo 1:
“Quantos são os anagramas da palavra PAPAGAIO que apresentam 
as vogais em ordem alfabética?”
Solução:
O número total de anagramas é P8
3 2 8
3 2
, !
! !
=
⋅
 = 3 360. Para cada 
um desses anagramas, permutando n só as vogais (A, A, A, I, O), 
temos P5
3 5
3
20= =!
!
 sequências diferentes de vogais, ou seja, para 
cada 20 anagramas da palavra PAPAGAIO somente um tem as vogais 
em ordem alfabética. Daí, o número procurado de anagramas é 
P
P
8
3 2
5
3
8
3 2
5
3
3 360
20
168
,
!
! !
!
!
.= ⋅ = =
Exemplo 2:
“De quantos modos diferentes podemos distribuir 4 copos de suco 
de laranja, 3 copos de suco de manga e 2 copos de suco de caju 
entre 11 crianças, ficando duas delas sem suco?”
Solução: 
Seja V um copo vazio. A sequência LLLLMMMCCVV, em que cada 
letra está representando um copo do respectivo suco, é uma maneira 
de fazer a distribuição. É só imaginar um copo (uma letra) em frente 
a cada criança. Deixando as crianças fixas e permutando os copos 
(as letras), temos todos os modos possíveis de fazer a distribuição.
O número procurado é, portanto, P11
4 3 2 2 11
4 3 2 2
, , , !
! ! ! !
=
⋅ ⋅ ⋅
, ou seja, 
11 10 9 8 7 6 5 4
4 3 2 2 2
69 300
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
!
!( )
.
Exemplo 3:
Um terreno foi dividido em 30 quadrados de lado 1 metro, conforme 
figura seguinte. Uma pessoa encontra-se no ponto A e somente é 
permitido a essa pessoa se deslocar sobre os lados dos quadrados 
ou pelas suas diagonais. Quantos trajetos mínimos existem para 
essa pessoa chegar até ao ponto B, se:
A) ela não andou por nenhuma diagonal?
B) ela não andou por nenhuma diagonal e passou por C?
C) ela andou pelas diagonais de4, e somente 4, quadrados de lado 
1 metro?
A
B
C
Resolução: 
Um trajeto mínimo de A até B, sem andar pelas diagonais, deverá 
ter 5 movimentos para leste (L) e 6 movimentos para norte (N). 
Daí, temos:
A) De A até B, sem passar por diagonal, um possível trajeto mínimo 
pode ser:
 LLLLLNNNNNN.
 Qualquer permutação desses 11 elementos gera um novo trajeto 
mínimo possível. Logo, temos:
 
P11
5 6 11
5 6
11 10 9 8 7
5 4 3 2
11 3 2 7
1
462, !
! !
.= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
=
B) De A até C e de C até B, temos, respectivamente:
 LLLNNNN P trajetos m nimos⇒ = = ⋅ ⋅
⋅
=7
3 4 7
3 4
7 6 5
3 2
35, !
! !
í e 
 LLNN P⇒ = = ⋅ =4
2 2 4
2 2
4 3
2
6, !
! !
 trajetos mínimos.
 Assim, pelo princípio fundamental da contagem, existem 
35 · 6 = 210 trajetos mínimos de A até C, passando por C.
C) Andando por exatamente 4 diagonais (D), um possível trajeto 
mínimo de A até B, passando ou não por C, pode ser:
 DDDDLNN.
 Qualquer permutação desses 7 elementos gera um possível 
trajeto. Daí, temos:
 
P trajetos7
4 2 1 7
4 2 1
7 6 5
2
105, , !
! ! !
.=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
Resposta: A) 462 B) 210 C) 105
Permutação Circular e o Uso da 
Permutação na Resolução de Problemas 
Diversos
De quantos modos distintos podemos formar uma mesa de 
buraco com 4 pessoas?
Solução:
Se fossem filas, teríamos 4! = 24 filas distintas. Na mesa de 
buraco, no entanto, o que importa é a posição relativa dos 
jogadores entre si.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
97
MateMática ii
A
B
C
D
Na mesa formada acima, por exemplo, saindo de qualquer jogador 
(letra) e escolhendo um sentido para girar (horário), temos 4 filas: 
(ABCD), (BCDA), (CDAB) e (DABC). Note que, nessas filas, existem 
4 possibilidades para começar, mas uma vez iniciada a fila, as outras 
letras já ficam determinadas. Portanto, para cada 4 filas diferentes, 
devemos contar uma única formação para se jogar buraco. Sendo 
assim, o número de mesas formadas é 
4
4
3 6
!
!= = .
Observações:
Na mesa da figura anterior, a fila obtida saindo de A e 
girando no sentido horário (ABCD) e a fila obtida saindo de 
A e girando no sentido anti-horário (ADCB) são formações 
diferentes para se jogar buraco. Note:
Para a fila (ABCD): A recebe cartas de D, B recebe 
cartas de A, C recebe cartas de B e D recebe de C. 
Para a fila (ADCB): A recebe cartas de B, B recebe 
cartas de C, C recebe cartas de D e D recebe de A.
Cada uma das 6 formações obtidas é chamada 
de permutação circular de 4 elementos, e o número de 
permutações circulares de 4 elementos, quando contadas 
em um só sentido, é dado por:
( )
!
!PC 4
4
4
3= =
Caso o sentido fosse indiferente, o número de 
permutações circulares se reduziria à metade do anterior, 
pois as 4 filas seriam contadas também na ordem inversa:
( )
! !
PC 4
4
4 2
3
2
=
⋅
=
De modo geral, o número de permutações circulares de 
n objetos, se consideradas equivalentes disposições que possam 
coincidir por rotação, é dado por:
(PC) = n
n
n
n
!
( )!= −1
Com o conhecimento do resultado do número de 
permutações circulares de n objetos, podemos resolver facilmente 
problemas tais como:
Exemplo 1:
“Quantas rodas de ciranda podemos formar com 5 crianças”?
Uma vez que a roda de ciranda gira, o que importa é a posição 
relativa das crianças entre si e não o lugar que cada criança ocupa. 
Logo, a resposta é: (PC)
5
 = (5 – 1)! = 4! = 24
Resposta: 24.
Exemplo 2:
“De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 4 meninos 
e 4 meninas, de modo que os meninos e as meninas se alternem?”
Solução: 
Colocando primeiramente as mulheres (M
1
, M
2
, M
3
, M
4
) na roda, 
temos (PC)
4
 = (4 – 1)! = 6 modos de fazer isto. Entre cada duas 
mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar 
o primeiro homem (H
1
) na roda existem 4 possibilidades; para 
o segundo, 3; para o terceiro, 2 e para o quarto, 1, ou seja, 
existem P
4
 = 4! = 24 maneiras de dispor os 4 homens em uma as 
mulheres. Note que colocando-se os 4 homens numa certa posição 
possível entre as mulheres já dispostas, qualquer permutação 
que se faça entre os homens, muda-se a posição relativa entre os 
elementos do grupo, muda-se a roda. Assim, pelo P.F.C., existem 
(PC)
4
 · P
4
 = 3! · 4! = 6 · 24 = 144 rodas de ciranda possíveis.
Exercícios Resolvidos
01. Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação 
x + y + z + w = 10?
 Resolução:
 Representando uma unidade por um traço vertical (|), duas 
possíveis soluções inteiras não negativas podem ser:
 ||| + | + ||||+ || ⇒ ( 3, 1, 4, 2)
 + + |||||||||| + ⇒ (0, 0, 10, 0)
 Note que qualquer permutação desses 13 objetos, com 
repetição de 10 traços e 3 sinais +, gera uma solução inteira 
não negativa. Logo, temos:
 
P13
10 3 13
10 3
13 12 11
3 2
286, !
! !
= = ⋅ ⋅
⋅
=
 Resposta: 286
02. Um supermercado vende café em pó em pacotes, de cinco 
marcas diferentes, mas de mesma massa. De quantas 
maneiras distintas podemos comprar 8 desses pacotes, nesse 
supermercado?
A) 120 
B) 245 
C) 380
D) 495
E) 550
Resolução:
 Sendo x
1
, x
2
, x
3
, x
4
 e x
5
 as quantidades de pacotes de café das 
marcas 1, 2, 3, 4 e 5 comprados, respectivamente, devemos 
ter:
 x
1
 + x
2
 + x
3
 + x
4
 + x
5
 = 8, onde qualquer x
i
 é inteiro não negativo. 
Representando um pacote de café por um traço, duas possíveis 
compras podem ser:
|| + | + | + | + ||| ⇒ (2, 1, 1, 1, 3)
+ + |||||| + + || ⇒ (0, 0, 6, 0, 2)
 Note que qualquer permutação desses 12 elementos, com 
repetição de 8 traços e 4 sinais +, representa uma possível 
compra. Daí, temos:
P12
8 4 12
8 4
12 11 10 9
4 3 2 1
495, !
! !
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
Resposta: D
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
98
MateMática ii
03. Quantas soluções inteiras positivas tem a equação x + y + z + w = 10?
Comentário:
 Considere o gráfico seguinte representando a solução (2, 3, 4, 1) 
da equação:
 ⇒ + + + ⇒2 3 4 1
x y z w
    (2, 3, 4, 1)
 Se permutarmos esses 13 elementos com repetição de 10 e 3, 
encontraremos soluções com valores nulos, como a solução 
(0, 0, 2, 8) representada a seguir:
 ⇒ + + + ⇒0 0 2 8
x y z w
    (0, 0, 2, 8)
 Acontece, porém, que x, y, z, w não podem ser nulos: devem 
ser inteiros positivos. Assim: P13
10 3 13
10 3
286, !
! !
=
⋅
= é o número 
de soluções inteiras não negativas (inclui o zero) da referida 
equação, e não o número de soluções inteiras positivas como foi 
pedido. Para o cálculo do número de soluções inteiras positivas, 
como foi pedido, usaremos outra ideia. Veja a seguir.
 Solução:
 Considerando os 10 pontos seguintes como sendo as 10 
unidades do segundo membro da equação, ficamos com 9 
espaços entre eles:
 = 10 
 Para cada 3 espaços escolhidos, dentre os 9 possíveis, 
colocando-se os três sinais de mais (+) neles, respectivamente, 
temos uma solução inteira positiva para a equação dada. 
Assim, o número de soluções inteiras positivas é igual ao 
número de modos de escolher três dos 9 espaços. Note que 
uma vez colocados três sinais mais (+) nos espaços, permutando 
somente esses sinais, a solução da equação não se altera. 
O número de soluções inteiras positivas da equação é, portanto, 
C9 3
9
3 9 3
9 8 7 6
6 6
84,
!
! ( )!
!
!
=
⋅ −
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
= .
04. Quantas são as sequências crescentes (a, b, c) com a, b, c 
distintos, dois a dois não consecutivos, e pertencentes a 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
 Solução:
 Considerando os elementos de A na ordem apresentada e, para 
cada sequência procurada, admitindo o zero (0) para representar 
um elemento de A não escolhido e o um (1) para representar 
um elemento escolhido, temos uma correspondência biunívoca 
(correspondência um a um) entre as sequências procuradas e 
as sequências formadas com zeros e uns. Veja exemplos:
 (1, 4, 7) ⇔ 1001001
 Note: O 1, 4 e 7 foram escolhidos, nas posições deles, no 
conjunto A, colocam-se 1. Já o 2, 3, 5 e 6 não foram escolhidos; 
nas posições deles, no conjunto A, colocam-se 0.
 (2, 5, 7) ⇔ 0100101
 (2, 4, 6) ⇔ 0101010
 Contar as sequências crescentes,sem números consecutivos, 
equivale a contar quantas sequências de 4 zeros e três uns 
podemos formar, sem que haja uns seguidos. Considere:
 Quantidade de zeros que antecedem o primeiro 1: x
1
 ≥ 0
 Quantidade de zeros entre o primeiro e o segundo 1: x
2
 > 0
 Quantidade de zeros entre o segundo e o terceiro 1: x
3
 > 0
 Quantidade de zeros após o terceiro 1: x
4
 ≥ 0
 (Note: podemos ter ou não zeros antes do primeiro 1 ou após 
o último 1, por isso x
1
 e x
4
 são maiores ou iguais a zero).
 Assim, devemos ter:
 Quantidade de zeros = x x x x1
0
2
1
3
1
4
0
4
≥ ≥ ≥ ≥
+ + + =    (quantidade de 
números não escolhidos)
 Daí, obtemos:
 x
1
 + (x
2
 – 1) + (x
3
 – 1) + x
4
 = 4 – 2 ⇔ x
1
 + x’
2
 + x’
3
 + x
4
 = 2, onde 
x’
2
 = x
2
 - 1 ≥ 0 e x’
3
 = x
3
 - 1 ≥ 0.
 Com isso, o número de sequências com zeros e uns, sem uns 
seguidos, é igual ao número de soluções inteiras não negativas 
da equação x’
1
 + x
2
 + x
3
 + x’
4
 = 2. Para contar esse número de 
soluções, considere como soluções:
 |+++| ⇔ 1 + 0 + 0 + 1 = 2
 +|+|+ ⇔ 0 + 1 + 1 + 0 = 2
 Qualquer permutação desses 5 elementos com repetição de 
três e dois (dois traços e três sinais +) gera uma, e apenas uma, 
solução não negativa da equação. Logo, o número de soluções 
não negativas da equação será:
P5
3 2 5
3 2
, !
! !
=
⋅
Ou, se preferir, imagine cinco posições:
_ _ _ _ _
 Dentre essas cinco posições, escolha três para colocar os três 
sinais + (os dois espaços que sobram já ficam determinados 
para os traços)
 Daí, temos C5 3
5
3
5
3 2
,
!
! !
= 


