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CÁLCULO
NUMÉRICO
CÁLCULO
NUMÉRICO
Cálculo Num
érico Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A simulação computacional proveniente do constante avanço tecnológico é possibilita-
da pela modelagem Matemática, prática que permite esquematizar uma situação-
problema. Nesse contexto, surge a necessidade de compreensão do Cálculo Numérico.
Dentre as vertentes do Cálculo Numérico, há alguns eixos e teorias que precisam ser 
esclarecidas: a Teoria dos Erros e a Aritmética de ponto � utuante, que serão estuda-
dos a partir de suas de� nições e propriedades. 
Além disso, passaremos também pelo estudo dos métodos do meio intervalo (MMI), 
das aproximações sucessivas (MAS), das secantes (MS) e de Newton-Raphson (MNR). 
Falaremos também sobre eliminação gaussiana, método da fatoração LU, método de 
Gauss-Jacobi, método de Gauss-Seidel e MMQ.
Por � m, abordaremos os conteúdos de interpolação polinomial, método de Euler, mé-
todo de Runge-Kutta e integração numérica. 
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Teoria dos Erros e Aritmética de ponto flutuante
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Conceitos iniciais e princípios gerais do Cálculo Numérico ...................................... 13
Cálculo Numérico ............................................................................................................ 14
Teoria dos Erros .................................................................................................................... 15
Erro na origem dos dados .............................................................................................. 18
Erro de truncamento ....................................................................................................... 19
Erro de arredondamento ................................................................................................ 20
Erro absoluto, erro relativo e erro percentual ............................................................ 21
Aritmética de ponto flutuante ............................................................................................ 22
Algarismos significativos ............................................................................................... 23
Sistemas numéricos ........................................................................................................ 24
Mudança de bases numéricas ...................................................................................... 27
Sistema e Aritmética de ponto flutuante ..................................................................... 32
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Equações não lineares
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42
Equações não lineares ........................................................................................................ 43
Solução de equações não lineares .............................................................................. 43
Teorema de Bolzano........................................................................................................ 44
Métodos de solução de equações não lineares I .......................................................... 45
Método do meio intervalo (MMI) ................................................................................. 46
Método das aproximações sucessivas (MAS) ........................................................... 50
Métodos de solução de equações não lineares II ......................................................... 53
Método das secantes (MS) ........................................................................................... 54
Método de Newton-Raphson (MNR) ........................................................................... 58
Comparação entre os métodos numéricos ................................................................. 62
Sintetizando ........................................................................................................................... 64
Referências bibliográficas ................................................................................................. 65
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Sumário
Unidade 3 - Sistemas lineares
Objetivos da unidade ....................................................................................................... 67
Sistemas lineares ................................................................................................................. 68
Classificação de sistemas lineares .............................................................................. 69
Métodos diretos .................................................................................................................... 79
Método da eliminação gaussiana ................................................................................ 71
Método da fatoração LU ................................................................................................ 76
Métodos iterativos ............................................................................................................... 79
Método de Gauss-Jacobi ............................................................................................... 80
Método de Gauss-Sieldel ............................................................................................... 85
Teoria da aproximação ........................................................................................................ 89
Ajustes de curvas ............................................................................................................90
Método dos Mínimos Quadrados (MNQ) .................................................................... 90
Sintetizando ........................................................................................................................... 96
Referências bibliográficas ................................................................................................. 97
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Sumário
Unidade 4 – Interpolação polinomial, equações diferenciais ordinárias e integra-
ção numérica.
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 99
Interpolação polinomial .................................................................................................... 100
Método de Newton-Gregory ....................................................................................... 101
Método de Lagrange ..................................................................................................... 105
Equações diferenciais ordinárias ................................................................................... 108
Método de Euler ............................................................................................................ 110
Método de Runge-Kutta ............................................................................................... 113
Integração numérica.......................................................................................................... 116
Regra do trapézio .......................................................................................................... 117
Primeira regra de Simpson .......................................................................................... 120
Segunda regra de Simpson ......................................................................................... 122
Sintetizando ......................................................................................................................... 126
Referências bibliográficas ............................................................................................... 127
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A simulação computacional proveniente do constante avanço tecnológico é 
possibilitada pela modelagem Matemática, prática que permite esquematizar 
uma situação-problema. Nesse contexto, surge a necessidade de compreensão 
do Cálculo Numérico.
Dentre as vertentes do Cálculo Numérico, há alguns eixos e teorias que pre-
cisam ser esclarecidas: a Teoria dos Erros e a Aritmética de ponto fl utuante, que 
serão estudados a partir de suas defi nições e propriedades. 
Além disso, passaremos também pelo estudo dos métodos do meio inter-
valo (MMI), das aproximações sucessivas (MAS), das secantes (MS) e de New-
ton-Raphson (MNR). 
Falaremos também sobre eliminação gaussiana, método da fatoração LU, 
método de Gauss-Jacobi, método de Gauss-Seidel e MMQ.
Por fi m, abordaremos os conteúdos de interpolação polinomial, método de 
Euler, método de Runge-Kutta e integração numérica. 
Bons estudos!
CÁLCULO NUMÉRICO 9
Apresentação
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Dedico este material a Deus, que que me concede saúde e sabedoria; ao 
meu marido, Cleber, por seu apoio incondicional; àminha fi lha, Mariana, 
que é fonte de inspiração diária; à minha família, que tanto me auxilia nas 
mais diversas situações.
A professora Rafaela Rodrigues Oli-
veira Amaro é especialista em Meto-
dologia do Ensino de Matemática pela 
Faculdade de Administração, Ciências, 
Educação e Letras (FACEL) em 2012 e 
graduada em Matemática pela Funda-
ção Comunitária de Ensino de Itabira 
(FUNCESI) em 2009.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/7630524977124650
CÁLCULO NUMÉRICO 10
A autora
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FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
E NÃO ALGÉBRICAS: 
DEFINIÇÕES E 
APLICAÇÕES
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a definição de Cálculo Numérico, bem como os conceitos que 
permeiam o seu estudo;
 Conceituar, identificar e calcular o erro;
 Definir o que é Aritmética de ponto flutuante e apresentar suas 
propriedades.
 Conceitos iniciais e princípios 
gerais do Cálculo Numérico
 Cálculo Numérico
 Teoria dos Erros
 Erro na origem dos dados
 Erro de truncamento
 Erro de arredondamento
 Erro absoluto, erro relativo e 
erro percentual
 Aritmética de ponto flutuante
 Algarismos significativos
 Sistemas numéricos
 Mudança de bases numéricas
 Sistema e Aritmética de ponto 
flutuante
CÁLCULO NUMÉRICO 12
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Conceitos iniciais e princípios gerais do Cálculo Nu-
mérico
O ato de resolver problemas é 
inerente à condição humana. Desse 
modo, sempre nos deparamos com 
situações nas quais devemos determi-
nar uma solução. Em contrapartida, os 
computadores possuem um sistema 
operacional que necessita de algorit-
mos para possibilitar a resolução de 
problemas.
E qual é a relação existente entre o 
Cálculo Numérico e esses algoritmos computacionais? Ora, o constante avan-
ço da capacidade de cálculo dos computadores ocasionou uma expansão na 
capacidade de resolução de diferentes problemas intermediados por simula-
dores computacionais. O estudo desses problemas requisita a prática da mo-
delagem matemática, que pode ser defi nida como o ato de descrever mate-
maticamente um determinado fenômeno.
O livro Noções de Cálculo Numérico, publicado em 1984 pelos autores Hu-
mes, Melo, Yoshida e Martins, apresenta as seguintes etapas para a solução 
de um problema: defi nição do problema a ser resolvido; obtenção de um mo-
delo matemático para retratar a situação proposta, descrição do problema e 
resolução do problema. O Diagrama 1 apresenta as etapas descritas para a 
resolução de um problema. 
Modelagem Resolução
Problema Modelo matemático Solução 
DIAGRAMA 1. ETAPAS PARA A RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
Fonte: HUMES, 1984, p. 1. (Adaptado).
CÁLCULO NUMÉRICO 13
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Cálculo Numérico
O estudo do Cálculo Numérico ana-
lisa os métodos numéricos de maneira 
a solucionar problemas. Assim, uma 
solução numérica é um valor numéri-
co aproximado que resolve um proble-
ma matemático. 
A análise dos procedimentos, téc-
nicas e aplicações são benefi ciadas 
quando a tecnologia está associada, 
seja na realização de cálculos ou na 
interpretação das respostas encontra-
das. Estabelece-se, assim, uma íntima 
ligação entre a Matemática e a tec-
nologia por meio de ferramentas computacionais, que podem ser entendidas 
como agentes de um processo interativo de ensino e aprendizagem, colocando 
os alunos como sujeitos efetivos e autônomos no trabalho teórico-prático com 
soluções numéricas. 
E qual é o propósito de estudar essa disciplina? A resposta é simples: o ob-
jetivo do Cálculo Númerico se resume em analisar os processos numéricos, 
também chamados de algoritmos, para resolver problemas tidos como compli-
cados, empregando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, 
ou seja, os procedimentos que integram a Aritmética.
A disciplina de Cálculo Numérico é estruturada em seis grandes agrupa-
mentos: modelagem numérica, resolução de equações lineares, não lineares e 
transcendentes, ajustes de curvas, interpolação, integração numérica e equa-
ções diferenciais ordinárias como pode ser visualizado no Diagrama 2.
Atente-se que são necessárias duas fases para transpor do problema para 
a solução: modelagem e resolução. A primeira consiste na fase de aquisição de 
um modelo matemático que representa o desempenho do problema proposto, 
a segunda, por sua vez, na compreensão da fase em que se é obtida a solução 
do modelo matemático após utilização dosmétodos numéricos.
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DIAGRAMA 2. SEGMENTOS DO CÁLCULO NUMÉRICO
Modelagem 
numérica 
Equações 
diferenciais 
ordinárias
Ajuste de 
curvas
Interpolação 
Integração 
numérica 
Cálculo 
Numérico 
Equações lineares, 
não lineares e 
transcendentes 
Teoria dos Erros 
A obtenção de resultados provenientes de observações é limitada. Afi -
nal, o ser humano é falho. Todavia, uma vez que é difícil determinar respos-
tas exatas e precisas, torna-se necessário estimar quão boa e efi ciente foi a 
medição realizada, quantifi cando a qualidade da solução descoberta. Essa 
diferença entre o resultado encontrado e o resultado correto recebe o nome 
de erro e é inerente aos processos numéricos, não podendo, em muitos 
casos, ser evitado.
Dentro do cenário habitual aos cálculos numéricos, nasce a Teoria dos Er-
ros, que estuda a dinâmica do erro nas diversas situações em que ele pode es-
tar inserido. Baseando-se em tal indicador, é possível compreender a precisão 
dos cálculos executados.
Conforme Humes e outros autores, no livro Noções de Cálculo Numérico, pu-
blicado em 1987, é propósito da Teoria dos Erros:
CÁLCULO NUMÉRICO 15
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• determinar o mais correto resultado para a medida aferida a partir dos 
dados experimentais existentes, ou seja, definir, em termos estatísticos, a mais 
acertada aproximação para o valor verdadeiro;
• encontrar a incerteza no valor obtido, isto é, determinar o grau de precisão 
e confiança da medida analisada.
E onde podemos encontrar esse erro tão instalado em nosso cotidiano? 
Como identificá-lo? Vamos explorar um contexto comum à nossa vida e que 
fará toda a diferença para compreensão desse conteúdo.
Considere uma pista de atletismo de forma circular e raio (distância do cen-
tro à borda da circunferência) equivalente a 50 m. Um atleta tem como meta 
percorrer tal pista dez vezes diariamente, de maneira a se preparar para uma 
competição. Se a meta proposta pelo atleta for cumprida, quantos metros ele 
terá percorrido? 
Como se calcula o comprimento de uma circunferência? Vocês se lembram? 
A relação que permite calcular o comprimento de uma circunferência é C = 2 · 
π · r, em que π é uma constante e r indica a medida do raio da circunferência. 
Agora que já definimos os componentes da fórmula a ser utilizada, podemos 
solucionar o problema. 
Figura 1. Elementos de uma circunferência. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 05/10/2019.
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Como já foi definido, o raio equivale a 50 m, mas e o valor de π? Que número 
representa essa constante? 
Para sanar essas interrogações, partiremos para o cálculo da metragem 
percorrida baseado nos valores de π indicados a seguir:
π = 3,14
Sendo assim:
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,14 · 50 = 314
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, a conta que deve ser 
feita é: 
314 · 10 = 3140 m
Para outro valor de π:
π = 3,1416
Desse modo:
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,1416 · 50 = 314,16 
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, será percorrido: 
314,16 · 10 = 3140,6 m
Para o seguinte valor de π:
π = 3,14159265
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,14159265 · 50 = 314,159265 
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, será percorrido o se-
guinte valor: 
314,159265 · 10 =
3141,59265 m
Você identificou alguma alteração nas metragens percorridas? A resposta é 
categórica: sim! Atente-se ao fato de como o resultado é alterado mediante o 
valor definido para π. Verifique que quanto mais preciso e exato se define essa 
constante, mais preciso e exato também é o resultado proveniente das opera-
ções que o utilizam. 
No entanto, a cada cálculo realizado, existe uma diferença, ainda que pe-
quena, entre os resultados. Logo, há a incidência de erro, proveniente da uti-
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lização de um valor arredondado a outro mais preciso. Para operações como 
essa, é preciso identifi car o tipo de erro existente para, posteriormente, men-
surar o indicador.
CURIOSIDADE
O número π indica a razão entre a circunferência de um círculo e seu 
diâmetro. Com a descoberta e aprimoramento do cálculo infi nitesimal, 
passou-se também a recorrer é utilização de séries infi nitas convergentes 
de produtos e frações com o intuito de aproximar o valor de π.
Erro na origem dos dados
Alguns dados são obtidos por medidas experimentais. Em outras palavras, 
até obter determinadas informações, é comum que surjam incoerências. Des-
sa forma, logo no início, nos deparamos com os erros dos dados de entrada. 
Quando o modelo matemático é proveniente de um problema físico, há incer-
tezas quanto às medidas realizadas pelos instrumentos de medição, que possuem 
uma precisão limitada devido a diversos fatores, conforme mostra a Figura 2. 
Figura 2. Fontes de s na origem de dados.
Medidas
incorretas
Aprelhos
de medição
inadequados
Falha humana
Erro na origem de dados
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De maneira geral, na tentativa de indicar um fenômeno físico por um modelo 
matemático, difi cilmente se obtém uma descrição adequada a este fenômeno. Ge-
ralmente, é preciso várias simplifi cações do mundo físico para se obter um modelo 
matemático que possibilite seu uso. 
Erro de truncamento
O erro de truncamento consiste no erro característico e inerente aos modelos 
numéricos. O ato de truncar corresponde aos erros originários da utilização de 
processos, que são compostos por termos infi nitos ou muito grandes para a de-
terminação de um valor. 
Figura 3. Fontes de erro de truncamento.
Linearrização 
de uma função
Tranformação 
de uma série 
infi nita em 
fi nita
Erro de truncamento
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São considerados exemplos de erro de truncamento:
• estudo de uma série infi nita, uma vez que ao adaptá-la para uma quantidade 
de termos fi nitos, ou seja, limitar uma quantidade de termos, cometemos erro de 
truncamento; 
• processo de linearização de uma função, pois consiste no desenvolvimento 
da função em série de Taylor, considerando apenas os termos lineares. Por exem-
plo: para o valor de e1,5 ou de qualquer valor de e, pode-se utilizar a série de Taylor 
de uma função exponencial como recurso, defi nida por: 
x2 x3 x4 x5 xn
2 ! 3 ! 4 ! 5 ! n !e
x = 1 + x + + + +···
Erro de arredondamento
De maneira a entender melhor o erro de arredondamento, é importante 
defi nir o que é arredondamento e quais regras fundamentam o ato de arre-
dondar.
Arredondamento é o processo que “dispensa” algumas casas decimais à 
direita de um algarismo. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
publicou, em 10 de dezembro de 2014, a norma ABNT NBR 5891:2014 – Regras 
de arredondamento na numeração decimal, defi nindo as regras para executar 
tal operação. 
A seguir, é possível ver quais são essas indicações, bem como seus respectivos 
exemplos: 
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último for inferior a 5, o últi-
mo algarismo a ser conservado permanecerá sem modifi cação.
Exemplo 1: o algarismo 14,9834, quando arredondado, fi ca 14,98.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for superior ou igual a 5 e for seguido de, no mínimo, um algarismo 
diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado 
em uma unidade. 
Exemplo 2: o algarismo 4,6691, quando arredondado à segunda decimal, fi ca 
4,67. 
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser con-
servado for 5 seguido de zeros, deve-se arredondar o algarismo a ser conservado 
para o algarismo par mais próximo. 
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Exemplo 3: o algarismo 0,63500, quandoarredondado à segunda decimal, fi ca 
0,64.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado for 
5 e estiver seguido de zeros, ele permanecerá sem modifi cação quando for par. 
Exemplo: o algarismo 10,6650, quando arredondado à segunda decimal, fi ca 
10,66.
Logo, os erros de arredondamento ocorrem a cada arredondamento mal rea-
lizado e são introduzidos nas operações efetuadas, infl uenciando diretamente na 
solução e gerando, assim, resultados diferentes ou muito distantes do correto.
Erro absoluto, erro relativo e erro percentual
É fundamental a quantifi cação do erro, ou seja, mensurar quão grande ou 
quão pequeno foi o erro cometido nos processos numéricos. Para tal, podemos 
utilizar as medidas de erro denominadas erro absoluto, erro relativo e erro 
percentual.
O erro absoluto (EAx), lido como erro absoluto em x, compreende o resultado 
entre a subtração do valor exato de um número x e seu valor aproximado x, encon-
trado a partir de um procedimento numérico e da seguinte relação: 
EAx = x - x 
Na maioria das situações, apenas x é um valor conhecido. Desse modo, o que 
se faz é fi xar um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro ab-
soluto. O erro absoluto não é sufi ciente para descrever a precisão de um cálculo. 
Por isso, é mais incidente a utilização do erro relativo.
O erro relativo (ERx), também lido como erro relativo em x, é a razão entre o erro 
absoluto. Seu valor aproximado é dado por:
EAx x - x
x xErx = + 
Por fi m, o erro percentual é o erro relativo em porcentagem:
EPx = ERx · 100%
Você conhece o número de Euler? Já ouviu falar sobre essa interessante cons-
tante? Pois bem, ele é um famoso número irracional que possui infi nitas casas 
decimais. Tendo isso em mente, vamos aplicar os conceitos aprendidos a esse po-
pular número. 
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CURIOSIDADE
O número de Euler tem esse nome em homenagem ao matemático Leonhard 
Euler. Ele é um número irracional, positivo e funciona como base para os 
logaritmos naturais. Além disso, o número de Euler possui infi nitas casas de-
cimais e nenhum padrão. O símbolo utilizado para representá-lo é a letra e.
Admita que o número de Euler esteja compreendido no seguinte intervalo:
e ∈ [2,71; 2,72]
Consideraremos o valor aproximado de x = 2,72. Nesse contexto, calcularemos 
o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual.
• Erro absoluto
Para determinar o erro absoluto, basta substituir o valor determinado como 
aproximado (x) e o valor cujo erro queremos mensurar (x):
EAx = x - x = 2,72 - 2,71 = 0,01
• Erro relativo
Para calcular o erro relativo, utilizaremos o valor determinado para o erro ab-
soluto:
EAx 0,01
x 2,71ERx = = = 0,0037 
• Erro percentual
Para mensurar o erro percentual, é necessário realizar o produto entre o 
erro relativo por 100%. Logo:
EPx = ERx · 100% = 0,37%
A conclusão referente a essa situação é mais fácil de ser interpretada pelo re-
sultado do erro percentual, que permite concluir que o número e = 2,71 possui 
0,37% de precisão em sua representação.
Aritmética de ponto flutuante 
Caro(a) aluno(a), você se recorda da notação científi ca? Lembra 
como representá-la? 
A notação científi ca é um modo simplifi cado de es-
crever números decimais muito grandes ou pequenos. 
Ela pode ser utilizada no sistema de numeração bi-
nário? A resposta é categórica: não! Para atender a essa 
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demanda, foi criado o ponto fl utuante, que nada mais é do que uma versão 
da notação científi ca adaptada para o sistema binário. 
DIAGRAMA 3. SISTEMA DECIMAL X SISTEMA BINÁRIO
Sistema decimal
Notação científi ca 
Sistema binário
Ponto fl utuante
Já Aritmética de ponto fl utuante, como o próprio nome sugere, trabalha 
as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os 
números representados em ponto fl utuante.
Algarismos significativos 
Medições de grandezas físicas são constantemente utilizadas nas mais distin-
tas operações. Assim, considerando o resultado de uma medição, os algarismos 
signifi cativos são identifi cados como aqueles que são contabilizados da direita 
para a esquerda, partindo do primeiro algarismo diferente de zero.
E como contabilizar estes algarismos signifi cativos? Veja alguns exemplos:
• o algarismo 0,014 possui dois algarismos signifi cativos;
• o algarismo 37,5 possui três algarismos signifi cativos; 
• o algarismo 64700 possui três algarismos signifi cativos;
• o algarismo 0,007800 possui quatro algarismos signifi cativos;
• o algarismo 91,042 possui cinco algarismos signifi cativos.
O número zero, no entanto, quando posicionado à esquerda de um algaris-
mo, depois ou antes da vírgula, sinaliza apenas o uso das unidades, múltiplos e 
submúltiplos, não sendo considerado como signifi cativo. 
Exemplo 1: 0,00234 equivale a 0,234 · 10-3. Sua representação mudou, mas a 
quantidade de algarismos signifi cativos permanece inalterada.
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Zeros à direita do número, por sua vez, indicam maior exatidão. Desse modo, 
quando ele se encontra alocado à direita do resultado da medição, há a represen-
tação de um algarismo signifi cativo. 
Exemplo 2: 0,00000014 possui dois algarismos signifi cativos.
Adição e subtração com algarismos signifi cativos
Para as operações de adição ou subtração, devemos arredondar os valores dos 
algarismos signifi cativos a fi m de deixá-los com uma igual quantidade de casas 
decimais e, em seguida, executar a operação.
Exemplo 3:
10,08299 + 23,06 = 10,08 + 23,06 = 33,14
99,112 - 87,4436 = 99,112 - 87,444 = 11,668
Após os cálculos, a referência para representação em relação à quantidade 
de casas decimais continua com o componente que apresenta menor quanti-
dade de algarismos signifi cativos. 
Multiplicação e divisão com algarismos signifi cativos
Operações de multiplicação e divisão são executadas conforme suas especi-
fi cações próprias e o resultado obtido deve ser escrito com a mesma quantidade 
de algarismos signifi cativos ao fator que compõe a operação que possui a menor 
quantidade de algarismos signifi cativos.
Exemplo 4:
0,012 · 12,7306 = 15,27672 ≅ 15,276
67,23 : 7,0119 = 9,58798614 ≅ 9,59
Observe que o critério de quantidade de casas decimais se baseia no número 
constituído por menos algarismos signifi cativos.
Sistemas numéricos
Como organizar vários algarismos de maneira a se obter uma estruturação ló-
gica e concisa? 
Nossos antepassados se preocuparam com essa questão e, para solucioná-la, 
criaram os sistemas de numeração. Como exemplo, temos o sistema de numera-
ção romana, que foi desenvolvido na Roma Antiga e consiste na utilização de sete 
letras maiúsculas, I, V, X, L, C, D e M, às quais são atribuídos valores específi cos a 
cada representação, de modo a diferenciá-las. 
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Figura 4. Sistema de numeração romana. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 31/10/2019.
Um sistema de numeração é uma esquematização que representa uma gran-
de quantidade de números de uma forma coerente e concisa, direcionando, a cada 
número, uma particular e única representação, refletindo em suas estruturas al-
gébricas e aritméticas.
Tendo isso em mente, estudaremos os quatro grandes sistemas de numeração 
que são amplamente utilizados na matemática e computação, conforme mostra 
o Diagrama 4. 
DIAGRAMA 4. PRINCIPAIS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistemas de
numeração
DECIMAL
OCTAL
BINÁRIO
HEXADECIMAL
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Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração decimal demais é instituído por dez dígitos: 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Sua dinâmica ocorre pelo agrupamento de dez, sendo que cada 
algarismo é multiplicado por uma potência de 10, diferenciada pelovalor de seu 
expoente. Constitui um sistema posicional, isto é, o valor de um algarismo é deter-
minado pela posição que ocupa no numeral.
Exemplo 1.
O número 671 é representado no sistema decimal da seguinte maneira: 
671 = 6 centenas + 7 dezenas + 1 unidade
671 = 6 · 102 + 7 · 101 + 1 · 100
Exemplo 2. 
