Matemática - Livro 2-142-144

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MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas142
51 Uerj 2017 Em uma atividade nas olimpíadas de mate-
mática de uma escola, os alunos largaram, no sentido
do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m.
Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo,
ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda
imediatamente anterior.
Calcule a distância total, em metros, percorrida na ver
tical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.
52 Unesp Devido ao aquecimento das águas, a ocorrên-
cia de furacões das categorias 4 e 5 os mais intensos
da escala Saffir-Simpson - dobrou nos últimos 35
anos (Veja, 21 06 2006). Seja x o número de furacões
dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005.
Vamos supor que a quantidade de furacões a cada
35 anos continue dobrando em relação aos 35 anos
anteriores, isto é, de 2006 a 2040 ocorrerão 2x fura-
cões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x furacões, e assim
por diante. Baseado nesta suposição, determine, em
função de x, o número total de furacões que terão
ocorrido no período de 1971 a 2320.
53 Unicamp 2011 No mês corrente, uma empresa regis-
trou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de
R$800mil. A empresa estuda, agora, alternativas para
voltar a ter lucro.
) Primeiramente, assuma que a receita não variará
nos próximos meses, e que as despesas serão redu-
zidas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil Escreva a
expressão do termo geral da progressão aritmética
que fornece o valor da despesa em função de n,
o número de meses transcorridos, considerando
como mês inicial o corrente. Calcule em quantos
meses a despesa será menor que a receita.
) Suponha, agora, que a receita aumentará 10% a
cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma
progressão geométrica (PG) de razão 11/10. Nesse
caso, escreva a expressão do termo geral dessa PG
em função de n, o número de meses transcorridos,
considerando como mês inicial o corrente. Determi-
ne qual será a receita acumulada em 10 meses. Se
necessário, use 1, 1 1,21; 1, 1 1,33 e 1, 1 1,61.2 3 5= ≅ ≅
54 Fuvest 2019 Resolva os três itens abaixo.
) O primeiro termo de uma progressão geométrica de
razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule
a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
) Calcule a soma dos números inteiros positivos
menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c) A soma dos n primeiros termos de uma progres-
são aritmética é n(2n + 1), qualquer que seja n 1≥ .
Encontre o vigésimo termo dessa progressão
55 Unicamp 2018 Considere a sequência de números
reais (a1, a2, a3, a4, a5) tal que (a1, a2, a3) é uma pro-
gressão geométrica e (a3, a4, a5) é uma progressão
aritmética, ambas com a mesma razão w
) Determine a sequência no caso em que a3 = 3 e
w = 2
) Determine todas as sequências tais que a1 = 1 e
a5 = 8.
56 UFJF 2018 Sejam a1, a2, a3, a4 os quatros primeiros
termos de uma progressão geométrica de termos po-
sitivos, tais que a3, a4 e a4 - 7a3 + 16a2 são os três
primeiros termos de uma progressão aritmética, res-
pectivamente.
) Sabendo-se que a1 + a3 + a4 = 91, calcule a razão
e os quatros primeiros termos da progressão geo-
métrica.
) Calcule a soma do sexto até o décimo termo da
progressão geométrica.
57 Fuvest 2015 Um “alfabeto minimalista” é constituído
por apenas dois símbolos, representados por * e #.
Uma palavra de comprimento n, n 1≥ , é formada por n
escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por
exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é
uma palavra de comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,
) quantas palavras de comprimento menor do que
6 podem ser formadas?
) qual é o menor valor de N para o qual é possível
formar 1 000 000 de palavras de tamanho menor
ou igual a N?
58 Efomm 2018 (Adapt.) Resolvendo + + + +1 i i … i2 n, com
n = 4k + 1 e ∈k Z (números inteiros), obtemos
a in
b 1 + in+1
C 1
d 1 + i2
 1 + i
59 FGV-SP 2014
) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte pro
blema aos seus discípulos:
