Gatilho de Matematica

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1 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
PREPARAÇÃO PARA O ENSINO 
SUPERIOR 
Vol.1 
 
2 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Índice 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 7 
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................. 8 
 Números Naturais --------------------------------------------------------------------------------- 8 
 Números Inteiros Relativos ---------------------------------------------------------------------- 8 
 Números Racionais ------------------------------------------------------------------------------ 9 
 Números Reais ------------------------------------------------------------------------------------ 9 
3 TEOREMA DE CONJUNTOS ............................................................................................. 11 
 Representação De Conjuntos -------------------------------------------------------------------11 
 Conjunto Unitário --------------------------------------------------------------------------------12 
 Conjunto Vazio -----------------------------------------------------------------------------------12 
 Igualdade Conjuntos -----------------------------------------------------------------------------13 
 Complementar De Um Conjunto --------------------------------------------------------------13 
 Reunião De Conjuntos --------------------------------------------------------------------------15 
 Intersecção De Conjuntos -----------------------------------------------------------------------15 
4 INTERVALOS REAIS.......................................................................................................... 19 
5 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................. 23 
 Igualdade De Números Complexos -----------------------------------------------------------24 
 Operações Com Números Complexos --------------------------------------------------------25 
6 LOGICA MATEMÁTICA .................................................................................................... 37 
 Proposições ---------------------------------------------------------------------------------------37 
 
3 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Conjunção
( )
 -----------------------------------------------------------------------------------38 
 Disjunção
( )
 ------------------------------------------------------------------------------------38 
IMPLICÂNCIA ............................................................................................................................ 38 
 Equivalência (↔) --------------------------------------------------------------------------------38 
NEGAÇÃO DE UMA PROPORÇÃO ...................................................................................... 39 
7 ARITMÉTICA....................................................................................................................... 45 
 Tipos de fracções ---------------------------------------------------------------------------------45 
 MDC -----------------------------------------------------------------------------------------------46 
 Proporcoes ----------------------------------------------------------------------------------------46 
 Razão ----------------------------------------------------------------------------------------------47 
 Regra De Tres ------------------------------------------------------------------------------------47 
 Percentagem --------------------------------------------------------------------------------------48 
 Aumentos E Descontos Percentuais -----------------------------------------------------------48 
8 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................ 53 
 Propriedades De Potências----------------------------------------------------------------------54 
 Notação Científica -------------------------------------------------------------------------------54 
9 RADICIAÇÃO ...................................................................................................................... 59 
 Classificação de radicais ------------------------------------------------------------------------60 
 Operações entre radicais ------------------------------------------------------------------------60 
 Racionalizacao De Denominador --------------------------------------------------------------61 
 
4 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
10 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (EQUAÇÕES LINEARES) .................................. 68 
11 EQUAÇÕES QUADRATICAS ........................................................................................ 69 
 Soma e produto duma expressão polinomial -------------------------------------------------70 
 Equações paramétricas --------------------------------------------------------------------------70 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 -----------------------------------------71 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 -----------------------------------72 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 ---------------------------------73 
 EquaÇão quadrata completa, tipo : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ----------------------------------73 
 Informações relevantes sobre equações quadráticas: ---------------------------------------76 
12 ALGÉBRA ......................................................................................................................... 76 
 Classificação das expressões -------------------------------------------------------------------76 
 Polinómio racional inteiro homogéneo -------------------------------------------------------78 
 Polinómio racional inteira ordenado ----------------------------------------------------------78 
 Polinómio nulo -----------------------------------------------------------------------------------78 
 Polinómios idênticos ----------------------------------------------------------------------------78 
 Operações com polinómios ---------------------------------------------------------------------78 
 Divisibilidade de polinómios -------------------------------------------------------------------80 
 Método De Briot-Ruffini ------------------------------------------------------------------------80 
 Teorema do resto ---------------------------------------------------------------------------------80 
 Classificação das expressões algébricas ---------------------------------------------------86 
Expressão --------------------------------------------------------------------------------------------------86 
13 EQUACÕES DO 3° GRAU .............................................................................................. 90 
 
5 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
14 EQUACÕES DO 4° ,6° ,8°… GRAUS ............................................................................. 90 
15 EQUACOES IRRACIONAIS ........................................................................................... 95 
EXPRESSÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................ 97 
 Equações Exponenciais -------------------------------------------------------------------------97 
 Inequações Exponenciais -----------------------------------------------------------------------97 
16 LOGARITMOS ................................................................................................................. 97 
 Cologaritmo ---------------------------------------------------------------------------------------98 
 Antilogaritmo -------------------------------------------------------------------------------------98Logaritmo natural --------------------------------------------------------------------------------98 
 Propriedades de logaritmos ---------------------------------------------------------------------98 
17 SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS ....................................... 104 
 Método da Substituição ----------------------------------------------------------------------- 105 
 Método da Adição ordenada ------------------------------------------------------------------ 105 
18 INEQUAÇÕES .......................................................................................................... 106 
 Inequação Produto ----------------------------------------------------------------------------- 106 
 Inequações Quociente ------------------------------------------------------------------------- 106 
19 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL ............................................................................ 109 
 Equações Inequações Modulares ------------------------------------------------------------ 109 
20 BINOMIO DE NEWTON E ANÁLISE COMBINATÓRIA .......................................... 117 
 Triângulo de Pascal ---------------------------------------------------------------------------- 117 
 Arranjos ----------------------------------------------------------------------------------------- 119 
 
6 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Permutação -------------------------------------------------------------------------------------- 119 
 Combinações------------------------------------------------------------------------------------ 119 
21 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA............................................................................ 120 
 Estatística ---------------------------------------------------------------------------------------- 121 
22 TRIGONOMETRIA ...................................................................................................... 126 
 Tabelas de ângulos ----------------------------------------------------------------------------- 127 
 Fórmulas fundamentais da trigonometria --------------------------------------------------- 127 
 Círculo trigonométrico ----------------------------------------------------------------------- 127 
23 GEOMETRIA PLANA .................................................................................................... 133 
 Ângulos complementares e suplementares ------------------------------------------------- 135 
 Ângulos opostos pelo vértice ----------------------------------------------------------------- 137 
 TRIÂNGULOS Definição: ------------------------------------------------------------------- 141 
 Semelhança de triângulos --------------------------------------------------------------------- 144 
 Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) ------------------------- 146 
 Circunferência ---------------------------------------------------------------------------------- 146 
 Lei dos senos. ----------------------------------------------------------------------------------- 148 
24 MATRIZ DE EXAME DE ADMISSÃO ........................................................................ 158 
 
 
 
7 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
1 Introdução 
Com o objectivo de garantir a sua admissão em qualquer universidade, foi elaborado este manual 
completo com todos os conteúdos avaliados nos exames de admissão. Este manual possui 23 
capítulos e um capítulo com a matriz do exame de matemática. Cada capítulo possui um contéudo 
teoría e uma série de exercícios resolvidos para expandir os seus níveis de comprensão. E após 
cada capítulo, há exercícios propostos para avaliares os seus níveis de assimilação. Recomenda-se 
a concluir estes exercícios para em seguida transitar para o capítulo seguinte. Neste livro terás toda 
a matéria avaliada nos exames, no entanto não se dispensa conteúdos complementares. 
 
8 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Números Naturais 
 
 
 
 ,...3;2;1;0=N
 
Subconjunto de conjunto N 
 ,...3,2,1* =N
 
 Números Inteiros Relativos 
 
1 
 
Subconjuntos dos Inteiros relativos (Z) 
 ...3,2,1,0=+
+ouZZ Conjunto dos inteiros não negativos por isso N= +Z 
 
 
 
Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N Formado pelos números 0;1;2;3… 
 
Chama-se conjunto dos números inteiros relativos (Z). Conjunto 
 ,...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z 
 
 
 
 
  positivos inteiros dos Conjunto ...3,2,1
nulos não inteiros dos Conjunto ...3,2,1,1,2,3...,
 negativos inteiros dos Conjunto 1,2,3...
 positivos não inteiros dos Conjunto 0,1,2,3...
*
*
*
_
_
_
=
−−−=
−−−=
−−−=
+Z
Z
Z
ouZZ
 
9 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Números Racionais 
 
 
 
Subconjuntos dos números racionais 
Q ouQ+ + Conjuntos dos racionais positivos (não negativos) 
Q ouQ− − Conjuntos dos racionais negativos 
(não positivos) 
*Q Conjuntos dos racionais não nulos 
 Números Reais 
 
 
Ex.: de números irracional 2 1,4142136...; 3,1415926..= = 
3 3
2 1; 3 2; ; 
2 5
R
  
= + 
  
 São irracionais 
Subconjuntos dos números reais 
R ouR+ + Conjunto dos números reais positivos 
Chama-se conjunto dos números racionais ( Q) o conjunto dos pares ordenados ou 
(fracções) onde *( 0)x zey z y   
x
y
N Z Q  
Chama-se conjunto dos números reais( R) o conjunto de todos números decimais exactas ou 
periódicas (racionais) e conjunto de números decimais não exactas e não periódicas (chamados 
irracionais) 
 
10 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
R ouR− − Conjunto dos números reais negativos 
*R Conjunto dos números reais não nulos 
 
 
 
01) Mostre que 5 é um número irracional. 
 
 
 
 
 
 
 
02) Provar que a, b, c, d, são racionais, p é primo positivo e a b p c d p+ = + então 
 e . a c b d= = 
 
 
 
 
03) Determine a geratriz de 
a) 0,666... b) 0,272727... 
Resolução 
é raiz do polinómio. Pelo teorema, suas possíveis raízes racionais são
, Vamos verificar: 
Logo, esse polinómio não admite raízes racionais. Como é raiz, deve ser irracional 
5 ( ) 2 5p x x= −
5, 1,1 ou 5− −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 21 1 5 4 0 1 1 5 1 0; 5 5 5 20 0 5 5 5 20 0p p p p= − = −  − = − − = −  = − =  − = − − = 
5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
Resolução: 
( )a b p c d p b d c a+ = +  − = − Como c a− é racional, a ultima igualdade só subsiste 
quando ( )b d p−  isto é, se 0b d− = . Neste caso 0c a− = , provando a tese. 
 
 
11 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
3 TEOREMA DE CONJUNTOS 
Definições: 
 
 
 
 
Geralmente indicamos um conjunto com uma letra maiúscula A,B,C,D…e um elemento 
com uma letra minúscula a,b,c,d.x, y. 
 Representação De Conjuntos 
A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras: 
• Por Extensão 
Ex.  2,4,6,8,10A = Conjuntos dos números pares positivos 
 a,e,i,o,uB = Conjuntos das vogais 
• Por compreensão 
Quando é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos 
• Conjunto representa uma colecção de objectos 
 
• Elemento é um dos componentes de um conjunto 
 
• Pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto 
 
 
Resolução: 
: 0,666... 10 6,666...
6 2
10 6 9 6
9 3
seja x x
x x x x
= → =
= + → = → = =
 
: 0, 272727...
100 27,272727... 100 27 0,272727...
27 3
100 27 99 27
99 11
seja x
x x
x x x x x
=
= → − +
= + → = → = → =
Assim, a fracção geratriz de
2
0,666.. é .
3
 Assim, a fracção geratriz de
3
0,272727. . é .
11
 
 
 
 
12GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Ex.   os meus CDs de hinosA =  : é primoB x R x=  
• Diagrama de Euler-Venn 
 
 
 
Nota que o diagrama de venn pode representado por quadriláteros ou círculos 
 Conjunto Unitário 
 
 Ex:. 
Conjunto dos divisores de 1 inteiros e positivos {1} 
Conjunto das soluçoes da equaçao 5x-1=19 {4} 
 Conjunto Vazio 
 
 Exemplos 
 
 
1) :
2) : 0 e 0
x x x
x x x
 = 
  = 
 
 Subconjunto 
 
 
 
 
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. 
 
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento alguém o símbolo usual para 
conjunto vazio é ∅. 
 
 
Um conjunto B e subconjunto de conjunto A se todo elementos 
do conjunto A pertencer também a B
 
 
 
( )B A x x B x A     
 
13 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Conjunto Universo 
 
 
 
 Igualdade Conjuntos 
 
Ex: 
1. {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 
2. {1, 3, 5, 7, 9, …} = {x: x é inteiro positivo e ímpar} 
3. {x: 2x+1= 5} = {2} 
 
Observa: 
• Que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre 
os elementos no entanto: 
{a, b, c, d} = { d, c, b, a} = {b, a, c, d} 
• Nota que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo totalmente 
inútil por exemplo: 
• {a, b, c, d} = {a, d, c, b, b, a, c, d, d} = {b, a, c, d} para evitar de confundir basta usar 
a definição. 
 
 Complementar De Um Conjunto 
 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, 
reciprocamente, todo elemento de B pertence A 
 
 
 
( )A B x x A x B=     
Chama-se conjunto universo o conjunto dos quais todos 
conjuntos em estudo são subconjuntos símbolo U 
 
Chama-se complementar de A em relação a um dado conjunto B ao conjunto de todos 
elementos de B que não pertencem a A. 
B
A =A\B=AC 
 
14 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Propriedades de complementares 
Propriedades de complementação 
 
 
 
 
Exemplos: 
Ex.: 
 
Atenção 
 Só è definido se e assim temos: 
 
Leis de Morgan 
A B A B
A B A B
 = 
 = 
 
• Cardinal da reunião de dois conjuntos ( ) ( )# # #A B B A B = −  
• O número de subconjuntos de um conjunto n elementos é igual 2n 
Diferença De Conjuntos 
 
 
 A , ,p q w=
B
Að B A
B
A =A B−ð
 ( )
( )
B B
A A
A
A A
B
A A
B C B C
A A A
B= e B=A
 e A
B


  
=  =
=
= 
ð ð
ð ð
ð ð
ð ð ð
Dados dois conjuntos A e B chama-se diferença entre A e B o conjunto formados pelos 
elementos de A que não pertencem a B 
  A B= : A e Bx x x−  
 
15 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Diferença Simétrica 
 
 
 
. 
 Reunião De Conjuntos 
 
Propriedades de reunião 
 
 
 
 
 
 Intersecção De Conjuntos 
 
 
 Propriedades de intersecção 
 
 
 
Dados dois conjuntos de A e B chama-se diferença simétrica de A 
e B a condição: 
 
 
 
 
A B=A\B B\A ou A B = A B B A   −  −
Seja dois conjuntos A e B chama-se reunião de A com B ao conjunto de todos elementos de 
conjunto A e do conjunto B 
 
Chama-se intersecção de A com B ao conjunto de elementos que pertencem 
simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
A A = A idempotente
A U= A elemento neutro
A B = B A comutativa
A B C A B C associativa


 
  =  
 
 
( )
( )
( )
( ) ( )( )
A A=A idempotente
A A elemento neutro
A B=B A comutativa
A B C =A A C associativa

 =
 
   
 
 
 
16 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
CARDINAL DE UM CONJUNTO 
 
E 
Ex:  , , , 5, #A a e i o Au  == 
PRODUTO CARTESIANO 
 
Exemplos 
1º Se    1,2,3 e 1,2 temos:A B= = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3.1 , 3,2
 e
1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3
A B
B A
 =
 =
 
e as presentações no plano cartesiano são as seguintes: 
 
CONJUNTOS DISJUNTOS
 
 
 
 
Cardinal de um conjunto finito A é o número de elementos deste conjunto. Representa-se #A 
e lê-se cardinal do conjunto A 
 
Chama-se conjuntos disjuntos a dois conjuntos cuja intersecção de 
é um conjuntos vazio. 
 
 
 
A B =  
 
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos pares ordenados que se 
podem formar, indicando primeiro um elemento de A e depois de B, e representa-se por A×B 
 
 
 
17 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
Exercícios resolvidos 
01) Num prédio foi efectuado uma pesquisa sobre os frequentadores das lanchonetes A, B e 
C e constatou-se que 30, 40 e 20 indivíduos frequentavam, B e C, respectivamente 12 
frequentavam A e B; 9 frequentavam B e C; 6 frequentavam A e C; 4 frequentavam A, B e 
C; 5 não frequentavam nenhuma lanchonete. O número de moradores do prédio é: 
 
 
 
 
02. Sejam m e n o número de elementos de M =−3,−2,4,6e N =2,3, respectivamente. 
Considere a relação dada pela lei dos 
pares ordenados que constituem a relação são: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d) 3;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3 e) 4;2 , 4;3 , 3;2 , 6;3− − 
 
 
 
 
 
03) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. 
Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da 
expressão ( )3 3y x− + é igual. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 4;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a) 3;2 , 2;3 , 4;2 , 6;3 b) 3;3 , 2,3 , 6;2 , 6;3 c) 4;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3− − − −
 
Resolução 
Pelo diagrama de venn temos: O número de moradores do prédio é: 
 16+8+25+2+4+5+9+5=17 
 
Resolução 
 Na realidade o que nos é pedido neste exercício é um conjunto de pares ordenados em que o 
primeiro elemento do par pertença a e que seja maior que o segundo, sendo que este pertença a. 
Assim, os pares ordenados são: 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
18 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a) -28· b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 
 
 
 
 
 
04) A intersecção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de 10 com o conjunto 
de todos os números naturais múltiplos de 15 é o conjunto de todos os números naturais 
múltiplos de: 
a) 2 b) 30 c) 5 d) 30 e) 150 
 
 
 
 
 
05. As figuras abaixo representam diagramas de Venn de dois conjuntos arbitrários A e B. 
Assinale a alternativa que representa o diagrama de Venn no qual A B está sombreado 
 
Resolução 
Seja: 
 
Seja: 
 
Fazendo a intersecção 
Entretanto, podemos ver que a intersecção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os 
números naturais múltiplos de: 30 
 
  conjunto de todos os números naturais múltiplos de 10A =
 10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;110;120...A =
  = conjunto de todos os números naturais múltiplos de 15B
( )15;30;45;60;75;90;105;120;135;150...B =
 30;60;90;120;150...A B =
Resolução: 
Observando a intersecção dos conjuntos A e B, constatamos que “x” só pode ser igual a 2 e 
“y” é igual a 9. O contrário (x = 9 e y = 2) não é verdadeiro, pois senão teríamos o “9” 
aparecendo duas vezes no conjunto A... Resolvendo a expressão: ( ) ( )3 3 9 6 3 0y x− +  − + = 
 
 
19 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
06. Se A é o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 10, B é o conjunto dos 
números ímpares, compreendidos entre 2 e 10 e C é o conjunto dos números inteiros 
compreendidos entre 1 e 10, obtenha os conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 INTERVALOS REAIS 
 
 
Intervalo aberto nas duas extremidades 
 
Que será  a,b ou ainda ( )a,b ou atravésde 
conjunto : ax R x b   
Intervalo fechado nas duas extremidades 
Alguns subconjuntos de IR podem ser representados de maneira mais simplificada. São 
os chamados intervalos reais. 
 
Resolução: 
O conjunto complementar de B, onde U e o conjunto universal que contem os objectos. Desta 
forma, a área achatando em cada alternativa e representada por: 
 A) A B B) A B C) A D) A B E) A B    
 
 
Resolução: 
( ) ( ) ( ) ( ) I. II. III. IV. ACA B B A A B A B B C C−  −  −  − 
 
 
 
 
  ( ) ( )  
3, 6, 9
3, 5, 7, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
I) 6
5,7 5, 6, 7
A
B
C
A B
B A A B B A
=
=
=
− =
− =  −  − =
 
  ( ) ( )  
 AC
II) 3, 5, 6, 7, 9
 A B= 3, 9 5, 6, 7
III) -
IV) C 2, 4, 5, 7, 8
A B
A B A
B C
C A
 =
   −  =
= 
= − =
 
 
 
 
20 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
Que será  a,b ou através de conjuntos 
 : a bx R x   
 
Intervalo aberto em a e fechado em b. 
 
 
Que será  a,b ou ainda (a,b ou através 
de conjuntos  : a bx R x   
 
Intervalo fechado em a e aberto em b 
 
Que será a,b ou ainda  )a,b ou através de 
conjunto : a bx R x   
 
Intervalo fechado em a
 
Que será  a,+ ou ainda )a, +  ou através 
de conjuntos  : ax R x  
 
Intervalo aberto em a 
• 
 
Que será  a, +  ou ainda ( )a, +  ou 
através de conjuntos : ax R x  
 
Intervalo fechado em b 
 
 
Que será  , b− ou ainda ( , b− ou através de conjuntos  : bx R x  
 
 
21 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Intervalo aberto em b 
 
 
Que será  , a− ou ainda ( ),b− ou através de conjuntos : bx R x 
 
22 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
01.Dados conjuntos numéricos em    :1 3 e : 1 ou 2A x R x B x R x x=    =   
Determine a) b) c) A B A B A B  − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Se  * 2Ζ , 5A x x=   e  , 2B x R x=   então o número de elementos da relação 
( ) 2, ,R a b A B b a=    é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
Resolução: 
se    2, 5 e , 2 , A x R x B x R x=   =   então o numero de elementos da relação 
( ) 2R= , , a b A B b a   é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 
Do enunciado temos: 
• x pode assumir os valores  2, 1,1 e A= 2, 1, 1, 2− − − − 
• x pode assumir os valores 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 
0 e 1 0,1
2,0 2,1 1,0 1,1 1,0 1,1 2,0 2,1
2,0 2,1 1,0 1,0 2,0 2,1
B
A B
R
→ =
 = −  −  −  −    
= −  −  −  
 
A relação R possui 6 elementos 
 
 
23 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
03. Seja A e B dois conjuntos dados por  / 2 2A x R x=  −     / 4 1B x R x=  −   − 
Determine e A B A B  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Conjunto dos números complexos Com a criação da unidade 
imaginária i, surgiu um novo conjunto numérico C , o 
conjunto dos números complexos, que engloba o conjunto R 
dos números reais. Assim, por meio de um diagrama Euler-
Venn, 
 
Resolução 
Como o conjunto  / 2 2A x R x=  −    2;2A = − o conjunto
 Representando temos: 
 
Entretendo . 
 
    / 4 1 A= 4, 1B x x=  −   − − −
     2;2 4, 1 2, 1A B = −  − − = − −      2;2 4, 1 4,2A B = −  − − = −
 
24 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
O surgimento desse novo conjunto numérico foi de grande utilidade para a superação 
de alguns obstáculos na matemática e, por conseguinte, nas aplicações directamente 
ligadas a ela. 
Definições Chamamos de número complexo na forma algébrica, todo número na forma a 
+ bi, em que a e b são números reais e i é unidade imaginária·. 
Da mesma forma que, quando nos referimos a um número natural, usamos a letra n 
para representá-lo, a letra z será usada para representarmos um número complexo. 
Assim, no número complexo z = a + bi, dizemos que a é a parte real de z, e b é a parte 
imaginária de z. Representamos: a = Re (z) 
b = Im (z) 
Em particular, temos: 
1º) Se Im (z) = 0, dizemos que z é um número real. 
Exemplos: 
2º) Se Re (z) = 0 e Im (z) ≠ 0, dizemos que z é um imaginário puro. 
Exemplos: 
 
 Igualdade De Números Complexos 
Dois números complexos, na forma algébrica, são iguais quando suas partes reais e 
imaginárias forem respectivamente iguais. Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, 
com a1, b1 , a2 e b2 reais, dizemos: 
e 
Exemplo 
Calcular a e b de modo que: 
 
Resolução 
Devemos ter: 
5 5 0 ; 2 2 0i i− = − + = +
2 0 2 ; 3 0 3i i i i= +  = + 
1 2 1 2z z a a=  = 1 2b b=
(2a b) 3i 2 ( a b)i− + = − + − +
2 2
3
a b
a b
− = −

= − +
 
25 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
Substituindo na equação temos: 
Assim: e 
 
 Operações Com Números Complexos 
A. Adição 
Dados os complexos e , com b, c e d reais, a soma será 
um complexo tal que: 
 
Exemplo: 
Sendo e calcular 
Resolução Assim: 
B. Subtração 
Dados os complexos = a + bi e = c + di, com a, b, c e d reais, a diferença será 
um complexo, tal que: 
 
 
Exemplo: 
Sendo = 5 + 3i e = 3 + 2i, calcular . 
Resolução = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 - 3) + (3 - 2)iAssim: = 2 + i 
2 2
3
1
a b
a b
a
− = −

− + =
 =
1a = 3,a b− + = 1 3 4b b− + =  =
1a = 4b =
1z a bi= + 2z c di= + ,a 1 2z z+
1 2 (a bi) (c di) (a c) (b d)iz z+ = + + + = + + +
1 3 4z i= − + 2 2 ,z i= − 1 2.z z−
1 2 ( 3 4 ) (2 ) ( 3 2) (4 i)iz z i i+ = − + + − = − + + − 1 2 1 3z z i+ = − +
1z 2z 1 2z z−
1 2 (a bi) (c di (a c) (b d)iz z− = + − + = − + −
1z 2z 1 2z z−
1 2z z− 1 2z z−
 
26 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
C. Multiplicação 
Dados os complexos = a + bi e = c + di, com a, b, c e d reais, o produto será 
um complexo, tal que: 
 
= (a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 
De fato, usando a propriedade distributi va, temos: 
 
 
Como i2 = – 1, temos: 
(a + bi) x (c + di) = ac + adi + bci – bd Agrupando a parte real e a parte imaginária, 
temos: 
= (ac – bd) + (ad + bc)i 
Exemplo 
Sendo = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule . 
Resolução 
= (3 + 2i) x (2 + 4i) 
= 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i = 6 + 12i + 4i + 8i2 
= 6 + 12i + 4i – 8 dai que = – 2 + 16i 
Observação – As propriedades da adição, subtracção e multiplicação válidas para os nú 
meros reais continuam válidas para os números complexos. 
D. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Chamamos de conjugado do número complexo z = a + bi, com a e b reais, o número 
complexo 
1z 2z 1 2z z
1 2z z
1 2z z
1z 1 2z z
1 2z z
1 2z z 1 2z z
1 2z z 1 2z z
.z a bi= −
 
27 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Exemplos 
1º) = 2 – 3i = 2 + 3i 2º) = -1 – 4i = -1 + 4i 3º) = -3i = 3i 
4º) 
 
Propriedade 
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 
Z Z R  
Demonstração 
Sendo z = a + bi e = a – bi (a R ), temos: 
 (a + bi) x (a - bi) 
 = a2- + - b2i2 
a2+ b2 
Como a e b são reais, Z Z R  
E. Divisão 
Dados dois números complexos, e , com 0, efectuar a divisão de z1 por z2 é 
encontrar um terceiro número complexo z3 tal que z1 = z2 x z3, ou seja: 
 
Exemplo 
Efectuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. 
Resolução 
1z  1z 2z  2z 3z  3z
4 2z =  4 2z =
z
z z =
z z abi abi
z z =
1z 2z2z 
1
3
2
z
z
z
=
 
28 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Devemos encontrar um número complexo z3 = a + bi tal que . Assim, 
a + bi 
2 – 3i = (a + bi) x (1+2i)2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi2 2 – 3i = a + 2ai + bi – 2b 
2 – 3i = (a – 2b) + (2a + b)i 
 
 
Substituindo em a – 2b = 2, temos: 
 
Assim: 
e Entao: 
 
 
Regra prática 
Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a, b, c e d reais e z2 ≠ 0, para efectuarmos a 
divisão de z1 por z2, basta multiplicarmos o numerador e o denominador da fracção 
Pelo conjugado do denominador ( ). 
 
