Prévia do material em texto

R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
23
 2. A seguir, identifique quais potências são maiores do que 1.
a ) (8) −5 
b ) ( 4 _ 3 ) 
−3
 
c ) ( 2 _ 9 ) 
−2
 
d ) ( 11 _ 15 ) 
−1
 
e ) ( 7 _ 3 ) 
−4
 
f ) ( 15 _ 14 ) 
−2
 
 3. Usando as propriedades das potências, calcule.
a ) 2 5 ⋅ 2 3 
b ) (− 8) 21 ⋅ (− 8) −18 
c ) ( 4 _ 3 ) ⋅ ( 4 _ 3 ) 
2
 
d ) (− 3) 2 ⋅ ( 1 _ 2 ) 
2
 
e ) (10) −2 : (10) 3 
f ) ( 3 _ 2 ) 
3
 : ( 6 _ 5 ) 
3
 
g ) ( 4 2 ) 
3
 
h ) ( 2 −3 ) 
4
 
 4. Com o auxílio de uma calculadora, calcule:
a ) o produto entre (− 3) 2 e (− 3) 7 .
b ) o quociente entre 11 −8 e 11 −5 .
c ) o cubo da metade de 5.
d ) a metade do cubo de 5.
e ) a quarta potência do dobro de 5.
f ) o quadrado do dobro de − 8 .
 5. Resolva as expressões em cada item.
a ) ( 2 2 ⋅ 5 2 ) : 4 1 
b ) 16 3 : (− 8) 4 + 15 0 − (1) 11 
c ) 4 −3 + (− 1 _ 2 ) 
5
 