 =
⋅
 Logo, o número de soluções inteiras não negativas da equação 
é: P5
3 2 5
3
5
3 2
10, !
! !
= 


 =
⋅
=
 Isso mostra que existem 10 sequências crescentes (a, b, c), com 
a, b, c, distintos e pertencentes a A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, tais 
que a, b, c são dois a dois não consecutivos.
Exercícios 
01. (Efomm) Quantos anagramas é possível formar com a palavra 
CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas nem duas 
consoantes consecutivas?
A) 24
B) 120
C) 480
D) 1920
E) 3840
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
99
MateMática ii
02. (EsPCEx) Um conjunto contém 5 números inteiros positivos 
e 6 números inteiros negativos. Os valores absolutos destes 
11 números são primos distintos. A quantidade de números 
positivos distintos que podem ser formados pelo produto de 3 
destes números é
A) 25
B) 70
C) 85
D) 120
E) 210
03. (EsPCEx) Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina 
diferente, devem ser posicionados lado a lado em uma 
estante, de forma que os livros de Física, de Química e de 
Matemática estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O 
número de maneiras diferentes em que esses livros podem ser 
posicionados é
A) 720
B) 1440
C) 2160
D) 2880
E) 5040
04. (EsPCEx) Se todos os anagramas da palavras ESPCEX forem 
colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, 
nessa ordenação, a posição
A) 144
B) 145
C) 206
D) 214
E) 215
05. (EsPCEx) Permutam-se, de todas as forma possíveis, os 
algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim 
formados em ordem crescente. A soma de todos os números 
assim formados é igual a
A) 1 000 000
B) 1 111 100
C) 6 000 000
D) 6 666 000
E) 6 666 600
06. (EsPCEx) Da análise combinatória, pode-se afirmar que
A) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados 
por três algarismo, é igual a 80.
B) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos 
distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 
é igual a 24.
C) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as 
vogais juntas é igual a 60.
D) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez 
cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão 
sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90.
E) a quantidade de funções injetoras definidas em A = {1, 3, 5} 
com valores em B = {2, 4, 6, 8} é igual a 24.
07. (Efomm) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE 
que não possui vogais juntas é
A) 40320
B) 38160
C) 37920
D) 7200
E) 3600
08. (AFA) Para evitar que João acesse sites não recomendados na 
Internet, sua mãe quer colocar uma senha no computador 
formada apenas por m letras A e também m letras B (sendo 
m par). Tal senha, quando lida da esquerda para a direita ou 
da direita para a esquerda, não deverá se alterar (Ex.: ABBA).
 Com essas características, o número máximo de senhas distintas 
que ela poderá criar, para depois escolher uma, é igual a
A) 
2m
m m
( )!
! !
 C) 
2
2
3
2
m
m m
( )








!
! !
B) 
m
m m
!
! !
2 2








 D) 
m
m m
!
! !
2 2








09. (AFA) Em uma sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 alunas. 
Para uma determinada atividade, o professor deverá escolher 
um grupo formado por 3 dessas alunas e 3 dos alunos. Em 
seguida, os escolhidos serão dispostos em círculo de tal forma 
que alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá 
ocorrer de n maneiras distintas.
 O número n é igual a
A) 24 000 C) 400
B) 2400 D) 200
10. (AFA) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis 
carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 branco. Considerando 
que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão 
somente pela cor dos carros, o total de possibilidades de os 
seis carros ocuparem as dez vagas é igual a
A) 12.600 C) 21.600
B) 16.200 D) 26.100
11. (AFA) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais em 3 caixas 
diferentes. Sabendo-se que nenhuma delas ficou vazia, a 
probabilidade de uma caixa conter, exatamente, 4 bolas é
A) 25% C) 40%
B) 30% E) 48%
12. (Uema) Uma professora de educação infantil de uma escola, 
durante a recreação de seus 6 alunos, organiza-os em círculos 
para brincar. Considere a seguinte forma de organização dos 
alunos, pela professora: são três meninas e três meninos e 
cada menina ficará ao lado de um menino, de modo alternado. 
As possibilidades de organização dos seus alunos são: 
A) 4 
B) 6 
C) 9 
D) 12 
E) 16 
13. Em uma reunião de 8 países (EUA, Canadá,
Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e 
França) , dese ja-se acomodar os 8 
representantes de governo em torno de uma 
mesa em forma de octógono regular (figura 
ao lado). De quantos modos posso dispô-los, 
se os representantes dos EUA, Canadá e 
Inglaterra devem sentar-se sempre juntos?
A) 720
B) 120
C) 4320
D) 5040
E) 1440
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
100
MateMática ii
14. (UFRJ) Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens deve 
ocupar as 8 cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. 
O grupo deve ser acomodado de modo que cada homem 
sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo 
de pessoas; entretanto, por motivos de ordem estritamente 
pessoal, não podem sentar-se lado a lado. Duas acomodações 
das pessoas, ao redor da mesa, são consideradas diferentes 
quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo 
vizinho à direta, nas duas acomodações. Determine o número 
de diferentes acomodações possíveis dessas oito pessoas ao 
redor da mesma circular.
A) 36 
B) 48
C) 54
D) 64
E) 72
15. (UnB) Três funcionários da agência 1, quatro funcionários da 
agência 2 e dois funcionários da agência 3 participam de uma 
reunião em que pessoas de uma mesma agência sempre sentam 
juntas. Nessa situação, o número de maneiras distintas que esse 
grupo de pessoas pode sentar ao redor de uma mesa redonda 
com 9 assentos é:
A) 576 B) 288
C) 1728 D) 24
E) 864
Aula 04: 
Arranjos simples e combinações simples
Introdução
É importante, antes de iniciarmos os estudos relativos a 
arranjo e combinação, entendermos que dois conjuntos são iguais 
quando todos os elementos de um são também elementos do 
outro, e vice-versa, independentemente da ordem dos elementos 
nesses conjuntos. Já duas sequências somente serão iguais se elas 
apresentarem, ordenadamente, os mesmos elementos. Em outras 
palavras, duas sequências ordenadas iguais, além de apresentarem 
os mesmos elementos, estes devem ocupar, respectivamente, ordens 
(posições) iguais. Por exemplo, os seis conjuntos{1, 3, 6}, {1, 6, 3}, {3, 
1, 6}, {3, 6, 1}, {6, 1, 3} e {6, 3, 1} são um mesmo conjunto. Assim, se 
vamos contá-los, devemos considerá-los apenas um conjunto (um 
grupo). Já as seis sequências ordenadas (1, 3, 6), (1, 6, 3), (3, 1, 6), 
(3, 6, 1), (6, 1, 3) e (6, 3, 1) são todas diferentes uma das outras. 
Se vamos contá-las, devemos considerá-las 6 grupos ordenados 
distintos. 
Estando, por exemplo, interessado em contar as 
filas que podemos formar utilizando sempre as mesmas 3 
pessoas ou a quantidade de números que podemos formar, 
utilizando sempre os mesmos 3 algarismos, a ordem com que 
as pessoas ou algarismos aparecem é relevante, isto é, muda-se 
a fila ou o número, mudando apenas a ordem dos elementos. 
O interesse, nesse caso, está em contar sequências ordenadas, 
devendo contar os arranjos.
Estando, por exemplo, interessado em contar comissões ou 
subconjuntos, a ordem com que as pessoas ou elementos aparecem 
não é relevante, isto é, não muda-se a comissão ou subconjunto, 
mudando-se a ordem dos elementos. O interesse, nesse caso, está 
em contar subconjuntos, devendo contar as combinações.
Aula
04
Números de arranjos simples (problema das 
filas de k pessoas, escolhidas dentre n pessoas 
possíveis)
“Considere 7 pessoas. Quantas são as filas distintas 
formadas com 4 dessas pessoas?” 
Solução:
Para o primeiro lugar na fila, temos 7 possibilidades; para a 
segunda posição, 6; para a terceira, 5; e para a quarta e última posição, 
4 possibilidades. Assim, pelo P.F.C., temos 7 · 6 · 5 · 4 = 840 filas.
Agora, observe que 7 6 5 4
7 6 5 4 3 2 1
3 2 1
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
, isto é, o número 
de filas formadas com 4 pessoas, escolhidas dentre 7 pessoas 
possíveis, é 
7
7 4
!
( )!
.
−
Cada uma dessas filas é uma sequência ordenada (diferem 
pela ordem) e é chamada de arranjo de 7 elementos, tomados 
4 a 4. Pelo exposto, o número de arranjos de 7 elementos, tomados 
4 a 4, é igual a 840 e pode ser calculado em função do número de 
pessoas dadas (7) e do número de pessoas em cada fila (4). Esse 
número de arranjos é dado por:
A7 4
7
7 4
840,
!
( )!
=
−
=
De modo geral, dado um conjunto com n elementos 
distintos, qualquer sequência ordenada de k elementos distintos, 
escolhidos dentre os n elementos dados, é chamada de “arranjo 
dos n elementos, tomados k a k”, e o número desses arranjos é 
dado por:
A
n
n k
n k,
!
( )!
=
−
Leia: arranjo de n, k a k. 
Entenda: “Nº de filas formadas com k elementos distintos, 
escolhidos dentre n possíveis”.
Números de combinações simples (problema 
das comissões de k pessoas, escolhidas dentre 
n pessoas possíveis)
“Considere 7 estudantes de uma mesma turma. Para 
representar a turma perante a direção do colégio, quantas são as 
comissões possíveis, formadas com 4 desses estudantes?
Solução:
Inicialmente, perceba que as comissões {Maria, João, Pedro, Ivo} e 
{Pedro, Ivo, João, Maria} são uma mesma comissão, pois conta-se 
apenas uma. Logo, queremos contar subconjuntos. Se quiséssemos 
contar sequências ordenadas (filas) de 4 elementos, escolhidos dentre 
7 possíveis, encontraríamos A7 4
7
7 4
,
!
( )!
=
−
 = 840 filas. Acontece, 
porém, que uma vez escolhidos quatro estudantes dentre os 
7 possíveis, com esses mesmos quatro estudantes podem-se formar 
P
4
 = 4! = 24 filas distintas (sequências ordenadas). Isso nos diz 
que, para cada 24 sequências ordenadas (as que têm os mesmos 
4 elementos), conta-se apenas uma comissão (um subconjunto). 
Daí, o número correto de comissões com 4 estudantes, escolhidos 
dentre 7 possíveis, que podem ser formadas é 
840
24
35= .
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
101
MateMática ii
Agora, observe que:
35
840
24
7
7 4
4
7
7 4
1
4
7 4
4
= = = − =
−
⋅
A
P
isto Ø,
!
( )!
!
!
( )! !
, , isto é, o número de 
comissões (subconjuntos) formadas com 4 pessoas, escolhidas 
dentre 7 pessoas possíveis, é 
7
4 7 4
!
!( )!−
De modo geral, dado um conjunto com n elementos 
distintos, qualquer subconjunto de k elementos distintos, escolhidos 
dentre os n elementos dados, é chamado de “combinação dos 
n elementos, tomados k a k”, e o número dessas combinações 
é dado por:
C
n
k
n
k n k
n k,
!
!( )!
= 


