Teorema de Pitágoras

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123
Teorema de Pitágoras
Além das relações métricas estudadas até aqui, existe outra envolvendo as medidas dos 
comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, chamada teorema de Pitágoras. Esse 
nome homenageia o matemático e filósofo grego Pitágoras.
Pitágoras nasceu na ilha de Samos, no Mar 
Egeu, por volta de 572 a.C. Em Crotona, na Magna 
Grécia – costa sudeste do que agora é a Itália –, 
fundou a escola pitagórica, que consistia em um 
centro de estudos de Matemática, Filosofia e Ciên-
cias naturais.
Fonte de pesquisa: EVES, Howard. Introdução à História da 
Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da Unicamp, 2004.
Busto de Pitágoras. 
Escultura no parque Villa 
Borghese, em Roma, na 
Itália, em 2021.
Agora, enunciaremos e demonstraremos o teorema de Pitágoras.
Demonstração
Considere um quadrado com o comprimento dos lados medindo 
b + c . Podemos decompor esse quadrado em 4 triângulos retângulos 
congruentes (com o comprimento dos catetos medindo b e c) e um 
quadrado menor (com o comprimento dos lados medindo a).
Note que a corresponde à medida do comprimento da hipotenusa de um 
dos triângulos e que b e c são as medidas dos comprimentos dos catetos.
Atenção!
 a 2 = b 2 + c 2 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida 
do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos qua-
drados das medidas dos comprimentos dos catetos.
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Considerando o mesmo quadrado (com o comprimento dos lados 
medindo b + c ) também podemos decompô-lo em 4 triângulos retân-
gulos congruentes (com o comprimento dos catetos medindo b e c) e 
dois quadrados menores (um com o comprimento dos lados medindo 
c e o outro com o comprimento dos lados medindo b).
123
No livro a seguir, são abordadas 
questões relacionadas ao teorema 
de Pitágoras de maneira divertida, 
o que permite instigar a curiosida-
de dos estudantes: IMENES, Luiz 
Márcio; LELLIS, Marcelo. Desco-
brindo o teorema de Pitágoras. 2. ed. 
São Paulo: Scipione, 2000.
Algo a mais
Leia o texto a seguir para os estu-
dantes, apresentando-lhes mais in-
formações a respeito da utilização 
do teorema de Pitágoras.
[...]
O Teorema de Pitágoras pos-
sui diversas aplicações nas mais 
variadas áreas do conhecimento. 
A área de transportes é uma de-
las, aqui o teorema contribui na 
logística, no cálculo de largura 
de rios e distâncias entre cida-
des, por exemplo. Na trigono-
metria, temos o cálculo de seno, 
cosseno, tangente, relação fun-
damental da trigonometria e a 
lei dos cossenos. Na geometria, 
é utilizado para o cálculo da dia-
gonal do quadrado, cálculo da al-
tura do triângulo equilátero, são 
calculadas distâncias: é possível 
realizar levantamentos topográ-
ficos através de uma triangula-
ção. Na Física, para cálculo de 
grandezas escalares e vetoriais e 
na Biologia, na representação ge-
ométrica dos desenhos mostran-
do as proporções entre homens 
e animais e na contagem de fra-
ções de medicamentos, usando, 
por exemplo, o conta-gotas. Na 
aeronáutica, tais conceitos são 
aplicados para que não haja coli-
sões em rotas de aviões.
[...]
SOUZA, Maria Cristina Gerino Campos de. 
Conhecendo, demonstrando e aplicando o 
Teorema de Pitágoras. 2013. p. 5-6. Disponível 
em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/
portals/cadernospde/pdebusca/producoes_
pde/2013/2013_fafipa_mat_artigo_maria_
cristina_gerino_campos_de_souza.pdf. 
Acesso em: 21 jul. 2022.
Um texto a mais
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2013/2013_fafipa_mat_artigo_maria_cristina_gerino_campos_de_souza.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2013/2013_fafipa_mat_artigo_maria_cristina_gerino_campos_de_souza.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2013/2013_fafipa_mat_artigo_maria_cristina_gerino_campos_de_souza.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2013/2013_fafipa_mat_artigo_maria_cristina_gerino_campos_de_souza.pdf
A
B Cx
16 cm 12 cm
F
D E
y
18 cm
30 cm
12 cm
5 cm
13 cm
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124
Cada quadrado inicial tem área medindo (b + c) 2 . Retirando os 4 triângulos retângulos 
congruentes de cada quadrado, obtemos figuras com medidas de áreas iguais.
 a 2 = b 2 + c 2 
Assim, demonstramos o teorema de Pitágoras.
