Operações com Arcos

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OPERAÇÕES COM ARCOS
Nesta apostila aprenderemos mais algumas ferramentas para calcular o seno, cosseno 
e tangente de arcos que não estão na tabela trigonométrica. A ideia será relacionar 
esses arcos quaisquer (arcos diferentes de 30°, 45° e 60°) com os arcos da tabela 
trigonométrica através da soma, subtração, multiplicação e divisão de arcos. Vamos 
começar?
SOMA DE ARCOS
Como você faria para calcular as razões trigonométricas de um arco que não está na 
tabela trigonométrica, como o seno de 75°, por exemplo? Bom, 75° pode ser visto como 
a soma de 10° e 65°, 20° e 55°, 35 e 40° e assim por diante, porém não conhecemos o 
seno de nenhum desses arcos. Mas 75° também pode ser visto como a soma de 30° e 
45° e o seno desses ângulos já conhecemos: 𝑠𝑒𝑛 30° =
1
2
 e 𝑠𝑒𝑛 45° =
2
2
 . Ah, então o 
seno de 75° é igual a soma de 𝑠𝑒𝑛 30° =
1
2
 + 𝑠𝑒𝑛 45° =
2
2
 ? A reposta é não, pois o sen (30°+45°) é diferente 
de sen 30° + sen 45°! A maneira correta de calcular as razões trigonométricas desses 
ângulos é a que veremos agora. Para isso, considere a e b arcos quaisquer. Temos 
então:
𝒔𝒆𝒏 𝒂 + 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝒄𝒐𝒔 𝒂 + 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃
𝒕𝒈 𝒂 + 𝒃 = 𝒕𝒈 𝒂+ 𝒕𝒈 𝒃𝟏 − 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃
SUBTRAÇÃO DE ARCOS
Assim como podemos somar arcos, também podemos subtraí-los. Vamos ver como:
𝒔𝒆𝒏 𝒂 − 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃
𝒕𝒈 𝒂 − 𝒃 = 𝒕𝒈 𝒂 − 𝒕𝒈 𝒃𝟏 + 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃
Exemplo: Calcule as razões trigonométricas de 15°.
2
O
pe
ra
çõ
es
 c
om
 a
rc
os Solução:
𝑠𝑒𝑛 15° = 𝑠𝑒𝑛 45° − 30° = 𝑠𝑒𝑛45° � 𝑐𝑜𝑠30° − 𝑠𝑒𝑛30° � 𝑐𝑜𝑠45° =
2
2
�
3
2
−
1
2
∙
2
2
=
 6 
4
−
2
4
=
6 − 2 
4
𝑐𝑜𝑠 15° = 𝑐𝑜𝑠 45° − 30° = 𝑐𝑜𝑠45° � 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑠𝑒𝑛45° � 𝑠𝑒𝑛30° =
2
2
�
3
2
+
2
2
�
1
2
=
 6 
4
+
2
4
=
6 + 2 
4
𝑡𝑔 15° = 𝑡𝑔 45° − 30° =
𝑡𝑔45° − 𝑡𝑔30°
1 + 𝑡𝑔45° � 𝑡𝑔30°
=
1 − 33
1 + 1 � 33
=
3 − 3
3
3 + 3
3
=
3 − 3
3 + 3
Em resumo
𝒔𝒆𝒏 𝒂 ± 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ± 𝒔𝒆𝒏 𝒃 � 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝒄𝒐𝒔 𝒂 ± 𝒃 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 � 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∓ 𝒔𝒆𝒏 𝒂 � 𝒔𝒆𝒏 𝒃
𝒕𝒈 𝒂 ± 𝒃 = 𝒕𝒈 𝒂± 𝒕𝒈 𝒃𝟏 ∓ 𝒕𝒈 𝒂 . 𝒕𝒈 𝒃
ARCOS DUPLOS
Agora imagine que o arco a é igual ao arco b, e que queremos encontrar as razões 
trigonométricas da soma desses arcos. Para isso usaremos as fórmulas de soma de arcos 
e chegaremos às fórmulas do seno, cosseno e tangente de arcos duplos. Acompanhe!