d ) ( 8 _ 3 ) 
−2
 + ( 9 _ 4 ) 
3
 
e ) (1 + 4 _ 5 ) 
3
 − ( 5 _ 3 ) 
−4
 
 6. Em cada item, determine o valor de x para que a igualdade seja verdadeira.
a ) (− 3) x = − 243 b ) ( 11 _ 7 ) 
x
 = 1 c ) x 100 = 1 d ) x −3 = − 1 _ 27 
 7. Calcule.
a ) 10 2 b ) 10 5 c ) 10 8 d ) 10 7 e ) 10 3 f ) 10 0 
 8. Anderson colocou uma dúzia de ovos em uma caixa pequena, inseriu uma dúzia dessas 
caixas pequenas em caixas maiores e, por fim, acomodou uma dúzia dessas caixas 
maiores em um caminhão para transporte. Quantos ovos esse caminhão transportou?
 9. Entre as expressões a seguir, qual apresenta o maior valor? Justifique a resposta em seu 
caderno.
Em uma potência de base 10 com expoente inteiro positivo, a quantidade de zeros no 
resultado após o algarismo 1 é igual ao valor do expoente.
Em uma potência de base 10 com expoente inteiro negativo, a quantidade de algarismos 
à direita da vírgula é igual ao oposto do valor do expoente.
Atenção!
 4 20 4 18 + 4 18 + 4 18 + 4 18 
2. Resposta: Alternativas c e d.
3. Respostas: 
a) 2 8 = 256 ; 
b) (− 8) 3 = − 512 ; 
c) ( 4 _ 3 ) 
3
 = 64 _ 27 ; 
d) ( 3 _ 2 ) 
2
 = 9 _ 4 ; 
e) 10 −5 = 0,00001 ; 
4. Respostas: a) − 19683 ; b) Aproximadamente 0,00075; c) 15,625; d) 62,5; e) 10000 ; f) 256.
5. Respostas: a) 25; b) 1; c) − 1 _ 
64
 ; d) 369 _ 
32
 ; 
e) 3564 _ 
625
 .
6. Respostas: a) x = 5 ; b) x = 0 ; c) x = 1 ; d) x = − 3 .
7. Respostas: a) 100; b) 100000 ; c) 100000000 ; d) 10000000 ; e) 1000 ; f) 1.
8. Resposta: 1728 ovos.
9. Resposta: 4 20 , pois 
4 20 > 4 1 ⋅ 4 18 .
f) ( 5 _ 4 ) 
3
 = 125 _ 64 ; g) 4 6 = 4096 ; h) 2 −12 = 1 _ 4096 .
23
• A atividade 2 envolve o reconhe-
cimento de frações impróprias (nu-
merador maior que o denomina-
dor) como equivalentes a números 
maiores do que 1. Aproveite esta 
atividade para rever o significado 
de fração como quociente. Para 
isso, trabalhe na lousa com os es-
tudantes a divisão do numerador 
pelo denominador das seguintes 
frações:
 12 _ 5 = 2,4 (fração imprópria, quo-
ciente maior do que 1);
 3 _ 5 = 0,6 (fração própria, quocien-
te menor do que 1).
• Nas atividades 3 e 5, os estu-
dantes resolverão expressões que 
envolvem o cálculo de potências. 
Aproveite para rever com eles as re-
gras referentes à ordem em que as 
operações devem ser resolvidas em 
uma expressão, conforme segue.
 > Quanto às operações: resolver 
primeiro as potências; depois, as 
multiplicações ou divisões, na or-
dem em que aparecerem; por fim, 
as adições ou subtrações, na or-
dem em que aparecerem.
 > Quanto aos sinais de associação: 
resolver primeiro as operações que 
estiverem dentro dos parênteses; 
depois, as operações que estive-
rem dentro dos colchetes; por fim, 
as operações que estiverem dentro 
das chaves.
• A atividade 4 explora a tradução 
de expressões em linguagem ma-
terna para a linguagem matemáti-
ca, abordando, assim, aspectos da 
Competência específica de Ma-
temática 6. Se julgar conveniente, 
proponha aos estudantes outros 
itens semelhantes aos apresentados.
• Ao trabalhar com o item a da ativi-
dade 6, oriente os estudantes a fato-
rar o número 243 em fatores primos. 
Por meio dessa fatoração, é possível 
concluir que − 234 = (− 3) 5 , sabendo 
que 243 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 e 243 = 3 5 . 
Já no item d, oriente-os a fatorar o 
denominador da fração (27) em fa-
tores primos. No caso do item b, se 
necessário, retome as definições ex-
postas no final da página 20.
Para desenvolver o trabalho com 
as atividades 6 e 9, avalie a possi-
bilidade de utilizar a metodologia 
ativa Pensamento do design. Ob-
tenha informações sobre essa me-
todologia no tópico Metodologias 
e estratégias ativas, nas orienta-
ções gerais deste manual.
Metodologias ativas • A atividade 7 envolve cálculos de potência de base 10. Apro-
veite para ressaltar a multiplicação de números reais por 10, 
100 e 1000.
• A atividade 8 requer que os estudantes interpretem uma 
situação cotidiana e utilizem a potenciação (ou a multiplicação 
de fatores iguais) para solucionar um problema. Se for neces-
sário, proponha leitura e resolução conjuntas.
• Na atividade 9, espera-se que os estudantes usem a noção de 
que a multiplicação é uma adição de parcelas iguais. Se julgar 
necessário, conclua com eles que:
 4 18 + 4 18 + 4 18 + 4 18 = 4 ⋅ 4 18 
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
24
Imagem com elementos 
não proporcionais entre si.
 10. Leia as informações a seguir.
B.A.
AL
O
N
ES
/S
H
U
TT
ER
ST
O
C
K
PI
CT
U
RE
 G
U
Y/
SH
U
TT
ER
ST
O
C
K
Para reduzir a quantidade de algarismos em números muito 
grandes, ou muito pequenos, podemos indicá-los usando a 
notação científica. Os números anteriores, por exemplo, 
podem ser representados da seguinte maneira.
Os números escritos em 
notação científica devem 
ter a forma a ⋅ 10 n , sendo:
a: um número maior ou 
igual a 1 e menor do 
que 10.
n: um número inteiro.
Atenção!
Represente os números destacados nas informações a seguir em notação científica.
a ) A medida do volume de água dos oceanos da Terra é de aproximadamente 
1320000000 k m 3 . 
b ) A medida da distância média da Terra ao Sol é de 149 600 000 km .
c ) Um quilograma equivale a 0,000001 mg .
d ) As hemácias, cujo comprimento do diâmetro mede 0,007 mm , estão presentes no 
sangue humano.
 11. Para adicionarmos ou subtrairmos números em notação científica, os expoentes da 
base 10 devem ser iguais. Se os expoentes forem diferentes, podemos reescrever um 
dos números fazendo a adaptação adequada. Em seguida, efetuamos a operação com 
os coeficientes e conservamos a base 10. Acompanhe um exemplo.
 3,4 ⋅ 10 −8 + 8,5 ⋅ 10 −7 = 
 = 3,4 ⋅ 10 −8 + 85 ⋅ 10 −8 = 
 = (3,4 + 85) ⋅ 10 −8 = 
 = 88,4 ⋅ 10 −8 = 
 = 8,84 ⋅ 10 −7 
Usando esse procedimento, efetue os cálculos a seguir.
a ) 7,93 ⋅ 10 5 + 5 ⋅ 10 6 b ) 3,99 ⋅ 10 −5 − 4,92 ⋅ 10 −7 
 56000000 = 5,6 ⋅ 10000000 = 5,6 ⋅ 10 7 .
 0,00015 = 1,5 ⋅ 0,0001 = 1,5 ⋅ 10 −4 .
A.
B.
A distância mínima aproximada entre 
a Terra e Marte mede 56000000 km .
A média da medida do diâmetro de uma teia 
de aranha é 0,00015 mm , e só conseguimos 
vê-la a olho nu devido à reflexão do Sol.
10. Respostas: a) 1,32 ⋅ 10 9 ; b) 1,496 ⋅ 10 8 ; c) 1 ⋅ 10 −6 ; d) 7 ⋅ 10 −3 .
11. Respostas: a) 5,793 ⋅ 10 6 ; b) 3,9408 ⋅ 10 −5 .
24
• As atividades desta página de-
senvolvem aspectos da habilidade 
EF09MA04, uma vez que os estu-dantes devem resolver problemas 
com números reais, em notação 
científica, envolvendo diferentes 
operações.
• Ao trabalhar a atividade 10, soli-
cite que os estudantes façam uma 
pesquisa sobre o uso em diferentes 
contextos, de medidas muito gran-
des ou muito pequenas, como as 
expostas na atividade. Depois, peça 
a eles que apresentem os resultados 
da pesquisa para a turma. Fazer ob-
servações sistemáticas de aspectos 
quantitativos e qualitativos presen-
tes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, re-
presentar e comunicar informações 
relevantes, a fim de interpretá-las e 
avaliá-las crítica e eticamente, pro-
duzindo argumentos convincentes, 
é recomendação da Competência 
específica de Matemática 4.
• A atividade 11 explora a adição 
de números escritos em notação 
científica. Peça aos estudantes que 
analisem o exemplo e, depois, pro-
ponha uma roda de conversa para 
que exponham suas interpretações, 
oportunizando o desenvolvimento 
da Competência geral 9. Além dis-
so, se julgar conveniente, apresen-
te-lhes outros exemplos, como:
 2,5 ⋅ 10 6 + 9 ⋅ 10 7 ;
 1,28 ⋅ 10 −3 − 5,3 ⋅ 10 .
• A fim de complementar o tra-
balho com as atividades 10 e 11, 
solicite aos estudantes que elabo-
rem um problema envolvendo as 
