algoritmo da roma mdclxxvii

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**Resposta:** A) \( \frac{2}{5} \) 
**Explicação:** 
\[ 
\int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2} \big|_0^1 = \frac{2}{5}. 
\] 
 
**34.** Calcule \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \) 
A) 2 
B) \( e \) 
C) 0 
D) 1 
**Resposta:** B) \( e \) 
**Explicação:** Essa é a definição do número \( e \): 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e. 
\] 
 
**35.** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
C) \( \frac{3}{x + 1} \) 
D) \( 3x^2 \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}. 
\] 
 
**36.** Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \,dx \). 
A) \( \frac{\pi}{2} \) 
B) \( \frac{\pi}{4} \) 
C) 1 
D) \( \frac{\pi}{8} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{2} \) 
**Explicação:** Usamos \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
\[ 
\int_0^{\pi} \sin^2(x) \,dx = \frac{1}{2}\left[\pi - 0\right] = \frac{\pi}{2}. 
\] 
 
**37.** Determine o valor da integral \( \int_1^2 (3x^2 - 2) \,dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( \frac{5}{3} \) 
D) \( \frac{5}{2} \) 
**Resposta:** C) \( \frac{5}{2} \) 
**Explicação:** 
\[ 
\int_1^2 (3x^2 - 2) \,dx = \left[x^3 - 2x\right]_1^2 = (8 - 4) - (1 - 2) = 4 + 1 = 5. 
\] 
 
**38.** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( e \) 
D) Não existe 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Essa é a derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), que é 1. 
 
**39.** Encontre a integral \(\int x e^{2x} \, dx\). 
A) \( \frac{e^{2x}}{2} + C \) 
B) \( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \) 
C) \( \frac{x^{2}}{2} e^{2x} + C \) 
D) \( \frac{1}{4} e^{2x} + C \) 
**Resposta:** B) \( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes onde \( u=x \) e \( dv=e^{2x}dx \). 
 
**40.** Calcule o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \). 
A) \( \frac{\pi^4}{90} \) 
B) \( \frac{1}{6} \) 
C) \( 2 \) 
D) Diverge 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi^4}{90} \) 
**Explicação:** Essa é uma série convergente cujo valor é conhecido. 
 
**41.** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** Como \( ln(x) \) cresce mais lentamente que \( x \), o limite é \( 0 \). 
 
**42.** Calcule a integral \( \int \sqrt{x} \, dx \). 
A) \( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \) 
B) \( \frac{1}{3} x^{3/2} + C \) 
C) \( \frac{2}{5} x^{5/2} + C \) 
D) \( \frac{1}{2} x^{2} + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \) 
**Explicação:** 
\[ 
\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} + C. 
\]