Progressão Geométrica

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
Definição: É uma sequência de números não nulos em 
que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual 
ao anterior multiplicado por um número fixo 
denominado razão da progressão, na qual indicaremos 
pela letra q. 
 
Exemplos: 
1) (1, 2, 4, 8, ...), é uma P.G. de razão q = 2. 
2) (64, 16, 4, 1, ...), é P.G. de razão q = 
4
1
. 
3) (2, 2, 2, 2, ...), é uma P.G. de razão q = 1. 
4) (-3, 9, -27, 81, ...), é uma P.G. de razão q = -3. 
5) (3, 0, 0, 0, ...), é uma P.G. de razão indeterminada, 
pois qualquer valor q satisfaz as condições da 
definição. 
 
Fórmula do termo geral de uma P.G. 
 
an = a1 . qn – 1 
 
 
Através dessa fórmula podemos calcular an, a1, n ou q, 
uma vez conhecidos três desses quatro valores. 
 
Notações especiais 
 
• PG com 3 termos 








xqx
q
x
,, 
 
• PG com 4 termos 
23
3
;,,, kqxkxk
k
x
k
x
=





 
 
• PG com 5 termos 








2
2
,,,, xqxqx
q
x
q
x
 
 
• ( )edcba ,,,, 
aecoubdc == 22 
 
• kn
kn qaa −= . 
 
Interpolando meios geométricos 
 
Interpolar meios geométricos é o mesmo que inserir 
termos entre dois números dados, de maneira que se 
obtenha uma P.G. 
 
Fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita 
 
Sn = 
( )
1 - 
q . a n
1
q
1−
 
 
Para q = 1, a P.G. é constante (a1, a1, a1, a1, ..., a1) e, 
daí, é imediato que: 
 
Sn = n . a1 
Fórmula da soma dos termos infinitos de uma P.G. 
 
Só é possível calcular a soma de infinitos termos de 
uma P.G. se a razão entre esses termos estiver 
compreendida entre -1 e 1. 
Com isso, temos: 
 
Sn = 
q - 1
 a1
 
 
 
Fórmula do Produto dos n Primeiros Termos da 
P.G. 
 
Dada uma PG, é possível calcular o produto dos n 
primeiros termos da seguinte maneira: 
 
n(n 1)
n 2
n 1P a .q
−
= 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2000) As sequências ( )y,3,x e ( )x,5,y são, 
respectivamente, progressões aritmética e geométrica. 
Se a progressão aritmética é crescente, a razão da 
progressão geométrica é: 
a)
5
5
 
b) 
5
52
 
c) 5 
d) 52 
 
2. (EEAr - 2000) Sejam a, b e c termos consecutivos de 
uma PG, todos positivos. Se cba  e 1ma −= , 
5mb += e 1m11c −= , então o valor de “ cba ++ ” é 
a) 40 
b) 42 
c) 44 
d) 46 
 
3. (EEAr – 2001) O valor de mercado de um automóvel 
é alterado a cada mês com um acréscimo de 1% em 
relação ao mês anterior. A sequência de valores do 
automóvel, a cada mês, forma uma progressão: 
a) aritmética de razão 0,1. 
b) aritmética de razão 0,01. 
c) geométrica de razão 1,1. 
d) geométrica de razão 1,01. 
 
4. (EEAr – 2001) Numa progressão geométrica de 6 
termos positivos, a soma de a2 e a4 é 6, e a soma de a4 
e a6 é 12. A razão da P.G. é 
a) 2 
b) 2 
c) - 2 
d) -2 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
5. (EEAr – 2001) Tanto numa P.A. quanto numa P.G., 
os números 3 e 243 são, respectivamente, a razão e o 
6.º termo. O produto do 1.º termo da P.G. pelo 3.º termo 
da P.A. é 
a) 702 
b) 693 
c) 234 
d) 231 
 
6. (EEAr - 2001) A soma dos termos de uma PG 
crescente de três termos positivos é 21 e a diferença 
entre os extremos, 15. A razão dessa PG é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
7. (EEAr - 2002) Sabe-se que a seqüência ( )10;y;x é 
uma P.A. e a sequência 







+ 4x3;2;
y
1
 é uma P.G. 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) a razão da P.A. é 2. 
b) a razão da P.G. é 26. 
c) 0yx =+ . 
d) 16yx −= . 
 