“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular
de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando
em linha reta até o centro. Em cada salto, avança
a metade do que avançou no salto anterior. No
primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos
chega ao centro?”
) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em rela
ção à situação do tem a:
“Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela
não chega ao centro.”
Justifique a afirmação.
60 EPCar 2016 Considere as expressões:
A 26 24 23 21 20 18 ... 5 3
2 2 2 2 2 2 2 2
= + + + + e
B 2 2 2 2 2...
4 8 16
= ⋅ ⋅ ⋅
O valor de
A
B
 é um número compreendido entre
a 117 e 120
b 114 e 117
C 111 e 114
d 108 e 111
61 Unesp 2015 Para cada n natural, seja o número
�   �  
( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K 3 3 3 ... 3 2 2 2 ... 2 .n
n vezes n vezes
Se n→+∞, para que valor se aproxima Kn?
F
R
E
N
T
E
 2
143
62 Unesp 2011 Divide-se, inicialmente, um quadrado de
lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, tra-
çando se dois pares de retas paralelas aos lados. Em
seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se
este processo de divisão, para os quadrados restan-
tes, n vezes.
Observe o processo para as duas primeiras divisões:
Quantos quadrados restarão após as n divisões su
cessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas
dos quadrados removidos, quando n cresce indeni-
damente?
63 Fuvest 2014 Considere o triângulo equilátero A OB
0 0
∆
de lado 7 cm.
a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A B0 0 , e B1 o
ponto simétrico de A1 em relação à reta determina-
da por O e B0, determine o comprimento de OB1 .
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora
como ponto de partida o triângulo A OB ,
1 1
∆ pode-
se obter o triângulo A OB
2 2
∆ tal que A2 é o ponto
médio do segmento AB
1 1
, e B2 o ponto simétrico
de A2 em relação à reta determinada por O e B1.
Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-
se o triângulo A OB .
3 3
∆ Assim, sucessivamente,
pode-se construir uma sequência de triângulos
A OB
n n
∆ tais que, para todo n 1≥ , An é o ponto
médio de A B
n n- -1 1 , e Bn, o ponto simétrico de An
em relação à reta determinada por O e B
n 1- , con
forme figura a seguir.
Denotando por an, para n 1≥ , o comprimento do
segmento A A
n n- 1 , verique que a1, a2, a3, ... é uma
progressão geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para
o comprimento da linha poligonal A0A1A2...An,n 1≥ .
64 EsPCEx 2017 A sequência (a1, a2, ..., a10), onde a
3
2
1
= ,
a
5
2
2
= , a 9
2
3
= , ..., a
1025
2
10
= é de tal forma que para
cada n 1, 2, , 10{ }∈ temos que a b cn n n= + , onde (b1,
b2, ..., b10) é uma PG com b 01 ≠ e de razão q 1≠ ± e (c1,
c2, ..., c10) é uma PA constante.
Podemos afirmar que a1 + a2 + ... + a10 é igual a
A 98
 172
C 260
d 516
E 1 028
65 Esc. Naval 2015 A soma dos três primeiros termos de
uma PG crescente vale 13 e a soma dos seus qua-
drados 91. Justapondo-se esses termos, obtém-se um
número de três algarismos. Pode-se afirmar que o res-
to da divisão desse número pelo inteiro 23 vale
A 1  4 C 8 d 9 E 11
66 ITA 2017 Sejam a, b, c, d R∈ Suponha que a, b, c, d
formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e
que a,
b
2
,
c
4
, d 140 formem, nesta ordem, uma pro
gressão aritmética. Então, o valor de d - b é
A -140.
 -120.
C 0.
d 120.
E 140.
67 ITA 2015 Seja (a1, a2, a3, ...) a sequência definida da se-
guinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an - 1 + an - 2 para n 3≥ .
Considere as afirmações a seguir:
I. Existem três termos consecutivos, ap, ap + 1, ap + 2,
que, nesta ordem, formam uma progressão geo-
métrica.
II. a7 é um número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então an é par.
É (são) verdadeira(s)
A apenas II
 apenas I e II
C apenas I e III
d apenas II e III
E I, II e III
68 IME 2013 Entre os números 3 e 192 insere-se igual
número de termos de uma progressão aritmética e de
uma progressão geométrica com razão r e q, respec
tivamente, onde r e q são números inteiros. O número
3 e o número 192 participam destas duas progres
sões. Sabe-se que o terceiro termo de 1
1
q
8
+