Existem várias demonstrações do teorema de Pitágoras. No caderno, utilizando as 
relações métricas b 2 = a ⋅ m e c 2 = a ⋅ n , faça a demonstração desse teorema. 
Agora, utilizando o teorema de Pitágoras, acompanhe como podemos obter os valores 
de x e y nos triângulos a seguir.
Questão 2.
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 a = x 
 b = 16 cm 
 c = 12 cm 
 a 2 = b 2 + c 2 
 x 2 = 16 2 + 12 2 
 x 2 = 256 + 144 
 x 2 = 400 
 x = 20 
Portanto, x = 20 cm .
 a = 30 cm 
 b = y 
 c = 18 cm 
 a 2 = b 2 + c 2 
 30 2 = y 2 + 18 2 
 900 = y 2 + 324 
 900 − 324 = y 2 
 576 = y 2 
 y = 24 
Portanto, y = 24 cm .
A recíproca do teorema de Pitágoras também é válida.
Em um triângulo, se o quadrado da medida do comprimento de um lado for igual 
à soma dos quadrados das medidas dos comprimentos dos outros dois lados, então 
trata-se de um triângulo retângulo.
O triângulo indicado ao lado é um 
triângulo retângulo? No caderno, justifique 
sua resposta.
Questão 3.
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Questão 2. Resposta na seção Resoluções.
Questão 3. Resposta: Sim, pois 13 2 = 5 2 + 12 2 .
124
• A questão 2 possibilita desen-
volver a habilidade EF09MA13 ao 
solicitar aos estudantes que de-
monstrem, utilizando as relações 
métricas do triângulo retângulo, o 
teorema de Pitágoras.
• Aproveite a questão 3 e verifique 
se os estudantes, ao usar o teorema 
de Pitágoras para determinar as 
medidas dos comprimentos dos la-
dos de um triângulo retângulo para 
justificar a resposta, compreendem 
que um triângulo é chamado de 
triângulo retângulo quando um de 
seus ângulos internos mede 90° .
A B C D E F
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2
3
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10
Cateto menor Cateto maior
=RAIZ(A2*A2+B2*B2)
=RAIZ(A2*A2+B2*B2)
Hipotenusa
A B C D E F
1
2
3
4
5
6
Cateto menor Cateto maior
543
=RAIZ(A2*A2+B2*B2)
Hipotenusa
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Instrumentos e softwares
Cálculo da medida do comprimento da hipotenusa de um triângulo 
retângulo no Calc
Utilizando o Calc, vamos escrever uma fórmula que permita calcular a medida do 
comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo, conhecidas as medidas dos 
comprimentos dos dois catetos. Para isso, siga os passos apresentados a seguir.
 Nas células A1, B1 e C1, escreva “Cateto menor”, “Cateto maior” e “Hipotenusa”, 
respectivamente. Essas células serão preenchidas com as medidas dos compri-
mentos desses segmentos.
 Na célula C2, digite = RAIZ (A2*A2 + B2*B2) . Essa fórmula permite calcular a me-
dida do comprimento da hipotenusa, dadas as medidas dos comprimentos dos 
catetos informadas nas células A2 e B2.
1º.
2º.
No Calc, o símbolo * indica multiplicação.
Atenção!
Para exemplificar, calcularemos a medida do comprimento da hipotenusa de um 
triângulo retângulo cujos comprimentos dos catetos medem 3 cm e 4 cm . Para isso, 
indique 3 na célula A2, 4 na célula B2 e tecle Enter.
Portanto, o comprimento da hipotenusa desse triângulomede 5 cm .
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• É possível desenvolver o traba-
lho com esta seção utilizando o 
programa Calc, que é uma planilha 
eletrônica do pacote LibreOffice, 
versão gratuita de aplicativos que 
inclui, além da planilha eletrônica, 
editores de textos, apresentações, 
desenhos e banco de dados. Para 
fazer o download e instalar o progra-
ma, é necessário acessar o site dispo-
nível em: https://pt-br.libreoffice.org/
baixe-ja/libreoffice-novo/. Acesso em: 
30 jul. 2022.