8. (EEAr - 2002) Se em uma P.G. de três termos reais 
o produto e a soma dos termos são, respectivamente, 
216 e 26, então a soma dos dois primeiros termos 
dessa P.G., quando decrescente, é 
a) 24 
b) 20 
c) 18 
d) 8 
 
9. (EEAr - 2003) A solução da equação 
2...xxxx1 432 =+++++ é 
a) 
2
3
 
b) 
2
1
 
c) 1− 
d) indeterminada 
 
10. (EEAr - 2003) Na progressão geométrica onde o 
primeiro termo é m3, o último é (-m21) e a razão é (-m2), 
o número de termos é 
a) 8. 
b) 9. 
c) 11. 
d) 10 
 
11. (EEAr - 2003) A soma 100099932 22...2221 ++++++ 
é igual a 
a) 110002 − 
b) 110012 − 
c) 110002 + 
d) 110012 + 
 
12. (EEAr - 2004) Uma P.G. de razão 3 tem cinco 
termos. Se o último termo é 9 3 , então o primeiro é: 
a) 3 . 
b) 5 3 . 
c) 3. 
d)
3
1
 . 
 
13. (EEAr - 2004) Na P.G. (y, 2y + 2, 3y + 3, ...), o 4.º 
termo, que é diferente de zero, vale: 
a) 2. 
b)
2
3
. 
c) – 4. 
d) 
2
27
− 
 
14. (EEAr - 2005) Numa P.G., onde o 1.º termo é 3, a 
soma dos três primeiros termos é 21. Se a soma dos 
quatro primeiros termos é 45, o quinto termo é: 
a) 51. 
b) 50. 
c) 49. 
d) 48. 
 
15. (EEAr - 2005) A soma dos infinitos termos P.G. 








...,
3
3
,
2
3
é 
a) 
2
3
 
b) 
3
2
 
c) 
3
32
 
d) 
2
33
 
 
16. (EEAr - 2007) A soma dos n primeiros termos de 
uma P.G. (1, -2, 4, -8, ...) é -85. Logo, n é um número 
múltiplo de: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
17. (EEAr - 2009) O 4º termo de uma P.G. é -80, e o 
6º termo é -320. Se essa P.G. é alternante, então sua 
razão é 
a) 4 
b) 3 
c) -1 
d) -2 
 
18. (EEAr - 2009) Quatro números naturais formam 
uma PG crescente. Se a soma dos dois primeiros é 12, 
e dos dois últimos é 300, então a razão da PG é: 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 2 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
19. (EEAr - 2010) Calculando a soma dos termos da 
PG 





,...
3
2
,2,6 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
 
20. (EEAr – 2010) Seja a PG (a, b, c). Se a + b + c = 
6
7
, e a.b.c = -1, então o valor de a + c é 
a) 8 
b) 12 
c) 
6
5
 
d) 
6
13
 
 
21. (EEAr - 2011) Sejam as sequências 
S1 = (1, 5, 25, 125, ...) e S2 = (4, 7, 10, 13, ...). A razão 
entre o 6º termo de S1 e o 8º de S2 é 
a) 150 
b) 125 
c) 100 
d) 75 
 
22. (EEAr - 2012) Se a sequência (x, 3x + 2, 10x + 12) 
é uma PG de termos não nulos, então x2 é 
a) 1 
b) 4 
c) 9 
d) 16 
 
23. (EEAr - 2014) Em uma PG de razão 6, o quarto 
termo é 48. Assim, o primeiro termo é 
a) 2 
b) 3 
c) 
6
1
 
d) 
9
2
 
 
24. (EEAr - 2016) Quatro números estão dispostos de 
forma tal que constituem uma PG finita. O terceiro 
termo é igual a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, 
o produto de a1.a4 vale 
a) 10 
b) 250 
c) 500 
d) 1250 
 
25. (EEAr - 2017) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, ...) uma PG de 
termos não nulos. Se 2(a2 + a4) = a3 + a5, pode-se 
afirmar corretamente que a razão dessa PG é 
a) 4 
b) 2 
c) 
2
1
 
d) 2 
 
 
26. (EEAr – 2018) O 6º termo da sequência 
2, 8, 32, 128, ... é um número cuja soma dos algarismos 
é 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
 