O número 4125 é representado no sistema decimal da seguinte maneira: 
4125 = 4 unidades de milhar + 1 centena + 2 dezenas + 5 unidades
4125 = 4 · 103 + 1 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100
Sistema de numeração binário
O sistema de numeração binário é formado pelos algarismos 0 e 1, que são 
conhecidos como bits. No funcionamento desse sistema, cada algarismo que com-
põe o número é multiplicado por uma potência de dois, distinguida pelo valor atri-
buído a seu expoente.
Exemplo 3. 
O número 111 é representado no sistema binário da seguinte maneira: 
(111)2 = 1 · 2
2 + 1 · 21 + 1 · 20
Exemplo 4. 
O número 10101 é representado no sistema binário da seguinte maneira: 
(101,01)2 = 1 · 2
2 + 0 · 1011 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
Sistema de numeração octal
No sistema de numeração octal, a base é 8 e cada posição é indicada por um 
múltiplo de uma potência de 8. Como o próprio nome sugere, é formado por 
oito algarismos, que originam outros números. 
Exemplo 5. 
O número 532 é representado no sistema octal da seguinte maneira: 
532 = 5 · 82 + 3 · 81 + 2 · 80
Exemplo 6.
O número 9876 é representado no sistema octal da seguinte maneira: 
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987,6 = 9 · 82 + 8 · 81 + 2 · 80 + 5 · 8-1
Sistema de numeração hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal possui base igual a 16, que é elabo-
rada pelo conjunto dos seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 
E, F. Nesse sistema, existe a combinação entre letras e números. Assim, cada 
algarismo pode conter dezesseis possibilidades de símbolos. Ao fi ndar todos 
os dígitos hexadecimais, a repetição começa com o incremento de outro dígito. 
Dessa maneira, a continuidade da sequência é dada por: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, 23 etc.
Exemplo 7. 
O número 10024 é representado no sistema hexadecimal da seguinte ma-
neira: 
10024 = 307 C
Exemplo 8. 
O número 424 é representado no sistema hexadecimal da seguinte maneira: 
424 = 01AB
Mudança de bases numéricas 
Antes de prosseguirmos com o conteúdo, vamos fazer uma breve revisão? 
Aprendemos que os números podem se representados em formatos diferen-
tes, atrelados a sistemas posicionais que utilizam bases específi cas. 
Nesse contexto, surge uma dúvida: de que maneira é possível con-
verter os números representados em bases posicionais 
diferentes? Como alterar um número alocado em 
base decimal para uma base binária? E o processo 
inverso, como deve ser realizado? Explicações a 
estas interrogações descobriremos a seguir! 
Base binária para base decimal 
Para converter um número representado na base 
binária para a base decimal, é necessário realizar os se-
guintes passos:
• escreva o número na base binária e relacione as potências da direita para a 
esquerda;
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• comece com o último algarismo mais à direita e associe a ele a mul-
tiplicação por 20; 
• adicione o número 1 a cada expoente, sempre da direita 
para a esquerda; 
• encerre quando o número de elementos presentes 
na listagem for equivalente à quantidade de algarismos 
presentes na representação binária;
• realize a operação aritmética resultante, começando pelas multiplicações e, 
em seguida, as adições;
• o resultado do somatório indica o número procurado.
Exemplo 1.
(1001)2 = (?)10
( 1 0 0 1 )2 = 1 · 2
3 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
( 1 0 0 1 )2 = 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
( 1 0 0 1 )2 = 8 + 0 + 0 + 1
( 1 0 0 1 )2 = (9)10
Logo, o número 1002, representado na base binária, equivale a 9 na represen-
tação decimal.
Exemplo 2.
(110101)2 = (?)10
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 1 · 2
5 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 1 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
( 1 1 0 1 0 1 )2 = (53)10
Logo, o número 110101, representado na base binária, equivale a 53 na repre-
sentação decimal.
Exemplo 3.
(10,01)2 = (?)10
( 1 0 ,0 1 )2 = 1 · 2
1 + 0 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
( 1 0 ,0 1 )2 = 1 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0,5 + 1 · 0,25
( 1 0 ,0 1 )2 = 2 + 0 + 0 + 0,25
( 1 0 ,0 1 )2 = (2,25)10
Logo, o número 10,01, representado na base binária, equivale a 2,25 na repre-
sentação decimal. 
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EXPLICANDO
Quando houver a existência de uma vírgula na representação binária, é 
indicação que há uma parte fracionária. Sendo assim, é necessário lem-
brar que toda base elevada a um expoente negativo possui a propriedade 
de ser convertida a uma fração. Por exemplo:
2-1 = = 0,5 e 2-2 = = = 0, 251
2
( ) 1
2
( ) 1
4
1 2
 
Assim, conseguimos determinar os outros termos relativos à representa-
ção binária.
Exemplo 4.
(10,111)2 = (?)
10
(1 0 ,1 1 1)2 = 1 · 2
1 + 0 · 20 + 1 · 2-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3
(1 0 ,1 1 1)2 = 1 · 2 + 0 · 1 + 1 · 0,5 + 1 · 0,25 + 1 · 0,125
(1 0 ,1 1 1)2 = 2 + 0 + 0,25 + 0,125
(1 0 ,1 1 1)2 = (2,375)10
Base decimal para base binária 
O processo de conversão de um número indicado na base decimal para a base 
binária é diferenciado para a parte inteira e a parte decimal (se houver). Assim, 
conheceremos as duas técnicas.
A transformação da parte inteira, ou o método das divisões sucessivas, é guia-
da pelas seguintes orientações:
• divida o número inteiro por 2;
• divida novamente o quociente da divisão anterior por 2;
• repita o processo de divisão por 2 até obter o último quociente igual a 1.
O número binário é obtido pela escrita do último quociente e seus respectivos 
restos referentes às divisões. Além disso, eles são lidos sempre em sentido inverso.
Quando o número for composto por uma porção fracionária, ou seja, quan-
do ele for decimal, utilizamos o método das multiplicações sucessivas, que é 
orientado pelos seguintes passos:
• multiplique a parte fracionária por 2;
• do resultado obtido, a parte inteira será o primeiro dígito do número em 
base binária. Caso haja parte fracionária restante, ela deverá ser multiplicada 
novamente por 2;
• o processo é repetido até se obter o número 0 na parte fracionária da 
última multiplicação. 
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Exemplo 1. 
(14)10 = (?)2 
TABELA 1. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 1
QUOCIENTE RESTO
14 : 2 7 0
7 : 2 3 1
3 : 2 1 1
A leitura é realizada sempre no sentido contrário e a partir do quociente 1. 
Assim, o número 14, indicado na base decimal, possui representação binária 
dada por ( 1 1 1 0 )2.
Exemplo 2.
(41)10 = (?)2 
TABELA 2. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 2
QUOCIENTE RESTO
41 : 2 20 1
20 : 2 10 0
10 : 2 5 0
5 : 2 2 1
2 : 2 1 0
CÁLCULO NUMÉRICO 30
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Considerando a leitura no sentido contrário a partir do quociente 1, concluí-
mos que o número 41, indicado na base decimal, possui representação binária 
dada por (1 0 1 0 0 1)2.
Exemplo 3.
 (0,1875)10 = (?)2
0,1875 · 2 = 0,375
0,375 · 2 = 0,75
0,75 · 2 = 1,50
0,50 · 2 = 1,00
Como a parte inteira é zero, ela permanece inalterada. Já a leitura, é feita 
baseada na parte inteira provinda dos resultados das multiplicações e segue o 
sentido de cima para baixo. Logo, o número 0,1875 possui representação biná-
ria equivalente a (0,0 0 1 1)2.
Nesta situação, de um número composto por uma parte inteira e outra de-
cimal, é necessário realizar um procedimento adequado para número inteiro e 
outro para a porção decimal. 
TABELA 3. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 3 – 
PARTE INTEIRAQUOCIENTE RESTO
85 : 2 42 1
42 : 2 21 0
21 : 2 10 1
10 : 2 5 0
5 : 2 2 1
2 : 2 1 0
Para a parte decimal, é necessário realizar o seguinte procedimento: 
0,375 · 2 = 0,75
0,75 · 2 = 1,50
0,50 · 2 = 1,00
Assim, é possível concluir que a representação binária para o número 
83,375 é (1 0 1 0 1 0 1 ,0 1 1)2.
CÁLCULO NUMÉRICO 31
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DICA
Observe que todas as representações binárias são passíveis de conferên-
cia. Assim, ao optar em conferir se o resultado encontrado está realmente 
correto, basta realizar o processo inverso, ou seja, seguir os parâmetros 
para conversão da base binária para a base decimal.
Sistema e Aritmética de ponto flutuante 
A necessidade de representar computacionalmente números muito ex-
tensos, sejam muito grandes ou números muito pequenos, justifi ca a utili-
zação da representação em ponto fl utuante, que consiste em uma versão da 
notação científi ca tendo a base binária como referência. A representação em 
Aritmética de ponto fl utuante é muito utilizada na computação digital. Um 
exemplo disso são as calculadoras científi cas.
Um número real (R) é representado internamente em um computador por 
meio de uma série de impulsos elétricos que apontam dois resultados possí-
veis: 0 ou 1, indicando a utilização de uma base binária. Observe, na Figura 5, 
a transformação do número 14 em um computador para a linguagem binária.
14
Impulsos
elétricos
(1 1 1 0 )2
Figura 5. Representação interna de um número real (R). 
CÁLCULO NUMÉRICO 32
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 A vantagem na utilização do ponto flutuante consiste na capacidade am-
pliada de representar uma grande faixa de números se comparada com a re-
presentação de ponto fixo. Mas de que forma? Vamos entender isso melhor?
Admita uma representação com cinco dígitos, vamos compreender sua ca-
pacidade de representação nos seguintes sistemas:
a) representação de ponto fixo:
• maior número representável = 9,9999 ≅ 10
• menor número representável = 0,0001 ≅ 10-5
b) representação com ponto flutuante: deslocamento de dois dos cinco dígi-
tos para representar a potência de 10:
• maior número representável = 9,999 · 1099
• menor número representável = 0,001 ≅ 10-99
Dessa forma, foi possível entender melhor essa capacidade de representa-
ção ampliada em relação à representação de ponto fixo. Devido a isso, a lingua-
gem ocupacional utiliza esse recurso para sua programação. 
Cada número representado em ponto flutuante está relacionado com três 
outros números: mantissa, expoente (valor mínimo e máximo) e base. 
A mantissa é a parte do número que representa seus dígitos significativos. 
O expoente está associado à base utilizada e a base corresponde ao sistema 
que opera a máquina. Outro componente importante é t, que revela o número 
de dígitos significativos do sistema de representação, também definido por ser 
a precisão da máquina.
De acordo com Franco, autor do livro Cálculo Numérico, publicado em 2006, 
um número x, representado no sistema de numeração de ponto flutuante é 
dado por:
x = mantissa · βe
x = ± 0, d1, d2, d3 …dp· βe
Em que é possível identificar os componentes:
• β é a base de operações aritméticas da máquina;
• e é o expoente que está compreendido no intervalo -m ≤ e ≤ M, em que (m, 
M ∈ N);
• t é a quantidade de dígitos da mantissa, em que d1 ≠ 0, 0 ≤ di < β, i = 1, 2, 3, …t.
De maneira prática e resumida, todas as informações necessárias para um 
sistema de ponto flutuante serão apresentadas da seguinte forma:
CÁLCULO NUMÉRICO 33
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F (β,p,m,M)
Bem, considere um sistema de ponto flutuante descrito por: 
F (2, 5, -4, 4)
Sendo que:
• a base é binária;
• a precisão equivale a 5;
• -4 indica o valor mínimo para o expoente;
• 4 indica o valor máximo para o expoente.
É indicado que exista uma forma normalizada de representação numérica. 
Para tanto, em nosso contexto, utilizaremos somente mantissas normalizadas. 
Uma mantissa se encontra normalizada quando é constituída unicamente por 
uma parte fracionária (não existe parte inteira) e quando o primeiro dígito à 
direita da vírgula for diferente de 0, ou seja, considerando o sistema numérico, 
só existe a possibilidade de ser o algarismo 1. 
Destaca-se que um número não normalizado é passível de normalização. 
Para isso, basta realizar deslocamentos da mantissa para a direita ou esquerda 
e incrementos ou decrementos do expoente, respectivamente. 
Para manter a magnitude, ou seja, o tamanho do número, é necessário a 
multiplicação pela base elevado a um expoente composto pela quantidade de 
casas deslocadas. O sinal que o acompanhará será positivo caso o deslocamen-
to aconteça pela esquerda e será negativo quando ocorrer pela direita.
Exemplo 1. 
Considere a seguinte representação binária não normalizada:
 (-111,101)2
Para normalizá-la, é necessário deslocar três dígitos para a direita, de modo 
que o primeiro algarismo antes da vírgula seja igual a 0. Logo, seu formato será:
(-0,111101)2
Observe que o deslocamento ocorreu para a direita e três casas foram mo-
vidas. Assim, a versão normalizada pode ser descrita por: 
(-0,111101 · 23)2
Aprendemos como identificar se a representação numérica está normaliza-
da. No entanto, como converter um número retratado por uma base numérica 
qualquer para o sistema de ponto flutuante? Basta seguirmos os três passos 
descritos a seguir:
CÁLCULO NUMÉRICO 34
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• 1°: verifique se a base é igual à solicitada;
• 2°: converta, caso necessário, o número para a base indicada; 
• 3°: normalize.
Exemplo 2.
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (10, 5, -3, 3).
• 1°: observe que a base do sistema é 10, igual a da representação numérica. 
Logo, não é necessário o segundo passo, uma vez que não haverá conversão.
• 2°: normalize. Será necessário deslocar a vírgula uma casa à esquerda. 
Logo, a base 10 deverá ter o expoente igual a 1.
 Sendo assim, a resposta correta é: 
(-0,3625 · 101 )10
Exemplo 3. 
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (2, 5, -3, 3).
• 1°: a base é diferente. Logo, há a necessidade de conversão;
• 2°: Para converter uma base decimal em uma binária, é preciso utilizar o mé-
todo das divisões sucessivas para a parte inteira (Tabela 4); e o de multiplicações 
sucessivas para a parte decimal. Esses cálculos podem ser vistos a seguir.
QUOCIENTE RESTO
3 ÷ 2 1 1
Multiplicações sucessivas para a parte decimal:
0,625 · 2 = 1,25
0,25 · 2 = 0,50
0,50 · 2 = 1,00
Assim, a representação binária para o número -3,625 é:
(1 1, 1 0 1 1 )2.
• 3° Normalize: para normalizar é necessário deslocar duas casas para a 
esquerda. Logo, a base 2 terá um expoente de número 2 positivo (22).
A resposta correta é:
(-0,1 1 1 0 1 1 · 22 )2
Exemplo 4.
TABELA 4. DIVISÕES SUCESSIVAS PARA A PARTE INTEIRA
CÁLCULO NUMÉRICO 35
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Escreva o número (11,01)2 no sistema F (2, 4, -5, 5).
• 1°: observe que a base do sistema é 2, igual à da representação numérica. 
Logo, não se torna necessário o segundo passo, uma vez que não haverá con-
versão;
• 2°: normalize. Será necessário deslocar a vírgula duas casas para a esquer-
da. Logo, a base 10 deverá ter o expoente igual a +2.
 Logo, a representação neste sistema de ponto flutuante será:
(0,1101 · 102 )10
Exemplo 5.
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (10, 3, -3, 3).
• 1°: as bases são distintas. Logo, existe a necessidade de conversão;
• 2°: para converter uma base binária em uma decimal, é preciso realizar 
produtos entre a base 2:
(11,01)2 = (?)10
( 1 1 , 0 1 )2 = 1 · 2
1 + 1 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
( 1 1 ,0 1 )2 = 1 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0,5 + 1 · 0,25
( 1 0 ,1 1 1 )2 = 2 + 1 + 0 + 0,25
( 1 1 ,0 1 )2 = (3,25)10
• 3°: para normalizar, é necessário deslocar uma casa para a esquerda. 
Logo, a base 2 terá umexpoente um positivo:
(0,325 · 101 )10
Assim, a representação adequada para esse sistema é:
(-0,325 · 101 )2
Exemplo 6. 
Escreva o número (0,00012238)10 no sistema F (10, 5, -3, 3).
• 1°: observe que as bases são 10. Logo, é necessário realizar o segundo 
passo, uma vez que não haverá conversão;
• 2°: será necessário deslocar a vírgula por três casas à direita. Logo, a base 
10 deverá ter o expoente igual a -3.
 A representação nesse sistema de ponto flutuante é:
(0,12238 · 10-3 )10
Como sabemos, o conjunto de números reais é ilimitado, ou seja, infinito. 
Todavia, sua representação em um sistema de ponto flutuante não é o que o 
torna limitado, isto é, um sistema finito. 
CÁLCULO NUMÉRICO 36
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 36 12/12/2019 10:20:33
Essa limitação atribuída ao sistema de ponto flutuante é oriunda de duas 
vertentes: faixa do expoente limitada, sendo delimitada por um valor mínimo e 
outro máximo, e a mantissa, que também indica um número finito de números.
Sempre que uma operação matemática gera um número com expoente aci-
ma do expoente máximo, tem-se o overflow. As operações que resultam em 
expoente abaixo do expoente mínimo, por sua vez, sofrem underflow.
De forma mais simplificada, é possível afirmar que um erro ocasionado por 
overflow acontece quando um número é muito grande para ser representado. 
Em contrapartida, um erro de underflow é gerado quando um número é muito 
pequeno para ser representado.
Um dúvida que pode aparecer é a seguinte: como determinar o maior e o 
menor número em um sistema de ponto flutuante, uma vez que ele é limitado? 
Bem, vamos resolver dois exercícios, de modo a sanar tal questionamento.
Exemplo 7. 
Admita um sistema de ponto flutuante descrito por F (2, 3, -3, -3). A partir 
disso, determine:
a) O maior número representável nesse sistema.
Como o desejado é o maior número, ele pode ser descrito por:
xn = 0,111 · 2
3
Uma vez que a maior mantissa no sistema binário é o 1 1 1 e o maior ex-
poente, conforme especificações, é o 3. Logo, convertendo para a base deci-
mal, tem-se: 
xn = (1 · 2
-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3) · 23 = 7
Assim, em um sistema flutuante F (2, 3, -3, -3), o maior valor passível de re-
presentação é o 7.
b) O menor número representável nesse sistema.
Como o desejado é o maior número, ele pode ser descrito por:
xn = 0,100 · 2
3
Uma vez que a maior mantissa no sistema binário é o 1 0 0 e o maior ex-
poente, conforme especificações, é o -3. Logo, convertendo para a base deci-
mal, tem-se:
xn = (1 · 2
-1 + 0 · 2-2 + 0 · 2-3) · 2-3 = 0,0625
Assim, em um sistema flutuante F (2, 3, -3, -3), o maior valor passível de re-
presentação é o 0,0625.
CÁLCULO NUMÉRICO 37
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 37 12/12/2019 10:20:33
ASSISTA
Ainda com dúvidas sobre a dinâmica do ponto flutuante? 
Para complementar suas habilidades, assista ao vídeo 
denominado Notação Ponto Flutuante, produzido pelo 
professor Gilberto Farias, no qual ele explica detalha-
damente sobre esse conteúdo mais direcionado para a 
linguagem computacional.
CÁLCULO NUMÉRICO 38
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 38 12/12/2019 10:20:33
Sintetizando
Caros(as) aluno(as), chegamos ao fim da primeira unidade de nosso curso, 
cujo principal objetivo foi o de apresentar a disciplina de Cálculo Numérico, 
compreendendo os conceitos que a fundamentam. 
Vimos que o Cálculo Numérico consiste na relação e posterior resolução de 
sistemas numéricos e que ele se subdivide em seis grandes eixos temáticos: 
modelagem numérica, resolução de equações lineares, não lineares e trans-
cendentes, ajustes de curvas, interpolação, integração numérica e equações 
diferenciais ordinárias.
A Teoria dos Erros está implícita nos cálculos numéricos. Aprendemos que 
existem três fatores que ocasionam seu surgimento: a origem dos dados, pro-
vindos da inexatidão dos dados obtidos, o erro pelo ato de truncar, ou seja, de 
limitar uma série de termos infinitos, e o erro originado pelo arredondamento 
mal sucedido. Mensurar esse erro torna-se necessário e pode ser determinado 
pelas relações de erro absoluto, erro relativo e erro percentual.
A compreensão do conteúdo de Aritmética de ponto flutuante é mais com-
plexa e necessita de conhecimentos prévios sobre bases numéricas, bem como 
sua conversão. Nesse contexto, aprendemos que as bases numéricas são me-
canismos que possibilitam organizar os algarismos. As bases mais conhecidas 
e utilizadas são: base decimal, base binária, base octal e base hexadecimal, 
com destaque para a base decimal e binária, que comumente são as mais uti-
lizadas e convertidas.
O sistema de ponto flutuante é muito utilizado no meio computacional, fun-
damentando conceitos relacionados à programação. Basicamente, os pontos 
flutuantes correspondem ao número de operações e cálculos de processamen-
to que um computador é capaz de fazer em um segundo. Para trabalhar com 
essa dinâmica de ponto flutuante, é necessário os seguintes elementos: a base 
a ser utilizada, precisão a ser instituída, expoente limitado por valores máximo 
e mínimo e a mantissa.
CÁLCULO NUMÉRICO 39
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Referências bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5891: Regras de arredonda-
mento na numeração decimal. Rio de Janeiro, 2014. 
AMARAL T. R.; LEITE N. M. G.; SILVA, A.O. O ensino de Cálculo Numérico utilizando 
o Scilab. In: VI Congresso Internacional de Ensino da Matemática, 2013, Canoas.
BARROSO, L. C. et al. Cálculo Numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Editora 
Harbra, 1987. 
CAMPOS, F. F. F. Algoritmos numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
COSTA, A. Erros e algarismos significativos. Gazeta da Física, Pedroso, 2015. Dispo-
nível em: <https://www.spf.pt/magazines/GFIS/94/article/651/pdf>. Acesso em: 08 
out. 2019.
DALCÍDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico computacional – teoria e prática. 
2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1994.
DÉCIO, S.; MENDES, J. T.; MONKEN, L. H. Cálculo Numérico. São Paulo: Makron 
Books, 2003.
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HUMES, M. Y. M. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: Ed. McGraw Hill, 1984.
KLÜBER, T. E. Modelagem Matemática: revisitando aspectos que justificam a sua uti-
lização no ensino. Brandt, CF, Burak, D., & Klüber, TE, orgs, [s.l.], pp. 41-58, 2016.
LICENCIATURA em computação – Notação Ponto Flutuante (Prof. Gilberto Farias).
Postado por VideosUFPBVirtual. (10min. 21s.). color. son. port. Disponível em: <ht-
tps://www.youtube.com/watch?time_continue=10&v=psyH7eBVLr4>. Acesso em: 
31 out. 2019. 
RAMOS, D. M. C.; ARAUJO, W. B.; OLIVEIRA, A. R. Aplicação de métodos numéricos 
através ambiente gráfico no ensino de engenharia. In: XXVIII Encontro Nacional de 
Engenharia de Produção, 2008, Rio de Janeiro.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico – aspectos teóricos e compu-
tacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996.
CÁLCULO NUMÉRICO 40
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EQUAÇÕES NÃO 
LINEARES
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Conceituar equações não lineares;
 Apresentar diferentes métodos numéricos para determinar as raízes das 
equações não lineares;
 Definir e solucionar problemas associados ao método do meio intervalo 
(MMI), método das aproximações sucessivas (MAS), método das secantes (MS) 
e método de Newton-Rapson (MNR);
 Desenvolver habilidades para identificar o melhor método para solucionar as 
equações não lineares;
 Comparar a convergência inserida na utilização de cada método numérico.
 Equações não lineares
 Solução de equações não 
lineares
 Teorema de Bolzano
 Métodos de solução de equa-
ções não lineares I
 Método do meio intervalo 
(MMI) 
 Método das aproximações 
sucessivas (MAS)
 Métodos de solução de equa-
ções não lineares II
 Método das secantes (MS)
 Método de Newton-Raphson(MNR)
 Comparação entre os métodos 
numéricos
CÁLCULO NUMÉRICO 42
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Equações não lineares
Caro aluno, é trivial resolver uma equação polinomial do primeiro grau, 
como 3x - 15 = 0, concordam? Uma equação neste formato pode ser soluciona-
da da seguinte maneira:
3x - 15 = 0
3x = 15
x = 153
Podemos defi nir uma equação não linear como toda e qualquer equação 
com variável de grau diferente de 1. 
As equações não lineares não podem ser solucionadas a partir de um nú-
mero limitado de operações algébricas simples (+, −, /, ×, exp, log) ou funções 
elementares (polinômios, razão entre polinômios, potências racionais e as fun-
ções transcendentais: exponenciais, logaritmo, trigonométricas, hiperbólicas). 