 =
−
Leia: “combinação de n, p a p” ou “n escolhe p”. 
Entenda: “Nº de comissões formadas com k elementos distintos, 
escolhidos dentre n possíveis”.
Com o conhecimento dos resultados do número de arranjos e do 
número de combinações de n objetos, tomados k a k, podemos 
resolver facilmente problemas, tais como:
Exemplo 1:
Um representante comercial sai de Fortaleza (F) com destino a 
Maceió (M) para divulgação de um novo produto. No entanto, 
antes de chegar a Maceió, ele deve passar por três outras cidades, 
escolhidas dentre as cinco A, B, C, D, E, e divulgar, também nessas, 
o novo produto de sua empresa. Sabendo que duas quaisquer das 
cidades mencionadas têm ligação direta entre si, quantos são os 
roteiros possíveis que esse representante comercial poderá seguir?
Solução:
Fixando a cidade de saída (F) e a de chegada (M) que já 
estão determinadas, o número de roteiros diferentes é o número 
de maneiras diferentes de se escolher as outras três, dentre as cinco 
dadas, levando em conta que, mudando a ordem das cidades, 
muda-se o roteiro. Note que os roteiros (F, A, B, C, M) e (F, C, B, 
A, M), por exemplo, apesar de passarem pelas mesmas cidades, 
são diferentes. O número de roteiros é o número de arranjos de 5 
cidades, tomadas 3 a 3: A5 3
5
5 3
5 4 3 60,
!
( )!
=
−
= ⋅ ⋅ =
Esquematizando:
F M A
Fixo
A
Fixo
  

,___,___,___,
!
( )!
,
,
5 3
5 3
5
5 3
60⇒ =
−
=
Saiba: 
“Usar o número de arranjos equivale a escolher todos os 
grupos possíveis e permutar seus elementos ao mesmo tempo.”
A solução também poderia ser:
O número de maneiras de se escolher as três cidades 
é C5 3
5
3
5
3 5 3
5 4
2
10,
!
!( )! !
=




=
−
= ⋅ = ; e para cada três cidades 
escolhidas, temos P
3
 = 3! = 6 roteiros diferentes. Logo, o número 
de roteiros é 10 × 6 = 60.
Uma terceira solução, usando exclusivamente o P.F.C., seria:
F M
Fixo Fixo
  

, ____ ,____ ,____ ,
↓ ↓ ↓
Possibilidades: 5 × 4 × 3 = 60
Exemplo 2:
Fábio, Marcos, Cleiton, Érick, Jonas, Lucas, Ligeirinho e Vagaroso 
classificaram-se para a grande final da prova dos 100 metros rasos 
que está sendo disputada entre os alunos das escolas públicas 
e privadas de certo bairro de Fortaleza. Segundo a imprensa 
especializada no assunto, “os oito classificados são igualmente 
favoritos, mas como não pode haver empate, a ordem de 
classificação vai ser decidida nos detalhes, e isso só o tempo dirá”. 
Sabendo que somente serão premiados os três primeiros colocados, 
recebendo R$ 1 000,00, R$ 600,00 e R$ 200,00, respectivamente, 
de quantas formas possíveis poderá ocorrer a classificação 
dos premiados? Dessas, em quantas Vagaroso será premiado? 
Em quantas Ligeirinho receberá R$ 1 000,00?
Solução:
Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas, mudando a 
ordem entre elas, muda-se a classificação, o número de classificações 
possíveis é um número de arranjos.
i) O número de classificações para os três primeiros lugares é 
o número de arranjos de 8 atletas, tomados 3 a 3, ou seja, 
A8 3
8
8 3
8 7 6 336,
!
( )!
=
−
= ⋅ ⋅ = .
 Esquematizando:
 
1 2 3
8
8 3
336
8 3
8 3º , º , º
!
( )!
,
,lugar lugar lugar A
A
  
⇒ =
−
=
 A solução desse item também poderia ser: 
 O número de modos de se escolher os três classificados dentre 
os oito possíveis é C8 3
8
3
8
3 8 3
8 7 6 5
3 5
56,
!
!( )!
!
! !
=




=
−
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ; e para 
cada um desses grupos, temos P
3
 = 3! = 6 classificações distintas. 
Daí, pelo P.F.C., temos 56 × 6 = 336 classificações para os três 
primeiros lugares.
 Podemos também resolver esse item usando exclusivamente o 
P.F.C. Veja:
 
1 2 3º , º , ºlugar lugar lugar
↓ ↓ ↓
Possibilidades: 8 × 7 × 6 = 336
ii) Supondo Vagaroso premiado, temos que decidir a sua posição. 
Há 3possibilidades, e para cada uma dessas possibilidades existem 
A7 2
7
7 2
7 6 42,
!
( )!
=
−
= ⋅ = possibilidades para as posições dos 
outros dois. (Note: uma vez que é certo o Vagaroso estar entre 
os três primeiros, basta escolher os outros 2, dentre os outros 
7 atletas). Daí, pelo P.F.C., temos 3 × 42 = 126 classificações 
possíveis para os três primeiros colocados, de modo que se tenha 
Vagaroso em qualquer das três posições.
 Querendo, podemos usar apenas o P.F.C. para resolver esse item. 
Veja:
 
Vagaroso lugar lugar
fixo
   , ,2 3° °
↓ ↓
7 × 6 = 42
ou
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
102
MateMática ii
1 3° °lugar Vagaroso lugar
fixo
, ,
  
↓ ↓
7 × 6 = 42
ou
1 2º , º ,lugar lugar Vagaroso
fixo
  
↓ ↓
7 × 6 = 42
 Total = 42 + 42 + 42 = 126 classificações.
iii) Fixando Ligeirinho em primeiro lugar (recebendo R$ 1 000,00), 
basta escolher os outros 2, dentre os 7 outros atletas. Assim, 
temos A7 2
7
7 2
7 6 42,
!
( )!
=
−
= ⋅ = classificações para os três 
primeiros lugares, em que Ligeirinho aparece na primeira posição.
Esquematizando:
Ligeirinho lugar lugar A
fixo A
     
, ,
!
(
,
,2 3
7
7
7 2
7 2° ° ⇒ =
−−
= ⋅ =
2
7 6 42
)!
Ou, usando o P.F.C.:
Ligeirinho lugar lugar
fixo
  
, ,2 3° °
↓ ↓
Possibilidades: 7 × 6 = 42
Exemplo 3:
Uma urna (A) contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna 
(B) contém três bolas numeradas de 1 a 3. Quantas sequências 
numéricas podem ser obtidas extraindo, sem reposição, 3 bolas da 
urna A e, em seguida, 2 bolas da urna B?
Solução:
Mudando a ordem de saída das bolas, muda a sequência. 
As sequências formadas são, portanto, arranjos. Para os três 
primeiros elementos da sequência, temos A5 3
5
5 3
60,
!
( )!
=
−
= 
possibilidades; e para cada uma delas existem A3 2
3
3 2
3,
!
( )!
=
−
= 
possibilidades para os dois últimos elementos. Assim, pelo P.F.C., 
temos 60 × 6 = 360 sequências possíveis.
Observação:
Para o mesmo enunciado, extraindo as bolas com 
reposição, teríamos, usando o P.F.C.:
1 2 3 1 2ª ª ª ª ªbola bola bola bola bola
Urna A
↓ ↓ ↓ ↓
 
↓↓
Urna B 
Possibilidades: 5 × 5 × 5 × 3 × 3 = 
 53 · 32 = 1 125 sequências possíveis
Exemplo 4:
(AFA) A quantidade de números naturais de 4 algarismos distintos, 
formados por 1, 2, 3, 4, 5 e 6, que contêm o algarismo 3 ou o 
algarismo 4 é:
A) 196 C) 336
B) 28 D) 446
Solução:
i) Quantidade de números procurados com o algarismo 3 e sem o 
algarismo 4:
 
3
4
3 4 3
4 4 24 96
4 3
4
4 3 4abc C P
C
P
,
,
!
!( )!
!

  ⇒ × =
−
× = × =
 (a, b, c representam os outros três algarismos escolhidos entre 
1, 2, 5 e 6. Escolhem-se primeiro os outros três algarismos 
e, depois, permutam-se todos os 4 algarismos. Se usássemos 
arranjo, já estaríamos permutando a, b, c, ficando o 3 sempre na 
ordem dos milhares; e quando permutássemos os 4 algarismos, 
repetiríamos alguns números).
ii) Quantidade de números procurados com o algarismo 4 e sem o 
algarismo 3:
 
4
4
3 4 3
4 4 24 96
4 3
4
4 3 4abc C P
C
P
,
,
!
!( )!
!

  ⇒ × =
−
× = × =
 (a, b, c representam os outros três algarismos escolhidos entre 
1, 2, 5 e 6.)
iii) Quantidade de números procurados com os algarismos 3 e 4:
 
4 3
4
2 4 2
4 6 24 144
4 2
4
4 2 4, ,
!
!( )!
!
,
,a b C P
C
P

  ⇒ × =
−
× = × =
 (a, b representam os outros dois algarismos escolhidos entre 
1, 2, 5 e 6.)
 Logo, o total de números procurados é 96 + 96 + 144 = 336.
 Resposta: C
Observação:
Se no item i, a, b, c representassem os outros três 
algarismos escolhidos entre 1, 2, 4, 5, 6, e no item ii, a, b, c 
representassem os outros três algarismos escolhidos entre 1, 2, 
3, 5, 6, os números formados com os algarismos 3 e 4 seriam 
contados duas vezes. No final, teríamos que subtraí-los. Veja 
como ficaria:
C
5, 3
 × P
4
 + C
5, 3
 × P
4
 – C
4, 2
 × P
4
 = 10 × 24 + 10 × 24 – 6 × 24 = 336
Exercícios 
01. (EsPCEx) Em duas cidades A e B há dois postos de pedágio, 
sendo o primeiro com 5 cabines e o segundo com 4 cabines. 
Há também 10 pontos de abastecimento. Um viajante realizará 
o percurso entre essas duas cidades, passando pelos dois 
pedágios e parando três vezes para abastecimento. Entendendo 
por “formas diferentes de realizar o percurso” cada uma das 
opções de passar pelas cabines de pedágio e parar nos postos 
de abastecimento, o número de formas diferentes como ele 
poderá realizar o percurso da cidade A para a cidade B é
A) 60 C) 1200
B) 600 D) 2400
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
103
MateMática ii
02. (EsPCEx) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos 
de Colégios Militares (CM) e 20, de Colégio Civis (CC). Pretende-
se formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja 
oriundo e CM e dois de CC. O número de grupos distintos que 
podem ser constituídos dessa forma é
A) 200 D) 1900
B) 900 E) 4060
C) 1260
03. (EsPCEx) Uma prova de um concurso público engloba as 
disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada 
uma. Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa 
acertar, no mínimo, 70% das questões da prova, além de obter 
acerto maior do que ou igual a 60% em cada disciplina.
 Em relação às questões da prova, quantas possibilidades 
diferentes terá um candidato de alcançar, exatamente, o índice 
mínimo de aprovação?
A) 18 900 D) 77 520
B) 33 300 E) 125 970
C) 38 760
04. (EsPCEx) Um tabuleiro possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 
4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível colocar 
4 peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e 
em cada coluna, seja colocada apenas uma peça?
A) 4096
B) 576
C) 256
D) 64
E) 16
05. (EsPCEx) A equipe de professores de uma escola possui um 
banco de questões de matemática composto de 5 questões 
sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. 
De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova 
com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências 
e 3 de retas?
A) 80
B) 96
C) 240
D) 640
E) 1280
06. (EsPCEx) Num determinado setor de um hospital, trabalham 
4 médicos e 8 enfermeiras. O número de equipes distintas, 
constituídas cada uma de 1 médico e 3 enfermeiras, que podem 
ser formadas nesse setor é de
A) 60 D) 1344
B) 224 E) 11880
C) 495
07. (EsPCEx) Os alunos de uma escola realizam experiências no 
laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. 
O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas 
dessas substâncias e observar o produto obtido.
 O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S
1
, S
2
 