27. (EEAr – 2018) Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ...) de razão 
q = 2. Se a1 + a5 = 272, o valor de a1 é 
a) 8 
b) 6 
c) 18 
d) 16 
 
28. (EEAr – 2019) Considere que o número de células 
de um embrião, contadas diariamente desde o dia da 
fecundação do óvulo até o 30° dia de gestação, forma 
a sequência: 1, 2, 4, 8, 16... 
A função que mostra o número de células, conforme o 
número de dias x, é f: {x  IN; 1 ≤ x ≤ 30} → IN; 
f(x) = 
a) 2x - 1 
b) 2x – 1 
c) 2x – 1 
d) x2 – 1 
 
29. (EEAr - 2019) Dada a equação 
20x + 10x + 5x + ... = 5, em que o primeiro membro 
representa a soma dos termos de uma progressão 
geométrica infinita, o valor de 1/x é 
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 5 
 
30. (EEAr – 2020) Se 1/x é o 8º elemento da P.G. 
(9, 3, 1, ...), então o valor de x é 
a) 27 
b) 81 
c) 243 
d) 729 
 
31. (EEAr – 2021) Seja X o valor de uma moto no ato 
da compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% 
em relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, 
o valor da moto no final do quinto ano, em 
relação ao seuvalor de compra, será: 
a) (0,8)4.X 
b) (0,8)5.X 
c) (2,4).X3 
d) (3,2).X4 
 
32. (EEAr – 2021) Uma folha de papel quadrada passa 
por 4 etapas de cortes: 
1ª - dividindo a folha em 4 quadrados iguais; 
2ª - dividindo cada quadrado resultante da 1ª etapa em 
4 quadrados iguais; 
3ª - dividindo cada quadrado resultante da 2ª etapa em 
4 quadrados iguais; e 
4ª - dividindo cada quadrado resultante da 3ª etapa em 
4 quadrados iguais. 
Após a 4ª etapa tem-se _______ quadrados. 
a) 32 b) 64 c) 128 d) 256 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
33. (EEAr – 2022) Seja a P.G. (24, 36, 54, ...). Ao somar 
o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se 
a) 81/2 
b) 405/2 
c) 1215/4 
d) 1435/4 
 
34. (EEAr – 2022) Se numa PG crescente o 5º termo e 
o 7º termo são, respectivamente, 24 e 216, então o 3º 
termo é 
a) 6 
b) 8 
c) 8/3 
d) 2/5 
 
35. (EEAr – 2023) Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. 
de razão 7 e também o primeiro termo de uma P.G. de 
razão 2. Para que o 8º termo da P.A. seja igual ao 4º 
termo da P.G., o valor de a1 deve ser ________ . 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
36. (EsPCEx – 1999) Numa progressão 
geométrica(PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o 
último correspondem, respectivamente, às raízes da 
equação x2 - 51x + 144 = 0. O valor da soma do 
segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é 
a) 12 
b) 24 
c) 28 
d) 36 
e) 42 
 
32. (EsPCEx – 2000) Sendo a, b e c, nesta ordem, 
termos de uma progressão aritmética em que a.c = 24 
e A, B e C, nesta ordem, termos de uma progressão 
geométrica em que A = a, B = c e C = 72, então o valor 
de b é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
33. (EsPCEx – 2001) Atribuindo-se um valor a cada 
letra da sigla ESPCEX, de modo que as letras “E”, “S”, 
“P”, “C” e “X” formem nessa ordem uma progressão 
geométrica e que E.P.C + E.S.X = 8, pode-se afirmar 
que o produto E.S.P.C.E.X vale: 
a) 10 
b) 26 
c) 20 
d) 24 
e) 16 
 
34. (EsPCEx – 2001) A sequência de números reais a, 
b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética 
cuja soma dos termos é 110, a sequência de números 
reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão 
geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a: 
a) 142 b) 132 c) 120 d) 102 e) 96 
 
35. (EsPCEx – 2002) Os números a, b e c determinam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética (PA) de razão 
r (r ≠ 0). Na ordem b, a, c determinam uma progressão 
geométrica (PG). Então a razão da PG é 
a) -3 
b) -2 
c) -1 
d)1 
e) 2 
 
