Tarefa Complementar - Progressão Geométrica

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Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Progressão Geométrica 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
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1. (Espm 2013) Para que a sequência ( 9, 5, 3)  se transforme 
numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus 
termos um certo número. Esse número é: 
a) par 
b) quadrado perfeito 
c) primo 
d) maior que 15 
e) não inteiro 
 
2. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é 
disputada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se 
mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério em 
vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas 
fases? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
3. (Mackenzie 2015) Se os números 3, A e B, nessa ordem, 
estão em progressão aritmética e os números 3, A 6 e B, nessa 
ordem, estão em progressão geométrica, então o valor de A é 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
 
4. (Uece 2016) Seja 1 2 3x , x , x , , uma progressão geométrica 
cuja razão é o número real positivo q. Se 5x 24q e 
5 6x x 90,  então, o termo 1x desta progressão é um número 
a) inteiro. 
b) racional maior do que 7,1. 
c) irracional maior do que 7,1. 
d) racional menor do que 7,0. 
 
5. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que 
quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. 
 
 
 
Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão 
q 1, então tan θ é igual a 
a) 1 q. 
b) q. 
c) 2q . 
d) q. 
 6. (Unicamp 2018) Considere a sequência de números reais 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) tal que 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão 
geométrica e 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, ambas com 
a mesma razão w. 
 
a) Determine a sequência no caso em que 3a 3 e w 2. 
b) Determine todas as sequências tais que 1a 1 e 5a 8. 
 
7. ( ifpe 2018) Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em 
seu primeiro vídeo, ele obteve apenas 5 inscritos em seu canal. 
Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, dobrar a 
quantidade de inscritos em seu canal. Se no primeiro mês ele postar 
10 vídeos e conseguir atingir a meta estabelecida, ao fim deste 
mês, seu canal terá 
a) 1.024 inscritos. 
b) 5.120 inscritos. 
c) 5.115 inscritos. 
d) 1.023 inscritos. 
e) 310 inscritos. 
 
8. ( ifal 2017) Sabendo que o primeiro termo de uma Progressão 
Geométrica é 1a 2 e a razão q 3, determine a soma dos 5 
primeiros termos dessa progressão: 
a) 80. 
b) 141. 
c) 160. 
d) 242. 
e) 322. 
 
9. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua 
trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 
0P , localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, 
até o ponto 3P , em r. Na figura, 1O, O e 2O são os centros das 
três primeiras semicircunferências traçadas e R, 
R
2
, 
R
4
seus 
respectivos raios. 
 
 
 
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida 
repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e 
o raio da n-ésima semicircunferência dados por nO e n n
R
R ,
2
 
respectivamente, até o ponto nP , também em r. Nessas 
condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em 
 
 
 
 
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função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a 
a) 
2
2 R.π  
b) 
3
2 R.π  
c) 
n
2 R.π  
d) 
7
R.
4
π
 
  
 
 
e) 2 R.π  
 
10. (Ufrgs 2017) Na figura abaixo, encontram-se representados 
quadrados de maneira que o maior quadrado 1(Q ) tem lado 1. O 
quadrado 2Q está construído com vértices nos pontos médios dos 
lados de 1Q ; o quadrado 3Q está construído com vértices nos 
pontos médios dos lados de 2Q e, assim, sucessiva e 
infinitamente. 
 
 
 
A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na 
figura é 
a) 
1
.
2
 
b) 
1
.
4
 
c) 
1
.
8
 
d) 
1
.
16
 
e) 
1
.
32
 
 
11. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que 
quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. 
 
 
 
 
 
Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão 
q 1, então tan θ é igual a 
a) 1 q. 
b) q. 
c) 2q . 
d) q. 
 
12. (Famema 2019) A progressão aritmética 1 2 3(a , a , a , ) tem 
razão 2 e os termos 1 2a , a e 5a formam, nesta ordem, uma 
progressão geométrica. A razão da progressão geométrica é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
13. (Udesc 2019) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo 
matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores 
de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu 
nascimento ele era composto apenas por um ponto, e após 40 
minutos duas hastes saíam deste ponto com um novo ponto. Após 
mais 40 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em 
cada, saíam de cada um dos pontos existentes e assim 
sucessivamente a cada 40 minutos. 
 
O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e 
vinte minutos do seu nascimento, era: 
a) 6561 
b) 255 
c) 2187 
d) 4347 
e) 64 
 
14. (Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que 
cada folha tem 0,1mm de espessura. A pilha é formada da 
seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada 
uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido 
colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura 
da pilha terá a ordem de grandeza 
a) da altura de um poste. 
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de 
Janeiro (RJ). 
e) do diâmetro da Terra. 
 