informações da atividade 10 e os 
procedimentos de cálculo expostos 
na atividade 11. Depois, oriente-os a 
trocar os problemas entre eles para 
que os resolvam. Ao final, eles de-
vem verificar se o colega resolveu 
corretamente.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
25
Radiciação
Neste tópico, estudaremos algumas situações envolvendo a operação radiciação. 
Considere a seguinte situação.
Pedro é marceneiro e vai fabricar uma mesa cuja superfície, de forma quadrada, terá 
4900 cm 2 de medida de área. Para isso, é necessário que ele saiba a medida do comprimen-
to do lado da superfície dessa mesa.
Extraindo a raiz quadrada de 4900, é possível obter essa medida.
 √ 
_
 4900 = 70 , pois 70 ⋅ 70 = 70 2 = 4900 
Logo, o comprimento do lado da superfície da mesa que Pedro vai fabricar medirá 70 cm .
A radiciação, operação usada para resolver a situação anterior, é a operação inversa da 
potenciação.
Em uma radiciação, temos os seguintes elementos:
Agora, considere outra situação.
O cubo mágico representado ao lado 
tem a medida de volume igual a 125 cm 3 . 
Para saber a medida das dimensões desse 
cubo, basta calcular a raiz cúbica de 125.
 3 √ 
_
 125 = 5 , pois 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 3 = 125 
Logo, as dimensões desse cubo medem 
5 cm .
G
D
_P
RO
JE
CT
/S
H
U
TT
ER
ST
O
C
K
Realize uma pesquisa para des-
cobrir o inventor do cubo mágico. Depois, 
registre os resultados obtidos no caderno.
Questão 1.
A pesquisa proposta na questão 1 pode ser feita em sites. Mas cuidado! Devemos nos 
certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes confiáveis. Para encerrar, 
uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com as de outras fontes.
Atenção!
 2 √ 
_
 4900 = 70 
índice
radical
raiz
radicando
Cubo mágico.
Usualmente, o índice 2 da raiz 
quadrada é omitido. Indicamos, 
por exemplo, 2 √ 
_
 4900 por √ 
_
 4900 .
Atenção!
Questão 1. Resposta: Espera-se que os estudantes 
concluam que o inventor do cubo mágico foi o 
húngaro Ernő Rubik e que o brinquedo também é chamado de Cubo 
de Rubik em homenagem a seu criador.
25
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relacionado 
à radiciação. Permita que eles con-
versem entre si, tendo a oportuni-
dade de resgatar o conhecimento 
prévio sobre o assunto e tornar o 
estudo mais significativo.
• Verifique a possibilidade de 
propor aos estudantes a situação 
apresentada nesta página, antes 
de abordá-la no livro, a fim de que, 
em duplas, eles tentem calcular a 
medida de comprimento do lado 
da superfície da mesa. Depois, 
considerando as estratégias e reso-
luções propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente as explicações 
encontradas no livro.
• Se necessário, diga aos estudan-
tes que calculamos apenas a raiz 
quadrada de números positivos. 
• A questão 1 requer que os estu-
dantes façam uma pesquisa, ação 
que permite o desenvolvimento da 
Competência geral 5 e da Compe-
tência específica de Matemática 5. 
Além disso, ao valorizar o conhe-
cimento historicamente construí-
do por outras culturas, aborda-se 
a Competência geral 1. Se julgar 
conveniente, permita aos estudan-
tes realizar a pesquisa em grupos.
26
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Raiz enésima
Para calcular a raíz enésima de um número real a (indicada por n √ 
_
 a ), devemos considerar 
os seguintes casos.
enésimo: que ocupa a posição do número n; 
também pode ser escrito como n-ésimo.
Atenção!
a ) n é um número natural par, diferente de zero.
 • Para a ≥ 0 , a raiz enésima de a é um número real b não negativo, tal que b n = a .
Acompanhe alguns exemplos.
 > √ 
_
 81 = 9 , pois 9 2 = 81 .
 > 4 √ 
_
 256 = 4 (lê-se: raiz quarta de 256 é igual a 4), pois 4 4 = 256 .
 > 6 √ 
_
 729 = 3 (lê-se: raiz sexta de 729 é igual a 3), pois 3 6 = 729 .
 • Para a < 0 , a raiz enésima de a não é definida no conjunto dos números reais, pois 
não existe um número b tal que b n = a .
 Exemplo: Não existe 2 √ 
_
 − 36 no conjunto dos números reais, pois não existe um nú-
mero real que, elevado ao quadrado, seja igual a − 36 .
b ) n é um número natural ímpar, diferente de 1.
A raiz enésima de a é um número real b, tal que b n = a .
Nesse caso, quando a é um número real positivo, b também é positivo, e quando a é 
negativo, b também é negativo.
Acompanhe alguns exemplos.
 > 3 √ 
_
 64 = 4 , pois 4 3 = 64 .
 > 5 √ 
_
 − 243 = − 3 (lê-se: raiz quinta de − 243 é igual a − 3 ), pois (− 3) 5 = − 243 .
 > 7 √ 
_
 − 128 = − 2 (lê-se: raiz sétima de − 128 é igual a − 2 ), pois (− 2) 7 = − 128 . 
Copie as sentenças a seguir em seu caderno, substituindo os ■ pelos números 
adequados.
a ) A raiz sétima de ■ é 5, pois 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 7 = ■. 
b ) A raiz quarta de 81 é ■, pois ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ = ■ 4 = 81 . 
c ) A raiz quinta de − 32 é ■, pois ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ = ■ 5 = − 32 . 
d ) A raiz sexta de 64 é ■, pois ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ ⋅ ■ = ■ 6 = 64 . 
Junte-se a um colega e realizem uma pesquisa sobre o surgimento do símbolo 
utilizado para indicar a radiciação. Depois, apresente seus resultados para os colegas e 
professor.
Questão 2.
Questão 3.
Questão 3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam com suas pesquisas 
que esse símbolo é uma criação do alemão Christoff Rudolff, em seu livro Die Coss, de 
1525.
Questão 2. Respostas: a) ■ = 78125 ; b) ■ = 3 ; c) ■ = − 2 ; d) ■ = 2 .
26
• A questão 2 tem por objetivo 
verificar se os estudantes compre-
enderam a definição exposta nesta 
página. Se julgar conveniente, re-
solva com eles os itens propostos.
• A realização da questão 3 permite 
a valorização de conhecimentos his-
toricamente construídos, exercita a 
curiosidade intelectual e promove 
a empatia e o trabalho em equipe, 
aspectos das Competências gerais 
1, 2 e 9. Aproveite que esta ques-
tão é proposta em duplas e oriente 
os estudantes sobre a importância 
da empatia, do respeito e da boa 
convivência social, bem como de 
não ter preconceitos e de compre-
ender e aceitar as necessidades e 
limitações dos outros, de modo a 
promover a saúde mental e a cul-
tura de paz. Se achar conveniente, 
converse com eles sobre o comba-
te aos diversos tipos de violência, 
especialmente o bullying. Obtenha 
informações no tópico Cultura de 
paz e combate ao bullying nas 
orientações gerais deste manual.
27
 12. Em cada item está indicada a medida 
da áreade um quadrado. Efetue os cál-
culos e determine a medida do períme-
tro de cada quadrado.
a ) 256 cm 2 
b ) 361 cm 2 
c ) 441 cm 2 
d ) 576 cm 2 
 13. Qual é a medida do comprimento da 
aresta do cubo cujo volume mede:
a ) 512 cm 3 .
b ) 1 331 cm 3 .
c ) 3375 cm 3 .
d ) 4913 cm 3 .
 14. Utilizando uma calculadora, efetue os 
cálculos, determine o valor de cada ■ e 
registre no caderno.
a ) 
3
 √ 
_
 ■ = 15 
b ) √ 
_
 ■ = 35 
c ) √ 
_
 ■ = 41 
d ) 
3
 √ 
_
 ■ = 18 
e ) 
4
 √ 
_
 ■ = 8 
f ) 
3
 √ 
_
 ■ = 24 
 15. Nos itens a seguir, n representa o índice 
das raízes. Efetue os cálculos com uma 
calculadora e determine o valor de n .
a ) n √ 
_
 81 = 9 
b ) n √ 
_
 125 = 5 
c ) n √ 
_
 32 = 2 
d ) n √ 
_
 128 = 2 
e ) n √ 
_
 2187 = 3 
f ) n √ 
_
 256 = 4 
Potências com expoente fracionário
Já estudamos em anos anteriores as potências com expoente fracionário e verificamos 
que elas podem ser escritas por meio de radicais, assim como radicais podem ser escritos 
na forma de potências. Analise alguns exemplos.
 • 
3
 √ 
_
 3 2 = 3 
 2 _ 3 
 • 
4
 √ 
_
 5 3 = 5 
 3 _ 4 
 • 
5
 √ 
_
 6 3 = 6 
 3 _ 5 
 