36. (EsPCEx – 2004) O sexto termo de uma progressão 
geométrica é igual a b, e o sétimo termo é igual a c. Se 
o primeiro termo desta progressão é diferente de zero 
e a razão maior que um, então o primeiro termo é igual 
a: 
a) 
b
c
 
b) 
4
3
c
b
 
c) 
c
b
 
d) 
5
6
c
b
 
e) 
3
4
c
b
 
 
37. (EsPCEx – 2007) O valor de x que satisfaz a 
equação 243...
27
x8
9
x4
3
x2
x =++++ , em que o primeiro 
membro é uma P.G. infinita, é 
a) 27 
b) 30 
c) 60 
d) 81 
e) 90 
 
38. (EsPCEx – 2010) Um menino, de posse de uma 
porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro 
de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois 
grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, 
oito grãos na quarta casa e continuou procedendo 
desta forma até que os grãos acabaram, em algum 
momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A 
partir dessas informações, podemos afirmar que a 
quantidade mínima de grãos de arroz que o menino 
utilizou na brincadeira é 
a) 480 
b) 511 
c) 512 
d) 1023 
e) 1024 
 
39. (EsPCEx – 2011) Se x é um número real positivo, 
então a sequência ( )x9log,x3log,xlog 333 é 
a) Uma progressão Aritmética de razão 1 
b) Uma progressão Aritmética de razão 3 
c) Uma progressão Geométrica de razão 3 
d) Uma progressão Aritmética de razão xlog3 
e) Uma Progressão Geométrica de razão xlog3 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
40. (EsPCEx – 2012) Um fractal é um objeto 
geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma 
das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos 
casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de 
um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para 
construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m 
na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa 
de comprimento m é dividida em três partes 
congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-
se de maneira análoga para a obtenção das demais 
linhas, conforme indicado na figura. 
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse 
procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das 
medidas dos comprimentos de todas as faixas é 
 
a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m 
 
40. (EsPCEx – 2016) A sequência (a1, a2, ..., a10), onde 
2
3
a1 = , 
2
5
a2 = , 
2
9
a3 = , ..., 
2
1025
a10 = é de tal forma que 
para cada n ∈ {1, 2, ..., 10 } temos que an = bn + cn, onde 
(b1, b2, ..., b10) é uma PG com b1 ≠ 0 e de razão q ≠ ± 1 
e ( c1, c2, ..., c10) é uma PA constante. 
Podemos afirmar que a1 + a2 + ... + a10 é igual a 
a) 98 b) 172 c) 260 d) 516 e) 1028 
 
41. (EsPCEx – 2020) No ano de 2010, uma cidade tinha 
100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce 
a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas 
informações, a população dessa cidade em 2014 era 
de 
a) 207.360 habitantes. 
b) 100.160 habitantes. 
c) 180.000 habitantes. 
d) 172.800 habitantes. 
e) 156.630 habitantes. 
 
42. (AFA - 2010) Seja as funções f: N → R e g: N → R 
definida por 
2
x
)x(f = e g(x) = 2-x 
Considere os números A e B, tais que 
A = f(1) + f(2) + ... + f(50) e 
B = 1 + g(1) + g(2) + ... + g(n) + ... 
Se o produto de A por B tende para o número α, então, 
α é 
a) ímpar múltiplo de 9 
b) par divisor de 10000 
c) par múltiplo de 15 
d) ímpar múltiplo de 25 
 
43. (AFA - 2011) De um dos lados de uma avenida 
retilínea, estão dispostos alguns postes nos pontos P1, 
P2, ..., Pi, i  N 
Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas 
algumas árvores nos pontos A1, A2, ..., Aj, j  N 
Sabe-se que: 
• dam3PP 21 = 
• dam63PP i1 = 
• ( ),...PP,PP 3221 é uma progressão aritmética de razão 3 
• i1j1 PPAA = 
• ( ),...AA,AA 3221 é uma progressão geométrica de 
razão 2 
• i = j 
Com base nessas informações, é correto afirmar que a 
maior distância entre duas árvores consecutivas é, em 
dam, igual a 
a) 63 b) 32 c) 18 d) 16 
 