15. (Famerp 2021) O domínio da função f, dada pela lei 
x
f(x) 6 3 ,  é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 
6
3 729, a média aritmética de todos os elementos do conjunto 
imagem dessa função é igual a 
a) 1.092. 
b) 729. 
c) 970. 
d) 1.086. 
e) 1.458. 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (Unicamp 2021) Seja x um número real tal que os primeiros 
três termos de uma progressão geométrica infinita são 
1, 2x, 3x 1,  nesta ordem. Sabendo que todos os termos da 
progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a 
a) 3 2. 
b) 2. 
c) 5 2. 
d) 3. 
 
17. (Unicamp 2021) Considere que as medidas dos lados de um 
triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo a a 
medida do menor lado e A a área desse triângulo, é correto afirmar 
que 
a) 
2 2 5 2
A a .
4

 
b) 
2 2 5 2
A a .
4

 
c) 
2 2 5 2
A a .
2

 
d) 
2 2 5 2
A a .
2

 
 
 
Aprofundando 
 
1. (Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que 
cada folha tem 0,1mm de espessura. A pilha é formada da 
seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada 
uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido 
colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura 
da pilha terá a ordem de grandeza 
a) da altura de um poste. 
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de 
Janeiro (RJ). 
e) do diâmetro da Terra. 
 
2. (Enem 2018) Torneios de tênis, em geral, são disputados em 
sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas 
partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e 
promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª 
fase o torneio conta com 2n competidores, então na 2ª fase 
restarão n competidores, e assim sucessivamente até a partida 
final. 
 
Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128 
tenistas. 
Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidasnecessárias é dado por 
a) 2 128 
b) 64 32 16 8 4 2     
c) 128 64 32 16 16 8 4 2 1        
d) 128 64 32 16 16 8 4 2       
e) 64 32 16 8 4 2 1      
 
 
 
 
3. (Enem PPL 2016) O padrão internacional lSO 216 define os 
tamanhos de papel utilizados em quase todos os países, com 
exceção dos EUA e Canadá. O formato-base é uma folha retangular 
de papel, chamada de A0, cujas dimensões são 
84,1cm 118,9 cm. A partir de então, dobra-se a folha ao meio, 
sempre no lado maior, obtendo os demais formatos, conforme o 
número de dobraduras. Observe a 
figura: A1 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio uma vez, 
A2 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e 
assim sucessivamente. 
 
 
 
Quantas folhas de tamanho A8 são obtidas a partir de uma folha 
A0? 
a) 8 
b) 16 
c) 64 
d) 128 
e) 256 
 
4. (Pucsp 2016) Seja o triângulo equilátero 1T cujo lado mede 
x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de 1T , obtém-se um 
novo triângulo equilátero 2T ; unindo-se os pontos médios dos 
lados do triângulo 2T , obtém-se um novo triângulo equilátero 3T ; 
e, assim, sucessivamente. Nessas condições, se a área do triângulo 
9T é igual a 
225 3
cm ,
64
 então x é igual a: 
a) 640 
b) 520 
c) 440 
d) 320 
 
5. (Unicamp 2012) Para construir uma curva “floco de neve”, 
divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em 
seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-
se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o 
que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo 
procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como 
está ilustrado nas Figuras 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida 
na sexta figura é igual a 
a) 
6!
cm
4!3!
 
 
 
 
b) 
5!
cm
4!3!
 
 
 
 
c) 
5
4
cm
3
 
 
 
 
d) 
6
4
cm
3
 
 
 
 
 
6. (Udesc 2019) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo 
matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores 
de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu 
nascimento ele era composto apenas por um ponto, e após 40 
minutos duas hastes saíam deste ponto com um novo ponto. Após 
mais 40 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em cada, 
saíam de cada um dos pontos existentes e assim sucessivamente a 
cada 40 minutos. 
 
O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e 
vinte minutos do seu nascimento, era: 
a) 6561 
b) 255 
c) 2187 
d) 4347 
e) 64 
 
 
7. (Espm 2018) A sequência 
S (sen 60 , 1 sen 30 , 3 cos 30 )     é: 
a) uma PA de razão tg 30 . 
b) uma PG de razão sen 60 . 
c) uma PA de razão tg 45 . 
d) uma PA de razão 1 sen 60 .  
e) uma PG de razão tg 60 . 
 
8. (Uefs 2017) Se n 2 3(a ) (1, a , a , ) é uma progressão 
aritmética de razão 2 e n 2 3(b ) (2, b , b , 54, )  é uma 
progressão geométrica, então o valor de 8
14
b
a
 é 
a) 243 
b) 162 
c) 81 
d) 162 
e) 243 
 
9. (Famema 2017) Considere a progressão aritmética 
1 3 4 5(a , 4, a , a , a , 16, ) de razão r e a progressão geométrica 
1 2 3 4(b , b , b , b , 4, ) de razão q. Sabendo que 
r
6,
q
 o valor de 
9 3a b é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 15. 
e) 9. 
 10. (Fgv 2016) Três números formam uma progressão geométrica. 
A média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do segundo com o 
terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é 
igual a 
a) 18. 
b) 36. 
c) 39. 
d) 42. 
e) 48. 
 