e S
3
 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como 
resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número 
possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir 
o gás metano, é
A) 16 D) 28
B) 24 E) 56
C) 25
08. (AFA) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do 
Mundo no Brasil, não importando a ordem de escolha. Estava 
em dúvida em relação às seguintes situações:
I. Obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã;
II. Se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que 
conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria 
nenhum dos dois.
 Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios 
brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de 
escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de 
escolha para a situação ll, nessa ordem, é
A) 
11
26
 C) 
13
24
B) 
13
25
 D) 
11
24
09. (AFA) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas 
e numeradas de 1 a 3; 3 verdes, numeradas de 1 a 3; e mais 
4 bolas de outras cores, todas distintas e sem numeração.
 A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas, 
de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas, é
A) 8 · 7! C) 5 · 4!
B) 7! D) 10!
10. Sr. José deseja guardar 4 bolas – uma azul, uma branca, uma 
vermelha e uma preta – em 4 caixas numeradas:
IVIIII II
 O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 bolas, de 
forma que uma mesma caixanão contenha mais do que duas 
bolas, é igual a
A) 24 C) 144
B) 36 D) 204
11. (AFA) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: 
I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado 
A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na 
barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.
 Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B não deve 
ficar na barraca lll, então o número de maneiras distintas de 
distribuí-los é igual a
A) 560 C) 1680
B) 1120 D) 2240
12. (AFA) Irão participar do EPEMM, Encontro Pedagógico do 
Ensino Médio Militar, um Congresso de Professores das Escolas 
Militares. 87 professores das disciplinas de Matemática, Física 
e Química. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma 
dessas três disciplinas e que o número de professores de Física 
é o triplo do número de professores de Química.
 Pode-se afirmar que
A) se o número de professores de Química for 16, os professores 
de Matemática serão a metade dos de Física.
B) o menor número possível de professores de Química é 
igual a 3.
C) o número de professores de Química será no máximo 21.
D) o numero de professores de Química será maior do que o 
de Matemática, se o de Química for em quantidade maior 
ou igual a 17.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
104
MateMática ii
13. (Efomm) Um decorador contemporâneo vai usar quatro objetos 
perfilados lado a lado como decoração de um ambiente. 
Ele dispõe de 4 copos transparentes azuis, 4 copos transparentes 
vermelhos, duas bolas amarelas e 3 bolas verdes. Cada objeto 
da decoração pode ser um copo vazio ou com uma bola dentro. 
Considerando que a cor altera a opção do objeto, quantas 
maneiras distintas há de perfilar esses quatro objetos, 
levando-se em conta que a posição em que eles se encontram 
altera a decoração?
A) 1.296
B) 1.248
C) 1.152
D) 1.136
E) 1.008
14. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, 
e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. 
A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma 
mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais 
permanecem apagadas.
 Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do 
painel:
 O tempo mínimo necessário para a concorrência de todas 
as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu 
acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y < 60. 
Os valores respectivos de x e y são:
A) 4 e 12
B) 8 e 24
C) 25 e 12
D) 50 e 24
15. (Insper) Certa comunidade mística considera 2015 um 
ano de sorte. Para tal comunidade, um ano é considerado 
de sorte se, e somente se, é formado por 4 algarismos 
distintos, sendo 2 pares e 2 ímpares. No período que vai 
do ano 1000 até o ano 9999, o número total de anos de 
sorte é igual a:
A) 1680 C) 1920
B) 1840 D) 2160
Aulas 05 e 06: 
Números binomiais e
triângulo de Pascal
Introdução
Considere os problemas seguintes:
1. Determinar uma aproximação para (1,002)20, a menos de um 
centésimo;
2. Encontrar, se existir, o termo em x30 quando se desenvolve 
(x2 + 2x)20;
3. Dados 100 pontos distintos sobre uma circunferência, quantos 
são os polígonos convexos que têm os vértices sobre esses 
pontos?
Aulas
05 e 06
As soluções desses problemas e muitos outros ficam 
facil itadas quando se conhecem os números binomiais 
(ou coeficientes binomiais) e suas propriedades, bem como o 
desenvolvimento do Binômio de Newton.
Números binomiais
Os números da forma 
n
p
n
p n p
Cn p



 =
−
=!
!( )!
, , com n ≥ p, 
em que n, p ∈ N, são chamados Números Binomiais, Coeficientes 
Binomiais ou ainda Números Combinatórios. No número binomial 
n sobre p, n
p




, n e p são chamados de numerador e denominador, 
respectivamente.
Assim, por exemplo, são números binomiais:
a) 
6
4
6
4 2
6 5 4
4 2 1
15


 = = ⋅
⋅ ⋅
=⋅!
! !
!
!
b) 100
97
100
97 3
100 99 98 97
97 3 2 1
161700


 = = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=!
! !
!
!
Consequências da definição:
1. Todo número binomial de denominador zero é igual a 1.
Exemplos:
a) 6
0
6
0 6
6
1 6
1


 = =
⋅
=!
! !
!
!
b) 0
0
0
0 0
0
1 1
1


 = =
⋅
=!
! !
De fato, para todo n natural se tem n n
n
n
n0 0 0 1
1


 =
−
=
⋅
=!
!( )!
!
!
.
2. Todo número binomial de numerador e denominador iguais é 
igual a 1.
Exemplos:
a) 
4
4
4
4 4 4
1
0
1
1
1


 =
−
= = =
!
!( )!
!
!
b) 0
0
0
0 0
0
1 1
1


 = =
⋅
=!
! !
 De fato, para todo n natural, tem-se 
n
n
n
n n n
n
n



 =
−
=
⋅
=!
!( )!
!
! !0
1
.
3. Todo número binomial de numerador e denominador 
consecutivos, numerador maior que o denominador, é igual ao 
numerador.
 Exemplos:
 a) 6
5
6
5 1
6 5
5 1
6


 = = ⋅
⋅
=!
! !
!
!
 b) 100
99
100
99 1
100 99
99 1
100


 = = ⋅
⋅
=!
! !
!
!
 De fato, para todo n natural se tem: 
 
n
n
n
n n
n−



 =
− − −( ) =
−
− ⋅
=
1 1 1
1
1 1
!
(n )![ ]!
n(n )!
(n )! !
4. Dois números binomiais de mesmo numerador, cuja soma dos 
denominadores é igual ao numerador, são iguais. Esses números 
são chamados de binomiais complementares.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
105
MateMática ii
 Exemplos:
 a) 6
5
6
5 1
6
1



 = = 



!
! !
 (Note: 5 + 1 = 6)
 b) 20
6
20
6 14
20
14



 =
⋅
= 



!
! !
 (Note: 6 + 14 = 20)
 De fato, para todo n natural se tem 
n
n p
n
n p p
n
p−



 =
−
= 



!
( )! !
, 
em que n ≥ p. Note que (n – p) + p = n.
Propriedades dos números 
binomiais
I. Dois coeficientes binomiais iguais e de mesmo numerador ou 
são idênticos ou são complementares.
 Em símbolos: n
p
n
q



 = 


 ⇔ p = q ou p + q = n, em que n ≥ p 
e n ≥ q.
 Exemplos:
 a) Encontrar x na igualdade 
100 100
25x



 = 



 Solução: são duas as possibilidades:
x
ou
x x
=
+ = ⇒ =




25
25 100 75
 b) Simplifique a seguinte expressão: E =








+








1999
99
1999
1900
1998
99
1998
1899
 Solução:
 Observando que 99 + 1 900 = 1 999 e 99 + 1 899 = 1 998, 
em cada fração o numerador e o denominador são números 
binomiais complementares e, portanto, 
1 999
99
1 999
1 900



 = 


 e 
1998
99
1998
1899



 = 


 . 
 Assim, E = 1 + 1 = 2.
II. Dois números binomiais de mesmo numerador, e denominadores 
consecutivos, têm soma igual ao número binomial cujo 
numerador é o consecutivo do numerador desses números, 
e cujo denominador é o igual ao maior dos denominadores 
(Relação de Stifel).
 Em símbolos: n
p
n
p
n
p



 + +



 = +
+



1
1
1
, n ≥ p.
Demonstração:
Suponha um conjunto A com n elementos. Acrescentando-se um 
novo elemento (x) ao conjunto A, obtemos um conjunto B com (n + 1) 
elementos. Podemos, agora, calcular o número de subconjuntos 
de B com (p + 1) elementos de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: número de subconjuntos de B com (p + 1) elementos, 
p ≤ n, sendo um deles o x (neste caso, basta escolher p elementos 
dentre os n possíveis, pois já é certa a participação de x), mais o 
número de subconjuntos de B com (p + 1) elementos, todos sem o x 
(escolhem-se (p + 1) elementos dentre os n possíveis). Assim, B tem, 
ao todo, C
n,p
 + C
n,p
 
+ 1
 subconjuntos com (p + 1) elementos, isto é,
n
p
n
p



 + +



1 subconjuntos.
2ª maneira: Dos n + 1 elementos de B, escolhem-se (p + 1). 
Daí, são C
n
pn p+ + = +
+



1 1
1
1, subconjuntos.
Logo, o nº de subconjuntos de B com (p + 1) elementos = 
= n
p
n
p
n
p



 + +



 = +
+



1
1
1
.
Exemplos:
a) Se 
n n
n
3 4
5 2


 + 


 = −( ) , determine o valor natural de n.
 Solução: Usando a Relação de Stifel, temos que:
 
n n n
3 4
1
4



 + 


 = +


 . 
 Daí,
 
n
n
n
n
n
+


 = −( ) ⇒
+( )
−( ) = − ⇒1
4
5 2
1
4 3
5 2
!
! !
( )
 
( ) ( ) ( ) ( )!
! !
( )
n n n n n
n
n
+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −
−( ) = − ⇒1 1 2 3
4 35 2
 
⇒ + ⋅ ⋅ − ⋅ −
−
= ⋅ ⇒( ) ( ) ( )
( )
!
n n n n
n
1 1 2
2
5 4
 (n + 1) · n · (n – 1) = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ⇒ (n – 1) · n · (n + 1) = 4 · 5 · 6 
(três inteiros consecutivos). Assim, é fácil ver que a equação 
do 3º grau n3 – n – 120 = 0 tem uma raiz natural n
1
 = 5. 
Como n3 – n – 120 = (n – 5) (n – n
2
) (n – n
3
), dividindo-se 
n3 – n –120 por (n – 5), obtemos o quociente n2 + 5n + 24, 
cujas raízes n
2
 e n
3
 não são reais. Logo, n = 5 é o único valor 
natural para n.
b) Se 
n
p
k