44. (AFA - 2012) Sejam (1, a2, a3, a4) e (1, b2, b3, b4) 
uma progressão aritmética e uma progressão 
geométrica, respectivamente, ambas com a mesma 
soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão r da 
progressão aritmética é o dobro da razão q de 
progressão geométrica, então, o produto r.q é igual a 
a) 15 b) 21 c) 18 d) 24 
 
45. (AFA - 2013) A sequência 





+
3
8
y,y,6,x é tal que os 
três primeiros termos formam uma progressão 
aritmética, e os três últimos formam uma progressão 
geométrica. Sendo essa sequência crescente, a soma 
de seus termos é: 
a) 
3
92
 b) 
3
89
 c) 
3
86
 d) 
3
83
 
 
46. (AFA - 2014) Uma escultura de chapa de aço com 
espessura desprezível foi feita utilizando-se 
inicialmente uma chapa quadrada de 1 metro de lado 
apoiada por um de seus vértices sobre um tubo 
cilíndrico. A partir desse quadrado, a escultura foi 
surgindo nas seguintes etapas: 
1ª) Em cada um dos 3 vértices livres do quadrado foi 
construído um quadrado de lado 
2
1
metro. 
2ª) Em cada um dos vértices livre dos quadrados 
construídos anteriormente construiu-se um quadrado 
de lado 
4
1
de metro. E assim, sucessivamente, em cada 
vértice livre dos quadrados anteriormente, construiu-se 
um quadrado cuja media do lado é a metade do lado do 
quadrado anterior. A figura seguinte esquematiza a 
escultura nas etapas iniciais de sua confecção. 
 
Considerando que a escultura ficou pronta completadas 
sete etapas, é correto afirmar que a soma das áreas 
dos quadrados da 7ª etapa é igual a 
a) 
7
4
1






 b) 
8
8
3






 c) 
8
4
1






 d) 
7
4
3






 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATOPROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
47. (AFA - 2016) Considere as expressões 
2 2 2 2 2 2 2 2
8 164
A 26 24 23 21 20 18 ... 5 3
B 2. 2. 2. 2. 2...
= − + − + − + + −
=
 
O valor de 
B
A
é um número compreendido entre 
a) 117 e 120 
b) 114 e 117 
c) 111 e 114 
d) 108 e 111 
 
48. (AFA - 2017) A solução do sistema 
3x - y = -2
x - y x - y x - y x - y
- + - + ... = -1
2 6 18 54





 é tal que x + y é igual a 
a) 
3
11
 b) 
3
10
 c) 
3
7
− d) 
3
8
− 
 
49. (AFA – 2021) O jogo árabe chamado Quirkat ou Al-
Quirg é semelhante ao jogo de damas moderno, no 
qual há um tabuleiro de 25 casas (5 x 5). 
Esse jogo foi mencionado na obra Kitab Al-Aghani do 
século X. O Al-Quirg era também o nome para o jogo 
que atualmente é conhecido como trilha. 
Certo dia, um caixeiro viajante apresentou esse jogo a 
um rei que ficou encantado com ele e decidiu que iria 
comprá-lo. 
Pediu ao viajante que colocasse preço no produto. 
O caixeiro disse: 
“– Vossa Majestade, posso lhe vender o jogo por uma 
simples barganha! 
Basta me dar 1 grão de milho para a 1ª casa do jogo, 2 
grãos de milho para a 2ª casa do jogo, 4 grãos de milho 
para a 3ª casa do jogo, 8 grãos de milho para a 4ª casa 
do jogo e assim por diante até a 25ª casa do tabuleiro!” 
O rei, imediatamente, ordenou o pagamento para o 
caixeiro viajante em troca do jogo que tanto lhe 
agradou. 
Levando em consideração que o peso médio de um 
grão de milho seja 0,30 g pode-se afirmar que 
a) pelo pagamento referente à 13ª casa, considerado o 
peso médio do grão do milho, o caixeiro recebeu 1,2288 
kg. 
b) até a décima casa do tabuleiro, se considerado o 
peso médio do grão de milho, o viajante tinha recebido 
um total de 307,2 g. 
c) a quantidade de grãos recebidos pelo caixeiro 
viajante é um número terminado em 7. 
d) a quantidade de grãos recebidos pelo caixeiro 
viajante é um número múltiplo de 2. 
 
