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APÊNDICE 
UNIDADE 4
Cálculo diferencial 
e integral II
 Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
U4
1
Apêndice
Gabaritos comentados com respostas-padrão
 Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas: Unidade 4
Gabarito 1 – Faça Valer a Pena – Seção 4.1 
1. Alternativa Correta: A.
Resposta comentada: Iniciaremos calculando as derivadas parciais da função
f
x
 (x,y) = 6xy2
f
y
 (x,y) = 6x2y
Agora, podemos utilizar a definição de vetor gradiente
∇ ( ) = ( ) + ( )f x y f x y i f x y jx y, , � , �� ,
obtendo:
∇ ( ) = +f x y xy i x y j, �6 62 2 .
2. Alternativa Correta: A.
Resposta comentada: Iniciaremos calculando as derivadas parciais de primeira 
ordem da função
f
x
 (x,y) = 6xy2
f
y
 (x,y) = 6x2y
Permitindo assim o cálculo das derivadas parciais de segunda ordem
f
xx
 (x,y) = 6y2
f
yy
 (x,y) = 6x2
f
xy
 (x,y) = 12xy
Depois, podemos utilizar a definição da Hessiana:
( ) a b( )( )( )( )( )H a b
f a b f a b
f a b f a b
f a b f axx xy
yx yy
xx yy,
, ,
, ,
=
( )
( ) = ( ) ,, ,b fxy−
2 ,
 Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
U4
2
Gabarito 2 – Faça Valer a Pena – Seção 4.2
1. Alternativa Correta: Letra E.
Resposta comentada: Para calcular a integral dupla, precisamos calcular 
primeiro a integral na variável, cuja integral está mais no interior da expressão, 
tratando a outra variável como constante. Depois, calculamos a segunda 
integral com a variável restante nos limites indicados. 
−
∫ ∫ =
2
2
0
3
9 432x y dydx² ² .
2. Alternativa Correta: E. 
Resposta comentada: Para calcular a integral dupla, precisamos calcular 
primeiro a integral na variável que está mais no interior da expressão, tratando 
a outra variável como constante. Depois, calculamos a segunda integral.
 
V y dydx= −( ) =∫∫
0
2
0
4
4 16
3. Alternativa Correta: C.
Resposta comentada: Para calcular a integral dupla, precisamos calcular 
primeiro a integral na variável que está mais no interior da expressão, tratando 
a outra variável como constante. Depois, calculamos a segunda integral.
V x y dydx= − − =
− −
∫ ∫ ² .
2
2
2
2
29 304
3
obtendo, assim:
H (x,y) = 36x2y2 − 144x2y2.
3. Alternativa Correta: B.
Resposta comentada: Iniciaremos calculando as derivadas parciais da função
f
x
 (x,y) = 4x − 3 + y = 0
f
y
 (x,y) = −4y + 2 + x = 0
Assim, 
x y= =2
3
1
3
.
 Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
U4
3
Gabarito 3 – Faça Valer a Pena – Seção 4.3
1. Alternativa Correta: A.
Resposta comentada: Para calcular integrais duplas em coordenadas polares, 
utilizamos o mesmo procedimento empregado em coordenadas cartesianas. 
O único cuidado é utilizar o elemento de área correto dA = rdrdθ.
4 2
4
15
8
2
0
1
0
2
4
0
−( ) = −




 =∫∫ ∫r r dr d r
r d u v
π π
θ θ
π . .
2. Alternativa Correta: D.
Resposta comentada: Para calcular integrais duplas em coordenadas polares, 
utilizamos o mesmo procedimento empregado em coordenadas cartesianas. 
O único cuidado é utilizar o elemento de área correto dA = rdrdθ.
r dr d4
0
2
0
2 32
5∫∫ ( ) =
π
θ θcos
 
3. Alternativa Correta: B
Resposta comentada: Para calcular integrais duplas em coordenadas polares, 
utilizamos o mesmo procedimento empregado em coordenadas cartesianas. 
O único cuidado é utilizar o elemento de área correto dA = rdrdθ.
θ θ θ
π
π
+ ( ) =∫∫ r dr d2
0
1
0
2 2
2
4
cos
 
Gabarito 4 – Faça Valer a Pena – Seção 4.4
1. Alternativa Correta: C.
Resposta comentada: Para obter sua massa total, basta realizar a seguinte integral:
M x y dydx= + + =∫∫ .
0
4
0
4
1 80
2. Alternativa Correta: A.
Resposta comentada: Para obter sua massa total, basta realizar a seguinte integral:
M dydx
x
= =∫ ∫
cos
0
2
0
1 1
π
Precisamos também calcular as seguintes integrais para determinar as 
coordenadas x e y do centro de massa:
U4
4 Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
∫ ∫
cos
0
2
0 2
1
π
π
= −
x
xdydx
∫ ∫
cos
0
2
0 8
π
π
=
x
ydydx
Por fim:
x
x x y dA
x y dA
R
R
=
∫∫
∫∫
δ
δ
( , )
( , ) 
y
y x y dA
x y dA
R
R
=
∫∫
∫∫
δ
δ
( , )
( , )
O centro de massa estará localizado no ponto π π
2
1
8
−




, .
3. Alternativa Correta: C.
Resposta comentada: Para obter sua massa total, basta realizar a seguinte 
integral:
M xy dydx
x
= + =∫∫
0
4 4
1 40