O índice do radical 
corresponde ao 
denominador do 
expoente da potência.
Atenção!
De modo geral, sendo a um número racional positivo, 
n e m números naturais, com n > 1 e m > 0 , temos:
 n √ 
_
 a m = a 
m _ n 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 17. A seguir, escreva em seu caderno as 
potências como raízes e as raízes co-
mo potências
a ) 27 
 1 _ 4 
 
b ) 40 
 2 _ 5 
 
c ) ( 7 _ 6 ) 
 2 _ 3 
 
d ) √ 
_
 18 
e ) 
3
 √ 
_
 6 5 
f ) 5 √ 
_
 81 
 18. Indique as igualdades verdadeiras.
a ) ( 2 
 3 _ 4 
 ) 
 1 _ 3 
 = 
4
 √ 
_
 2 3 
b ) ( 5 
 9 _ 10 
 ) 
 5 _ 3 
 = √ 
_
 5 3 
c ) ( 3 
 3 _ 8 
 ) 
2
 = 
4
 √ 
_
 3 3 
d ) ( 11 
 10 _ 3 
 ) 
 3 _ 4 
 = √ 
_
 11 5 
 16. Sem efetuar cálculos, identifique quais 
das raízes a seguir são definidas no 
conjunto dos números reais.
 5 √ 
_
 − 32 
A.
 4 √ 
_
 81 
D.
 8 √ 
_
 − 256 
B.
 7 √ 
_
 2187 
E.
 3 √ 
_
 − 343 
C.
 12 √ 
_
 − 4096 
F.
 √ 
_
 − 12 
G.
 7 √ 
_
 − 2187 
H.
14. Respostas: 
15. Respostas: a) 2; b) 3; c) 5; d) 7; e) 7; f) 4.
16. Resposta: Alternativas A, C, D, E e H.
17. Respostas: 
18. Resposta: Alternativas b, c e d.
13. Respostas: a) 8 cm ; b) 11 cm ; c) 15 cm ; d) 17 cm .
a) 3375 ; 
b) 1 225 ; 
c) 1681 ; 
d) 5832 ; 
e) 4096 ; 
f) 13824 .
12. Respostas: a) 64 cm ; b) 76 cm ; c) 84 cm ; d) 96 cm .
a) 4 √ 
_
 27 ; 
b) 5 √ 
_
 1600 ; 
c) 
3
 √ 
_
 49 _ 36 ; d) 18 
 1 _ 2 
 ; 
e) 6 
 5 _ 3 
 ; f) 9 
 2 _ 5 
 .
27
• As atividades deste tópico de-
senvolvem a habilidade EF09MA03, 
uma vez que os estudantes são le-
vados a efetuar cálculos com núme-
ros reais, inclusive com expoentes 
fracionários.
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades nas atividades 12 e 13, 
converse com eles sobre as fórmu-
las de cálculo da medida da área 
de um quadrado e da medida do 
volume de um cubo. Além disso, 
na atividade 12, se julgar necessá-
rio, por meio de questionamentos, 
comente que o perímetro de um 
polígono é igual ao comprimento 
de seu contorno.
• Ao trabalhar com as atividades 
14 e 15, se julgar conveniente, or-
ganize os estudantes em grupos. 
Assim, eles podem trocar conhe-
cimentos e desenvolver estratégias 
pessoais para solucioná-las, cor-
roborando o desenvolvimento do 
raciocínio lógico-matemático, e 
o espírito investigador, conforme 
solicitam as Competências espe-
cíficas de Matemática 2 e 5. Após 
todos solucionarem as atividades, 
peça-lhes que compartilhem com 
os colegas as estratégias utilizadas.
• A atividade 16 requer que os es-
tudantes reconheçam que raiz de 
índice par com radicando negativo 
não está definida no conjunto dos 
números reais. Se julgar necessário, 
retome o trabalho com o tópico 
Raiz enésima.
• Durante o desenvolvimento da 
atividade 17, verifique se os estu-
dantes compreendem que o índice 
do radical corresponde ao denomi-
nador do expoente da potência.
• Na atividade 18, como os expo-
entes são fracionários, relembre 
com os estudantes o algoritmo 
da multiplicação de frações. Além 
disso, caso julgue conveniente, re-
tome as propriedades da potencia-
ção, estudadas anteriormente.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
28
Propriedades dos radicais
Estudaremos, a seguir, algumas propriedades dos radicais. Elas podem ser úteis ao reali-
zar cálculos com radicais.
1ª propriedade
Quando o índice do radical e o expoente do radicando são positivos e iguais, o resultado 
é o próprio radicando. Exemplos:
 • 
5
 √ 
_
 6 5 = 6 
 5 _ 5 
 = 6 1 = 6 • 
4
 √ 
_
 7 4 = 7 
 4 _ 4 
 = 7 1 = 7 
De modo geral, sendo a um número real positivo e n um número natural maior 
do que 1, temos n √ 
_
 a n = a .
2ª propriedade
Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por 
um mesmo número natural não nulo, obtemos um radical equivalente ao inicial. Exemplos:
 • 
4
 √ 
_
 9 3 = 9 
 3 _ 4 
 = 9 
 3 ⋅ 2 _ 4 ⋅ 2 
 = 
4 ⋅ 2
 √ 
_
 9 3 ⋅ 2 = 
8
 √ 
_
 9 6 • 
12
 √ 
_
 5 4 = 5 
 4 _ 12 
 = 5 
 4 : 4 _ 12 : 4 
 = 
12 : 4
 √ 
_
 5 4 : 4 = 3 √ 
_
 5 
De modo geral, sendo a um número real positivo, n um número natural maior do 
que 1, m e p números naturais diferentes de zero, temos:
 n √ 
_
 a m = 
n ⋅ p
 √ 
_
 a m ⋅ p e n √ 
_
 a m = 
n : p
 √ 
_
 a m : p 
De modo geral, sendo a e b número reais positivos e n um número natural 
maior do que 1, temos: n √ 
_
 a ⋅ b = n √ 
_
 a ⋅ n √ 
_
 b e n √ 
_
 a _ b = 
n √ 
_
 a _ 
 n √ 
_
 b 
 ou n √ 
_
 a : b = n √ 
_
 a : n √ 
_
 b 
3ª propriedade
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores e a raiz de um quociente 
é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor. Exemplos:
 • 
√ 
_
 3 ⋅ 4 = (3 ⋅ 4) 
 1 _ 2 
 = 3 
 1 _ 2 
 ⋅ 4 
 1 _ 2 
 = √ 
_
 3 ⋅ √ 
_
 4 •
 
 
3
 √ 
_
 2 _ 7 = ( 2 _ 7 ) 
 1 _ 3 
 = 2 
 1 _ 3 
 _ 
 7 
 1 _ 3 
 
 = 
3 √ 
_
 2 _ 
 3 √ 
_
 7 
 
4ª propriedade
A raiz de uma raiz pode ser escrita na forma de um único radical, na qual o índice resul-
tante é o produto dos índices das raízes iniciais. Exemplos:
 •
 
