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55 Determine m para que o resto da divisão de f(x) = 2\' - mx! - x + 5 por g(x) = x + 3 seja igual a 3­
56 Em cada caso abaixo, f(x) é divisível por g(x). Determine m.a) f(x) = x2 + mx + 2i e g(x) = x - 2b) f(x) = x2 + 3mx + 5 e g(x) = x - ic) f(x) = x* + 3x' - x2 + mx - 1 e g(x) = x - 257 Sabendo que o polinômio p(x) = 2x2 + mx + n é divisível por x — 1 e que, quando dividido por x + 2, deixa resto igual a 6, determine m e n.
58 Determine o polinômio do 1? grau que, dividido por x - 3. deixa resto 5 e, dividido por x + 2, deixa resto 1.
59 O resto da divisão do polinômio p(x) = xn + 2x - 5 por x - 2 é igual a 15. Determine n.
60 Seja n E bJ* e p(x) = xn + 1. Determine o resto da divisão de p(x) por x + 1:a) quando n é par; b) quando n é ímpar.
61 Um polinômio p(x), dividido por x - 1, dá resto 2 e, dividido por x + 1, dá resto 3- Qual é o resto da divisão de p(x) por (x - 1) (x + D?
62 Sendo 3 e —1, respectivamente, os restos das divisões de um polinômio f(x) por x - 2 e por x - 3. determine o resto da divisão de f(x) por x2 - 5x + 6.
63 Seja p(x) um polinômio divisível por x — 3- Dividindo p(x) por x — 1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10. Qual é o resto da divisão de q(x) por x - 3?
64 Um polinômio é chamado mônico quando o coeficiente do termo de maior grau é 1. Assim, são polinômios mônicos x ' + 4x2 - 5x + 3, x2 — 5. etc.a) Determine o polinômio p(x). mônico, de grau 3- divisível por x - 1, divi­sível por x - 2 e tal que p(31 = 6.b) Prove que p(x) é divisível por x2 - x.
65 Determine um polinômio p(x) de 3“ grau. mônico, tal que 1 e 2 são raízes do polinômio e p(3) = 30.
100
66 Seja p(x) = X n x "- Qual é o resto da divisão de p(x) por x - 1?
n = 1
V A I I MA MCA: C ltN r iA F APi iCAÇflES
Dispositivo de Briot-Ruffini
fsse orocesso fornece o quociente q(x) e também o resto r da divisão de um polinômio 
f(x) por g(x).
É importante lembrar que estamos supondo que g(x) é da forma x - a (ou x + a); já 
em relação a f(x) não há restrições.
Sejam f(x) = a.,xr' + an_ | X !~1 + .. + a-x + an (an 0) e g(x) = x - a
Consideremos a divisão de f(x) por g(x).
O quociente q(x) dessa divisão é um polinômio de grau n - I (pois
grau q = grau f - grau g = n - 1), dado por:
q(x) = q[1_ ,xn 1 + qr >x"~- + . . . + q. • x + q0
O resto r dessa divisão é um número complexo (independente de x); de fato, como 
grau r < grau g e grau g = 1, segue que grau r = 0.
Nosso objetivo é deteiminar o resto da divisão e os coeficientes de q(x):
Q „ - q n . j . ........q e qc.
Temos:
f(x) = g(x) • q(x) + r,
isto é:
anxn + a„_ ,xn~ + .. . + a,x + a0 =
= (x - a) • (q„_ ,x " '1 + q„_ 2 x " '7 + ... + q,x + q„) + r =
= ( q „ - , x n + q„- :X"- ’ + ... + q,x; + q0 • x) - 
- (aqn _ ,xn 1 + aq„ _ ,xn aq,x + aq.J + r
Agrupando os monômios de mesmo grau:
anx" + an ,x"-' + ... + a,x + a0 =
= q„- *” + (q„_. - aq„_ ,)xn‘ + . + (q „- aq,)x + (—aq0 + r) 
Da identidade de polinômios segue que:
'• q„-i = an
• an_ , = qll. ; - 2 ' q ri- ' = >qn. ; = all- 1 + a- qn. I
• a, = q 0 - a • q, => q0 = a, + a ■ q,
• a- = -a • q„ + r => r = a0 + a • q0
A determinação do resto da divisão de f(x) por g(x) e dos coeficientes de q(x) torna- 
se mais rápida com a aplicação do dispositivo prático de Briot-Ruffini.
pni ikcmios
Consideremos a divisão de f(x) = x3 - 4x" + 5x - 2 por g(x) = x - 3, ambos escritos 
segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, sigamos o seguinte 
roteiro:
► 1? passo: calcular a raiz do divisor g(x) e, ao seu lado, colocar os coeficientes ordenados 
do dividendo f(x). 
raiz de g(x): x - 3 = 0 = > x = 3
coêriíientes ordenaaos 
\ - ^
3 l _ 4 5 - 2
► 29passo:abaixar o l? coeficiente do dividendo (1) e multiplicá-lo pela raiz do divisor 
( 1 X 3 = 3).
3 2
1
- 4 5 - 2
► 39 passo:somar o produto obtido com o coeficiente seguinte (3 + (-4) = -1) O resul­
tado é colocado abaixo desse coeficiente.
3 1 -4
-1
5 -2
► 49 passo: com esse resultado, repetir as operações (multiplicar pela raiz e somar com o 
coeficiente seguinte), e assim por diante.
3 1 - 4 5 -2
1 -1 2 4
O último dos resultados obtidos no algoritmo de Briot-Ruffini é o resto da divisão. 
Assim, r = 4.
Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados 
do quociente da divisão. Dessa maneira, q(x) = 1 x2 — 1 - x + 2 = x - - x + 2.
M AÍFMAT1CA: H É N riA f A P lIC A Ç fiFS