Assim, temos: 
1
3
2
z
z
z
=
2 3
1 2
i
i
−
=
+
2 2
2 3.............. 2
a b
a b
− =

+ = − 
2 2
4 2 6
a b
a b
− =
+ 
+ = −
5a
4
4
5
a= −  = −
4 4 7
2 2 2 2
2 5 5
b b b− − =  − − =  = −
4
5
a = −
7
5
b = −
2 3 4 7
1 2 5 5
i
i
i
−
= − −
+
1
2
z
z
2z
 
29 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Dessa forma: 
Exemplo 
Efectuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. 
Resolução 
 
Potências de i 
Calculemos algumas potências de i com expoente natural: 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = –1 
i3 = i2 x i = (–1) · i = –i 
i4 = i2 x i2 = (–1) x (–1) = 1 
i5 = i4 x i = 1 x i = i 
i6 = i4 x i2 = 1 ·x(–1) = –1 
2
2 2 2
2 2
(a bi)(c di)
(c di)(c di)
(ac bd) (bc ad) i
a bi
c di
a bi ac adi bci bdi
c di c cdi dic d i
a bi
c di c d
= + −
=
+ + −
+ − + −
=
+ − + −
+ + + −
=
+ +
2 2 2 2
( ) ( ) i
a bi ac bd bc ad
c di c d c d
+ + −
= +
+ + +
2
2
2 3 (2 3i)(1 2i)
1 2 (1 2i)(1 2i)
2 3 2 4 3 6
1 2 1 4
2 3 4 7
1 2 1 4
2 3 4 7
1 2 5 5
i
i
i i i i
i i
i i
i
i
i
i
− − −
=
+ + −
− − − +
=
+ −
− − −
=
+ +
−
= − −
+
 
30 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
i7 = i4 x i3 = 1 x (–i) = –i 
Notamos que, a partir de i4, as potências de i vão repetindo os quatro primeiros 
resultados; assim, de um modo mais geral, com n ∈N, podemos afirmar que: 
i4n = (i4)n = 1n = 1 
i4n + 1 = i4n x i1 = 1 x i = i 
i4n + 2 = i4n · i2 = 1 x (–1) = –1 
i4n + 3 = i4n x i3 = 1 x (–i) = –i 
Esta conclusão sugere-nos o seguinte: 
Exemplos: 
1º) Calcular i359 
Resolução 
359 i359 = i3 = -i 
39 89 
 3 
2º) Calcular i130 
Resolução 
130 i130 = i2 = -1 
10 32 
 2 
 
4 
4 
 
31 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 3º) Resolva a equação: x2– 2x + 10 = 0 
Resolução 
(-2)2 – 4 . 1 . 10 = -36 
 
4º) Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular: 
a. Z + W b. Z – W c. Z · W 
Resolução 
Z + W = (4 + 2i) + (3 – 5i) = 4 + 2i + 3 – 5i = 7 – 3i 
Z – W = (4 + 2i) – (3 – 5i) = 4 + 2i –3 + 5i = 1 + 7i 
Z · W = (4 + 2i) (3 – 5i) = 12 – 20i + 6i – 10i2 = 
12 – 14i + 10 = 22 – 14i 
Resposta 
a. 7 – 3i; b. 1 + 7i; c. 22 – 14i. 
O número complexo 1 – i é raiz da equação x2+ kx + t = 0 (k, t ∈ ) se, e somente se: 
a. k = t = – 2 d. k = 2 e t = – 2 
b. k = t = 2 e. k + t = 1 
c. k = –2 e t = 2 
Resolução 
Se (1 – i) é raiz, temos: 
(1 – i)2+ k(1 – i) + t = 0 

 
36 36.( 1) 6. 1 6.
2 2 6
2.1 2
1 3
1̀ 3 ,1 3
i
i
x
x i
s i i
 = − = − = − =
  
= =
= 
= − +
 
32 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0 
(k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i 
Logo: 
Resposta C 
 
O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a: 
a. –2 + 2i d. 2 + 4i 
b. 2 – 3i e. 3 + i 
c. 1 + 2i 
 
Resolução 
Fazendo z = a + bi e = a – bi, temos: 
5z + = 12 + 16i ⇒5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i 
5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i 
6a + 4bi = 12 + 16i 
 
Logo: z = 2 + 4i 
Resposta D 
 
 
 
 
 
0 2
2 0 2
k t t
k k
+ = =

− − = = −
z
z
6 12 2
4 16 4
a a
b b
=  =

=  =
 
33 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Determine o inverso do número complexo z = 3 – 2i. 
Resolução 
O inverso de z será z-1, tal que z x z-1= 1, ou seja, z-1= . Assim: 
 
Assim, 
Resposta 
 
07. Determinar m ∈ R para que seja um imaginário puro. 
Resolução 
 
Para que z seja imaginário puro, devemos ter: 
Re (z) = 0 
Assim: 
 
 
1
z
1
2
1 1 (3 2 ) 3 2 3 2
3 2 (3 2i)(3 2i) 9 4 9 4
i i i
z
i i
−  + + += = = =
− − + − +
1 3 2
13 13
z i− = +
1 3 2
13 13
z i− = +
2 3
2
i
z
mi
+
=
+
2
2 2
2 2
2 3 (2 3 )(2 mi)
2 (2 mi)(2 )
2 3 4 2 6 3
2 4
2 3 ()4 3 (6 2 m)
2 4 4
i i
z
mi mi
i mi i mi
z
mi m i
i m
z i
mi m m
+ + −
= =
+ + −
+ − + −
= =
+ −
+ + −
= = +
+ + +
2
4 3 4
0 4 3 0
4 3
Re
4
3
m
m m
m
sposta
m
+
=  + =  = −
+
= −
 
34 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
08. Calcular: i14 – 3i-9 + 2i26 
Resolução 
14 9 26 
2 3 1 2 2 6 
I2 – 3 x + 2i2 = -1 +3i – 2 = -3 + 3i 
Resposta -3 + 3i 
09. Calcular i4n – 2. 
Resolução 
i4n-2 = 
Resposta 
-1 
 
1. O valor do número real x para que o conjugado do número complexo (x + 3i)(1 + xi) 
seja igual a 2 – 4i é: 
a) –2 b) –1 √ c) − d) 2 e) 3 
2. Considere o número complexo 
z = (1 + i). (3 – i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que 
zn seja um número real positivo. 
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 √ e) 30 
4 4 4
1
i
4 4
2
(i ) 1
1
1 1
n n ni
i
= = = −
− −
1
2
 
35 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
8. Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor de é: 
a) b) √ c) d) 2 e) 1 + 
 
11. Sendo a um número real e sabendo que a parte imaginária do complexo é 
zero, então a vale: 
a) –1 b) –2 c) –4 d) 2 e) 1 √ 
 
12. Seja a equação x3 – x2 + mx + n = 0 com m e n reais. Se o número complexo 1 – i é 
uma das raízes dessa equação, então: 
a) m – n = 2 d) m + n = 2 √ b) m + n = 0 e) m n = 1c) m – n = 0 
 
13. A equação de 2º grau, com coeficientes reais, que tem uma das raízes igual a 2 + 3i é: 
a) x2 + 2x + 3 = 0 b) x2 – 2x + 3 = 0 c) x2 + 4x – 9 = 0 d) x2 + 4x + 13 = 0 e) x2 
– 4x + 13 = 0√ 
 
15. Sabe-se que o polinômio f = x3 + 4x2 + 5x + k admite três raízes reais tais que uma 
delas é a soma das outras duas. Nessas condições, se k é a parte real do número 
complexo z = k + 2i, então z: 
a) é um imaginário puro. 
b) tem módulo igual a 2. 
a
b
3 2 5 2 2
2 2i
a i
+
+
 
36 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
c) é o conjugado de –2 – 2i. 
d) é tal que z2 = 4i. 
e) tem argumento principal igual a 45° 
 
17. O número complexo i é raiz do polinômio p = x3 – 2mx2 + m2x – 2m, no qualm ∈ . 
Uma outra raiz desse polinômio é: 
 a) 1 b) –1 c) 0 d) 2i 
 
18. Para que a equação 2x2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo z = 
3 – 2i como raiz, o valor de q deverá ser: 
a) 10 b) 12 c) 13 d) 26 √ e) 28 
 
19. Sabendo-se que o complexo z = a + bi satisfaz à expressão iz + 2z = 2i – 11, 
Então z2 é igual a: 
a) 16 – 9i b) 17 – 24i c) 25 – 24i d) 25 + 24i e) 7 – 24i 
 
22. Seja o número complexo z = 1 + i. O argumento principal de z2 é: 
a) 30° d) 90° √ b) 45° e) 120° c) 60° 
 
24. O complexo 1 – i é raiz da equação x4 – 2x3 – 2x2 + 8x – 8 = 0. As outras raízes são: 
a) –2, 2 e i b) 2, 3 e 1 + i c) –2, 2 e 1 + i d) 0, 2 e 1 + i e) –i, i e 1 + i 
+
 
37 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
25. Uma das raízes da equação x2 – 2x + c = 0, onde c é um número real, é o número 
complexo = 1 + 2i. É válido afirmar-se que: 
a) c = 0 b) c = 1 c) c = 3 d) c = 5 √ e) c = 7 
 
30. Sendo 1 e 1 + 2i raízes da equaçao x3 + ax2 + bx + c = 0, em que a, b e csão números 
reais, então: 
a) b + c = 4 b) b + c = 3 c) b + c = 2 √ d) b + c = 1 e) b + c = 0 
 
32. Uma equação do 2º grau que tem por raízes os números complexos 2 + i109 e 2 – i425 
é: 
a) x2 + 4x + 5 = 0 b) x2 + 4x – 5 = 0 c) x2 + 5x + 4 = 0 d) x2 – 4x – 5 = 0 
 
6 LOGICA MATEMÁTICA 
 Proposições 
Toda preposição apresenta três características obrigatórias: 
1. Sendo oração tem sujeito e predicado 
2. É declarativa (não e exclamativa nem interrogativa) 
3. Tem um somente um dos dois valor lógico ou e verdadeiro ou falso 
 
0z
Chama-se preposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de 
verdadeira ou falso 
 
 
38 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
São preposições 
▪ 8 7 (oito e maior que sete) 
▪ 8 7 (oito e diferente que sete) 
▪ 5 Z (cinco e um numero inteiro) 
 Conjunção
( )
 
 
 
 
 
 Disjunção
( )
 
 
 
IMPLICÂNCIA (→) 
 
 
 
 Equivalência (↔) 
 
 
 
 
 
 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
p q 
 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
p qA conjunção é verdadeira se p e q são ambas 
verdadeiras se pelo menos uma delas for falsa, então é 
falsa. Lê-se E 
 
p q
p q
p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
p q
A Disjunção é verdadeira se pelo menos uma das 
proposições p ou q é verdadeira 
Lê-se OU 
p q
p q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
p q→
É falso semente quando pé verdadeira e o q falso. Se lê: 
 Se p então q 
p q→
É verdadeira se ambas tiverem o mesmo valor lógico, 
isto é, quando o p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Lê-se: se e somente se. 
 
p q
 
39 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
NEGAÇÃO DE UMA PROPORÇÃO (~) 
P ~p q ~q 
V F V F 
V F F V 
F V V F 
F V F V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descrição Proposição Negação 
Negação de uma proposição conjuntiva ~ (PɅ Q) ~P V~Q 
Negação de uma proposição disjuntiva ~ ( P V Q) ~P Ʌ ~Q 
Negação de uma proposição condicional ~ (P→Q) P Ʌ ~Q 
Negação de uma proposição incondicional ~(P ↔Q) P Ṿ ~Q 
 ~ (P Ʌ Q) Ʌ (~Q V ~P)= ( P Ṿ ~Q) 
 
Proposição Negação 
( )x x y w + 
 
( )x x y w + =
 
( )x x y w + =
 
( )x x y w + 
 
x y x y 
x y x y 
A proporção ~ P tem semre um valor oposto P de isto, ~ P é 
verdade quando P ep falsa ~ P falsa quando P e verdade. 
 
Nota 
As condições contem e pertence não tem 
negação 
 
 
40 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Propriedades das operações lógicas 
p p =
 
Lei do maior grau
 
~ (PɅ Q) = ~P V~Q 
~ ( P V Q )= ~P Ʌ ~Q
 
Comutativa 
p q q p = 
 
Associativa 
( ) ( ) ( )p q r p r q r p q  =   =   
Distributiva 
( ) ( ) ( )p q r p q p r  =   
 
Conjunção 
 
Disjunção 
Comutativa p q q p = 
 
Associativa 
( ) ( ) ( )p q r p r q r p q  =   =   
Distributiva 
( ) ( ) ( )p q r p q p r  =    
Elemento neutro 
Va a = 
Fa a = 
 
Elemento absorvente 
F Fa  = 
V Va  =
 
 
 
01). Considere p q uma proposição falsa. Qual é o valor lógico das proposições 
iniciais. 
a) Ambas são falsas b) Ambas são verdadeiras 
c) p é verdadeira e q é falsa 1 e 0 d) p é falsa e q é verdadeira 
 
 
 
Resolução: 
 É falso semente quando pé verdadeira e o q falso. 
Entretanto a opção correcta éc) p é verdadeira e q é falsa 1 e 0 
p q→
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
41 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
02) A negação da sentença ,x x a b +  é: 
a) ,x x a b +  b) ,x x a b + = c) ,x x a b −  d) ,x x a b +  e) 
,x x a b + = 
 
03). A negação da proposição , 1x R x   é 
a) , 1x R x   b) , 1x R x   c) , 1x R x   d) , 1x R x   e) 
Nenhuma das alternativas 
 
 
 
04) Aplicando as propriedades simplifica as seguintes operações 
 a) ( )~p p q  b) ( )~ p q q  c) ( ) ( )~a b a b   
 
 
 
 
 
 
1. Dados os conjuntos:    
18
: 3 e 0 :A x R x n B x R n
x
 
=  = =  − = 
 
 Tem-se que A B 
é igual ao conjunto: 
a)  3,18 b)   c)  : 3 18x R x   d) 3,6,9,18 
Resolução: 
a negação: ,x x a b + = 
 
 
Resolução: 
Aplicando as propriedades de negação temos: , 1x R x  
 
é , 1x R x   
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Resolução: 
( ) ( )~ ~ ~a) p p q p p q p q  =   =  ( ) ( ) ( )c) V=V~ ~a b a b a b b a   =   =  
( ) ( ) ( ) ( )~ ~b) ~p q q q p q q q p q  =    =   
 
42 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
2.Dados     ( 2,4 1,4 e C= 0,2A B= − = correcto afirmar que AB Cð é: 
a) ( 2, 2− b) 2,2− c) ( )2,2− d) ( 0, 2 e) ( 2, 4− 
3. O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos −1 e 2. Sabe-se que x   
ou x   Pode-se concluir que: 
a) 1 ou x x −   b) 2 ou 0x x  c) 2 ou 1x x  − d) 3x  
e) Nenhuma das alternativas anteriores 
4Dados conjuntos numéricos em  14,11A = − ,  : 3 17B x x=   e o universo 
 18,18U = − o conjunto complementar da reunião de A com B. 
         a) 18,14 17,18 b) 18, 14 17,18 d) 18,18A B A B A B = −   = − −   = −
 e) 18,18 c) A B A B = −  =  
5.Sejam os conjuntos:  : 0 2A x R x=     : 3 1A x R x=  −   Nestas condições, o 
conjunto ( ) ( )A B A B −  é: 
a)    3,0 1,2−  b)   3,0 1,2−  c)    , 3 2,− −  + d)  0,1
 
6. Sejam os conjuntos:  : 4 3A x R x=  −   e  : 2 5B x R x=  −   A B− é igual a:a) 
 : 4x R x −   − b)  : 4 2x R x −   − c)  : 3 5x R x   d)
 : 3 5x R x   e) : 2 5x R x −   
 
7.Um conjunto A contém os cinco primeiros números naturais, os cinco primeiros 
números pares e os cinco primeiros números ímpares. Então, o número de elementos do 
conjunto A é: 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 
8.Se ( )A B = {1, 2, 3, 4, 5}, ( )A B = {1, 3} e A = {1, 3, 5}, então: 
 a) B= b)  =     c)  =   d)  =    
 
43 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto 
( )# A B B  têm: 
a) 5 Elementos b) 6 Elementos c) 4 Elementos d) Não tem elementos 
10.Numa escola de Línguas Estrangeiras, estudam 300 alunos. O número de estudantes 
matriculados apenas em Espanhol corresponde à metade dos que estudam Inglês, e a 
quantidade dos que cursam apenas Inglês é igual à dos que estudam Espanhol. O número 
de alunos que cursa Inglês e Espanhol é 
a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 
11. Quantos são os elementos do conjunto :10 30 ?x R x    + 
a) 2 b) 1 c) 3 d) Infinito e) o conjunto é vazio 
12.A parte colorida no diagrama que melhor representa o conjunto ( )D A A B= −  é: 
 
 
13. Sendo 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ, 𝒙 é 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝟏𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∈ ℕ, 𝒙 é 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟑}, então 
(𝑩 − 𝑨) ∩ 𝑪 é: 
a) {6,9,18} b){6,18} c) {6,9} d) {6} e) ⊘ 
 
14. Dados: 𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕, 𝟖}, 𝑩 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟗}, 𝑪 = {𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗} temos que 𝑨 ∩ (𝑩 ∩
𝑪) resulta: 
a) {5,6,9} b) {5} c) {1,3} d) {1,3,4,7,8} e) {7,8} 
 
 
 
44 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
16. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto 
( )# A B B  têm: 
a) 5 Elementos b) 6 Elementos c) 4 Elementos d) Não tem elementos 
 
17. Numa escola de Línguas Estrangeiras, estudam 300 alunos. O número de estudantes 
matriculados apenas em Espanhol corresponde à metade dos que estudam Inglês, e a 
quantidade dos que cursam apenas Inglêsé igual à dos que estudam Espanhol. O número 
de alunos que cursa Inglês e Espanhol é 
a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 
 
18. Quantos são os elementos do conjunto :10 30 ?x R x    + 
a) 2 b) 1 c) 3 d) Infinito e) o conjunto é vazio 
 
19.Chama-se conjunto dos números racionais o conjunto: 
a) { | }x xR b) | , 0
a
a com b e b
b
 
 
 
 
Z Z c) | , 0
a
a com b e b
b
 
 
 
 
N N 
d)  | x x ae a = R Q e) | , a a com b
b
 Z Z 
 
 
20.Assinale a afirmação verdadeira: 
a) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é irracional e 0,999… é racional. 
b) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é racional e 0,999… é racional. 
c) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é racional e 0,999… é irracional. 
d) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é irracional e 0,999… é irracional. 
e) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é 0,999… não são números reais. 
 
45 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
21.No diagrama, a parte hachurada representa: 
a) (𝑬 ∩ 𝑭) ∩ 𝑮 
b) (𝑬 ∩ 𝑮) 
c) 𝑮 ∩ (𝑬 ∪ 𝑭) 
d) (𝑬 ∩ 𝑭) ∪ (𝑭 ∩ 𝑮) 
e) (𝑬 ∪ 𝑭) ∪ 𝑮 
 
7 ARITMÉTICA 
Fracções 
Notação 
numerador:
indica quantas partes do todo foram tomadas.
denominador:
indica total de partes iguais que o inteiro fora dividido.
a
a
bb
→


 
→

 
 Tipos de fracções 
• Fracao própria 
São aquelas em que o numerador e 
menor que o denominador 
Ex.: 
1 4 11
; ; 
2 9 32
 
 
• Fracao imprópria 
São aquelas em que o numerador e maior 
ou igual que o denominador 
Ex: 
8 5 23
; ; 
3 5 2
 
 
• Fracção mista 
Chama-se numero misto a notação do 
tipo 
( ) 0
a
k com b
b
 
Ex: 
1 1 4 1 5
1 1
4 4 4 4 4
= + = + = 
• Fracao aparente 
Quando o numerador e múltiplo 
do denominador 
Ex. 
3 4 16
; ; 
3 2 8
 
 
• Fracao aparente 
São aquelas que se escrevem 
deferentes mas representa a 
mesma a mesma quantidade 
 
Ex: 
2 4 6 8
3 6 9 12
= = =
 
 
 
46 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 MDC 
Para calcular o mdc de dois números pelo processo de decomposição em factores primos 
deve-se: 
➢ Decompor os números dados em factores primos; 
➢ Calcular o produto dos factores primos comuns com menor expoente. 
Exemplo: 
Calcular o m d c (18,27) 
18
2
9
3
3
3
1
 
27
3
9
3
3
3
1
 ( )
2
2
3
18 2 3 3 2 3
18,27 3 9
27 3 3 3 3
mdc
=   = 
= =
=   = 
 
 Proporcoes 
Se uma razão 
a
b
 for igual a uma razão 
c
d
 ambas formam uma sentença denominada 
proporção. 
Definicao 
 
 
 
Ex.: 
2
6
 =
15
45
→ É uma proporção, pois as razões são iguais, isto é, valem 
1
3
. 
Indicamos as proporções assim: 
a c
b d
= ou a:b=c:d Onde a e d são chamados extremos da proporção e b e c são chamados 
meios da proporção. 
Propriedade fundamental das proporções 
 Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dizemos que os números a,b,c,d com
estão em proporção, na ordem dada, se, e semente, a razão entre a e b for igual 
à razão entre c ed 
 
0 e 0b d 
a c
b d
=
 
47 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Demonstrando: 
2 15
6 45
= → 2 45 6 15 90
EXTREMOS MEIOS
 =  = 
Meu amigo este é um tópico muito importante porque nos exames de admissão caiem 
exercícios que atrapalham muita gente. Vamos perceber totalmente sobre as razões, 
proporções e Percentagens. 
 Razão 
 
 
 
Onde a denomina-se antecedente e b 
consequente 
• Razões inversa duas razões são inversas quando o produto entre delas valem1 
 
 
Fração irredutível 
x
y
é aquela que não é possível simplificar. Isto se x e y são primos entre 
si, ( ), 1mdc x y =   
 Regra De Tres 
Grandezas Directamente proporcionais 
 Duas grandezas são directamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a 
outra aumenta na mesma razão da primeira. 
Exemplo: 
Um veículo que percorre: 
➢ 80km em 1 hora. 
➢ 160km em 2 horas. 
➢ 240km em 3 horas. 
Chama-se razão de um número ae um número bo quociente de que também se 
indica lê-se "razão entre a e b"ou "razão de a para b" ou simplesmente "a está para b" 
( ), com b 0
a
b

a b
 ( )1 0 e 0
a c
b d
b d
 =  
 
48 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos então, 
que o tempo e a distância são grandezas directamente proporcionais 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a 
outra diminui na mesma razão da primeira. 
Exemplo: 
Um veículo faz um percurso em: 
➢ 1 hora com velocidade de 120km/h. 
➢ 2 horas com velocidade de 60km/h. 
➢ 3 horas com velocidade de 40km/h. 
Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a 
velocidade são grandezas inversamente proporcionais. 
 