Ao desenvolver a seção Instru-
mentos e softwares, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Tiras de classificação. Obte-
nha informações sobre essa meto-
dologia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
Metodologias ativas
https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/
https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/
x
24 cm40 cm
x
22 cm
27,5 cm
x
 3 cm
 2 cm
x
 30 cm
30 cm
40 cm
x20 cm
14 cm
10,5 cm
3 cm
5 cm
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Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 5. Determine a medida de x em cada triân- 
gulo retângulo a seguir.
A.
B.
C.
D.
E.
 6. Como já vimos, a recíproca do teorema 
de Pitágoras é válida. Em cada item, es-
tão indicadas as medidas dos compri-
mentos dos lados de alguns triângulos. 
Com o Calc, verifique quais deles são 
triângulos retângulos.
a ) 15 cm , 9 cm e 12 cm .
b ) 20 cm , 16 cm e 12 cm .
c ) 18 cm , 15 cm e 10 cm .
d ) 8 cm , 7 cm e 4 cm .
e ) 13 cm , 12 cm e 5 cm .
 7. Calcule, em centímetros, a medida do 
comprimento da diagonal de cada um 
dos polígonos.
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A.
B.
C.
quadrado
quadrado
retângulo
5. Respostas: A. x = 20 √ 
_
 5 cm ; B. x = 32 cm ; C. x = 16,5 cm ; D. x = √ 
_
 5 cm ; E. x = 30 √ 
_
 2 cm .
6. Resposta: Alternativas a, b e e.
7. Respostas: 
A. 5 √ 
_
 2 cm ; 
B. 3 √ 
_
 2 cm ; 
C. 17,5 cm .
126
• As atividades desta e das próxi-
mas duas páginas desenvolvem a 
habilidade EF09MA14 ao levar os 
estudantes a resolver problemas 
usando o teorema de Pitágoras.
• Na atividade 5, avalie a neces- 
sidade de elaborar mais itens. Para 
isso, desenhe outros triângulos re-
tângulos na lousa, em que um dos 
lados tenha comprimento medindo x.
• Na atividade 6, caso não haja 
computadores suficientes para to-
dos os estudantes no laboratório 
de informática, organize-os em du-
plas ou trios. Caso não haja labora-
tório de informática na escola, pe-
ça a eles que realizem os cálculos 
utilizando uma calculadora.
• Caso os estudantes tenham di-
ficuldade na atividade 7, leve-os a 
perceber que os polígonos podem 
ser decompostos em dois triângu-
los retângulos. A fim de tirar melhor 
proveito, peça a eles que, em cada 
item, desenhem no caderno os dois 
triângulos resultantes da decompo-
sição do polígono e indiquem o ân-
gulo reto em cada um deles.
Para avaliar como os estudantes 
estão lidando com os conteúdos 
estudados até o momento, apre-
sente a eles o retângulo a seguir, 
na lousa, e peça-lhes que calculem 
a medida aproximada do compri-
mento de AB .
4 m 2 m
A B
CD
Sugestão de avaliação
Resolução e comentários
Pelo teorema de Pitágoras, temos 
que, em todo triângulo retângulo, 
o quadrado da medida do compri-
mento da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos 
comprimentos dos catetos. Desse 
modo, como o retângulo pode ser 
decomposto em dois triângulos re-
tângulos, temos a = 4 m e b = 2 m 
e precisamos calcular a medida do 
comprimento de c . Substituindo os 
valores de a e b , temos:
 a 2 = b 2 + c 2 
 4 2 = 2 2 + c 2 
 16 = 4 + c 2 
 − 4 + 16 = − 4 + 4 + c 2 
 12 = c 2 
 c 2 = 12 
 c = √ 
_
 12 
 c ≃ 3,46 
Portanto, o comprimento de ‾ AB mede, aproxima-
damente, 3,46 m .
Obtenha informações sobre avaliações no tópi-
co Avaliação nas orientações gerais deste manual.
