Aula_04_-_Equação_do_1_e_do_2_grau_-_CN_2024-82-84

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
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AULA 03 – EQUAÇÕES 
 
Se expandirmos a equação dada, temos: 
𝑥 ∗
144
144
+
5(𝑥 − 4)
12
∗
12
12
−
3𝑥 − 24
16
∗
9
9
= 0 ⇨ 
⇨
144𝑥 + 60(𝑥 − 4) − 9(3𝑥 − 24)
144
= 0 ⇨ 
⇨
144𝑥 + 60𝑥 − 240 − 27𝑥 + 216
144
= 0 ⇨ 
⇨
144𝑥 + 60𝑥 − 240 − 27𝑥 + 216
144
= 0 ⇨
177𝑥 − 24
144
= 0 ⇨ 𝑥 =
24
177
⇨ 
⇨ 𝑥 =
8
59
 
Gabarito “d”. 
 (EPCAR 1985) 
O conjunto solução da equação 
𝒙+𝒂
𝟐
−
𝒙−𝒂
𝟑
=
𝟑
𝟓
, sendo 𝑼 = ℚ e onde “a” é o menor fator primo de 221 
é: 
a) {−
𝟑𝟎𝟕
𝟓
} 
b) {−
𝟐𝟎𝟕
𝟓
} 
c) {−
𝟑𝟐𝟏
𝟒
} 
d) {−
𝟐𝟎𝟏
𝟒
} 
e) {∅} 
 
Comentários 
Mexendo na equação, temos: 
𝑥 + 𝑎
2
−
𝑥 − 𝑎
3
=
3
5
⇨
𝑥 + 𝑎
2
∗
3
3
−
𝑥 − 𝑎
3
∗
2
2
=
3
5
⇨
3𝑥 + 3𝑎 − 2𝑥 + 2𝑎
6
=
3
5
⇨ 
⇨
𝑥 + 5𝑎
6
=
3
5
⇨ 𝑥 + 5𝑎 =
18
5
 
Mas ‘a’ é o menor fator primo de 221, como a fatoração de 221 é dada por: 
221 = 13 ∗ 17 
 
 
 
 
 
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AULA 03 – EQUAÇÕES 
 
Temos que 𝑎 = 13. 
Nossa expressão, então é: 
𝑥 + 5 ∗ 13 =
18
5
⇨ 𝑥 = −65 +
18
5
⇨ 𝑥 =
−325 + 18
5
 
⇨ 𝑥 = −
307
5
 
Gabarito “a”. 
 (EPCAR 1986) 
Resolver a equação 
𝒎
𝒏
(𝟏 −
𝒎
𝒙
) +
𝒏
𝒎
(𝟏 −
𝒏
𝒙
) = 𝟏. Se a solução da mesma é 7 e 𝒎− 𝒏 = 𝟑, então 𝒎𝒏 
é igual a: 
a) 32 
b) 25 
c) 49 
d) 36 
e) 63 
 
Comentários 
Observe que podemos manipular a equação dada no enunciado da seguinte forma: 
𝑚
𝑛
(1 −
𝑚
𝑥
) +
𝑛
𝑚
(1 −
𝑛
𝑥
) = 1 ⇨
𝑚
𝑛
(1 −
𝑚
𝑥
) ∗
𝑚
𝑚
+
𝑛
𝑚
(1 −
𝑛
𝑥
) ∗
𝑛
𝑛
= 1 ⇨ 
⇨
𝒎𝟐(𝒙 −𝒎) + 𝒏𝟐(𝒙 − 𝒏)
𝒎𝒏𝒙
= 𝟏 ⇨ 
⇨ 𝒎𝟐(𝟕 −𝒎) + 𝒏𝟐(𝟕 − 𝒏) = 𝒎𝒏 ∗ 𝟕 ⇨ 
⇨ 𝟕(𝒎𝟐 + 𝒏𝟐) − (𝒎𝟑 + 𝒏𝟑) = 𝟕𝒎𝒏 ⇨ 
⇨ 𝟕[(𝒎− 𝒏)𝟐 + 𝟐𝒎𝒏] − (𝒎+ 𝒏)(𝒎𝟐 −𝒎𝒏+ 𝒏𝟐) = 𝟕𝒎𝒏 ⇨ 
⇨ 𝟕[𝟗 + 𝟐𝒎𝒏] − (𝒎 + 𝒏)(𝒎𝟐 − 𝟐𝒎𝒏+ 𝒏𝟐 +𝒎𝒏) = 𝟕𝒎𝒏 ⇨ 
⇨ 𝟔𝟑 + 𝟏𝟒𝒎𝒏− (𝒎+ 𝒏)[(𝒎− 𝒏)𝟐 +𝒎𝒏] = 𝟕𝒎𝒏 ⇨ 
⇨ 𝟔𝟑 + 𝟕𝒎𝒏− (𝒎+ 𝒏)[𝟗 +𝒎𝒏] = 𝟎 ⇨ 
 
 
 
 
 
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AULA 03 – EQUAÇÕES 
 
⇨ 𝟔𝟑 + 𝟕𝒎(𝒎− 𝟑) − (𝒎 +𝒎− 𝟑)[𝟗 +𝒎(𝒎− 𝟑)] = 𝟎 ⇨ 
⇨ 𝟔𝟑 + 𝟕𝒎𝟐 − 𝟐𝟏𝒎− (𝟐𝒎− 𝟑)(𝟗 +𝒎𝟐 − 𝟑𝒎) = 𝟎 ⇨ 
⇨ 𝟔𝟑 + 𝟕𝒎𝟐 − 𝟐𝟏𝒎− (𝟏𝟖𝒎+ 𝟐𝒎𝟑 − 𝟔𝒎𝟐 − 𝟐𝟕 − 𝟑𝒎𝟐 + 𝟗𝒎) = 𝟎 ⇨ 
⇨ −𝟐𝒎𝟑 + 𝟏𝟔𝒎𝟐 − 𝟒𝟖𝒎+ 𝟗𝟎 = 𝟎 ⇨ −𝟐 ∗ (𝒎 − 𝟓) (𝒎𝟐 − 𝟑𝒎+ 𝟗)⏟ 
𝑵ã𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒓𝒆𝒂𝒍
= 𝟎 
Portanto, nossa única solução é: 
𝑚 − 5 = 0 ⇨ 𝑚 = 5 
De onde concluímos que: 
𝑚 − 𝑛 = 3 ⇨ 𝑛 = 5 − 3 ⇨ 𝑛 = 2 
Logo, temos que: 
𝑚𝑛 = 52 = 25 
Gabarito “b”. 
 (EPCAR 1987) 
Para que a equação 
𝟐𝒙−𝟑
𝟓
−
𝒙+𝟔
𝟏𝟎
=
𝟏
𝟐
− 𝒌𝒙 seja impossível o valor de k deverá ser: 
a) -3 
b) 
𝟑
𝟏𝟎
 
c) 3 
d) −
𝟓
𝟏𝟎
 
e) −
𝟑
𝟏𝟎
 
 
Comentários 
Podemos manipular a equação da seguinte forma: 
2𝑥 − 3
5
−
𝑥 + 6
10
=
1
2
− 𝑘𝑥 ⇨
2𝑥 − 3
5
∗
2
2
−
𝑥 + 6
10
=
1
2
− 𝑘𝑥 ⇨ 
⇨
3𝑥 − 12
10
=
1
2
− 𝑘𝑥 ⇨ 3𝑥 − 12 = 5 − 10𝑘𝑥 ⇨ 𝑥(3 + 10𝑘) = 17 ⇨ 
⇨ 𝑥 =
17
3 + 10𝑘