Distância entre Pontos no Plano

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E(2, 2)
F(6, 5)
G(6, 2)
6 − 2 = 4
5 − 2 = 3
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Como exemplo, vamos calcular a medida da distância entre os pontos E(2, 2) e F(6, 5) 
no plano cartesiano. Para isso, vamos construir inicialmente um plano cartesiano na malha 
quadriculada, indicar esses pontos e traçar o segmento EF, cuja medida do comprimento é 
igual à medida da distância entre os pontos E e F.
Note que não é possível contar quantas unidades de comprimento há entre E e F, mas 
podemos determinar quantas unidades têm a projeção de ‾ EF no eixo x e no eixo y.
Indicando no plano cartesiano o ponto G, de forma que ‾ EG seja paralelo ao eixo x e 
que ‾ GF seja paralelo ao eixo y, obtemos o triângulo retângulo EFG, cujos catetos medem 4 
e 3 unidades de comprimento.
Assim, para determinar a medida da distância entre E e F, calculamos a medida do com­
primento da hipotenusa do triângulo retângulo EFG usando o teorema de Pitágoras.
Portanto, a medida da distância entre os pontos E e F é 5 u.c.
Apresentamos, anteriormente, um caso em que foi necessário utilizar o teorema 
de Pitágoras para determinar a medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano e 
casos em que o teorema não foi necessário. Explique a um colega por que isso ocorreu.
Questão 1.
 (EF) 2 = (EG) 2 + (GF) 2 
 (EF) 2 = 4 2 + 3 2 
 (EF) 2 = 25 
 EF = √ 
_
 25 
 EF = 5 
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Questão 1. Resposta pessoal. 
Espera-se que os estudantes digam 
que, nos casos em que as abscissas 
ou as ordenadas dos pontos são 
iguais, é possível contar quantas 
unidades de comprimento há 
entre os pontos, bastando realizar 
a projeção nos eixos e efetuar 
uma subtração. Já no caso em 
que as abscissas ou as ordenadas 
dos pontos são respectivamente 
diferentes, é necessário utilizar o 
teorema de Pitágoras, pois não é 
possível contar quantas unidades de 
comprimento há entre os pontos.
153
Complemente a questão 1 apre-
sentando outros cálculos de medi-
da de distância entre pontos que 
têm abscissas iguais, como H (1, 5) e 
I (1, 12) ; entre pontos que têm orde-
nadas iguais, como J (2, 7) e K (− 2, 7) ; 
e entre pontos que têm ordenadas 
e abcissas diferentes, como L (0, 1) 
e M (3, 9) . Propor aos estudantes 
que expliquem os casos para seus 
colegas exige que enfrentem situ-
ações-problema não diretamente 
relacionadas com o aspecto práti-
co-utilitário, favorecendo o desen-
volvimento da Competência espe-
cífica de Matemática 6. 
Complemente o trabalho com os 
conteúdos desta página propondo 
aos estudantes a atividade a seguir.
• Em uma malha quadriculada, 
construa um plano cartesiano, 
marque os pontos A (6, 1) e B (2, 4) e 
calcule a medida da distância entre 
eles.
Atividade a mais
Resolução e comentários
 Após representar os pontos A e B 
no plano cartesiano, os estudantes 
podem notar que o ponto C, de 
coordenadas (2, 1) , é uma das pos-
sibilidades de formar um triângulo 
retângulo com os outros dois pon-
tos. Assim, utilizando o teorema de 
Pitágoras, temos:
 (AB) 2 = (BC) 2 + (CA) 2 
 (AB) 2 = 3 2 + 4 2 
 (AB) 2 = 9 + 16 
 AB = √ 
_
 25 
 AB = 5 
Portanto, a medida da distância en-
tre os pontos A e B é 5 u.c.
Os estudantes podem usar outros 
pontos para obter o triângulo retân-
gulo, como o de coordenadas (6, 4) .
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Medida da área e do perímetro de figuras 
planas construídas no plano cartesiano
De acordo com o que foi estudado até agora, vamos determinar a medida do perímetro 
e a medida da área de polígonos no plano cartesiano.
A seguir, apresentamos um retângulo e um triângulo retângulo no plano cartesiano.
Para calcular a medida do perímetro do triângulo, por exemplo, vamos determinar inicial­
mente a medida do comprimento de todos os lados.