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45 m
30 cm
12 cm
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5,95 cm
3,3 cm
m
h
1,99 cm
3,6 cm
b
nm
2,5 cm
3 cm
h
b
2,1 cm
3,2 cm
72 m
90 m
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127
Qual é a medida do perímetro desse 
terreno?
 12. A altura do trapézio isósceles represen-
tado a seguir mede 12 cm .
Qual é a medida do perímetro desse 
trapézio?
 13. Calcule a medida do volume do cubo 
representado a seguir, sabendo que o 
comprimento da diagonal que liga o 
vértice A ao vértice B mede 15 √ 
_
 2 cm .
 8. Utilizando uma calculadora, determine 
a medida aproximada, com duas casas 
decimais, de cada letra indicada nos tri-
ângulos retângulos.
B.
C.
D.
 10. O perímetro de um triângulo equilátero 
mede 15 cm . Com o auxílio de uma cal-
culadora, determine a medida aproxi-
mada, com duas casas decimais, do 
comprimento da altura desse triângulo.
 11. Um terreno com formato retangular 
tem as medidas indicadas na figura.
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 9. Qual é a medida da área do triângulo 
retângulo a seguir?
8. Respostas: A. m ≃ 4,95 cm ; B. h ≃ 3 cm e b ≃ 5,42 cm ; C. n ≃ 1,66 cm e m ≃ 3,77 cm ; 
D. h ≃ 2,41 cm e b ≃ 3,67 cm .
10. Resposta: 4,33 cm .
11. Resposta: 252 m .
9. Resposta: 1 350 m 2 .
12. Resposta: 72 cm .
13. Resposta: 3375 cm 3 .
127
• Na atividade 8, se achar neces-
sário, retome com os estudantes 
cálculos envolvendo números deci-
mais e arredondamentos, para que 
eles sanem suas dúvidas.
• Na atividade 9, caso julgue con-
veniente, lembre os estudantes de 
que, para calcular a medida da área 
de um triângulo, é necessário saber 
a medida do comprimento da base 
e a medida da altura. Desse modo, 
eles devem, inicialmente, usar o 
teorema de Pitágoras para obter a 
medida do comprimento da altura 
do triângulo apresentado.
• Nas atividades 10 e 11, se neces-
sário, lembre os estudantes de que 
a medida do perímetro é a soma 
das medidas do comprimento dos 
lados de um polígono.
Para facilitar a resolução da ativida-
de 10, relembre-os de que um triân-
gulo equilátero tem os lados com 
comprimentos de mesma medida. 
Logo, o comprimento de cada lado 
desse triângulo mede 5 cm , pois 
15 cm : 3 = 5 cm .
• Para melhor aproveitamento da 
atividade 12, solicite aos estudantes 
que se organizem em duplas e con-
versem sobre qual estratégia de-
vem utilizar para calcular a medida 
do perímetro do trapézio. Analise 
se eles percebem que podem de-
compor em dois triângulos retân-
gulos e um retângulo. Caso julgue 
conveniente, peça aos estudantes 
que calculem também a medida da 
área do trapézio.
Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 12, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa 
Pensamento do design. Obtenha 
informações sobre essa metodo-
logia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
Metodologias ativas
• Na atividade 13, se necessário, 
lembre os estudantes de que, para 
calcular a medida do volume de um 
cubo, é necessário saber a medida 
do comprimento de apenas uma 
das arestas.
144 m25 m
65 m
D
E F
18 m 32 m
A
B C
4,8 m
1,2 m
1,03 m
4 m 16 m
A
B
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C
14,4 m
19,2 m
D
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98
.
128
 14. Determine, em metros, a medida do 
perímetro de cada um dos triângulos.
A.
B.
 15. Considere o quadrado ABCD .
a ) Qual é a medida do comprimento 
de cada lado desse quadrado?
b ) Qual é a medida do perímetro desse 
quadrado?
c ) Qual é a medida da área do triângu-
lo ACD ?
 16. Qual é a medida do comprimento da 
diagonal de um retângulo cujas dimen-
sões medem:
a ) 28 m e 21 m .
b ) 5 cm e 12 cm .
c ) 1 cm e 3 cm .
d ) 5 cm e √ 
_
 2 cm .
 17. Calcule a medida do perímetro, da área 
e do comprimento da altura de cada 
um dos triângulos retângulos represen-
tados a seguir.
A.