Existem casos em que a própria função é desconhecida explicitamente, ou seja, 
sua defi nição ocorre a partir de uma série infi nita ou de uma integral. O re-
sultado também pode ser uma equação diferencial. Nesses casos, utilizamos 
métodos numéricos para resolver a equação.
Solução de equações não lineares
Solucionar uma equação não linear consistirá em aproximar soluções com 
precisão cada vez mais alta de equações que se encontram no formato f(x) = 0, 
sendo que f: e f deverá ser, no mínimo, uma função contínua, ou seja, sem 
intervalos de descontinuidade em uma vizinhança da raiz.
Em seu livro Noções de cálculo numérico, de 1984, Humes descreve o pro-
cesso iterativo como aquele que calcula uma sequência de aproximações (x1, 
x2, x3, …) da solução desejada. O cálculo de uma nova iteração é realizado com 
base nas aproximações anteriores; desta maneira, devem ser informadas as 
aproximações iniciais que o processo demandar.
Dizemos que o processo iterativo converge para x se a sequência constituí-
da por x1, x2, x3,… também converge para esse valor. Essa informação é obtida 
= 5
CÁLCULO NUMÉRICO 43
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após um número fi nito de passos, aplicando um algoritmo determinado núme-
ro de vezes. Logo, os processos iterativos não fornecerão valores exatos para 
as raízes, mas sim um valor aproximado.
Embora os métodos numéricos não forneçam soluções precisas, eles po-
dem ser calculados com a exatidão requerida pelo problema. De modo geral, 
conforme afi rma Barroso et al. em seu livro Cálculo numérico (com aplicações), 
de 1987, para se calcular uma raiz, dois passos devem ser seguidos:
• Isolamento da raiz: consiste em determinar um intervalo [a, b], o menor 
possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0;
• Refi namento da raiz: ou seja, melhorar a raiz aproximada, aproximando-a 
até o grau de exatidão pretendido.
CURIOSIDADE
Determinar raízes de uma equação sempre foi uma questão debatida ao 
longo dos séculos. Na antiga Babilônia, já era conhecida a fórmula para 
o cálculo das raízes exatas de uma equação quadrática. No século XVI, 
matemáticos italianos encontraram modelos para o cálculo de soluções 
exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. No século 
XVII, o matemático Niels Abel (1802-1829) contribuiu para soluções notá-
veis e consideráveis para a evolução da matemática, provando que não há 
uma fórmula geral para o cálculo das raízes exatas de uma equação poli-
nomial de grau maior ou igual a 5. Nesta conjuntura, é necessário recorrer 
aos métodos numéricos para calcular aproximações para as raízes reais 
de dada equação.
Teorema de Bolzano
Na pesquisa de zero de uma função, é muito comum utilizarmos o teorema 
de Bolzano, que só pode ser aplicado em funções contínuas em um intervalo, 
trabalhando a existência de uma raiz em determinado intervalo: 
Seja f: uma função contínua em um intervalo [a, b] ⊂ :
• Se f(a) . f(b) < 0, então existe x [a, b], tal que f(x) = 0;
• Se f(a) . f(b) > 0, então não existe x [a, b], tal que f(x) = 0.
De modo geral, podemos afi rmar que, se uma função contínua muda de 
sinal em um determinado intervalo, então ela possui pelo menos um 0, ou seja, 
uma raiz nesse intervalo, conforme pode ser verifi cado no Gráfi co 1.
CÁLCULO NUMÉRICO 44
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GRÁFICO 1. TEOREMA DE BOLZANO
y
ƒ(α)
ƒ(b)
α c
b
x
Métodos de solução de equações não lineares I
Aprendemos que, para determinar a solução de uma equação linear, é 
necessário limitar um intervalo que contenha uma raiz; em seguida, deve 
ocorrer seu refinamento. 
Mas em que consiste este processo? Como é possível refinar, ou seja, 
melhorar a precisão de uma raiz de uma função? 
O formato no qual ocorre esse refi namento é que diferencia e catego-
riza os métodos numéricos, sendo que todos estes são classifi cados como 
métodos iterativos, pois a repetição contínua e sucessiva de um método 
recebe a denominação de iteração, enquanto as aproximações sucessivas 
encontradas por estes processos são chamadas de termos iterados.
Conheceremos, inicialmente, os seguintes métodos:
• Método do meio intervalo (MMI);
• Método das aproximações sucessivas (MAS).
Seremos apresentados à sua correta definição matemá-
tica e sua interpretação geométrica, ou seja, à maneira na qual podemos 
visualizar, no plano, sua dedução, assim como o algoritmo a ser utilizado 
em cada técnica.
CÁLCULO NUMÉRICO 45
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Método do meio intervalo (MMI) 
O método do meio intervalo também recebe o nome de método da bis-
secção e consiste em dividir sucessivamente por dois o intervalo em que se 
localiza a raiz até que a solução seja isolada conforme a correção estabelecida.
Para a utilização do método do meio intervalo, é necessário admitir um in-
tervalo [a, b], para qual f(a) . f(b) < 0, assim será calculado o valor da função 
no ponto médio: x1 = 
a + b
2 , como f(a) 
. f(x1) < 0, então f tem uma raiz entre a e x1. 
Baseado nisso, o processo é repetido sobre o novo intervalo [a, x1]; para fi nali-
zar se f(a) . f(x1 ) > 0, segue que f(b) . f(x1 ) < 0, desde que f(a) e f(b) tenham sinais 
contrários. Portanto, f tem um 0 entre x1 e b. O processo será repetido, porém 
utilizando o intervalo [x1, b].
De modo geral, o MMI pode ser caracterizado como:
Para k = 1, 2, 3,…, e um intervalo defi nido por [a, b], faça:
GRÁFICO 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
f(x)
f(b)
f(a)
x2a
b
x
x3 x1
x
Fonte: FRANCO, 2006, p. 66. (Adaptado).
Utilizar o MMI consiste em construir uma tabela semelhante à Tabela 1:
TABELA 1. ALGORITMO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk) |b - a|≤ ε
xk = 
a + b
2
Se f(a) . f(xk)
< 0 então b = xk 
> 0 a = xk
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Sobre o preenchimento desta tabela, é necessário se atentar às seguintes 
observações:
• k corresponde ao número de iteração respectiva à linha preenchida e deve 
iniciar sempre por 0;
• a e b são determinados pelo intervalo informado, ou seja, [a; b];
• xk será respectivo à linha utilizada, correspondendo ao número de iteração 
realizada;
• f(xk ) significa o resultado da função dada a média utilizada, sendo necessá-
rio apenas o sinal do resultado;
• f(a) . f(xk ): nesta etapa, é realizada a regra de sinais e seu resultado influen-
ciará na próxima iteração. Veja a regra:
Se f(a) . f(xk)
< 0 então b = xk 
> 0 a = xk
• |b - a| ≤ ε indica a precisão da iteração. Assim, quando o resultado dessa sub-
tração corresponder a um número menor ou igual ao erro que é determinado 
no exercício, a média da próxima iteração corresponderá à raiz da equação.
EXPLICANDO
Na multiplicação entre dois números inteiros, utilizamos a regra de sinais 
para determinar o sinal resultante das respectivas operações. Basicamente, 
essa regra afirma que o produto entre números que possuem sinais iguais 
(+) ∙ (+) ou (-) ∙ (-) gera um resultado positivo; já o produto entre números com 
sinais diferentes (+) ∙ (-) ou (-) ∙ (+) origina um resultado negativo.
Exemplo 1: determinara raiz da equação ex - 2cos(x) - 4 = 0, x1 ∈ [1; 2] com 
precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,01.
Para iniciar o processo de determinação da solução deste exemplo, cons-
truiremos uma tabela com o cabeçalho igual à Tabela 1.
TABELA 2. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
0 1 2 x0 = = 1,5 
1 + 2
2 + (-) 
. (+) = (-) |2 - 1| = 1
CÁLCULO NUMÉRICO 47
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k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
1 1 1,5 x1 = = 2,25
1 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+) |1,5 - 1| = 0,5
2 1,25 1,5 x2 = = 1,375
1,25 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+)
|1,5 - 1,25| = 
0,25
3 1,375 1,5 x3 = = 1,4375
1,375 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+)
|1,5 - 1,375| = 
0,125
4 1,4375 1,5
x4 = 
1,4375 + 1,5
2
= 1,46875
+ (-) . (+) = (-)
|1,5 - 1,4375|
= 0,0625
5 1,4375 1,46875
x5 = 
1,4375 + 1,46875
2
= 1,453125
+ (-) . (+) = (-)
|1,46875 - 
1,4375|
 = 0,03125
6 1,4375 1,453125
x6 = 
1,4375 + 1,453125
2
= 1,4453125
+ (-) . (+) = (-)
|1,453125 - 
1,4375|
= 0,015625
7 1,4375 1,4453125
x7 = 
1,4375 + 1,4453125
2
= 1,44140625
|1,4453125 - 
1,4375|
 = 0,0078125
Assim, é possível concluir que a raiz da equação ex - 2cos(x) - 4 = 0, localizada 
no intervalo x1 ∈ [1; 2] equivale a 1,44 devido à precisão solicitada de ϵ = 0,01. 
Observe que a raiz encontrada deve pertencer, ou seja, estar compreendida no 
intervalo determinado.
DICA
O erro indicado no enunciado do exercício indica a precisão na qual os 
cálculos devem ser realizados. Basicamente, informa com quantas casas 
decimais o resultado deve ser informado; no entanto, pode-se já aplicar a 
precisão indicada em cada iteração, de modo a facilitar os cálculos, uma 
vez que não serão utilizadas todas as casas decimais.
Exemplo 2: determinar a raiz da equação x2 - 4 + 5e2x = 0, x1 ∈ [-1; 0] com 
precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,001.
Para iniciar a resolução deste exemplo, construiremos uma tabela com o 
cabeçalho igual à Tabela 1.
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TABELA 3. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
0 -1 0 x0 = = - 0,5 
-1 + 0
2 - (-) 
. (-) = (+) |0 - (-1)| = 1
1 -0,5 0 x1 = = - 0,25
-0,5 + 0
2 - (-) 
. (-) = (+)
|0 - (-0,5)| 
= 0,5
2 -0,25 0 x2 = = - 0,125
-0,25 + 0
2
- (-) . (-) = (+)
|0 - (-0,25)| = 
0,25
3 -0,125 0 x3 = = - 0,062
-0,125 + 0
2
+ (-) . (+) = (-)
|0 - (-0,125)| = 
0,125
4 -0,125 -0,062
x4 = 
= - 0,093
-0,125 + (-0,062)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,062 - 
(-0,125)| = 
0,063
5 -0,125 -0,093
x5 = 
= - 0,109
-0,125 + (-0,093)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,093 - 
(-0,125)| = 
0,032
6 -0,125 -0,109
x6 = 
= - 0,117
-0,125 + (-0,109)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,109 - 
(-0,125)| = 
0,016
7 -0,125 -0,117
x7 = 
= - 0,121
-0,125 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,125)| = 
0,008
8 -0,121 -0,117 x8 = 
= - 0,119
-0,121 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,121)| = 
0,004
9 -0,119 -0,117 x9 = 
= - 0,118
-0,119 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,119)| = 
0,002
10 -0,118 -0,117
x10 = 
= - 0,118
-0,118 + (-0,117)
2
|-0,117 - 
(-0,118)| = 
0,001
É possível concluir que a raiz da equação x2 - 4 + 5e2x = 0, localizada no in-
tervalo x1 ∈ [-1; 0], equivale a -0,118 devido à precisão solicitada de ϵ = 0,001, ou 
três casas decimais.
Podemos inferir sobre este método: 
• Sua convergência é linear, ou seja, é lenta;
CÁLCULO NUMÉRICO 49
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• A cada iteração, o comprimento do intervalo que contém a solução é re-
duzido à metade;
• Indicado para diminuir o intervalo que contém a raiz.
Método do meio intervalo (MMI) 
O método das aproximações sucessivas (MAS), que também recebe o nome 
de método da iteração linear ou método do ponto fi xo, é demonstrado por uma 
sequência de aproximações da raiz de uma função f(x), e é obtido por inter-
médio de uma relação de recorrência: 
xn + 1 = xn n = 1, 2, 3, …
Sendo que: x0 é uma aproximação inicial de e (x) é uma função que tem 
como ponto fi xo, ou seja, = ( ).
A representação gráfi ca respectiva ao método das aproximações sucessivas 
(MAS) é indicada no Gráfi co 3.
GRÁFICO 3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO 
DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
y
xx2x1x0
Ø(x2)
y = Ø(x)
y = x
Ø(x1)
Ø(x0)
y
xx1x2x0
Ø(x1)
y = Ø(x)
y = x
Ø(x2)
Ø(x0)
Fonte: HUMES, 1984, p. 22. (Adaptado).
Para determinar as raízes de funções utilizando o método das aproxima-
ções sucessivas (MAS), é útil elaborar uma tabela com o cabeçalho igual ao 
representado na Tabela 4.
CÁLCULO NUMÉRICO 50
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TABELA 4. ALGORITMO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
k Xk (Xk ) Xk - (Xk ) ≤ ε
Sobre o preenchimento desta tabela, é necessário se atentar às seguintes 
observações:
• k corresponde ao número de iteração respectiva à linha preenchida e deve 
iniciar sempre por 0;
• xk é a aproximação inicial e é informado no enunciado do exercício;
• (xk) indica o resultado da transformação x = x, logo mudará conforme a 
função trabalhada;
• xk - (xk ) ≤ ε permite mensurar o erro encontrado a cada iteração; a partir 
deste valor, identifica-se a parada.
Exemplo 3: determinar a raiz da equação 2x - cos(x) = 0 considerando o 
processo iterativo definido por xk + 1 = xk com (x) = cos(x)
2
, x0 = 
π/4 0,7854 e 
precisão de ϵ = 0,001.
Para solucionar o exemplo 3, iniciaremos a construção de uma tabela que 
contenha um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 4.
k xk
cos(xK )
2
 (xk ) = 
xk - (xk ) ≤ ε
0 x0 = 0,7854 (x0 ) = = 0,3536
cos(x0 ) cos(0,7854 )
2 2
= |0,7854 - 0,3536| = 0,4318
1 x1 = 0,3536 (x1 ) = = 0,4691
cos(x1 ) cos(0,3536 )
2 2
= |0,3536 - 0,4691| = 0,1155
2 x2 = 0,4691 (x2 ) = = 0,4460
cos(x2 ) cos(0,4691)
2 2
= |0,4691 - 0,4460| = 0,023
3 x3 = 0,4460 (x3 ) = = 0,4511
cos(x3 ) cos(0,4460)
2 2
= |0,4460 - 0,4511| = 0,005
4 x4 = 0,4511 (x4 ) = = 0,4500
cos(x4 ) cos(0,4511)
2 2
= |0,4511 - 0,4500| = 0,011
5 x5 = 0,4500 (x5 ) = = 0,4502
cos(x5 ) cos(0,4500)
2 2
= |0,4500 - 0,4502| = 0,002
6 x6 = 4502 (x6 ) = = 0,4502
cos(x6 ) cos(0,4502)
2 2
= |0,4502 - 0,4502| = 0,000
TABELA 5. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
CÁLCULO NUMÉRICO 51
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Logo, caro aluno, concluímos que a raiz da equação 2x - cos(x) = 0, partindo 
do chute inicial de x0 = 
π/4 0,7854 e precisão de três casas decimais, é 0,4502. 
Muita cautela ao efetuar as operações em sua calculadora: a inserção de um 
símbolo incorreto ou mal alocado interfere diretamente nos resultados par-
ciais e finais.
DICA
É importante que a calculadora a ser utilizada nos cálculos esteja sempre 
configurada no modo RAD. Verifique a maneira adequada para realizar 
essa alteração, uma vez que, não ocorrendo tal mudança, haverá diver-
gência nos resultados.
Exemplo 4: determinar a raiz da função f(x) = e-x - x. Considere o processo 
iterativo definido por xk + 1 = xk com (x) = e
-x, x0 = 0 e ϵ =0,0001.
Para resolver o exemplo 4, iniciaremos com a construção de uma tabela que 
contenha um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 4.
TABELA 6. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
k Xk (Xk ) = e
-XK |Xk - (Xk )| ≤ ε
0 x0 = 0 (x0 ) = e-x0 = e
-0 = 1 |0 - 1| = 1
1 x1 = 1 (x1 ) = e-x1 = e
-1 = 0,3679 |1 - 0,3679| = 0,6321
2 x2 = 0,3679 (x2 ) = e-x2 = e
-0,3679 = 0,6922 |0,3679 - 0,6922| = 0,3243
3 x3 = 0,6922 (x3 ) = e-x3 =e
-0,6922 = 0,5005 |0,6922 - 0,5005| = 0,1917
4 x4 = 0,5005 (x4 ) = e-x4 = e
-0,5005 = 0,6062 |0,5005 - 0,6062| = 0,1057
5 x5 = 0,6062 (x5 ) = e-x5 = e
-0,6062 = 0,5454 |0,6062 - 0,5454| = 0,0608
6 x6 = 0,5454 (x6 ) = e-x6 = e
-0,5454 = 0,5796 |0,5454 - 0,5796| = 0,0342
7 x7 = 0,5796 (x7 ) = e-x7 = e
-0,5796 = 0,5601 |0,5796 - 0,5601| = 0,0195
8 x8 = 0,5601 (x8 ) = e-x8 =e
-0,5601 = 0,5712 |0,5601 -0,5712| = 0,1110
9 x9 = 0,5712 (x9 ) = e-x9 =e
-0,5712 = 0,5648 |0,5712 - 0,5648| = 0,0064
10 x10 = 0,5648 (x10 ) = e-x10 = e
-0,5648 = 0,5685 |0,5648 - 0,5685| = 0,0037
11 x11 = 0,5685 (x11 ) = e-x11 = e
-0,5685 = 0,5664 |0,5685 - 0,5664| = 0,0021
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SER_ENGCPME_CALNUME_UNID2.indd 52 12/12/2019 10:28:52
k Xk (Xk ) = e
-XK |Xk - (Xk )| ≤ ε
12 x12 = 0,5664 (x12 ) = e-x12 = e
-0,5664 = 0,5674 |0,5664 - 0,5674| = 0,0010
13 x13 = 0,5674 (x13 ) = e-x13 = e
-0,5674 = 0,5670 |0,5674 - 0,5670| = 0,0004
14 x14 = 0,5670 (x14 ) = e-x15 = e
-0,5670 = 0,5672 |0,5670 - 0,5672| = 0,0002
15 x15 = 0,5672 (x15 ) = e-x15 = e 
-0,5672 = 0,5671 |0,5672 - 0,5671| = 0,0001
Concluímos que a raiz da equação f(x) = e-x - x, partindo do chute inicial de x0 = 
0 e precisão de quatro casas decimais, é 0,5671. Observe que foram necessárias 
muitas iterações para se alcançar o resultado perante a precisão determinada; 
no entanto, é comum no enunciado dos exercícios já estarem estipuladas as 
quantidades de iterações a serem realizadas, de modo a tornar o processo de 
resolução mais prático.
Levando em consideração este método, podemos concluir que:
• Difícil de determinar uma função de iteração que satisfaça a condição de 
convergência; 
• A velocidade de convergência é inversamente proporcional a |F'(ε)|;
• Utilizar o teste |F'(x0)| < 1 pode levar a um engano caso x0 não esteja sufi -
cientemente próximo à raiz.
Métodos de solução de equações não lineares II
Caro aluno, nós já fomos apresentados a dois métodos numéricos que 
viabilizam encontrar a raiz de uma função: o método do meio intervalo e o 
método das aproximações sucessivas. Agora, dando sequência ao estudo 
dos métodos numéricos que são capazes de determinar o zero de uma 
função, conheceremos mais duas metodologias que apresentam caracte-
rísticas peculiares. São elas:
• Método das secantes (MS);
• Método de Newton-Raphson (MNR).
Estes métodos são mais utilizados que os anteriores, 
uma vez que possuem uma capacidade de convergência 
mais rápida, ou seja, necessitam de menos iterações 
para se encontrar o zero da função.
CÁLCULO NUMÉRICO 53
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Continuando com a metodologia adotada anteriormente, veremos a 
correta definição matemática associada a cada método e sua interpreta-
ção geométrica, além de conhecer com detalhes o algoritmo a ser utilizado 
em cada técnica.
Método das secantes (MS)
O método das secantes, que também pode ser chamado de método das 
cordas, baseia-se em um algoritmo de determinação de zeros de uma função 
que utiliza uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada 
vez mais e com mais precisão da raiz de uma função.
CURIOSIDADE
A secante de um ângulo representa a razão entre a hipotenusa e o cateto 
adjacente, dependendo diretamente do valor dessa abertura. Outra rela-
ção também defi ne a secante como sendo o inverso da função cosseno do 
respectivo ângulo.
Geometricamente, o método das 
secantes (Gráfi co 4) consiste em con-
siderar como aproximação posterior a 
intersecção da corda que une os pon-
tos (xk, f(xk)) e (xk - 1, f(xk - 1) com o eixo 
das abscissas: a partir de duas aproxi-
mações, um ponto é encontrado como 
sendo a abscissa de intersecção do 
eixo horizontal e da reta secante que 
passa pelos pontos. A reta secante in-
terceptada pelas aproximações iniciais 
corta o eixo x, obtendo a primeira esti-
mativa para a raiz. Não satisfazendo a 
condição proposta, é necessário fazer 
mais iterações até que se identifi que um valor que atenda a precisão estipu-
lada. Observe que, grafi camente, a função é interceptada pela reta secante; 
também visualizamos a composição de dois triângulos semelhantes.
CÁLCULO NUMÉRICO 54
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GRÁFICO 4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: MÉTODO DAS SECANTES
TABELA 7. ALGORITMO DO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
y
ƒ(xk)
xk x
α
α
ƒ(xk) - ƒ(xk - 1)
ƒ(xk - 1)
xk + 1 xk - 1x
xk f(xk )
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a
b
Para determinar as raízes de funções utilizando o método das secantes, é 
útil elaborar uma tabela com o cabeçalho igual ao representado na Tabela 7.
Sobre o preenchimento desta tabela, são imprescindíveis as seguintes 
observações:
• a e b correspondem aos números que compõem o ponto inicial;
• f(xk) é o valor da função para o valor de a e b e, a partir deste resultado, 
será definido quem será fixado, seguindo a regra:
• Se f(a) > 0, ou seja, (+), fixa a e f(a);
• Se f(b) > 0, ou seja, (+), fixa b e f(b).
• xk + 1 indica o próximo termo da iteração;
•|xk + 1 - xk| ≤ ε calcula o erro encontrado a cada iteração; a partir deste valor, 
identifica-se a parada.
Que tal compreender melhor o funcionamento deste outro método numé-
rico? Vamos lá! Começaremos com a construção de uma tabela que contenha 
um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 7.
Fonte: FRANCO, 2006, p. 81. (Adaptado).
CÁLCULO NUMÉRICO 55
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Exemplo 6: encontre a estimativa da raiz de equação x2 - 10ln(x) - 5 = 0, 
x1 [4; 5] com precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,0001.
xk
f(xk )
x2 - 10ln(x) - 5 = 0
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a = 4
f(a) = f(4) = 42 
- 10ln(4) - 5 = 
-2,8629
= 4,4230
4 . 3,9086 - 5 . (-2,8629)
3,9056 - (-2,8629)
=
b = 5
f(b) = f(5) =52 - 
10ln(5) - 5 = 3,9056
a = 4,4230
f(a) = f(4,4230) 
= 4,42302 - 
10ln(4,4230) - 5
= -0,3054
= 4,4680
4,4230 . 3,9086 - 5 . (-0,3054)
3,9056 - (-0,3054)
=
a = 4,4680
f(a) = f(4,4680)
= 4,46802 - 
10ln(4,4680) - 5
= -0,0064
= 4,4723
4,4680 . 3,9086 - 5 . (-0,0064)
3,9056 - (-0,0064)
= |4,4723 - 4,4680|
= 0,0043
a = 4,4723
f(a) = f(4,4723)
= 4,47232 
-10ln(4,4723) - 5
= 0,0224
= 4,4727
4,4723 . 3,9086 - 5 . 0,0224
3,9056 - 0,0224
= |4,4727 - 4,4723|
= 0,0004
a = 4,4727
f(a) = f(4,4727)
= 4,47272 - 
10ln(4,4727) - 5
= 0,0251
= 4,4727
4,4727 . 3,9086 - 5 . 0,0251
3,9056 - 0,0251
= |4,4727-4,4727|
= 0,0000
TABELA 8. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
Assim, de acordo com a precisão encontrada, é possível concluir que 4,4727 
é uma aproximação da raiz da equação x2- 10ln(x) - 5 = 0 no intervalo [4; 5]. Ob-
serve que os valores de b e f(b) foram fixados (destacados em outra cor), ou seja, 
mantidos até o final. Isso ocorreu porque o valor que representa f(b) foi positivo.