 √ 
_
 7 √ 
_
 8 = ( 7 √ 
_
 8 ) 
 1 _ 2 
 = ( 8 
 1 _ 7 
 ) 
 1 _ 2 
 = 8 
 1 ⋅ 1 _ 7 ⋅ 2 
 = 
7 ⋅ 2
 √ 
_
 8 1 ⋅ 1 = 14 √ 
_
 8 
 •
 
 
3
 √ 
_
 4 √ 
_
 2 = ( 4 √ 
_
 2 ) 
 1 _ 3 
 = ( 2 
 1 _ 4 
 ) 
 1 _ 3 
 = 2 
 1 ⋅ 1 _ 4 ⋅ 3 
 = 
4 ⋅ 3
 √ 
_
 2 1 ⋅ 1 = 12 √ 
_
 2 
De modo geral, sendo a um número real positivo, n e q números naturais maiores 
do que 1, temos 
n
 √ 
_
 q √ 
_
 a = n ⋅ q √ 
_
 a .
28
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento prévio dos estudantes rela-
cionado a propriedades dos radicais. 
Permita que eles conversem entre 
si, tendo a oportunidade de resga-
tar o conhecimento prévio sobre o 
assunto e tornar o estudo mais sig-
nificativo.
• O livro História com… matemática, 
organizado por Luís Menezes, Cá-
tia Rodrigues, Liliana Ferraz e Ana 
Martins, traz histórias de ficção 
envolvendo conceitos matemáticos 
para encantar e interessar crianças, 
adolescentes e adultos. Acompa-
nhe um trecho da obra a seguir.
Certo dia, estava Pitágoras a 
passear na linda floresta dos nú-
meros. Ia a caminho de Crotona, 
quando encontrouo Ângulo Re-
to Mau, que lhe perguntou: 
− Onde vais? 
Pitágoras respondeu: 
− Vou a caminho de Crotona. 
− E que levas aí, nessa mochi-
la? − perguntou o Ângulo Reto 
Mau. 
− Um livro de Matemática. Vou 
estudar as potências com o meu 
mestre, Sr. π − respondeu ele. 
− Agora já não vais. Vou comer-
-te… tens um ar bastante apetito-
so e matemático. − disse o Ângu-
lo Reto Mau. 
− Isso é que não vais. Vou 
transformar-te num triângulo re-
tângulo. − disse o matemático, 
pegando na sua espada √ 
_
 d’a ̈ o 
(raiz quadrada de aço). 
Depois de uma árdua luta en-
tre ambos, Pitágoras deu um 
golpe sobre o Ângulo Reto e que-
brou um dos segmentos de reta, 
conseguindo transformá-lo num 
triângulo retângulo. 
− Assim nunca mais comerás 
ninguém! − exclamou o estudioso.
MENEZES, Luís; RODRIGUES, Cátia; FERRAZ, 
Liliana; MARTINS, Ana. História com... mate-
mática. Viseu: Escola Superior de Educação 
de Viseu, 2009. p. 12. Disponível em: https://
www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2009_10/Livro%20
Hist%C3%B3rias/hist%C3%B3rias%20
com...%20matem%C3%A1tica.pdf. 
Acesso em: 25 jul. 2022.
Um texto a mais
https://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2009_10/Livro%20Hist%C3%B3rias/hist%C3%B3rias%20com...%20matem%C3%A1tica.pdf
https://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2009_10/Livro%20Hist%C3%B3rias/hist%C3%B3rias%20com...%20matem%C3%A1tica.pdf
https://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2009_10/Livro%20Hist%C3%B3rias/hist%C3%B3rias%20com...%20matem%C3%A1tica.pdf
https://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/2009_10/Livro%20Hist%C3%B3rias/hist%C3%B3rias%20com...%20matem%C3%A1tica.pdf
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
29
 22. Sendo a e b números reais positivos e m , n e p números naturais maiores do que 1, quais 
igualdades a seguir são verdadeiras?
 19. Efetue os cálculos a seguir.
a ) √ 
_
 9 _ 4 b ) √ 
_
 25 _ 100 c ) √ 
_
 64 _ 144 d ) − √ 
_
 121 _ 256 e) 
3
 √ 
_
 − 1 _ 8 f ) 
4
 √ 
_
 1 _ 81 
 20. Escreva, no caderno, as expressões numéricas a seguir na forma de uma única raiz.
Analise, a seguir, como podemos simplificar, por exemplo, as expressões numéricas ( 3 √ 
_
 5 ) 
2
 
e ( 7 √ 
_
 10 ) 
3
 escrevendo cada uma na forma de uma única raiz.
 • ( 3 √ 
_
 5 ) 
2
 = 3 √ 
_
 5 ⋅ 3 √ 
_
 5 = 3 √ 
_
 5 ⋅ 5 = 
3
 √ 
_
 5 2 • ( 7 √ 
_
 10 ) 
3
 = 7 √ 
_
 10 ⋅ 7 √ 
_
 10 ⋅ 7 √ 
_
 10 = 7 √ 
_
 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 
7
 √ 
_
 10 3 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 21. De acordo com as propriedades das raízes, copie, no caderno, as igualdades verdadeiras.
A.
B.
 n √ 
_
 a m = 
n ⋅ p
 √ 
_
 a m ⋅ p 
 n √ 
_
 a ⋅ n √ 
_
 b = √ 
_
 a ⋅ b 
E.
F.
 
n
 √ 
_
 p √ 
_
 a = √ 
_
 a n⋅p 
 
n √ 
_
 a _ 
 
n
 √ 
_
 b 
 = n √ 
_
 a _ 
b
 
C.
D.
 n √ 
_
 a m = a 
m _ n 
 m ⋅ n √ 
_
 a _ b = 
n √ 
_
 a _ 
 n √ 
_
 b 
 
B.
 
3
 √ 
_
 5 15 = √ 
_
 5 20 
C.
 
7
 √ 
_
 19 _ 4 = 
7 √ 
_
 19 _ 
 7 √ 
_
 4 
 
 23. Aplique as propriedades das raízes e transforme a expressão numérica de cada item em 
uma única raiz.
A.
 √ 
_
 7 ⋅ √ 
_
 21 = √ 
_
 7 ⋅ 21 
A.
 
3 √ 
_
 2 ⋅ 3 √ 
_
 5 ⋅ 3 √ 
_
 9 _____________ 
 3 √ 
_
 4 ⋅ 3 √ 
_
 10 
 
B.
 
 9 √ 
_
 8 ⋅ 
9
 √ 
_
 2 _ 3 
 _ 
 9 √ 
_
 5 ⋅ 9 √ 
_
 4 
 
C.
 