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 EF = |7 − 1| = 6 
 EG = |7 − 3| = 4 
Agora, calculamos a medida do perímetro P. 
 P = 6 + 4 + 2 √ 
_
 13 = 10 + 2 √ 
_
 13 
Conhecendo a medida do comprimento dos lados EF e EG, podemos calcular a medida 
da área A do triângulo retângulo da seguinte maneira:
 A = EF ⋅ EG _ 2 = 6 ⋅ 4 _ 2 = 12 
Portanto, a medida do perímetro e a medida da área do triângulo são (10 + 2 √ 
_
 13 ) u.c. e 
12 u.a. (unidades de área), respectivamente.
Utilizando os mesmos procedimentos apresentados, determine em seu caderno a 
medida da área e a medida do perímetro do retângulo representado no plano cartesiano.
Questão 2.
 (FG) 2 = (EF) 2 + (EG) 2 
 (FG) 2 = 6 2 + 4 2 
 (FG) 2 = 52 
 FG = √ 
_
 52 
 FG = 2 √ 
_
 13 
Note que as coordenadas 
dos vértices do retângulo são 
 A (− 4, 1) , B (− 1, 1) , C (− 1, 8) e 
 A (− 4, 8) e as coordenadas dos 
vértices do triângulo são 
 E (1, 3) , F (7, 3) e G (1, 7) .
Atenção!
Questão 2. Resposta: 21 unidades de área; 20 unidades de comprimento.
154
• Na questão 2, os estudantes po-
dem obter as medidas do compri-
mento e da largura do retângulo 
por meio de contagem. No cálcu-
lo da medida da distância entre os 
pontos, retome com eles adição e 
subtração com números inteiros, re-
solvendo alguns exemplos na lousa.
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Ponto médio de um segmento de reta
Analise o que Fábio está falando.
Quais são as coordenadas do ponto médio M do segmento AB?
Para responder a essa pergunta, vamos considerar as projeções do segmento AB nos 
eixos x e y e fazer a seguinte análise.
 • Em relação ao eixo x, o valor 2 divide a projeção de ‾ AB em dois segmentos congruentes.
 • Em relação ao eixo y, o valor 2,5 divide a projeção de ‾ AB em dois segmentos congruentes.
Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento AB são M (2; 2,5) .
No caderno, determine as coordenadas do ponto médio do segmento CD indicado 
no plano cartesiano a seguir.
Questão 3.
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O ponto médio de um 
segmento de reta o divide em 
dois segmentos de mesma 
medida de comprimento.
No plano cartesiano a seguir, está representado o segmento AB e seu ponto médio M.
Questão 3. Resposta: (0,5; 3) .
155
• Na questão 3, os estudantes de- 
vem se orientar pelos eixos x e y pa-
ra obter as coordenadas do ponto 
médio. Aproveite a questão escre-
vendo na lousa, com eles, a expres-
são que determina o valor numérico 
da abscissa e da ordenada do pon-
to médio: x = 
 |6 + (− 5) | 
 _ 2 = 1 _ 2 = 0,5 
e y = |6 + 0| _ 2 = 6 _ 2 = 3 .
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 1. No plano cartesiano a seguir, foram 
dispostos alguns pontos.
 4. A seguir, estão representadosdois po­
lígonos no plano cartesiano.
a ) Determine as coordenadas desses 
pontos.
b ) Calcule a medida da distância entre a 
origem e cada um desses pontos.
 2. Calcule a medida do perímetro de cada 
polígono a seguir.
Calcule:
a ) a medida do perímetro de cada po­
lígono.
b ) a medida da área de cada polígono.
 5. Analise o polígono a seguir.
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
Agora, pense em uma estratégia para 
calcular a medida da área desse polígo­
no e calcule essa medida.
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 3. Sabendo que (2, 2) são as coordenadas 
do ponto médio de ‾ AB e B (6, 5) , deter­
mine a medida do comprimento do 
segmento AB .
5. Resposta: A = 30 u.a. 
1. Respostas: a) A (4, 0) ; B (3, 3) ; C (− 3, − 2) ; D (− 4, 4) ; E (2, − 3) ;
b) A: 4 u.c. ; B: 3 √ 
_
 2 u.c. ; C: √ 
_
 13 u.c. ; D: 4 √ 
_
 2 u.c. ; 
E: √ 
_
 13 u.c. 