 Percentagem 
Uma percentagem representa uma comparação entre um numero e o numero 100, o símbolo 
de percentagem é % lê-se “por cento”. 
Uma fracção em que o denominador é 100 chama-se percentagem, qualquer fracção de 
denominador 100 pode ser substituída por um dado numero em percentagem. 
 
Exemplo: 
32
32%
100
=
3 75
0,75 75%
4 100
= = = 
Qualquer dado expresso em percentagem pode ser substituído por um numero decimal. 
85
85% 85 100 ,85
100
o= =  = 7,4% 7,4 100 , 74o o=  = 
 Aumentos E Descontos Percentuais 
Muitos problemas práticos envolvem aumentos ou descontos usando percentagem. Isso 
ocorre especialmente em Matemática Financeira. 
 
49 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Reparo que algumas pessoas acabam trabalhando com muitos cálculos em cima de uma conta 
simples que envolve percentagem. É um bom exemplo disto a obtenção do valor final do 
acumulo (ou desacumulo) de um valor acrescido (ou decrescido) de um percentual deste 
mesmo valor. 
Aumento e percentual 
Aumentando-se X% de um valor `A` 
Simplesmente se faz: 
x A
x
A
=
−
 100% 
Exemplo 2, Aumente 30% o valor 200. 
Resolução 
Sendo 30% de 200 o mesmo que 0,30 200 60, = o resultado final é a soma 
200 60 260.+ = 
Repare que ( )200 0,30 200 200 1 0,30 200 1,30+  =  + =  . Portanto, aumentar 30% o 
valor 200, basta multiplicar `200` por `1,30`. 
Exemplo: 1 No caso da cidade que teve sua população aumentada de 1000 para 1100 
habitantes, o aumento percentual é: 
1100-1000
100
100% 0
0
1 % = 
 
Reduções percentuais 
Para reduzir x % a usamos a fórmula: 
Redução percentual =
A x
x
A
−
100% 
Uma loja reduziu o preço de um produto de Mt 100,00 para Mt 90,00. A redução neste 
exemplo foi de 10%. 
100 90
100
x
−
100%=10% 
 
50 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
03) Calcule 3% de 60%. 
a) 18% b) 12% c) 6% d) 1,8% e) 1,2% 
 
 
 
 
 
 
04) Uma loja de CD`s realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Ana 
multiplicar todos os preços dos CD`s por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo 
um desconto de: 
a) 68% b) 6,8% c) 0,68% d) 3,2% e) 32% 
 
 
05) Num colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Qual o total de 
alunos desse colégio? 
a) 105 b) 145 c) 210 d) 250 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
Resolução: 
Neste caso, temos uma questão sobre percentagem de percentagem. Para calcular uma 
percentagem de outra percentagem, basta multiplicar a primeira pela segunda. 
3% de 60% é a mesma coisa que 3/100 de 60/100. Devemos transformar 0,018 para taxa 
percentual. Para isso, multiplicamos por 100. 
0,018 x 100 = 1,8%. Portanto, 3% de 60% é igual a 1,8%. 
 
Resolução: 
Ao multiplicar os preços por 0,68 = 68% a loja oferece um desconto 100% – 68% = 32%. 
Resolução 
 Na escola,38% dos alunos são meninos. Isso quer dizer que o percentual restante é formado 
de meninas. 
100% – 38% = 62% Dos alunos são meninas. O enunciado diz que a quantidade de meninas é 
de 155. 
Então, 62% do total de alunos equivale a 155 meninas. 
Desse modo, por uma regra de três simples podemos determinar a quantidade total de alunos, 
o equivalente a 100%. Representaremos pela letra y 
 
Portanto, o total de alunos da escola é de 250. 
 
155 meninas 62%
y alunos 100%


155 62
62 15500 250
y 100
y y=  =  =
 
51 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
06) Determinar o número que é preciso soma aos termos 
06) Determinar o número que é preciso soma aos termos da fracção 7/17, para se obter 
a fracção 3/4: 
a) 5 b) -10 c) 12 d) 18 e) 23 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
01. Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras 
com cartão de crédito, dividindo o preço a vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que 
o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta: 
 a) Um desconto de 20% d) um aumento de 25% b) Um aumento de 20% e) um 
aumento de 80% c) Um desconto de 25% Opção correcta: d) 
02. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, 
mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o 
desconto não fosse dado, seu lucro, em percentagem, seria: 
 a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60% Opção correcta:c) 
03. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 
13
12
 A percentagem de 
rapazes na festa é: 
a) 44% b) 45% c) 40% d) 48% e) 46% Opção correcta: d) 
04. Seja W =
wy
z
 Se x sofre um aumento de 25% e y sofre um aumento de 40%, a alteração 
que sofre z para que W não se altere é: 
 a) Aumentar de 65% d) Diminuir de 75% b) Diminuir de 65% e) Z não 
deve sofrer nenhuma alteração c) Aumentar de 75% Opção correcta: c) 
Resolução: 
Preste atenção! O número deve ser somado aos dois termos: 
Da fracção· ( ) ( )
7 3
4 7 3 17 28 4 51 3 4 3 51 28 23
17 4
x
x x x x x x x
x
+
=  + = +  + = +  − − −  =
+
 
52 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
05. Para todo número real x, tal que 0 1x  , pode-se considerar 2 x− como uma boa 
aproximação para o valor de
4
2 x+
 . Nessas condições, a razão positiva entre o erro cometido 
ao se fazer essa aproximação e o valor correcto da expressão, nessa ordem, é: 
a)
2
4
x
 b)
2
2
x
 c) 2x d)
2
2
x
x+
 e)
2
2
x
x−
 Opção correcta: a) 
06. Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes directamente 
proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é: 
a) 6,0 b) 8,2 c) 8,4 d) 14,4 e) 20,4 Opção correcta: e) 
07. As medidas dos lados de um triângulo são números pares consecutivos, e a medida do 
menor lado é um terço da soma das medidas dos outros dois lados. O perímetro desse 
triângulo é 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 20 e) 24 Opção correcta: e) 
08. A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. Qual é a idade 
de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? 
a) 10 e 34 b) 12 e 36 c) 15 e 39 d) 6 e 30 e) 18 e 42 Opção correcta: b) 
09. Com 210 sacos de farinha, de 60 kg cada um, podem-se fazer 180 sacos de pães com 40 
kg cada um. Quantos quilogramas de farinha serão necessários para produzir 120 sacos de 
pães, pesando 80 kg cada um? 
a) 9450 b) 9600 c) 16800 d) 20800 e) 21600 Opção correcta: c) 
10. As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão 
de4 para 5. qual é a idade da mais velha actualmente? 
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 Opção correcta: d) 
11. Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior, 
enquanto a menor dá 100 voltas? 
 a) 133. b) 86. c) 75. d) 65. Opção correcta: c) 
12. Sabe-se que 4 máquinas operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas 
de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas 
daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? 
 
53 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 a) 8. b) 15. c) 10,5. d) 13,5. Opção correcta: d) 
 13. 15000 Candidatos inscreveram-se na UEM e foram aprovados 9600. Qual a 
percentagem de reprovação? 
a) 24. b) 30. c) 32. d) 36. e) Nenhuma. Opção correcta: d) 
15. Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens 
são casados e 20% das mulheres são casadas. Então, o número de pessoas casadas é: 
a) 50. b) 46. c) 52. d) 48. e) 54. Opção correcta: c) 
16. Se 
2
5
 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam em 7 
horas por dia; então, quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 
operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? 
 a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. e) 22. Opção correcta:d) 
 
8 POTENCIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
...n
n factores
a a a a a a
→
=    
 
 
Sejam a (um numero real) e n (um numero natural). Chama-se potencia de numero a de 
expoente n ao produto de n factores iguais ao numero a e designa-se por na . Onde a e a 
base da potencia e n o expoente da mesma. 
 
 
54 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Propriedades De Potências 
 Notação Científica 
Notação científica também conhecida como potência da base 10, uma matéria bastante 
fácil observa a tabela. 
 
A notação científica serve para expressar 
números muito grandes ou muito pequenos. 
O segredo é multiplicar um número pequeno 
por uma potência de 10. 
 
 
 
Dizemos que um número está em notação 
científica quando ele está escrito na forma 
a.10b, onde a é um número real maior ou 
Potencias de exponte negativa 
1
; 
n m
n
n m n
a b
a
a b a
−
−
−
= = 
Potência de expoente fracionário 
m
n mna a= 
Multiplicação de potências com a mesma 
base 
n m n ma a a + = 
 Multiplicação de potências com mesmo 
expoente ( )
nn na b a b =  
Divisão de potências com a mesma base 
n
n m
m
a
a
a
−=
 
Divisão de potências com mesmo expoente
nn
n
a a
b b
 
=  
 
 
Potência de expoente nulo 
( )0 1, com 0a a=  
Potência de expoente nulo 
( )0, com n 0no =  
Expoente par e ímpar
( ) , se for par
n na a n− =
( ) , se for impar
n na a n− = − 
Potência de uma potência
( )
m
n n ma a =
 
 
010 1= 
1
2
3
4
5
6
7
10 10
10 100
10 1000
10 10000
10 100000
10 1000000
10 10000000
=
=
=
=
=
=
=
 
1
2
3
4
5
6
7
10 0,1
10 0,01
10 0,001
10 0,001
10 0,0001
10 0,00001
10 0,000001
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
 
 
55 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
igual a 1 e menor que 10 e b é um número inteiro. 
Número grande desloca-se a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo 
significativo. A ordem de grandeza será o número de posições deslocadas. 
Ex: 
8
5
14
200.000.00 2 10
560.0005,6 10
602.000.000.000.000 6,02 10
= 
= 
= 
 
Números pequenos desloca-se a vírgula para a direita, e a cada casa avançada diminui-se 
uma ordem de grandeza (a ordem de grandeza será simétrico do número de posições 
deslocadas, será portanto negativo). 
Ex: 
𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟓 ⋅ 10−3 
𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 001 = 𝟏 ⋅ 𝟏𝟎−𝟗 
𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 000 𝟎𝟏𝟔 = 𝟏, 𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟏𝟒 
Mudando a posição da vírgula e ajustando o expoente 
Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser 
posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o 
procedimento a ser realizado é o seguinte: 
• Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do 
expoente. 
• Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades 
ao expoente. 
Ex: 
1 0
6 0
5 2
12,5 10 1,25 10 1,25
640 10 6,40 10
0,0078 10 7,8 10
−
−
 =  =
 = 
 = 
 
 
 
 
 
56 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Comparação de números em notação científica 
Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será 
o número maior: 
Ex 
4 21,5 10 3,2 10   
41,5 10 é maior que 
23,2 10 , mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, 
pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2. 
3 28,7 10 5,3, 10− −   
38,7 10− é menor que 
25,3, 10− , ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 
5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2. 
Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir 
a maior mantissa: 
5 53,25 10 3,45 10   
Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 
53,25 10 é o menor 
deles, pois é o que possui a menor mantissa. 
3 34,5456 10 4,23 10   
Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 
34,5456 10 é o maior dos 
dois, pois é o que tem a maior mantissa. 
7 76,24 10 6,24 10 =  
Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são 
iguais. 
 
 
 
 
 
57 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
01) O valor de é: ( )
310 1
43 2 9
1
27 0,2 25 64
3
−−
−−− −
  
 +  +   
   
 
a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Qual é o valor da expressão 
1
3
2
2
1
2 ?
2
 
 
 
 
a) 2 b)
1
2 
c) 2− d) 2 e) 1 
 
 
Resolução 
( )
( )
10
3
14
3 2
9
4
10 9 4 10 9
4
4 1 4 3 1 4 8
1
0,227 25
3
1
3 3 5 3
5
−
−
− −− −
−
− − + −
 
 +  +  
 
=  +  + = + + = + + =
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração veja as propriedades e sua aplicação 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
10
10 10
3
9 3 3
4 4
2
2 2 4
939 3 91
39 9 99
1 1
3 Para 3 ;
3
3 Para 27 3
1 1 1
Para 25 5 ;25
5 5
4 4 4 4
n
n
m
n
m
n n
n
m
n
a
a
a
a a
a
a
−
−
−
− −
−
− − −
−
−−
   
 =  =   
   
 = 
     
 =  =  =     
     
    
= = =     
     
Resolução 
 
( )
1 1
3 1
2 2
2 2
1 3 1 3 2
2 2 2 2 2
1 1 1
2 escrevendo na base 2, temos 2
2 2
2 2 2 2 2
n
n
n m n m
a
a
a a a
−
−
− − +
+
     
 =  =     
     
  = = =   =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
58 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
03) A terça parte da soma de 5 23 6+ é: a) 
5 2
3 33 6+ 
b) 5 23 3 2+  c) ( )56 3 6+ d) ( )3 23 3 2+ e) 5 23 6+ 
 
 
 
 
 
04) A metade do número 
21 122 4
2
+
é: 
a) 20 222 2+ b) 12 62 4+ c) 12 212 2+ d) 20 62 4+ e) 22 132 2+ 
 
 
 
05) O valor da soma
2003 1001 2002 1001
1001 2003 1001 2003
2 9 2 9
4 3 4 3
 
+
 
é: 
a)
1
3
 b)
2
3
 c)1 d)
4
3
 c) 2 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
A regra mais útil na soma de potênciasé evidenciar o termo que se repete, isso facilita 
simplificações.
 
( )5 25 2
5 2
3 3 23 3 2
3 2
3 3
++ 
= = +
Resolução:metade de numnúmero n é
 alternativa a 
2
n
( )
12
221 12 21 12 21 21 24
21 1 23 1 20 22
22 4 2 4 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
− −+ = + = + = + = + = +
Resolução: 
 
( )
( )
( )
( )
1001 1001
2003 2 2002 22003 1001 2002 1001
1001 10011001 2003 1001 2003 2 2003 2 2003
2003 2002 2002 2002 2003 2002 2002 2002
2002 2003 2002 2003 2003 2002 2003 2002
2 3 2 32 9 2 9
4 3 4 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 3 3
 A regra usada 
a
− −
− −
  
+ = +
   
 
= + = +
 

1 0
1 1
2 2 2 1 3
, logo: 1
3 3 3 3
p
p q
q
a
a
−
  +
= + = = = 
 
 
 
59 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
06) A expressão 
10 20 30
20 30 40
10 10 10
10 10 10
+ +
+ +
é equivalente a: 
a) 101 10+ b) 
1010
2
 c) 1010− d) 1010 e) 
1010 1
2
−
 
 
 
 
 
07) O número 0,0004 usando notação científica pode ser escrito na forma 
a) 34 10− b) 54 10− c) 64 10 d) 64 10− e) 44 10− 
 
9 RADICIAÇÃO 
 
 
Definição 
 
 
• Se n for par n a b= ,isto é, o resultado sempre será positivo 
• Se n for par e a negativo não tem solução em R 
• n a− = não tem solução em R 
• Se n for impar e a expressão terá solução em R 
Resolução: Observe: esta resolução 
o exercício parece difícil, mas evidenciando o menor expoente de numerador 
e denominador a coisa fica totalmente fácil. 
 
( )
( )
10 10 2010 20 30 10
10 20 10
20 30 40 2020 10 20
10 1 10 1010 10 10 10
10 10
10 10 10 1010 1 10 10
− −
+ ++ +
= = = =
+ + + +
( )1010
( )2010
Resolução 
 Logo Avista pode notar que a nuca opção que tem 4 casas decimais é e) ou melhor 
 
 
40,0004 4 10−= 
Chama-se raiz enésima de a todo numero positivo b, tal que Em geral: 
 
 
 
nb a=
nn a b b a=  =
 
60 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Classificação de radicais 
• Radicais homogéneos 
 
• 
 
37 7 7 7 55a) 10, 81, 78 e 97 ;b) , e x y x y− + 
• Radicais semelhantes 
 
 Operações entre radicais 
• Adição e subtracção de radicais 
 
 
 
 
• Multiplicação de radicais 
 
 
 
Se os radicais não possuírem o mesmo índice diferentes devemos reduzi-los ao mesmo índice 
dessa forma efetuarmos a multiplicação ou a divisão mmc dos índices 
 
 
• Divisão de radicais 
 
São aqueles radicais que têm o mesmo índice 
 
São aqueles radicais que tem o mesmo índice e o mesmo radicando 
 
Só podemos adicionar radicais semelhantes, isto é, radicais que possuam o mesmo índice e 
mesmo radicando. 
 
Só podemos multiplicar radicais homogéneos, radicais que possuam o mesmo índice par tal 
mantem-se os índices e multiplicasse os radicando 
 
( ) com b 0n n n
a
a b
b
 = 
 
( )n n nc a b a c b a = 
 
n n na b a b = 
Só podemos multiplicar radicais homogéneos, radicais que possuam o mesmo índice par tal 
mantem-se os índices e multiplicasse os radicando 
 
 
( ) 
np pnp p nn a b a b mmc = 
 
61 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
• Raiz de uma raiz 
 
 
 
• Radical duplo 
. 
 
 
 
 
Atenção: a diferença precisa ser além de positiva quadrado perfeito, só assim é possível 
transformar um radical duplo numa soma o diferença de radicais simples 
( )
n
m
n m n ma a a= = 
, um numero par e a Rn N n   
( )
nm
n m n ma a a= = Passagem a factor do radicando um coeficiente do radical 
 Racionalizacao De Denominador 
Racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com 
denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional em outras 
palavras, esse procedimento consiste em transformar um denominador irracional em 
um número racional, porém sem alterar o valor numérico de umafração. 
 
 
p p nn a a

=
 
2, 
2 2
a c a c
a b c a b
+ −
 =  = −
Radical duplo chama-se radical duplo a fórmula fácil de calcula exercícios como 
na forma mais simples 
3 8+
 
62 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Factor racionalizante 
 
 
Factor racionalizante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver exercícios de radicas temos que aplicar as seguintes propriedades de 
potências. 
Numa primeira fase é necessário saber que aa n
m
n
m
= , e que 
n
k
n
m
n
km
n
km
aaaaa ==
+
, e
n
k
n
m
n
k
m
n
km
a
a
a
a
a ==
−
e depois ieremos aplicar 
propriedades de bases iguais e expoentes diferentes 
a
a
a
aa
aaa
nm
n
m
nm
nmnm
−
+
==
=
 
Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também 
irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, 
que a torne uma expressão racional 
É o fator racionalizante de 
 É o fator racionalizante de 
 É o fator racionalizante de 
 É o fator racionalizante de 
 É o fator racionalizante de 
 É o fator racionalizante de 
 
nm
a
m m na −
a b− a b+
a b+ a b−
a b+ a b−
a b c+ − a b c+ +
3 32 23a ab b− +
3 3a b+
 
63 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Exemplo: Simplifique a Expressão 
4
3
3
aa
aa 
aplicando aa n
m
n
m
= teremos 
a
a
aa
aa
4
3
1
3
1
2
1
4
3
3
1
2
1
+
+
=


 achando mmc nos expoentes e aplicando a
a
a nm
n
m
−
= teremos: 
12
5
12
5
12
1015
aaa ==
−
 
Exemplo
33
1
12
11
4
5
12
11
4
5
12
11
2
2
5
12
11
2
5
4
1
3
2
2
3
1
4
1
3
2
2
3
43
2
3
aou
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
=======


=

−
+
+
 
usando outra via aaa
a
a
a
aa
aa
aa
3
1
12
4
12
11
4
5
12
11
4
5
4
1
3
2
4
3
2
1
4
1
3
2
2
3
====

=

 −
+
 
( )
( )
93
27
9327
9327
3
3
3
27
3
27
33 2
33 2
23 3
33 2
233 2
233 2
3
3
3
3
3
++=
−





 ++−
−





 ++−





 ++





 ++

−
−
−
−
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
3
3
3
9
+
+

−
−
x
x
x
x
 
( )( )
( )( )33
39
+−
+−
xx
xx
 
 
64 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
( )( )
3
22
39
−
+−
x
xx
 
( )( )
9
39
−
+−
x
xx
= 3+x 
01) O número 4 40,2 0,001 400000 0,008   é: 
a) 8 b) 4 c) 0,5 d) 40 e) 0,4 
 
 
 
 
02) (UEM) A expressão ( ) ( )
2
5 3 14 6 5− + é igual a: 
a) 8 b) 9 c) 256 d) 4 e) 16 
03) Efectuando
2 3 2 3
2 3 2 3
+ −
+
− +
obtém-se: 
a)4 b) 3 c) 2 d) 2
3
 e) 1 
Resolução: 
 
( )
4
4 244
0,2 0,008 0,001 400000 regra usada 
0,0016 400= 0,2 20 0,2 20 4
n n na b a b   →  = 
  =  =
Resolução: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2
5 3 14 6 5 5 3 5 6 5 3 14 6 5
lembrando que para 5 3 2
5 6 5 3 14 6 5 5 6 5 9 14 6 5 14 6 5 14 6 5
para 14 6 5 14 6 5 usamos 
14 6 5 196 36 5 196 180 16
a b a ab b
a b a b a b
 − +  − = − + +
  
− → − = − +
 − + + = − + + = − +
  
− + → − = − +
− = −  = − =
 
65 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
05) O valor aproximado de 
0,75 516 0,00243
2
4,333...
3
− +
+
 é: 
a) 0,045 b) 0,125 c) 0,315 d) 0.085 e) 0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) O número ( )
51 1
3 10
1 1
7 7 3
37
−
−    
 +  −         
 é igual a: 
Resolução 
 
“Good!” agorammc dos denominadores logo:
 
 
 
 
 
2 3 2 3
 seja: 2 3 ; e 2 3
2 3 2 3
, certo vamos escrever na forma 
y x
yy x x
x y x y
+ −
+ + = − =
− +
+ +
y x
( )( ) ( )2 2
2 3 2 3 2 2 3 3 4 4
4
14 32 3 2 3 2 3
+ + − + + −
= = = =
−+ − −
“Vamos matar o leão” 
a notação científica de 
agora pode tirar foto o “leão esta morto” substituindo temos:
 
 
75 25 3
0,75
100 25 4

− = − = −

( )
3
3
3 36 3 39 13
4,333... 4 0,333.. 4
9 9 9 3
mmc


+
= + = + = = =
( )5 50.00243 243 10 ; 243 3−=  =
( )
1
3 43 345 5 54 344
33
1 31 1 33 10 10
21016 3 10 1616
2 13 15 5 5
3 2 3
1 3 1 3 17
425 102 10 8 10 40 0,085
5 5 5 5
−
−
−
−
++  +
+ 
= = =
+
+ +

= = = = =
 
66 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a)
2
21
 b) 
2
21
− c) 
4
21
 d) 
10
21
− e) 
4
21
− 
 
08) Racionalize o denominador da expressão 
4 57
6
9
x
x y
 
 
 
 
 
 
09) Racionalizando o denominador da expressão 
1
2 3 5+ +
temos: 
a) Não é possível b) 
5 2 4 3
7
+ +
 c) 
2 3 3 2 30
12
+ −
 
d) 
2 3 5
5
+ +
 e) 
2 3 5
5
− −
 
 
 
 
Resolução: 
 
( )
1
351 1 5
3 10 10
1
2
6 23 3
6 3
1 1 1 1 1
7 7 3 3
37 7 7 7 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
7 3 3 7 3 3 7 37 77 7 7 7
1 1 1 1
3 77
−
− −
−
 
         
 +  − = +  − =                   
 
             
   +  − = +  − = +  −                            
 
+  − 
 
22
1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 4
7 3 21 213 7 3 7 3 7 3
−         
= +  − = − = − = = −        
         
Resolução: 
 
7 7 7 7 7 75 3 2 5 3 2 5 3 27 7 7
7 7 7 7 7 74 5 2 4 5 5 3 2 7 7 77 7 7 7
7 75 3 27
3 6 3 6 36 6
39 3 3 3
6 3
3
x y x x y x x yx x
xyx y x y x y x y
x x y
y
     
=  = =
     
 
=
 
67 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCICIOS 
15. O valor da expressão 
( )
3 1 3
1
0,5.10 2 1000
1,3111
−
−
−

é igual a: 
a) 377 b) 590 c) 620 d) 649 e) 750 
Resolução: 
Não quero perder tempo. Qual o fator racionalizante para expressão deste tipo? És ai 
 É o fator racionalizante de 
Então vamos resolver: 
 
a b c+ − a b c+ +
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
10 10
10 10 5
2
a b a b
a b a b a b a ba b a b
a b a b a b a b a b a bab
abab aba b a b
+ + +
= 
 + − + + + ++ − +
 
+ + + + + + + + +
= =  =
+ − +
Resolução: 
Observa: que esta expressão é do tipo E o fator racionalizante é 
ou melhor, para o fator racionalizante é . 
Resolvendo temos: 
 
 
 
 
 
 
a b c+ +
a b c+ −
1
2 3 5+ +
2 3 5+ −
( )( )
( )( )
( ) 2 2
2
1 1 2 3 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 3 5
 aplicando a propriedade distributiva
2 3 5 2 3 5
do denomindor 2 3 5 2 3 5 temos: 2 6
2 3 5
 o fator racionalizante 6
2 6
2 3 5 6 12 18 30 2 3 3 2 30 2 3 3 2 30
122 6 6 2 6 2 6
+ −
= 
+ + + + + −
+ −
+ + + −
+ + + −
+ −
+ − + −  +  − + −
= = =

 
68 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
10 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
(EQUAÇÕES LINEARES) 
 
Analisando a equação 0ax b+ = , com e ba R , temos as seguintes hipóteses: 
• Para 0a  , a equação 0ax b+ = admite uma única solução, pois é do primeiro 
grau. 
• Para 0 e 0a b=  ,a equação 0ax b+ = não tem solução, pois a sentença é sempre 
falsa. 
• Para 0 e 0a b= = , a equação 0ax b+ = admite todos os números reais como 
solução, pois a sentença 0 0 0x + = é sempre verdadeira. Neste caso 
Uma equação linear do tipo: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 resolve se passando para o 
primeiro termo todos termos com variável e para o segundo membro todos sem a 
variável. 
Exemplo: 𝟐𝐱 − 𝟑 = 𝟏 + 𝐱 
4
312
132
=
+=−
+=−
x
xx
xx
 
Exemplo 2: a soma de um numero desconhecido e 2 é igual a 5, qual é esse 
numero? 
𝐗 + 𝟐 = 𝟓 
𝐗 = 𝟓 − 𝟐 
𝐗 = 𝟑 
Exemplo3: a soma da quantidade de copos disponiveis para festa e 100, é 
igual ao dobro do numero de copos menos 300 
Uma equação que pode ser escrita na forma onde a e b são números reaisconhecidos, 
com representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é chamada de equação do 1° grau 
a uma incógnita 
 
ax b+
0, a x
 
69 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
𝐱 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝐱 − 𝟑𝟎𝟎 
𝐱 − 𝟐𝐱 = −𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 
−𝐱 = −𝟏𝟑𝟎𝟎 → x = 1300 
 
11 EQUAÇÕES QUADRATICAS 
 
Uma equação do 2º grau pode ser resolvida segundo a fórmula resolvente ou Bhaskara 
Neste caso, ∆ é chamado de discriminante, pois discrimina quantas soluções terá a 
equação. 
• Se 0  , a equação terá duas raízes diferente. 
• Se 0  , a equação não terá raízes reais 
• Se 0 = a equação terá uma raiz. 
 