50. (EFOMM - 2011) Se a sequência de inteiros 
positivos (2, x, y) é uma Progressão Geométrica e 
(x + 1, y, 11) uma Progressão Aritmética, então, o valor 
de x + y é 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
 
51. (EFOMM - 2014) O limite da soma da expressão 
...
4
1
.
4
3
.
4
3
.
4
3
.
4
3
.
4
3
4
1
.
4
3
.
4
3
.
4
3
4
1
.
4
3
+++ é igual a 
a) 
7
1
 
b) 
7
2
 
c) 
7
3
 
d) 
7
4
 
e) 
7
5
 
 
52. (EFOMM - 2015) O conjunto de todos os números 
reais q > 1, para os quais a1, a2 e a3 formam, nessa 
ordem, uma progressão geométrica de razão q , com 
primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados 
de um triângulo, é 
a) 







 +
−
2
51
,1 
b) 







 +
2
51
,1 
c) 







 +
5
51
,1 
d) 







 +
4
51
,1 
e)  51,1 +− 
 
53. (EFOMM - 2015) Os números reais positivos a1, a2, 
..., an formam, nessa ordem, uma progressão 
geométrica de razão q . Nesse caso, é correto afirmar 
que a sequência loga1 , loga2 , , logan forma 
a) uma progressão geométrica crescente, se q > 1. 
b) uma progressão aritmética crescente, se q > 1. 
c) uma progressão geométrica decrescente, se 
0 < q < 1. 
d) uma progressão aritmética crescente, se 0 < q < 1. 
e) uma progressão aritmética crescente, desde que 
q > 0. 
 
54. (EFOMM - 2016) Numa progressão geométrica 
crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º 
termo com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma 
desses três termos é igual a 26, determine o valor do 2º 
termo. 
a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 e) 26/7 
 
55. (EN - 2007) Sendo a o primeiro termo de uma 
progressão geométrica, b o termo de ordem (n + 1) e c 
o termo de ordem (2n + 1), então a relação entre a, b e 
c é 
a) c2 - ab + b2 = 0 
b) b2 - ac4 = 0 
c) b2 + a2 + 4ab - c2 = 0 
d) b4 + 2a2cb + b2c = 0 
e) b4 - 2acb2 + a2c2 = 0 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Prof. Wellington Nishio 
56. (EN – 2011) Uma progressão geométrica infinita 
tem o 4º termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do 
produto de seus 10 primeiros termos vale 510 15log 2.− 
Se S é a soma desta progressão, então o valor de 
2log S é 
a) 22 3log 5.+ 
b) 22 log 5.+ 
c) 24 log 5.+ 
d) 21 2log 5.+ 
e) 24 2log 5.+ 
 
57. (EN - 2016) A soma dos três primeiros termos de 
uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus 
quadrados 91. Justapondo-se esses termos nessa 
ordem, obtém-se um número de três algarismos. Pode-
se afirmar que o resto da divisão desse número pelo 
inteiro 23 vale 
a) 1 
b) 4 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
 
58. (ITA – 2017) Sejam a, b, c, d  R. Suponha que a, 
b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão 
geométrica e que a, b/2, c/4, d – 140 formem, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. 
Então, o valor de d – b e 
a) –140. 
b) –120. 
c) 0. 
d) 120. 
e) 140. 
 
59. (IME – 2017) Sejam uma progressão aritmética 
(a1, a2, a3, a4, ...) e uma progressão geométrica 
(b1, b2, b3, b4, ...) de termos inteiros, de razão r e razão 
q respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, 
com q > 2 e b1 > 0. Sabe-se, também, que a1 + b2 = 3, 
a4 + b3= 26. O valor de b1 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
GABARITO 
 
A) 1, 6, 8, 12, 28, 31, 39, 40, 42, 50, 54, 57, 59 
B) 2, 4, 7, 9, 11, 16, 18, 21, 22, 25, 39, 40, 44, 48, 49, 
52, 53 
C) 5, 24, 26, 29, 30, 33, 34, 35, 43, 45, 46, 51, 56 
D) 3, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 23, 27, 32, 37, 41, 42, 
43, 47, 58 
E) 36, 38, 41, 55