2. Resposta: P ABC = 12 u.c. ; P DEF = (6 + 6 √ 
_
 2 ) u.c. ; 
 P GHIJ = 4 √ 
_
 13 u.c. 
4. a) Resposta: P ABCD = (8 + 2 √ 
_
 13 ) u.c. ; 
3. Resposta: 10 u.c.
4. b) Resposta: A ABCD = 12 u.a. ; A EFG = 10 u.a. 
 P EFG = (9 + √ 
_
 41 ) u.c. 
156
• A atividade 1 envolve o reconheci-
mento das coordenadas de pontos 
no plano cartesiano e a medida da 
distância desses pontos até a ori-
gem. Para os pontos que não estão 
sobre o eixo x ou sobre o eixo y, 
oriente os estudantes a construir 
triângulos retângulos. 
• Tire melhor proveito da ativida-
de 2 pedindo aos estudantes que 
construam, em um plano cartesia-
no, outra figura geométrica (como 
um retângulo, pentágono ou hexá-
gono) e calculem a medida do perí-
metro dela.
• Na atividade 3, peça aos estudan-
tes que representem as informa-
ções dadas em um plano cartesia-
no, a fim de auxiliar na resolução da 
atividade.
• A atividade 4 requer o cálcu-
lo de medidas de perímetro e de 
área de um triângulo e um parale-
logramo. Aproveite para relembrar 
por que a fórmula de cálculo da 
área do paralelogramo é a mesma 
da área do retângulo. 
• A atividade 5 envolve o cálculo 
de medida da área de um pentá-
gono irregular, que pode ser de-
composto em outras figuras, co-
mo: um retângulo e um triângulo. 
Esta atividade pode colaborar para 
exercitar a curiosidade intelectual 
e recorrer à abordagem própria 
das ciências, incluindo a investiga-
ção, a reflexão, a análise crítica, a 
imaginação e a criatividade, para 
investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses com base em conheci-
mentos matemáticos, desenvol-
vendo aspectos da Competência 
geral 2 e da Competência especí-
fica de Matemática 2.
• Ao trabalhar com a atividade 5 
desta página, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa Pen-
samento do design.
• Ao trabalhar com as atividades 
desta unidade, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa Pen-
sar-conversar-compartilhar. 
Obtenha informações sobre es-
sas metodologias no tópico Meto-
dologias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual. 
Metodologias ativas
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 7. Os pontos A (− 1, − 2) , B (− 3, 2) e C (1, 4) são vértices de um triângulo em um plano carte­
siano. Sabendo que esse triângulo é retângulo em B, responda às questões.
a ) Esse triângulo é isósceles?
b ) Calcule as medidas do perímetro e da área desse triângulo.
 8. Se ‾ AM é a mediana relativa ao lado ‾ BC , calcule a medida do comprimento de ‾ AM .
 9. As localizações das casas de Alice e Bianca foram 
representadas pelos pontos A e B, respectivamente, 
no plano cartesiano ao lado.
Se a escola em que elas estudam fica no ponto mé­
dio entre suas casas, calcule as coordenadas do 
ponto que representa a localização da escola nesse 
plano cartesiano.
 10. Construa um plano cartesiano em uma malha quadriculada e elabore o enunciado de 
um problema que envolva o ponto médio de um segmento. Depois, troque com um 
colega para que ele o resolva. Por último, juntos, verifiquem se as respostas dos pro­
blemas estão corretas.
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 6. Considere o triângulo ABC ao lado.
a ) O triângulo ABC é isósceles?
b ) Determine as coordenadas dos pontos D , E 
e F sabendo que:
 • D é o ponto médio do lado ‾ BC .
 • E é o ponto médio do lado ‾ AC .
 • F é o ponto médio do lado ‾ AB .
c ) O triângulo DEF é isósceles?
d ) Calcule a medida da área e do perímetro 
dos triângulos ABC e DEF . G
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Lembre­se de que a mediana é o segmento 
de reta em que uma das extremidades 
é um vértice do triângulo e a outra é o 
ponto médio do lado oposto a esse vértice. 
Sendo assim, para resolver esse problema, 
é necessário determinar inicialmente as 
coordenadas do ponto médio M do lado ‾ BC 
e, depois, calcular a medida da distância 
entre o vértice A do triângulo e o ponto 
médio do lado ‾ BC obtido.