11. ( ifsul 2016) Uma clínica de emagrecimento desafiou seus 
pacientes, um de cada vez, a perderem juntos, um total de 
1.023 kg. O primeiro paciente emagreceu 1 kg, o segundo 2 kg, 
o terceiro 4 kg, e assim sucessivamente. 
Quantos pacientes participaram do desafio? 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
 
12. (Espm 2016) Em uma PG estritamente crescente, o terceiro 
termo é 98 e o quinto termo é 4802. Se x é a soma dos dois 
primeiros termos dessa PG, então o valor de 8log x é: 
a) 
3
4
 
b) 
1
2
 
c) 
2
3
 
d) 
1
4
 
e) 
4
3
 
 
13. ( ifsul 2016) Os números que expressam o raio de uma 
circunferência, seu perímetro e a área do círculo delimitado por tal 
circunferência estão, nessa ordem, em progressão geométrica. 
Qual é o raio da circunferência? 
a) 2 
b) 4 
c) 2π 
d) 4π 
14. ( ifsul 2015) Dada a equação 
x x
x ... 16,
4 16
    o valor de 
x que a satisfaz é 
a) 12 
b) 16 
c) 24 
d) 36 
 
15. (Fuvest 2019) Resolva os três itens abaixo. 
 
a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão 
positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 
primeiros termos dessa progressão. 
b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 
112 e não divisíveis por 4. 
c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é 
n(2n 1), qualquer que seja n 1. Encontre o vigésimo termo 
dessa progressão. 
 
 
 
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 16. (Pucsp 2017) Considere a progressão aritmética 
2 3(3, a , a , ) crescente, de razão r, e a progressão geométrica 
1 2 3(b , b , b , 3, ) decrescente, de razão q, de modo que 3 3a b 
e r 3q. O valor de 2b é igual a 
a) 6a 
b) 7a 
c) 8a 
d) 9a 
 
17. (Unicamp 2016) Considere o triângulo exibido na figura 
abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e ângulos ,α β e 
.γ 
 
 
a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma progressão aritmética 
(PA). Determine a medida do ângulo .β 
b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica 
(PG) de razão q 2. Determine o valor de tan .β 
 
18. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por 
apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de 
comprimento n, n 1, é formada por n escolhas sucessivas de um 
desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de 
comprimento 1 e #* * # é uma palavra de comprimento 4. 
 
Usando esse alfabeto minimalista, 
a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser 
formadas? 
b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 
1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a N? 
 
19. (Ufrgs 2020) A figura a seguir é formada por quadrados de 
lados 1 2P P , 2 3P P , 3 4P P , e assim sucessivamente. 
A construção é tal que os pontos 1 2 3P , P , P , , B são colineares, e 
as bases dos quadrados têm medidas 1 2PP 1, 2 3
1
P P ,
2
 
3 4
1
P P
4
 e assim por diante. O ponto A é vértice do quadrado de 
lado 1 2P P , como representado na figura abaixo. 
 
 
A medida do segmento AB é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 5. 
 
20. (Famerp 2020) José deseja fazer uma poupança mensal durante 
10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em relação ao valor 
poupado no mês anterior. Adotando 
120
1,005 1,819 em seu 
cálculo final, se José começar sua poupança depositando 
R$ 100,00 no primeiro mês, ao final do último mês de depósito 
ele terá depositado um total de 
a) R$ 69.600,00. 
b) R$ 6.645,00. 
c) R$ 32.760,00. 
d) R$ 16.380,00. 
e) R$ 6.500,00. 
 
21. (Famema 2020) A progressão geométrica 1 2 3(a , a , a , ) tem 
primeiro termo 1
3
a
8
 e razão 5. A progressão geométrica 
1 2 3(b , b , b , ) tem razão 
5
.
2
 Se 5 4a b , então 1b é igual a 
a) 
25
4
 
b) 5 
c) 
3
20
 
d) 15 
e) 
9
2
 
 
22. (Udesc 2019) Sendo ABC um triângulo equilátero, analise as 
sentenças. 
 
I. Se as medidas da área, da altura e do lado de ABC formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética, então a medido do seu 
perímetro é igual a 12 4 3 u.c. 
II. Se as medidas da área,da altura e do lado de ABC formam, 
nessa ordem, uma progressão geométrica, então a medida do seu 
perímetro é igual a 3 3 u.c. 
III. Se as medidas da área, da altura e do lado de ABC formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética, então a razão dessa 
progressão é 
18 10 3
.
3

 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas a sentença III é verdadeira. 
b) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras. 
c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. 
d) Apenas a sentença I é verdadeira. 
e) Todas as sentenças são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23. (Fuvest 2019) Resolva os três itens abaixo. 
 
a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão 
positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 
primeiros termos dessa progressão. 
b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 
112 e não divisíveis por 4. 
c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é 
n(2n 1), qualquer que seja n 1. Encontre o vigésimo termo 
dessa progressão. 
 