 
5
 √ 
_
 7 _ 6 ⋅ 
5
 √ 
_
 8 _ 5 
 _ 
 
5
 √ 
_
 3 _ 2 ⋅ 
5
 √ 
_
 1 _ 2 
 
a ) 
3
 √ 
_
 √ 
_
 2 b ) 
4
 √ 
_
 3 √ 
_
 5 c ) √ 
_
 5 √ 
_
 8 d ) 
6
 √ 
_
 3 √ 
_
 13 e ) √ 
_
 
7
 √ 
_
 3 √ 
_
 9 f ) 
4
 √ 
_
 
3
 √ 
_
 √ 
_
 16 
 24. Simplifique cada potência representando-a com uma única raiz.
a ) ( 5 √ 
_
 13 ) 
4
 b ) ( 4 √ 
_
 15 ) 
3
 c ) ( 5 √ 
_
 3 ) 
2
 d ) ( 7 √ 
_
 7 ) 
6
 e ) ( 3 √ 
_
 11 ) 
2
 f ) ( 9 √ 
_
 5 ) 
7
 
24. Respostas: a) 
5
 √ 
_
 13 4 ; b) 
4
 √ 
_
 15 3 ; c) 
5
 √ 
_
 3 2 ; d) 
7
 √ 
_
 7 6 ; e) 
3
 √ 
_
 11 2 ; f) 
9
 √ 
_
 5 7 .
A. B.
 25. Calcule a medida da área de cada retângulo a seguir.
 100 m6
 1 000 m6
 602 m15
 603 m15
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: S
ER
G
IO
 L
IM
A/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
23. Respostas: A. 
3
 √ 
_
 9 _ 4 ; B. 
9
 √ 
_
 4 _ 15 ; C. 
5
 √ 
_
 112 _ 45 .
19. Respostas: a) 3 _ 2 ; b) 5 _ 10 ; c) 8 _ 12 ; d) − 11 _ 16 ; e) − 1 _ 2 ; f) 1 _ 3 .
20. Respostas: a) 6 √ 
_
 2 ; b) 12 √ 
_
 5 ; c) 10 √ 
_
 8 ; d) 18 √ 
_
 13 ; e) 42 √ 
_
 9 ; f) 24 √ 
_
 16 .
21. Respostas: A. √ 
_
 7 ⋅ √ 
_
 21 = √ 
_
 7 ⋅ 21 ; C. 
7
 √ 
_
 19 _ 4 = 
7 √ 
_
 19 _ 
 7 √ 
_
 4 
 .
22. Resposta: Alternativas A, C e F.
25. Respostas: A. 10 
 5 _ 6 
 m 2 ou 
6
 √ 
_
 10 5 m 2 ; B. 60 
 1 _ 3 
 m 2 ou 3 √ 
_
 60 m 2 .
29
• As atividades 19 e 20 envolvem, 
respectivamente, a 3a e a 4a pro-
priedade de raízes, apresentadas 
no tópico Propriedades dos radi-
cais. Se julgar conveniente, propo-
nha uma roda de conversa para que 
os estudantes digam que proprie-
dades eles utilizariam para efetuar 
os cálculos propostos. Permita que 
exponham suas opiniões, intervin-
do quando necessário.
Após todos resolverem estas ati-
vidades, oriente-os a verificar os 
resultados obtidos usando uma cal-
culadora científica. Se for necessá-
rio, explique-lhes como utilizar essa 
ferramenta. Para calcular 
4
 √ 
_
 1 _ 81 , por 
exemplo, devemos digitar a seguin-
te sequência de teclas:
1
S-SUM
14 8(
x
SHIFT X
)
Agora, para calcular 
6
 √ 
_
 3 √ 
_
 13 , por 
exemplo, devemos digitar a seguin-
te sequência de teclas:
3 36 (
x x
SHIFT SHIFT X
)1
S-SUM
Ao sugerir a utilização de tecno-
logias digitais, é possibilitado o 
desenvolvimento de aspectos da 
Competência específica de Mate-
mática 5.
• A fim de complementar o traba-
lho com as atividades 21 e 22, soli-
cite aos estudantes que reescrevam 
as igualdades falsas, tornando-as 
verdadeiras.
Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 22, avalie a possibilidade 
de usar a metodologia ativa Pensa-
mento do design. Obtenha infor-
mações sobre essa metodologia no 
tópico Metodologias e estraté-
gias ativas, nas orientações gerais 
deste manual.
Metodologias ativas
• Ao trabalhar com a atividade 23, se julgar conve-
niente, organize os estudantes em duplas. Depois, 
peça a três duplas que expliquem os procedimen-
tos utilizados para escrever cada uma das expres-
sões como uma única raiz. Essa dinâmica possibili-
ta aos estudantes interagir com seus pares de for-
ma cooperativa, contemplando, assim, aspectos 
da Competência específica de Matemática 8.
• Na atividade 24, verifique se os estudantes per-
ceberam que, na simplificação, o expoente da po-
tência passa a ser o expoente do radicando.
• A atividade 25 requer que os estudantes usem a 
fórmula da medida da área de um retângulo e reali-
zem multiplicações com raízes. Se julgar oportuno, 
solicite a eles que determinem a medida aproxi-
mada do comprimento de cada um dos lados des-
ses retângulos, com o auxílio de uma calculadora. 
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: S
ER
G
IO
 L
IM
A/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
30
Logo, a escrita simplificada de √ 
_
 540 é 6 √ 
_
 15 .
Também podemos introduzir um fator externo no radicando de uma raiz. Analise alguns 
exemplos.
 • 4 √ 
_
 8 = √ 
_
 4 2 ⋅ √ 
_
 8 = √ 
_
 4 2 ⋅ 8 = √ 
_
 16 ⋅ 8 = √ 
_
 128 
 • 5 5 √ 
_
 9 = 
5
 √ 
_
 5 5 ⋅ 9 = 5 √ 
_3125 ⋅ 9 = 5 √ 
_
 28125 
 • 2 ⋅ 3 4 √ 
_
 2 = 
4
 √ 
_
 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 2 = 4 √ 
_
 16 ⋅ 81 ⋅ 2 = 4 √ 
_
 2592 
 • Depois, aplicamos a propriedade n √ 
_
 a ⋅ b = n √ 
_
 a ⋅ n √ 
_
 b , com a e b números reais positivos 
e n um número natural maior do que 1, e transformamos √ 
_
 7 2 ⋅ 5 em um produto de 
raízes.
 √ 
_
 245 = √ 
_
 7 2 ⋅ 5 = √ 
_
 7 2 ⋅ √ 
_
 5 
 • Por último, aplicamos a propriedade n √ 
_
 a n = a , com a um número real positivo e n um 
número natural maior do que 1, e obtemos a escrita simplificada.
 √ 
_
 245 = √ 
_
 7 2 ⋅ 5 = √ 
_
 7 2 ⋅ √ 
_
 5 = 7 √ 
_
 5 
O fator 7 2 tem o mesmo expoente do índice do 
radical. Portanto, pode ser extraído do radicando.
Atenção!
 