Atenção!
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7. Respostas: a) Sim; b) P ABC = (4 √ 
_
 5 + 2 √ 
_
 10 ) u.c. ; A ABC = 10 u.a. 
9. Resposta: (4, 3) 
10. Resposta pessoal.
6. Respostas: a) Sim; b) D (3, 4) ; E (2, 1) ; F (1, 4) ; c) Sim; d) A ABC = 12 u.a. ; A DEF = 3 u.a. ; 
 P ABC = (4 + 4 √ 
_
 10 ) u.c. ; P DEF = (2 + 2 √ 
_
 10 ) u.c. 
8. Resposta: √ 
_
 5 u.c. 
157
• As atividades 6 e 9 propõe obter 
as coordenadas do ponto médio 
de um segmento. Incentive os es-
tudantes a explicar oralmente os 
procedimentos utilizados e a argu-
mentar com base em fatos, dados 
e informações confiáveis, para for-
mular, negociar e defender ideias, 
favorecendo o desenvolvimento da 
Competência geral 7. 
• Na atividade 7, aproveite para ex-
plorar a classificação dos triângulos 
quanto à medida de comprimento 
de seus lados.
• A atividade 8 retoma com os es-
tudantes o conceito de mediana. 
Se achar necessário, mostre alguns 
exemplos na lousa para que eles pos-
sam sanar as dúvidas que tiverem.
• A atividade 10 oportuniza que os 
estudantes exercitem a criatividade 
na elaboração de um problema en-
volvendo ponto médio. Essa dinâ-
mica permite exercitar a empatia, o 
diálogo e a cooperação, fazendo-se 
respeitar e promovendo o respei-
to ao outro, com acolhimento e 
valorização de seus saberes, iden-
tidades, culturas e potencialidades, 
sem preconceitos de qualquer 
natureza, abordando aspectos da 
Competência geral 9. 
Ao final do trabalho com as ativi-
dades desta unidade, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Escrita rápida. Obtenha infor-
mações sobre essa metodologia no 
tópico Metodologias e estraté-
gias ativas, nas orientações gerais 
deste manual.
Se possível, ouça o podcast a se-
guir, que apresenta um breve his-
tórico sobre a Geometria analítica, 
discorrendo sobre elementos do 
plano cartesiano. Disponível em: 
https://podcasts.google.com/feed/
aHR0cHM6Ly9hbmNob3IuZm0vcy8
yYzMzNDNkMC9wb2RjYXN0L3Jzc
w/episode/YWYwMjE3YzktODk0M
C00Y2FkLWFiODItN2FkZDQ0YTgw
YmI3. Acesso em: 2 ago. 2022.
Metodologias ativas
Algo a mais
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a ) Calcule a medida do comprimento das diagonais desse paralelogramo.
b ) Calcule a medida da área desse paralelogramo.
 4. Determine a medida da distância do ponto A (3, 3) até o ponto:
a ) B (0, 0) . b ) C (0, − 1) . c ) D (0, 3) .
 5. Considerando os pontos A, B, C e D da atividade anterior, determine as coordena­
das do ponto médio de ‾ AB , ‾ AC , ‾ AD e ‾ CD .
 3. Analise o paralelogramo a seguir.
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 1. Alguns pontos foram marcados no 
plano cartesiano ao lado.
Calcule a medida da distância entre:
a ) os pontos A e B.
b ) os pontos A e C.
O que eu estudei?
Faça as atividades em uma 
folha de papel avulsa.
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 2. Determine as coordenadas do ponto médio de cada segmento de reta representa­
do no plano cartesiano a seguir.
4. Respostas: a) 3 √ 
_
 2 u.c. ; b) 5 u.c. ; c) 3 u.c. 
3. Respostas: a) ‾ AC : √ 
_
 41 u.c. ; ‾ BD : √ 
_
 17 u.c. ; b) 12 u.a. 
1. Respostas: a) 5 u.c.; b) 3 √ 
_
 2 u.c. 
5. Resposta: ‾ AB : (1,5; 1,5) ; ‾ AC : (1,5; 1) ; ‾ AD : (1,5; 3) e ‾ CD : (0, 1) .
2. Resposta: ‾ AB : (− 3, 1) ; ‾ CD : (1, 2) ; ‾ EF : (3, 3) ; ‾ GH : (4, 1) .
158
1. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam 
a medida da distância entre dois 
pontos representados no plano 
cartesiano.