B.
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 18. Uma escada está apoiada em um muro, 
conforme mostra a imagem a seguir.
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a ) Qual é a medida do comprimento 
aproximado da escada?
b ) Calcule aproximadamente a que me-
dida de distância a escada deve es-
tar da base do muro para que seu 
topo coincida com o topo do muro.
14. Respostas: A. (20 + 12 √ 
_
 5 ) m ; B. 96 m .
18. Respostas: a) 5,98 m ; b) 3,57 m .
15. Respostas: a) 5 m ; b) 20 m ; c) 12,5 m .
16. Respostas: 
a) 35 m ; b) 13 cm ; 
c) √ 
_
 10 cm ; 
d) 3 √ 
_
 3 cm .
17. Respostas: A. Medida do perímetro: 120 m ; Medida da área: 600 m 2 ; Medida do comprimento 
da altura: 24 m ; B. Medida do perímetro: 390 m ; Medida da área: 5070 m 2 ; Medida do 
comprimento da altura: 60 m .
128
• Nas atividades 14 e 17, se achar 
necessário, retome as relações mé-
tricas no triângulo retângulo das 
páginas 118 a 120. 
Na atividade 14, oriente-os a, pri-
meiro, obter as medidas de com-
primento dos lados b e c e, depois, 
determinar a medida do perímetro. 
Caso julgue conveniente, peça-lhes 
que determinem também a medida 
da área desse triângulo.
• Complemente a atividade 15 
solicitando aos estudantes que 
determinem a medida da área do 
quadrado ABCD e dos quatro triân-
gulos em que ele pode ser decom-
posto (dividindo a medida da área 
do quadrado por 4). O movimento 
contrário também pode ser pro-
posto: calcular a medida da área 
dos quatro triângulos e, em segui-
da, do quadrado composto deles 
(multiplicando a medida da área de 
cada triângulo por 4).
Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 15, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa 
Pensamento do design. Obtenha 
informações sobre essa metodo-
logia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
Metodologias ativas
• Para melhor aproveitamento da 
atividade 16, solicite aos estudantes 
que desenhem proporcionalmente 
no caderno os retângulos cujas me-
didas de comprimento das dimen-
sões estão indicadas. Se tiverem 
dificuldade nos cálculos que envol-
vem raiz quadrada, resolva na lousa 
alguns exemplos.
• A atividade 18 apresenta um pro-
blema contextualizado que pode 
ser resolvido utilizando o teorema 
de Pitágoras. Analise se eles notam 
que, para determinar a medida do 
comprimento da escada, precisam 
adicionar a medida do comprimen-
to da hipotenusa com 1,03 m .
10 m
7,5 m
12 m
9 m
9,6 m
C
B
D
E
A
B
CD
A
a
b
c
E
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P
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 d
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19
98
.
129
 19. No esquema a seguir, está representa-
da uma torre de energia elétrica per-
pendicular ao solo. Para sustentá-la, fo-
ram utilizados 4 cabos de aço com a 
mesma medida de comprimento.
H
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Quantos metros de cabo de aço foram 
utilizados para sustentar essa torre?
 20. De acordo com a imagem a seguir, ela-
bore um problema envolvendo o teore-
ma de Pitágoras e entregue-o para um 
colega resolver. Depois, verifique se ele 
resolveu corretamente.
 21. No quadrilátero ABCD , os ângulos A ̂ B C 
e A ̂ D C são retos. Sabendo que os com-
primentos dos lados ‾ AB , ‾ BC e ‾ CD me-
dem 7 m , 24 m e 20 m , respectivamen-
te, qual é a medida do perímetro desse 
quadrilátero em metros?
A área do quadrado maior mede:
a ) 9 cm 2 .
b ) 10 cm 2 .
c ) 12 cm 2 .
d ) 8 cm 2 .
e ) 15 cm 2 .
 24. (UFRGS-2019) Na figura a seguir, está 
representado um cubo cuja aresta tem 
2 cm de medida. O ponto P está locali-
zado no centro da face EFGH .
A medida do segmento ‾ AP é
a ) √ 
_
 2 . 
b ) 2.
c ) √ 
_
 6 . 
d ) 2 √ 
_
 3 . 
e ) 3.