Como a = b temos:
 f 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 = 2 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎 ⇒
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � cos 𝑎
cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 + 𝑎 = cos 2𝑎 = cos 𝑎 � cos 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 � 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎
cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 = 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑎 = 𝑡𝑔 2𝑎 = 𝑡𝑔 � + 𝑡𝑔 �1 − 𝑡𝑔 � . 𝑡𝑔 � = 
2.𝑡𝑔 �
1 − 𝑡𝑔²� ⇒
𝑡𝑔 2𝑎 =
2 � 𝑡𝑔 𝑎
1 − 𝑡𝑔2𝑎
 f
 f
Vamos deduzir agora, através da relação fundamental da trigonometria, mais duas 
formas de calcular o cosseno de arcos duplos. Temos:
a. sen² � + cos² � = 1 ⇒ sen2 � = 1 � cos2 � (Relação fundamental da trigonometria)
b. sen² � + cos² � = 1 ⇒ cos2 � = 1 � sen2 � (Relação fundamental da trigonometria)
c. cos (2�) = cos² � � sen² �
Substituindo a em c obtemos: 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎 ⟹
𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1
Substituindo b em c obtemos: 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 ⟹
𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑎
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O
pe
ra
çõ
es
 c
om
 a
rc
osExemplo: Calcule o cosseno de 60°.
Solução: 
Vamos calcular o cosseno de 60° usando as três fórmulas e você verá como chegamos 
à mesma resposta.
cos (60°) = cos (2.30°) = cos²(30°) – sen²(30°) = 
3
2
2
−
1
2
2
=
3
4
−
1
4
=
2
4
=
1
2
cos (60°) = cos (2.30°) = 2 · cos²(30°) – 1 = 2 �
3
2
2
− 1 = 2 �
3
4
− 1 =
3 − 2
2
=
1
2
cos (60°) = cos (2.30°) = 1 – 2 · sen²(30°) = 1 − 2 �
1
2
2
= 1 −
2
4
=
4 − 2
4
=
2
4
=
1
2
ARCOS METADE
Agora que já sabemos calcular as razões trigonométricas de arcos duplos vamos usar 
fórmula do cosseno duplo para deduzir as fórmulas das razões trigonométricas de arcos 
metade. Para isso considere 2 � = 𝑥, ou seja, � = 𝑥
2
.
Sabemos que cos (2�) = 1 – 2 sen² � portanto:
cos(2𝑎) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑎
cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
cos 𝑥 + 1 = −2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= −
cos 𝑥 + 1
2
cos(2𝑎) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑎
cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
cos 𝑥 + 1 = −2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= −
cos 𝑥 + 1
2
cos(2𝑎) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑎
cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
cos 𝑥 + 1 = −2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= −
cos 𝑥 + 1
2
cos(2𝑎) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑎
cos 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
cos 𝑥 + 1 = −2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
−2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
2
= −
cos 𝑥 + 1
2
4
O
pe
ra
çõ
es
 c
om
 a
rc
os Sabemos também que cos (2�) = 2cos²� – 1 portanto:
cos(2𝑎) = 2𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1
cos 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
− 1
cos 𝑥 + 1 = −2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
=
cos 𝑥 + 1
2
Exemplo: Calcule a tangente de 7,5°.
Solução:
tg (7,5°) = tg 
15°
2
 = 
𝑠𝑒𝑛 15°2
𝑐𝑜𝑠 15°2
=
± 1 − 𝑐𝑜𝑠 15°2 
± 𝑐𝑜𝑠 15° + 12
= ±
1 − 𝑐𝑜𝑠 15°
1 + 𝑐𝑜𝑠 15°
Como já calculamos o cosseno de 15° através da diferença de arcos, temos:
tg (7,5°) = 
ANOTAÇÕES
cos(2𝑎) = 2𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1
cos 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
− 1
cos 𝑥 + 1 = −2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
= cos 𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
=
cos 𝑥 + 1
2