245
 49 
 7
 
 1
 | 5 7 
7
 
 
 √ 
_
 245 = √ 
_
 7 ⋅ 7 ⋅ 5 = √ 
_
 7 2 ⋅ 5 
Simplificação de radicais
Existem casos em que não é possível calcular a raiz exata de um número, mas é possível 
simplificar a escrita dela.
Acompanhe um procedimento para simplificar √ 
_
 245 .
 • Inicialmente, decompomos o radicando em fatores primos.
Os fatores 2 2 e 3 2 têm o expoente igual ao índice do 
radical. Portanto, podem ser extraídos do radicando.
Atenção!
 
540
 
270
 
135
 45 
15
 
5
 
1
 | 
2
 
2
 
3
 
 
3
 3 
5
 
 
 
 
 √ 
_
 540 = √ 
______________
 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = √ 
_
 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 = √ 
___________
 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 
= 2 ⋅ 3 √ 
_
 3 ⋅ 5 = 6 √ 
_
 15 
Logo, a escrita simplificada de √ 
_
 245 é 7 √ 
_
 5 .
Analise como podemos simplificar √ 
_
 540 usando a decomposição em fatores primos.
30
• Verifique a possibilidade de 
propor aos estudantes a situação 
apresentada nesta página, antes 
de abordá-la no livro, a fim de que, 
em duplas, eles tentem simplificar 
√ 
_
 245 e √ 
_
 540 . Depois, consideran-
do as estratégias e resoluções pro-
postas e desenvolvidas por eles, 
apresente as explicações encontra-
das no livro.
A = 60 m2
A = 120 m2
A = 90 m2
A = 180 m2
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
31
 26. Em cada item, retire fatores do radicando.
a ) √ 
_
 3 2 ⋅ 6 
b ) 
3
 √ 
_
 4 ⋅ 5 3 
c ) 
5
 √ 
_
 3 5 ⋅ 6 8 
d ) 
4
 √ 
_
 2 8 ⋅ 7 10 
e ) √ 
_
 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 5 5 
f ) 
6
 √ 
_
 2 8 ⋅ 3 5 ⋅ 10 7 
 27. Simplifique as raízes.
a ) 3 √ 
_
 64 
b ) 4 √ 
_
 432 
c ) 3 √ 
_
 896 
d ) 5 √ 
_
 2187 
e ) √ 
_
 9000 
f ) 3 √ 
_
 16384 
 28. Os quadrados a seguir são representações de terrenos e em cada um deles está indica-
da a sua medida de área A .
Considerando √ 
_
 2 ≃ 1,41 ; √ 
_
 3 ≃ 1,73 ; e √ 
_
 5 ≃ 2,24 , calcule a medida aproximada do 
comprimento do lado de cada terreno.
 29. Introduza no radicando os fatores externos.
a ) 6 √ 
_
 3 b ) 5 3 √ 
_
 6 c ) 2 ⋅ 4 √ 
_
 10 d ) 2 ⋅ 5 5 √ 
_
 2 
 30. Determine o valor de x em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.
a ) 4 √ 
_
 96 = 2 4 √ 
_
 x 
b ) 2 3 √ 
_
 7 = 3 √ 
_
 x 
c ) 3 √ 
_
 32 = x 3 √ 
_
 4 
d ) 2 √ 
_
 71 = √ 
_
 x 
e ) 4 4 √ 
_
 8 = 4 √ 
_
 x 
f ) √ 
_
 1200 = x √ 
_
 3 
 31. Qual deve ser o valor de a para que a igualdade a seguir seja verdadeira? 
 √ 
_
 228 ⋅ a = 2 √ 
_
 627 
 32. Simplifique no caderno a expressão numérica.
 √ 
_
 2 
3
 √ 
_
 4 √ 
_
 8 
 33. Associe os itens que têm o mesmo resultado.
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
Para obter a medida do comprimento do lado de cada terreno, use as propriedades das raízes.
Atenção!
A. B. C. D.
a ) 
4
 √ 
_
 2 6 ⋅ 3 4 
b ) 
4
 √ 
_
 2 5 ⋅ 3 5 
c ) 
4
 √ 
_
 2 4 ⋅ 3 6 
d ) 
4
 √ 
_
 2 8 ⋅ 3 5 
e ) 6 4 √ 
_
 9 
f ) 12 4 √ 
_
 3 
g ) 6 4 √ 
_
 4 
h ) 6 4 √ 
_
 6 
IL
U
ST
RA
ÇÕ
ES
: S
ER
G
IO
 L
IM
A/
AR
Q
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
26. Respostas: a) 3 √ 
_
 6 ; b) 5 3 √ 
_
 4 ; c) 18 5 √ 
_
 216 ; d) 196 4 √ 
_
 49 ; e) 450 √ 
_
 10 ; f) 20 6 √ 
_
 9720 .
27. Respostas: a) 4; b) 2 4 √ 
_
 27 ; c) 4 3 √ 
_
 14 ; d) 3 5 √ 
_
 9 ; e) 30 √ 
_
 10 ; f) 16 3 √ 
_
 4 .
28. Respostas: A. 7,75 m ; B. 10,93 m ; C. 9,48 m ; D. 13,44 m .
29. Respostas: a) √ 
_
 108 ; b) 3 √ 
_
 750 ; c) √ 
_
 640 ; d) 5 √ 
_
 200000 .
30. Respostas: a) x = 6 ; b) x = 56 ; c) x = 2 ; d) x = 284 ; e) x = 2048 ; f) x = 20 .
31. Resposta: a = 11 .
32. Resposta: 2 12 √ 
_
 2 .
33. Resposta: a–g; b–h; c–e; d–f.
31
• A atividade 26 requer a simplifi-
cação de radicais por meio de fa-
toração. Verifique se os estudantes 
reconhecem que podemos escre-
ver as potências de acordo com a 
conveniência (no caso, o índice da 
raiz). Exemplos:
 