24. ( ifce 2019) Numa progressão geométrica, o segundo e o 
sétimo termos valem, respectivamente, 32 e 243. 
 
Nessa progressão, o quarto termo é o número 
a) 64. 
b) 72. 
c) 56. 
d) 48. 
e) 36. 
 
25. (Enem 2020) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius 
Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, 
com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição 
infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho 
de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma 
sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os 
outros, conforme indicado na figura. 
 
 
 
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O 
segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio 
da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo 
lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de 
construção se repete recursivamente. 
 
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de 
acordo com esse padrão? 
a) 
100
1
2
 
 
 
 
b) 
99
1
2
 
 
 
 
c) 
97
1
2
 
 
 
 
d) 
98
1
2

 
 
 
 
e) 
99
1
2

 
 
 
 
 26. (Uece 2020) Se S 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 ,      
então, o valor do logaritmo de S na base 2 é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 1. 
d) 4. 
 
27. (Ueg 2020) Em um experimento com uma colônia de bactérias, 
verificou-se que uma bactéria se divide em duas a cada hora. 
Nessas condições, o número de bactérias originadas de uma só 
bactéria dessa colônia, depois de 12 horas, será 
a) 4096 
b) 8192 
c) 1048 
d) 3096 
e) 2048 
 
28. (Ufms 2020) A figura a seguir foi construída a partir de um 
quadrado menor, de lado igual a 3 cm, até chegar ao quadrado 
maior, que está inscrito em uma circunferência de diâmetro D. 
 
A relação entre as áreas dos quadrados e o valor de D, 
respectivamente, estão em uma progressão: 
a) geométrica de razão 2 cm e D 4 6 cm. 
b) aritmética de razão 2 cm e D 4 6 cm. 
c) geométrica de razão 2 cm e D 8 3 cm. 
d) aritmética de razão 2 cm e D 8 3 cm. 
e) geométrica de razão 2 cm e D 8 3 cm. 
 
29. (Fac. Pequeno Príncipe - Medici 2020) Um aluno curioso 
resolveu criar uma espiral usando semicírculos em um processo 
infinito da seguinte forma: ele começa com uma semicircunferência 
centrada na origem de raio 1 no hemisfério sul do plano cartesiano, 
depois conecta o ponto (1, 0) com uma semicircunferência de raio 
1 2 no hemisfério norte do plano, em seguida, conecta no ponto 
(0, 0) uma semicircunferência de raio 1 4 no hemisfério sul do 
plano e assim por diante, fazendo o raio de cada semicircunferência 
construída ser metade do raio da semicircunferência da etapa 
anterior no processo. As primeiras etapas do processo podem ser 
vistas na figura abaixo. 
 
 
 
 
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É CORRETO afirmar que o comprimento total dessa espiral 
infinita é 
a) π 
b) 2π 
c) 4π 
d) 7 4π 
e) 15 8π 
 
GABARITO: 
 
Resposta da questão 1:[C] 
Seja x o número procurado. 
 
Temos 
 
2 2 2
( 5 x) ( 9 x) (3 x) 25 10x x 27 6x x
x 13,
             
 
 
ou seja, um primo ímpar menor do que 15. 
 
Resposta da questão 2: [B] 
O número de times em cada fase corresponde aos termos da 
progressão geométrica (64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de 
fases pedido, temos: 
 
n 1
1 n 51
2 64 2 2 n 6.
2

  
      
 
 
 
Resposta da questão 3: [B] 
Se (3, A, B) é uma progressão aritmética, então 2A 3 B,  ou 
seja, B 2A 3.  Por outro lado, se (3, A 6, B) é uma 
progressão geométrica, então 2(A 6) 3B.  Logo, segue que 
2
A 18A 45 0,   implicando em A 3 ou A 15. 
 
Resposta da questão 4: [B] 
Desde que 5x 24q e q ,

 temos 
 
2
5 6
2
x x 90 24q 24q 90
(2q 1) 16
3
q .
2
    
  
 
 
 
Em consequência, vem 
 
4
1 1 3
24 64
x q 24q x .
93
2
   
 
 
 
 
 
Portanto, como 
64 640 639 71
7,1,
9 90 90 10
    segue o resultado. 
Resposta da questão 5: [A] 
Tem-se que 
2 3
(a, b, c, d) (a, aq, aq , aq ). 
 