 = e 
n
p
w
+
+



 =1
1
, qual o valor de 
n
p +



1 ?
Solução: Usando a Relação de Stifel, temos que: 
n
p
n
p
n
p



 + +



 = +
+



1
1
1
. 
Substituindo os valores dados, obtemos:
k
n
p
w
n
p
w k+ +



 = ⇒ +



 = −
1 1
.
Triângulo de Pascal / Tartaglia
É uma tabela formada por números binomiais dispostos de 
tal forma que números binomiais de mesmo numerador situam-se 
em uma mesma linha, e os de mesmo denominador, em uma 
mesma coluna. Essas linhas e colunas são numeradas a partir do 
zero, e qualquer número binomial 
n
p



 , no Triângulo de Pascal, 
situa-se na linha de número n (numerador) e na coluna de número p 
(denominador).
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
106
MateMática ii
Linha zero
Linha
Linha
0
0
1
1
0
1
1
2
2
0
2
1




























































2
2
3
3
0
3
1
3
2
3
3
4
4
0
Linha
Linha 





























4
1
4
2
4
3
4
4
........................................................
Linha
n nn
0 1




































n n n n
n2 3 4
...
Note que a linha de número n (denominador n) tem 
(n + 1) elementos.
Usando as consequências da definição de coeficientes 
binomiais, n n
n0
1


 = 


 = , temos que toda linha do triângulo de 
Pascal começa e termina em 1, isto é:
0
0
1
0
2
0 0
1


 = 


 = 


 = = 


 =... ,
n para todo n natural.
0
0
1
1
2
2
1


 = 


 = 


 = = 


 =... ,
n
n
 para todo n natural.
Quanto aos demais elementos, eles podem ser obtidos 
usando-se a Relação de Stifel, isto é, somando dois elementos 
consecutivos de uma mesma linha (mesmo numerador). O resultado 
dessa soma é o número binomial que se encontra imediatamente 
abaixo do número binomial somado que tem maior denominador 
(maior coluna). 
Veja:
n
p
n
p
n
p




+ → +




=
+
+




↓
1
1
1
Assim, calculando os valores dos números binomiais, 
o Triângulo de Pascal passa a ser:
Linha zero
Linha
Linha
Linha
Linha
Linha
1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 110 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
Linha
Linha
...............................................................
• Note: 1 + 1 (na linha 1) = 2 (na linha 2)
• Note: 1 + 2 (na linha 2) = 3 (na linha 3) e 2 + 1 (na linha 2) = 3 
(na linha 3)
• Note: 3 + 3 (na linha 3) = 6 (na linha 4)
• Note: 4 + 6 (na linha 4) = 10 (na linha 5)
Propriedades do Triângulo de Pascal
Observando o último Triângulo de Pascal, percebem-se 
algumas propriedades:
1. Propriedade das linhas
A soma de todos os elementos da linha de numerador n 
é igual a 2n. Veja:
Linha zero soma
Linha soma
Linha soma
1 1 2
1 1 1 1 1 2
2 1 2 1 1 2
0
1
→ = =
→ = + =
→ = + ++ =
→ = + + + =
1 2
3 1 3 3 1 1 3 3 1 2
2
3Linha soma
..............................................................................
Linha soma
n n n n n
n
n → = 


 + 


 + 


 + 


 + + 


0 1 2 3
...  = 2n
De fato, considerando um conjunto A de n elementos, 
o número de subconjuntos de A:
• Sem elementos (subconjunto vazio) é C
n
n, ;0 0
= 





• Com 1 elemento é C
n
n, ;1 1
= 





• Com 2 elementos é C
n
n, ;2 2
= 





 ....................................................
• Com n elementos é C
n
nn n, .= 





Assim, A tem um total de 
n n n n n
n0 1 2 3



 + 


 + 


 + 


 + + 


... 
subconjuntos.
Por outro lado, formar um subconjunto de A é uma 
ação composta de n etapas, cada uma com 2 possibilidades: 
escolher ou não escolher cada um dos n elementos de A 
para participar (ou não) do subconjunto a ser formado. 
Daí, pelo princípio fundamental da contagem, podemos 
formar 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
n vezes
n
 
 subconjuntos dist intos para A.
Portanto:
Nº de subconjuntos de A
n n n n n
n
n= 




 + 




 + 




 + 




 + + 




 =
0 1 2 3
2... .
Exemplo: 
Calcule a seguinte soma: S = 




 + 




 + 




 + + 





10
3
10
4
10
5
10
10
... .
Solução: Usando a propriedade das linhas do Triângulo de Pascal, 
temos:
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
10





 + 




 + 




 + 




 + 




 + +... 




 = ⇒
+ + + = ⇒ =
S
S S
  
2
1 10 45 1024 968
10
.
2. Propriedade das colunas
A soma dos coeficientes binomiais de uma mesma coluna, 
a partir do primeiro número binomial da coluna, é igual ao 
número binomial que se encontra na linha e na coluna seguintes 
(na diagonal), em relação à última parcela.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
107
MateMática ii
Por exemplo, somando os elementos da coluna 3 do 
Triângulo de Pascal, até a linha 6, temos:
Linha zero
Linha
Linha
Linha
Linha
Linha
1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 110 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8
Linha
Linha
Linha 11
Observe:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35, ou seja, 2
2
3
2
4
2
6
2
7
3



 + 


 + 


 + + 


 = 


...
Observe mais:
1 + 3 + 6 + 10 = 20, ou seja, 
2
2
3
2
4
2
5
2
6
3



 + 


 + 


 + 


 = 



1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21, ou seja, 
1
1
2
1
3
1
6
1
7
2



 + 


 + 


 + + 


 = 


...
1 + 5 + 15 + 35 = 56, ou seja, 
3
3
4
3
5
3
6
3
7
4




+




+




+




=




Em geral, temos:
p
p
p
p
p
p
p k
p
p k
p




+
+



+
+



+ +
+



=
+ +
+


1 2 1
1
...

, para quaisquer p 
e k naturais.
De fato, usando o princípio da indução finita:
I. Para k = 1:
 
p
p
p
p
p
p
p p




+
+



= + + = + +( ) = +
1
1
1
1
1 1 2
( )!
! !·
e
 
p
p
p
p
p
+
+




= + = +
2
1
2
1
2
( )!
! !·
 Daí, para k = 1, a proposição
 
p
p
p
p
p
p
p k
p
p k
p




+
+



+
+



+ +
+



=
+ +
+


1 2 1
1
...

 é verdadeira.
II. Supondo a proposição verdadeira para k = n, isto é, 
supondo que 
p
p
p
p
p
p
p k
p
p k
p




+
+



+
+



+ +
+



=
+ +
+


1 2 1
1
...

é 
verdadeira, provaremos que a proposição também é verdadeira 
para n = k + 1. De fato, temos:
 
p
p
p
p
p
p
p n
p
p n
p




+
+



+
+



+ +
+



+ +
+




1 2
1
1
...

+
+ +
+




=
  
p n
p
1
1
 = 
p n
p
p n
p
p n
p
+ +
+




+
+ +



=
+ +
+




1
1
1 2
1
 (Relação de Stifel)
 Daí, a proposição
 
p
p
p
p
p
p
p k
p
p k
p




+
+



+
+



+ +
+



=
+ +
+


1 2 1
1
...

também será 
verdadeira para n = k + 1.
 Assim, pelo princípio da indução finita, a propriedade das colunas 
do Triângulo de Pascal é verdadeira.
 Exemplo: Se 
2
2
3
2
4
2 2
17
14




+




+




+ +




=




... ,
n
 calcule o valor 
 numérico de n.
 Solução: 
 Observando que as parcelas são coeficientes binomiaisde mesmo 
denominador (mesma coluna), usando a propriedade das colunas 
do Triângulo de Pascal, temos:
2
2
3
2
4
2 2
1
3




+




+




+ +




=
+



... .
n n
 Daí, 
n n
n n
+



=




⇒
+



=




⇒ + = ⇒ =
1
3
17
14
1
3
17
3
1 17 16
complementares
3. Propriedades das diagonais
 A soma dos coeficientes binomiais de uma mesma diagonal, 
a partir do primeiro número binomial da diagonal, é igual ao 
número binomial que se encontra na linha seguinte e na mesma 
coluna, em relação à última parcela.
 Por exemplo, somando os elementos da diagonal do Triângulo 
de Pascal que começa na linha 3 e vai até a linha 7, temos:
 
Linha zero
Linha
Linha
Linha
Linha
Linha
1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 110 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8
Linha
Linha
Linha 11
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1Linha
.................................................................................................
 Observe: 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70, ou seja,
 
3
0
4
1
5
2
7
4
8
4
70




+




+




+ +




=




=...
 Observe mais: 1 + 5 + 15 + ... + 70, ou seja,
 
4
0
5
1
6
2
7
3
8
4
9
4
126




+




+




+




+




=




=
 Em geral, temos:
 
p p p p k
k
p k
k0
1
1
2
2
1



+
+



+
+



+ +
+



=
+ +



... ,, para qualquer 
 p e k naturais.
 De fato, usando os números binomiais complementares das 
respectivas parcelas, temos:
p p p p k
k0
1
1
2
2




+
+



+
+



+ +
+



=...
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
108
MateMática ii
=




+
+



+
+



+ +
+



=
p
p
p
p
p
p
p k
p
1 2
...
=
+ +
+




p k
p
1
1
 (propriedade das colunas)
=
+ +



p k
k
1
 (números binominais complementares)
 Assim, a propriedade das diagonais do Triângulo de Pascal é 
verdadeira.
Exemplo: Calcule o seguinte somatório: 
5
2
19 +




∑
p
p
.
Solução: 
Sabemos que 
5 7
2
8
3
9
4
24
192
19 +



=




+




+




+ +



∑ p
p
... .
 Observando que os numeradores e os denominadores são, 
respectivamente, consecutivos, as parcelas são números 
binomiais de uma mesma diagonal. Observando também que a 
diferença entre os numeradores e os respectivos denominadores 
é 5, aplicando a propriedade das diagonais do Triângulo de 
Pascal, temos:
 
5
0
6
1
7
2
8
3
9
4
24
19




+




+




+




+




+ +




...  =




25
19
. Daí: 
 1 6
5 25
192
19
+ +
+




 =





 ⇒∑
p
p
.
5 25
19
7
2
19 +




 =





 −∑
p
p
.
 Resposta: 
25
19
7




−
Binômio de Newton 
Se x e a são números reais e n é um inteiro positivo, 
a potência (x + a)n é chamada de Binômio de Newton, cujo 
desenvolvimento faremos com base na propriedade distributiva e 
nas técnicas de contagem.
Inicialmente, veja o exemplo:
(x + a)5 = (x + a) · (x + a) · (x + a) · (x + a) · (x + a).
Para obter todos os termos desse desenvolvimento, 
aplicamos a propriedade distributiva, escolhendo, em cada um 
dos cinco fatores, apenas um dos termos (x ou a). Como são cinco 
fatores, cinco termos serão escolhidos e multiplicados.
Após fazer todas as escolhas possíveis e multiplicado os cinco 
termos escolhidos, os termos semelhantes deverão ser somados. 
Assim, por exemplo, podemos escolher o x em três dos cinco fatores, 
e o a nos dois fatores restantes. Veja:
x · x · x · a · a = x3a2
x · x · a · x · a = x3a2
x · a · x · x · a = x3a2
................................
a · a · x · x · x = x3a2
Como o número de maneiras de se obter o termo x3a2 é 
uma permutação de cinco elementos, com repetição de 3 e 2, 
P5
2 3 5
2 3
5
2
, !
! !
= =




, somando os termos semelhantes obtidos, 
encontramos:
x a x a x a x a x a
vezes
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
5
2
10
+ + + + +