Como proceder
• Em caso de dificuldade, sugira, 
no item a, que indiquem um pon-
to D, de modo que ‾ AD seja para-
lelo ao eixo y e ‾ DB seja paralelo ao 
eixo x. Em seguida, peça a eles que 
determinem o triângulo DBA e in-
diquem as medidas dos compri-
mentos dos seus lados. A medida 
da distância procurada correspon-
de à medida do comprimento da 
hipotenusa desse triângulo. Para 
responder ao item b, peça a eles 
que repitam esse procedimento 
considerando os pontos A e C.
2. Objetivo
• Avaliar se os estudantes obtêm 
as coordenadas do ponto médio 
de um segmento de reta.
Como proceder
• A fim de sanar possíveis dúvidas, 
organize-os em duplas para que 
compartilhem as estratégias utili-
zadas. Além disso, analise se eles 
fazem a projeção do segmento HG 
no eixo y para obter a sua medida 
de comprimento.
3. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam 
a medida da área de uma figura re-
presentada no plano cartesiano.
Como proceder
• Analise se os estudantes identifi-
cam os pontos que determinam as 
diagonais do paralelogramo. Para 
calcular a medida da área no item b, 
oriente-os a determinar a medida 
do comprimento da base e a medi-
da do comprimento da altura.
4 e 5. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam 
a medida da distância entre dois 
pontos e se determinam as coorde-
nadas do ponto médio de segmen-
tos de reta.
Como proceder
• Em caso de dificuldade, desenhe 
na lousa um plano cartesiano e, com 
a ajuda dos estudantes, utilize-o pa-
ra representar os pontos A, B, C e D.
159
Funções9
 • conjuntos;
 • funções;
 • função afim;
 • gráfico de uma função afim;
 • função quadrática;
 • gráfico de uma função quadrática;
 • valor máximo e mínimo de uma função 
quadrática.
Agora vamos estudar...
UNIDADE
Sequência de um salto em distância, executado por um atleta, cuja trajetória lembra 
a representação gráfica de uma função.
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• A abertura da unidade apresenta 
uma imagem que descreve a traje-
tória de uma atleta ao realizar um 
salto em distância.
• O objetivo principal é que os es-
tudantes estabeleçam relação des-
sa imagem com os conteúdos que 
serão estudados na unidade, já que 
a trajetória representada lembra 
uma parábola (gráfico de uma fun-
ção quadrática). 
• O salto em distância, como es-
porte, envolve culturas juvenis. 
Desse modo, se achar conveniente, 
faça questionamentos aos estudan-
tes, como:
a ) Você conhece o esporte indica-
do na imagem?
b ) Em sua opinião, é importante 
praticar esporte?
Obtenha informações sobre cultu-
ras juvenis nas orientações gerais 
deste manual.
Para desenvolver o trabalho com 
esta página de abertura, avalie a 
possibilidade de utilizar a metodo-
logia ativa Abordagem por pares. 
Obtenha informações sobre essa 
metodologia no tópico Metodo-
logias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual. 
A fim de avaliar o conhecimen-
to prévio dos estudantes sobre os 
conteúdos que serão trabalhados 
na unidade, escreva na lousa o pro-
blema a seguir.
• Em uma padaria, o preço do qui-
lograma de pão tipo francês custa 
10 reais. 
a ) Escreva uma fórmula que rela-
cione o preço a ser pago em fun-
ção da medida da massa de pão, 
em quilogramas. 
b ) Qual é o preço a ser pago por 
400 gramas de pão?
Resoluções e comentários
a ) Sendo p o preço a ser pago e m a medida da 
massa, então p = 10m , com m em quilogramas. 
b ) Sabendo que 400 g = 0,4 kg , então p = 10 ⋅ 0,4 = 4 . 
Logo, 400 gramas de pão custam R$ 4,00.
Informações sobre avaliações podem ser encon-
tradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais 
deste manual.
Metodologias ativas
Sugestão de avaliação
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A noção de função
Em muitas situações do dia a dia, quando relacionamos grandezas, estamos tratando de 
um conceito importante na Matemática: o conceito de função. Acompanhe alguns exemplos.