Exemplo 7: determinar a raiz da equação 3x - cos(x) = 0, x1 ∈ [0; 1] com preci-
são, ou seja, com erro de ϵ = 10-4 = 0,0001.
CÁLCULO NUMÉRICO 56
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TABELA 9. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
xk
f(xk )
x2 - 10ln(x) - 5 = 0
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a = 0
f(a) = f(0)
= 3 . 0 - cos(0)
= -1
= 0,2890
0 . 2,4597 - 1 . (-1)
2,4597 - (-1)
=
b = 1
f(b) = f(1)
= 3 . 1 - cos(1)
= 2,4597
a = 0,2890
f(a) = f(0,2890)
= 3 . 0,2890 - 
cos(0,2890)
= -0,0915
= 0,3145
0,2890 . 2,4597 - 1 . (-0,0915)
2,4597 - (-0,0915)
= |0,3145 - 0,2890|
= 0,0255
a = 0,3145
f(a) = f(0,3145)
= 3 . 0,3145 - 
cos(0,3145)
= -0,0075
= 0,3166
0,3145 . 2,4597 - 1 . (-0,0075)
2,4597 - (-0,0075)
= |0,3166 - 0,3145|
= 0,0021
a = 0,3166
f(a) = f(0,3166)
= 3 . 0,3166 - 
cos(0,3166)
= -0,0005
= 0,3167
0,3166 . 2,4597 - 1 . (-0,0005)
2,4597 - (-0,0005)
= |0,3167 - 0,3166|
= 0,0001
Logo, de acordo com a precisão determinada, é possível estabelecer que 
0,3167 é uma aproximação da raiz da equação 3x - cos(x) = 0, x1∈ [0; 1]. Averigue 
que o valor de b = 1 e f(b) = 2,4597 foram constantes (destacados em outra cor), 
ou seja, mantidos até o final da resolução. Isso ocorreu porque o número que 
representa f(b) possuía um sinal positivo.
Podemos dizer que este método: 
• Exige que o sinal da segunda derivada seja constante no intervalo;
• Se o ponto c for próximo da raiz, haverá boa convergência; caso contrário, 
será mais lento que o métododo meio intervalo (MMI);
• A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a 
do método de Newton, mas também não é apenas linear.
CÁLCULO NUMÉRICO 57
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Método de Newton-Raphson (MNR)
O método de Newton-Raphson 
(MNR) se diferencia dos demais apre-
sentados por necessitar do cálculo 
do valor de uma função e de sua res-
pectiva derivada. E você, recorda-se 
de como derivar uma função? Vamos 
relembrar!
Basicamente, derivar uma função 
consiste em realizar o produto entre o 
expoente e o coefi ciente da expressão 
algébrica e, em seguida, subtrair uma 
unidade deste mesmo expoente.
No entanto, constantemente nos 
deparamos com equações compostas 
por termos mais elaborados; para tal situação, existem tabelas que disponi-
bilizam das informações destas derivadas, como veremos na Tabela 10, que 
dispõe das relações de derivada mais utilizadas.
TABELA 10. DERIVADAS COMPOSTAS
FUNÇÃO DERIVADA (y')
y = un y’ = n . un - 1 . u'
y = eu y’ = u' . eu
y = ln(u) y’ = u'/u
y = sen(u) y' = u' . cos(u)
y = cos(u) y’ = -u’ . sen(u)
y = u
2 u
u’
y’ =
Retomando a dinâmica do método de Newton-Raphson (MNR), este pode 
ser deduzido baseado em sua interpretação geométrica, uma vez que a primei-
ra derivada de uma função representa a inclinação da reta tangente.
CÁLCULO NUMÉRICO 58
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GRÁFICO 5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR)
f(x)
f(xk)
x xxk + 1 xk
É importante ressaltar que o método de Newton, quando bem sucedido, 
converge rapidamente; o insucesso na utilização deste método se deve ao fato 
do ponto inicial usado como referência inicial não estar suficientemente próxi-
mo da solução.
Para determinar as raízes de funções utilizando o MNR, é útil elaborar uma 
tabela com o cabeçalho igual ao representado na Tabela 11, em que são desta-
cadas a função e sua respectiva derivada.
TABELA 11. ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON (MNR)
xk f(xk ) f'(xk ) xk + 1 = xk - f'(xk )
f(xk ) |xk + 1 - xk| ≤ ε
a
Sobre o preenchimento desta tabela, é necessário se atentar às seguintes 
observações:
• k corresponde ao número de iteração respectiva à linha preenchida e deve 
iniciar sempre por 0;
Fonte: FRANCO, 2006, p. 77. (Adaptado).
CÁLCULO NUMÉRICO 59
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• xk é a aproximação inicial e é informado no enunciado do exercício;
• (xk) indica o resultado da transformação x = x, logo mudará conforme a 
função trabalhada;
• xk - (xk) ≤ ε permite mensurar o erro encontrado a cada iteração; a partir 
deste valor, identifica-se a parada.
Exemplo 8: determinar a raiz da equação x3 - 5x2 + x + 3 = 0, x1 ∈ [-2,4; -0,4] 
com precisão, ou seja, com erro de = 0,001. Inicie por x = -2,4.
Começaremos a resolução do exemplo 8 a partir da construção de uma tabela 
que contenha o cabeçalho igual ao disposto na Tabela 11. Para completá-la ade-
quadamente, devemos derivar a função, logo:
y = x3 - 5x2 + x + 3
y' = 3x3 - 1 - 5x2 - 1 + 1x1 - 1 + 0
y' = 3x2- 10x + 1 
TABELA 12. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR)
xk
f(xk )
x3 - 5x2 + x + 3
f'(xk )
3x2 - 10x + 1
xk + 1 = xk - f'(xk )
f(xk ) |xk + 1 - xk| ≤ ε
2,4
f(xk ) = f(-2,4) 
= (-2,4)3 - 5(-2,4)2 + 2,4 + 3
= -42,024
f'(xk ) = f'(-2,4)
3(-2,4)2 - 10(-2,4) + 1
= 42,28
42,28
= -1,406
-42,024= -2,4 -
-1,406
f(xk ) = f(-2,4)
= (-1,406)3 - 
5(-1,406)2 + 21,406 + 3
= -11,070
f'(xk ) = f'(-2,4)
3(-1,406)2 - 
10(-1,406) + 1
= 20,991
20,991
= -0,879
-11,070= -1,406 - |-0,879 - (-1,406)|
= 0,527
-0,879
f(xk ) = f(-0,879)
= (-0,879)3 - 5(-0,879)2 
 0,879 + 3 = -2,421
f'(xk ) = f'(-2,4)
3(-0,879)2 - 10 
(-0,879) + 1 = 12,108
12,108
= -0,679
-2,421= -0,879 - |-0,679 - (-0,879)|
= 0,200
0,679
f(xk ) = f(-2,4)
= (-0,679)3 - 5(-0,679)2 
+ 20,679 + 3 = -0,297
f'(xk) = f'(-2,4)
3(-0,679)2 -10 
(-0,679) + 1 = 9,173
9,173
= -0,647
-0,297= -0,679 - |-0,647 - (-0,679)|
= 0,032
0,647
f(xk ) = f(-0,647)
= (-0,647)3 - 5(-0,647)2 
+ 0,647 + 3
= -0,008
f' (xk) = f'(-2,4)
3(-0,647)2 - 10 
(-0,647) + 1 = 8,726
8,726
=-0,646
-0,008= -0,647 - |-0,646 - (-0,647)| 
= 0,001
CÁLCULO NUMÉRICO 60
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Logo, de acordo com a precisão determinada, é possível estabelecer que 
-0,646 é uma aproximação da raiz da equação x3 - 5x2 + x + 3 = 0, com x1 = -2,4. 
Observe que o valor está compreendido dentro do intervalo inicial.
Exemplo 9: encontre a raiz da equação 2x - sen(x) + 4 = 0, x1 ∈ [-3; -2] com 
precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,0001. Inicie por x = -3.
Iniciaremos o processo de resolução do exemplo 9 a partir da elaboração 
de uma tabela que contenha um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 11. Para 
completá-la corretamente, devemos derivar a função, logo:
y = 2x - sen(x)
y' = 2x1 - 1 - cos(x)
y' = 2 - cos(x)
TABELA 13. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (MNR)
xk
f(xk )
2x - sen(x) + 4
f'(xk )
2 - cos(x)
xk + 1 = xk - f'(xk )
f(xk ) |xk + 1 - xk| ≤ ε
-3
f(xk ) = f(-3)
= 2(-3) - sen(-3) + 4
= -1,8584
f'(xk ) = f'(-3)
2 - cos(-3)
= 2,99
2,99
= -2,3785
-1,8584= -3 -
-2,3785
f(xk) = f(-2,3785) = 2 
(-2,3785) - sen(-2,3785) 
+ 4 = -0,0658
f'(xk) = f'(-2,3785)
2 - cos(-2,3785)
= 2,7227
2,7227
= -2,3543
-0,0658= -2,3785 - |-2,3543 - (-2,3785)|
= 0,0242
-2,3543
f(xk ) = f(-0,879)
2(-2,3543) - sen(-2,3543) + 
4 = -0,0002
f'(xk ) = f'(-2,4)
2 - cos(-2,3543)
= 2,7058
2,7058
= -2,3542
-0,0002= -2,3543 - |-2,3542 - (-2,3543)|
= 0,0001
Logo, de acordo com a precisão determinada, é possível afirmar que -2,3542 
é uma aproximação da raiz da equação 2x - sen(x) + 4 = 0, x1 ∈ [-3; -2]com preci-
são, ou seja, com erro de ϵ = 0,0001, partindo por x = -3.
 Este método: 
• Demanda de conhecimentos de derivada;
• Excelente convergência.
CÁLCULO NUMÉRICO 61
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Comparação entre os métodos numéricos
Agora que já conhecemos os principais métodos numéricos, daremos iní-
cio ao estado que visa comparar tais metodologias.
Quanto à garantia de convergência, que retrata a segurança de um méto-
do identifi car a raiz da função, há restrições para o método do meio intervalo 
(MMI) e o método das aproximações sucessivas (MAS). 
Para o método da bisseção, a convergência é garantida desde que:
• A função seja contínua no intervalo determinado; 
• A derivada da função mantenha o sinal no intervalo; 
• O produto entre a função de cada valor do intervalo seja menor que zero, 
ou seja, f(a) . f(b) < 0.
Já para o método das aproximações sucessivas (MAS) é necessário atender 
às especifi cações apresentadas anteriormente para o método do meio inter-
valo (MMI), assim como:
• A função inicial e sua adaptação sejam contínuas no intervalo e contínuas 
em I; 
• |φ'(x)| ≤ k < 1, ∀x ∈ I;
• O chute inicial pertença ao intervalo, ou seja, x0 ∈ I.
O parâmetro do esforço computacional faz sua avaliação conforme o 
número de operações efetuadas a cada iteração, a difi culdade dessas ope-
rações, quantidades de decisões lógicas, número de avaliações da função a 
cada iteração e do número total de iterações. De modo geral, sobre a efi ciên-
cia computacional:
• O método da bisseção é o que efetua cálculos mais simples por iteração;
• O método de Newton requer cálculos mais elaborados, pois demanda o 
cálculo da função e de sua derivada.
No entanto, o número de iterações executadas pelo método da bisseção 
geralmente é bem maior que a quantidade de iterações executadas pelo mé-
todo de Newton.
A rapidez de convergência está diretamente relacionada ao número de 
iterações realizadas de maneira a encontrar a raiz; isso não necessariamente 
signifi ca um tempo menor, uma vez que o tempo gasto para realizar cada ite-
ração alterna de método para método.
CÁLCULO NUMÉRICO 62
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• Métododo meio intervalo: convergência linear, ou seja, lenta.
• Método das aproximações sucessivas: convergência rápida desde que 
a condição de convergência seja atendida.
• Método das secantes: ótima convergência. 
• Método de Newton-Raphson: excelente convergência.
De modo geral, a escolha do método deve levar em consideração qual é o 
mais rápido, o que garanta a convergência e que facilite os cálculos por itera-
ção. O método de Newton é uma hábil alternativa, desde que o cálculo de f'(x), 
ou seja, da derivada da função, não seja muito elaborado. Em caso contrário, 
é mais indicado utilizar o método das secantes, pois é o que dispõe de uma 
convergência mais eficiente que os demais (método do meio intervalo e mé-
todo das aproximações sucessivas).
CÁLCULO NUMÉRICO 63
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Sintetizando
Percebemos que, por meio dos métodos apresentados, podemos determi-
nar uma raiz aproximada de uma função, ou seja, por meio de iterações suces-
sivas podemos determinar um valor para x tal que f(x) seja nulo.
O método do meio intervalo trabalha com a diminuição constante do inter-
valo inicial até se obter uma raiz mais apropriada às condições iniciais; este mé-
todo é útil para essa finalidade, no entanto são necessárias inúmeras iterações 
para se obter o resultado, o que o classifica como um método que possui uma 
convergência lenta ou também denominada por linear.
De maneira geral, o método das aproximações sucessivas pode ser descrito 
como um método iterativo que se fundamenta em uma fórmula de recorrência 
que, com determinadas condições de convergência sendo satisfeitas, gerará, 
a partir de um valor inicial, uma sucessão de valores até se determinar a raiz. 
O método de Newton-Raphson é o mais indicado sempre que for fácil verifi-
car as condições de convergência e que o cálculo da derivada não for muito com-
plicado, pois, se a derivada demandar muitas técnicas, não se torna interessante 
seu uso. Se as especificações iniciais forem atendidas, esse método é muito efi-
ciente por possuir a capacidade de convergir mais rápido que os demais.
O método da secante é uma saída para o método de Newton quando se de-
seja evitar o cálculo de uma derivada muito elaborada, pois ele converge mais 
rapidamente que outros métodos disponíveis. 
 É importante ressaltar que a escolha do método depende muito da estru-
tura algébrica que compõe a função a ser resolvida, uma vez que, de acordo 
com este formato, haverá a necessidade de mais iterações ou não, assim como 
a rapidez para desenvolver cada iteração.
CÁLCULO NUMÉRICO 64
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Referências bibliográficas
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CAMPOS, F. F. F. Algoritmos numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
DALCÍDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo numérico computacional - teoria e prática. 
2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1994.
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FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HUMES, M.; YOSHIDA, M. Noções de cálculo numérico. São Paulo: McGraw Hill, 
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KLÜBER, T. E. Modelagem matemática: revisitando aspectos que justificam a sua 
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RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico aspectos teóricos e compu-
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SILVA, Z.; SANTOS, J. D. Métodos numéricos. 3. ed. Recife: Universitária, 2010.
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temáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2003.
CÁLCULO NUMÉRICO 65
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SISTEMAS LINEARES
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Caracterizar sistemas lineares;
 Classificar sistemas lineares quanto ao seu número de soluções;
 Conceituar e descrever métodos diretos: eliminação gaussiana e fatoração 
LU para solucionar sistemas lineares;
 Apresentar e caracterizar métodos iterativos: método de Gauss-Jacobi e 
método de Gauss-Seidel para solucionar sistemas lineares;
 Definir a teoria da aproximação pela concepção de aproximações por 
mínimos quadrados;
 Obter estimativas para valores de uma função por aproximação por mínimos 
quadrados.
 Sistemas lineares
 Classificação de sistemas line-
ares
 Métodos diretos 
 Método da eliminação gaus-
siana
 Método da fatoração LU
 Métodos iterativos 
 Método de Gauss-Jacobi
 Método de Gauss-Sieldel
 Teoria da aproximação 
 Ajustes de curvas
 Método dos Mínimos Quadra-
dos (MNQ)
CÁLCULO NUMÉRICO 67
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Sistemas lineares
Nesta seção, conheceremos sobre a defi nição formal de sistemas lineares, 
mas, inicialmente, partiremos da concepção de equação linear, que é caracteri-
zada por possuir não mais de uma variável. Cada uma destas incógnitas dispõe 
de expoente um. São exemplos de equações lineares:
x + 2y + z = 0; 2a - b = -3c e m5 + 4n - p = - 5
Um sistema de equações lineares pode ser descrito como aquele tem em 
sua composição n equações lineares com n incógnitas (variáveis); já uma solu-
ção de um sistema linear equivale na determinação de valores para as n variá-
veis, tais que, ao inserir estes valores nas respectivas equações, todas devem 
ser resolvidas simultaneamente.
Para exemplifi car a concepção de solução de um sistema linear, considere 
que ele seja composto por três variáveis e três equações lineares. No Diagrama 
1, a solução é dada por {1, -1, 2,}, pois, ao substituir nas equações lineares x = 1, 
y = -1 e z = 2, todas as equações são atendidas ao mesmo tempo. 
DIAGRAMA 1. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
S = {1, -1, 2}
 3 • 1 - 4 • ( -1 ) + 2 = 9
1 + 2 • ( −1 ) + 2 • 2 = 3
4 • 1 − 3 • 2 = −2
3x - 4y + z = 9
x +2y + 2z = 3
4x - 3z = -2{
É importante salientar que todo sistema linear pode ser 
representado em outro formato chamado de matricial ou 
simplesmente Ax = b, sendo que A é denominada matriz 
dos coefi cientes, b é o vetor do termo independente e x, a 
solução do sistema. Observe a notação matricial do sistema 
linear anterior: 
CÁLCULO NUMÉRICO 68
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 68 12/12/2019 11:45:41
3
1
4
-4
2
0
1
2
-3
x
y
z
1
-1
2
=
• é a matriz composta pelos coeficientes do sistema linear;
 
3
1
4
-4
2
0
1
2
-3
• é o vetor que referencia as variáveis;
 
x
y
z
• indica a respectiva solução do sistema linear.
 
1
-1
2
CURIOSIDADE
A corrente em um circuito elétrico simples pode ser analisada por 
intermédio de um sistema linear de equações. As leis de Kirchhoff 
representam uma importante ferramenta na resolução destes circuitos 
elétricos, pois tais leis facilitam o equacionamento das voltagens jun-
tamente com as correntes envolvidas. Diante deste cenário, a álgebra 
linear, com suas técnicas de resolução de sistemas, viabiliza a obten-
ção das correntes no circuito.
Classificação de sistemas lineares
Todo sistema linear pode ser classifi cado conforme o número de soluções 
que ele admite. Sendo assim, há três possibilidades e, consequentemente, três 
categorias:
• Sistema possível: admite uma única e possível solução;
• Sistema possível e indeterminado: admite infi nitassoluções;
• Sistema indeterminado: não admite nenhuma solução.
A interpretação geométrica da possível quantidade de soluções de cada 
sistema linear se associa à posição relativa entre duas retas em um plano car-
tesiano. A partir disso, concluímos que um sistema possível e determinado é 
representado por retas concorrentes, uma vez que associam um único ponto 
de intersecção, ou seja, uma solução na qual o ponto que satisfaz as equações 
se localiza em ambas as retas. Já o sistema possível e indeterminado é repre-
CÁLCULO NUMÉRICO 69
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GRÁFICO 1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
sentado pelas retas coincidentes, pois são atribuídos infi nitos pontos à sua 
solução. Por fi m, um sistema indeterminado possui correspondência com as 
retas paralelas porque não existe ponto algum coincidente entre as equações, 
o que impossibilita a solução das equações lineares em questão. Tais distinções 
estão dispostas no Gráfi co 1. 
(1) retas concorrentes (2) retas coincidentes
(3) retas paralelas 
x1
x1 x1
x*
x2
x2 x2
Fonte: RUGGIERO; LOPES, 2013.
Métodos diretos
Diversos problemas podem ser resolvidos via análise linear. Devido a essa 
constante necessidade de resolução, existem duas grandes metodologias que 
viabilizam a determinação do conjunto solução de um sistema linear: os méto-
dos diretos e os métodos iterativos.
Os métodos diretos são os preferencialmente escolhidos para a grande 
maioria dos sistemas lineares, podendo ser defi nidos como métodos que de-
terminam a solução com um número fi nito, ou seja, limitado de operações. 
CÁLCULO NUMÉRICO 70
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Neste contexto, seremos apresentados aos principais métodos diretos, conhe-
cidos por:
• Método de eliminação gaussiana;
• Método de fatoração LU.
Um fator interessante a ser considerado na dinâmica dos métodos diretos e 
iterativos é a questão do erro, que em ambas as metodologias estão implantadas, 
porém em situações diferentes. Veja no Diagrama 2 a comparação deste indicativo. 
DIAGRAMA 2. ERRO NOS MÉTODOS DIRETO E ITERATIVO
Erro
Método 
direto
Método 
iterativo
Erro de 
arredondamento 
Erro de 
truncamento
Como apresentado no Diagrama 2, no método direto incide o erro de arredon-
damento, uma vez que, por necessidade ou ausência de precisão adicional, na má-
quina este erro ocorrerá. Já no método iterativo, existe a necessidade de trucar, ou 
seja, de limitar uma série infi nita de termos.
Método da eliminação gaussiana
O método de eliminação de Gauss, também denominado 
método de Gauss simples, baseia-se na transformação do sis-
tema linear em um triangular equivalente por meio de uma 
série de operações elementares sobre as linhas do sistema 
original, ou seja, o sistema equivalente é encontrado pela apli-
cação repetida da operação.
CÁLCULO NUMÉRICO 71
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O objetivo desta técnica consiste em organizar essas sequências de operações 
de maneira que o sistema linear resultante seja triangular superior. Uma matriz é 
considerada triangular quando os elementos que estão acima ou abaixo da diago-
nal principal são nulos. O que define uma matriz triangular inferior são os núme-
ros não nulos que estão abaixo da diagonal principal; para uma matriz triangular 
superior, os números não nulos se localizam acima da diagonal principal.
Considerando uma matriz composta por três linhas e três colunas: 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
• Matriz triangular superior:
a11 a12 a13
0 a22 a23
a330 0 
• Matriz triangular superior:
a11 0
a21 a22
a31 a32 a33
0
0
EXPLICANDO
A linguagem matricial descreve cada elemento de uma matriz por aij, em 
que i indica a linha e j a coluna ocupada pelo elemento da matriz. Essa 
dinâmica permite localizar um elemento na disposição da matriz. Por 
exemplo, o elemento a43 se refere a um elemento localizado na quarta 
linha e terceira coluna.
Para compreender a eliminação gaussiana, considere um sistema descrito por:
a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2
a31 x + a32 y + a33 z = b3
E a partir deste, realizaremos as seguintes etapas:
Etapa 1: obter a matriz aumentada referente ao sistema (A b).
Consiste em acrescentar a coluna referente aos resultados à matriz referente 
ao sistema. Logo será:
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3 
CÁLCULO NUMÉRICO 72
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Etapa 2: transformação da matriz aumentada (A b) em uma matriz aumentada 
(A b), em que A é uma matriz triangular superior.
Esta etapa é subdividida em duas partes:
• Inicialmente, é preciso zerar a21 e a 31, que representam os elementos da pri-
meira coluna abaixo da diagonal principal;
a11 a12 a13 b1
0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3
Para essa finalidade, é possível executar as seguintes ações:
• Multiplicação de uma linha por uma constante não nula;
• Substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra 
linha;
• Transposição de duas linhas. 
Etapa 3: resolver o sistema linear (A b) da etapa 2.
Uma vez triangulado o sistema, a solução é encontrada por substituição re-
gressiva, ou seja, a partir da determinação do valor de uma incógnita, obtém-se 
os outros.
Para compreender melhor esta dinâmica de Gauss, resolveremos o exemplo 1 
a seguir, avançando com base nas três etapas propostas. Vamos lá?
Exemplo 1: resolva o sistema linear a seguir utilizando a eliminação gaussiana:
x + 2y + z = -2
x + y + z = 0
x - y + 2 z = 5
Etapa 1: obter a matriz aumentada referente ao sistema (A b)
1
1
1
1 1 0
5
-212
-1 2
Etapa 2: transformação da matriz aumentada (A b) em uma matriz aumentada 
(A b), em que A é uma matriz triangular superior.
Para facilitar a manipulação entre as linhas, será denominado por L1 a primeira 
linha do sistema, L2 a segunda linha e L3 a terceira linha.
Esta etapa é subdividida em duas partes:
• Inicialmente, é preciso zerar os elementos da primeira coluna abaixo da dia-
gonal principal:
CÁLCULO NUMÉRICO 73
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1
1
1
1 1 0
5
-212
-1 2
L2 = L2 - L1
 
1
1
1
1 1 0
5
-212
-1 2
L3 = L3 - L1
1
0
0
-1 0 2
7
-212
-3 1
O elemento -3, destacado em negrito, deve ser anilado. Para isso, devemos 
realizar a subtração da terceira linha por três vezes a segunda linha, logo:
1
1
0
-1 0 2
7
-212
-3 1
L3 = L3 - 3L2
1
0
0
-1 0 2
1
-212
0 1
Etapa 3: resolver o sistema linear (A b) da etapa 2.