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 22. As raízes da equação x 2 − 7x + 12 = 0 
correspondem às medidas do compri-
mento dos catetos de um triângulo re-
tângulo, em centímetros. Determine a 
medida do perímetro desse triângulo, 
em centímetros.
 23. Utilizando um programa de computa-
dor, Aroldo desenhou a seguinte figura, 
cuja soma das medidas das áreas dos 
três quadrados é 24 cm 2 .
19. Resposta: 50 m .
20. Resposta pessoal.
22. Resposta: 12 cm .
21. Resposta: 66 m .
23. Resposta: Alternativa c.
24. Resposta: Alternativa c.
129
• Na atividade 19, se achar neces-
sário, oriente os estudantes a per-
ceber que, utilizando a medida da 
altura da torre e a medida da dis-
tância entre o centro da base da 
torre e o local onde um dos cabos 
está fixado no chão, eles podem 
determinar a medida de compri-
mento de um dos cabos pelo teo-
rema de Pitágoras.
• A atividade 20 envolve a elabo-
ração de um problema. Essa ação 
permite aos estudantes expressar 
ideias, sintetizar conclusões e tra-
balhar coletivamente com seus 
pares, o que aborda as Competên-
cias específicas de Matemática 6 
e 8. Permite também que os estu-
dantes exercitem a curiosidade e 
usem a criatividade para elaborar e 
resolver problemas, além de exerci-
tar a empatia e o respeito ao traba-
lharem em pares, desenvolvendo as 
Competências gerais 2 e 9.
• Para melhor aproveitamento da 
atividade 21, retome com os es-
tudantes os casos de semelhança 
de triângulos, a fim de que eles 
percebam que dois triângulos que 
compõem o quadrilátero são se-
melhantes e utilizem o teorema de 
Pitágoras para obter as medidas 
desconhecidas.
• Na atividade 22, analise se os 
estudantes têm dificuldade em 
resolver equação do 2º grau e, se 
for necessário, retome com eles os 
procedimentos necessários estuda-
dos na unidade anterior.
• Na atividade 23, avalie se os es-
tudantes relacionam a figura com o 
teorema de Pitágoras e, se for ne-
cessário, retome as explicações das 
páginas 123 e 124.
• Diga aos estudantes que, por se 
tratar de uma atividade extraída de 
prova oficial, não inserimos a pala-
vra comprimento na atividade 24. 
Nesse caso, oriente-os a considerar 
que o termo medida indica a medi-
da do comprimento da aresta e do 
segmento.
Além disso, nesta atividade, ana-
lise se os estudantes percebem 
que, para determinar a medida de 
comprimento do segmento ‾ AP , é 
necessário obter primeiramente a 
medida do comprimento da diago-
nal da face do cubo.
• Para desenvolver o trabalho com a atividade 24, 
avalie a possibilidade de utilizar a metodologia ati-
va Pensamento do design.
• No fim do trabalho com as atividades desta uni-
dade, avalie a possibilidade de utilizar a metodolo-
gia ativa Escrita rápida.
Obtenha informações sobre essas metodologias 
no tópico Metodologias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual.
Metodologias ativas
A
x
CB
9 cm
15 cm
12 cm
a
b c
ED
F
4 m
8 m
H
JI
5 m
12 m
13 m
y
x
A
C
c b
B
9 m
4 m
A D
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19
98
.
130
Triângulo
Medida do comprimento
cateto cateto hipotenusa
 ABG 2 u 2 u 
 ACF 4 u 4 √ 
_
 2 u 
 ADE 5 u 5 √ 
_
 2 u 
O que eu estudei?
Faça as atividades em uma 
folha de papel avulsa.
 1. Em uma folha de papel avulsa, deter-
mine a medida correspondente a ca-
da letra.
B.
A.
D.
C.
 2. Determine a medida do comprimento 
da altura relativa à hipotenusa de um 
triângulo retângulo, sabendo que os 
comprimentos das projeções dos ca-
tetos sobre ela medem 9 m e 25 m .
 3. Analise a figura.
Agora, copie o quadro em uma folha 
de papel avulsa e complete-o, consi-
derando u como unidade de medida.
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Sabendo que AI = IH = HC = 10 cm , 
determine a medida da área de AIH .