=
...   =




5
2
3 2x a
Daí, o termo em x3a2 é: 
5
2
103 2 3 2



=x a x a .
Note: o denominador do coeficiente binomial é o número de vezes 
que o a foi escolhido.
Querendo, por exemplo, o termo em x4a1 nesse 
desenvolvimento (a soma dos expoentes de x e de a deve ser igual 
a cinco), deve-se escolher o x em 4 dos cinco fatores e o a no fator 
que restou, e depois multiplicá-los:
x · x · x · x · a = x4a1
Como há P5
14 5
1 4
5
1
, !
! !
.=
⋅
=





 modos diferentes de se obter 
x4a1, o termo em x3a2 é: 
5
1
53 1 3 1




 =x a x a .
Note: o denominador do coeficiente binomial é o número de vezes 
que o a foi escolhido.
Assim, de modo análogo, obtemos todos os termos:
( )x a x a x a x a x a+ =




+




+




+




5 5 0 4 1 3 2 2 35
0
5
1
5
2
5
3
++




+




5
4
5
5
1 4 0 5x a x a
Em geral, para x e a reais e n inteiro positivo, temos o 
chamado Teorema Binomial:
( ) ...x a
n
x a
n
x a
n
x a
n
n
n n n n+ =




+




+




+ +


− −
0 1 2
0 1 1 2 2



x an0
ou
( )x a
n
p
x an n p p
p
n
+ =




−
=
∑
0
Nesse desenvolvimento, dizemos que as potências de base a 
estão em ordem crescente (os valores de p vão aumentando) e as 
de base x, em ordem decrescente. Querendo o desenvolvimento 
segundo as potências crescentes de x, é só trocar os expoentes em 
cada termo: xpan – p.
Muitas vezes, estamos interessados em apenas um dos 
termos do desenvolvimento do Binômio de Newton. Nesse caso, é 
útil conhecer a fórmula do termo geral:
T
n
p
x a em que p np
n p p
+
−=





 ∈{ }1 0 1 2, , , , ..., .
Nesse caso, (p + 1) indica a posição do termo no 
desenvolvimento do Binômio de Newton, segundo as potências 
decrescentes de x. Note que o desenvolvimento do Binômio de 
Newton apresenta (n + 1) termos, pois p está variando de zero a n.
O binômio (x – a)n
Percebendo que x a x a
n n
−( ) = + −( )  e usando o teorema 
anterior, temos que:
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
109
MateMática ii
( ) ...x a
n
x a
n
x a
n
x an n n n− =




−




+




− + −( )− −
0 1 2
10 1 1 2 2 nn nn
n
x a




0
( )x a
n
p
x an p n p p
p
n
− = −( ) 



−
=
∑ 1
0
, cujo termo geral é:
T
n
p
x a em que p np
n p p
+
−=





 ∈{ }1 0 1 2, , , , ..., .
Exemplo 1: Qual o termo independente de x no desenvolvimento 
de x
x
2
12
1
+



? 
Solução:
Observando que 
1 1
x
x= − , o termo geral desse Binômio de Newton 
é T
p
x xp
p p
+
− −=



 ( ) ⋅ ( )1
2 12 112
, ou seja, T
p
xp
p p
+
− −=



1
24 212
, em que 
p ∈ {0, 1, 2, ..., 12}.
O termo independente de x é aquele cujo expoente da variável 
x é igual a zero. Daí, devemos ter: 24 – 2p – p = 0 ⇒ p = 8.
Assim, para p = 8, obtemos T x T9
0
9
12
8
12
8 4
495=




⇒ =
⋅
=
!
! !
.
Exemplo 2: Para que valores de n o desenvolvimento do binômio
x
x
n
+



1
5 apresenta termo de 1º grau?
Solução:
Observando que 
1
5
5
x
x= − o termo geral desse Binômio de Newton 
é T
n
p
x xp
n p p
+
− −=




⋅ ( )1
5 , ou seja, T
n
p
xp
n p p
+
− −=



1
5 , em que 
p ∈ {0, 1, 2, ... , n}. O termo de 1º grau é aquele cujo expoente da 
variável x é igual a um. Daí, devemos ter: 
n – p – 5p = 1 ⇒ n = 6p +1 ⇒ n ∈ {1, 7, 13, 19, ...}.
Note: n deixa resto igual a 1 quando dividido por 6.
Exemplo 3: Determine a soma dos coeficientes dos termos no 
desenvolvimento de (2x + 3y3)18.
Solução:
Pelo teorema binomial, temos que:
( ) .2 3
18
2 33 18 18 3
0
18
x y
p
x y
p p
p
+ =




( ) ⋅ ( )−
=
∑
Fazendo x = y = 1 na igualdade anterior, obtemos:
( )2 1 3 1
18
0
2 3
18
1
2 3
18
2
23 18 18 0 17 1 16⋅ + ⋅ =




⋅ +



⋅ +




⋅33
18
18
2 32 0 18+ +




⋅...
Daí, soma dos coeficientes = (2 · 1 + 3 · 13)18 = 518. 
Binômio de Newton – Parte II
Nesta aula, trabalharemos com algumas ideias que facilitarão 
certos cálculos específicos relativos ao Binômio de Newton. 
Comecemos com a soma dos coeficientes do desenvolvimento 
de um binômio, todos ou alternados. Depois, na aula seguinte, 
trabalharemos com produto de binômios de Newton e com 
somatórios, nos quais é possível mudar o padrão dos termos.
Soma dos coeficientes alternados
Considerando o desenvolvimento do binômio
ax b
n
ax
n
ax b
n
ax b
n n n n+( ) = 


 + 


 + 


 +− −
0 1 2
1 2 2( ) ( ) ( ) ....+ 



n
n
bn , 
em que a e b são constantes, podemos simplificar o coeficiente de 
cada termo, obtendo:
ax b A x A x A x A x A x
n
n
n
n
n
n
n+( ) = + + + + +−
−
−
−
1
1
2
2
1
1
0
0... .
Assim, para x = 1 e para x = –1, temos:
I. Soma de todos os coeficientes:
 x = 1 ⇒ (a + b)n = A
n
 + A
n–1
 + A
n–2
 + ... + A
1
 + A
0
.
II. Soma dos coeficientes com os sinais alternados:
 x = –1 ⇒ (–a + b)n = A
n
(–1)n + A
n–1
(–1)n–1 + A
n–2
(–1)n–2 + ... 
 + A
1
(–1)1 + A
0
.
Observando que (–1)Par = 1 e (–1)Ímpar = –1, obtemos:
• Se n é par ⇒ 
(a b) ...
( a b) ...
+ = + + + + +
− + = − + − − +
− −
− −
n
n n n
n
n n n
A A A A A
A A A A A
1 2 1 0
1 2 1 00



Somando ou subtraindo membro a membro essas duas igualdades, 
ficamos, respectivamente, com:
a b a b
A A A
n n
n n
+( ) + − +( )
= + + +−
2
2 0...
ou
a b a b
A A A
n n
n n
+( ) − − +( )
= + + +− −
2
1 3 1...
• Se n é ímpar ⇒ 
a b A A A A A
a b A A A A
n
n n n
n
n n n
+( ) = + + + + +
− +( ) = − + − + − +
− −
− −
1 2 1 0
1 2 1
...
... AA0




Somando ou subtraindo membro a membro essas duas igualdades, 
ficamos, respectivamente, com:
a b a b
A A A
n n
n n
+( ) + − +( )
= + + +− −
2
1 3 0...
ou
a b a b
A A A
n n
n n
+( ) − − +( )
= + + +−
2
2 1...
Exemplo 1: 
Calcule as seguintes somas:
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
110
MateMática ii
a) 
100
0
100
1
100
2
100
3
100
100



 + 


 + 


 + 


 + + 

... 
b) 
100
0
100
2
100
4
100
6
100
100



 + 


 + 


 + 


 + + 

... 
c) 
100
1
100
3
100
5
100
7
100
99



 + 


 + 


 + 


 + + 


... 
Resolução:
Partindo do desenvolvimento do binômio
x x x x+( ) = 


 + 


 ⋅ + 


 ⋅ +1
100
0
100
1
1
100
2
1
100 100 99 98 2 .... ,+ 


 ⋅100
100
1100 
façamos:
I. x = 1 ⇒2
100
0
100
1
100
2
100
3
100 = 


 + 


 + 


 + 



(Linha do trii ngulo de Pascal)
...
â
+ + 


 + 



99
99
100
100
II. x = –1 ⇒ 0 100
0
100
1
100
2
100
3
99
99
100 = 


 − 


 + 


 − 


 − − ... 

 + 



100
100
Agora, é só somar e subtrair membro a membro essas duas 
igualdades:
III. Somando:
 2 0 2
100
0
2
100
2
2
100
4
2
100
100
100 100+ = 


 + 


 + 


 + + ... 


 
 Daí, 100
0
100
2
100
4
100
100
2 0100 10




 + 




 + 




 + + 




 =
+
...
00
99
2
2=
 
IV. Subtraindo:
 2 0 2
100
1
2
100
3
2
100
5
2
99
99
100 100− = 


 + 


 + 


 + + 
... 
 
 Daí, 
100
1
100
3
100
5
99
99
2 0
2
100 100


 + 


 + 


 + + 


 =
−
... == 299
Resposta: a)2100b)299 c)299
Produto de Binômios de Newton
Considerando o produto (2x + 1)5 · (x – 2)6 e querendo o 
seu termo em x2, como proceder para encontrá-lo? Inicialmente, 
note que:
• x0 · x2 = x2
• x1 · x1 = x2
• x2 · x0 = x2
Assim, desenvolvendo cada binômio e, depois, aplicando 
a propriedade distributiva, obtemos três termos em x2 que devem 
ser somados, para a obtenção do coeficiente final do termo em x2 
do produto de binômios de Newton citado. Para o cálculo desse 
coeficiente final, sabemos que o produto dos termos gerais é:
5
2 1 1
6
25 6
p
x
k
xp p k k k


 ⋅



⋅ − ⋅ 


 ⋅



− −( ) ( ) , 
em que p ∈ {0, 1, ..., 5} e k ∈ {0, 1, ..., 6}.
Para aparecer produto em x2, temos três possibilidades:
• (x0 · x2 = x2) p = 5 e k = 4 ⇒ 
 ⇒
5
5
2 1 1
6
4
2 1 240 5 4 2 4 0


 ⋅



⋅ − ⋅ 


 ⋅



= ⋅( ) ( ) [ ] [x x x 00 2402 2x x] =
• (x1 · x1 = x2) p = 4 e k = 5 ⇒ 
 ⇒ 5
4
2 1 1
6
5
2 10 11 4 5 1 5


 ⋅



⋅ − ⋅ 


 ⋅



= ⋅ −( ) ( ) [ ] [x x x 992 1920 2x x] = −
• (x2 · x0 = x2) p = 3 e k = 6 ⇒ 
 ⇒ 5
3
2 1 1
6
6
2 40 62 3 6 0 6 2


 ⋅



⋅ − ⋅ 


 ⋅



= ⋅( ) ( ) [ ] [x x x 44 2 5600 2x x] =
Logo, o coeficiente final do termo em x2 será: 
(240 – 1 920 + 2 560) x2 = 780x2.
Aprofundando Números Binomiais, 
Triângulo de Pascal e Binômio de 
Newton
Como aprofundamento, trabalharemos, nessa aula, com 
certas somas específicas, nas quais mudando-se o padrão dos 
termos, os cálculos ficam facilitados. Trabalharemos também com 
potências da soma de três termos.
Mudando o padrão dos termos
Algumas somas ficam facilitadas quando se muda o padrão 
de seus termos. Por exemplo, no somatório
p
n
p
n n n
n
n
np
n 




 = ⋅ 




 + ⋅ 




 + ⋅ 




 + + ⋅ 
=
∑
1
1
1
2
2
3
3
... 