Como a primeira coluna equivale à variável x, a segunda variável y e a tercei-
ra a variável z; é possível concluir que:
0x + 0y + z = 1 → z = 1
0x - y + 0z = 2 → y = -2
x + 2y + z = -2 → x + 2(-2) + 1 = 1 → x = 1 + 3 = 4
Logo, o conjunto solução é: S = {4, -2,1}
Exemplo 2: resolva o sistema linear a seguir utilizando a eliminação gaus-
siana:
x + 2y + z = 1
2x - y + z = 3
5x + 2y + 4z = 6
Etapa 1: obter a matriz aumentada referente ao sistema (A b).
1
2
5
-1 1 3
6
111
2 4
CÁLCULO NUMÉRICO 74
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 74 12/12/2019 11:45:43
Etapa 2: transformação da matriz aumentada (A b) em uma matriz aumen-
tada (A b), em que A é uma matriz triangular superior.
Esta etapa é dividida em duas outras partes:
• Inicialmente, é preciso zerar os elementos da primeira coluna abaixo da 
diagonal principal:
1
2
5
-1 1 3
6
111
2 4
L2 = L2 - 2L1
1
0
5
-3 -1 4
6
-212
2 4
L3 = L3 - 5L1
1
0
0
-3 -1 4
16
111
-8 -1
L2 = 
L2 
-3
Neste momento, faz-se necessária a divisão de toda a segunda linha por -3, 
de maneira que o elemento localizado na segunda linha e segunda coluna se 
torne um. Esse processo é necessário para conseguir anular o elemento -8 e, 
assim, encontrar a matriz triangular superior.
1
0
0
1 1
16
111
0 -1
-
3
4
3
L3 = L3 + 8L2
O elemento -8, destacado em negrito, deve ser anulado. Para isso, devemos 
realizar a adição da terceira linha com oito vezes a segunda linha, logo:1
0
0
1
1
5 16
111
-0
-
3
3 3
4
3
Etapa 3: resolver o sistema linear (A b) da etapa 2.
Como a primeira coluna equivale à variável x, a se-
gunda à variável y e a terceira à variável z, é possível 
concluir que:
5
3 5
3
16
3
16
3 16
50x + 0y + z = → z = =
CÁLCULO NUMÉRICO 75
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 75 12/12/2019 11:45:44
1
3
4
3
4
3
4
3
1
3
16
5
16
5
68
50x + 0y + z = - = -
.→ y + → y = - - = -
68
5x + y + z = 1→ x - = 1→ x - = 1→ x = + → x = +
16
5
4
3
4
3
7
3
Logo, o conjunto solução é: S = 
 
16
5
, - , 68
5
7
3
Método da fatoração LU
O método de decomposição LU, que se origina do inglês lower (L) e upper 
(U), trabalha com uma matriz do formato Ax = b, e se baseia no fato de que, 
para resolver um sistema, é possível fatorar a matriz A como o produto entre 
duas matrizes. A matriz L é triangular inferior e a matriz U caracterizada por ser 
triangular superior, ou seja, A = LU.
DIAGRAMA 3. CARACTERIZAÇÃO DA MATRIZ L E DA MATRIZ U
• Triangular inferior;
• Constituída pelos multiplicadores (m21, m31 e m32);
• Diagonal principal constituída por 1.
• Triangular superior;
• Matriz obtida pela eliminação gaussiana;
• Sem a coluna dos resultados.
Matriz U
a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33
Matriz L
1 0 0
m21 1 0
m31 m32 1
 É importante destacar que os elementos da matriz L, que são chamados de 
multiplicadores, são as constantes que utilizamos nas operações aritméticas 
embutidas na eliminação gaussiana.
O processo de fatoração para determinação deste sistema consiste em decom-
por a matriz a dos coefi cientes em um produto de dois ou mais fatores e, em segui-
da, solucionar uma série de sistemas lineares. Se A = LU, logo é possível deduzir que: 
CÁLCULO NUMÉRICO 76
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 76 12/12/2019 11:45:45
Ax = b
(LU)x = b
L(Ux) = b
Ly = b Ux = y
Desta forma, ao invés de resolvermos o sistema original, 
serão solucionados dois: o sistema triangular inferior Ly = b 
e o sistema triangular superior Ux = y que, juntos, irão nos 
fornecer a solução do sistema original Ax = b, ou seja, 
os resultados atribuídos a x serão a solução do sistema 
em questão.
Formalizaremos nosso raciocínio pela execução de ta-
refas. Para a fatoração LU, serão necessárias quatro etapas.
Etapa 1: realizar a eliminação gaussiana na matriz e, assim, determinar a 
matriz U, excluindo a coluna dos resultados, que receberá o nome de b.
a11 a12 a13 b1
e b =0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3
Etapa 2: identificar os multiplicadores utilizados na eliminação gaussiana 
anterior para montar a matriz L.
1 0 0
L = 1m21
m31 m32
0
1
Etapa 3: resolver o sistema linear Ly = b e, assim, determinar y.
y1
 =
y2
1 0 0
Ly = b → 1m21
m31 m32
0
1 y3
b1
b2
b3
Etapa 4: encontrar a solução (x) por meio da resolução do sistema Ux = y, ou seja:
x1
 =x2
Ux = y → 
x3
y1
y2
y3
a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33
Exemplo 3: utilizando a fatoração LU, determine a solução do sistema a seguir:
x + 2y + z = 3
2x - 3y - z = 4
3x - y - 2z = 1
U =
CÁLCULO NUMÉRICO 77
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 77 12/12/2019 11:45:46
Etapa 1: realizar a eliminação gaussiana na matriz.
1 1 1
2 0 0
3 3 0
-3 -7 -7-1 -3 -3
1 1 12 2 2
-1 -1 -7-2 -2 -5
L2 = L2 - 2L1 → L3 = L3 - L1 → L3 = L3 - L2
U = e b = 
1
0
0
-7 -3
12
0 -2
3
4
1
Etapa 2: identificar os multiplicadores.
Observe que para zerar o elemento localizado na segun-
da linha e primeira coluna (a21 = 2) foi elaborada a operação 
L2 - 2L1, logo m21 = 2; já para o elemento a21= 3, a operação 
foi L3 - L1, logo m22 = 1. Para o elemento a31= -1, a operação 
foi L3 - L2, logo m32 = 1.
L = = 
1
m21
m31
1 0
00
m321
1
2
3
1 0
00
1 1
Etapa 3: resolver o sistema linear Ly = b e, assim, determinar y.
Ly = b → → = 
1
2
3
1 0
00
1 1
3
4
1
y1
y2
y3
y1 = 3
2y1 + y2 = 4 
3y1 + y2 + y3 = 1
Uma vez determinado o valor da variável y1 = 3, por retrosubstituição é pos-
sível determinar as constantes y2 e y3. Assim:
y1 = 3
2y1 + y2 = 4 → 2 ∙ 3 + y2 = 4 → y2 = 4 - 6 - y2 = -2
3y1 + y2 + y3 = 1→ 3 ∙ 3 + (-2) + y3 = 1 → y3 = 1 - 7 → y3 = -6
Ou seja: y = 
3
-2
-6
Etapa 4: encontrar a solução (x) por meio da resolução do sistema Ux = y, 
ou seja:
Ux = y → = 
1
0
0
-7 -3
12
0 -2
x1
x2
x3
3
-2
-6
CÁLCULO NUMÉRICO 78
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 78 12/12/2019 11:45:48
x1 + 2x2 + x3 = 3
-7x2 - 3x3 = -2 
-2x3 = - 6 → x3 =
-6
-2
= 3
Uma vez determinado o valor da variável x3 = 3, por retrosubstituição é pos-
sível determinar as constantes x2 e x3. Assim:
x3 = 3
-7x2 -3x3 = -2 → -7x2 - 3 ∙ 3 = -2 → -7x2 = -2 + 9 → -7x2 = 7 → x2 = -1
x1 + 2x2 + x3 = 3 → x1 + 2 ∙ (-1) + 3 = 3 → x1 = 3 -1 → x1 = 2
Logo, a solução do sistema é: S = {4,-2,1}
Resolver um sistema linear por retrosubstituição consiste 
em determinar o resultado de uma variável e, a partir deste 
valor, retroceder, ou seja, retornar para as outras equações li-
neares e, assim, encontrar os valores das incógnitas restantes.
Métodos iterativos
No fi nal do século XVIII, Jacobi e 
Gauss-Siedel criaram os métodos ite-
rativos para a resolução de sistemas 
lineares que são popularmente utiliza-
dos atualmente. Estes mecanismos são 
esporadicamente utilizados para a so-
lução de sistemas lineares de pequena 
dimensão, uma vez que o tempo desti-
nado para obter a precisão necessária 
ultrapassa as técnicas de método direto, 
como a eliminação de Gauss e o da fatoração LU, como vimos anteriormente. 
Neste contexto, os métodos iterativos se apresentam como uma alternati-
va para decifrar sistemas constituídos por grandes quantidades de elementos 
que surgem com regularidade em análise de circuitos elétricos, na solução nu-
mérica de problemas de contorno e equações diferenciais parciais; estes são 
geralmente da ordem de dez mil equações com dez mil variáveis, sendo sepa-
rados com seus elementos não nulos em posições esperadas.
De modo geral, as características principais dos métodos iterativos são:
CÁLCULO NUMÉRICO 79
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 79 12/12/2019 11:46:05
DIAGRAMA 4. CARACTERIZAÇÃO DOS MÉTODOS ITERATIVOS
Solução por 
um processo 
iterativo
Número 
infi nito de 
operações
Métodos 
iterativos
Soluções 
aproximadas
Necessita 
de uma 
estimativa 
inicial
Método de Gauss-Jacobi
O método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax = b em x = Cx + g. 
Considere um sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ∙ ∙ ∙ + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ∙ ∙ ∙ + a2n xn = b2
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 ∙ ∙ ∙ + ann xn = bn
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙ ∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
E suponha que aij ≠ 0,i = 1,2,3,…,n. É necessário isolar o vetor x mediante a 
separação pela diagonal, assim:
∙∙∙
x1 = (b1 - a12x2 - a13x3 - ∙ ∙ ∙ - a1n xn)
1
a11
x2 = (b2 - a21x1 - a23x3 - ∙ ∙ ∙ - a2n xn)
1
a22
xn = (bn - an1x1 - an2x2 - ∙ ∙ ∙ - an,n xn-1)
1
ann
CÁLCULO NUMÉRICO 80
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 80 12/12/2019 11:46:06
Assim, encontramos x = Cx + g, em que:
0
0
0∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙- - -
- - -
a11 a11 a11 a11
a22
ann
a22 a22 a22
a12 a13 a1n b1
b2
bn
a21 a23 a2n
-
ann
an1 -
ann
an2 -
ann
an3
∙∙∙ ∙∙∙
∙∙∙ ∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
c = e g =
Para prosseguir utilizando este dispositivo, é necessária a informação de 
uma aproximação inicial denotada por x(0), de modo a obter x(1), x(2), … , x(k)… por 
meio de uma relação recursiva, ou seja, por meio de um resultado encontra-
mos o próximo. 
É importante salientar que a denotação x(1) indica o valor de x na primeira 
iteração, x(2) corresponde ao valor de x na segunda iteração e assim por diante. 
Essas iterações chegam ao fim quando atendida a restrição inicial (determina-
-se a quantidade de iterações) ou quando é atendido o critério de convergência. 
Adotaremos o critério de especificar a quantidade de iterações necessárias.
Agora, para entender na prática como resolver um sistema pelo método 
iterativo de Gauss-Jacobi, vamos decompor a dinâmica desta metodologia nas 
etapas que serão descritas a seguir.Etapa 1: isolar a variável x1 na primeira linha, x2 na segunda linha e x3 na 
terceira linha até xn na enésima linha.
Etapa 2: multiplicar a expressão encontrada pelo inverso do coeficiente da 
incógnita referência da linha.
Etapa 3: realizar a primeira iteração aplicando a aproximação inicial infor-
mada no enunciado da questão.
Etapa 4: utilizar o resultado encontrado na etapa 3 para concluir a próxima itera-
ção; prosseguir com este processo até chegar à quantidade de iterações solicitada.
Vamos colocar em prática a execução destas etapas. Acompanhe a resolu-
ção do exemplo!
Exemplo 4: calcule uma aproximação para a solução do sistema com três ite-
rações x(0) = 0
0
0
 e precisão de três casas decimais para o sistema descrito por:
CÁLCULO NUMÉRICO 81
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 81 12/12/2019 11:46:08
20x1 + 2x2 + 2x3 = 4
2x1 - 5x2 + 2x3 = 3 
4x1 + 3x2 + 20x3 = 4
Utilizando o método de Gauss-Jacobi:
Etapa 1:
20x1 = 4 - 2x2 - 2x3
5x2 = 3 - 2x1 - 2x3 
20x3 = 4 - 4x1 -3x2
Etapa 2:
x1 = 
x2 = 
x3 = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2x2 - 2x3)
(3 - 2x1 - 2x3)
(4 - 4x1 - 3x2)
A determinação desta fase é primordial para o su-
cesso do método de Gauss-Jacobi, uma vez que as 
igualdades encontradas serão sempre utilizadas nas 
iterações de maneira a obter as aproximações das va-
riáveis em questão.
Etapa 3: como a aproximação inicial é x(0) = 
0
0
0
,logo x1
(0) = 0, x2
(0) = 0 e x3
(0)=0. 
Substituindo estes valores na expressão algébrica encontrada anterior-
mente:
x1
(1) = 
x2 
(1) = 
x3 
(1) = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2x2 
(0) - 2x3 
(0))
(3 - 2x1 
(0)
 - 2x3 
(0))
(4 - 4x1 
(0)
 -3x2 
(0))
x1
(1) = 
x2 
(1) = 
x3 
(1) = 
1
20
4
20
1
5
3
5
1
20
4
20
(4 - 2 ∙ 0 - 2 ∙ 0)
(3 - 2 ∙ 0 - 2 ∙ 0)
(4 - 4 ∙ 0 - 3 ∙ 0)
→ = 
= = 0,2
= 0,6
= 0,2= 
Logo, a aproximação da solução do sistema após uma iteração é: x(1)= 
0,2
0,6
0,2
Etapa 4: como x(1)= 
0,2
0,6
0,2
 logo x1
(1) = 0,2; x2
(1) = 0,15 e x3
(1) = 0,2
CÁLCULO NUMÉRICO 82
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 82 12/12/2019 11:46:10
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2x2 
(1) - 2x3 
(1))
(3 - 2x1 
(1)
 - 2x3 
(1))
(4 - 4x1 
(1)
 - 3x2 
(1))
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2 ∙ 0,2 -2 ∙ 0,2)
(3 - 2 ∙ 0,2 -2 ∙ 0,2)
(4 - 4 ∙ 0,2 -3 ∙ 0,6)
→
= 0,16
= 0,44
= 0,07
Logo, a aproximação da solução do sistema após uma iteração é: x (2)= 
0,16
0,44
0,07
De modo a atender a solicitação de três iterações, é necessário realizar mais 
um processo igual ao anterior.
Como x(2) = 
0,16
0,44
0,07
logo x1
(2) = 0,16; x2
(2) = 0,44 e x3
(2) = 0,07
x1
(3) = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2x2 
(2) - 2x3 
(2))
(3 - 2x1 
(2)
 - 2x3 
(2))
(4 - 4x1 
(2)
 - 3x2 
(2))
x1
(3) = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
20
1
5
1
20
(4 - 2 ∙ 0,44 -2 ∙ 0,07)
(3 - 2 ∙ 0,16 - 2 ∙ 0,07)
(4 - 4 ∙ 0,16 -3 ∙ 0,44)
→
= 0,149
= 0,508
= 0,102
Logo, a aproximação para o conjunto solução do sistema linear após três 
iterações é x(3) = 0,149
0,508
0,102
 
Exemplo 5: calcule uma aproximação para a solução do sistema com três ite-
rações x(0)= 0,7
-1,6
0,6
 e precisão de três casas decimais para o sistema descrito por:
10x1 + 2x2 + x3 = 7
x1 +5x2 + x3 = -8 
2x1+ 3x2 + 10x3 = 6
Utilizando o Método de Gauss-Jacobi.
Etapa 1:
10x1 = 7 - 2x2 - x3
5x2 = - 8 - x1 - x3
10x3 = 6 - 2x1 - 3x2
CÁLCULO NUMÉRICO 83
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 83 12/12/2019 11:46:12
x1= 
x2 = 
x3 = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2x2 - x3)
(-8 - x1- x3)
(6 - 2x1 - 3x2)
Etapa 3: como a aproximação inicial é x(0) = 
0,7
-1,6
0,6 , logo x1
(0) = 0,7; x2
(0)= −1,6 
e x3
(0) = 0,6. Substituindo estes valores na expressão algébrica encontrada an-
teriormente:
x1
(1) = 
x2 
(1) = 
x3 
(1) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2x2
(0) - x3
(0))
(-8 - x1
(0) - x3
(0))
(6 - 2x1
(0) - 3x2
(0))
x1
(1) = 
x2 
(1) = 
x3 
(1) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2 ∙ -1,6 - 1 ∙ 0,6)
(-8 - 2 ∙ 0,7 - 1 ∙ 0,6)
(6 - 2 ∙ 0,7 - 3 ∙ -1,6)
→
= 0,96
= -1,86
= 0,94
Logo, a aproximação da solução do sistema após uma iteração é x(1) = 
0,96
-1,86
0,94
Etapa 4: como x(1) = 
0,96
-1,86
0,94
 , logo x1
(1) = 0,96; x2
(1) = -1,96 e x3
(1) = 0,94
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2x2
(1) - x3
(1))
(-8 - x1
(1) - x3
(1))
(6 - 2x1
(1) - 3x2
(1))
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2 ∙ -1,86 - 1 ∙ 0,94)
(-8 - 2 ∙ 0,96 - 1 ∙ 0,94)
(6 - 2 ∙ 0,96 - 3 ∙ -1,96)
→
= 0,978
= -1,98
= 0,966
Logo, a aproximação da solução do sistema após duas iterações é x(2) = 
0,978
-1,98
0,966
De modo a atender a solicitação de três iterações, é necessário realizar mais 
um processo igual ao anterior.
Como x(2) = 
0,978
-1,98
0,966
, logo x1
(2) = 0,978; x2
(2) = -1,98 e x3
(2) = 0,966
x1
(3) = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2x2
(2) - x3
(2))
(-8 - x1
(2) - x3
(2))
(6 - 2x1
(2) - 3x2
(2))
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
10
1
5
1
10
(7 - 2 ∙ -1,98 - 1 ∙ 0,966)
(-8 - 2 ∙ 0,978 - 1 ∙ 0,966)
(6 - 2 ∙ 0,978 - 3 ∙ -1,98)
→
= 0,978
= -1,989
= 0,998
Etapa 2:
CÁLCULO NUMÉRICO 84
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 84 12/12/2019 11:46:16
Logo, a aproximação para o conjunto solução do sistema linear após três 
iterações x(3) = 0,999
-1,989
0,998
Método de Gauss-Sieldel
Para compreender o método de Gauss-Sieldel, assim como no método de 
Gauss-Jacobi, todo sistema linear do formato Ax = b pode ter uma forma equi-
valente a x = Cx + g.
No método Gauss-Jacobi, é efetuada uma separação diagonal, e o processo ite-
rativo de progressão é sequencial, componente por componente. A distinção para 
o método de Gauss-Sieldel é que, no momento de se realizar a atualização dos com-
ponentes do vetor em uma determinada iteração, a formulação faz uso dos compo-
nentes da iteração atual com as restantes não atualizadas da iteração anterior. 
A título de exemplo, ao se calcular a componente da iteração xj
(k+1), utiliza-se 
no cálculo as componentes já atualizadas x1
(k+1) , x2
(k+1) , ... , xj-1
(k+1) com as compo-
nentes ainda não atualizadas da iteração anterior xj+1
(k) , xj+2
(k) , ... , xn
(k) 
x1 
(k+1)= (b1 - a12x2
(k)
 - a13x3 
(k)
 - a14x4
(k) ∙ ∙ ∙... ... . - a1n x(k)n)
(b2 - a21x1
(k+1)
 - a23x3 
(k)
 - a24x4
(k) ∙ ∙ ∙... ... . - a2n x(k)n)
(b3 - a31x1
(k+1)
 - a32x2 
(k+1)
 - a34x4
(k+1) ∙ ∙ ∙... ... . - a2n x(k+1)n-1)
(bn - an1x1
(k+1)
 - an2x2 
(k+1)
 - an3x3
(k+1) ∙ ∙ ∙... ... . - ann-1 x(k+1)n-1)
1
a11
x2 
(k+1)= 1a22
x3 
(k+1)=
xn 
(k+1)=
1
a22
1
ann
Basicamente, as etapas a serem cumpridas para utilização deste método 
são as mesmas do método de Gauss-Jacobi. Com elas, determinamos a solução 
aproximada de um sistema linear usufruindo desta metodologia.
Etapa 1: isolar a variável x1 na primeira linha, x2 na segunda linha e x3 na 
terceira linha até xn na enésima linha.
Etapa 2: multiplicar a expressão encontrada pelo inverso do coefi ciente da 
incógnita referência da linha.
Etapa 3: realizar a primeira iteração aplicando a aproximação inicial infor-
mada no enunciado da questão. Utilizar o valor mais recente associado às va-
riáveis x1, x2 e x3 nas respectivas iterações.
CÁLCULO NUMÉRICO 85
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 85 12/12/2019 11:46:17
CURIOSIDADE
Phillip Ludwig von Seidel (1821-1896) trabalhou como assistente de Jacobi, 
solucionando problemas sobre sistemas lineares de equações diferenciais 
que provinham do trabalho de Gauss relacionados aos mínimos quadra-
dos. As técnicas iterativas, hoje chamadas de Jacobi e Gauss-Seidel, 
eram conhecidas por Gauss anteriormente, no entanto, os resultados de 
Gauss não eram muito divulgados.
Exemplo 6: calcule uma aproximação para a solução do sistema com três ite-
rações x(0) = 0
0
0
 e precisão de três casas decimais para o sistema descrito por:
5x1 + x2 + x3 = 5
3x1 + 4x2 + x3 = 6
3x1+ 3x2 + 6x3 = 0
Utilizando o método de Gauss-Seidel.
Etapa 1: 
5x1 = 5 - x2 - x3 
4x2 = 6 - 4x1 - x3 
6x3 = 0 - 3x1 - 3x2 
Etapa 2:
x1= 
x2 = 
x3 = 
1
5
14
1
6
(6 - x2 - x3)
(5 - 3x1- x3)
(-3x1 - 3x2)
Etapa 3: como a aproximação inicial é x(0) = 
0
0
0 , logo x1
(0) = 0, x2
(0) = 0 e x3
(0) = 
0, basta substituir os valores e determinar a primeira variável:
(6 - x2 - x3) = (5 - 0 - 0) = 1x1 
(1)= 15
1
5
Como a variável foi atualizada, será este o valor de x1 =1 a ser utilizado jun-
tamente com x3, de modo a determinar a próxima variável:
(5 - 3x1 - x3) = x2 
(1)= (5 - 3 ∙ 1 -0) = -0,75x2 (1)=
1
4
1
4
Após a atualização, será considerado x2 = 0,75 e x1 = 1 para a determinação 
da terceira variável.
CÁLCULO NUMÉRICO 86
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 86 12/12/2019 11:46:19
(-3x1 - 3x2) = x3 
(1) = (-3 ∙ 1 - 3 ∙ 0,75) = -0,875x3 (1)=
1
6
1
3
Logo após a primeira iteração, encontramos: x(1) = 
1
0,75
- 0,875
Essas manipulações compõem a primeira iteração, no entanto, a dinâmica 
sempre será essa de aproveitar o resultado mais recente da variável.
Para a segunda iteração, encontraremos:
x1
 = 
x2 
 = 
x3 = 
1
5
1
4
1
6
(6 - x2
 - x3
 )
(5 - 3x1- x3
 )
(-3x1
 - 3x2
 )
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
5
1
4
1
6
(6 - 0,75 - (-0,875) = 1,025)
(5 - 3 ∙ 1,025 - (-0,875)) = 0,95
(-3 ∙ 1,025 - 3 ∙ 0,95) = -0,988
→
Assim, após a segunda iteração, encontramos: x(2) = 1, 025
0,95
-0,988
Prosseguindo nos cálculos, uma vez que foram pedidas três iterações:
x1
 = 
x2 = 
x3 = 
1
5
1
4
1
6
(6 - x2
 - x3
 )
(5 - 3x1- x3
 )
(-3x1
 - 3x2
 )
x1
(3) = 
x2 = 
x3 
(3) = 
1
5
1
4
1
6
(6 - 0,95 - (-0,988) = 1,007)
(5 - 3 ∙ 1,007 - (-0,988)) = 0,991
(-3 ∙ 1,007 - 3 ∙ 0,991) = -0,999
→
Contudo, após a terceira iteração, encontramos a solução aproximada cor-
respondente a: x(3) = 1, 007
0,991
-0,999
 
Exemplo 7: calcule uma aproximação para a solução do sistema com três 
iterações x(0)= 0
0
0
 e precisão de três casas decimais para o sistema descrito por:
4x1 + 3x2 = 24
3x1 + 4x2 + x3 = 30
-x2 + 4x3 = -24
Utilizando o método de Gauss-Seidel.