 4. Considere o quadrado ABCD .
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1. Respostas: A. x = 20 cm ; B. a = 20 m , b = 8 √ 
_
 5 m e c = 4 √ 
_
 5 m ; C. x = 60 _ 13 m , y = 144 _ 13 m ; 
D. b = 3 √ 
_
 5 m e c = 6 m .
3. Respostas na seção Resoluções.
4. Resposta: 30 cm 2 .2. Resposta: 15 m . 
130
1 e 2. Objetivo
• Avaliar se os estudantes reconhe-
cem e aplicam as relações métricas 
no triângulo retângulo.
Como proceder
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades na atividade 1, reúna-os 
em duplas ou trios para compar-
tilharem suas ideias e estratégias, 
antes de efetuarem os cálculos. Se 
necessário, oriente-os a consultar a 
página 120.
• Em caso de dificuldades na ati-
vidade 2, peça aos estudantes que 
desenhem proporcionalmente no 
caderno a figura indicada no enun-
ciado e, em seguida, identifiquem a 
relação métrica.
4. Objetivo
• Avaliar se os estudantes resolvem 
um problema utilizando o teorema 
de Pitágoras.
Como proceder
• Confira se os estudantes têm difi-
culdade em identificar a relação en-
tre as medidas dos comprimentos 
dos lados ‾ AD e 
_
 DI . Se isso aconte-
cer, leve-os a perceber que os triân-
gulos AIH e IHC são congruentes.
3. Objetivo
• Conferir se os estudantes calcu-
lam as medidas de comprimento 
no triângulo retângulo utilizando o 
teorema de Pitágoras.
Como proceder
• Em caso de dificuldades, oriente-
-os a usar o teorema de Pitágoras 
em cada triângulo. Além disso, ana-
lise se percebem que esses triângu-
los retângulos são isósceles.
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98
.
131
Estatística e 
probabilidade7
 • gráficos;
 • medidas de tendência central;
 • medidas de dispersão;
 • pesquisas amostrais;
 • probabilidade.
Agora vamos estudar...
UNIDADE
Dispositivo móvel usado por recenseadores na coleta de dados para pesquisas estatísticas do 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), como o censo demográfico realizado 
periodicamente no nosso país.
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131
• A abertura da unidade apresenta 
a foto de um dispositivo móvel utili-
zado pelo IBGE na coleta de dados 
em pesquisas estatísticas.
A ideia central é levar os estudantes 
a refletir acerca das necessidades 
de realizar uma pesquisa estatísti-
ca e como ela é desenvolvida. Ex-
plique-lhes que as pesquisas rea-
lizadas pelo IBGE coletam dados 
da população, como idade, sexo, 
nível de escolaridade, renda, entre 
outros. Dessa maneira, elas são im-
portantes pois norteiam, por exem-
plo, a implementação de políticas 
públicas no país, como programas 
de distribuição de renda, progra-
mas educacionais, de segurança 
pública e de saúde. Se achar neces-
sário, faça questionamentos aos es-
tudantes, como: “Em sua opinião, 
por que é importante realizar pes-
quisas estatísticas?”; “Você já reali-
zou alguma pesquisa estatística?”; 
“Você ou sua família já participou 
de uma pesquisa estatística?”.
Metodologias ativas
Para desenvolver o trabalho com 
a página de abertura, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Abordagem por pares. Obte-
nha informações sobre essa meto-
dologia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual. 
A fim de avaliar o conhecimen-
to prévio dos estudantes sobre os 
conteúdos que serão trabalhados 
na unidade, proponha-lhes que 
escolham um tema e, em grupos, 
realizem uma pesquisa em sala 
de aula. Em seguida, oriente-os a 
organizar os dados coletados em 
tabelas e gráficos; calcular a média, 
a moda, a mediana e a amplitude 
total do conjunto de dados obti-
dos; e expor os resultados obtidos 
para a turma.
Sugestão de avaliação
Resolução e comentários
As respostas dependem da pesquisa realizada e 
dos dados coletados. Nas tabelas e nos gráficos, 
verifique, por exemplo, se os estudantes indicam 
título e fonte de pesquisa. Durante a realização da 
pesquisa, verifique como eles coletam e registram 
os dados. Caso julgue necessário, oriente-os a indi-
car a quantidade de votos com risquinhos.