 ,
cada termo apresenta a forma p
n
p
⋅ 




 , na qual p é variável, 
p ∈ {0, 1, ..., n}, mas n é constante. Alterando o padrão p
n
p
⋅ 




 para 
a forma equivalente n
n
p
⋅ −
−




1
1
, os cálculos ficarão facilitados, pois 
n é constante, poderá ser colocado em evidência. Veja:
p
n
p
p
n
p n p
p n
p
n
p n p
n
n
p



 = ⋅
⋅ −
= ⋅ ⋅ −
− ⋅ −
= −
−


!
! ( )!
( )!
( )! ( )!
1
1
1
1

 , 
em que n é constante e p é variável.
Assim, temos que:
p
n
p
n
n
p
n
n
n
n
p
n
p
n




 = −
−





 = −




 + −




 +
= =
∑ ∑
1 1
1
1
1
0
1
1
....
...
+ −
−






= −




 + −




 + + −
−






n
n
n
n
n n n
n
1
1
1
0
1
1
1
1




= ⋅ −n n2 1.
Note: a soma dos elementos da linha (n – 1) do Triângulo de Pascal 
é igual a 2n – 1.
Outro exemplo:
Na soma S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + ... + 98 · 99 · 100, 
cada termo tem a forma:
p · (p + 1) · (p + 2), em que p ∈ {0, 1, 2, ..., 98}.
Alteremos essa forma, buscando uma constante. No caso, 
a constante é a diferença entre o maior e o menor fator de cada 
termo. Veja:
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
111
MateMática ii
p p p
p
p
⋅ + +( ) ⋅ ( ) =
+
−
1 2
2
1
( )!
( )!
.
Note que a diferença [(p + 2) – (p – 1)] = 3, para todo 
natural p. Usemos, pois, 3! para completar o número binomial, 
já por nós conhecido. Daí, podemos escrever:
p p p
p
p
p⋅ + +( ) ⋅ ( ) = ⋅
+
⋅ −
= ⋅ +




1 2 3
2
3 1
3
2
3
!
( )!
! ( )!
! .
Assim, temos:
p p p
p
p p
⋅ + +( ) ⋅ ( ) = ⋅ +





= ⋅ 




 + 



= =
∑ ∑1 2 3
2
3
3
3
3
4
3
1
98
1
98
!
!

 + 




 + + 









= ⋅ 





5
3
100
3
6
101
4
...
.
Note: foi utilizada a propriedade das colunas do Triângulo de Pascal.
Expansão multinomial
Como proceder para determinar o termo em x5 do 
desenvolvimento, por exemplo, de (2 + x + x2)9? O que parece 
complicado, na realidade, é apenas um pouco trabalhoso, mas 
nada exagerado. Veja:
2 2 2 2 22 2 2 2 29
9
+ + + + + + + + + +( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ⋅ ( )x x x x x x x x x x
fatores
...
 
.
Ao aplicar a propriedade distributiva de cada fator, devemos 
escolher um termo, multiplicar e, depois, somar os termos 
semelhantes (termos com a mesma parte literal). No caso, estamos 
interessados nos termos em x5. Para obter a parte literal x5, os nove 
termos escolhidos (um de cada fator) podem ser assim formados, 
com as respectivas quantidades de modosdiferentes:
• x x x x x P x x
P
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ =2 2 2 2 16 2 016
9
5 4
9
5 4 5 5
,
,
 
• x x x x P x
P
2
9
1 3 5 52 2 2 2 2 32 16
9
1 3 5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ =
, ,
, ,
  1128 5x
• x x x P x
P
2 2
9
2 1 6 52 2 2 2 2 2 64
9
2 1 6
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ =
, ,
, ,
  2252 5x
Assim, o termo em x5 procurado será:
(2 016 + 16 128 + 252)x5 = 18 396x5
Outro exemplo:
Quantos termos não semelhantes (partes literais distintas) 
apresenta o desenvolvimento de (a + b + c)10?
Resolução:
A potência (a + b + c)10 equivale ao produto de 10 fatores, 
todos iguais a (a + b + c). Nesse produto, ao aplicar a propriedade 
distributiva, devemos escolher, em cada um dos dez fatores, um 
dos termos (ou a ou b ou c) e multiplicá-los. Feito isso, o número 
de termos será igual ao número de partes literais distintas obtidas. 
Como para cada produto podemos escolher os termos a, b e c em, 
digamos, a
1
, a
2
 e a
3
 dos dez fatores, respectivamente, os produtos 
têm a forma:
a b cα α α1 2 3⋅ ⋅ , em que a
1
 + a
2
 + a
3 
= 10.
Assim, o número de partes literais distintas é igual ao número 
de soluções inteiras não negativas (nulas ou positivas) da equação: 
a
1
 + a
2
 + a
3
 = 10
Uma solução:
| | | | | |+ + | | | | ⇒ (6, 0 , 4) ⇒ a6 · b0 · c4 = a6c4.
Como cada permutação entre 10 barras e os dois sinais 
“+“ gera uma solução, o desenvolvimento da potência (a + b + c)10 
apresentará P12
10 2 12
10 2
66, !
! !
=
⋅
= termos.
Exercícios 
01. (AFA) Com relação ao binômio x
x
n
2 2
+




 , é correto afirmar que
A) se o 5o termo do desenvolvimento desse binômio, segundo 
as potências decrescentes de x, é 560x2, então n é igual a 
7.
B) se n é ímpar, seu desenvolvimento possui um número ímpar 
de termos.
C) possui termo independente de x, ∀ n ∈ N*
D) a soma de seus coeficientes binomiais é igual a 64, quando 
esse binômio possui seis termos.
02. (EsPCEx) O valor da expressão E = (999)5 + 5 · (999)4 + 10 · (999)3 + 
+ 10 · (999)2 + 5 · (999) + 1 é igual a
A) 9 · 103
B) 9 · 1015
C) 1015
D) 999999
E) 999 · 1015
03. (EsPCEx) O termo independente de x no desenvolvimento de 
x
x
3
2
10
1
−




 é igual a
A) 110 D) 410
B) 210 D) 510
C) 310
04. (EsPCEx) No desenvolvimento do binômio x
k
x
2
4
9
+



, o termo 
independente de x é igual a 672. Então k é um número
A) primo.
B) divisível por 3.
C) múltiplo de 5.
D) inteiro quadrado perfeito.
E) inteiro cubo perfeito.
05. (AFA) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x8, no 
desenvolvimento de (2 + x2 + 3x3)10, é igual a
A) 11.240
B) 12.420
C) 13.440
D) 14.720
06. (EsPCEx) Determine o valor numérico do polinômio 
p(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2017 para x = 89.
A) 53 213 009 D) 65 612 016
B) 57 138 236 E) 67 302 100
C) 61 342 008
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
112
MateMática ii
07. Sabendo que 
x
y





 = 28 e x
y +





 =
1
56, calcule o valor de 
x
y
+
+






1
1 .
A) 84 D) 81
B) 83 E) 80
C) 82
08. (Unifor) Por uma das propriedades do Triângulo de Pascal, a 
soma 
50
20
50
21
51
22
52
23



 + 


 + 


 + 


 é igual a
A) 
51
21



 D) 
52
21




B) 
51
22



 E) 
52
22




C) 
53
23




09. A soma 
n
p
n
p
n
p



 + +



 + +



2
1 2
, para n e p naturais, n > p, é 
 igual a
A) 
n
p
+



2
 C) n
p
+
+




2
2
B) 
n
p
+
+




2
1 D) 2
n
p
+



2
10. (UFMG – Adaptada) Qual é a soma dos algarismos do número 
inteiro m que satisfaz a equação seguinte, envolvendo números 
combinatórios?
1999
2 1
1999
1999 2
2 000
2 200m m m−



 + −



 = −




A) 3 D) 18
B) 8 E) 28
C) 10
11. Considerando todos os termos da forma 
2k
p



 , em que k é 
uma constante natural e p ∈ {0, 1, ... , 2k}, o maior deles é
A) 
2
1
k
k −



 D) 2
2 1
k
k +




B) 
2k
k



 E) 2
2
k



C) 2
1
k
k +




12. (Unifor) No triângulo aritmético de Pascal vale, a seguinte 
propriedade:
 n n n n n p
p
n
0
1
1
2
2
3
3



 + +


 + +


 + +


 + + +


 =...
++ +



p
p
1
,
 na qual n e p são números naturais, tais que n ≥ p. Usando-se 
essa propriedade, é possível calcular o valor da soma 
7
2
8
3
9
4
10
5



 + 


 + 


 + 


 . Esse valor é:
A) 455
B) 465
C) 575
D) 584
E) 644
13. (Unifor) A soma 5
3
6
3
20
3



 + 


 + + 


... é igual a
A) 6 640
B) 5 985
C) 5 980
D) 4 845
E) 4 840
14. O coeficiente de x8 do polinômio p(x) = x10 + a
9
x9 + a
8
x8 + ... + 
a
2
x2 + a
1
x1 + a
0
, cujas raízes são: 0, com multiplicidade 3, e 2, 
com multiplicidade 7, é igual a
A) 84
B) 80
C) 44
D) 42
E) 21
15. Determine o coeficiente de 25 , após a redução de radicais 
semelhantes no desenvolvimento de 1 25
8
−( ) .
A) 32 D) 56
B) 48 E) 64
C) 52
16. (Unioeste) O valor da expressão:
 1534 – 4 · 1533 · 3 + 6 · 1532 · 32 – 4 · 153 · 33 + 34 
 é igual a
A) 153(153 – 3)3 + 3
B) 1474
C) 154 · 34
D) 1534
E) 154 · 104
17. (UEL) No desenvolvimento do binômio x
x
4
10
1
+



, segundo 
as potências decrescentes de x, o sétimo termo é
A) 210 · x–4 D) 120
11
4⋅ x
B) 120
11
4⋅
−
x E) 210 · x4
C) 210 · x–2
18. (Mackenzie) No desenvolvimento de x
x
t
2 3
+


 , t ∈ N, segundo 
as potências decrescentes de x, os coeficientes binomiais do 
quarto e do décimo terceiro termos são iguais.
 Então, o termo independente de x é o
A) décimo.
B) décimo primeiro.
C) nono.
D) décimo segundo.
E) oitavo.
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
113
MateMática ii
19. (Unifor) A soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de 
(5x2 – 3)n, n ∈ n*, é 64. Se o desenvolvimento foi feito segundo 
as potências decrescentes de x, o coeficiente do termo em x6 é
A) 84 375 
B) 67 500 
C) – 43 200
D) – 67 500
E) – 84 375
20. (ITA) 2
10
0
10
k
k k



=
∑ é igual a
A) 210 
B) 210 – 1 
C) 310 – 1
D) 310 + 1
E) 310
21. (UFC) O símbolo 
n
k



 indica a combinação de n objetos 
k a k. O valor de x2 – y2 quando x
k
k
k
= 


 ⋅ 


=
∑4
20 3
4
20
0
20
 e 
y
k
k
k
= 


 ⋅ 


=
∑5
20 2
5
20
0
20
 é igual a
A) 0
B) –1
C) –5
D) –25
E) –125
22. As soluções, em R, da equação
cos4 x – 4cos3 x + 6cos2 x – 4cos x + 1 = 0 são:
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio (p – q)4.
A) x = 2kπ, em que k é um inteiro qualquer.
B) x = (2k + 1)π, em que k é um inteiro qualquer.
c) x = kπ, em que k é um inteiro qualquer.
d) x = (4k + 1)π, em que k é um inteiro qualquer.
23. Seja (1 + x + x2)10 = A
0
 + A
1
x + A
2
x2 + ... + A
20
x20. O valor 
numérico de A
1
 + A
3
 + A
5
 + ... + A
19
 equivale a
A) 210 
B) 310 
C) 
3 1
2
10 +
D) 
3 1
2
10 −
E) 29
24. (Mackenzie-SP) Conhecido o desenvolvimento de (1 + x)n, vê-se 
que 
n n n n n
n
n
0
2
1
4
2
8
3
2