 
Soma e produto 
A soma e produto das raízes de equação do 2° graus na forma é dada por: 
Soma:
1 2
b
S x x
a
= + = − Produto 1 2
c
P x x
a
=  = 
 
2ax bx c+ +
Uma equação pode ser escrita na forma , onde a, b e c são números reais 
conhecidos, com ex representa uma incógnita, é chamada de equação do 2º grau a uma 
incógnita. Os números conhecidos são chamados coeficientes 
 
 
2 0ax bx c+ + =
0a 
Por vezes analisando os coeficientes podemos resolver 
mentalmente através de soma e produto. 
 
 
2
1,2 ; 4
2
b
x b ac
a
−  
=  = −
 
2x Sx P− +
 
70 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
O método da tentativa 
O método da tentativa consiste em obter as raízes 
de uma equação do 2° . grau utilizando estas propriedades, sem o uso da fórmula 
resolvente (Baskara) 
 Soma e produto duma expressão polinomial 
 
 
A soma de raízes:
B
S
A
= − O produto das raízes:
C
P
A
= 
 Equações paramétricas 
 
𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 
 
Exemplo: 𝟑𝐱𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟓 = 𝟎 onde a=3, b=4, c=5 
Equacoes quadraticas incompletas – são aquelas que não posuem pelo menso 
um dos coeficientes exceplto o a. Pode não conter o valor de b / ou de c. 
▪ Para que a soma das raízes sejam iguais a um número dado 
▪ Para que o produto das raízes seja iguais a um numero 
▪ Para que uma das raízes seja igual a zero 
▪ Para que as raízes sejam reais do mesmo sinal 
▪ Para que as raízes sejam reias e de sinais contrários 
▪ Para que as raízes sejam nulos 
 
 
b
S
a
= −
c
P
a
=
0P =
0 e 0P  
0 e 0P  
0 e 0P = =
Chama-se equações paramétrica todas equações em para além da variável x contem uma outra 
variável (k;m;t…) denominada parâmetro 
 
Em um polinómio da forma: a soma de suas raízes são dadas pelo 
quociente -B/A. E o produto é dada pelo quociente C/A 
 
1 2+ +A B C ...n n nx x x− − +
 
71 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 
0
0
0
0
2
2
=
=
=
=
x
x
a
a
x
x
 
 
 
Com isso da para concluir que este 
tipo de equação terá como solução 
sempre x = 0. 
Porque 0 dividido por qualquer 
número dará sempre zero, e raiz de 
zero é zero. 
 
EX: 9𝑥2 = 0 
𝑥2 =
0
9
 
𝑥2 = 0 
𝑥 = ±√0 
𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 
a
c
x
a
c
ca
ca
ca
x
x
x
x
−
=
−
=
−=
−=
=+
2
2
2
2
0
0
 
 
Com isso da para concluir que este 
tipo de equação terá como solução 
sempre a raiz quadratica de -c/a. 
(negativo e positivo) 
 
Porem não terá solução para -c/a 
positivo. 
 
EX: 2𝑥2 − 18 = 0 
2𝑥2 = 0 + 18 
2𝑥2 = 18 
𝑥2 =
18
2
 
𝑥2 = 9 
𝑥 = ±√9 
𝑥 = ±3 
EX2: 
−4𝑥2 + 16 = 0 
𝑥 = ±√
−16
−4
 
𝑥 = ±2 
 
 
 
 
73 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 
 
( )
a
b
xx
baxx
bxa x
−
==
=+
=+
0
0
0
2
 
 
Com isso da para concluir que este 
tipo de equação terá como solução 
sempre uma solucao igual a zero e 
outra igual a -b/a 
 
EX: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 
𝒙(𝟐𝒙 − 𝟔) = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 𝒗 𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 𝒗 𝟐𝒙 = 𝟔 
𝒙 = 𝟎 𝒗 𝒙 =
𝟔
𝟐
 
𝒙 = 𝟎 𝒗 𝒙 = 𝟑 
 
 EquaÇão quadrata completa, tipo : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Uma equação quadrática completa podemos calcular usando várias formas, exemplo: 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
Exemplo: 
 
74 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
3
2
15
1.2
24255
2
4
2
2
15
1.2
24255
2
4
065
2
2
2
1
2
−=
−−
=
−−−
=
−−−
=
−=
+−
=
−+−
=
−+−
=
=++
a
acb
a
acb
x
b
x
b
x
x
 
Como a soma das soluções acima (−3) + (−2) = −5 e o produto dos mesmos 
(−3) × (−2) = 6 
Podemos rescrever a nossa equação na forma de 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 para a=1. 
Sempre que temos o valor de a=1,A soma das raízes 𝑥1 + 𝑥2é o valor de b com sinal 
contrário e o produto das raízes 𝑥1 ∙ 𝑥2 é igual a exatamente o valor de c. 
Para equações onde a é diferente de zero temos: 
𝑆 =
−𝑏
𝑎
 e 𝑃 =
𝑐
𝑎
 
Usando essas fórmulas podemos resolver equações quadráticas usando a fórmula de 
soma e produto: 
 
Resolva a equação: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 
Resolução: 
É fácil verificar que o valor da soma das raízes desta equação é 6 e o produto das 
raízes deve ser igual a 8. Agora só temos que pensar em números cujo produto dá 8 e 
a soma dá 6. 
Esses números são claramente, 2 e 4, então são soluções da equação x1=2 e x2=4. 
Podemos usar a técnica da soma e produto também para resolver vários problemas tais 
como: 
EX2 Calcule 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 3(𝑥1 + 𝑥2)sabendo que x1 e x2 são raízes da equação 2𝑥
2 −
22𝑥 + 12 
a. 57 b. 9 c. 27 d. 42 
 
75 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
EX3 Calcule 
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
 sabendo de x1 e x2 são raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 
 
a. 
𝟖
𝟔
 b. 
𝟏
𝟑
 c. 
𝟐𝟎
𝟖
 d. 3 
 
 
Resolução: 
EX2 Na equação 2𝒙𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 
Temos: xxp 21.=
 xxs 21 += 
Soma 
𝑺 =
−𝒃
𝒂
=
−(−𝟐𝟐)
𝟐
= 𝟏𝟏 
Produto: 
𝑷 =
𝒄
𝒂
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
Depois só substituir na expressão, 
( )
3933611.36
3.
2121
=+=+
++ xxxx 
 
 
 
EX3 NA equação 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 
Conseguimos ver facilmente que a soma é 8 e o 
produto é 24. Só temos que substituir isso no 
arranjo ao lado. ( ) ( )
3
1
24
8
.
11
11
21
12
21
21
12
===
+
=+
+
P
S
xx
xx
xx
xx
xx
 
 
76 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Informações relevantes sobre equações quadráticas: 
Uma equação quadrática do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
 Para a=0, a equação torna-se do primeiro grau ou linear (bx+x) 
 Para a=0 e b=0, a equação torna se em uma função constante 
 Para b=0, a equação fica apenas 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, uma equação quadrática incompleta 
com soluções simétricas vistas no ponto 4.4 
 Para delta>0, temos 𝑥1,2 =
−𝑏±0
2𝑎
 como -b+0 e -b-0 = -b, logo x1 será igual a x2. E 
teremos solução dupla ou mesma solução 
 Para delta<0, não teremos como calcular o √∆, uma vez que não existe raiz do 
número negativo, assim a equação não tem solução 
 Para delta>0, o -b+√∆ e -b-√∆, produz valores diferentes, por isso, a equação terá 
duas soluções iguais. 
12 ALGÉBRA 
 
 
 Classificação das expressões 
Uma expressão algébrica será um monómio quando apresentar apenas 1 termo 
algébrico 
Ex.: 2xy ;
1
3
xyz 
Constituição dum monómio cada monómio é constituída um coeficiente (ou parte 
numérica), um termo ou mais (a parte literal ou variável) e o grau (expoente máximo da 
variável ou duma das variáveis) 
Graus de um monómio racional inteiro 
 
Uma expressão diz se algébrica se sobre a variável(letra) incide a operação adição subtracção, 
multiplicação divisão e extracção da raiz 
O grau de um termo algébrico ou monómio racional é a soma dos expoentes das variáveis 
desse monómio. 
 
 
77 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
Ex.: 2 33b c é do 5° gau já que a soma dos expoentes de b e c 2+3=5 
Ex.:𝟓𝒎𝒏𝟑𝒑𝟔 é do 10° gau já que a soma dos expoentes de m, n, p é 1+3+9=10 
Graus relativos de um monómio racional inteiro 
 
 
Ex.: O monómio 2 33b c é do 2° gau em relação a b e do 3° gau em relação a c. 
Ex.: O monómio 
3 65mn p do 1° gau em relação a m e do 3° gau em relação a n do 6° gau 
em relação a p. 
POLINÓMIOS 
 
• Quando um polinómio apresentar apenas dois 2 termos ele será um binómio 
Ex:
2 3x x+ 
• Quando um polinómio apresentar apenas 3 termos ele será um trinómio. 
Ex.: 
 
FÓRMULA GERAL DE UM POLINOMIO 
 
 
 
Grau de um polinómio racional inteiro 
 
Ex: polinómio 
3 2 4 5 3 5 62 7 3x y x y x y x y− + − é do 11° graus já que o termo (monómio) de 
maior dos graus é 11 
5 6x y− 
O grau relativo de um termo algébrico ou monómio racional é os expoentes de uma 
determinada variável desse monómio 
 
Uma expressão diz se algébrica será um polinómio quando apresentar 2 ou mais termos 
algébricos 
 
Grau de um polinómio racional inteiro é o maior dos graus dos seus termos não nulos 
 
 
1 2
0 1 2 0... | 0
n n n
na x a x a x a a
− −+ + + + 
 
78 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Grau de um polinómio racional inteiro em relação de uma variável 
 
Ex.: O monómio 
3 2 4 5 3 5 62 7 3x y x y x y x y− + − é do 5° graus em relação a variável x e do 6° 
em relação a variável y 
 Polinómio racional inteiro homogéneo 
 
Ex: 
3 4 2 5 6 72x y x y x y x− + − é polinómio racional inteiro homogéneo do 7° graus pois 
todos os termos algébricos são do 7° graus. 
 Polinómio racional inteira ordenado 
 
 
Ex: O polinómio
3 2 2 4 5 62x y x y xy y− + − é polinómio racional inteiro ordenado 
decrescentemente em relação x pois os expoentes de x decrescem de 3 até 0. 
Polinómio racional inteiro completa 
 
 Polinómio nulo 
 
 Polinómios idênticos 
 
 Operações com polinómios 
Adição e subtracção 
 
• Obs: observe que, se não houver termos semelhante para operar, ele apenas será 
repetido 
É o grau do monómio de maior grau do polinómio 
 
Um polinómio racional inteiro é homogéneo quando todos os seus termos algébrico é do 
mesmo grau. 
 
Um polinómio racional inteiro esta ordenado em relação a uma variável quando todos 
expoentes dessa variável estão ordenado de forma crescente ou decrescente. 
 
Um polinómio racional inteiro é completo em relação a uma variável quando todos expoentes 
dessa variável estão presentes nesse polinómio. 
 
Um polinómio será nulo quando todos coeficientes são iguais a zero. 
 
Polinómios idênticos dois polinómios são idênticos se e só se são iguais os coeficientes dos 
termos do mesmo grau 
 
Adiciona-se ou subtrai-se os termos do mesmo grau 
 
79 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Multiplicação 
 
 
 
Divisão: 
Método da chave: 
• 
• 1° Organiza-se os termos dos polinómios em ordem decrescente dos graus dos 
seus termos. 
• 2° Coloca-se, no quociente, um termo que o seu produto com o divisor anula o 
termo com maior grau no dividendo. 
• O processo termina quando o grau do resto parcial for menor do que o grau do 
divisor. 
Ex.: 
 
Teorema d’alembert 
 
 
 
 
A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro os coeficientes, depois a parte 
literal obedecendo as regras de potenciação e a regra da distributividade e, por fim, 
adicionando-se os termos semelhantes. 
 
Divide-se como se estivesse a dividir um número por outro. 
Um polinómio é divisível por se e somente se ou seja, se a for a raiz do 
polinómio·. 
 
( )P x ( )x a− ( )P 0a =
 
80 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Divisibilidade de polinómios 
 
 
 
 
 Método De Briot-Ruffini 
Regra de Ruffini 
• O coeficiente do primeiro termo do quociente é igual ao coeficiente do primeiro termo 
do dividendo; 
• Cada um dos restantes coeficientes do quociente obtém-se multiplicando o coeficiente 
anterior do quociente por a e adicionando o coeficiente correspondente de P(a); 
• O resto é a soma do último termo do dividendo com o produto do último termo do 
quociente por a. 
 
 Teorema do resto 
 
 
 
 
 
 
Um polinómio é divisível por só e só se . Neste caso, diz-se que a é a raiz do 
polinómio. Se um polinómio f é divisível por e por , com , então f é divisível pelo 
produto 
( )
n
x
B ( )x a− ( ) 0B a =
x a− x b− a b
( )( )x a x b− −
O Resto da divisão do polinómio pelo binómio é igual ao valor do polinómio 
para ou seja, o resto R vai ser igual ao 
 
( )P x ,x a− ( )P x
,x a= ( )P a
 
( )R P a=
 
81 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Teorema do resto (divisor de 1° grau d ax b= + ) 
 
 
 
 
 
Teorema da decomposição de um polinômio 
 
 
De maneira geral, todo polinómio: 
 
Pode se escrito na forma fatorada ( ) ( )( ) ( )1 2P ...n nx a x x x  = − − − Em que 
1 2, ,.. n   são as raízes de ( )P x , dai podemos anunciar o seguinte teorema: 
 
 
01).Um polinómio ( ) 3 2P x x ax bx c= + + + satisfaz as seguintes condições:
( ) ( ) ( )P 1 0; P P 0x x= − + = qualquer que seja xreal. Qual o valor de ( )P 2 ? 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
 
( ) 1 21 2 1 0P ...
n n
n nx a x a x a x a x a
−
−= + + + + +
O teorema da decomposição de um polinómio, o qual garante que qualquer polinómio pode ser 
decomposto em factores de primeiros graus 
 
Toda equação polinomial de graus tem exatamente n raízes reais ou 
complexas 
( ) 0P x = , 0n n 
Resolução: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 3 2
3 2 3 2 2 2
P P 1 1 1 1 1
0
P P 0 2 2 0 ; 1
0
P 2 8 2 6
x x ax bx c a b c a b c
a
x x x ax bx c x ax bx c ax c ax c b
c
= + + +  = +  +  +  + + = −
=
− = =  − + − + + + + +  + =  +  = −
=
= − =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
82 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
02)Os valores dos números reais m e n, para os quais o polinómio 
( ) 3 2P 6 2x x mx x n= + + + seja divisível por 2 2x x− − , são, respectivamente: 
a) 9 e −8 b) 7 e −10 c) 10 e −7 d) −9 e 8 
 
03) O polinômio P é tal que ( ) ( ) 2P P 2 3x x x x+ − = + para todo x real. Determine P (0), 
P(2) 
 
Resolução: 
1° Passo. Vamos achar os zeros de 
 
Pelo teorema de divisibilidade 
Para temos: 
Para temos: Veja que 
ai temos duas equações e duas incógnitas 
 
 
2 2x x− −
( )( )2 1 22 2 1 2 1x x x x x x− −  − +  =  = −
1 2x = ( )
3 2P 2 0 2 2 6 2 2 0 8 4 12 2 0m n m n=  +  +  + =  + + + =
1 1x = − ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
P 1 0 1 1 6 1 2 0 1 6 2 0m n m n− =  − +  − + − + =  − + − + =
( )4 7 2 2 208 4 12 2 0 4 2 20 28 8 2 20
1 6 2 0 2 7 7 27 2
48
6 20 28 6 48 8 8 8
6
7 2 7 2 7 2 8 7 16 9
7 2
n nm n m n n n
m n m n m nm n
n n n n nn
m n m n m m m
m n
− + = −+ + + = + = − − + = −  
     
− + − + = + = = −= −  
−
− = − − − = − = = ==    
     −     
= − = − = −  = − = −     = −
Resolução: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
P 0 P 2 0 0 3 P 0 3
P 2 2 P 2 2 2 3 P 2 2 P 0 7 P 2 1
x +  − = +  =
+  − = +  +  =  =
 
83 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
04) Dados os polinómios ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2P ,Q e R 5 3x x x x x x x x= = + = + , determine os 
números “a” e “b”reais tais que ( ) ( ) ( )R Px a x b Q x=  +  
 
05) O resto da divisão de um polinómio P (x) por ( )1x + é7 e o resto da divisão de P (x) 
por ( )( )1 2x x+ − é 3. Determine o resto da divisão de P (x) por ( )( )1 2x x+ − . 
 
 
1. Se P (x) é um polinómio do segundo grau com coeficientes reais, tais que então:
( ) ( ) ( )P 0 1 e P 1 P 8 2x x x= − − = − + 
a) ( ) 2P 2 4 1x x x= + + b) ( ) 2P 4 2 1x x x= + + c) ( ) 2P 4 2x x= − c) ( ) 2P 2 4 1x x x= − + + e)
( ) 2P 4 2 1x x x= − + 
Resolução: 
 
 
( ) ( )4 2 2 4 2 4 2 2 4 2
5
5 3 5 3
5 3 2
b
x x a x b x x x x ax bx bx
a a
=
+ = + +  + = + + 
+ =  = −
Resolução: 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
P 1 7 P 1 1 0 7 P 1 7
P 2 3 P 2 2 0 3 P 2 3
x Q x x Q
x Q x x Q
=  + +  − = −  +  − =
=  − +  =  +  =
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
P 1 R 1 7
P 1 2
P 2 R 2 3
x Q x x x R x
− = − =
=  + − + 
= =
( )
2 2 3 17
3 17 
2 3 3
17 9 17 4 4 17
2 3 2 R
3
Logo :
3 3 3 3
a b
b b
a b
a a a x x
− + =
 =  =
+ =
−
+ =  =  = − = − +
 
84 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
2 O polinómio ( )A x representa a área de um quadrado de lado 1a + e o polinómio 
( )V x representa o volume de um cubo de aresta 1a + . O grau de ( ) ( )A Vx x+ é: 
a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e)1 
3. O volume de um paralelepípedo é dado por ( ) 2V 6 11 6x x x x= − + − e sua altura é 3. A 
soma das outras dimensões desse paralelepípedo é: 
a) 3 b) 2 c) 6 d) 4 e) 7 
4. Se o volume de um paralelepípedo é dado por ( ) 3 2V x x mx nx p= + + + e suas arestas 
são 1, 2 e 3, então o quociente (área da base) de ( )V por 3x x − é: 
a) 2 3 2x x+ − b) 2 3 2x x+ + c) 2 3 2x x− − d) 2 3 2x x− + 
4. O volume de um paralelepípedo é dado por ( ) 2V 6 11 6x x x x= − + − e sua altura é 3. A 
soma das outras dimensões desse paralelepípedo é: 
a) 3 b) 2 c) 6 d) 4 e) 7 
5.A soma dos coeficientes do polinómio do 3º grau que se anula para 1x = e que, ao ser 
dividido por, 1, 2 e 2x x x+ − + apresenta 
restos iguais a 6, é: 
a) 2 b) 0 c) 4 d) 6 e) 3 
6. O resto da divisão do polinómio 𝒙𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 por 𝒙 + √𝟐
𝟑
 é igual a: 
a) 316 2 b) 38 2 c) 32 d) 16 e) 8 
7. Seja 𝟐𝒙𝟐𝒏+𝟏 + 𝟑𝒙𝟐𝒏 + 𝟑 n N .Dividindo esse polinómio por 1x + , obtém-se o resto: 
a) 0 b) 4 c) −2 d) 5 e)3 
8. Se ( ) ( )3 2P 2 6 2x x mx m x m n= − + − + + + é divisível por 1x − e por 1x + , então m + n é 
igual a: 
a) 7 b) −7 c) 6 d) −6 e) 0 
9.A divisão de ( )P x por 2 1x + tem quociente 2x − e resto igual a 1. O polinómio ( )P x é: 
a) 2 1x x+ − b) c) 2 22 2x x x− + − d) 2 22 1x x x− + − 
2 1x x+ + 2x x+
 
85 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
10.Numa divisão de polinómios em que o dividendo é de grau n e o quociente é de grau 
n − 4 , com n ∈ IN e n ≥ 4, o grau do resto pode ser, no máximo, igual a: 
a) 3 b) n – 4 c) 4 d) n – 5 c) 5 
11.O resto da divisão de ( ) 3P 1x x x= − + por ( ) 2D 1x x x= + + é: 
a) 0 b) x + 2 c) x – 2 d) −x + 2 e) −x – 2 
12.O quociente da divisão de 
3 2 por 1x px q x x+ + + + é igual a: 
a) 1x− + b) 1x − c) 2 1x − d) 2 1x + e) 1x + 
13.Se na divisão de 4 312 5 5 12x x x+ + + , por 23 2 1x x+ − , o quociente é Q(x), então Q(3) é 
igual a: 
a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 
14.O polinómio ( ) 3 2P 2 2x x ax bx= − + + é divisível por 22 5 2x x+ − . Então a + b é igual a: 
a) −7 b) −3 c) 0 d) 7 e) −10 
15.O resto da divisão de 4 3 2x x x ax b+ + + por 2 1x + é 3. O valor de a b+ é: 
a) 5 b) 4 c) 2 d) −4 e) −2 
16.O resto da divisão de 4 3 22 2 5 1x x x x− + + + por 2x − é: 
a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2 
17. O gráfico da função polinomial y = P (x) é: 
 
Nestas condições, qual o resto da divisão de 
( ) ( )( )P por 2 1 ?x x x+ − 
 
 
 
18.Se 
2 2
2 1
1 1 1
ax b x
x x x
−
+ =
− − −
, Para todo ,x 1x   então a − b vale: 
a) 4 b) −2 c) 3 d) 0 e) −1 
 
86 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 Classificação das expressões algébricas 
Expressões algébricas classificam-se em racional e irracional
INTEIRA 
 RACIONAL
FRACCIONARIA



 
PAR 
IRRACIONAL
IMPAR



 
 
EXPRESSÕES RACIONAL 
Ex.:
3 2
3 2 5 2 3 52 , -6x y 4 -
11
m p
ab m m p 
Expressão algébrica será racional fraccionária 
( )
( )
( ) ( )0 0 0
M x
M x N x
N x
=  =   Onde ( ) ( )M x N x são polinómios. 
Ex.: 
2 2 4
5 8 2
5 4
3 10
; ; ; 3
ab y m p
x y w
c x n q
−− − 
 
Expressão algébrica irracional 
 
Ex: ( )
1 2
2 3; ; zx x yx 
Uma expressão algébrica será racional inteira quando apresentar apenas termos algébricos 
racionais inteiras 
Uma expressão algébrica será racional fracionária quando apresentar pelo menos 1 termos 
algébricos racional fracionaria. (incógnita se encontra em denominador) 
 
Uma expressão algébrica será irracional quando a variável figura na radical ou quando a 
variável tem expoente fraccionário 
 
 
 
87 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
IDENTIDADES NOTÁVEIS 
 
• Quadrado da soma de dois termos 
( )
2 2 22a b a ab b+ = + + 
• Quadrado da diferença de 2 
termos. 
( )
2 2 22a b a ab b− = − +
 
• Diferença de quadrados de dois 
termos 
( )( )2 2a b a b a b− − − +
 
• Cubo da soma de dois termos; 
( )
3
3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −
 
• Cubo da diferença de dois termos; 
( )
3
3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +
 
• Soma de cubos de dois termos; 
( )( )3 3 2 22a b a b a ab b+ = + − +
 
• Diferença de cubos de dois termos; 
( )( )3 3 2 33a b a a ab b− = − + − 
• Cubo da soma e diferença com um 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
3 2
3 2
1 1 1
1 1 1
a a a a
a a a a
+ = + − +
− = − + +
 
 
Identidade fracionárias 
1 1 b a
a b ab

 = 
( )
1 1 2 1
 
1 1
n
n n n n
+
+ =
+ +
 
( )
1 1 1
 
1 1n n n n
− =
+ +
 
( )
1 1 1
1 1n n n n
+ =
+ +
 
( )
1 1 1
1 1 ( 1)
n
n n n n n
−
− =
+ + +
 
 Quadrado da soma de três termos 
( )
2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + 
Distributiva 
( )a b c ab ac + = + 
Identidade de Diophantos 
 
São ditas notáveis por serem as identidades mais usadas. É muito importante 
memorizá-las e estar sempre atento para a possibilidade de usá-las, mesmo que as 
aparências escondam isso. 
 
