Matemática Interligada Geometria Espacial e Plana (9)

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Na história da arte, o período entre os séculos XIV e XVII na 
Europa é identificado como Renascimento. Nessa época, os 
pintores começaram a desenvolver obras em perspectiva 
– representações tridimensionais com o uso de princípios 
da geometria. Esse tipo de representação possibilita a 
ilusão de espessura e profundidade das figuras, com base 
na projeção das linhas paralelas do primeiro plano para um 
chamado ponto de fuga, em segundo plano. Os principais 
nomes desse período são: Botticelli, Leonardo da Vinci e 
Michelangelo.
Fonte de pesquisa: BRASIL. Ministério da Cultura. Mestres do Renascimento: 
obras-primas italianas. Disponível em: <https://www.bb.com.br/docs/pub/inst/
dwn/renascimento.pdf>. Acesso em: 2 jun. 2020.
Mona Lisa (La Gioconda), de Leonardo da Vinci, 
1503-1505. Museu do Louvre, Paris.
 Primeiros postulados
Postulado 1: Retas e planos são conjuntos de pontos.
Postulado 2: Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Postulado 3: Em um plano, bem como fora de le, existem infinitos pontos.
Postulado 4: Dois pontos distintos determinam uma única reta.
 Espaço e figuras geométricas
Na geometria que estamos estudando neste capítulo, o ponto, a reta e o plano são ele-
mentos do espaço, que é o conjunto de todos os pontos.
A reta, o plano, o losango, o retângulo, entre outros, são formados por pontos, que, por 
sua vez, podem ser considerados subconjuntos desse espaço.
Entre esses subconjuntos, destacamos as figuras geométricas, as quais podem ser classi-
ficadas da seguinte forma. 
• Figuras planas: estão contidas totalmente em um só plano.
Postulado 5: Três pontos não colineares determinam um único plano.
• Figuras espaciais (tridimensionais): não estão contidas totalmente em um só plano.
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Teorema: sentença matemática 
verdadeira que pode ser 
demonstrada por postulados 
ou outros teoremas
Hipótese: proposição ou conjunto de proposições admitidas como princípio, indepen-
dentemente de serem verdadeiras ou falsas
Tese: proposição que se apresenta para ser defendida
Na demonstração do teorema 2 foi utilizada a dedução por absurdo, que consiste em 
considerar a hipótese e a negação da tese verdadeira. Com base em argumentos verdadeiros, 
deduz-se uma sentença absurda, demons trando-se assim que a tese é ver dadeira.
Dados os conjuntos A e B, 
chamamos de interseção de A e B 
o conjunto formado pelos objetos 
que são elementos de A e de B 
simultaneamente.
Postulado 6: Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um 
plano, então a reta está contida nesse plano.
Considerando esses postulados, podemos demonstrar alguns teoremas. 
Para isso, utilizaremos como recurso o método dedutivo ou sistema dedu-
tivo, o qual permite fazer demonstrações de forma lógica com base em con-
ceitos primitivos e postulados.
Teorema 1: Uma reta e um ponto não pertencentes a ela determinam um 
único plano.
Demonstração
Sejam uma reta r e um ponto C não pertencente a r. Vamos mostrar 
que existe um único plano que os contém.
Considere os pontos distintos A e B pertencentes a r. Os pontos A, B e 
C são não colineares, e, pelo postulado 5, determinam um único plano α . 
Pelo fato de os pontos A e B pertencerem a r, segue, do postulado 6, que 
a reta r está contida em α .
Portanto, α é o único plano que contém a reta r e o ponto C.
Teorema 2: Se um plano α é cortado por uma reta s e essa reta não está 
contida nesse plano, a interseção da reta s com o plano α é um único ponto.
Demonstração
Se a interseção da reta s com o plano α tivesse mais de um ponto, 
haveria ao menos dois pontos, P e Q, pertencentes a s e a α . Pelo postu-
lado 6, a reta s estaria contida no plano α , o que é falso, pois contraria a 
suposição inicial. Logo, a reta s corta o plano α em um único ponto.
 R1. Verifique se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa. Em seguida, justifique sua 
resposta.
a ) Três pontos não colineares determinam vários planos.
b ) Quatro pontos, sendo quaisquer três deles não colineares, determinam seis retas dis-
tintas.
Resolução
a ) Falsa. De acordo com o postulado 5, três pontos não colineares determinam um único 
plano.
Nos próximos tópicos, faremos uso dos postulados para enunciar outras propriedades 
relativas a pontos, retas e planos.
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