3
 √ 
_
 2 8 = 
3
 √ 
_
 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 2 
 √ 
_
 2 8 = √ 
___________
 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 
• Na atividade 27, é necessário fa-
torar os radicandos para simplificar 
o radical. Aproveite para relembrar 
com os estudantes os números pri-
mos e as regras de decomposição 
de números em fatores primos.
• Ao trabalhar com a atividade 28, 
se necessário, leve-os a perceber a 
necessidade de simplificar os radi-
cais obtidos, para que seja possível 
utilizar as aproximações dadas. No 
item a, por exemplo, obtemos ini-
cialmente a medida da área do qua-
drado, que é √ 
_
 60 m 2 . Desse modo, 
fazemos:
 √ 
_
 60 m 2 = √ 
_
 6 ⋅ 10 = √ 
_
 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 =
= √ 
_
 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 √ 
_
 3 ⋅ √ 
_
 5 ≃
≃ 2 ⋅ 1,73 ⋅ 2,24 ≃ 7,75 
• Na atividade 29, verifique se os 
estudantes perceberam que, para 
introduzir um termo no radical, é 
necessário acrescentar a esse ter-
mo um expoente numericamente 
igual ao índice da raiz.
• Nas atividades 30 e 31, é neces-
sário fatorar o radicando e aplicar 
as propriedades das raízes para 
determinar os números desconhe-
cidos. Aproveite para incentivar os 
estudantes a levantar hipóteses e 
testá-las, desenvolvendo o raciocí-
nio lógico-matemático, o espírito 
de investigação e a capacidade de 
produzir argumentos convincentes, 
conforme orienta a Competência 
específica de Matemática 2.
• Proponha que os estudantes re-
solvam o desafio proposto na ativi-
dade 32 em duplas. Enquanto tro-
cam experiências e conhecimentos, 
faça questionamentos que possam 
direcionar as resoluções.
Para desenvolver o trabalho com a atividade 32, 
avalie a possibilidade de utilizar a metodologia ati-
va Pensamento do design. Obtenha informações 
sobre essa metodologia no tópico Metodologias 
e estratégias ativas, nas orientações gerais deste 
manual.
Metodologias ativas • A atividade 33 possibilita verificar se os estudan-
tes compreenderam as propriedades dos radicais. 
Após todos concluírem as resoluções, selecione 
alguns deles a fim de que exponham suas conclu-
sões para a turma.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
na
l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
32
 √ 
_
 45 + √ 
_
 80 − √ 
_
 20 = √ 
_
 3 ⋅ 3 ⋅ 5 + √ 
____________
 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 − √ 
_
 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 
 = √ 
_
 3 2 ⋅ 5 + √ 
_
 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 − √ 
_
 2 2 ⋅ 5 
 • Depois, aplicamos a propriedade n √ 
_
 a ⋅ b = n √ 
_
 a ⋅ n √ 
_
 b , com a e b números reais positivos 
e n um número natural maior do que 1.
 √ 
_
 3 2 ⋅ √ 
_
 5 + √ 
_
 2 2 ⋅ √ 
_
 2 2 ⋅ √ 
_
 5 − √ 
_
 2 2 ⋅ √ 
_
 5 
 • Em seguida, aplicamos a propriedade n √ 
_
 a n = a , com a um número real positivo e n um 
número natural maior do que 1.
 3 √ 
_
 5 + 2 ⋅ 2 √ 
_
 5 − 2 √ 
_
 5 = 3 √ 
_
 5 + 4 √ 
_
 5 − 2 √ 
_
 5 
 • Por último, colocamos em evidência o fatorcomum dos termos da expressão numérica, 
nesse caso √ 
_
 5 , e simplificamos a expressão numérica obtida.
 3 √ 
_
 5 + 4 √ 
_
 5 − 2 √ 
_
 5 = √ 
_
 5 (3 + 4 − 2) = √ 
_
 5 ⋅ 5 = 5 √ 
_
 5 
Logo, √ 
_
 45 + √ 
_
 80 − √ 
_
 20 = 5 √ 
_
 5 .
Multiplicação e divisão com radicais
Para realizar multiplicações e divisões envolvendo radicais com o mesmo índice, basta 
aplicar as propriedades das raízes e depois simplificar o resultado. Analise dois exemplos.
 • √ 
_
 12 ⋅ √ 
_
 20 = √ 
_
 12 ⋅ 20 = √ 
_
 240 = √ 
___________
 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 √ 
_
 3 ⋅ 5 = 4 √ 
_
 15 
 • √ 
_
 168 : √ 
_
 3 = √ 
_
 168 : 3 = √ 
_
 56 = √ 
_
 2 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 2 √ 
_
 14 
Operações com radicais
Adição e subtração com radicais
Em algumas situações, precisamos realizar operações com radicais, como adição, sub-
tração, multiplicação e divisão. Essas operações podem simplificar expressões numéricas 
envolvendo radicais.
Analise, por exemplo, como calcular o valor de √ 
_
 45 + √ 
_
 80 − √ 
_
 20 .
 • Inicialmente, decompomos cada radicando em fatores primos.
 
 20
 10 
 5
 
 1
 | 2 2 
5
 
 
 
45
 15 
 5
 
 1
 | 3 3 
5
 
 
 
 
80
 
40
 20 
10
 
 5
 
 1
 | 
2
 
2
 2 
2
 
5
 
 
 
32
• Verifique a possibilidade de 
propor aos estudantes a situação 
apresentada nesta página, antes de 
abordá-la no livro, a fim de que, em 
duplas, eles tentem calcular o valor 
de √ 
_
 45 + √ 
_
 80 − √ 
_
 20 . Depois, 
considerando as estratégias e reso-
luções propostas e desenvolvidas 
por eles, apresente as explicações 
encontradas no livro.
• Se achar necessário, realize os cál-
culos √ 
_
 12 ⋅ √ 
_
 20 e √ 
_
 168 : √ 
_
 3 , passo 
a passo na lousa com os estudantes.
• O trabalho intitulado O ensino de 
radicais por atividades, de Adrielle 
Cristine Mendello Lopes, traz um 
capítulo relacionado à história da 
construção dos números irracionais. 
É apresentado a seguir um trecho 
extraído do trabalho mencionado.
Importa ressaltarmos que os 
gregos realizavam aproxima-
ções de raízes quadradas. Kline 
(1972) mostra que os pitagóri-
cos aproximavam √ 
_
 2 por meio 
da substituição de 2 por 49 _ 
25
 que 
resultava em 7 _ 5 como aproxima-
ção; e Teodoro substituiu 3 
por 49 _ 
16
 em √ 
_
 3 , obtendo 7 _ 4 co-
mo aproximação da raiz. Em A 
medida do círculo, Arquimedes 
(287?-212 a.C.) apresenta um 
grande número de raízes quadra-
das, a exemplo de √ 
_
 3 < 1 351 _ 
780
 e 
 √ 
_
 3 > 265 _ 
153
 , mas não dá nenhum 
indício do método pelo qual ob-
teve estas aproximações. Cortez 
(2009) acredita que a aplicação 
de números fracionários no Te-
orema de Pitágoras nesta época 
pode ser um primeiro esboço da 
propriedade √ 
_
 a _ b = √ 
_
 a _ 
 √ 
_
 b 
 (LOPES, 
2015. p. 36).
LOPES, Adrielle Cristine Mendello. O ensino 
de radicais por atividades. 2015. Dissertação 
(Mestrado em Educação) – Programa de 
Pós-Graduação em Educação, Universidade 
do Estado do Pará, Belém. Disponível em: 
https://ccse.uepa.br/ppged/wp-content/
uploads/dissertacoes/09/adrielle_Cristine_
mendello_lopes.pdf. Acesso em: 29 jul. 2022.
Algo a mais
https://ccse.uepa.br/ppged/wp-content/uploads/dissertacoes/09/adrielle_Cristine_mendello_lopes.pdf
https://ccse.uepa.br/ppged/wp-content/uploads/dissertacoes/09/adrielle_Cristine_mendello_lopes.pdf
https://ccse.uepa.br/ppged/wp-content/uploads/dissertacoes/09/adrielle_Cristine_mendello_lopes.pdf