Sempre que dois números inteiros,m e n, forem, cada um, a soma de dois quadrados, 
Então seu produto mn também será a soma de dois quadrados. 
 
 
88 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Ex: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
26 2 13 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 5 1 26
16 2 8 1 1 2 2 etc.
116 4 29 2 58 1 1 7 3 etc.
=  = +  + =  +  +  −  = + =
=  = +  + =
=  =  = +  + =
 
 
 
01) Simplificando a expressão 
( )( ) ( )
2 2
1 1 1
p p
p p p
+
+ − + +
obtém-se 
a)
( )
2
1
p
p p
+
+
 b) 
1
p
p +
 c)
( ) ( )1 1
p
p p+ −
 d) 
2
1
p
p
+
+
 e)
( )
( )( )
2
1 2
p p
p p
+
+ −
 
02) A expressão equivalente 
3 2 3
3 2
5 6 9
8 2 4
a a a a
a a a
− + −

− + +
 é: 
a)
3
2
a
a
+
−
 b) 
2
3
a
a
−
+
 c)
3a
a
+
 d)
2
a
a + 
e)
2
a
a +
 
 
 
Resolução: 
 
 
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2 2 2 2
2 22 2
22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 11 1
p pp p p p p p p p p
p p p p p p p p p pp p
++ + + + +
= = = = =
+ − + + − + + + + +− +
Resolução: 
 
 
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 2 3 3 2 2
3 2 3 3
2 2 2
3 3 2 2 2
5 6 9 5 6 2 4
8 2 4 8 9
5 4 2 32 4 2 4
2 3 3 3 32 2 4
a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a aa a a a a
a a a a aa a a
− + − − + + +
 =  =
− + + − −
− + − −+ + + +
 =  =
− − − + +− + +
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
89 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
03) Os valores A, B, C daexpressão 
3
8
4 2 2
A B C
x x x x x
= + +
− − +
são respectivamente: 
a) 2, 2, 1 b) 1, 2,1, c) 2,1, 1 d) 1, 1,2 e) 2, 1,1− − − − − − − − 
 
04) Usando as identidades notáveis e calculando inteligentemente, mostre que
( ) ( ) ( )
2 2
4 a b c a b c b a c+ + − − + = + 
 
 
 
05) Sabendo que 9 e que 13 x y xy+ = = podemos determinar o valor de 
3 3 ?x y+ 
 
 
06) Calcule 
a) 25003 
 
 
Resolução: 
 
 
( )( ) ( )
( )( )3 3
2 2 28 8
4 2 2 4 2 2
x x A B x C x xA B C
x x x x x x x x x x
− +  +     −
= + +  =
− − + − − +
( ) ( )
2 2 2
0
0 2 0
8 4 2 2 2 2 0
2 2 0 2 2 0
4 8 2
2 22 2 2 1 1
2 2 2 0 2 2 2 02 2 0 2 4 2 0 1
2; 1; 1
A B C
A B C B C
Ax A Bx Bx Cx Cx B C
B C B C
A A
C B C BB C C B C
B C B BB C B B B
A B C
+ + =
+ + = − + + = 
= − + + + −  − =    
− = − = − =  = −
= − = − + = = −  = − =  
      
− − = − − =− = − + =  =   
= − = =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
: e 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2
4 4 4
seja x a b y a b
x c y c x xc c y yc c x xc c y yc c
a ab b a b c a ab b a b c a ac bc a ab ac bc
x c y c ba bc b a c
= + = −
+ − + = + + − + + → + + − − −
→ + + + + − + − + − → + + − + + −
+ − + → + = +
 
Partindo de ( )
3 3 2 2 33 3x y x x y xy y+ = + + + obtemos 
( ) ( )
33 3 33 8 3 13 8 512 312 200x y x y xy x y+ = + − + = −   = − − 
 
( )
2 2 25003 5000 3 5000 6 5000 3 25000.000 30.000 9 2503009.= + = +  + = + + = 
 
90 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
13 EQUACÕES DO 3° GRAU 
Resolução
Para resolver uma equação as raízes Aplica-se a regra de Ruffini . 
Casos particulares 
• 3 3 0ax bx cx+ + = 
Evidencia-se o termo o termo de menor expoente neste caso o c 
( )
3 3
2
2
0
0
0 0
ax bx cx
x ax bx c
x ax bx c
+ + =
 + + =
 =  + + = 
 
• Se 0c = 
Para este caso aplica-se também a regra de Ruffini.no lugar do c coloca-se zero
3 3 0 0ax bx x d+ + + = para completar a expressão de modo a facilitar sua resolução
 
14 EQUACÕES DO 4° ,6° ,8°… GRAUS 
 
Equação “tipo produto” 
 
0d =
3 3 0ax bx d+ + =
Uma equação pode ser escrita na forma , ondea, b, ce dsão números reais 
conhecidos, com 
 
3 3 0ax bx cx d+ + + =
0a 
Para resolver qualquer equação do tipo aplica-setroca de variáveis. Que 
consiste em Substituir pory ou (outra variável) obtendo-sey resolvendo a equação do 2°. 
grau. Em seguida desfaz-se a troca determina-se a incógnita inicial. 
, ondea, b,ce dsão números reais conhecidos, com 
 
2 0n nax bx c+ + =
nx
Lembrando quês e pode-se resolver uma equação de grau maior 
que dois se for possível transformá-la num produto de factores do 1°. e 2° . graus 
 
 
0 0 ou 0A B A B =  = =
 
91 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Onde: A e b são polinómios 
Equação “tipo quociente ” 
 
 
 
 
 
As raízes da equação deste tipo são as do numerador por não definida quanto 
( ) 0B x =
 
01) Soma das soluções inteiras da equação ( )( )( )2 2 21 25 5 6 0x x x x+ − − + = 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11 
 
 
 
 
 
 
02) O trinómio do segundo grau, ( ) 22 1 4y m x mx m= + + + em que m é um número real, é 
sempre positivo, se e somente se: 
1 1 1 1
a) b) 0 m c) m d) m 
2 2 2 2
m     −   
 
 
Chama-se equação do tipo quociente ou simplesmente equação fracionaria se a incógnita 
se encontra em denominador. 
 
 
( )
0 ( ) 0 e ( ) 0
( )
A x
A x B x
B x
=  = 
Resolução 
 
A soma das raízes da solução é 5 
( )( )( ) 
2 2
2 2 2 2
2
1 0 1 1( 1 )
1 25 5 6 0 25 0 0 5 0 5
5
5 6 0 5
1
x x x
b
x x x x x S S
a
b
x x S
a

 + =  = −  = − − 


+ − − + =  − =  = − =  = + =

−
− + =  = − = − =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
92 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Se a e b são raízes diferentes da equação 2 5 1 0x x− − = então a grandeza 1 1a b− −+ é 
igual a : 
a) 8 b) 8 c) 5 d)5 e)4,5 − − 
 
 
 
 
 
 
04) Para que valores de k, a equação 2 9 0x kx− + = tem uma raiz dupla? 
a) 9 b) 6 c) 2 d) 3 e) 5k k k k k=   =  =  = 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) O discriminante (deve ser negativo (se o delta é negativo a equação não tem 
raízes. 
b) b) O a (coeficiente de ) deve ser maior que zero. Isso será mais bem visto em funções 
Assim, sendo temos: 
Então é sempre positivo, se e somente se: 
 
 
2x
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 22
2 2 2
1
2 1 0 2 1
2
4 0 4 4 2 1 0 4 4 2 1 0
0
16 8 4 4 0 4 2 1 0 1
2
m m m
b ac m m m m m m
m
m m m m m m m
m


 +    −   −


−   − +    − +  

 
 − −     −   −   
 

1
0 m
2
 
Resolução: 
Como ai temos raízes elevados ao expoente negativo e lembrando que então
 (achando mmc) observa que no numerador temos a soma de 
raízes e no denominado o produto então: 
 
1n
n
a
a
− =
1 1 1 1a b
a b
− −+ = +
1 1 a b
a b a b
+
+ =

5
5
51
5
1 1
1
1
b
S
a b S Sa
ca b P P
P
a
−
= − = − =+  
=  = = − 
− − = = = −

Resolução 
Para quetenha uma raiz dupla 
 
( )
22
2
2
1
0 4 4 1 9
9 0
36 36 6 9
a
b ac k
x kx b k
k k k c
=
 =   = −   = − −   
− + = = −
 =  =   =   =
 
93 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
05) Considere a equação 2 1x kx k− + = . Se uma das raízes for nula desta equação qual 
será a outra 
 
 
 
 
 
O6) Se uma raiz da equação 2 1 0x ax+ + = é quatro vezes maior do que outra, então o 
parâmetro a da equação é igual a: 
a) 1 b) 0 c) 4 d) 2 e) 2,5    
 
 
 
 
 
 
 
07 ) equações do 2o grau 22007 2008 1 0x x+ + = e 2 2008 2007 0x x+ + = têm uma raiz 
Comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns? 
 
a)1 b) 0 c) 2006 d) 2007 e) 2008 
 
 
 
Resolução: 
 Para uma das raízes da equação quadrática (
) seja nula o (o termo independente) 
 
2 21 1 0x kx k x kx k− + = − + − =
2ax bx c+ + 0c = 1 0 1k k− =  =
Resolução: 
Para este tipo de exercícios calculamos em primeiro lugar a soma de raízes 
em seguida calculamos o produto 
Veja que na questão, uma raiz é quatro vezes maior que a outra, e
então temos que: 
 
1 2
1
b a
S x x a
a
= + = − = − = − 1 2
1
1
1
c
P x x
a
=  = = =
1 24x x=
2
1 2 2 2 2 2 2
1 1
1 4 1 4 1
4 4
x x x x x x x =   =  =  =   = 
2
1 2 2 2 2 2
2
1
1 5
4 5 5 5 2,52
2 2
5
x
x x a x x a x a a x a a
a x

=    
+ = −  + = −  = −  = −  = −   =  =    
  = −
Resolução: 
Ambas as equações têm 1 como raiz. As outras raízes são e 2007, cujo produto é 1. 
 
1
2007
 
94 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
1.Para qual valor de "a" a equação ( )( ) ( )( )2 2 3 2 1 0x ax x ax− − + − − + = tem duas raízes 
reais e iguais? 
a)-1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 
2. Sendo p e q as raízes da função 
22 5 3y x x a= − + − onde 
1 1 4
3p q
+ = assinale 
VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, pode haver mais de uma alternativa 
verdadeira) 
a) O valor de a é um número inteiro. b) O valor de a está entre – 20 e 20 
c) O valor de a é um número positiva. d) O valor de a é um número menor que 
e) O valor de a é um número fracionário 
3. Considere a equação 
2
5
11
2
a b
x
x
− =
−
−
com a e b números inteiros positivos. Das 
afirmações: 
I. Se 1 e 2a b= = então 0x = é uma solução da equação. 
II. Se x é solução da equação, então 
1
, 1 e 1
2
x x x  − III. 
2
3
x = não pode ser solução da equação. É (são) verdadeira (s) 
a) Apenas II. b) Apenas I e II. c) Apenas I e III. d) ApenasII e III. 
4. Sendo 15 e 7, respetivamente, a soma e o produto das raízes da equação
23 0x bx c+ − = O valor de b c− 
 a) –68 b) –45 c) –24 d) –16 
5. Se a equação ( )23 6 2 1 0x x k− + − = tem duas raízes reais e diferentes, então: 
a) k<2 b) k=0 c) k>2 d) k∉ℜ 
6. A função quadrática ( ) ( )2 24 2 1y m x m x= − − + − está definida quando: 
a) m = 4 b) m≠4 c) m ≠ ±2 d) m = ± 2 
7. Parábola da equação 
2y ax bx c= + + passa pelo ponto (1,0). Então a + b + c é igual a: 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) Nenhuma das alternativas 
 
 
95 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
15 EQUACOES IRRACIONAIS 
 
 
Resolução 
Para resolver uma equação irracional, devemos transformá-la eliminando os radicais. 
Para isso, elevamos ambos os membros da equação a expoentes convenientes. Elevando 
os dois membros da equação a expoentes pares obtemos uma nova equação, nem 
sempre equivalente à equação inicia
Equações do tipo 
 
Como se resolve 
Passa-se o 2° termo para o 2° membro e eleva-se ao quadrado ambos os membros. 
Resolver a equação obtida e verificar as soluções. 
Equações do tipo 
 
Como se resolve 
Passa-se o 2° termo para o 2° membro e eleva-se ao quadrado ambos os membros. 
Resolver a equação obtida e verificar as soluções. 
Equações do tipo 
 
Como se resolve eleva-se 
Ao quadrado ambos os membros. Resolver a equação obtida e verificar as soluções. (caso 
notável) 
01) A equação 5 5 2x x x−  + = − tem raíz(es): 
a) 5− b) 5− c) 5 d) e) 5 
Equação irracional é uma equação em que a incógnita aparece sob um ou mais 
radicaisqualquer equação irracional pode ser reduzida a uma equação algébrica racional 
 
 0A B =
 0A B =
 A B D =
 
96 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
02) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
1 1
2 2
1x y x y+ − − = .Qual das 
alternativas apresenta um possível valor de y? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Nota:Ai temos uma nova equação irracional, vamos elevar os dois lados da igualdade ao 
quadrado novamente. 
A única alternativa que contém 
um número da forma 4x – 1 é a alternativa C. veja que: 
 
( )
( )
2
21 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
21 1 1 1 1
2 2 2 2 4
1 1
lembrando que 2 vem:
2 1 2 1 2
x y x y x y x y
a b a ab b
x y x y x y x y x x y
+ − − =  + − − =
→ − = − +
 + − +  − + − =  − = −
Primeiro vamos achar o domínio de existência: (veja na unidade de domínio de 
expressões irracional como calcular domínio) 
 
 5,0x  −
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( )
 
2
2 2 2 2
2
5 5 2 5 5 2
5 5 2 5 5 4 25 4
5 25 5 logo: 5 . 5 5,0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
−  + = −  − + = −
 − + = −  − + =  − =
 =  =  = − =  −
Para calcular as raízes de qualquer equação irracional basta primeiro calcular o domínio 
em seguida resolver a equação seguindo os passos do respetivo caso e verificar a solução 
obtida se pertence ao domínio. 
 
 
A única alternativa que contém 
um número da forma 4x – 1 é a alternativa C. veja que: 
 
( ) ( )
2
2 2 2 21
4
2 1 2 4 4 1 4 4 1x x y x x x y y x − = −  − + = −  = −
Se 0 4 0 1 1
Se 1 4 1 1 3
x y
x y
=  =  − = −
=  =  − =
Se 2 4 2 1 7
Se 0 4 3 1 11
x y
x y
=  =  − =
=  =  − =
 
97 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
EXPRESSÕES EXPONENCIAIS 
Chama-se expressões exponenciais aquelas em que a variável figura no esponte 
Regras da expressões exponenciais 
( ), 0xa x R a    
a) x y x ya a a
+
=  b)( )
x
x x
a b a b=  c) 
x
x y
y
a
a
a
−
= d) 
1x
xa
a
−
= 
e) ( )
y
xyx
a a= 
( ) 
y
x xya a=
 
1
 x
x
a
a
− = 
0 1a = 
 Equações Exponenciais 
Para resolver uma equação exponencial, procura-se ter a mesma base ou o mesmo 
expoente em ambos os membros, depois iguala-se as partes com incognita. 
 Inequações Exponenciais 
. 
 
16 LOGARITMOS 
Definição 
 
 
 
 
 
Inequações que envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente são chamadas de 
inequações exponenciais 
 
0
0 1log xa
b
a a
x
b x a b


  
 
=  = 
Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a 
deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b isto é 
 
 
98 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Cologaritmo 
 
 
 Antilogaritmo 
 
 
 Logaritmo natural 
 
 
 Propriedades de logaritmos 
 
 
 
 
 
 
01) Sendo x e y números reais tais que 5
4 9
8 e 243
2 3
x x y
x y y
+
+
= = então x y é igual a: 
a) 4− 
12
b) 
5
 c) 4 d) 6 e)12 
 
log
log 1 0; log 1; a
b
a a a a b= = =
1
log1
log log logn ana a a
b
b b b
n n
= =  =
( )log log loga a ab c b c = + ( )log log loga a ab c b c = − log loga ab c b c=  =
log logna ab n b=
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
log1
log logn
a
aa
b
b b
n n
=  =
log 1
log
log log
b
a
b b
b
b
a a
= = log log 1a bb a =
O inverso de um número é igual ao oposto do 
logaritmo dessa mesma base chama-se cologaritmo 
 
 
1
log log cologa a ab b
b
= − =
E o número que corresponde a um logaritmo é o 
inverso do cálculo de um logaritmo de um número 
 log antiloga ab x x b=  =
 ln logeb b=
O logaritmo natural de um número a, é o logaritmo 
desse número a, na 
base e. Representamos o logaritmo natural por ln. Assim: 
0a 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
99 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) O número real x que satisfaz a sentença 
1 93
81
x
x+ = 
a) Negativo. b) Par c) Primo d) não inteiro e) Irracional. 
 
 
 
03) Se 1 92 4 e 27 3x y y x+ −= = então x y− é: 
 a) 5 b)4 c) 2 d) –3 e) –1 07) 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
( ) ( )
( )
( )
5
2
23 3
2
5 2 2 5 5
5 5
4 9
8 e 243
2 3
2
2 2 2 2 3 2 3 3
2
39
243 3 3 3 2 2 5 5 2 3 5
3 3
33
2 3 3 52 3 5 6 2 3 5
6 5
x x y
x y y
x
x x y
x y
x y
x y
x y y
y y
x x y x x y x y
x y y x y
x yx y
y yx y y y
y y
+
+
− +
+
+
+
+ −
= =
 =  =  − + =  − − =  − =
=  =  =  + − =  − =
= +− = − − − − 
    
+ − =− = + − = 
− − − − − − − − − − −
 
− = − =
3 1 4
.logo : 4 1 4
5 6 1 1
x x
x y
y y
− − − − − − = +  =  
   =  =  
− − = − =  
Resolucao 
sol: b) Par 
2
1 1 1 2 4
4
9 3
3 3 3 3 1 2 4 2 4 4 4
81 3
x x
x x x x x x x x x x+ + + −=  =  =  − = −  − = −  − = −  =
Resolução 
 
( )
( )

1 2 2
9 3 9
2 4 2 =2 2 2
3 2 2 9 03 9 3 9 027 3 3 3
2 7 2 12
12 7 5
3 2 2 9 0 2 9 0 7
x y x y
y x y x
x y
y yy x y x
x x
x y
y y y y
+ +
− −
− − − − − − −  = = + − − − − − − −   
       
− + + == − − + == =      
=  − +  = −− − − − − − − − − − − − − − − −  
  − = − + = −  
− − + = − + = = −  
 
100 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
04) ( )
2 2 512 12 22 5 0,0001 10x x x+ + −   
a)  , 3− − b)  2− +  c)  3, 2− − d) e)    , 3 2,− −  − + 
 
 
 
 
 
O número 
2
4
log 3
log 27
é igual 
a)
1
9
 b) 
1
12
 c) 
2
3
 d) 
2
9
 e) 
1
4 
 
 
 
 
01) O conjunto solução da inequação ( )
2 2
20,04 0,008
x x−
 
a)  S \ 3x R x=   b)  S \ ou 3x R x x=   −  c)  S \ ou 3x R x x=    
d)  S \ 3x R x x=   − e)  S \ 3x R x=  −  
 
1. Se 
2 2log log
b a− = 5, o quociente 
b
a
 vale 
)a 10 )b 25 c) 32 d) 64 e) 125 Opção correcta: d) 
2. Se log 2 a= e log3 b= , escrevendo 
32
log
27
 
 
 
em função de a e b obtemos: 
Resolução 
 
A função é positiva no intervalo 
 
( )
( )( )
2 2 2 2512 12 2 12 4 10 5 12 10 5 4
2 2 2
2 5 0,0001 10 10 10 10 10 10
12 10 5 4 12 6 5 0 5 6 0 2 3 0
x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + − + − − + − −       
 +  − −  + − −   − +   − − 
   , 3 2,− −  − +
Resolução 
 2
2
32 2 2
3 2
4 2
2
log 3 log 3 log 3 1 2
log 3 lambrando que: log log
3 3log 27 log 3 3
log 3
2 2
n
m
aa
m
b b
n
= = = = → =
 
101 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 a) 2a + b b) 2a−b c) 2ab d) 2a b e) 5a−3b Opção correcta: e) 
3. Se log 2log 3log log logE a b c d= + − − , então E é igual a 
)a 2 2a b c d+ − − )b 2 3a b cd− )c
2 3a b
cd
2 3
)
a b d
d
c
)e 2 3a b cd Opção correcta: c) 
4. Se 20log 4 A= e 20log 6 B= então o valor de 20log 5 é: 
) .a A B )b
2
A B+
)c
2
A B
)d 1 A− )d 1 A− )c 1 B− Opção correcta: d) 
5. O valor da expressa 3
2 4
log 1 log 0,01
1
log .log 8
64
+
 
 
 
 é igual a: 
)a
4
15
)b
1
3
)c
4
9
)d
3
5
)e
2
3
 Opção correcta: c) 
6. O valor da expressão 
( ) ( )3 5log 5 log 33

 é: 
)a 1− )b 0 )c 3 )d 5 )e 8 Opção correcta: e) 
7. O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 
( )22 log 1 2 3x + = Então, 2
2 4
log
3
a + 
 
 
 é igual a: 
)a
1
4
)b
1
2
)c 1 )d
3
2
)e 2 Opção correcta: b) 
8. O produto 
2 3 4 62 63log 3 log 4 log 5 ... log 63 log 64     é igual a: 
)a 3log 64 )b 2log 63 )c 2 )d 4 )e 6 
9). Se x é um número real, >2x e ( )2 4log 2 log 1,x x− − = então o valor de x é: 
 
