Vamos analisar cada função para determinar seu domínio, lembrando que para logaritmos: 1. A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. 2. O argumento do logaritmo deve ser positivo. 3. Para raízes quadradas, o radicando deve ser maior ou igual a zero. --- a) \( g(x) = \log_{x-1}(5x - 12) \) - Base: \( x - 1 > 0 \) e \( x - 1 \neq 1 \) → \( x > 1 \) e \( x \neq 2 \) - Argumento: \( 5x - 12 > 0 \) → \( x > \frac{12}{5} = 2,4 \) Juntando: \( x > 2,4 \) (pois \( x > 1 \) e \( x \neq 2 \) já está incluso em \( x > 2,4 \)) Domínio a): \( (2,4, +\infty) \) --- b) \( f(x) = \log_{x-3}(x^2 - x - 2) \) - Base: \( x - 3 > 0 \) e \( x - 3 \neq 1 \) → \( x > 3 \) e \( x \neq 4 \) - Argumento: \( x^2 - x - 2 > 0 \) Fatorando: \( (x - 2)(x + 1) > 0 \) → \( x < -1 \) ou \( x > 2 \) Juntando: Base: \( x > 3 \) e \( x \neq 4 \) Argumento: \( x > 2 \) ou \( x < -1 \) Interseção: \( x > 3 \) e \( x \neq 4 \) Domínio b): \( (3,4) \cup (4, +\infty) \) --- c) \( g(x) = \log_{x^2 - 1} x \) - Base: \( x^2 - 1 > 0 \) e \( x^2 - 1 \neq 1 \) → \( x^2 > 1 \) e \( x^2 \neq 2 \) → \( x < -1 \) ou \( x > 1 \), e \( x \neq \pm \sqrt{2} \) - Argumento: \( x > 0 \) Juntando: Argumento: \( x > 0 \) Base: \( x > 1 \) (pois \( x > 1 \) ou \( x < -1 \), mas \( x > 0 \) elimina \( x < -1 \)) e \( x \neq \sqrt{2} \) Domínio c): \( (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \) --- d) \( f(x) = \sqrt{\log_2(x + 1) - \log_2(6)} \) - Dentro da raiz: \( \log_2(x + 1) - \log_2(6) \geq 0 \) → \( \log_2 \left( \frac{x + 1}{6} \right) \geq 0 \) → \( \frac{x + 1}{6} \geq 1 \) → \( x + 1 \geq 6 \) → \( x \geq 5 \) - Argumento do logaritmo: \( x + 1 > 0 \) → \( x > -1 \) (já satisfeito por \( x \geq 5 \)) Domínio d): \( [5, +\infty) \) --- Resumo dos domínios: a) \( (2,4, +\infty) \) b) \( (3,4) \cup (4, +\infty) \) c) \( (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \) d) \( [5, +\infty) \)