CÁLCULO NUMÉRICO 87
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 87 12/12/2019 11:46:22
Etapa 1:
4x1 = 24 - 3x2
4x2 = 30 - 4x1 - x3
4x3 = -24 - 3x3 
Etapa 2:
x1= 
x2 = 
x3 = 
1
4
1
4
1
6
(-24 - 3x2)
(30 - 3x1 + x3)
(-24 + x2)
 
Etapa 3: como a aproximação inicial é x(0) = 
1
1
1 , logo x1
(0) = 1, x2
(0) = 1 e x3
(0) = 1,
 
(24 - 3x3) = (24 - 3 ∙ 1) = 5,25x1 (1)=
1
4
1
4
 Como esta variável foi atualizada, será este o valor de x1 = 5,25 a ser utiliza-
do juntamente com x3, de modo a determinar a próxima variável: 
(5 - 4x1 + x3 ) = (30 - 3 ∙ 5,25 + 1) =3,813x2 (1)= x3 
(1)=14
1
4
Após a atualização, será considerado x_2=0,75 e x_1=1 para a determinação 
da terceira variável.
(- 24 + x2 ) = (- 24 + 3,813)= -5,047x3 
(1)= x3 
(1)=14
1
4
Logo após a primeira iteração, encontramos: x(1) = 
5,25
3,813
-5,047
 
Na segunda iteração, encontraremos:
x1
 = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
4
1
4
1
4
(24 - 3x2
 )
(30 - 3x1- x3
 )
(-24 + x2
 )
x1
(2) = 
x2 
(2) = 
x3 
(2) = 
1
4
1
4
1
4
(24 - 3 ∙ 3,813 = 3,14)
(30 - 3 ∙ 3,314 + (-5,047)) = 3,883
(-24 + 3,883) = -5,029
→
Assim, após a segunda iteração, encontramos: x(2)= 3,14
3,813
-5,049
CÁLCULO NUMÉRICO 88
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 88 12/12/2019 11:46:25
Prosseguindo nos cálculos, uma vez que foram pedidas três iterações:
x1
 = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
4
1
4
1
4
(24 - 3x2
 )
(30 - 3x1- x3
 )
(-24 + x2
 )
x1
(3) = 
x2 
(3) = 
x3 
(3) = 
1
4
1
4
1
4
(24 - 3 ∙ 3,883 = 3,088)
(30 - 3 ∙ 3,088 + (-5,029)) = 3,927
(-24 + 3,883) = - 5,018
→
Assim, após a terceira iteração, encontramos a solução aproximada corres-
pondente a : x(3) = 3,088
3,927
-5,017
Teoria da aproximação
O estudo da teoria da aproxima-
ção envolve dois tipos gerais de pro-
blemas: o primeiro ocorre quando 
uma função é dada de forma explí-
cita, mas o objetivo é encontrar uma 
maneira mais “simples” desta fun-
ção, como um polinômio, que seja 
útil para determinar valores aproximados desta mesma função. Outro di-
lema consiste no ajuste dos pontos obtidos e a determinação da “melhor” 
função em certa classe para representar os dados.
A concepção geral da aproximação consiste na substituição do estudo 
de certos objetos matemáticos mais presentes em cálculos elaborados, 
como, por exemplo, as funções contínuas, ou seja, aquelas que não detêm 
falhas na sua formação por outros mais simples, tais como polinômios, 
que são expressões algébricas compostas por variáveis e coeficientes rela-
cionados pelas operações de adição, subtração, multiplicação e expoentes 
inteiros não negativos de variáveis.
Basicamente, a teoria de aproximação estuda diversos processos para 
obter funções que se aproximem, da melhor maneira possível, dos pontos 
suscetíveis à análise. Este é um conteúdo muito extenso e complexo, no 
entanto, nesta unidade estudaremos a abordagem direcionada ao Método dos 
Mínimos Quadrados (MMQ).
CÁLCULO NUMÉRICO 89
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 89 12/12/2019 11:46:50
Ajustes de curvas
A necessidade de ajustar valores aproximados da função em algum ponto 
fora do intervalo de tabelamento, valores resultantes de algum experimento 
físico ou ainda oriundos de pesquisas a uma função que tenha uma “boa apro-
ximação” é a motivação para realizar um ajuste de curva.
Mas o que seria essa curva? E como realizar um ajuste da mesma? 
Bem, curva pode ser descrita por ser uma linha, podendo ser modelada em 
diferentes formatos e estruturas, que variam conforme o ângulo com que essa 
linha se arma sobre o espaço e sobre o plano; já o ajuste, como o próprio nome 
nos sugere, consiste em adaptar essa linha a determinados pontos dispersos 
em um plano. Observe o Diagrama 5 com a relação entre o nome da curva e 
seu respectivo grau.
DIAGRAMA 5. TIPOS DE CURVAS
1º grau 2º grau 3º grau 4º grau
Reta Parábola Cúbica Quártica
Método dos Mínimos Quadrados (MNQ)
Considere a seguinte situação: obter estimativas para os 
valores de uma função em pontos não tabulados, ou seja, 
dados experimentais. Para tal tarefa, utilizaremos a me-
todologia dos Mínimos Quadrados, que possui a capaci-
dade de determinar as melhores retas de aproximação.
Conforme afi rma Franco em seu livro Cálculo numé-
rico, de 2006, neste método há dois seguimentos que di-
CÁLCULO NUMÉRICO 90
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 90 12/12/2019 11:46:51
recionam a processos de resoluções diferentes: o caso discreto, em que a 
função é dada por uma tabela de valores, e o caso contínuo, que se trabalha 
com a função em seu formato algébrico.
Iniciaremos com o caso discreto, em que o problema de ajuste de curvas 
consiste no pressuposto da posse dos pontos (xi, f(xi)), i = 0,1,2,3,…n para 
encontrar funções gi (x), tais que o desvio em cada ponto i, definido por (2), 
seja mínimo, ou seja:
φ(x)=α1 g1 (x) + α2 g2 (x) + ⋯ + αn gn (x)
Aproxime-se ao máximo da função f(x).
A escolha das funções gi (x) varia conforme o gráfico dos pontos, que recebe 
a denominação de diagrama de dispersão. Por meio dele, é possível visualizar 
o tipo de curva que mais se adequa aos pontos. 
GRÁFICO 2. GRÁFICO DE DISPERSÃO
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
O Método dos Mínimos Quadrados consiste em determinar os coeficientes 
a,a2,a3,a4,…an de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, 
ou seja: 
E ≡ E2 (a0,a1) = [yi - (a1 xi + a0)]
2
 m
 i = 1
∑
Quanto aos parâmetros a0, a1 que representam os coeficientes de um ajuste li-
near, para que ocorra o mínimo, será necessário que estes atendam às igualdades:
CÁLCULO NUMÉRICO 91
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 91 12/12/2019 11:46:51
a0 =
 x2 yi xi yi
 m
 i = 1∑
 m
 i = 1∑
 m
 i = 1∑
 m
 i = 1∑ - xi
 m
 2 m
 i = 1∑ x2
 m
 i = 1∑ xi -
a1 =
 x1 y1 xi
 m
 i = 1∑
 m
 i = 1∑
 m
 i = 1∑ - yi m
 2 m
 i = 1∑ x2
 m
 i = 1∑ xi -
Consideraremos para a resolução dos exercícios o ajuste linear, ou seja, 
o ajuste dos pontos para uma reta, que possui representação algébrica 
dadapor: P(x) = a1 x + a0.
Exemplo 8: considere os dados apresentados na Tabela 1 e determine 
a reta de mínimos quadrados que aproxime estes dados. Admita quatro 
casas decimais. 
 1
 1
 i
TABELA 1. DADOS NUMÉRICOS
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1,3 3,5 4,2 5 7 8,8 10,1 12,5 13 15,6
De modo a facilitar a resolução do exercício, vamos transpor a Tabela 1, ou seja, 
as linhas serão transformadas em colunas e as colunas em linhas; além disso, serão 
acrescentadas mais duas colunas: uma referente ao cálculo de xi yi e outra repre-
sentando xi
2. Uma última linha será colocada de maneira a tabular os resultados, ou 
seja, os somatórios (∑) de cada coluna.
CÁLCULO NUMÉRICO 92
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 92 12/12/2019 11:47:14
TABELA 2. DADOS NUMÉRICOS
x xi yi xi ∙ yi (xi)2
1 1 1,3 1 ∙ 1,3 = 1,3 (1)2 = 1
2 2 3,5 2 ∙ 3,5 = 7 (2)2 = 4
3 3 4,2 3 ∙ 4,2 = 12,6 (3)2 = 9
4 4 5 4 ∙ 5 = 20 (4)2 = 16
5 5 7 5 ∙ 7 = 35 (5)2 = 25
6 6 8,8 6 ∙ 8,8 = 61,6 (6)2 = 36
7 7 10,1 7 ∙ 8,8 = 61,6 (7)2 = 49
8 8 12,5 8 ∙ 12,5 = 100 (8)2 = 64
9 9 13 9 ∙ 13 = 117 (9)2 = 81
10 10 15,6 10 ∙ 15,6 = 156 (10)2 = 100
m = 10 x = 55∑ y = 81∑ x ∙ y = 572,4 ∑ x2 = 385∑
De posse destes valores, basta substituí-los. Observe:
a0 =
 xi 
2
 xi yi
 10
 i = 1∑
 10
 i = 1∑
 10
 i = 1∑ - xi 385 ∙ 81 - 572,4 ∙ 55
 10 ∙ 385 - (55)2
= -0,36
10
 2
 i = 1∑ x21
 10
 i = 1∑ xi -
 =
10
a1 =
 xi yi xi
 10
 i = 1∑
 10
 i = 1∑
 10
 i = 1∑ - yi 10 ∙ 572,4 - 55 ∙ 81
 10 ∙ 385 - (55)2
= 1,5382
10
 2
 i = 1∑ x2i
 10
 i = 1∑ xi -
10
→
Para finalizar, substituímos na relação;
P(x) = a1 x + a0 → P(x) = 1,5382x - 0,36
Agora que finalizamos o modo de utilizar o Método dos Mínimos Quadrados 
para dados discretos, iniciaremos a abordagem para dados contínuos. Nesta dinâ-
mica, consideraremos uma função y = f(x) ϵ E = C[a.b] em que o objetivo será aproxi-
mar f(x), x ∈ [a,b] por um polinômio de grau no máximo m, Pm (x)ϵE' = Km (x), ou seja, 
f(x)~a0 + a1 x + ⋯ am xm = Pm (x), de maneira que a distância entre f(x) e Pm (x) seja mínima.
Logo, será necessário encontrar a classe de todos os polinômios de grau 
inferior ou igual a m:
Q= ‖ f - Pm ‖2 = (f(x) - Pm(x))
2
b
a
∫
 10
CÁLCULO NUMÉRICO 93
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 93 12/12/2019 11:47:16
Assim, para aproximar uma função f(x) ∈ [a,b] por um polinômio Pm(x) de 
grau máximo m, basta determinar a projeção ortogonal de f(x) sobre Km(x), que 
é construído a partir de {1,x,x2,…,xn}. Vale ressaltar que os coeficientes a0 + a1 x 
+ ⋯ amxm de Pm(x) serão constituídos pelo vetor normal da solução do sistema 
linear, isto é:
(1,1)
(1, x)
(1, xm)
(x,1)
(xm,1)
(xm, xm)
(xm,1)
(x,x)
(x, x)m ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
a0
a1
a2
f,1
f, 2
f, 3
∙∙∙
∙∙∙ ∙∙∙ ∙∙∙c =
=
E admitindo que o produto escalar como C[a,b], ou seja, f, g ∈ [a,b], é:
f(a,b) = ∫a
b f(x) g(x)dx.
Exemplo 9: admita uma função definida por f(x) = x4 - 5x, x ∈ [-1,1]. Aproxime 
essa função a um polinômio quadrático.
Inicialmente, é necessário caracterizar um polinômio do segundo grau. Este 
é representado por:
f(x) = P2 (x) = a2 x2 + a1 x + a0
A base para K2 (x) será {1, x, x
2}; logo, o objetivo será solucionar o sistema:
(1,1)
(1, x)
(1, x2)
(x,1)
(xm,1)
(x2, x2)
(x2,1)
(x, x)
(x, x)2
a0
a1
a2
f,1
f,2
f,3
=
 
Como o produto escalar é C[-1,1], estes serão os intervalos que compõem a 
integral definida, logo:
(1,x2) = x2 dx =
1
-1
∫ x
3
3
13
3
2
3
-13
3
1
-1
= = = (x2,1) = (x,x)-
(1,x) = xdx =
1
-1
∫ x23
12
3
-12
3
1
-1
= = 0 = (x,1)-
(1,1) = dx = x
1
-1
∫ 1-1 = 1- (-1) = 2
(x2,x2) = x4dx =
1
-1
∫ x55
15
5
2
5
-15
3
1
-1
= -
CÁLCULO NUMÉRICO 94
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 94 12/12/2019 11:47:18
(x2,x2) = x3dx =
1
-1
∫ x44
14
4
-14
3
1
-1
= - = 0 (x2,x)
1 5 2
-1
(f,1) = (x4 - 5x) dx =
1
-1
∫ x
5 15 -1 -1 25(1)55x2
5 5 5 2 522- - - - 5 =
1 6 3
-1
(f,x) = (x5 - 5x2) dx =
1
-1
∫ x
6 16 -1 -1 105(1)35x3
6 6 6 3 333
- - - - 5 = -
1 7 4
-1
(f,x2) = (x6 - 5x3) dx =
1
-1
∫ x
7 17 -1 -1 25(1)45x4
7 7 7 4 744
- - - - 5 = 
De posse destas informações, conseguimos completar o sistema linear – 
para, posteriormente, determinar seus coeficientes:
(1,1)
(1, x)
(1, x2)
(x,1)
(xm,1)
(x2,x2)
(x2,1)
(x, x)
(x, x)2
a0
a1
a2
f,1
f, 2
f, 3
= →
2
0
0
0
0
a0
a1
a2
= -
2
3
2
3
2
3
2
5
2
7
10
3
2
3
E, por fim, resolvendo o sistema linear:
2a0 +
2a0 +
a2 =
0a2 =
a2 = -a20a0 +
0a1
0a1 +
2
3
2
3
2
5
2
3
2
5
2
7
10
3
Encontramos que a2 = 
6
7
, a1 = -5 e a0 = -
3
35
 e, por consequência, a função é:
f(x) = P2 (x) = - 5x -
6
7 x2
3
35
CÁLCULO NUMÉRICO 95
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 95 12/12/2019 11:47:22
Sintetizando
Caro aluno, nesta unidade aprendemos sobre a resolução de sistemas li-
neares, que consistem em n equações com n variáveis que são expressas em 
notação de matriz como Ax = b. 
Os métodos diretos são descritos por serem processos finitos, mas que oca-
sionam erros de arredondamento. Nesta categoria, conhecemos o Método da 
eliminação gaussiana, popularmente conhecido por escalonamento, e a fato-
ração LU. 
Os métodos iterativos são caracterizados pela recursividade, ou seja, a re-
petição do mesmo processo; são passíveis a erros de truncamento e indicados 
para solucionar sistemas de grande porte. Nesta dinâmica, fomos apresenta-
dos ao método de Gauss-Jacobi e ao método de Gauss-Siedel. 
Com o objetivo de encontrar funções que aproximem pontos em um plano 
de maneira a transformá-las em uma expressão algébrica de fácil manipulação, 
conhecemos o Método dos Mínimos Quadrados, que é utilizado para gerar o 
que se chama em estatística de regressão linear ou ajuste linear.
CÁLCULO NUMÉRICO 96
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 96 12/12/2019 11:47:23
Referências bibliográficas
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 
1987. 
CAMPOS, F. F. F. Algoritmos numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
DALCÍDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo numérico computacional - teoria e práti-
ca. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1994.
DÉCIO, S.; MENDES, J. T.; MONKEN, L. H. Cálculo numérico. São Paulo: Makron 
Books, 2003.
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HUMES, A. F. P. C. et al. Noções de cálculo numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1984.
RAMOS, D. M. C.; ARAUJO, W. B.; OLIVEIRA, A. R. Aplicação de métodos numéricos 
através ambiente gráfico no ensino de engenharia. Disponível em: <http://www.
abepro.org.br/biblioteca/enegep2008_tn_stp_078_544_12278.pdf>. Acesso em: 27 
nov. 2019. 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico aspectos teóricos e compu-
tacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2013.
CÁLCULO NUMÉRICO 97
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID3.indd 97 12/12/2019 11:47:23
INTERPOLAÇÃO 
POLINOMIAL, 
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS E 
INTEGRAÇÃO 
NUMÉRICA
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o conceito de interpolação polinomial de maneira a 
aproximar funções;
 Definir e aplicar o Método de Gregory – Newton e Lagrange em 
interpolações polinomiais;
 Caracterizar equações diferenciais ordinárias e determinar suas respectivas 
soluções numéricas;
 Definir e aplicar o método de Euler e o método Runge-Kutta para resolver 
equações diferenciais ordinárias;
 Compreender a concepção de integração numérica;
 Caracterizar e aplicar a regra do trapézio, além da primeira e segunda regra 
de Simpson em uma integração numérica.
 Interpolação polinomial
 Método de Newton-Gregory
 Método de Lagrange
 Equações diferenciais ordinárias
 Método de Euler
 Método de Runge-Kutta
 Integração numérica
 Regra do trapézio
 Primeira regra de Simpson
 Segunda regra de Simpson
CÁLCULO NUMÉRICO 99
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 99 12/12/2019 10:59:51
Interpolação polinomial
Um procedimento recorrente na 
matemática desde a Antiguidade é a 
necessidade de realizar estimativas 
de pontos intermediáriosa partir de 
dados precisos. Para tal tarefa, utili-
zam-se as técnicas de aproximação 
polinomial. Mas por que um formato 
polinomial? Conforme Franco, no livro 
Cálculo Numérico, de 2013, os polinômios são facilmente computáveis; suas de-
rivadas e integrais geram novos polinômios, além de suas raízes serem obtidas 
por procedimentos simples quando comparadas a outros formatos.
Neste contexto, existe o teorema de Weierstrass, que reconhece que “toda 
função contínua pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio”. Ba-
sicamente, um polinômio algébrico é descrito no formato: 
Pn(x) = anx
n + an-1x
n-1 + a1x + a0
Ruggiero e Lopes, autores do livro Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Com-
putacionais, de 2013, descrevem as principais ocasiões em que a interpolação 
polinomial se faz necessária:
• Função extremamente complicada e de fatigante manejo;
• É desconhecida a expressão analítica da função, sendo conhecidos apenas 
alguns de seus pontos.
O enigma principal de uma interpolação por polinômios consiste em: dados 
n + 1, pontos (ou números) distintos (reis ou complexos) x0, x1, ... xn e n + 1, nú-
meros reais (ou complexos) y0, y1, ... yn, números estes que, geralmente são n + 
1 valores de uma função y = f(x) em x0, x1, ... xn. Será determinado um polinômio 
Pn(x) de grau máximo, tal que: 
Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1, … Pn(xn) = yn
A interpolação linear consiste na fórmula mais simples de interpolação, co-
nectando dois pontos a uma reta. É necessário ressaltar que o grau de um 
polinômio interpolador é uma unidade menor que a quantidade de pontos co-
nhecidos. Logo, o polinômio interpolador de grau 1 é:
P1(x) = a1x + a0
CÁLCULO NUMÉRICO 100
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 100 12/12/2019 10:59:55
E para determinar os coefi cientes a0 e a1, é necessário que:
P1(x0) = f(x0) = y0 e P1(x1) = f(x1) = y1
Ou seja, basta solucionar o sistema linear:
{a1x0 + a0 = y0a1x1 + a0 = y1
Já a interpolação quadrática, também muito utilizada em diversos proble-
mas, se refere a uma função do segundo grau e necessita de três pontos para 
sua constituição. Seu polinômio interpolador é descrito na forma:
P2(x) = a1x
2 + a1x + a0
O objetivo agora será determinar os valores referentes aos coefi cientes a0, 
a1 e a2, possibilitado pelas relações:
P1(x0) = f(x0) = y0 e P1(x1) = f(x1) = y1 e P1(x2) = f(x2) =y2
Ou seja, basta solucionar o sistema linear:
{a1x0 + a1x0 + a0 = y0a1x1 + a1x1 + a0 = y1
a1x2 + a1x2 + a0 = y2
2
2
2
Conforme verifi camos, um polinômio Pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, ... xn é 
único. Porém, existe uma gama de métodos úteis para se obter tal polinômio. 
Uma das mais triviais é a montagem e posterior resolução de um sistema li-
near; no entanto, haverá situações em que tal procedimento será inviável. Com 
isso, recorreremos aos métodos de Newton-Gregory e método de Lagrange.
Método de Newton-Gregory 
Um método que viabiliza a determinação de polinômios é o chamado 
método de Newton-Gregory. Ressalta-se que está metodologia só pode ser 
utilizada quando os pontos de xi forem igualmente espaçados, ou seja, a am-
plitude for constante. Outra característica consiste no fato de que a fórmula 
de Newton-Gregory do polinômio de interpolação permite passar de um po-
linômio de grau p para um polinômio de grau p + 1, adicionando um termo ao 
polinômio de grau p.
Para encontrar o polinômio segundo este algoritmo, é necessário com-
preender o seu fundamento, que consiste na concepção de diferenças ordiná-
rias. Mas o que isso nos sugere? Que sejam x0, x1, ... xn , n + 1 pontos distintos, 
CÁLCULO NUMÉRICO 101
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 101 12/12/2019 10:59:55
igualmente espaçados em [a,b], isto é: xi + 1 - xi = h, i = 0, 1, …, n - 1 e sejam y0 , y1, ... 
yn, n + 1 valores de uma função y = f(x). Sobre x = xk, k = 0, 1, …, n, defi ne-se: 
∆0yk = yk, k = 0,1, …, n;
∆ryk = ∆
r - 1y(k + h) - ∆
r - 1yk
Onde ∆ryk é a diferença ordinária de y de ordem r em x = xk.
Para calcular as diferenças ordinárias de uma função y = f(x) sobre os pontos 
x0 ,x1, ... xn (igualmente espaçados de h), é possível construir uma tabela de di-
ferenças ordinárias. De acordo com as orientações de Franco, em sua já citada 
obra Cálculo Numérico, é necessário seguir os seguintes passos:
• A primeira coluna é constituída pelos pontos xi, i = 0,1, … , n;
• A segunda coluna deverá conter os valores de yk, nos pontos xi, i = 0,1, … , n;
• Nas colunas 3, 4, 5, ... estão as diferenças ordinárias de ordem 1, 2, 3, ...; 
sendo que cada uma destas diferenças é basicamente a diferença entre duas 
diferenças ordinárias consecutivas e de ordem inferior.
Observe na Tabela 1 a seguir a representação deste algoritmo:
xk yk ∆
1yk ∆
2yk ∆
3yk ...
x0 y0 ∆
1y0 = y1 - y0 ∆
2y0 = ∆
1y1 - ∆
1y0 ∆
3y0 = ∆
2y1 - ∆
2y0 ...
x1 y1 ∆
1y1 = y2 - y1 ∆
2y1 = ∆
1y2 - ∆
1y1
x2 y2 ∆
1y2 = y3 - y2
x3 y3
… …
0
x
y0y0y
y
2
x
∆
yy2y
y0y0y = y
y
…
 = y - y
y
 - y
 = y
∆
…
2 - y
y2y2y = y = y - y
∆22y2 0 = ∆
∆
y
y = ∆
 - ∆1
 = ∆1
y0y0y
y2y2y - ∆ y
∆3y0y0y = ∆ = ∆
2y2y2 - ∆ y ...
TABELA 1. ALGORITMO DE NEWTON-GREGORY
Nesta metodologia, os resultados a serem utilizados na construção do poli-
nômio de interpolação, para argumentos igualmente espaçados de h, são os pri-
meiros valores de cada coluna de diferenças, embora seja imprescindível cons-
truir toda a tabela, uma vez que os valores não são independentes um do outro.