102 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
)a 4 2 3− )b 4 3− )c 2 2 3+ )d 4 2 3+ )e 2 4 3+ Opção correcta: d) 
10). Se m e n são números inteiros tais que 3 3log log 4m n− = e 800 890,m  então o valor 
de n é: 
)a 10 )b 8 )c 6 )d 4 )e 2 Opção correcta: a) 
12. Tendo em vista as aproximações 10log 2 0.30 e 10log 3 0.48, então o maior número 
inteiro n satisfazendo 41810 12n  é igual a: 
)a 424 )b 437 )c 443 )d 451 )e 460 Opção correcta:d) 
13. Resolva o sistema
2 4log log 4
8
x y
x y
+ =

 =
 
 Correcção: 32x = , 
1
4
y = 
14. O valor de x que satisfaz a equação
4
9
2log log log3 log
b
x b
x
 
+ − =  
 
pertenceao 
intervalo: 
)a
1
0,
2
 
 
 
)b
1
,1
2
 
 
 
)c  1,2 )d  2,3 )e  3,4 Opção correcta: )c 
15.O valor da expressão
( )
( )
2 3
0
2
3
3 125
3 5 log 27
− − − −
− + −
é: 
)a 1 )b -2 )c -4 )d 2 )e 4 Opção correcta: d) 
16. Se x e y são números reais positivos tais que 2
log
16 ,
x
y = então x é igual a: 
)a 4y )b 2y )c 4 y )d
4
2
y
)e y Opção correcta: c) 
 
103 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
7.Considere 3log 2,p = 3log 4q = e 1
3
log 2r = . É correcto afirmar que: 
)a p < q < r )b r < q < p )c q < r < p )d p < r < qOpção correcta: e) 
18. Para valores reais de x,3x < 2x se e só se: 
)a x< 0 )b 0 < x < 1 )c x < 1 )d x < –1 )e 2 < x < 3 Opção correcta: a) 
19.Sabe-se que log 10 1,6610m = e que log 160 3,6610,m = 1.m  Assim, o valor correcto de 
m corresponde a: 
)a 4 )b 2 )c 3 )d 9 )e 5 Opção correcta: a) 
 
20. São dados os números reais positivos a, b e x tais que 1a  e 1.b  Sabe-se que 
log 2a x = e log 4.b x = Calcule log .ab a x 
Resultado final 
4
log
3
ab a x = 
21 Se ( ) log ,f x x= então ( )
1
f f x
x
 
+ 
 
é igual a: 
)a 10 )b f ( )2x )c -f(x) )d 1 )e 0 Opção correcta: e) 22.A 
solução real para a equação 1 ,x
b
a
a
+ = com a> 0, a ≠ 1 e b> 0, é dada por: )a log ( )a b )b
( )log 1a b + )c ( )log 1a b + )d ( )log 2a b + )e ( )log 2a b − 
 Opção correcta: e) 
23.Sendo V=  3 9|R / 81 logx -3 logx = 0 , x xx  tem-se: 
)a V
1
,1,3,4
2
 
 
 
)b V
1 1
, ,1,4
3 2
 
 
 
)c V 
1 1
, ,2,5
3 2
 
 
 
)d V
1
,2,3,5
3
 
 
 
 
 Opção correcta: b) 
 
104 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
24. A intensidade de um terramoto na escala Richter é definida por I=
10
2
log ,
3 o
E
E
 
 
 
em 
que E é a energia liberada pelo terramoto, em quilowatt-hora (kwh), e 0E = 
310− kwh. 
A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por: 
)a 10 )b
20
3
)c
3
210 )d
1
210 Opção correcta: d) 
25. Se o par ( 1 1,x y ) é solução do sistema de equações
2 16.log 0
3.2 10.log 19
x
x
y
y
 − =

− =
então 1
1
x
y
 é igual 
a: 
)a
3 10
10
)b
10 3
3
)c 3 10 )d 5 3 )e
3 5
5
 Opção correcta: a) 
26. Se log 6a = e log 4b = , então
24 a b é igual a: 
 )a 4 )b 24 )c 10 )d 2 4
a b
+
 
)e 6 Opção correcta: a) 
 
17 Sistema de duas equações a duas 
incógnitas 
 
o sistema é homogéneo quando 0c c= = 
 
Classificação de sistemas de equações 
• Uma única solução (Compatível) ou seja, quando apenas um resultado é o correto 
para a resolução do sistema linear 
• Soluções infinitas (Incompatível) quando muitas são as formas de resolver o 
sistema, e por isso, são possível chegar ao resultado final utilizando diversos 
‘caminhos 
 
( ) ( )
( ) ( )
a x b x c
a x b x c
+ =

  + =
 
105 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
• Nenhuma solução (Indeterminado) ainda é possível que o sistema de equações 
simplesmente não tenha nenhuma resolução 
Método de resolução 
 Método da Substituição 
Ex.: 
( )
3 4
3 12 93 12 9 12 9 12 9
4 3
3 12 9 4
3 1
3
4 1
1 1
x y
yx y y yx y
x x
y y
x y
y
− − − − − −+ = − − − − − − 
     
− = −− = − − − = −− = −   
= −  = 
 

=
−
= =
−


 
 Método da Adição ordenada 
 
 
 
 
Sistema de tres equações a com incógnitas 
Com a seguinte forma:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =

+ + =
 + + =
 
Métodos de resolução 
Método da Substituição 
Este método consiste em isolar e substituir uma das incógnitas. Achar o seu valor e depois 
substituir o resultado para calcular a segunda. 
 
Este método consiste em adicionar as duas equações membro a membro, com o objetivo de 
obter uma equação que tenha apenas uma incógnita. Para isso, escolheremos uma incógnita 
cujos coeficientes devem ser simétricos 
 
 
106 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
( )
( )
( )
5 22 5
2 3 7 2 5 2 3 7 10 4 2 3 7 5 3
3 0 15 6 3 0 7 4 153 5 2 0
3 5
7 4 3 5 1
x y zx y z
x y z y z y z y z y z y z
x y z y z y z y zy z y z
z y
y y
 = + −− + = − − − − − − − − − − − −  
  
+ + =  + − + + =  + − + + =  + = −   
   + − = + − + − = − = −+ − + − =  
− − − − − − − − − − − − − − − − −

 = − −  − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − = −
( ) ( )
1
2 : ; ; 1;2; 1
15
x
y sol x y z
z
 =
 
 = = − 
  = −
 
Sistema de Equacoes nao Lineares 
Nao existe um metodo próprio para resolver sistemas de equacoes nao lineares. Sendo 
aconselhavel utilizar procedimentos exponenciais,de acordo com o sistema em causa. 
 
18 INEQUAÇÕES 
 
 Inequação Produto 
Inequação-produto é toda inequação na qual há um produto de termos. Note que o produto 
deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. 
 
 Inequações Quociente 
Inequação-quociente é toda inequação na qual há um quociente de termos. Note que o 
quociente deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. 
Por ser quociente, os termos do denominador não podem assumir o valor de zero. A 
inequação é da forma
( )
( )
0
f x
g x

 
·Onde: ( ) ( ) e f x g x são polinómios 
 
 
 
 
( ) ( ) 0f x g x 
Observando a tabela ao lado podemos concluir que: 
Toda inequação do “tipo quociente” pode ser transformada numa inequação equivalente do 
“tipo produto” 
▪ Lembrando que a “regra de sinais” para a multiplicação e para a divisão é a 
mesma 
 
107 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
(UEM 2013) O conjunto das soluções da desigualdade 
( )
( )
5149
100
2
2
0
3 2
x x
x x
−

− +
é: 
               a) 0;1 1;2 2; b) 0;2 c) ;0 2; d) 0;1 1;2 e)   + −  +   
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( ) ( )0
f x
f x g x
g x
     
( )
( )
( ) ( ) ( )0 e 0
f x
f x g x g x
g x
      
( )
( )
( ) ( )0
f x
f x g x
g x
    
( )
( )
( ) ( ) ( )0 e 0
f x
f x g x g x
g x
      
Resolução: 
Na desigualidade o segundo membro já é nulo, e o primeiro é uma fracção única. 
Agora vamos factorizar e achar os zeros do denominador e numerador. 
( )
( )
( )
( )( )
( )
49
51 51 5149 49
100 100
2
0, 
2 2 2 0 2,
0 0 resolvendo temos :
1 2 1 0 13 2
2 0 2
x
x x x x x x
x x x xx x
x x
 =

− − − =  −
    
− −  − =  =− +  
 − =  =
Depois elaboramos a tabela de sinais. 
x  ;0− 0  0;1 1  1;2 2  2;+ 
49x − 0 + 1 + 492 + 
( )
51
2 x− + 512 + 1 + 0 − 
( )
100
1x − + 1 + 0 + 1 + 
( )
100
2x − + 1002 + 1 + 0 + 
( )
( )
5140
2
2
2
3 2
x x
x x
−
− +
 − 0 + ND + ND − 
Veja que a equação é maior (positivo) ou igual, Entretanto, 
 
 
108 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
(UEM 2013) Ainequação
( ) ( )
1
0
2 4 3
x
x x
−

+ −
tem solução: 
a) : 2 1 3x R x x  −    b) : 2x R x x   −    c)
 : 2 1 3x R x x  −    d) : 2 1 3x R x x  −    e) : 2 1 3x R x x  −    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Como sempre, para resolver uma inequação devemos garantir que o segundo membro seja 
zero. Como a inequação nos é dada uma inequação nula no segundo membro, vamos para 
o passo seguinte, determinar os zeros do denominador e numerador. 
Assim, 
( )
( )
( )
1 1 0 1
2 4 2 4 0 2
3 3 0 3 3
f x x x x
g x x x x
h x x x x x
= −  − =  =

= +  + =  = −

= −  − =  − = −  =
 
Em seguida elabora-se a tabela de variação de sinais de modo a encontrar a solução da 
inequação. 
x  ; 2− − 2−  2;1− 1  1;3 3  3;+ 
1x − − 3− − 0 + 2 + 
2 4x + − 0 + 6 + 10 + 
3 x− + 5 + 2 + 0 − 
( ) ( )
1
2 4 3
x
x x
−
+ −
 + ND − 0 + ND − 
Entretanto,    ;2 1;3x −  
 
109 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
19 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
 
Geometricamente 
 
O módulo Possui um significado geométrico que é a distância desse número até o zero na 
recta real 
de maneira geral temos 
 se 0 
 se 0 
x x
x
x x

= 
−  
• Propriedades de módulos 
2 2 x x x x x= = =
 
x y x y
x y x y
+  +
−  −
 
xx
y y
=
 
 ou 
x a a x a
x a x a x a
  −  
   − 
 
x y x y = 
 
0x  x a 
 ou 
 ou 
 e numero par
n n
x a x a x a
x a x a x a
x x n
=  = = −
=  = = −
= 
 
 Equações Inequações Modulares 
Equação modular é aquela em que a incógnita se apresenta Submetida ao módulo. 
Dado um número real qualquer, o módulo desse número é uma operação que o torna positivo 
(excepto o zero). 
 
 
110 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Resolução 
Para resolver equações modulares aplicamos a seguinte propriedade. 
ou ,com 0
x a
x a a
x a
=

=  
 = − 
Exercícios 
1. A função f: R →R+ definida por 
2
x x
y
+
= é: 
a) Bijectora b) somente injectora c) somente sobrejetora d) constante par x0 e) 
uma recta opção correcta c) 
O valor mínimo da função ( ) 1 2 3f x x x x= − + − + − é: 
a) 
1
2
 b)1 c) 
3
2
 d)2 e) 3 opção correcta d) 
Teoria da função 
1. 2( ) 4f x x= − 
2
2
2
4,
4
4,
x
x
x
 −
− = 
− +
se
se
2
2
4 0,
4 0,
x
x
− 
− 
isto
isti
,
,
é
é
se
se
2
2 2
x
x
 −
−  
ou 2x 
, Procedemos assim 
1o. Passo:construir gráfico da função
2 4,y x= − mas só consideramos a parte em que 
2x  − ou 2x  (fig. 1.); 
2o.passo: construir gráfico da função 
2 4,y x= − + mas só consideramos a parte em que 
2 2x−   (fig. 2.) 
30. Passo: Reúne os dois gráficos anteriores (fig.3.) 
2. 
1,
1
1,
x se
x
x se
−
− = 
− +
1
1
x
x


 , procedemos assim 
1o. Passo: construir gráfico da função 1y x= − , mas só consideramos a parte em que 1x  
(fig.1.) 
 Se na equação se o 
valor de a for negativo, então 
a equação não tem solução 
 
x a=
 
111 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
2o. Passo: construir gráfico da função 1y x= − + , mas só consideramos a parte em que 
1x  (fig.2.) 
3o. Passo: Reúne os dois gráficos anteriores (fig .3.) 
 
3. ( ) 1 1f x x x= + + − 
1o.passo:fazer ( ) ( ) ( );f x g x h x= + 
2o. Passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja: 
1, 1 1, 1
( ) 1 ( ) 1
1, 1 1,1 1
x se x x se x
g x x e h x x
x se x x se x
 +  − − 
= + = = − = 
− −  − − + 
 
3o.passo: vamos construir um quadro, considerando três intervalos:
1, 1 1 1.x x e x − −    em cada um deles, estudamos os valores de 
1 , 1 e depois 1 1 :x x x x+ − + + − 
 
( )g x -x-1 X+1 X+1 
( )h x -x+1 -x+1 x-1 
( ) ( ) ( )f x g x h x= + -2x 2 2x 
Gráfico: 
 Assim
2 , 1
( ) 1 1 2, 1 1
2 , 1
x se x
f x x x se x
x se x
−  −

= + + − = −  
 
 
Resolver inequacoes em R. 
1. 4 2 6x x+  − 
2 6 0
4 0 4 4 2 6 3
4 4 2 6 2 6 2 6
4 ( 4) 4 (2 6) 3
3
x
x x se x x se x
x x x x x
x x se x x se x
x
− 
+  +  − −   
+  + = −   − =   
 − − +  − − −    
 
 
112 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 -4 3 
 
-(x+4) X+4 X+4 
 -(2x-6) -(2x-6) 2x-6 
) 4 ) 4 3 ) 3
( 4) (2 6) 4 (2 6) 4 2 6
4 2 6 4 2 6 0 10
10 3 2 10
2
0,666
3
i x ii x iii x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
 − −   
− +  − − +  − − +  −
− −  − + +  − +  −
  
 
 
s ( , 4)is = − −
2
4,
3
iis
 
= − 
 
 )10,iiis = + 
 )
2
, 10,
3
i ii iiis s s s
 
= = − + 
 
 
2. 
1 2 4
1 0
1
1
1 1
( 1) 1
x x
x
x
x
x se x
x se x
− + + 
− 


− = 
− 
− − 
2 0
2
2
2 2
( 2) 2
x
x
x
x se x
x se x
+ 

 −
− = 
+  −
− +  −
 
 
) 2
( 1) ( 2) 4
1 2 4
2 5 0
2 5 0
5
2
5
,
2
i
i x
x x
x x
x
x
x
s
 −
− − + − + 
− + − − 
− − 
+ 

 
= − − 
 
) 2 1
( 1) ( 2) 4
1 2 4
0 3 4
ii
ii x
x x
x x
F
s O
= −  
− − + + 
− + + + 
+ 
=
) 1
( 1) ( 2) 4
2 3 0
3
2
5
,
2
iiiiii x
x x
x
x
s

− + + 
− 

 
= +
 
 
 
5 3
, ,
2 2
i ii iiis s s
   
= = − − +  
   
 
 
 
113 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
01) (UEM) O valor de 1 2A = − é: 
 a) 1 2A = − b) 1 2A = + c) 2 1A = − d) 2 e) Nenhuma das alternativas 
 
 
 
 
 
 
 
02) Determine a sequente equação 
2
4 11 3 0x x+ − = 
 
 
 
 
 
 
03(UEM) A soma das raízes da equação
2 2 4x x− = é igual a: 
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 
 
 
 
Resolução 
 
Por definição de módulos temos: 
 Veja que se 
 então podemos concluir que 
Dai que 
 
1 2A = −
( )
 1 2, se 1 2 0
1 2
1 2 ,se 1 2 0
A
 − − 
= − = 
− − − 
( )1 2 0 1 2A−   = − −
1 2A = − +
Resolução 
Como , então 
Isolando temos 
Ai temos duas equações quadradas lembrando que: 
a soma das raízes é dada por: 
2x x= 2 2 24 4x x x x− =  − =
2
2
2
4 0
4
4 0
x x
x x
x x
 − − =
= −  
+ − =
S
b
a
= −
 
Como , então não satisfaz a equação. 
Assim: 
 
( ) ( )
2
2
1 1 2
2
Fazendo , obtemos: 4 11 3 0
11 4 4 3 121 48 169
11 169 11 13 2 1 24
3
2 4 8 8 4 8
x y y y
y y y
= − − =
 = −   − = + =
−  −  −
= =  = =  = = −

x y= 3y = −
1 1 1
 ou 
4 4 4
x x x=  = = −
 
114 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
04)A igualdade ( )x x− = − − é verdadeira 
para todos os elementos do conjunto a)  : 0x R x 
 
b)  : 0x R x  c) 
 : 0 0x R x   e)  : 3 3x R x −   
 
 
 
O valor de ( )
2
3 5 10 2x x− = −
       
5
a) ;5 b) 5;3 c) 3; d) ; 3 5; e) 
3
x x x x
 
  −  − +  − −  +  
  
 
 
 
 
07) O produto das raízes da equação 4 3x+ = é igual a: 
a) 0 b) 5 c) 7 d) -7 e) 8 
 
 
 
 
O valor da expressão 
3
 para 3
3
x
x
x
−

−
 é: 
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e)0 
 
Resolução 
 ( )x x− = − −
Resolução 
 
 
 
 
 
( )
2
3 5 10 2 3 5 10 2
3 5 10 2
3 5 10 2
3 5 10 2
x x x x
x x
x x
x x
− = − → − = −
− = −
− = − → 
− = − +
Resolução 
 
Entretanto, o produto das raízes da equação é 
 
4 3 3 4 1
4 3
4 3 3 4 7
x x x
x
x x x
+ = = − = −  
+ =     
+ = − = − − = −  
( )1 7 7−  − =
 
115 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
03) O conjunto solução da inequação 22 log 3x+  é 
 
 
 
 
04) Resolvendo 32 log 5x+  , a solução é: 
a)    0,3 5, + b)    1,2 4, + e)    , 2 5,−  + c)  70,3 27,x −   +  
d)  70,3 27,x −   +  
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Se 2 4 1x−  então: 
a) 
3 1
4 4
x  b) 
3 1
4 4
x  c) 
1 3
4 4
x  d) 
1 3
, ,
4 4
x
   
 −  +   
   
 e) ∅ 
Resolução: 
 
 
 
Logo o valor da expressão par é ,opção c 
 
( )
( ) 3, se 3 3
sabemos que: 3 portanto veja que, para 3 temos: 1
3 , se 3, 3
x x x
x x
x x x
−  − −
− =  = −
− −  −
Resolução: 
Calculando primeiro o domínio de existência de logaritmo temos: 
 
 
0x 
2 2 2 2
5 5
2 2 2 2
2 log 3 ou 2 log 3 log 1 ou log 5
log log 2 ou log log 2 2 ou 2
x x x x
x x x x− −
+  +  −    − 
    
 5S 0,2 2,− =  + 
Resolução: 
Calculando o domínio temos: 
 Entretanto 
 
3log x  0 0,x x   +
( )
3 3
3
3 3
3 2
3 3
2
3 3 3
 2 log 5, se 2 log 0
2 log 5
2 log 5, se 2 log
27, se 
 log 3, se log 2 3 , se 3
 
2 log 5, se log 2 log 7, se 3
x x
x
x x
x
x x x x
x x x x
−
−
+  + 
+   
− +  +  

  −   
  
− −   − −    7
1
9
1
3 , se 
9
x
x x−



  

 70,3 27,x −   + 
 
116 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
2. O conjunto solução da equação 2 1 1x x− = − é: 
a)
2
0;
3
 
 
 
 b) 
1
0;
3
 
 
 
 c)  d)  0; 1− e) 
4
0;
3
 
 
 
 
3. O conjunto solução da equação 
2
2 3 0x x− − = é igual a: 
a) 1;3− b)  3;3− c)  1;1− d)  3;1− e)  1;3 
4. A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade 2 2 2 2x x x− − = + é: 
a)1 b) 3 c) 2− d) 2 e) 3− 
5. O número de soluções negativas da equação 25 6x x− = é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e) 4 
6. As raízes reais da equação 
2
6 0x x+ − = são tais que: 
a)A soma delas é -1 b) O produto delas é -6 c) Ambas são 
positivas. d) O produto delas é -4. e) Nenhuma das opções. 
7. Resolvendo em R a equação 2 36 2 2x x x+ + − = − obtêm-se: 
a)
2 2
,
3 3
 
− 
 
 b)  2 c)  0, 2− d) 
1
1,
3
 
− − 
 
 e)  
8. Resolva em R a equação: 2 2 2x x+ − = 
a)
2 2
,
3 3
 
− 
 
 b)  2 c)  0, 2− d) 
1
1,
3
 
− − 
 
 e)  
9. O conjunto solução de 1 3 4x −  é o conjunto dos números x tais que: 
a) 4 7 ou 1 2x x  −   b) 1 7 ou 3 1x x−   −   −
c) 1 7 ou 2 4x x−     d) 0 4x  e) 1 4 ou 2 7x x−     
 
117 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
20 BINOMIO DE NEWTON E ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
1. Factorial 
( ) *
0! 1
! . 1 !,n n n n
=
= −  


N
 
2. Numero Binomial 
Definição 
( )
( )
!
! !
 ,
0
n n
n k
k k n k
n k
n
n k
k
 
  = 
− 

 
 





= 
 




N
Propriedades 
a) Binomiais Complementares são 
iguais 
n n
k n k
   
=   
−   
 
 
 
b) Relação de STIFEL 
c) 
1
1 1
n n n
k k k
+     
+ =     
+ +     
 
Relação de FEMRAT 
2 .
1 1
n nn k
k kk
   −
=   
+ +   
 
 Triângulo de Pascal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 
0
1 1
 
0 1
2 2 2
 
0 1 2
3 3 3 3
 
0 1 2 3
 
 
 
 
   
   
   
     
     
     
       
       
       
4 4 4 4 4
 
0 1 2 3 4
 ... ... ... ... ... .... .... ... ... ....
 
0 1 2 3 4
n n n n n n
n
         
         
         
           
           
           
 
 
118 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
3 Aplicações 
a) A relação de STIFEL pode ser memorizada assim: 
1
1 1
n n n
k k k
+     
+ =     
+ +     
 
b) Soma na linha 
2
0 1 2
n
n n n n
n
       
+ + ++ =       
       
 
c) Soma na coluna 
1 2 1
1
k k k n n
k k k k k
+ + +         
+ + ++ =         
+         
 
d) Soma na diagonal 
1 2 1
0 1 2
k k k n n
n k n k
+ + +         
+ + ++ =         
− −         
 
4 Teorema do Binómio 
a) Cálculo dos coeficientes 
( ) 0 1 1 2 2
0
0
. . . . . . . .
0 1 2
. . . .
n n n n n k k
n
n n k k
k
n n n n
x y x y x y x y x y
k
n n
x y x y
n k
− − −
−
−
       
+ = + + ++ +       
       
   
++ =   
   

 
A maneira mais prática de calcular os coeficientes é lembrar que o primeiro é 
sempre igual a 1 e os demais são calculados a partir do anterior pela relação de 
FERMAT: 
 
( ) ( ) ( )cada coeficiente expoente de expoente de aumentado de 1 coeficiente seguintex y  = 
a) Termo Geral 
O termo de ordem 𝒌 + 𝟏 do desenvolvimento, feito segundo os expoentes 
decrescentes de 𝒙, 
é: 1 . .
n k k
k
n
T x y
k
−
+
 
=  
 
 
O termo de ordem 𝒌 + 𝟏 do desenvolvimento, feito segundo os expoentes 
crescentes de 𝒙,é: 
1 . .
k n k
k
n
T x y
k
−
+
 
=  
 
 
 
119GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
b) Número de Parcelas: o desenvolvimento de (𝒙 + 𝒚)𝒏tem𝒏 + 𝟏 parcelas. 
c) Soma de Coeficientes: a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de,
( )
n
ax by+ com𝑎 𝒆 𝑏 constantes é (𝒂 + 𝒃)𝒏. 
 Arranjos 
São agrupamentos que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus 
elementos. 
a) Cálculo dos arranjos simples: 
( ) ( ) ( )
( )
,
!
. 1 . 2 . . 1
!
n k
n
A n n n n k
n k
= − −  − + =
−
 
𝒌 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 
b) Cálculo dos arranjos com repetição 
*
, . . . .
k
n kA n n n n n=  = 𝒌 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 
 Permutação 
São agrupamentos que diferem entre si apenas pela ordem dos seus elementos. 
As permutações são um caso particular dos arranjos que𝒏 = 𝒌 
a) Cálculo das permutações simples 
𝑷𝒏 = 𝑨𝒏,𝒏 ⇒ 𝑷𝒏 = 𝒏! 
b) Cálculo das permutações com elementos repetidos 
𝑷𝒏
𝜶,𝜷
=
𝒏!
𝜶! 𝜷!
 