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Agora, considere a seguinte situação.
O consumo de energia elétrica dos eletrodomésticos é dado, em geral, em quilowatts-
-hora (kWh). O quadro a seguir relaciona duas grandezas: o consumo de um chuveiro (y) e 
o tempo de uso (x).
Medida do tempo de 
uso em horas (x) Consumo em kWh (y)
1 3,5
2 7
3 10,5
4 14
Para cada valor que atribuímos para x, obtemos um único valor correspondente para y, 
pois cada medida de tempo corresponde a um determinado consumo. Desse modo, a situa-
ção apresentada caracteriza um exemplo de função.
Dizemos que o consumo de energia elétrica é dado em função da medida do tempo de 
uso. A correspondência entre as grandezas “tempo” e “consumo de energia elétrica” é ex-
pressa pela seguinte sentença matemática.
y = 3,5x
Essa sentença é chamada lei de formação da função.
O consumo, que depende da medida do tempo de uso, é a variável dependente. 
A medida do tempo, cuja escolha é livre, é a variável independente.
Atenção!
A quantia a ser paga pelas 
laranjas é calculada em função 
da medida da massa das laranjas.
A quantidade de tela para cercar 
um terreno está em função das 
medidas do comprimento dos 
lados do terreno.
160
• Identificar e compreender a rela-
ção entre duas grandezas.
• Escrever a lei de formação de uma 
função.
• Compreender o conceito de função.
• Reconhecer e identificar a variá- 
vel dependente e a variável inde-
pendente.
• Resolver situações-problemaen-
volvendo função, função afim e fun-
ção quadrática.
• Reconhecer uma função afim e 
uma função quadrática.
• Identificar os coeficientes de 
uma função afim e de uma função 
quadrática.
• Interpretar e construir o gráfico 
de uma função afim e de uma fun-
ção quadrática.
• Escrever a lei de formação de 
uma função afim a partir de seu 
gráfico.
• Identificar se uma função afim é 
crescente ou decrescente.
• Determinar para qual valor a fun-
ção afim intersecta o eixo y .
• Determinar para qual valor a fun-
ção afim intersecta o eixo x (zero 
da função).
• Determinar se a concavidade do 
gráfico de uma função quadrática é 
voltada para cima ou para baixo.
• Determinar para quais valores a 
função quadrática intersecta o eixo x 
(zeros da função).
• Determinar a quantidade de ra-
ízes de uma função quadrática a 
partir do valor do discriminante Δ . 
• Determinar as coordenadas do 
vértice da parábola de uma função 
quadrática.
• Determinar o ponto de máximo 
ou de mínimo de uma função qua-
drática.
• Resolver situações-problema a 
partir da determinação do ponto 
de máximo ou de mínimo da fun-
ção quadrática.
Objetivos da unidade
Os conteúdos abordados nesta 
unidade são relevantes para que os 
estudantes aprofundem o trabalho 
com as funções, dando significado 
a elas e mostrando suas aplicações. 
Ao longo da unidade, é contemplada 
a construção de gráficos de funções 
afins e de funções quadráticas, com 
o objetivo de apresentar a eles outra 
forma de representar uma função.
• Verifique a possibilidade de propor aos estudan-
tes a situação apresentada nesta página antes de 
abordá-la no livro, a fim de que, em duplas, eles 
tentem escrever uma fórmula que possibilite calcu-
lar o consumo de um chuveiro (y) e a medida do 
tempo de uso (x) . Depois, considerando as estra-
tégias e resoluções propostas e desenvolvidas por 
eles, apresente as explicações encontradas no livro.
Justificativas Durante o desenvolvimento da unidade, os es-
tudantes vão aprender que o gráfico de uma fun-
ção afim é uma reta, enquanto o de uma função 
quadrática é uma curva, chamada parábola. Além 
disso, eles são levados a fazer análises em relação 
à função, verificar se ela é crescente ou decres-
cente, se o gráfico tem concavidade voltada para 
cima ou para baixo, se tem ponto de máximo ou 
ponto de mínimo, entre outras observações. 
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O salário de Antônio é dado em função da quantidade de peças de roupa vendidas. A lei 
de formação dessa função é f (p) = 1800 + 5 ⋅ p , em que f (p) indica o salário de Antônio e 
p, a quantidade de peças de roupa vendidas.
