Sistemas-Lineares

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Elementos de Álgebra Linear – SISTEMAS LINEARES 
Profa. Emília / Edméa 
 
II) SISTEMAS LINEARES 
 
Equação Linear: Observe: 1) − = ⇔ = −3 4 3x y y x 4
7
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
 
Equação de reta 
 
2) + − = ⇔ = + −3 2 7 3 2x y z z x y
Equação → sentença matemática 
Linear → variáveis com expoente ≤ 1 
Real → coeficientes reais 
3) α α α+ + =1 1 2 2 3 3x x x β 
 
→∈Riα coeficientes reais 
→∈Rβ termo independente 
→ix variáveis ou incógnitas 
 
Definição: Uma equação linear nas incógnitas reais 1 2 3, , ,..., nx x x x
1 2 3, , ,...,
é da seguinte forma 
(n ≥ 1): a x . Nomenclatura: 1 1 2 2 ... n na x a x b+ + + = nx x x x são variáveis (ou 
incógnitas), b é o termo independente e , 1a ii n≤ ≤ , são os coeficientes. 
 
Solução de uma Equação Linear: Uma solução dessa equação é uma seqüência de n 
números reais indicada (n-upla) por ( 1 2, ,..., nα α α ) tal que 1 1 2 2 ... n na a a bα α α+ + + = , 
seja verdadeira. 
 
Definição: Um Sistema de Equações Lineares ou sistema linear pode ser definido como 
um conjunto de m Equações Lineares, cada uma delas com n variáveis e pode ser 
representado por: 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
. . . .
. . . .
. . . .
...
n n
n n
n n
m m m mn n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + =
 + + + + =





 + + + + = m 
 
ou, matricialmente, AX = B, onde A = 
 é denominada matriz dos 
coeficientes, X = 
 é o vetor das variáveis e B = 
 é o vetor de termos independentes. 










mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MLMM
L
L
21
22221
11211










mb
b
b
M
2
1










nx
x
x
M
2
1
 
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 Elementos de Álgebra Linear – SISTEMAS LINEARES 
Profa. Emília / Edméa 
 
Solução de um Sistema Linear: Uma solução do sistema linear é uma seqüência de n 
números reais (n-upla), indicada por ( 1 2, ,..., nα α α ), que é solução das equações 
simultaneamente. 
 
Sistema Linear Homogêneo: Um Sistema de Equação Linear Homogêneo é todo sistema 
linear que tem os termos independentes de suas equações lineares todos nulos, isto é, 
b1=b2=...=bn=0. 
 
Classificação de um Sistema Linear quanto a sua Solução 
 
 Determinado: admite solução única 
Possível: admite solução 
 Indeterminado: admite infinitas soluções 
SL 
Impossível: não admite solução 
Obs: 1) Possível = Compatível = Consistente 
2)Impossível = Incompatível = Inconsistente 
3)Todo Sistema Linear Homogêneo é compatível, possui pelo menos uma solução, 
que é chamada de trivial onde, para qualquer que seja o sistema, = 0, onde 
representa as variáveis e i = 1, 2, 3, ... , n. Ou a solução é a n-upla (0,0,...,0). 
ix ix
 
Sistemas Equivalentes: Seja S um sistema linear de m equações e n incógnitas. Podemos 
aplicar as equações de S as mesmas operações elementares que aplicamos às linhas da 
matriz, sem alterar a solução do sistema, isto é: 
• Permutar duas equações de S, obtendo um sistema S1 (Li ↔ Lj); 
• Multiplicar uma das equações de S por um número real diferente de zero, obtendo um 
novo sistema S1 ( Li ← α Li); 
• Somar a uma equação do sistema uma outra equação, multiplicada ou não por um 
número real diferente de zero, obtendo um novo sistema S1 ( Li ←Li+α Lj ). 
 
Se um sistema S1 é obtido de um sistema S através de um número finito de operações 
elementares, dizemos que S1 é equivalente à S. Notação: S1 ~ S. 
 
Obs: Se S1 ~ S então toda solução de S1 é também solução de S. Se S1 é impossível, então 
S também será impossível. 
 