 Combinações 
São agrupamentos que diferem entre si apenas natureza de seus elementos. 
a) Cálculo das combinações simples 
𝑪𝒏,𝒌 =
𝑨𝒏,𝒌
𝑷𝒌
=
𝒏!
𝒌! (𝒏 − 𝒌)!
= (
𝒏
𝒌
) 
b) Cálculo das combinações com repetições 
𝑪𝒏,𝒌
∗ = 𝑪𝒏+𝒌−𝟏,𝒌 
 
120 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
21 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1. Definição 
A probabilidade do evento A, subconjunto de um espaço amostral S, é: 
𝑷(𝑨) =
𝒏(𝑨)
𝒏(𝑺)
 
 
 
Sendo 𝒏(𝑨) o número de elementos do evento 𝑨 e 𝒏(𝑺) o número de elementos do 
espaço amostral𝑺. 
2. Decorre da definição que: 
a) 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏 
b) 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑨) = 𝟏 
3. União de Eventos 
a) 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
b) 𝑺𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝝓os eventos A e B são chamados mutuamente exclusivos e neste 
caso:𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) 
4. Probabilidade Condicionada 
A probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que já ocorreu o 
evento B, é chamada de probabilidade de A condicionada a B. 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
=
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
5. Eventos Independentes 
a) 𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨) 𝒆 𝑷(𝑩|𝑨) = 𝑷(𝑩) ⇒ 𝑨 𝒆 𝑩são eventos independentes. 
b) 𝑷(𝑨|𝑩) ≠ 𝑷(𝑨)𝒐𝒖𝑷(𝑩|𝑨) ≠ 𝑷(𝑩) ⇒ 𝑨𝒆𝑩são eventos dependentes. 
6. Intersecção de Eventos 
a) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩|𝑨) 
b) 𝑨 𝒆 𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ⇒ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) 
7. Lei Binomial De Probabilidade 
Repetindo n vezes uma experiência onde um evento A tem probabilidade de ocorrer 
igual a p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezes o A é: 𝑪𝒏,𝒌. 𝒑
𝒌. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌. 
 
 
121 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 Estatística 
a) Média: 𝑿 =
∑ 𝒇𝒊.𝑿𝒊
𝒏
,com ∑ 𝒇𝒊 = 𝒏. 
b) Moda (𝑴𝒐): é o elemento de frequência máxima. 
c) Mediana (𝑴𝒅): é o elemento que ocupa a posição central. 
d) Desvio:𝑫 = 𝑿𝒊 − 𝑿. 
e) Desvio Médio: 𝑫𝒎 =
∑ 𝒇𝒊|𝑫𝒊|
𝒏
. 
f) Desvio Padrão: 𝒔 = √
∑ 𝒇𝒊𝑫𝒊
𝟐
𝒏
. 
g) Variância: 𝒔𝟐 =
∑ 𝒇𝒊𝑫𝒊
𝟐
𝒏
 
Exercicios: 
h) 1.Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listas, cada lista 
com uma cor, de quantas formas isto pode ser feito? 
i) Solucao: 
j) Cada maneira de pintar a dandeira consiste de uma sequencia de cinco cores 
distintas (sequencia, porque as listas da bandeira estão numa ordem) escolhidas 
entre as oito existentes.logo,esse numero de sequencia procurado é: 
k) 8,5
8 7 6 5 4 6720A =     =
 
l) Exprimir mediante factoriais ( )2 4 6 8 ... 2 n      
m) Solucao: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 ... 2 » 2 1 2 2 2 3 ... 2n n           
 =
( )2 2 2 ... 2 1 2 3 ... 2 !n
n fatores
n n
 
        =  
 
 
 
Exercicio1. Em uma gaiola estão vinte coelhos. Seis deles possuem uma mutação 
sanguínea letal e três outros uma mutação óssea. Se um coelho for seleccionado ao 
acaso, qual a probabilidade de que não seja mutante? 
a) 
20
11
 b) 
11
20
 c) 
6
20
 d) 
3
20
 e) 
11
40
 Opção correcta: b) 
3. Numa certa cidade, 40% da população tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 
15% cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa tem cabelos castanhos, a probabilidade de 
ter também olhos castanhos é: 
 
122 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a) 
2
5
 b) 
3
8
 c) 
1
6
 d) 
4
9
 e) 
3
5
 Opção correcta: 
b) 
7. A soma 
5
3
 
 
 
 +
6 20
...
3 3
   
+ +   
   
 é igual a: 
a) 4 840 b) 4 845 c) 5 980 d) 5 985 e) 6 640 Opção correcta: 
c) 
8. O termo independente de x, no desenvolvimento de 
10
1
x
x
 
+ 
 
, é igual a: 
a) 252 b) 262 c) 272 d) 282 e) 292 Opção correcta: 
a) 
Exercicio9. Sorteado ao acaso um número natural n, 1 ≤ n ≤ 99, a probabilidade de ele 
ser divisível por 3 é: 
a) 
2
3
 b) 
1
3
 c) 
1
9
 d) 
1
2
 e) 
2
9
 Opção correcta: b) 
Exercicio10. Considere os desenvolvimentos do binómio 
5
2
1
2x
x
 
+ 
 
 segundo as potências 
decrescentes e crescentes de x. Se A e B são os respectivos quartos termos obtidos, então 
A – B é igual a 
a) 0 b) 
2
40
x
 c) 
( )7
7
10. 8 1x
x
−
 d) 
3
4
2 1x
x
−
 e) 
( )
4
40. 1 2x
x
−
 Opção correcta: 
e) 
Exercicio11. O valor que deve ser atribuído a k de modo que o termo independente de x, 
no desenvolvimento de 
6
,
k
x
x
 
+ 
 
 seja igual a 160, é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 Opção correcta: b) 
 
123 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
. O coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento do binómio ( )2
n
x + , segundo as 
potências decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor de n pertence ao 
conjunto: 
a) {3, 4} b) {5, 6} c) {7, 8} d) {9, 10} e) {11, 12} Opção correcta: b) 
Exercicio13. No desenvolvimento do binómio ( )
n
x y+ , segundo as potências 
decrescentes do número natural x, os coeficientes do 04 e do 08 termos são iguais. 
Nessas condições, o valor de n é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Opção correcta: c) 
Exercicio14. Somando-se todos os coeficientes dos termos do desenvolvimento do 
binómio (x + 1) 5 , obtém-se: 
a) 32 b) 24 c) 16 d) 8 e) 0 Opção correcta: a) 
Exercicio16. Considerando o espaço amostral constituído pelos números de 3 algarismos 
distintos, formados pelos algarismos 2, 3, 4 e 5, assinale a opção em que consta a 
probabilidade de que ao escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja 
múltiplo de 3 
a) 
1
3
 b) 
1
4
 c) 
1
2
 d) 
2
3
 e) 
3
4
 Opção correcta: c) 
Exercicio17. Oito pessoas, sendo 5 homens e 3 mulheres, serão organizadas em uma fila. 
A probabilidade das pessoas do mesmo sexo ficarem juntas é: 
a) 
1
28
 b) 
1
18
 c) 
3
28
 d) 
5
18
 e) 
1
38
 Opção correcta: a) 
 
Exercicio20. No desenvolvimento de ( )
4
3 kx x+ , existe um termo independente de x. 
Então k pode ser: 
a) 3 b) 1 c) 2 d) –3 e) –1 Opção correcta: d) 
Exercicio21. Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas 
são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas 
mulheres é de: 
 
124 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a) 25% b) 30% c) 33% d) 50% e) 60%Opção correcta: e) 
Exercicio22. A soma alternada 
10 10 10 10
...
0 1 2 10
       
− + − +       
       
 de coeficientes binomiais 
vale: 
a) 2 10 b) 20 c) 10 d) 10! e) 0 Opção correcta: e) 
Exercicio23. O coeficiente de a 13 no binómio (a + 2) 15 é: 
a) 105 b) 210 c) 360 d) 420 e) 480 Opção correcta: d) 
Exercicio24. O termo médio ou termo central do desenvolvimento de 
8
2
2
x
x
 
+ 
 
 é igual a: 
a) 42 b) 56 c) 70 d) 82 e) 96 Opção correcta: c) 
Exercicio25. Se p é a probabilidade de obtermos 1 ou 2 no lançamento de um dado 
normal de 6 faces e q é o módulo do número complexo 2 5Z = + i , podemos afirmar 
que o valor de 
2logq p é: 
a) –2 b) 1 c) 2 d) –1 e) 0 Opção correcta: a) 
Exercicio28. Sabendo que o desenvolvimento de 2
2
2
3
n
x
x
 
− 
 
 possui 7 termos e que um 
deles é 240ax 6 , acharemos para “a” o valor: 
a) 
4
9
 b) 
2
9
 c) 
1
9
 d) 
2
3
 e) 
5
3
 Opção correcta: a) 
Exercicio30. Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. 
Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é: 
a) 
1
5
 b) 
1
10
 c) 
1
4
 d) 
1
9
 e) 
1
45
 Opção correcta: d) 
Exercicio31. Um baralho consiste em 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 
cartões ao acaso, sem reposição. A probabilidade de que a soma dos dois números dos 
cartões retirados seja igual a 100, é: 
a) 
1
100
 b) 
1
2
 c) 
49
99
 d) 
49
4950
 e) 
5
99
 Opção correcta: d) 
 
125 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Exercicio32.Oito casais participam de um jantar. São escolhidas aleatoriamente, duas 
pessoas para discursar. A probabilidade de que as pessoas escolhidas sejam marido e 
mulher, é: 
a) 
1
4
 b) 
1
8
 c) 
3
8
 d) 
1
15
 e) 
1
6
 Opção correcta: d) 
Exercicio33. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. 
Quantos homens devem sair para que a percentagem de homens na sala passe a ser 
98%? 
a) 1 b) 2 c) 10 d) 50 e) não é possível determinar Opção correcta: d) 
 
Exercicio34. A senha de um computador é um número formado por quatro algarismos 
distintos. A probabilidade de essa senha ser um número maior do que 1000 é 
a) 
3
5
 b) 
3
4
 c) 0,9 d) 9,5 e) 90 Opção correcta: c) 
 
Exercicio35 
. A probabilidade de pelo menos um dos animais, de um casal de animais do zoológico, 
estar vivo em 10 anos é de 90%. Se a probabilidade de o macho estar vivo nesse tempo 
for de 60%, para a fêmea essa probabilidade será de 
a) 65% b) 75% c) 80% d) 85% e) 90%Opção correcta: b) 
Exercicio36. 
Um reservatório sem tampa tem a forma de um prisma recto de 3 m de altura, cuja 
planificação é formada por um triângulo e três quadrados. A capacidade do 
reservatório, em litros, é 
a) 2.250 b) 2.300 c) 2.500 d) 3.000 e) 3.500 Opção correcta: a) 
 
 
 
126 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
22 TRIGONOMETRIA 
Trigonometria é o nome do ramo da matemática que se dedica a fazer cálculos relacionados 
com os elementos de um triângulo. Define-se como triângulo retângulo a qualquer 
triângulo que possua um de seus ângulos internos reto (medida de 90º). 
sen
cos 
cos
a
c
b sen
tg
c
a
tg
b

 = 


 = →  =


 = 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )2 2 2 Teorema de Pitágorasc a b= + →
 
 
 
 
 
medida do cateto oposto
medida hipotenusa
a
sen
c
 = =
medida do cateto adjacente
cos
medida hipotenusa
b
c
 = =
medida do cateto oposto
tg
medida cateto adjacente
a
b
 = =
medida do cateto adjacente
cotg
medida cateto oposto
b
a
 = =
 ( )
1
2
3
... 
cos ... cos
 ... tg 
. : 
BC DE FG BC
sen K sen
AC AE AG AC
AB AD AF AB
K
AC AE AG AC
BC DE FG BC
tg K
AB AD AF AC
Not Só varia quando o angulo varia ar



= = = = =  =
= = = = =  =
= = = = =  =
 
127 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Radiano 
 
 
 
 
 Tabelas de ângulos 
 
 Fórmulas fundamentais da trigonometria 
2 2
2 2
2 2
1 cos
cos 1 
cos 1
sen
sen
sen
 

 
 = −
 + = 
= −
 
 
 Círculo trigonométrico 
. 
 
 
 
 
2 2
2
2 2 cos
cos 2 cos 
2
2
1
sen sen
sen
tg
tg
tg
 
  



= 
= 
=
−
2 2cos 2 cos 1 ou 1 sen = − −
Define-se como 1 radiano (unidade rad) a medida do ângulo central, cujo arco 
correspondente representa o mesmo comprimento do raio 
Define-se como ciclo trigonométrico a toda circunferência orientada, de raio unitário e 
centro no sistema de coordenadas cartesianas. Por convenção, o ponto é a origem da 
orientação, o sentido positivo é o sentido anti-horário e negativo no sentido horário. 
 
 
( )1;0P
 
180 →
 
128 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais de seno cosseno e tangente 
Reducao ao primeiro quadrante 
Equações e inequações trigonométricas 
Exercícios propostos 
1. Na figura, a medida da bissetriz AD é: 
a) 2 b) 1 c) 
5
3
 d) 
2
3
 e) 3 opção correcta b) 
Resolução 
Sendo o ΔABC isósceles e AD mediana, tem-se que AD é altura. Como
4 180 30o oa a a a+ + =  = Então, no ΔBDA, retângulo em D,
1
30 1
2 2 2
o AD ADsen AD=  =  = 
2. Na figura, tga vale 
a) 
1 2 1 3 2
) ) ) )
3 4 33 3
b c d e Opção correcta c) 
 
 
 
 
 
1
sec , com cos 0
cos
 =  

1
cotg , com tg 0
tg
 =  

1
cossec , com sen 0
sen
 =  

2 21 tg sec+  = 
 
129 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Resolução 
No triângulo rectângulo ABC, tem-se 
3
30 1
33
o AC ACtg AC
AB
 =  = 
E no triangulo rectângulo ABD, tem-se 
3
( 30 ) ( 30 ) 3 30 60 30
3
o o o o oADtg a tg a a a
AB
+ =  + = =  + =  = 
Portanto 
3 1
30
3 3
otga tg= = = 
3. Se 0 90o ox  então a expressão 
2 2cos
cos
sen x x
x
+
 é igual a: 
a) sen x b) cos x c) tg x d) cotg x e) sec x Opção correcta e) 
Resolução: 
2 2cos 1
sec
cos cos
sen x x
x
x x
+
= = 
4. Simplificando a expressãoy = sen 17° . cotg 17° . cotg 73° . sec 73°, encontramos: 
a) – 2 b) – 1 c) 2 d) 1 e) 5 Opção correcta d) 
Resolução: 
cos17 cos73 1
17
17 73 cos73
o o
o
o o o
y sen
sen sen
=   
1
cos17
73
o
o
y
sen
 =  Sendo á17 73 90 ,
o o o+ = 
resulta 
1
73 cos17 , tan cos17 1
cos17
o o o
o
sen por to y= =  = 
5. Simplificando a expressão tg x . cos x . cossec x, para0° < x < 90°, obtém-se 
a). 0 b) 1 c) – 1 d) sen x e) sec x Opção correcta b) 
 
RESOLUÇÃO: 
1
cos cossec cos 1
cos
senx
tgx x x x
x senox
  =   = 
 
130 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
6. Se 4 4
7
0 90 cos
25
o ox e sen  − = então sen x será igual a: 
a) 
4 3 2 1 1
) )
5 5 5 5 10
b c Opção correcta b) 
 
Resolução: 
4 4 2 2 2 2 2 27 7 7 9 3cos (cos )(cos ) 1 2
25 25 25 25 5
x sen x x sen x sen x sen x sen x senx− = + − =  − =  =  = 
7. Se 30 90 3o ox e tgx  = , então o valor de 
3 3
3 3
 
 – 
sen x cos x
sen x cos x
+a) 
1
2
 b)1 c)2 
5
)
2
d e)3 Opção correcta c) 
Resolução: 
3 3
3 3 33 3
3 33 3 3
3 3
cos
cos 1 3 1cos cos 2
coscos 1 3 1
cos cos
sen x x
sen x x tg xx x
sen x xsen x tg x
x x
+
+ + +
= = = =
− − −
−
 
8. Observando o triângulo da figura, podemos afirmar que 
cos
1
a sena
tga
−
−
 vale: 
a) 
1
5
 b)
1
25
 c)
5
5
 d)
2
5
 e)
2 5
5
 Opção correcta a) 
Resolução: 
cos (cos ) (cos ) 1
cos
cos1 5
1
cos cos
a sena a sena a sena
a
sena a senatga
a a
− − −
= = = =
−−
−
 
9. Quantos minutos têm o arco de 30°? 
Resolução: 
'
'
1 60
30
18000
o
o
x
x =
 
 
131 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
10. Quantos segundos tem o arco de 5° 15’? 
Resolução: 
''' '' ' ''
'
'' ''
1 3600 1 60 5 15 18900
5 15
18000 900
o o
o
x x
x x
=
= =
 
11. Calcular a 1a . determinação positiva dos arcos: 
a) 1630° b) –1630° c) 2100° 
 
a) 
1.630 360
190
190 4
o
oa = b) 360 190 170
o o o
oa = − = c)
2.100 360
300
300 5
o
oa = 
Exercícios: 
1. A expressão 4 4 2 2cos cosa sen a a sen a− + − é idêntica a: 
a) 22 cos a b) 22 sen a c) 2cos a d) 2sen a e) 2 2cos a sen a− Opção correcta 
a) 
2. Dado um paralelogramo de lados medindo 4 e 6, com ângulos internos que 
medem 30° e 150°, a medida da diagonal maior desse paralelogramo é: 
a)13 2 3+ b) 2 13 6 3− c) 2 13 3 3+ d) 2 13 6 3+ e) 26 6 Opção correcta 
d) 
3. Se X = tg 495º, Y = sen 315º e Z = cos 480º, podemos afirmar que: 
 a) X> Y> Z b) Z > Y > X c) X > Z > Y d) Y > X > Z e) Z > X > Y 
 Opção correcta b) 
4. Sabendo que 
3
,
5 2
senx e x a tgx

=   é: 
a)
3
4
 b)
4
5
 c)
3
5
 d)
4
5
− e)
3
4
− Opção correcta e) 
 
132 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
5. Se x é um número real, então o menor valor da expressão 
2
2 senx−
 é: 
a)-1 b)
2
3
− c)
2
3
 d)1 e)2 opção correcta c) 
6. O valor de 
80
( 40 cot 40 )
2
o
o osen tg g+ é: 
a)
1
4
 b)
1
2
 c)1 d)2 e)
3
4
 opção correcta c) 
7. A soma de todas as raízes da equação 2 2 2,senx = no intervalo  0, 2 , é: 
a) b) 2 c)3 d) 4 e)5 Opção correcta c) 
8. Sendo cot 0 2g = ,com 0 0
2

  .logo, 0sen igual a: 
a)
3
5
 b)
5
5
 c)
1
7
 d)
7
9
 Opção correcta b) 
9. O número real m que satisfaz a sentence 
1
cos3015
2
om
m
+
=
−
 é: 
a) 4 3 2− b) 3 2 4− c) 3 4 2− d) 4 2 3+ e) 3 2 4+ Opção correcta b) 
10. Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo] 0, 2π [ e que o triplo da 
sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cos x é igual 
a: 
a)
3
4
 b)
2
7
 c)
5
13
 d)
15
26
 e)
13
49
 Opção correcta c) 
11. Se 0 2,tg = então o valor de 
cos 20
1 20sen−
 é: 
a)-3 b)
1
3
− c)
1
3
 d)
2
3
 e)
3
4
 Opção correcta b) 
12. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de 
12

 rad, o ponteiro 
maior percorre um arco de: 
 
133 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a)
6
rad

 b)
4
rad

 c)
3
rad

 d)
2
rad

 e) rad Opção correcta e) 
13. A expressão 
2 2 2 2 2 2
,
( cos ) cos (1 ) cos cot
, 30
1 2
o
senx x x tg x x g x sen x
para x
sen x
 +  + −  −   =
+
 é igual a: 
a)1 b) 2 c) 3 d)
2
2
 e)
3
3
 Opção correcta a) 
 
23 GEOMETRIA PLANA 
 
Reta, semirreta e segmento de reta. 
 
Definições. 
Segmentos congruentes. 
Dois segmentos são congruentes se têm a 
mesma medida. 
Ponto médio de um segmento. 
Um ponto P é ponto médio do segmento 
AB se pertence aosegmento e divide AB 
em dois segmentos congruentes. 
 Mediatriz de um segmento. 
É a reta perpendicular ao segmento no 
seu ponto médio 
Revisao 
Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. 
Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são suficientes para determinar uma 
reta, ou ainda um ponto e a inclinação da mesma. 
Plano: Conjunto infinito de retas. Três pontos são suficientes para determinar um plano. 
 Semi-reta: Sai de um ponto determinado e se prolonga indefinidamente 
 
134 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Segmento de reta: Trecho de reta que se inicia em um ponto determinado e tem fim em 
outro ponto determinado. Não se prolonga indefinidamente. 
Duas rectas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 
 
Ângulo 
 
OA - lado 
OB - lado 
O - vértice 
ângulo AOB ou ângulo a 
Definições. 
 Ângulo é a região plana limitada por 
duas semirretas de 
mesma origem. 
b) Ângulos congruentes. 
Dois ângulos são ditos congruentes se 
têm a mesma 
medida. 
Bissetriz de um ângulo. 
É a semirreta de origem no vértice do 
ângulo que divide esse ângulo em dois 
ângulos congruentes. 
 
Formado pela união de semi-rectas, ou 
mesmo por segmento de retasanglo 
 
 
Unidades de medida de ângulos 
Medida de ângulos existem três unidades de medidas de ângulos: graus (º), radianos (rad) 
e grados (gr). 
Grau. 
A medida de uma volta completa é 360ºGrau (º) 
A medida de graus ainda é subdividida em minutos (‘) e segundos (“), na base 
hexadecimal 
 
Sendo que 
 ( ) ( ) ( )1 grau 60 minutos 3600 segundos = =
 
135 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
1 60 
1 60
 
 −
 


=
= −
minuto
segundo
 
 Radiano. 
A medida de uma volta completa é 2p radianos. Um radiano é a medida do ângulo 
central de umacircunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do 
raio da circunferência 
 
Correspondência entre as medidas de ângulos 
 
Classificação de ângulos 
• Raso, se, e somente se, é igual a 180º; 
• Nulo, se, e somente se, é igual a 0º; 
• Reto, se, e somente se, é igual a 90º; 
• Agudo, se, e somente se, é maior que 0º e menor que 90º; 
• Obtuso, se, e somente se, é maior que 90º e menor que 180º 
 Ângulos complementares e suplementares 
 
 
Ângulos complementares 
Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas for 90º, sendo assim um 
complemento do outro. 
180 200rad gon  
 
136 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Ângulos Suplementares 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o 
suplemento do outro. 
Exemplo: 
Qual é o ângulo que vale o dobro do seu complemento? 
Resolução 
90
90 sabendo que 2 então 2 90 3 90 30
3
 e 60 a resposta é 60
x y x y y y y y
x

+ =  = + =  = =  = = = 
=  
 
A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 
𝟐
𝟕
. Determine o complemento do 
menor. 
Resolução 
( )
2 2
180 mas como sabemos que teremos : 180 } 7 2 7 1260
7 7
1260
140 e o 40 e o seu complemento é 50
9
a b
a b b b b
b
b a
+ =  = + =  = + = 

= = = =  
 
Operações com ângulos 
Somo e subtracção 
 16 38 50
 20 40 20 
16 38 50 20 40 20
37 19 10
 
 +
   + =
 
 
 31 40
 - 10 45 
31 40 10 45
 40 55


 − =

 
Soma-se de segundo com segundo e minuto com minuto se a soma de segundo ou minutos 
ultrapassar 60 como o caso de exemplo acima onde 50 20 70  + = observa que o 
resultado final vem 10 visto não se pode escrever 70 dai você tira os 
60 lembrando que 1 60  → = e adiciona no lugar do minuto, o mesmo se faz na soma de 
minuto para minuto tira os 60 lembrando que 1 60 → = e adiciona no grau para o grau 
não tem regras 
 
 
137 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Multiplicação 
( )2 10 45 35 20 90 70 21 31 10      = = 
divisão 
( )
30 93 45
31 33 45 3 10 31 15
3
 
    = = 
Observa que só é possível dividir se todos números devem ser divisível por 3 para o 
exemplo acima caso não seja você de criar condições através das regras de equivalência 
(1 60= ;1 60 = ) . 
 