Ao longo dos séculos, o conceito de função evoluiu muito, o que permitiu muitas apli-
cações da Matemática em outras ciências. Realize uma pesquisa acerca do desenvolvimento dos 
estudos relacionados à função. Depois, registre em seu caderno as informações mais importantes.
Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa com mais informações sobre o uso 
das funções no cotidiano, anotando aqueles que acharem mais interessantes. Com base nas 
informações obtidas, escrevam no caderno um texto acerca do assunto.
Questão 1.
Questão 2.
Também podemos representar a lei de formação dessa função substituindo a variável 
dependente y por f (x) , ou seja:
 f (x) = 3,5x (lemos: f de x é igual a 3,5x )
Nesse caso, a função chama-se f.
Podemos utilizar qualquer letra para indicar a função e a variável independente nessa 
notação. A seguir são apresentados alguns exemplos.
 • g (a) = 2a • h (t) = 5,2t + 1 • w (s) = 5s + 12 
Agora, acompanhe outra situação.
Antônio é vendedor, e seu salário é calculado da seguinte maneira: salário-base de 
R$ 1800,00 mais uma comissão de R$ 5,00 para cada peça de roupa vendida. O quadro a se-
guir apresenta o salário de Antônio de acordo com a quantidade de peças de roupa vendidas.
Quantidade de peças de 
roupa vendidas Salário (R$)
0 1800 + 5 ⋅ 0 = 1 800 
1 1800 + 5 ⋅ 1 = 1 805 
2 1800 + 5 ⋅ 2 = 1 810 
3 1800 + 5 ⋅ 3 = 1 815 
 ⋮ ⋮ 
12 1800 + 5 ⋅ 12 = 1 860 
 ⋮ ⋮ 
p 1 800 + 5 ⋅ p 
As pesquisas propostas nas questões 1 e 2 podem ser feitas em livros, revistas e sites. Mas cuidado! 
Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para 
encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.
Atenção!
Questão 1. Resposta pessoal.
Questão 2. Resposta pessoal.
161
• O contexto sobre consumo de 
energia elétrica possibilita o desen-
volvimento do tema contemporâ-
neo transversal Educação para o 
consumo. Questione os estudan-
tes sobre consumo consciente de 
energia elétrica, bem como sobre 
outras despesas realmente neces-
sárias e despesas supérfluas que, 
portanto, podem ser revistas, com 
o intuito de melhorar a vida finan-
ceira familiar. Desse modo, abor-
dam-se aspectos da Competência 
geral 10 ao tomar decisões com 
base em princípios éticos e susten-
táveis. 
• As questões 1 e 2, ao solicitar a 
realização de uma pesquisa acerca 
do desenvolvimento dos estudos 
relacionados à função e ao uso das 
funções no cotidiano, permitem a 
valorização do conhecimento para 
entender e explicar a realidade so-
bre o mundo físico, social, cultural 
e digital, abordando a Competên-
cia geral 1. Além disso, graças à 
comunicação entre os pares, que 
possibilita produzir informações e 
conhecimentos de maneira crítica 
e significativa, bem como trabalhar 
coletivamente no desenvolvimento 
de pesquisa para responder a ques-
tionamentos de modo a identificar 
aspectos consensuais ou não rela-
cionados a determinada questão, 
respeitando o modo de pensar dos 
colegas e aprendendo com eles, 
abordam-se a Competência geral 
5 e a Competência específica de 
Matemática 8.
• Aproveite o fato de a questão 2 
ser proposta em dupla e oriente 
os estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, além de não ter 
preconceitos e de compreender e 
aceitar as necessidades e limitações 
dos outros, de modo a promover a 
saúde mental e a cultura de paz. Se 
achar conveniente, converse com 
eles sobre o combate aos diversos 
tipos de violência, especialmente o 
bullying. Desse modo, aborda-se a 
Competência geral 9. Obtenha in-
formações a respeito desse assunto 
no tópico Cultura de paz e com-
bate ao bullying, nas orientações 
gerais deste manual. 
Para desenvolver o trabalho com a situação 
apresentada sobre o consumo de energia elétri-
ca, avalie a possibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Caminhada na galeria. Obtenha informa-
ções sobre essa metodologia no tópico Meto-
dologias e estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual. 
Metodologias ativas
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O conceito de função
No tópico anterior, estudamos a noção de função. Agora, definiremos esse conceito.