 + 


 + 


 + 


 + + 


... é
A) 2n 
B) 3n 
C) 4n
D) 32n
E) 64n
25. Para todo x ∈ 



0
2
,
π
, temos que a expressão
 tg10x – 5tg8x · sec2x + 10tg6x · sec4x – 10tg4x · sec6x + 5tg2x · 
sec8x – sec10x, é igual a
A) –2 D) 1
B) –1 E) 2
C) 0
26. (UFC) Assinale a alternativa na qual consta um número real 
positivo x ≥ 1 que satisfaz a equação
x
x
x
x
+ −



− −



=1
1
1
1 125
64
3 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
27. Seja f x
n n
xn
n
( ) =
⋅ −( )








⋅
=
∑ 20
200
20 !
! !
 uma função real, de variável 
real, em que n! indica o fatorial de n.
 Sobre f, podemos afirmar que
A) f(–3) = –2
B) f(–2) = –1
C) f(–1) = 0
D) f(0) = 2
E) f(1) = 1
28. O quarto termo do desenvolvimento do produto de binômios 
a seguir, segundo as potências decrescentes de x, para x > 0, 
é igual a:
x
x
x
x
+



⋅ −



1 1
4 4
A) –42 
B) 6
C) x4
D) 
−4
2x
E) 1
4x
29. Seja k
ii
= +



=∑ 20
2 10
9
, pode-se afirmar que k38 corresponde a 
A) 2
B) 2
C) 22
D) 2 2
30. Se n é o número de termos no desenvolvimento de x y5 10
55
+( ) 
que não contêm radicais, então n é igual a
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
114
MateMática ii
Aula 07:
Sequências
Introdução
Quem observa e identifica padrões, pode fazer aferições 
com maior precisão e agilidade. Por exemplo, meu filho Matheus, 
no dia 30 de junho de 2011, quinta-feira, completou 14 anos. 
Observando que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana, 
podemos aferir que ele nasceu no dia 30 de junho de 1997, numa 
segunda-feira (3 dias antes de quinta-feira). Percebeu? Se não, veja: 
sendo 14 · (365 dias) uma quantidade de dias múltipla de 7, voltando 
no tempo essa quantidade, chegamos no mesmo dia da semana do 
dia 30 de junho de 2011 (quinta-feira). A partir daí, devemos voltar 
na semana apenas os 3 dias relativos a 29 de fevereiro de 2008, 
2004 e 2000 (anos bissextos do período em questão).
Algumas sequências, dentre elas as progressões aritméticas 
e geométricas, apresentam padrões definidos que estudaremos 
a seguir. Com certeza, o conhecimento de tais padrões serão de 
grande utilidade no enfrentamento de situações-problema que 
contemplem sucessões numéricas.
Noções iniciais
Na Teoria dos Conjuntos, dois conjuntos, A e B, são iguais 
quando todos os elementos de A são, também, elementos de B, 
e todos os elementos de B são, também, elementos de A, não 
importando a ordem nem se há elementos repetidos.
Exemplos:
{1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1} = {2, 4, 1, 3}
{0, 2, 0, 4, 4} = {0, 2, 4} = {4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0}
Já no conceito de par ordenado, a ordem dos elementos 
no par deve ser respeitada, isto é, se A = (3, 4) e B = (4, 3), temos 
que A ≠ B:
y
4
4
3
0 3
x
A
B
Nas sequências, temos uma lista ordenada de termos, ou 
seja, temos um conjunto cujos elementos estão dispostos em uma 
determinada ordem, por meio de uma lei ou aleatoriamente. Assim, 
nas sequências, diferentemente dos conjuntos, a ordem é um fator 
relevante.
Exemplos:
A) Sequência dos múltiplos positivos de 7.
 • M(7) = {(1, 7); (2, 14); (3, 21); (4, 28); ...}, em que os primeiros 
elementos dos pares ordenados indicam as respectivas 
posições dos termos.
 Ou simplesmente:
 • M(7) = (7, 14, 21, 28, ...), em que indicam-se apenas os 
múltiplos de 7.
Aula
07
B) Sequência das quantidades de alunos da classe na qual estuda 
Matheus, nascidos, respectivamente, em janeiro, fevereiro, …, 
dezembro.
 • A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 10); (5, 9); (6, 1); (7, 0); (8, 0); 
(9, 1); (10, 3); (11, 5); (12, 1)}, em que os primeiros elementos 
dos pares indicam as respectivas posições (meses) dos termos 
(quantidades).
 Ou simplesmente:
 • A = (5, 4, 3, 10, 9, 1, 0, 0, 1, 3, 5, 1), em que indicam-se 
apenas as quantidades de nascimentos.
Definições
1) Uma sequência finita de n elementos é uma função f de 
nn n* { , , , ..., }= 1 2 3 em r:
 
f
a
n
n
: *N R→
( ) =


f n
Assim, temos a sequência (função):
1
2
3...
n
a
1
a
2
a
3...
a
n
Note:
f(1) = a
1
f(2) = a
2
f(3) = a
3
f(n) = a
n
Nn
* r
Podemos, também, representar essa sequência por pares 
ordenados:
f = {(1, a
1
); (2, a
2
); (3, a
3
); ... ; (n, a
n
)} ou simplesmente pelas suas 
imagens f = (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
).
2) Uma sequência infinita é uma função f de n* em r:
 
f
an
: N r* →
( ) =


f n
Assim, temos a sequência (função):
1
2
3...
n...
a
1
a
2
a
3...
a
n...
rn*
cuja representação, usando pares ordenados, é:
f = {(1, a
1
); (2, a
2
); (3, a
3
); ... ; (n, a
n
); ...}.
Para tornar mais simples sua representação, usaremos a 
partir de agora apenas: f = (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ...), indicando somente 
as imagens.
Outros exemplos de sequências:
A) A = ( , , , )− 1 4 8 25 é uma sequência finita, em que a
1
 = - 1, 
a
2 
= 4, a
3
 = 8 e a
4
 = 25
B) B = (1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...) é uma sequência infinita, em 
que a
1
 = 1; a
2
 = 4, ..., a
n
 = n2, ...
IBRAPEM - PREPARAÇÃO É A MISSÃO
115
MateMática ii
Representação de uma sequência
Podemos representar uma sequência de cinco maneiras 
diferentes.
Descrição dos termos
Consiste em enumerar os elementos da sequência, 
colocando-os entre parênteses, geralmente por serem de 
natureza aleatória.
Exemplo:
Sequência das quantidades de bebês nascidos nos 
7 primeiros dias do ano 2005, em um determinado hospital de 
Fortaleza.
Número de bebês: (0, 1, 1, 4, 5, 3, 2)
Note que fizemos a listagem ordenada dos termos da 
sequência que, aparentemente, não apresentam relações entre si, 
são de natureza aleatória.
Lei de Recorrência
Consiste em uma lei que nos permite encontrar qualquer 
termo (a
n
) da sequência “recorrendo” a termo(s) anterior(es). Note 
que, na Lei de Recorrência, é necessário se conhecer o primeiro 
termo (a
1
), senão não podemos “recorrer” ao termo anterior para 
encontrar os demais termos.
Exemplos:
Observe como ficariam as seguintes sequências, representadas 
por meio da descrição dos termos, usando a Lei de Recorrência:
A) A = (3, 6, 9, 12, ...)
Note que, cada termo, a partir do segundo, é o 
imediatamente anterior mais 3:
Lei de Recorrência: 
a
a a onde nn n
1
1
3
3 2
=
= + ≥


 − ,
Note que, atribuindo valores naturais a n, n ≥ 2, na Lei 
de Recorrência a
n
 = a
n – 1
 + 3, obtemos a sequência:
n = 2 ⇒ a
2
 = a
1
 + 3 = 3 + 3 ⇒ a
2
 = 6
n = 3 ⇒ a
3
 = a
2
 + 3 = 6 + 3 ⇒ a
3
 = 9
n = 4 ⇒ a
4
 = a
3
 + 3 = 9 + 3 ⇒ a
4
 = 12
B) B = (1, - 2, 6, - 24, ...)
Note que cada termo (a
n
), a partir do segundo, é obtido 
multiplicando-se o termo anterior (a
n – 1
) por (– n), em que n 
indica a posição do termo. Veja:
(1, - 2, 6, - 24, 120, ...)
 x(-2) x(-3) x(-4) x(-5)
Lei de Recorrência: 
a
a n a em que nn n
1
1
1
2
=
= − ⋅ ≥


 − ,
Note que a Lei de Recorrência a
n
 = - n ⋅ a
n - 1
, n ≥ 2, nos 
fornece a sequência:
n = 2 ⇒ a
2
 = - 2 ⋅ a
1
 = - 2 ⋅ 1 ⇒ a
2
 = - 2
n = 3 ⇒ a
3
 = - 3 ⋅ a
2
 = - 3 ⋅ (- 2) ⇒ a
3
 = 6
n = 4 ⇒ a
4
 = - 4 ⋅ a
3
 = - 4 ⋅ 6 ⇒ a
4
 = - 24
C) F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), sequência de Fibonacci1.
Note que cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos 
dois termos imediatamente anteriores:
Lei de Recorrência: 
a
a
a a a em que nn n n
1
2
2 1
1
1
3
=
=
= + ≥



 − − ,
Perceba que a Lei de Recorrência a
n
 = a
n - 2
 + a
n - 1
, 
para n ≥ 3, nos dá a sequência:
n = 3 ⇒ a
3
 = a
1
 + a
2
 = 1 + 1 ⇒ a
3
 = 2
n = 4 ⇒ a
4
 = a
2
 + a
3
 = 1 + 2 ⇒ a
4
 = 3
n = 5 ⇒ a
5
 = a
3
 + a
4
 = 2 + 3 ⇒ a
5
 = 5
n = 6 ⇒ a
6
 = a
4
 + a
5
 = 3 + 5 ⇒ a
6
 = 8
n = 7 ⇒ a
7
 = a
5
 + a
6
 = 5 + 8 ⇒ a
7
 = 13
Lei de Formação ou termo geral
Consiste em uma lei que nos permite encontrar qualquer 
termo (a
n
) da sequência em função da sua posição n.
Na sequência (5, 8, 11, 14, ...), por exemplo, podemos obter 
o seu termo geral (Lei de Formação) dando valores sucessivos a n na 
sua Lei de Recorrência
a
a a em que nn n
1
1
5
3 2
=
= + ≥


 − ,
.
Veja:
a
2
 - a
1
 = 3
a
3
 - a
2
 = 3 
a
4
 - a
3
 = 3
 . . .
a
n
 - a
n - 1
 = 3
(n-1) igualdades
Somando membro a membro, essas (n – 1) igualdades e 
cancelando os termos, obtemos:
a
n
 – a
1
 = (n - 1) ⋅ 3, em que a
1
 = 5
Daí, a
n
 = 5 + (n – 1) ⋅ 3.
Assim,a Lei de Formação (termo geral) da sequência é:
a
n
 = 3n + 2
Assim, por exemplo, o 100o termo será a
100
 = 302.
Já considerando a sequência B:
a
a a para nn n
1
1
3
2 2
=
= ⋅ ≥


 − , 
ou B = (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...), podemos encontrar a sua Lei de 
Formação dando valores sucessivos a n na sua Lei de Recorrência. 
Veja:
a
2
 = 2 ⋅ a
1
a
3
 = 2 ⋅ a
2
 (multiplicando)
a
4
 = 2 ⋅ a
3
 
 . . .
a
n
 = 2 ⋅ a
n - 1
Multiplicando membro a membro essas (n – 1) igualdades: 
( ... ) ...a a a a a a a a an n
n
n2 3 4 1
1
1
1 2 3 1
1
2⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅( )−
−
−
Então, a Lei de Formação (termo geral) da sequência é:
IBRAPEM - PREPARAÇÃO