O polinômio de interpolação, uma vez que z = x - x0
h
, é gerado por:
Pn(x) = y0 + z∆1y0 +
z(z - 1)
2!
z(z - 1)(z - 2)
3!∆
2y0 + ∆
3y0 + ....
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DICA
Em problemas de interpolação polinomial, uma vez determinado o va-
lor de x, sobre o qual se deseja uma estimativa, é possível avaliar se 
a resposta encontrada pode estar correta ou não. Mas como? Bem, 
verifique no exercício anterior que foi informado que sen(1,4) = 0,985 
e sen(1,5) = 0,997. Como foi pedido sen(1,45), esse valor deve estar 
compreendido entre 0,985 e 0,997. Essa análise não permite determi-
nar com precisão se a resposta está correta, porém funciona como 
um norte para orientar se o resultado pode estar correto ou não.
Vamos entender na prática como funciona essa metodologia resolvendo o 
próximo exercício de exemplo.
Com base nessas informações, determine:
a) Calcule o polinômio interpolador;
b) Determine sen(1,45).
Resolução
a) O primeiro passo consiste em transpor essa tabela, ou seja, transformar 
linhas em colunas e vice-versa, assim como acrescentar as colunas referentes 
às diferenças ordinárias.
x 1,2 1,3 1,4 1,5
sen(x) 0,932 0,964 0,985 0,997sen(x)sen(x)sen(x) 0,9320,9320,932 0,9640,964 0,9850,9850,985 0,9970,9970,997
x y = sen(x) ∆1yk ∆
2yk ∆
3yk
1,2 0,932 ∆1y1 = 0,964 - 0,932 = 0,032 ∆
2y1 = 0,021 - 0,032 = -0,011 ∆
3y1 = -0,009 - (-0,011) = -0,002
1,3 0,964 ∆1y2 = 0,985 - 0,964 = 0,021 ∆
2y2 = 0,012 - 0,021 = -0,009
1,4 0,985 ∆1y3 = 0,997 - 0,985 = 0,012
1,5 0,997
1,2 0,932
1,3
0,932
0,964
1,4
∆
0,964
y1 = 0,964 - 0,932 = 0,032
0,985
1,5
 = 0,964 - 0,932 = 0,032
∆1
0,985
 = 0,964 - 0,932 = 0,032
2 = 0,985 - 0,964 = 0,0212 = 0,985 - 0,964 = 0,0212
0,997
 = 0,964 - 0,932 = 0,032
 = 0,985 - 0,964 = 0,021
∆1y1y1
0,997
 = 0,964 - 0,932 = 0,032
 = 0,985 - 0,964 = 0,021
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
 = 0,964 - 0,932 = 0,032
 = 0,985 - 0,964 = 0,021
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
 = 0,985 - 0,964 = 0,021
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
∆2y2y2
 = 0,985 - 0,964 = 0,021
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
y
 = 0,997 - 0,985 = 0,012
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
 = 0,021 - 0,032 = -0,011
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
∆
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
y = -0,009 - (-0,011) = -0,002
 = 0,012 - 0,021 = -0,009
 = -0,009 - (-0,011) = -0,002= -0,009 - (-0,011) = -0,002 = -0,009 - (-0,011) = -0,002 = -0,009 - (-0,011) = -0,002 = -0,009 - (-0,011) = -0,002 = -0,009 - (-0,011) = -0,002
TABELA 2. EXEMPLO 1: A FUNÇÃO Y = SEN(X) É DEFINIDA
PELOS PONTOS APRESENTADOS
TABELA 3. TABELA A SER TRANSPOSTA
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Agora calcularemos o valor de z. Para tal tarefa, é necessário identifi car x0 
= 1,2, bem com a amplitude que é encontrada por: h =1,3 - 1,2,ou h = 1,4 - 1,2 
ou h = 1,5 - 1,4 = 0,1; logo:
z = x - x0h
→ z = x - 1,20,1 = 
x
0,1 -
1,2
0,1 = 10x - 10
A partir dos dados destacados em azul e de posse do correspondente de z, 
basta substituir na relação. Veja as manipulações algébricas:
Pn(x) = y0 + z∆1y0 +
z(z - 1)
2! ∆
2y0 +
z(z - 1)(z - 2)
3! ∆
3y0 + ....
Pn(x) = 0,932 + (10x - 12)0,032 +
(10x - 12)(10x - 12 -1)
2! (-0,011)
+ (10x - 12)(10x - 12 -1)(10x - 12 - 1)3!
. 0,002
Pn(x) = 0,932 + 0,32x - 0,384 +
(10x - 12)(10x - 13)
2! (-0,011)
+ (10x + 12)(10x + 11)(10x + 10)3!
. 0,002
Pn(x) = 0,548 + 0,32x +
100x2 - 130x- 120x - 156
2 (-0,011)
+ 100x
2 - 250x + 156(10x - 14)
6
. 0,002
Pn(x) = 0,548 + 0,32x + (100x2 - 250x +156)(-0,0055) + (1000x3 - 3900x2 + 5060x - 2184)(0,0003)
Pn(x) = 0,548 + 0,32x - 0,55x2 + 1,375x - 0,858 + 0,3x3 - 1,17x2 + 1,518x - 0,6552
Pn(x) = 0,3x3 - 1,72x2 + 3,213x - 0,9652
b) Agora para determinar sen(1,45), basta substituir este valor no polinômio 
interpolador encontrado anteriormente:
Pn(x) = 0,3x
3 - 1,72x2 + 3,213x - 0,9652
Pn(1,45) = 0,3(1,45)
3 - 1,72(1,45)2 + 3,213(1,45) - 0,9652
Pn(1,45) = 0,9919
Exemplo 2: Em um pedágio de uma rodovia federal, foi computada a quan-
tidade de carros que se movimentam de acordo com o horário. Tais informa-
ções estão contidas na tabela a seguir, observe-a:
Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30
Número de carros (unidade de milhar) 2,71 1,62 1,12 1,05 1,51 2,43
TABELA 4. MOVIMENTAÇÃO DE CARROS POR FAIXA DE HORÁRIOS
10:0010:00
2,712,71
10:3010:30
1,621,62
11:00
1,12
11:3011:30
1,05
12:0012:00
1,511,51
12:3012:30
2,432,43
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a) Utilizando três pontos, ou seja, uma interpolação quadrática, determine o 
polinômio interpolador que caracteriza a quantidade de carros às 11h50. Consi-
dere a amplitude em horas (h = 0,5).
b) Qual o número de carros estimado no horário de 13h?
Resolução
a) Como o comando pede três pontos, é necessário escolher três pontos 
que estejam próximos ao horário de 11h50, que será reescrito como 11,5 devi-
do à amplitude equivaler a 0,5, logo:
x y ∆1yk ∆2yk
11:30 = 11,5 1,05 ∆1y1 = 1,51 - 1,05 = 0,46 ∆
2y1 = 0,92 - 0,46 = 0,46
12:00 = 12 1,51 ∆1y2 = 2,43 - 1,51 = 0,92
12:30 = 12,5 2,43
11:30 = 11,511:30 = 11,5
12:00 = 12
11:30 = 11,5
12:00 = 12
12:30 = 12,5
12:00 = 12
12:30 = 12,512:30 = 12,512:30 = 12,5
1,05
1,511,51
2,432,43
y = 1,51 - 1,05 = 0,46 = 1,51 - 1,05 = 0,46
∆ y1y1
 = 1,51 - 1,05 = 0,46
 = 2,43 - 1,51 = 0,92
 = 1,51 - 1,05 = 0,46
 = 2,43 - 1,51 = 0,92
 = 1,51 - 1,05 = 0,46
 = 2,43 - 1,51 = 0,92
 = 1,51 - 1,05 = 0,46
 = 2,43 - 1,51 = 0,92 = 2,43 - 1,51 = 0,92
∆ y2y2 = 0,92 - 0,46 = 0,46 = 0,92 - 0,46 = 0,46 = 0,92 - 0,46 = 0,46 = 0,92 - 0,46 = 0,46 = 0,92 - 0,46 = 0,46
TABELA 5. TRÊS PONTOS PRÓXIMOS AO HORÁRIO DE 11H50
Agora determinaremos o valor de z, logo: z = x - x0h → z = 
x - 11,5
0,5 = 
x
0,5 -
11,5
0,5 = 2X - 23
Pn(x) = y0 + z∆1y0 +
z(z - 1)
2! ∆
2y0
P2(x) = 1,05 + 0,92x - 10,58 +
(2x - 23)(2x - 24)
2!
. 0,46
P2(x) = -9,53 + 0,92x + (4x2 - 94x + 552) . 0,23
P2(x) = -9,53 + 0,92x + 0,92x2 - 21,62x + 126,96
P2(x) = 0,92x2 - 20,7x + 117,43
b) Como o horário a ser estimado, basta substituir esse valor no polinômio 
interpolador:
P2(13) = 0,92(13)
2 - 20,7(13) + 117,43 = 3,81
Dando continuidade aos métodos que permitem a determinação de um po-
linômio interpolador, conheceremos a seguir o método de Lagrange.
Método de Lagrange
O método de Lagrange consiste em outra opção que permite interpolar 
polinômios e se baseia em um algoritmo diferente que é amplamente utiliza-
CÁLCULO NUMÉRICO 105
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do, uma vez que apresenta a vantagem de não ser necessário um espaçamen-
to constante. No entanto, a manipulação algébrica é mais intensa.
Sendo x0, x1, ... xn n + 1 pontos distintos. Consideraremos k = 0,1, … , n, os 
seguintes polinômios Pk(x) de grau n:
Pn(x) =
f(x1)
p1(x1)
. p1(x) +
f(x2)
p2(x2)
. p2(x) +
f(x3)
p3(x3)
. p3(x) + ... +
f(xn)
pn(xn)
. pn(x)
Onde os n polinômios são encontrados da seguinte maneira:
P1(x) = (x - x2)(x - x3) … (x - xn) → salta x1
P2(x) = (x - x1)(x - x3) … (x - xn) → salta x2
P3(x) = (x - x1)(x - x2) … (x - xn) → salta x3
E assim sucessivamente, até determinar a quantidade de polinômios refe-
rente à quantidade de pontos informados ou determinados no comando da 
questão. Lembre-se que um polinômio de 1º grau necessita de dois pontos 
para a interpolação, já um polinômio de 2º grau precisa de três pontos, assim 
como um de 3° grau utiliza quatro pontos.
CURIOSIDADE
Apesar de receber o nome de Joseph-Lois Lagrange, estudiosos afir-
mam que a relação já era conhecida por Isaac Newton. Ela foi publi-
cada pela primeira vez por Edward Waring em 1779. Lagrange publicou 
essa descoberta em 1795 e se dedicou ao trabalho voltado para a 
interpolação. Seus estudos exerceram forte influência na análise de 
matemáticos posteriores
Exemplo 3: Determine o polinômio interpolador de uma função que foi ta-
belado da seguinte forma:
X -1 0 1
Y 1 1 0
-1
1
0 1
TABELA 6. POLINÔMIO INTERPOLADOR DE UMA FUNÇÃO
Resolução
Observe que estamos em uma situação que envolve três pontos distintos, 
logo, será necessário encontrar P1(x) ,P1(x1), P2(x), P2(x2), P3(x) e P3(x3).
CÁLCULO NUMÉRICO 106
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P1(x) = (x - x2)(x - x3) = (x - 0)(x - 1) = x(x - 1) = x
2 - x
P1(x1) = P1(-1) = x(x - 1) = -1(-1 - 1) = 2
P2(x) = (x - x1)(x - x3) = (x - (-1))(x - 1) = (x + 1)(x - 1) = x
2 - 1
P2(x2) = P2(0) = 0
2 + 1 = -1
P3(x) = (x - x1)(x - x2) = (x(-1))(x - 0) = (x + 1)x = x
2 + x
P3(x3) = P3(1) = 1
2 + 1 = 2
Pn(x) =
f(x1)
p1(x1)
. p1(x) +
f(x2)
p2(x2)
. p2(x) +
f(x3)
p3(x3)
. p3(x)
P2(x) =
1
2
. (x2 - x) + 1-1
. (x2 - 1) + 02
. (x2 + x)
P2(x) =
x2
2
- x
2 + x
2 + 1
P2(x) =
x2
2
- x
2 + 1
Logo, o polinômio que interpola os pontos tabelados é - - x2 + 1
x2
2 . Este é consi-
derado de segundo grau, ou seja, P2(x), porque foram utilizados três pontos para 
esta análise. De maneira geral, o grau se refere à uma quantidade de (n - 1) pontos.
Exemplo 4: A resistência medida em kg/cm2 de certa barra metálica f(x) varia 
de acordo com seu respectivo diâmetro. A partir desta constatação, estudiosos 
chegaram aos seguintes valores:
Diâmetro (cm) 1,5 2,0 3,0
Resistência f(x) (kg/cm2) 4,9 3,3 2,0
1,51,5
4,9
2,02,0
3,3
3,03,0
2,0
TABELA 7. VALORES DE DIÂMETRO E RESISTÊNCIA
Com base nos dados apresentados, estime a resistência de uma barra que 
possui um diâmetro de 2,3 cm.
Resolução
Como o comando se refere a um diâmetro de 2,3 cm, logo, este será o va-
lor atribuído a x. Com base nestas informações, determinaremos os termos 
que compõem o polinômio de Lagrange, respectivamente iguais a: P1(x), P1(x1), 
P2(x), P2(x2), P3(x) e P3(x3).
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P1(x) = (x - x2)(x - x3) = (x - 2)(x - 3) = x
2 - 5x + 6
P1(x) = P1(2,3) = (2,3)
2 - 5 . 2,3 + 6 = -0,21
P1(x1) = P1(1,5) = (1,5)
2 - 5 . 1,5 + 6 = 0,75
P2(x) = (x - x1)(x - x3) = (x - 1,5)(x - 3) = x
2 -4,5x + 4,5
P2(x) = P2(2,3) = (2,3)
2 - 4,5 . 2,3 + 4,5 = -0,56
P2(x2) = P2(2) = 2
2 - 4,5 . 2 + 4,5 = -0,5
P3(x) = (x - x1)(x - x2) = (x - 1,5)(x - 2) = x
2 - 3,5x + 3
P3(x) = P3(2,3) = (2,3)
2 - 3,5 . 2,3 + 3 = 0,24
P3(x3) = P3(3) = 3
2 - 3,5 . 3 + 3 = 1,5
Pn(x) =
f(x1)
p1(x1)
. p1(x) +
f(x2)
p2(x2)
. p2(x) +
f(x3)
p3(x3). p3(x)
P2(2,3) =
4,9
0,75
. (-0,21) + 2,01,5
. 0,24 = 2,6443,3-0,5
. (-0,56) +
Assim, é possível concluir que, para um diâmetro de 2,3 cm, a resistência da 
barra será de kg/cm2. Lembre-se que o valor encontrado se localiza no intervalo 
apresentado na tabela. Tal analise é importante para avaliar se a resposta en-
contrada se enquadra nas informações disponibilizadas.
Equações diferenciais ordinárias
Equações diferenciais são úteis para modelar problemas das mais diversas 
engenharias que envolvam a variação de alguma variável em relação a outra. 
Grande parte destes exercícios requer a resolução de um problema de valor 
inicial, ou seja, solucionar um problema de equação diferencial que satisfaça a 
determinada condição inicial.
São exemplos de equações diferenciais: 
• xy’ - = 8
• = 0,7x +dxdx
1
2
• dx = exdy
• dx + dy = In(x) - 0,9
• y’ - tg(x) = 5
CÁLCULO NUMÉRICO 108
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Uma equação diferencial pode ser classificada conforme sua linearidade e 
o grau de sua maior derivada. Basicamente, o formato algébrico de cada classi-
ficação pode ser descrito a seguir:
Figura 1. Classificação de uma equação diferencial de acordo com sua ordem.
EDO 1a Ordem
EDO 2a Ordem
EDO 3a Ordem
• Uma derivada.
dy
dx = x + 5•
• Duas derivadas.
d2y
dx2 = x + 5•
• três derivadas.
d3y
dx2 = x + 5•
Nas situações cotidianas, uma equação diferencial possui a capacidade de 
modelar uma situação extremamente complicada para ser exatamente solu-
cionada e duas possíveis abordagens podem ser utilizadas para estimar a solu-
ção. A primeira abordagem se baseia na simplificação de uma equação diferen-
cial de maneira a possibilitar outra resolução e, com base nesta determinação, 
é realizado novamente uma outra aproximação da equação diferencial inicial. 
A segunda abordagem usufrui de métodos que possibilitam a determinação 
destas soluções para um problema de valor inicial. 
CÁLCULO NUMÉRICO 109
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 109 12/12/2019 10:59:58
Com relação às soluções referentes à resolução de uma equação diferen-
cial, estas podem ser chamadas de geral ou particular. A primeira corresponde 
a uma resposta que apresenta uma constante indefi nida na sua constituição, 
enquanto na segunda modalidade, essa constante é determinada a partir da 
condição inicial estabelecida.
Os métodos que conheceremos a seguir são: método de Euler e método de 
Runge-Kutta, que permitem aproximar as soluções em determinados pontos 
específi cos e, frequentemente, igualmente espaçados.
Método de Euler
Leonhard Euler (1707 – 1783) foi o primeiro a apresentar ao público o uso de 
métodos de diferenças elementares para encontrar aproximações de soluções 
de equações diferenciais, por isso essa metodologia consiste em uma dedução 
simples. Esse fato serve como base para compreender outras técnicas numéri-
cas que permitem a determinação da solução de equações diferenciais.
Para explicar melhor o processo de resolução de uma equação diferencial 
ordinária (EDO), Gilat e Subramariam, autores de Métodos numéricos para en-
genharia e cientistas, de 2008, indicam uma associação a um sistema de EDOs 
composta por duas EDOs de primeira ordem, formadas por duas variáveis de-
pendentes: y, z e a variável x como dependente:
dy
dx = f1(x, y, z)
dz
dx = f2(x, y, z)
Para um domínio [a,b] e condições iniciais iguais a y(a) = y1 e z(a) = z1, para um 
sistema de duas EDOs, o Método de Euler é:
xi + 1 = xi + h
yi + 1 = yi + fi(xi, yi, zi)h
zi + 1 = zi + f2(xi, yi, zi)h
O início da resolução parte de i = 1 no primeiro ponto x1, uma vez que os 
valores de y1 e z1 são conhecidos. Depois, atribuído um valor à h, é possível 
descobrir o segundo ponto que compõe a solução (os valores no lado direito 
da equação são conhecidos). O processo da sequência parte de i = 2, 3, …, até o 
término do domínio da solução.
CÁLCULO NUMÉRICO 110
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 110 12/12/2019 10:59:58
Exemplo 5: Resolva a equação diferencial = -2x3 +12x2 - 20x + 8,5dydx . Considere 
h = 0,5 ,x∈[0,3] e y(0) = 1.
Resolução
Inicialmente, vamos compreender melhor as informações disponibilizadas:
• h = 0,5, ou seja, o espaçamento entre os valores de x terá essa diferença;
• x∈[0,3], isto é, o valor de x está compreendido entre 0 e 3, sendo estes va-
lores espaçados conforme a amplitude;
• y(0) = 1, ou seja, quando x = 0, y.
Inicialmente, vamos construir uma tabela para visualizar quais valores de x 
devem ser encontrados. Observe que o primeiro valor já foi informado, por isso 
ele já deve ser inserido:
x y
0 1.0
0,5 ?
1,0 ?
1,5 ?
2,0 ?
2,5 ?
3,0 ?
0
0,50,5
1,0
1.0
1,5
?
2,0
?
2,52,5
3,0
?
?
TABELA 8. VALORES DE X A SEREM ENCONTRADOS
Devemos determinar o respectivo valor para x = 0,5:
xi + 1 = xi + h = 0,0 + 0,5 = 0,5
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(0,5) = y(0) + f1(0; 1) . 0,5
f(0; 1) = -2(0)3 + 12(0)2 - 20 . 0 + 8,5 = 8,5
EXPLICANDO
É importante ressaltar que, ao se calcular f(0; 1), essa notação indica a 
relação entre duas variáveis, isto é, que x é igual a 0 e y igual a 1. O ponto 
e vírgula possui essa funcionalidade de separar valores. Como na função 
inicial dada por -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5 não existe a variável y, só o valor de x 
deve ser substituído de modo a determinar o valor de f(0;1).
CÁLCULO NUMÉRICO 111
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 111 12/12/2019 10:59:58
Substituindo essas informações na relação indicada anteriormente, en-
contramos: 
yi + 1 = y(0,5) = y(0) + f1(0,1) . 0,5 = 1 + 8,5 . 0,5 = 5,25
Concluímos, então, que o segundo ponto é (0,5; 5,25)n.
Prosseguiremos o mesmo processo para o próximo valor de x, agora para 
xi + 1 = xi + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1,0.
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(1,0) = y(0,5) + f1(0,5; 5,25) . 0,5
f(0,5; 5,25) = -2(0,5)3 + 12(0,5)2 - 20 . 0,5 + 8,5 = 1,25
Substituindo essas informações na relação indicada anteriormente, en-
contramos: 
yi+1 = y(1,0) = y(0,5) + f1(0,5; 5,25) . 0,5 = 5,25 + 1,25 . 0,5 = 5,875
Assim, o terceiro ponto é (1.0;5,875).
Agora o valor de x será xi + 1 = xi + 0,5 = 1,0 + 0,5 = 1,5
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(1,5) = y(1,0) + f1(1,0; 5,875) . 0,5
f(1,0; 5,875) = -2(1,0)3 + 12(1,0)2 - 20 . 1,0 + 8,5 = -1,5
Substituindo essas informações na relação indicada anteriormente, en-
contramos: 
yi + 1 = y(1,5) = y(1,0) + f1(1,0; 5,875) . 0,5 = 5,875 - 1,5 . 0,5 = 5,125
Assim, o quarto ponto é (1.5; 5,125).
Agora o valor de x será xi + 1 = xi + 0,5 = 1,5 + 0,5 = 2,0
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(2,0) = y(1,5) + f1(1,5; 5,125) . 0,5
f(1,5; 5,125) = -2(1,5)3 + 12(1,5)2 - 20 . 1,5 + 8,5 = -1,25
Substituindo essas informações na relação indicada anteriormente, en-
contramos: 
yi + 1 = y(2,0) = y(1,5) + f1(1,5; 5,125) . 0,5 = 5,125 - 1,25 . 0,5 = 4,5
Assim, o quinto ponto é (2,0;4,5).
Agora o valor de x será xi + 1 = xi + 0,5 = 2,0 + 0,5 = 2,5
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(2,5) = y(2,0) + f1(2,0; 4,5) . 0,5
f(2,0; 4,5) = -2(2,0)3 + 12(2,0)2 - 20 . 2,0 + 8,5 = 0,5
Substituindo essas informações na relação indicada anteriormente, en-
contramos: 
yi + 1 = y(2,5) = y(2,0) + f1(2,0; 4,5) . 0,5 = 4,5 + 0,5 . 0,5 = 4,75
Assim, o sexto ponto é (2,5;4,75).
Agora o valor de x será xi + 1 = xi + 0,5 = 2,5 + 0,5 =3,0
CÁLCULO NUMÉRICO 112
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 112 12/12/2019 10:59:58
yi + 1 = yi + fi(xi, yi)h → y(3,0) = y(2,5) + f1(2,5; 4,75) . 0,5
f(2,5;5,125) = -2(2,5)3 + 12(2,5)2 - 20 . 2,5 + 8,5 = 2,25
Substituindo essas informações, encontramos: 
yi + 1 = y(3,0) = y(2,5) + f1(2,5;4,75) . 0,5 = 4,75 + 2,25 . 0,5 = 5,875
Assim, o sétimo ponto é (2,0;4,5).
De posse destes valores, completamos a tabela inicial e chegamos à solução 
aproximada da equação diferencial no intervalo proposto.
x y
0 1.0
0,5 5,25
1,0 5,875
1,5 5,125
2,0 4,5
2,5 4,75
3,0 5,875
0
0,50,5
1,0
1.0
1,5
5,25
2,0
5,875
2,5
5,875
5,125
2,5
5,125
3,0
4,5
4,75
5,8755,875
TABELA 9. SOLUÇÃO APROXIMADA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
Nestemesmo contexto, o de determinar numericamente soluções aproxima-
das de uma equação ordinária, conheceremos a seguir o Método de Runge-Kutta.
Método de Runge-Kutta
No fi nal do século XIX, Carle Runge (1856 – 1927) deduziu diversas fórmulas 
para encontrar uma solução para equações lineares com problemas de valor 
inicial. Esse método fornece respostas mais precisas que o método de Euller.
Os métodos de Runge-Kutta podem ser de segunda, terceira e quarta or-
dem, no entanto, os mais utilizados são os de quarta ordem, por isso serão os 
abordados nesta unidade. 
