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Trabalho de pesquisa 
Aluno: Edvaldo Henrique de Souza Leocádio 2D
 Sistema lineares 
Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo,
é um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às incógnitas que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema acima é dado por 
 
já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual, isto é, cada uma das equações precisa ser satisfeita.
Em matemática, a teoria de sistemas lineares é a base e uma parte fundamental da álgebra linear, um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Em diversos ramos da matemática aplicada e ciências naturais, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e a astronomia. 
Algoritmos computacionais são para encontrar soluções constituem uma parte importante da álgebra linear numérica, e desempenham um papel proeminente nas áreas de aplicação da álgebra linear. Tais métodos têm uma grande importância para obter soluções rápidas e acuradas. Pode-se muitas vezes aproximar um sistema de equações não-lineares por um sistema linear, uma técnica chamada de linearização e útil ao elaborar modelos matemáticos ou realizar simulações computacionais de um sistema mais complexo.
O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero e tampouco pode haver multiplicação entre incógnitas.
Muitas vezes, os coeficientes das equações são números reais ou complexos e as soluções são procuradas no mesmo conjunto de números, mas a teoria e os algoritmos aplicam os coeficientes e soluções em qualquer campo.
Exemplo: O tipo mais simples de sistema linear envolve duas equações e duas variáveis:
Um método para resolver tal sistema é do seguinte modo: em primeiro lugar, resolva a equação superior para x em termos de y:{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&-y&&\;=\;&&-2&.\end{alignedat}}}
 
 Agora substitua essa expressão para x na equação inferior: 
 
Isto resulta numa única equação envolvendo apenas a variável {\displaystyle y.} y .Resolvendo, obtemos y=4/7 {\displaystyle y=4/7,}e voltando para a equação e substituindo y por seu valor, vem que x= -5/7{\displaystyle x=-5/7.} Este método se generaliza para sistemas com variáveis adicionais (veja "eliminação de variáveis" abaixo, ou o artigo sobre álgebra elementar).
Resolução de sistemas lineares
· Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas
Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:
· método da comparação
· método da adição
· método da substituição
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.
· Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.
1º passo: isolar uma das incógnitas.
Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 – 2y
2º passo: substituir I em II.
Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Substituindo x por 5 – 2y:
3 (5 – 2y) – 5y = 4
Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.
I → x = 5 – 2y
x = 5 – 2 · 1
x = 5 – 2
x = 3
Então a solução do sistema é S = {3,1}.
· Método da comparação
O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que:
2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.
3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.
x = -4 – 3y
x = -4 – 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.
· Método da adição
O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.   
1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.
Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2º passo: realizar a soma I + 2 · II.
3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações. 
Sistema linear homogêneo
Sistema linear homogêneo é composto por equações do primeiro grau que têm o termo independente igual a zero.
O sistema linear homogêneo ocorre quando o sistema linear tem todas as equações igualadas a zero, ou seja, o termo independente de cada uma das equações é igual a zero. Nele existe, pelo menos, uma solução, conhecida como trivial ou nula, em que todas as incógnitas são iguais a zero.
A diferença de um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo é que, no primeiro caso, todas as equações estão igualadas a zero, já no segundo, pelo menos uma das equações é igualada a um número diferente de zero.
Um sistema homogêneo pode ter como solução somente a solução trivial, sendo um sistema possível determinado (SPD), ou mais soluções além dela, sendo um sistema possível indeterminado (SPI). Para resolvê-lo, usamos as mesmas técnicas para encontrar as soluções de um sistema qualquer, o que depende diretamente do número de equações que ele possui.
O que é um sistema linear homogêneo?
Um sistema de equação é conhecido como linear quando é composto exclusivamente por equações do primeiro grau, e como homogêneo quando o seu termo independente é igual a zero, então um sistema é classificado como linear homogêneo quando é composto por equações do 1º grau que têm termo independente igual a zero, o que significa que todas as equações serão igualadas a zero. De modo geral, representamos o sistema linear homogêneo por:
Propriedades de um sistema linear homogêneo
A principal propriedade de um sistema linear homogêneo é que ele tem como solução, pelo menos, a solução trivial, conhecida também como nula, pois todas as incógnitas iguais a 0 são solução do sistema linear homogêneo, ou seja, a terna (0, 0, ... 0).
Um sistema linear homogêneo pode ser classificado de duas formas.
· Sistema possível determinado (SPD): quando o sistema linear tem somente a trivial como solução.
· Sistema possível indeterminado (SPI): quando o sistema linear tem infinitas soluções.
Importante: Um sistema linear nunca será impossível, pois sabemos que ele tem, pelo menos, a solução trivial.
Diferença entre um sistema linearhomogêneo e um sistema linear não homogêneo
A principal diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo está na sua definição em si, pois, para ser homogêneo, o termo independente tem que ser zero, já no segundo caso, é necessário que o termo independente seja diferente de zero.
Diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo
A principal diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo está na sua definição em si, pois, para ser homogêneo, o termo independente tem que ser zero, já no segundo caso, é necessário que o termo independente seja diferente de zero.
Como resolver um sistema linear homogêneo?
Para encontrar o conjunto de soluções de um sistema linear, utilizamos as mesmas técnicas para um sistema qualquer. Quando o sistema for 2x2, podemos utilizar os métodos conhecidos para resolução de sistema 2x2, como o método da adição, o da substituição ou o da igualdade. Já em um sistema 3x3, podemos utilizar as técnicas específicas para um sistema qualquer, o que é o caso do escalonamento, da regra de Cramer, entre outras.
Exemplo 1:
Encontre as soluções para o sistema.
Resolução:
Analisando o sistema e utilizando o método da adição, temos que:
3x + 5y = 0 → I
2x + 3y = 0 → II
Então realizamos a multiplicação da equação I por 2, e da equação II por -3:
6x + 10y = 0 → 2I
-6x – 9y = 0 → -3II
Agora somando as linhas, temos que:
0x + y = 0
y = 0
Sabendo que y = 0, então:
2x + 3y = 0
2x + 3 \(\cdot\) 0 = 0
2x + 0 = 0
2x = 0
x = 0
Então essa equação tem somente a solução trivial.
x = 0 e y = 0
Exemplo 2:
Encontre as soluções do sistema.
Resolução:
Utilizando o método da substituição na segunda equação, temos que:
\(x+2y=0\)
\(x=-2y\)
Agora substituindo na primeira equação:
\(2x+4y=0\)
\(2\cdot\left(-2y\right)+4y=0\)
\(-4y+4y=0\)
\(0=0\)
Quando encontramos 0 = 0, isso significa que esse sistema é um sistema possível indeterminado (SPI), ou seja, tem infinitas soluções.
As soluções devem respeitar o fato de que:
\(x=-2y\)
Por exemplo, além da solução trivial, o par ordenado (1, -2) também é solução dessa equação, ou o par (2, -4), pois o y é igual \(-2\) vezes o valor de x.
Sistema normal
Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
· Regra de Crammer
Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:
D → determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.
Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.
Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.
Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.
Exemplo: 
1º passo: calcular D.
2º passo: calcular Dx.
3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois:
4º passo: calcular Dy.
5º passo: então podemos calcular o valor de y:
6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz.
Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação:
2x + y – z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 – z = 3
-z = 3 – 2
-z = -1 (-1)
 z = -1
Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1).
Sistema equivalentes 
Os sistemas de equações que têm a mesma solução são chamados sistemas equivalentes. Dado um sistema de duas equações, podemos construir um sistema equivalente, substituindo uma equação pela soma das duas equações, ou substituindo uma equação por um múltiplo de si mesmo.
Em contrapartida, podemos ter a certeza que dois sistemas de equações não são equivalente se soubermos que a solução de um não é a solução do outro.
Nota: Esta ideia de sistemas equivalentes de equações aparece novamente em álgebra linear. No entanto, os exemplos e explicações deste artigo estão direccionadas para o nível do ensino secundário.
Exemplo 1
Dão-nos dois sistemas de equações e perguntam-nos se são equivalentes.
	