 Ângulos opostos pelo vértice 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal. 
 
a) Ângulos correspondentes (mesma 
posição). 
exemplo - b e f. 
Propriedade - são congruentes. 
b) Ângulos colaterais (mesmo lado). 
exemplo de colaterais internos - h e c. 
exemplo de colaterais externos - d e g. 
 
138 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Propriedade - são suplementares (soma = 180º) 
c) Ângulos alternos (lados alternados). 
exemplo de alternos internos - b e h. 
exemplo de alternos externos - a e g. 
Propriedade - são congruentes. 
ex 
 
Ora, se observarmos e aplicarmos os 
conceitos anteriores veremos que x é igual 
ao ângulo alterno interno que por sua vez é 
igual ao suplementar de 130º sendo assim 
igual a 50º. 
POLÍGONO CÔNCAVO E POLÍGONO 
CONVEXO 
Estão desenhados na figura acima dois 
polígonos, cada um deles com 5 lados. 
Para diferenciar um polígono côncavo de um 
convexo, basta desenhar uma reta e verificar: 
• se essa reta interceptar o polígono em mais de dois pontos, nós temos um 
polígono côncavo; 
• se essa reta interceptar em no máximo dois pontos, nós temos um polígono 
convexo. 
Por exemplo, vamos traçar rectas nos polígonos vistos: 
Se nós traçarmos uma reta no polígono da esquerda ela irá interceptar o polígono em 4 
pontos, isso porque nós temos uma concavidade no polígono, caracterizando esse 
polígono, como sendo um polígono côncavo. 
Se traçarmos uma reta no polígono convexo ela irá cruzar em no máximo dois pontos, 
por isso este é um exemplo de polígono convexo. 
 
 
 
 
139 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Para nós o mais importante é apenas o estudo acerca dos polígonos convexos, apenas a 
parte teórica sobre o que é um polígono côncavo é importante. Mas para a parte de 
cálculo na matemática do ensino médio o mais importante é o estudo dos polígonos 
convexos. Então, vamos ver agora a nomenclatura dos polígonos: 
 
 
 
 
 
Número de Diagonais 
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não 
consecutivas de polígono. E o número de diagonais de um polígono de n lados é dado 
 por: 
( )3
2
n n
d
−
= Exemplo: 
Determine o polígono cujo número de diagonais são o quadruplo do número de lados. 
Resposta: Undecágono 
Determine o número de lados de um polígono convexo, sabendo que de um de seus 
vértices partem 15 diagonais. 
Resposta: 18 Lados 
 
Soma dos 
ângulos 
internos e 
externos 
A soma dos 
ângulos 
internos de um 
polígono 
 
140 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
convexo de nlados é dada por: 
( )180 . 2Si n=  − 
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo 
de n lados, é sempre 360º ou seja 
360Se =  
Exemplo: 
1) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados. 
 
Resolução 
Conforme informa a questão, o número de diagonais (d) é 4 vezes o número de lados (n), 
ou seja, d = 4n. Logo: 
( )
( )
3
4 3 8 3 8 11
2
n n
n n n n n n
 −
= → − = → − = → = 
Como o polígono tem 11 lados ele é denominado de undecágono. 
Exemplo: 
2) Determine o número de lados de um polígono convexo, 
sabendo que de um dos seus vértices partem 15 diagonais. 
Nessa questão, não sabemos quantos lados tem esse 
polígono, mas vamos desenhar alguns lados para entender 
melhor o que está acontecendo. Temos a informação de que 
do vértice A, por exemplo, partem 15 diagonais. Assim, 
sabendo que cada uma delas é ligada à um vértice, teremos 15 vértices. 
No entanto, como você pode ver na imagem abaixo, dois vértices não recebem diagonais, 
pois ao ligarmos o vértice A com estes dois vértices, formam-se lados e não diagonais. E 
se contarmos mais o vértice em que partem as 15 diagonais, temos um total de 18 vértices. 
Como vimos anteriormente, o número de vértices é exatamente igual ao número de lados, 
assim, este polígono tem 18 lados. 
 
Polígonos Regulares 
 
 
141 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
1. Polígono Equilátero 
É o polígono que possui os lados congruentes (iguais). 
Polígono Equiângulo 
É o polígono que possui os ângulos congruentes (iguais). 
 
 
 
2. Polígono Regular 
Um polígono convexo é regular se possuir os 
lados congruentes (equilátero) e todos os 
ângulos congruentes (equiângulo). 
 TRIÂNGULOS 
Definição: 
 
 
Propriedades 
1. Soma dos ângulos internos 
𝑺𝒊 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 = 𝟏𝟖𝟎° 
2. Soma dos ângulos externos 
𝑺𝒆 = 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑 = 𝟑𝟔𝟎° 
3. Teorema do ângulo externo 
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas dos 
ângulos internos não adjacentes a ele. 
4. O maior lado opõe-se ao maior ângulo 
5. Desigualdade triangular 
Figura geométrica plana formada por três pontos, chamados vértices e a união das semi-
retas que unem esse três pontos. Em resumo, é uma figura de três lados e que possui três 
ângulos. 
 
 
142 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. 
Classificação dos Triângulos 
Classificação dos triângulos quanto aos lados 
Equilátero Isósceles Escaleno 
 
1. Classificação quanto aos lados 
a) Equilátero: Todos os lados são iguais, e consequentemente todos ângulos também 
são iguais. 
b) Isósceles: Apenas dois (2) lados são iguais e da mesma forma apenas dois ângulos 
são iguais. 
c) Escaleno: Nenhum lado é igual ao outro logo nenhuma medida de algum ângulo 
é igual ao outro. 
OBS: Todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles, mas o inverso não é 
válido. 
Classificação quanto aos ângulos 
Triângulo Rectângulo: Possui um ângulo recto. 
a) Triângulo Acutângulo: Possui apenas ângulos agudos. 
b) Triângulo Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso. 
Pontos Notáveis do Triângulo 
1. Baricentroé o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. 
2. Mediana de um triângulo é o segmento de recta que une um vértice ao ponto 
médio do lado oposto. 
Obs: O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. 
3. Incentroé o ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo. 
Obs.: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
Teorema da Bissetriz Interna 
 
143 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais 
aos lados adjacentes. 
 
Mediana-É o segmento que une o vértice ao ponto 
medio do lado oposto 
Bissetriz-É a semi-reta de origem no vértice que 
divide o angulo em dois ângulos congruentes 
Bissetriz-É a distância entre o vértice e a reta 
suporte do lado oposto. 
Mediatriz-É a reta perpendicular ao lado do 
triângulo pelo seu ponto medio 
4. Circuncentro É o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. 
5. Mediatriz de um segmento de reta é a recta perpendicular a esse segmento pelo 
seu ponto médio. 
Obs.: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no 
triângulo. 
6. Ortocentro É o ponto de encontro das retas suportes das alturas do 
triângulo. 
7. 
Exemplo: 
AD é bissetriz e o perímetro do triângulo é 75. Determine AC. 
Resposta: 
AC = 15 V AC = 20 (Ambas as respostas são válidas) 
Área do Triângulo 
1. Área do triângulo em função dos lados e respetivas alturas 
𝑨 =
𝒃. 𝒉
𝟐
 
2. Área do triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo 
compreendido. 
 
144 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
𝑨 =
𝒍𝟏.𝒍𝟐.𝒔𝒆𝒏∝
𝟐
 
Exemplo: 
Determine a área do quadrilátero da figura ao lado, dados: 
AB = 12cm, BD = 18cm , e CD = 𝟏𝟐√𝟐cm 
Resposta: 162cm2 
 
3. Área do triângulo em função dos lados 
𝑨 = √𝒑. (𝒑 − 𝒍𝟏)(𝒑 − 𝒍𝟐)(𝒑 − 𝒍𝟑)𝒄𝒐𝒎𝒑 =
𝒍𝟏 + 𝒍𝟐 + 𝒍𝟑
𝟐
 
Exemplo: Os lados de um triângulo medem 17m, 15m e 8m. Determine a sua menor 
altura. 
Resposta: 𝒉 =
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟕
𝒎 
4. A área de um triângulo em função dos lados e do raio da circunferência inscrita. 
𝑨 = 𝒑. 𝒓𝒄𝒐𝒎𝒑 =
𝒍𝟏 + 𝒍𝟐 + 𝒍𝟑
𝟐
 
Exemplo: 
Determine a medida do raio de um circulo inscrito em um triângulo isósceles de lados 
10cm, 10cm e 12cm. Resposta: r = 3cm 
5. A área de um triângulo em função dos lados e do raio da circunferência 
circunscrita. 
𝑨 =
𝒍𝟏. 𝒍𝟐. 𝒍𝟑
𝟒. 𝒓
 
Exemplo: Determine a medida do raio de um circulo circunscrito em um triângulo 
isósceles de lados 10cm, 10cm e 12cm. Resposta: 𝒓 =
𝟐𝟓
𝟒
𝒄𝒎 
 Semelhança de triângulos 
1. Definição 
 
145 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Dois triângulos são semelhantes se possuem os três lados congruentes e os lados homólogos 
proporcionais. 
2. Teorema fundamental 
Uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois pontos 
distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 
Observações 
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então a razão entre dois elementos 
homólogos é k. 
Exemplo: Prologando-se os lados oblíquos do trapézio ilustrado eles se interceptarão em um 
ponto E. Determine a altura do triângulo relativa à base AB. Resposta: h = 25 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
1. Elementos 
a) a, -- Hipotenusa 
b) b, -- Cateto-1 
c) c, -- Cateto-2 
d) m, -- Projeção do cateto-1 sobre a 
hipotenusa 
e) n, -- Projeção do cateto-2 sobre a 
hipotenusa 
f) h, -- Altura relativa a hipotenusa 
 
 
2. Semelhanças 
Em um triângulo retângulo os ângulos agudos são sempre complementares. 
3. Relações métricas no triângulo retângulo 
Com base na semelhança de triângulos já vista temos as seguintes relações 
métricas: 
 
146 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
a) 𝒂. 𝒉 = 𝒃. 𝒄 
b) 𝒉𝟐 = 𝒎. 𝒏 
c) 𝒄𝟐 = 𝒂. 𝒎 
d) 𝒃𝟐 = 𝒂. 𝒏 
 
Teorema de Pitágoras 
 
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos. 
𝐚𝟐 = 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 
 
 Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) 
 
 
 
 
 
 
 Circunferência 
Definição. 
 
 
Corda: Qualquer segmento interno a circunferência com extremidades em dois 
pontos pertencentes à mesma. Na figura ao lado, AB e CD são cordas da 
circunferência 
Dadas retas paralelas intercetadas por duas transversais, podemos afirmar, segundo Tales, 
que existe uma proporcionalidade entre os trechos intercetados. 
 
: O conjunto de todos os pontos que estão a exatamente uma determinada distância de 
um ponto dado do mesmo plano chama-se circunferência 
 
147 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Diâmetro: Qualquer corda da circunferência que contenha o centro da mesma. É 
a maior corda da circunferência. CD representa um diâmetro da circunferência 
na figura. 
Raio:Qualquer segmenta que liga o centro a um ponto qualquer da 
circunferência. PC é raio da circunferência ao lado. Note que o raio é 
metade do diâmetro! (D = 2.R) 
Arco:É uma parte da circunferência, definida por um ângulo central 
m(AB) e um comprimento m (AB) (determinado por dois pontos da 
circunferência) 
Teorema do ângulo central 
Definição: 
Chamamos de ângulo central, todo e qualquer ângulo cujo vértice seja o centro 
da circunferência. 
Teorema: 
 
 
“A medida de um ângulo inscritonumarco é igual a metade da medidaangular do arco intercetado 
da mesmacircunferência”. 
 
148 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Em outras palavras, um ângulo cujo vértice pertence a circunferência equivale a 
metade do ângulo central que “enxerga” o mesmo arco que este. 
Áreas e perímetro de figuras planas 
 Lei dos senos. 
Em todo triângulo, a razão entre a medida de umlado e o seno do ângulo oposto é 
constante e vale o dobro do raio da ircunferência circunscrita ao 
triângulo. 
2
a b c
R
senA senB senC
= = = 
Lei dos cossenos. 
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado 
depende das medidas dos outros dois lados e 
doângulo entre eles. 
2 2 2 2 cosx a b ab = + − 
 
 
149 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
 
 
01)Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do 
quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? 
a) 80o b) 90o c) 100o d) 110o e) 120o 
 A
 B C E
D
 x
 F
 G
 
02) Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x? 
75 65
x
 
A) 30o B) 40o C) 50o D) 60o E) 70o 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Como o 
triângulo ABC é equilátero, o ângulo interno  mede 60o. Se
é paralelo a , então o ângulo entre e é 60o ou 
180o – 60o = 120o. Sendo x o maior ângulo entre esses dois 
segmentos, x = 120o. 
 
DG AB DG AC
Resolução: 
 
Como ABC e DEF são triângulos 
Equiláteros, seus ângulos internos medem 
60o. No triângulo AGD, 
 
Portanto, e no 
triângulo CGH, 
. 
 
 
O O O O
O O O O
( ) 180 75 60 45 e 
ˆ( ) 180 65 60 55 
m GÂD
m GDA
= − − =
= − − =
ˆ( ) 180 45 55 80 m AGD = − − =
O O O O80 60 180 40x x+ + =  =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
150 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
03)Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD mede 30o. Então o ângulo x mede: 
 B D
 C
 E
 A
 30
 x
 
a)10o b) 20o c) 15o d) 30o e) 5o 
 
 
 
 
 
 
 
04. Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma 
fonte S, é emitido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no 
ponto A, como mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio 
retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo raio de 
luz, em metros, é 
a) 2 b) 2 3+ c) 1 2 3+ + d) ( )2 1 3+ e) 5 3 
 30
 A S
 V
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
30 30 15 .o o oADE x ABD ADE AED ABD x x ACD x + = +    =  = +  − = +   =
 
O raio de luz percorre o trajeto S-A-B-C-B-A-S. Temos , , 
e . Logo a distância percorrida pelo 
raio de luz é . 
 
 
 30 
 A S 
 V 
 30
o 
 30
o 
 60
o 
 60
o 
 60
o 
 B 
 C 
mSA 1= mCVAC 5,0==
mAB
AB
AC
3
3
30cos ==  mBC
AC
BC
6
3
30tg == 
( ) mBCABSA 32
6
3
3
3
122 +=








++=++
 
151 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
05. O perímetro de um rectângulo é 100 e a diagonal mede x. qual é a área do retângulo? 
a) 625 – x2 b)625 – 
2
2x
 c) 1250 – 
2
2x
 d) 250 – 
2
2x
 e) 2500 – 
2
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
O6. Na ao figura, todas as circunferêncs menores têm o mesmo raio r e os 
centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de 
um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na figura. Então a razão 
a
b
 é igual a: 
a) 
1
2
 b) c) 1 d) e) 2 
. 
 
 
 
 
 
2
3
3
2
a
b
Resolução 
 
 a
 50 – a
 x
.
Resolução 
 
 
 
a
b
r
2r
A área a é igual à área de um círculo de raio r, ou seja, . 
A área b é igual á área de um quarto de círculo de raio 3r 
subtraída de duas vezes a área de um semicírculo de raio r e da 
área de um quarto de círculo de raio r. Logo 
. Portanto 
 
2a r= 
2 2 2 21 1 1(3 ) 2
4 2 4
b r r r r=   −    −   = 
2
2
1
a r
b r

= =

Sejam a e 50 – a os lados do retângulo. A área procurada 
é . 
Pelo teorema de Pitágoras,
Deste modo, 
 
( ) 250 50a a a a−  = −
2
2 2 2 2 2 2(50 ) 2500 100 2 50 1250 .
2
x
x a a x a a a a= − +  = − +  = + −
2 2
2 2 250 1250 1250 .
2 2
x x
a a a a− = + − − = −
 
152 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, 
esão medidas de ângulos. Qual é o valor da razão ? 
a) b) c) 1 d) e) 
 
 
 
 
Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como 
mostra a figura 
 
A medida do ângulo x é: 
 a) 39º b) 41º c) 43º d) 44º e) 46º 
 
 
 
 
 
 


5
3
5
4
4
5
3
5
 30 126
 75
 x
 
Resolvidos 
Como , . Logo e, 
como , . Além disso, e, 
como . Portanto o valor da razão é . 
 
CE CD= ( ) (180 20 ) 2 80m CÊD = −  = ( ) 180 80 100m CÊB = − =
BE CE= (180 100 ) 2 40 = −  = ( ) ( ) 80m BÊA m CÊD= =
AE BE= (180 80 ) 2 50 = −  = 

50 5
440
=
Resolução: 
Então os ângulos à esquerda e à 
direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respetivamente; os ângulos à 
esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respetivamente 180º – 126º – 30º 
= 24º e 90º – 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita 
são respetivamente 180º – 75º – 66º = 39º e 90º – 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo 
com um dos ângulos igual a x, temos x = 90º – 51º = 39º. 
 
30º 126º
x
75º
 
153 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, Me N. A reta LM corta a reta 
PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL é , < 60o, quanto mede o ângulo 
LRP? 
 
a)3 – 180o b)180o – 2 c) 180o – d) 90o – /2 e)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de 
comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de 
largura. Uma delas foi colada sobre a outra, 
perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada ao 
lado. O perímetro dessa figura, em centímetros é: 
a) 50 b) 60 c) 80 
 d) 100 e) 120 
 
 
 90
Resolução: 
Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo 
que o de um quadrado de lado 20cm, ou seja, 80 cm 
 
Como a reta PQ é tangente à 
circunferência, os ângulos LNP e LMN 
são congruentes, ou seja, m(LMN) = . 
Sendo o triângulo LMN isósceles com LM 
= LN, os ângulos LNM e LMN são 
congruentes, e, portanto, m(MLN) = 180o 
– m(LNM) – m(LMN) = 180o – 2. 
O ângulo LNP é externo do triângulo 
LNR, logo m(LNP) = m(NLR) + m(LRN), 
ou seja,  = 180o – 2 + m(LRP) 
m(LRP) = 3 – 180o. 
 
 
154 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
 
a)25º.b) 50º.c) 100º.d) 75º. 
 
 
 
 
 
 
Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Se α = 3β, a soma dos ângulos internos do triângulo ABC: 
β + 3β + 80° = 180° → 4β = 180° - 80° → 4β = 100° → β = 25°. 
Como γ = 6β → γ = 6 . 25° → γ = 150° 
Agora, observando o triângulo ECD temos que o suplemento de γ é o ângulo CDE = 30°. 
Como o ângulo de 80° é externo ao triângulo, temos que: 
80° = x+ 30° →x= 80° - 30° →x= 50°. 
 
Resolução 
Os três triângulos sombreados têm altura igual à altura do retângulo. Como a soma de suas 
bases é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à metade da área do 
retângulo. Alternativamente, pode-se observar que as partes sombreadas e não sombreadas 
podem ser subdivididas de tal modo que a cada parte sombreada corresponde exatamente 
uma parte congruente não sombreada, como mostra a figura abaixo. Logo, a área 
sombreada corresponde à metade da área do retângulo 
 
 
155 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. 
Quanto mede o ângulo LMN? 
 
 
 
 
Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo retângulo em A, e 
com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o terreno em duas 
partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaixo. 
Assinale a opção que contém o valor mais aproximado do segmento BM. 
a) 55m B) 57m C) 59m D) 61m E) 63m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
(C) Seja NP uma paralela às arestas verticais do cubo. Sendo 2a a 
medida da aresta do cubo, pelo teorema 1…e Pitágoras, 
( )
22 2 2 2 22 2 2 6LP LM MN a a a LN LP PN a a a= = = + = = + = + = 
Pela lei dos cossenos 
, 
2 2 2
2 2 2
2
2 2
Logo o ângulo LMN
6 1
22 2 2
 mede 120
ML MN LN
LMN
LM MN
a a a
a a
+ −
= =
 
+ −
= −
 
 
 
Resolução 
 
Como a razão das áreas de triângulos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança temos
2
2
1
.Dai, 42 2 59
2
AMN MN
AM
ABC BC
= = =  
 
 
156 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
Exercícios 
 
Em cada figura abaixo, determine a medida do 
ângulo x. 
 
 
 Em cada figura abaixo, determine a 
medida do ângulo x. 
 
Em cada figura abaixo, determine a medida do 
ângulo x. 
 
O triângulo ABC abaixo é retângulo em 
A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. 
O arco DHE tem centro no vértice A e 
tangencia a hipotenusa BC no ponto H. 
Determine a área da região sombreada na 
figura. 
 
 
Em cada figura abaixo, determine a medida do 
ângulo x. 
 
sendo O o centro da circunferência, 
determinar a medida do ângulo ou do 
arco x. 
 
 
157 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
 
Em cada figura abaixo, determine a medida do 
ângulo x. 
 
A figura abaixo mostra dois quadrados 
sobrepostos. 
Qual é o valor de x + y, em graus ? 
 
 
Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. 
 
Sendo O o centro da circunferência, 
determinar a medida do ângulo ou do arco 
x. 
 
Na figura a seguir, os arcos QMP e 
MTQ medem, respectivamente, 170º e 130º. 
Então, o arco MSN mede: 
a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º 
 
 
 
158 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
24 Matriz de exame de admissão 
1. Fracções simples e mistas 
1.1. Transformação de fracções para decimais e vece-versa 
1.2. Operações com fracções 
2. Percentagens 
2.1. Transformação de fracções em percentagem e vice-versa 
2.2 Cálculo de percentagens múltiplos 
2.3 Aumentos numerários e percentuais 
2.4. Diminuições numerários e percentuais 
3. Proporções e problemas de bom senso 
4. Circunferência 
4.1. Posição relativa de uma recta e de uma circunferência 
4.2. Ângulos ao centro e arcos de uma circunferência 
4.3. Relações entre cordas, arcos e ângulos ao centro 
4.4. Amplitude de ângulo e de arco 
4.5. propriedades relativas a cordas, arcos e ângulosao centro 
4.6 Ângulos inscitos e exterios a circunferência 
4.7 Área do sector circular e da coroa circular 
5. Conguência de triângulos 
5.1. Determinação de congruência de ângulos à partir de duas rectas paralelas e uma secante 
por elas 
5.2. Ângulos de um triângulo 
5.3. Critérios de conguência de triângulos. 
 
159 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
6. Potenciação e Radiciação 
6.1. Simplificação de expressões numéricas com potência inteira 
6.2. Simplificação de expressões numéricas com potência fraccionária (radicais) 
7. Quadriláteros 
7.1. Teorema de Thales e sua aplicação 
8. Semelhança de triângulos 
8.1. Homotetia e semelhança 
8.2 Teorema de Thales 
9. Equações 
9.1. Equações polinomiais 
9.2. Equações racionais fraccionárias 
9.3. Equações Irracionais 
9.4. Equações exponenciais 
9.5. Equações logarítmicas 
10. Sistemas de equações 
10.1. Sistemas lineares de duas equações e duas incónitas 
10.2. Sistemas de três equações e três incógnitas 
10.3. Problemas envolvendo sistemas de equações 
11. Inequações 
11.1. Inequações polinomiais 
11.2. Inequações racionais fraccionárias 
11.3. Inequações Irracionais 
11.4. Inequações exponenciais 
 
160 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
11.5. Inequações logarítmicas 
12. Geometria Analítica 
12.1. Equação de recta 
12.2. Determinação de coordenadas de um ponto da divisão da recta sendo dada a razão 
12.3. Equação da cricunferência 
12.4. Equação da elípse 
12.5. Equação da hipérbole 
12.6. Posição relativa de rectas 
12.7. Distância entre dois pontos e de um ponto a recta 
13. Trigonometria 
13.1. Redução de ângulos ao primeiro quadrante 
13.2. Razões de ângulos acima de 3600 e no sentido negativo 
13.3. Teorema de pitágoras, dos senos e co-seno 
13.4. Funções trigonométricas 
13.4.1. Caracterização de funções: domínio, contradomínio, paridade, bijectividade e 
periodicidade 
13.4.2. Transformações lineares com funções trigonométricas 
14. Módulo de um número real 
14.1. propriendades sobre expressões modulares 
14.2. Expressões modulares 
14.3. Equações modulares 
14.4. Inequações modulares 
14.5. Funções modulares 
 
161 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 
15. Análise Combinatória 
15.1. Factorial 
15.2. Arranjos, Combinações e permutações símples