Nesta metodologia de resolução de EDO, são desenvolvidas múltiplas esti-
mativas da inclinação média melhorada do intervalo, onde cada um dos quatro 
valores de K indica uma inclinação, e a equação que relaciona esses valores 
consiste em uma média ponderada que representa uma inclinação melhorada.
CÁLCULO NUMÉRICO 113
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 113 12/12/2019 10:59:59
As fórmulas que viabilizam o cálculo segundo Runge-Kutta consistem basica-
mente em determinar quatro constantes K1, K2, K3 e K4 que, juntas, intermediadas por 
operações aritméticas, possibilitam encontrar o valor associado à imagem. Os valo-
res que compõe o intervalo de xi são sempre previamente informados no enunciado 
do exercício e, conforme a amplitude determinada, ele é igualmente espaçado.
Neste contexto, para valores posteriores ao informado, ou seja, baseado yi, 
o objetivo é encontrar yi + 1. A relação a ser utilizada é a seguinte:
K1 = f(x1, y1)
K2 = f(x +
h
2 ; y +
h
2
. K1)
K3 = f(x +
h
2 ; y +
h
2
. K2)
K4 = f(x + h; y + h . K3)
Possuindo essas constantes, basta substituir em:
Ki + 1 = y1 +
h
6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
Já para posições anteriores à informada, é necessário se orientar por outras 
fórmulas, que são representadas por:
K1 = f(x1, y1)
K2 = f(x -
h
2 ; y -
h
2
. K1)
K3 = f(x -
h
2 ; y -
h
2
. K2 )
K4 = f(x - h; y - h . K3 )
Conhecendo as constantes, basta substituir em:
Ki - 1 = y1 -
h
6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
Tais cálculos serão necessários conforme o comando da questão, por isso, 
atente-se. Haverá situações em que será necessário descobrir apenas o termo 
anterior ao informado e, outras vezes, apenas o posterior ou até mesmo ambos.
Exemplo 6: Resolva a equação diferencial y' = y
2 - xsen(3x)
x2 + 1 . Considere h = 0,3, 
1,0 ≤ x ≤ 1,6 e y(1,3) = 2,176.
Resolução
Para descobrir quais componentes deverão ser encontrados, será cons-
truída uma tabela conforme a demanda do intervalo inicial, que é de 1,0 ≤ x 
CÁLCULO NUMÉRICO 114
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 114 12/12/2019 10:59:59
≤1,6 e devidamente espaçado conforme a amplitude de h = 0,3, de modo a 
facilitar sua compreensão:
x y
1,0 yi - 1
1,3 2,176
1,6 yi + 1
1,0
1,31,3
1,6
i - 1
2,1762,1762,176
yi + 1
TABELA 10. DEMANDA DO INTERVALO INICIAL
Para determinar yi - 1, é necessário encontrar as constantes K1, K2 ,K3 e K4, logo:
K1 = f(x1, y1) = f(1,3; 2,176) = 2,093
K2 = f x -
h
2 ; y -
h
2
. K1 = f 1,3 -
0,3
2 ; 2,176 -
. 2,0930,32
K2 = f(1,15; 1,862) = = 1,643
(1,862)2 - 1,15 . sen(3 . 1,15)
(1,15)2 + 1
K3 = f x -
h
2 ; y -
h
2
. K2 = f 1,3 -
0,3
2 ; 2,176 -
. 1,6430,32
K3 = f(1,15; 1,93) = = 1,754
(1,93)2 - 1,15 . sen(3 . 1,15)
(1,15)2 + 1
K4 = f(x - h; y - h . K3) = f(1,3 - 0,3 . 1,754) = 1,289
Conhecendo os valores, basta substituir em:
yi - 1 = y1 -
h
6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
yi - 1 = 2,176 - (2,093 + 2 . 1,643 + 2 . 1,754 + 1,259) = 1,669
0,3
2
Assim acrescentando esse valor a tabela inicial:
x y
1,0 1,669
1,3 2,176
1,6 yi + 1
1,0
1,31,3
1,669
1,6
1,669
2,1762,1762,176
yi + 1
TABELA 11. VALORES ACRESCIDOS À TABELA INICIAL
Agora, só resta determinar o valor associado a yi + 1. Como no procedimento 
anterior, o primeiro passo é determinar K1, K2, K3 e K4, porém, cuidado! Por causa 
da posição, a fórmula que viabiliza tal cálculo é diferente.
CÁLCULO NUMÉRICO 115
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 115 12/12/2019 11:00:00
K1 = f(x1, y1) = f(1,3; 2,176) = 2,093
K2 = f x +
h
2 ; y +
h
2
. K1 = f 1,3 +
0,3
2 ; 2,176 +
. 2,0930,32
K2 = f(1,45; 2,489) = = 2,435
(2,489)2 + 1,45 . sen(3 . 1,45)
(1,45)2 + 1
K3 = f x +
h
2 ; y +
h
2
. K2 = f 1,3 +
0,3
2 ; 2,176 +
. 2,4350,32
K3 = f(1,45; 2,541) = = 2,518
(2,541)2 - 1,45 . sen(2,541)
(1,45)2 + 1
K4 = f(x + h; y + h . K3) = f(1,3 + 0,3; 2,176 + 0,3 . 1,754) = 2,861
Uma vez conhecidos esses valores, basta substituir em:
yi + 1 = y1 +
h
6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)
yi + 1 = 2,176 -
0,3
6 (2,093 + 2 
. 2,435 + 2 . 2,518 + 2,861) = 2,919
Assim, a tabela referente à solução desta equação diferencial ordinária con-
forme as especifi cações iniciais é:
x y
1,0 1,669
1,3 2,176
1,6 2,919
1,0
1,31,3
1,669
1,6
1,669
2,1762,176
2,9192,919
TABELA 12. SOLUÇÃO FINAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Integração numérica
Integrar numericamente uma função representada por y = f(x) já é ato co-
mum, não é mesmo? Nos cálculos anteriores, a integração foi uma tarefa re-
corrente, porém, no contexto do cálculo numérico, toda a manobra algébrica 
é diferenciada, se comparada ao que estávamos acostumados anteriormente.
Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é 
conhecida, então a integral defi nida desta função neste intervalo é dada por: 
∫a f(x)dx = F(b) - F(a)
b
Onde F'(x) = f(x).
Porém, haverá casos em que a primitiva f(x) será de difícil obtenção ou des-
conhecida, o que difi cultará e muito o cálculo desta integral. Em situações prá-
CÁLCULO NUMÉRICO 116
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 116 12/12/2019 11:00:00
ticas, a função a ser integrada não terá um forma-
to analítico e estará exibida por pontos, tornando, 
mais uma vez, inviável o cálculo da integral. Neste 
contexto, a integração numérica constituirá um recur-
so que viabilizará tal cálculo.
Basicamente, a ideia da integração numérica con-
siste em transformar a integral proposta ou os dados 
dispostos em um polinômio de fácil integração. Em Cálcu-
lo Numérico, Franco enumera vantagens de se integrar um polinômio que 
aproxima y = f(x):
a) f(x) pode ser de difícil integração, como: x
(y 16 + x 34
∫0
2 dx
)
, enquanto um polinô-
mio é de integração imediata;
b) A solução do resultado de uma integral é conhecida, no entanto seu cálculo 
só é obtido, aproximadamente, como: e
3x
27∫0
0,6 x2e3xdx = 9x2 - 6x + 2) = 0,293386...;
c)São conhecidos apenas os pontos discretos que representam a função.
A solução numérica de uma integral, que também pode ser chamada de 
quadratura, é viabilizada pela utilização dos seguintes métodos:
• Fórmulas de Newton-Cotes: utilizam valores de f(x), desde que estes se-
jam igualmente espaçados;
• Fórmula de quadratura gaussiana: utiliza pontos sem a necessidade de 
existência de um espaçamento igual, uma vez que este indicador é determina-
do pelas propriedades dos polinômios ortogonais.
As fórmulas de Newton-Cotes se baseiam na substituição de uma função 
de difícil manipulação ou de dados obtidos por um polinômio simples. As mais 
populares desta categoria de fórmulas e que serão utilizadas no decorrer des-
ta unidade são: a regra do trapézio, a 1ª e a 2ª regra de Simpson. Todas estas 
possuem uma característica em comum, que consiste no fato de que os dados 
a serem integrados são igualmente espaçados.
Regra do trapézio
A regra do trapézio trabalha aproximando pequenos trechos da curva y = 
f(x) por segmentos de reta igualmente espaçados em um intervalo [a,b]. Obser-
ve sua representação geométrica pelo Gráfi co 1 a seguir:
CÁLCULO NUMÉRICO 117
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 117 12/12/2019 11:00:00
Fonte: GILAT; SUBRAMANIAM, 2008, p. 293.
A região entre a curva e o eixo x é aproximada por trapézios. Calculando a 
soma das áreas dos trapézios, encontra-se o resultado equivalente à integral 
de f(x). De maneira geral, esse cálculo é encontrado a partir da seguinte relação:
h
2
∫x0
x1 f(x)dx ≅ [y0 + 2(y1 + y2 + y3 + ... + yn - 1) + yn]
Onde todo trapézio possui uma largurah, geralmente relacionada com o 
número n de intervalos e calculada por:
b - a
n - 1h =
É importante ressaltar que, quanto maior o número de pontos disponíveis 
e/ou utilizados, mais próximo será do valor real (sem aproximações) e menor 
será o erro incidido nos cálculos.
Exemplo 7: Calcule a integral a seguir utilizando 7 intervalos, ou seja, n = 7. 
Utilize três casas decimais.
∫0
1,2excos(x)dx
Resolução
Inicialmente, é necessário descobrir o valor correspondente ao espaçamen-
to existente neste intervalo, logo:
b - a
n - 1h = → h =
1,2 - 0
7 - 1 = = 0,2
1,2
6
Agora será construída uma tabela de maneira a calcular a integral para cada 
valor de x:
= f(a) (b-a)
f(b)
f(a)
a b
y = f(x)y
x
Área
Área
(b – a) (f(b) – f(a))= 12
GRÁFICO 1. MÉTODO DO TRAPÉZIO
CÁLCULO NUMÉRICO 118
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 118 12/12/2019 11:00:01
x f(x) = ex cos(x)
0,0 = e0 cos(0) = 1
0,2 = e0,2 cos(0,2) = 1,197
0,4 = e0,4 cos(0,4) = 1,374
0,6 = e0,6 cos(0,6) = 1,503
0,8 = e0,8 cos(0,8) = 1,552
1,0 = e1,0 cos(1,00) = 1,468
1,2 = e1,2 cos(1,2) = 1,202
0,0
0,20,2
0,4
0,6
0,8
= e
0,8
cos
= e0,2
1,0
(0) = 1
cos
= e
1,2
(0) = 1
(0,2) = 1,197
0,4
1,2
(0,2) = 1,197
cos(0,4) = 1,374
= e0,6
(0,2) = 1,197
(0,4) = 1,374
cos
= e
(0,2) = 1,197
(0,4) = 1,374
(0,6) = 1,503
= e0,8
(0,4) = 1,374
(0,6) = 1,503
cos
= e
(0,6) = 1,503
(0,8) = 1,552
cos
(0,6) = 1,503
(0,8) = 1,552
cos(1,00) = 1,468
= e1,2
(0,8) = 1,552
(1,00) = 1,468
cos
(1,00) = 1,468
(1,2) = 1,202
(1,00) = 1,468
(1,2) = 1,202(1,2) = 1,202(1,2) = 1,202
TABELA 13. CÁLCULO DA INTEGRAL PARA CADA VALOR DE X
Observe que o primeiro e último valor de x devem, obrigatoriamente, coin-
cidir com os limites da integral, assim como a quantidade de pontos deve ser 
igual à quantidade de intervalos contidos no enunciado na questão, isto é, 7.
Agora, basta substituir os valores na regra do trapézio:
0,2
2
∫0
1,2 excos(x)dx ≅ [1 + 2(1,197 + 1,374 + 1,503 + 1,552 + 1,468) + 1,202]
∫0
1,2excos(x)dx ≅ h2 [y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5) +y6]
∫0
1,2 excos(x)dx ≅ 1,639
Esse exemplo caracterizou a situação de uma integral que possui um forma-
to de difícil resolução. No próximo exemplo, conheceremos o modo de resolver 
uma integral indicada pelos pontos. Vamos lá?
Exemplo 8: Um carro consegue percorrer determinado trajeto em sessenta 
segundos. A velocidade medida a cada intervalo de seis segundos foi identifi ca-
da com o auxílio de um radar, mensurado a partir do início da volta, em metros 
por segundo. Tais informações estão apresentadas na tabela a seguir:
Tempo 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Velocidade 124 134 148 156 147 133 121 109 99 85 78
TABELA 14. INFORMAÇÕES DE TEMPO E VELOCIDADE
CÁLCULO NUMÉRICO 119
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 119 12/12/2019 11:00:01
Com base nas informações anteriores, encontre o comprimento da pista 
utilizando a regra dos trapézios.
Resolução
Como os dados já estão todos explicitados, agora basta substituí-los na regra 
do trapézio, lembrando que o valor de h foi descrito no enunciado como seis:
≅ h2 [y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 +y6 + y7 + y8 + y9) + y10] 
≅ 62 [124 + 2(134 + 148 + 156 + 147 + 133 + 121 + 109 + 99 + 85) + 78] = 7398m
Primeira regra de Simpson
A primeira regra de Simpson, também popularmente chamada de regra do 1/3, 
aproxima os pontos através de uma equação polinomial do segundo grau, isto é, um 
polinômio quadrático. A demonstração da primeira regra de Simpson para a integra-
ção em um intervalo [a, b] é realizada dividindo [a, b] em um numero par, ou seja, em 
um formato 2N de subintervalos de amplitude b - a2Nh = , de maneira que x0 = a, x2N = b.
Há uma restrição para utilização deste método, que consiste no tamanho de seu 
intervalo, este quando subtraído de um, ou seja, seu subintervalo seja múltiplo de 
dois. Isto é, se o tamanho do conjunto equivale a quatro, 4 - 1 = 3. Três não é divisível 
por 2, logo, a regra não poderá ser aplicada. Já para um conjunto composto por cinco 
elementos, 5 - 1 = 4 e quatro é divisível por 2, então o uso da metodologia é viável. 
A representação geométrica desta metodologia é indicada pelo Gráfi co 2.
GRÁFICO 2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
ƒ(x)
y = ƒ(x)
p = (x)
ƒ(x1)
x2x1 = a x3 = b
ƒ(x2)
h h
y
Fonte: GILAT; SUBRAMANIAM, 2008, p. 296.
CÁLCULO NUMÉRICO 120
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID4.indd 120 12/12/2019 11:00:01
Algebricamente, uma integral pode ser calculada pela primeira regra de 
Simpson utilizando a seguinte relação:
∫x0
x1 f(x)dx ≅ h3 [y0 + (4y1 + 2y2 + ... + 4yn - 1) +yn]
Lembrando que a fórmula que calcula a amplitude continua a mesma, ou seja:
b - a
n - 1h =
Exemplo 9: Calcule o valor da integral a seguir aplicando a primeira regra de 
Simpson com sete intervalos e três casas decimais:
∫1,0
1,6 In(x)dx
Resolução
Inicialmente, é primordial identifi car a amplitude que permitirá o espaça-
mento entre os pontos, logo:
b - a
n - 1h = → h =
1,6 - 1,0
7 - 1 = = 0,1
0,6
6
Agora, conhecendo a amplitude como h = 0,1, é possível construir uma tabe-
la de modo a identifi car o valor de y mediante o valor de x:
TABELA 15. IDENTIFICANDO O VALOR DE Y MEDIANTE O VALOR DE X
x f(x) = ln(x)
1,0 = ln(1,0) = 0
1,1 = ln(1,1) = 0,0953
1,2 = ln(1,2) = 0,1823
1,3 = ln(1,3) = 0,2624
1,4 = ln(1,4) = 0,3365
1,5 = ln(1,5) = 0,4055
1,6 = ln(1,6) = 0,4700
1,0
1,1
1,2
1,31,3
= ln(1,0) = 0
1,4
= ln(1,0) = 0
= ln(1,1) = 0,0953
= ln(1,0) = 0
= ln(1,1) = 0,0953
1,5
= ln(1,0) = 0
= ln(1,1) = 0,0953
= ln(1,2) = 0,1823
= ln(1,1) = 0,0953
= ln(1,2) = 0,1823
1,6
= ln(1,1) = 0,0953
= ln(1,2) = 0,1823
= ln(1,3) = 0,2624
= ln(1,1) = 0,0953
= ln(1,2) = 0,1823
= ln(1,3) = 0,2624
= ln(1,2) = 0,1823
= ln(1,3) = 0,2624
= ln(1,4) = 0,3365
= ln(1,3) = 0,2624
= ln(1,4) = 0,3365
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,3) = 0,2624
= ln(1,4) = 0,3365
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,4) = 0,3365
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,6) = 0,4700
= ln(1,4) = 0,3365
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,6) = 0,4700
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,6) = 0,4700
= ln(1,5) = 0,4055
= ln(1,6) = 0,4700= ln(1,6) = 0,4700
O próximo e último passo consiste em substituir os valores obtidos da pri-
meira regra de Simpson, logo:
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∫x0
x1 In(x)dx ≅ h3 [y0 + (4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5) +y6]
∫1,01,6 In(x)dx ≅
0,1
3 [0 + (4 
. 0,0953 + 2 . 0,1893 + 4 . 0,2624 + 2 . 0,3365 + 4 . 0,4055 + 0,4700] ≅ 0,1522
O resultado da Integral é de aproximadamente 0,15522.
Exemplo 10: A velocidade de um foguete lançado do chão verticalmente 
para cima foi tabelada da seguinte maneira:
t (segundos) 0 5 10 15 20
v (pés/seg) 0 60,6 180,1 341,6 528,4
0 5
0 60,6
10
60,6 180,1
15
180,1
20
341,6
20
341,6 528,4528,4
TABELA 16. VELOCIDADE COM BASE EM T (SEGUNDOS) E V (PÉS/SEG)
Utilizando a primeira regra de Simpson, calcule a altura do foguete após 
20 segundos.
Resolução
Como os dados já foram tabelados, basta substituí-los na relação propos-
ta pela primeira regra de Simpson. É importante sempre identifi car a ampli-
tude através do espaçamento constante. Nesse caso, este valor equivale a 
cinco, logo:
≅ h3 [y0 + (4y1 + 2y2 + 4y3) +y4]
[0 + (4 . 60,6 + 2 . 180,1 + 4 . 341,6) + 528,4]53≅
≅ 4162,3333 pés
De modo semelhante à primeira regra de Simpson, encontraremos a segun-
da regra de Simpson, que é considerada a metodologia com menos incidência 
de erro, mas que conserva a base das regras aprendidas anteriormente.
Segunda regra de Simpson
A segunda regra de Simpson também é denominada regra dos 3/8 e con-
siste no fato de aproximar os pontos da tabela por equações cubicas, isto é, de 
terceiro grau, desde que o número correspondente a seus subintervalos, ou 
(n - 1), seja divisível por três. Para exemplifi car, conjuntos compostos por 4, 7 e 
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10 pontos podem utilizar desta regra, uma vez que 4 – 1 = 3, 7 – 1 = 6 e 10 – 1 = 
9, ou seja,são múltiplos do algarismo três.
Em Cálculo Numérico, Franco discorre que, para generalizar esta metodo-
logia, é necessário dividir o intervalo [a,b] em um número de subintervalos de 
amplitude b - a3Nh = de maneira que x0 = a, x3N = b. Assim, a fórmula que permite 
utilizar esta regra é indicada por:
∫x0
x1 f(x)dx ≅ 3h3 [y0 + (3y1 + 3y2 + 2y3 + ... + 3yn - 1) +yn]
Não se esqueça que a relação que calcula a amplitude é:
b - a
n - 1h =
A representação gráfica da segunda regra de Simpson pode ser verificada 
pelo Gráfico 3 a seguir:
f(x2)
f(x1)
f(x3)
p(x)
h h h
x1=a x2 x3 x4 = b
f(x4)
y
y = f(x)
x
GRÁFICO 3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
Fonte: GILAT; SUBRAMANIAM, 2008, p. 299.
Agora que fomos apresentados à toda a teoria que fundamenta a segunda 
regra de Simpson, vamos praticá-la.
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Exemplo 11: Calcule a integral a seguir, utilizando N = 7 e três casas decimais.
∫0
2 et
1 + t2 dt
Resolução
Calculando a amplitude, encontramos: 
b - a
n - 1h = → h =
2 - 0
7 - 1 = 0,333
Neste momento, é possível elaborar uma tabela em que os elementos se-
jam devidamente espaçados conforme a amplitude encontrada:
t e
t
1 + t2f(t) =
0,0 e
0
1 + 02= = 1
0,333 e
0,333
1 + 0,3332= = 1,256
0,666 e
0,666
1 + 0,6662= = 1,754
0,999 e
0,999
1 + 0,9992= = 1,359
1,332 e
1,332
1 + 1,3322= = 1,336
1,665 e
1,665
1 + 1,6652= = 1,401
1,998 e
1,998
1 + 1,9982= = 1,477
f(t) =f(t) = e
t
1 + t
=
1 + t2
e0
1 + 0
=
1 + 02
e0,333
1 + 0,333
= 1
0,333
1 + 0,333
=
1 + 0,3332
e0,666
1 + 0,666
= 1,256
0,666
1 + 0,666
=
= 1,256
1 + 0,6662
e0,999
1 + 0,999
= 1,754
0,999
1 + 0,999
=
= 1,754
1 + 0,999
e1,332
1 + 1,332
= 1,359
1,332
1 + 1,332
=
= 1,359
1 + 1,332
e1,665
1 + 1,665
= 1,336
1,665
1 + 1,665
=
= 1,336
1 + 1,665
e1,998
1 + 1,998
= 1,401
1,998
1 + 1,998
= 1,401
1 + 1,998 = 1,477= 1,477
TABELA 17. ELEMENTOS ESPAÇADOS
Agora basta substituir os valores na segunda regra de Simpson:
 
∫0
2 et
1 + t2 [y0 + (3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5) +y6]dt ≅
3h
3
∫0
2 et
1 + t2 [1 + (3 
. 1,256 + 3 . 1,754 + 2 . 1,359 + 3 . 1,366 + 3 . 1,401) + 1,477] ≅ 8,447≅ 3 
. 0,333
8
Exemplo 12: Os pontos de uma determinada função foram calculados e 
seus dados estão alocados na tabela a seguir. Calcule a integral referente a 
estes pontos utilizando a segunda regra de Simpson e quatro casas decimais.
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TABELA 18. PONTOS DE UMA DETERMINADA FUNÇÃO
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
f(x) 0 0,1622 0,2667 2,0333 0,3219 0,3086 0,2805
0
0
0,2
0,16220,1622
0,40,4
0,26670,26670,2667
0,6
2,03332,0333
0,80,8
0,32190,3219
1,0
0,30860,30860,3086
1,2
0,28050,2805
Resolução
Como os pontos são conhecidos, basta inseri-los na relação associada com 
a segunda regra de Simpson:
≅ 3h8 [y0 + (3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5) + y6]
[0 + (3 . 0,1622 + 3 . 0,2667 + 2 . 2,033 + 3 . 0,3219 + 3 . 0,3086) + 0,2805]3 . 0,58≅
≅ 0,5644
Logo, o resultado da integral representada pelos pontos dispostos na tabela 
apresentada possui como solução aproximada o valor de 0,5644.
CÁLCULO NUMÉRICO 125
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Sintetizando
Esta unidade proporcionou ao aluno a discussão de assuntos muito rele-
vantes para a resolução de exercícios aplicados em nosso dia a dia: a interpola-
ção polinomial, as equações diferenciais e a integração numérica.
As interpolações polinomiais são procedimentos de suma importância para 
realizar estimativas de valores intermediários a partir de dados precisos. Fo-
ram apresentados dois métodos que viabilizam a interpolação: Newton-Gre-
gory e Lagrange. Eles possuem a mesma eficiência, porém, se diferenciam pela 
necessidade ou não do espaçamento ser constante.
As equações diferenciais, temática constante em problemas de engenharia 
no contexto do cálculo numérico, são calculadas de uma forma diferente. A 
resolução pode ser feita utilizando diversos métodos e conhecemos dois deles, 
o método de Euler e o método de Runge-Kutta, que se assemelham no fato 
de serem métodos iterativos, isto é, necessitam do resultado anterior para a 
determinação do posterior.
A integração numérica, assim como as temáticas anteriores, se distingue 
das técnicas utilizadas no cálculo habitual. São utilizadas quando as integrais 
são muito difíceis ou quando se retém apenas seus pontos constituintes. Co-
nhecemos a regra do trapézio e as duas regras de Simpson, que viabilizam cal-
cular estas integrais.
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