	
	
	
Se multiplicarmos a segunda equação do Sistema B por 3 , temos:
Substituindo a segunda equação do Sistema B com esta nova equação, obtemos um sistema equivalente:
Este sistema é o mesmo que o Sistema A, o que significa que o Sistema A é equivalente ao Sistema B.
 Sistema escalonados 
Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir.
 1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema.
Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, vamos realizar operações entre L1 e L2 e  L1 e L3, de modo que o resultado faça com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira linhas fiquem iguais a zero.
Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21.
a21 = -2 · 1 + 2 = 0
a22 =  -2 · 2 + 1 = -3  
a23 = -2 · (-3) + 1 = 7
a24 =  -2 · 10 + 3 = -17
Então a L2 será 0  -3  7  -17.
Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31.
a31 = 3 · 1 – 3 = 0
a32 = 3 · 2 + 2 = 8
a33 = 3 · (-3) +1 = -8
a34 = 3 · 10 – 6 = 24
Então a L3 será  0  8  -8  24. 
Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8.
L3 → L3 : 8 será: 0  1  -1  3.
Assim a nova matriz da equação escalonada será:
Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, realizaremos operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas.
Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3.
a31 = 0 + 3 · 0 = 0
a32 = -3 + 3 · 1 = 0
a33 = 7 + 3 · (-1) = 4
a34 = -17 + 3 · 3 = -8
Então L3 será: 0  0  4  -8.
A nova matriz escalonada será:
Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte:
Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que:
Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:
Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x.
BIBLIOGRAFIA 
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-linear-homogeneo.htm
https://pt-pt.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/x2f8bb11595b61c86:equivalent-systems-of-equations-and-the-elimination-method/a/equivalent-systems-of-equations-review#:~:text=Os%20sistemas%20de%20equa%C3%A7%C3%B5es%20que,um%20m%C3%BAltiplo%20de%20si%20mesmo 
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 Aberdeen, Stan. «Use of Linear Equations». Ehow. Consultado em 16 de janeiro de 2012
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 Introdução aos Métodos Numéricos [1]
 Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). Álgebra Linear 1 ed. São Paulo: Polígono
 Domingues, Hygino H. «Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes». Só Matemática. Consultado em 16 de janeiro de 2012
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