Logo, vem 
2
3
2
2
c a
tg
d b
aq a
aq aq
a(q 1)
aq(q 1)
1
.
q
θ










 
 
Resposta da questão 6: 
 a) Se 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão geométrica, 3a 3 e w 2, 
então 
1 2 3 2
3 3 3 3
(a , a , a ) , , 3 , , 3 .
2 4 22
   
    
  
 
 
Ademais, se 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, então 
3 4 5(a , a , a ) (3, 3 2, 3 2 2) (3, 5, 7).     
 
Portanto, temos 
1 2 3 4 5
3 3
(a , a , a , a , a ) , , 3, 5, 7 .
4 2
 
  
 
 
 
b) Se 1a 1, então 
 2 2 21 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) 1, w, w , w w, w 2w .   
 
Mas 5a 8 e, portanto, vem 
2 2
w 2w 8 (w 1) 9
w 1 3
w 4 ou w 2.
    
   
   
 
 
Em consequência, temos 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 4, 16, 12, 8)  
 
ou 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 2, 4, 6, 8). 
 
Resposta da questão 7: [C] 
O número de inscritos no canal de Dudu cresce em Progressão 
Geométrica de razão 2. 
Para solucionar a questão devemos considerar a soma dos 10 
primeiros termos das P.G. abaixo: 
(5, 10, 20, 40, 80, ) 
 10
10
5 2 1
S 5115
2 1
 
 

 inscritos. 
 
Resposta da questão 8:[D] 
Seja 
n
n 1
(q 1)
S a
q 1

 

 a soma finita dos termos de uma PG onde 
q é razão, e 1a o primeiro termo. 
5 5
5
(3 1) (3 1) 2 242
S 2 2 242
3 1 3 1 2
  
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 8 de 12 
Resposta da questão 9: [E] 
Seja nC o comprimento da trajetória. 
 
Temos 
n n
R R R
C R ,
2 4 2
π π π π          
que corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica 
infinita. 
 
Portanto, 
 
n
n
R
lim C 2 R.
1
1
2
π
π


   

 
Resposta da questão 10: [B] 
A área de cada quadrado, a partir do segundo, é metade da área do 
quadrado anterior. Portanto, as áreas dos triângulos retângulos 
assinalados formam um PG infinita de razão 
1
.
2
 
 
A sequência 1 2 3A , A , A , é uma PG infinita de razão 
1
.
2
 
 
Calculando a área 1A , temos: 
1
1 1
12 2A
2 8

  
 
Portanto, a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos será 
dada por: 
1 2 3 4S A A A A
1
1 1 1 1 18S ...
18 16 32 64 4
1
2
    
     

 
 
Resposta da questão 11: [A] 
Tem-se que 
2 3
(a, b, c, d) (a, aq, aq , aq ). 
 
Logo, vem 
2
3
2
2
c a
tg
d b
aq a
aq aq
a(q 1)
aq(q 1)
1
.
q
θ










 
Resposta da questão 12: [E] 
Calculando: 
 
   
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
PG a ; a 2 ; a 8
a 2 a a 8 a 4a 4 a 8a a 1
PG 1; 3; 9 q 3
  
          
  
 
 
Resposta da questão 13: [A] 
5h20min 320min
320
8 períodos de 40 minutos cada.
40

Temos então, que a soma de todos os pontos formados, obedecendo 
às condições do problema, é: 
S 1 2 6 18 54 162 486 1458        
 
Considerando que, a partir da segunda parcela, existe uma P.G., 
temos: 
8
2 (3 1)
S 1 6561
3 1
 
  

 
 
Resposta da questão 14: [D] 
O número de folhas na pilha, após n operações, constitui a 
progressão geométrica n 1(1, 2, 4, 8,16, , 2 , ).
 Logo, tomando 
a aproximação 
10 3
2 10 , após 33 operações, segue que a altura 
da pilha será igual a 
32 1 2 30 1
10 3 1
3 3 1
8
2 10 2 2 10
4 (2 ) 10
4 (10 ) 10
4 10 mm
400km.
 


   
  
  
 

 
 
Tal altura é da ordem de grandeza da distância da cidade de São 
Paulo à cidade do Rio de Janeiro. 
 
Resposta da questão 15: [A] 
Tem-se que a sequência 
2 3 4 5 6
(f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6)) (6 3, 6 3 , 6 3 , 6 3 , 6 3 , 6 3 )       
 
é uma progressão geométrica de primeiro termo 6 3 e razão 3. 
O resultado pedido corresponde à sexta parte da soma dos termos 
da progressão geométrica acima, ou seja, 
6
1 3 1 729 1
6 3 3
6 3 1 2
1092.
 