Sistemas Escalonados: Um sistema está na forma escalonada se a partir da segunda 
equação, o número de coeficientes iniciais nulos é maior do que na equação anterior. 
 
Discussão e Resolução de um Sistema Linear: 
 Seja um sistema linear de m equações e n incógnitas. Ao escalonarmos o sistema, 
podemos ter as situações: 
Situação 1: Em uma certa etapa obtemos o sistema: Si: )0(000 21 ≠





=++ iin bbxxx
LLLLL
L
LLLLL
Então Si é impossível, logo S é impossível 
 
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Profa. Emília / Edméa 
 
Situação 2 : Obtemos um sistema escalonado da seguinte forma: 
S1: ( número de equações igual ao número de incógnitas). 







=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
MMO
L
L
22222
11212111
Portanto S1 é possível determinado, logo, S é possível determinado. 
 
Obs: Equações do tipo 0xn=0 são excluídas. 
 
Situação 3: Obtemos um novo sistema com p equações e n incógnitas sendo p < n ( 
número de equações menor que o número de incógnitas). Neste caso temos (n-p) variáveis 
livres. 
Portanto S1 é possível indeterminado, logo, S é possível indeterminado 
 
Obs: Se o sistema é Homogêneo temos (lembrando que ele é sempre compatível): 
1. Se o número de equações é igual ao número de incógnitas (p=n), então o sistema 
é possível determinado e temos a solução trivial. 
2. Se o número de equações é menor que o número de incógnitas (p<n), então o 
sistema é possível indeterminado. 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
1. Discuta e resolva os sistemas abaixo: 
 a) b) :S  
4
: 2 5 2 3
3 6
x y z
S x y z
x y z
+ + =
 + − =
 + − = 7
0
0
5
=
b
2 3
2 5 6
x y z
x y z
− + =
+ + =
 c) S x 
1
: 2 3 4
4 3
x y
y
x y
+ =
 − =
− + = −
 
2. Determine valores para , tal que o sistema seja : m∈R
2
: 2 3
3 (1 )
x y
S x my
x m
+ =
 −
 + − =
 a) Compatível determinado 
 b) Incompatível 
 c) Compatível Indeterminado 
3. Considere o Sistema Linear 1 1 1 2 1 2
2 2
: , , , ,
x m y b
S m m b
x m y b
− =
∈ − =
R 
 a) Mostre que o sistema tem uma única solução se 1 2m m≠ . 
 b) Se , mostre que o sistema só será compatível, se 1m m= 2 1 2b b= . 
 
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4. Resolva os seguintes sistemas, usando operações elementares das linhas: a) 
 







=+++
=−−+
=−+−
=+++
12234
42323
12
722
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
b) c) 





=−
=−
=+
3410
425
1642
21
21
21
xx
xx
xx







−=+
=+
=−
=+
754
93
425
1642
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
 d) e) 



=++−
=++−
1904252144
84182482
4321
4321
xxxx
xxxx





−=++
−=−−
−=++
332
38423
6642
zyx
zyx
zyx
 
5. Mostre que o sistema é incompatível (ou impossível) se, e somente se, c 3b-2d: ≠
 







=++
=++
=++
=++
dzyx
czyx
bzyx
azyx
33
63
43
32
 
 
6. Discutir o sistema abaixo em função do parâmetro k: 
 
a) b) 





=+++
=+++
=+++
10863
93442
332
wkzyx
wzyx
wkzyx





=++
=++
=++
1
1
1
kzyx
zkyx
zykx
 
c)  d) 



−=−+
−=−+
=−+
kzkyx
kzykx
kzyx
2
0





=+
=++
=+−
02
0
0252
kzx
zyx
zyx
 
7. Dadas as matrizes reais 1x3 A = ( 1 0 0), B = ( 0 1 0) e C = ( 0 0 1), determinar as 
matrizes X, Y e Z ∈ tais que:  1 3( )xM R



=−+
=+−
=+−
CZYX
BZYX
AZYX
3
2
2
 
 10