Sejam os conjuntos A e B não vazios. Uma função f de A em B é uma regra que diz 
como associar a cada elemento x ∈ A um único elemento y = f (x) ∈ B .
Para cada elemento x ∈ A , o elemento y ∈ B é chamado imagem de x pela função f.
Dada uma função f de A em B, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto 
B, contradomínio.
Considere a seguinte situação. A medida do perímetro y de um triângulo equilátero é 
dada em função da medida do comprimento do seu lado x. A lei de formação dessa função 
é y = 3x , e seu domínio é o conjunto dos números reais maiores do que zero, pois não 
existe medida de comprimento nula ou negativa.
Valor de uma função
Armando escreveu um programa em uma planilha eletrônica. Nele, o usuário insere um 
número e tem como resultado o dobro desse número. No quadro, são apresentados alguns 
exemplos.
A lei de formação da função que relaciona o número inserido com o resultadoé:
 f (x) = 2x 
Agora, calcularemos o valor da função para x igual a 5, por exemplo. Para isso, substituí-
mos x por 5 na lei de formação, ou seja: f (5) = 2 ⋅ 5 = 10 .
Portanto, o valor dessa função para x igual a 5 é 10, ou seja, ao inserir o número 5 nesse 
programa, o resultado exibido será 10.
Qual é o valor dessa função para x igual a √ 
_
 3 ? Para responder a essa pergunta, basta 
substituir x por √ 
_
 3 na lei de formação da função.
 f ( √ 
_
 3 ) = 2 ⋅ √ 
_
 3 = 2 √ 
_
 3 
Em seu caderno, calcule qual será o resultado apresentado pelo programa caso o 
número inserido seja:
a ) 1210. b ) 2 √ 
_
 2 . c ) − 7,6 . d ) π .
Questão 3.
Número inserido 0 5 15 − 3 7,6 − 3,2 
Resultado 0 10 30 − 6 15,2 − 6,4 
Questão 3. Respostas: a) 2420; b) 4 √ 
_
 2 ; c) − 15,2 ; d) 2π .
162
• O trabalho com os conteúdos 
desta unidade leva os estudantes a 
compreender as funções como re-
lações de dependência unívoca en-
tre duas variáveis e suas representa-
ções numéricas, algébrica e gráfica, 
bem como a utilizar esse conceito 
para analisar várias situações que 
envolvam relações funcionais en-
tre duas variáveis, desenvolvendo 
a habilidade EF09MA06. Além dis-
so, eles podem desenvolver o ra-
ciocínio lógico-matemático, que 
propicia o desenvolvimento do 
espírito de investigação e a capaci-
dade de produzir argumentos con-
vincentes, de modo a recorrer aos 
conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo, 
abordando aspectos da Compe-
tência específica de Matemáti-
ca 2. Por fim, ao compreender as 
relações entre conceitos e proce-
dimentos dos diferentes campos 
da Matemática, como Álgebra e 
Geometria, construindo e aplican-
do conhecimentos matemáticos, 
bem como desenvolvendo a auto-
estima e a perseverança na busca 
de soluções, abordam-se aspectos 
da Competência específica de 
Matemática 3.
• Antes de apresentar a situação 
considerada nesta página, verifi-
que o conhecimento dos estudan-
tes relacionado à lei de formação 
de uma função. Permita que eles 
deem suas explicações e conver-
sem entre si, tendo a oportunidade 
de resgatar o conhecimento prévio 
sobre o assunto e tornar o estudo 
mais significativo. 
• Em seguida, verifique a possibili-
dade de propor a situação a seguir 
aos estudantes antes de abordá-la 
no livro, a fim de que, em duplas, 
eles tentem calcular o valor da fun-
ção. Para isso, escreva na lousa o 
enunciado da situação abordada 
na página. Depois, considerando 
as estratégias e resoluções pro-
postas e desenvolvidas por eles, 
apresente as explicações encontra-
das no livro.
• A questão 3 é uma oportunidade 
de avaliar o entendimento dos es-
tudantes acerca do que foi explica-
do até o momento. Verifique se to-
dos chegaram à mesma conclusão 
e, caso algum estudante tenha con-
clusões diferentes do esperado, 
ofereça as devidas explicações da 
resolução a fim de sanar possíveis 
dúvidas.