    


 
 
Resposta da questão 16: [B] 
Se todos os termos da progressão são positivos, então 2x 0 e 
3x 1 0   implicam em 
1
0 x .
3
  Logo, vem 
2 2
(2x) 1 ( 3x 1) 4x 3x 1 0
1
x .
4
       
 
 
Portanto, temos 
n 1
1 1 1
(1, 2x, 3x 1, ) 1, , , , , ,
2 4 2

 
    
 
 
com n . 
 
 
 
Página 9 de 12 
Como o primeiro termo é 1 e a razão é 
1
,
2
 encontramos 
n
j 1n
j 1
1 1
lim 2.
12 1
2


 

 
Resposta da questão 17: [A] 
Sejam a, aq e 2aq as medidas dos lados do triângulo, com a 0 
e q 1. Pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2 2 2 4 2
2
2
(aq ) a (aq) a (q q 1) 0
1 5
q
2 4
2 5 2
q .
2
      
 
   
 

 
 
Em consequência, se a área do triângulo é A, então 
2
2
a aq
A
2
a 2 5 2
2 2
2 5 2
a .
4



 

 
 
 
Aprofundando 
 
Resposta da questão 1: [D] 
O número de folhas na pilha, após n operações, constitui a 
progressão geométrica n 1(1, 2, 4, 8,16, , 2 , ).
 Logo, tomando 
a aproximação 
10 3
2 10 , após 33 operações, segue que a altura 
da pilha será igual a 
32 1 2 30 1
10 3 1
3 3 1
8
2 10 2 2 10
4 (2 ) 10
4 (10 ) 10
4 10 mm
400km.
 


   
  
  
 

 
 
Tal altura é da ordem de grandeza da distância da cidade de São 
Paulo à cidade do Rio de Janeiro. 
 
Resposta da questão 2: [E] 
O número de partidas disputadas decresce segundo uma progressão 
geométrica de primeiro termo 
128
64
2
 e razão 
1
.
2
 Por 
conseguinte, a resposta é 64 32 16 8 4 2 1.      
 
Resposta da questão 3: [E] 
Calculando: 
8 1 7
A1 2
A2 4 PG com q 2
A3 8
A8 A1 q 2 2 256


  

    
 
 
 
 
Resposta da questão 4: [D] 
De acordo com o texto os lados dos triângulos formados formam 
uma PG de razão 
1
.
2
 
 
 
 
2 3
x x x
x, , , ,
2 2 2
 
 
Logo, a medida do lado do nono triângulo será dada por : 
9 1
9 8
1 x
a x
2 2

 
   
 
 
 
Portanto, a área do nono triângulo será dada por: 
2 2
8 8 8
x 3 25 3 x 100 x 5
x 320
4 64 64 42 2 2
   
          
   
 
 
Resposta da questão 5: [C] 
 
 
Os comprimentos das figuras formam uma P.G. de razão 4/3. Logo, 
o comprimento da sexta figura será dado por: 
5 5
6
4 4
a 1.
3 3
   
    
   
. 
 
Resposta da questão 6: [A] 
5h20min 320min
320
8 períodos de 40 minutos cada.
40


 
 
Temos então, que a soma de todos os pontos formados, obedecendo 
às condições do problema, é: 
S 1 2 6 18 54 162 486 1458        
 
Considerando que, a partir da segunda parcela, existe uma P.G., 
temos: 
8
2 (3 1)
S 1 6561
3 1
 
  

 
 
Resposta da questão 7:[E] 
 
 S sen60 , 1 sen30 , 3cos30
3 3 3 3
S , ,
2 2 2
    
 
   
 
 
 
Note que: 
3
2 3
3
2
 e 
3 3
2 3
3
2
 
 
Assim, S é uma PG de razão 3 tg60 .  
 
 
 
Página 10 de 12 
Resposta da questão 8: [D] 
14 1 14 14
3 3 3
4 1
7 7 7
8 1 8
a a 13 r a 1 13 2 a 27
b b q 54 2 q q 27 q 3
b b q b 2 ( 3) 2 3
        
           
        
 
 
Portanto: 
7 7
48
3
14
b 2 3 2 3
2 3 162
a 27 3
   
       
 
Resposta da questão 9: [E] 
Considerando a P.A, temos: 
6 2a a 4 r 16 4 4 r 4 r 12 r 3            
 
Portanto, 
9 6 9 9a a 3 r a 16 3 3 a 25         
 
Considerando que r 3, temos: 
3 1
6 q
q 2
   
 
Considerando agora a P.G., temos: 
2
2
5 3 3 3
1
b b q 4 b b 16
2
 
       
 
 
 
Portanto: 
9 3a b 25 16 9.    
 