 , em
potências crescentesde
1
q
, é
r
9q
 O segundo termo
da progressão aritmética é
A 12  48 C 66 d 99 E 129
69 IME 2017 Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3,
a4, ) e uma progressão geométrica (b1, b2, b3, b4, )
de termos inteiros, de razão r e razão q, respectiva
mente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e
b1 > 0 Sabe-se, também, que a1 + b2 = 3, a4 + b3 = 26
O valor de b1 é:
A 1  2 C 3 d 4 E 5
MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas144
70 IME 2016 Sabendo-se que os números reais positi-
vos a, b e c formam uma progressão geométrica e
log
5c
a




, log
3b
5c




 e log
a
3b




 formam uma progressão
aritmética, ambas nessa ordem, então se pode afirmar
que a, b e c
A formam os lados de um triângulo obtusângulo.
b formam os lados de um triângulo acutângulo não
equilátero.
C formam os lados de um triângulo equilátero.
d formam os lados de um triângulo retângulo.
E não podem formar os lados de um triângulo.
71 ITA 2011 Considereaequaçãoalgébrica x a 0.
k 1
3
k
4 k( )∑ - =
=
-
Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2, a3)
é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6,
pode-se afirmar que
A a soma de todas as raízes é 5.
b o produto de todas as raízes é 21.
C a única raiz real é maior que zero.
d a soma das raízes não reais é 10.
E todas as raízes são reais.
72 IME Seja f (x) | 3 log(x) |= , x ∈ Sendo n um nú-
mero inteiro positivo, a desigualdade
f x f x( ) ( )
4
2
12
+ +
f x f x
n
n
( ) ( )4
36
2
3
9
4
3
1
+ + + + ≤- somente é possível se:
Obs.: log representa a função logarítmica na base 10.
A 0 x 106≤ ≤
b 10 x 106 8≤ ≤-
C 10 x 103 6≤ ≤
d 10 x 100 6≤ ≤
E 10 x 106 6≤ ≤-
73 ITA 2017 Sejam A = {1, 2, ..., 29, 30} o conjunto dos nú-
meros inteiros de 1 a 30 e (a1, a2, a3) uma progressão
geométrica crescente com elementos de A e razão
q > 1.
a) Determine todas as progressões geométricas (a1,
a2, a3) de razão q
3
2
= .
) Escreva q
m
n
= , com m,n∈ e mdc(m, n) = 1 De-
termine o maior valor possível para n
74 ITA 2015 Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números
reais que satisfazem às propriedades:
I. B, C, D, E são dois a dois distintos;
II. os números 1, B, C, e os números 1, C, E, estão,
nesta ordem, em progressão aritmética;
III. os números B, C, D, E, estão, nesta ordem, em
progressão geométrica.
Determine B, C, D, E
75 ITA A progressão geométrica infinita (a1, a2, ..., an, ...)
tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita
(a1, a6, ..., a5n + 1, ...) tem soma 8 e a progressão infinita
(a5, a10, ..., a5n, ...) tem soma 2. Determine a soma da
progressão infinita (a1, a2, , an, )
76 IME 2016 Os inteiros a1, a2, a3, ..., a25 estão em PA com
razão não nula. Os termos a1, a2 e a10 estão em PG,
assim como a6, aj e a25. Determine j.
77 IME 2019 Mostre que os números 16, 24 e 81 podem
pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de ter-
mos dessa PG, sabendo que seus elementos são
números naturais
78 IME 2018 Seja um cubo regular, onde os centros de
suas faces são vértices de um octaedro. Por sua vez,
os centros das faces deste octaedro formado são
vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente
octaedros e cubos infinitamente, determine a razão
da soma do volume de todos os poliedros inscritos
pelo volume do cubo inicial.
79 IME 2014 Calcular o valor da expressão abaixo
370370...037 11... 1 00...0
89 algarismos 30 algs"1" 30 algs"0"
3 �   �  
Obs.: algs algarismos=
80 IME 2012 O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo ter-
mos de uma Progressão Aritmética (PA) de números
inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Pro-
gressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r∈ ∗
(natural diferente de zero). Determine:
a) o menor valor possível para a razão r;
) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a con
dição do item a.