Informações sobre avaliações diagnósticas po-
dem ser encontradas no tópico Avaliação, nas 
orientações gerais deste manual.
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
4 000
Quantia (R$)
MêsMês
Jan
eir
o
Fe
ve
rei
ro
Març
o
Ab
ril
Jun
ho
Jul
ho
Ag
os
to
Se
tem
br
o
Outu
br
o
Nov
em
br
o
Dez
em
br
o
Maio
1 250
1 485
1 800 1 962 1 980 2 000 2 048 2 200
2 500
2 735
3 000
3500
0
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
300 000
Quantidade
Cor/RaçaCor/Raça
267 915
220 261
58 687
2 216 6 365
Branca Preta Não
informado
IndígenaParda
R
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19
98
.
132
Gráficos
Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação, como revistas, sites e 
jornais. Ao publicar, por exemplo, uma notícia que contenha um gráfico, o autor não escolhe 
o tipo dele aleatoriamente, pois há um tipo mais adequado para cada situação. 
O gráfico de colunas, por exemplo, é mais adequado quando o objetivo é o de comparar 
os dados entre si.
Analisando o gráfico, podemos concluir que, em 2022, a maioria dos candidatos se auto-
declarou da cor branca e a minoria, indígena.
Já o gráfico de linhas é mais adequado quando o objetivo é o de representar a evolução 
dos dados no decorrer de certo período de tempo.
Analisando o gráfico, podemos concluir que a quantia disponível na conta de Amarildo 
aumentou ao longo do ano de 2022.
Fonte de pesquisa: extrato da conta bancária de Amarildo.
Quantia disponível na conta bancária de Amarildo – 2022
Quantidade de candidatos a cargos políticos em 2022
Fonte de pesquisa: ESTATÍSTICAS eleitorais. TSE. Disponível em: 
https://sig.tse.jus.br/ords/dwapr/seai/r/sig-eleicao/home?session=2230723564497. 
Acesso em: 13 maio 2022.
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132
• Interpretar dados expressos em 
tabelas e gráficos.
• Calcular medidas de tendência 
central: média, moda e mediana. 
• Calcular a amplitude de um con-
junto de dados. 
• Compreender os tipos de pes-
quisas estatísticas: amostral e cen-
sitária. 
• Realizar pesquisa amostral envol-
vendo um tema da realidade social.
• Reconhecer eventos dependen-
tes e eventos independentes.
• Resolver situações-problema en-
volvendo probabilidades.
Objetivos da unidade
Os conteúdos de Estatística abor-
dados nesta unidade são relevantes 
para que os estudantes interpretem 
criticamente informações veicula-
das em diferentes mídias. Durante 
seus estudos, eles terão acesso a 
diferentes elementos que podem 
ser utilizados para apresentar infor-
mações, conhecendo suas caracte-rísticas e peculiaridades, bem como 
algumas possíveis manipulações 
que têm o objetivo de enganar o 
público.
Além disso, com os estudos aqui 
propostos, eles aprimoram os co-
nhecimentos relacionados à Proba-
bilidade, uma vez que os conceitos 
de eventos dependente e de even-
tos independentes, bem como o 
cálculo de suas probabilidades, são 
introduzidos.
Justificativas
• Antes de iniciar o conteúdo des-
ta página, verifique o conhecimen-
to dos estudantes relacionado aos 
diferentes tipos de gráficos. Para 
verificar se compreendem que há 
um tipo de gráfico mais adequa-
do para cada contexto, instigue-os 
a apresentar situações em que o 
gráfico de coluna, de linha ou de 
setores seja o mais adequado para 
apresentar os dados. Permita que 
compartilhem suas conclusões com 
a turma, tendo a oportunidade de 
resgatar o conhecimento prévio 
referente ao assunto e tornar o es-
tudo mais significativo.
• Os conteúdos e as atividades propostos neste 
tópico têm o propósito de desenvolver aspectos 
da habilidade EF09MA22, uma vez que os estu-
dantes são levados a escolher o tipo de gráfico 
mais adequado para apresentar um determinado 
conjunto de dados.
• Os dados apresentados no gráfico de linha desta 
página são fictícios.
https://sig.tse.jus.br/ords/dwapr/seai/r/sig-eleicao/home?session=2230723564497