Resposta da questão 10: [C] 
 
 
   
  2 2
a
PG , a, aq
q
a
a
a 1q
6 a 12 a 1 12 36 1
2 q q 1 12
1 q q
a aq 36
18 a 1 q 36 a
2 1 q
36 1 36 36 36 36q
1 12 12 12
1 q q 1 q q 1 q 1 q q
q' 3
36 36q 12q 1 q 12q 24q 36 0 q 2q 3 0
q'' 1 (não con
 
  
 

 
          
      
  

      

  
        
      

             
 
 
vém)
36
a a 9
1 4
PG 3, 9, 27 Soma 3 9 27 39
  

     
 
 
Resposta da questão 11: [C] 
Considerando que se perdeu peso em progressão geométrica de 
razão (q) dois e soma 1023 temos: 
n n
n
1
n n 10
q 1 2 1
S a 1023 1 1023 2 1
q 1 2 1
2 1024 2 2 n 10
 
       
 
    
 
 
Resposta da questão 12: [E] 
Sendo q 0 a razão da progressão geométrica, 3a 98 e 
5a 4802, temos 
2 2
5 3
2
4802
a a q q
98
q 49
q 7.
   
 
 
 
Logo, vem 
2 2
3 1 1 1a a q 98 a 7 a 2.       
 
Em consequência, encontramos 
1 2x a a 2 2 7 16.      
 
A resposta é 
3
4
8 22
1 4
log 16 log 2 4 log 2 .
3 3
     
Resposta da questão 13: [D] 
Calculando: 
   
 
2 2
1 1 1
22 2
PG a ,a q,a q R,2 R, R
q 2
q 2 R 4 R R 4
π π
π
π π π π π
 

     
 
 
Resposta da questão 14:[A] 
A equação é uma progressão geométrica de razão 1q .
4
 Sabe-se, 
pelo enunciado, que a soma de todos os termos dessa PG é 16, e 
que ela é infinita. Assim, pode-se escrever: 
1a x 4x 4xS 16 16 x 12
11 q 3 31
4
        
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 a) Se 1a 5 e 3a 45, então 
2
45 5 q q 3,    
 
em que q é a razão da progressão geométrica. 
 
A resposta é 
6
6
3 1
S 5 1820.
3 1

  

 
 
b) A soma dos números inteiros positivos menores do que 112 é 
1 111
111 6216.
2
 
  
 
 
 
O número, n, de múltiplos positivos de 4 menores do que 
112 é dado por 
108 4 (n 1) 4 n 27.      
 
Logo, segue que a soma dos múltiplos de 4 menores do que 
112 é 
4 108
27 1512.
2
 
  
 
 
 
A resposta é, portanto, 6216 1512 4704.  
 
c) Se nS n(2n 1),  então 
20 19 20 20
20
S S a 20 (2 20 1) 19 (2 19 1) a
a 79.
          
 
 
 
A resposta é 20a 79. 
 
 
 
 
 
 
Página 11 de 12 
Resposta da questão 16: [B] 
Calculando: 
 
2 3
1 2 3 3 2
3 3
2
PA (3, a , a , ) (3, 3 r, 3 2r, )
3 3 3PG (b , b , b , 3, ) , , , 3,
qq q
a b ; r 3q
q' 1 (não convém)
3 3
3 2r 3 2 3q 2q q 1 31q q q'' r 3q
2 2
   
 
   
 
 
 
         
   
 
Logo, 
 
2
7
PG (24, 12, 6, 3, ) b 12
9 15 21PA 3, , 6, , 9, , 12 a 12
2 2 2
  
  
 
 
Resposta da questão 17: 
 a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus termos será 180, 
pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 
180 . Assim, pode-se escrever: 
 
PA ( , , ) ( r, , r)
r r 3
S 180 180 3 60
2
α β γ β β β
β β
β β
   
   
      
 
 
b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-se escrever: 
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)  
 
Pela lei dos cossenos, tem-se: 
   
2 22 2 2 2 3
a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos
4
β β β           
 
Pela relação fundamental: 
2 2 2 29 7 7
sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4
β β β β β
 
         
 
 
 
Por fim, calculando a tangente: 
7
sen 7 4 74tg tg
3cos 4 3 3
4
β
β β
β
      
Resposta da questão 18: 
 a) palavras com uma letra: 2 
palavras com duas letras: 22 
palavras com três letras: 23 
 
E assim sucessivamente. 
 
Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 
será dado por: 
2 4 9 16 32 62.     
 
b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma 
P.G, temos: 
 N
6
N 1 6
N 1 6
N 1
2 2 1
10
2 1
2 2 10
2 10 2
2 1000002



 


 
 

 
 
20
19
2 1024 1024 1000002
2 512 1024 1000002
Logo, N 1 20 N 19.
  
  
   
 
 
Resposta da questão 19: [E] 
As medidas dos lados dos quadrados constituem a progressão 
geométrica 
1 1
1, , , .
2 4
 
 
 
 Logo, temos 
1 n
n
P B lim S
1
1
1
2
2.





 
 
Tomando o triângulo 1AP B, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2 2 2 2
1 1AB AP P B AB 1 2
AB 5.
    
 
 
 
Resposta da questão 20: [D] 
Os depósitos mensais constituem a progressão geométrica 
2 119(100;100 1,005;100 (1,005) ; ; 100 (1,005) ).   
 
Queremos calcular a soma dos termos dessa progressão geométrica. 
Portanto, segue que a resposta é 
120
(1,005) 1 1,819 1
100 100
1,005 1 0,005
R$ 16.380,00.
 
  


 
 
Resposta da questão 21: [D] 
Tem-se que 
3
4
5 4 1
3
4
1 3
1
3 5
a b 5 b
8 2
3 5
5 b
8 2
b 15.
 
      
 
   
 
 
 
Resposta da questão 22: [E] 
Lado do triângulo equilátero: a 
Altura do triângulo equilátero: 
a 3
2

 
Área do triângulo equilátero: 
2
a 3
4

 
 
[I] Verdadeira. Considerando a sequência: 
2
a 3 a 3
, , a
4 2
  
 
 
 
 uma P.A., temos: 
2
2
a 3
a
a 3 12 4 34 a 3 4a 3 4a 0 a
2 2 3


 
        
 
Portanto, o perímetro do triângulo será dado por P 12 4 3.  
 
 
 
 
 
 
Página 12 de 12 
[II] Verdadeira. 
2
a 3 a 3
, , a
4 2
  
 
 
 
 uma P.G., temos: 
2 2
2 3a 3 a 3
a a 3 a 3 a 3
2 4
  
        
 
 
 
Portanto, o perímetro do triângulo será dado por P 3 3 
 
[III] Verdadeira. Aproveitando o lado obtido no item [I], temos: 
r : razão da P.A. 
   a 2 3 2 3a 3 12 4 3 18 10 3
r a
2 2 3 2 3
   
      
 
Resposta da questão 23: 
 a) Se 1a 5 e 3a 45, então 
2
45 5 q q 3,    
 
em que q é a razão da progressão geométrica. 
 
A resposta é 
6
6
3 1
S 5 1820.
3 1

  

 
 
b) A soma dos números inteiros positivos menores do que 112 é 
1 111
111 6216.
2
 
  
 
 
 
O número, n, de múltiplos positivos de 4 menores do que 
112 é dado por 
108 4 (n 1) 4 n 27.      
 
Logo, segue que a soma dos múltiplos de 4 menores do que 
112 é 
4 108
27 1512.
2
 
  
 
 
 
A resposta é, portanto, 6216 1512 4704.  
 
c) Se nS n(2n 1),  então 
20 19 20 20
20
S S a 20 (2 20 1) 19 (2 19 1) a
a 79.
          
 
 
 
A resposta é 20a 79. 
 
Resposta da questão 24: [B] 
Calculando a razão q da P.G., obtemos: 
5 5 5
7 2
243 3
a a q 243 32 q q q
32 2
         
 
O próximo passo será calcular o quarto termo: 
2
2
4 2 4 4
3
a a q a 32 a 72
2
 
       
 
 
 
 
 
Resposta da questão 25: [B] 
Os lados dos quadrados constituem a progressão geométrica 
n 1
1 1 1
1, , , , , .
2 4 2
  
  
  
 Portanto, a resposta é 
100 1 99
1 1
.
2 2

   
   
   
 
 
Resposta da questão 26: [C] 
Tem-se que 
2 3 4
1 1 1 1
S 1
2 4 8 16
1 1 1 1
1
2 2 2 2
1
1
1
2
2.
     
     



 
 
Portanto, vem 
2 2log S log 2 1.  
 
Resposta da questão 27: [A] 
O número de bactérias a cada hora cresce segundo uma progressão 
geométrica de primeiro termo igual a 2 e razão também igual a 2. 
Desse modo, a resposta é 1112a 2 2 4096.   
 
Resposta da questão 28: [E] 
Seja i a medida do lado do quadrado i. Tem-se que 
1
2 1
2
3 2
5
6 5
3,
2 3 2
2 3 ( 2)
2 3 ( 2) .

  
  
  
 
 
Portanto, as áreas dos quadrados constituem a progressão 
geométrica 
2 2 2 2 5 2
(( 3) , ( 3 2) , ( 3 ( 2) ) , , ( 3 ( 2) ) ) (3, 6,12, , 96),    
 
cuja razão é igual a 2cm. 
O diâmetro D corresponde à diagonal do quadrado 6 . Logo, vem 
6
5
D 2
3 ( 2) 2
8 3 cm.

  

 
 
Resposta da questão 29: [B] 
Os comprimentos das semicircunferências constituem a progressão 
geométrica 
, , , .
2 4
π π
π
 
 
 
 
 
Logo, como a razão dessa progressão é 
1
,
2
 segue que a resposta é 
2 .
1
1
2
π
π
