Resolva as seguintes inequações em x. a) ex > 0 c) 2 < ln(x + 1) < 9 b) ln(x) > −1 d) e2−3x > 4

Vamos resolver cada inequação passo a passo: a) \( e^x > 0 \) - A função \( e^x \) é sempre positiva para todo \( x \in \mathbb{R} \). - Portanto, a solução é: \( x \in \mathbb{R} \). --- b) \( \ln(x) > -1 \) - Lembre que \( \ln(x) \) está definido para \( x > 0 \). - \( \ln(x) > -1 \) equivale a \( x > e^{-1} = \frac{1}{e} \). - Portanto, a solução é: \( x > \frac{1}{e} \). --- c) \( 2 < \ln(x + 1) < 9 \) - A função \( \ln(x+1) \) está definida para \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \). - Vamos resolver as duas desigualdades separadamente: 1) \( \ln(x + 1) > 2 \Rightarrow x + 1 > e^2 \Rightarrow x > e^2 - 1 \). 2) \( \ln(x + 1) < 9 \Rightarrow x + 1 < e^9 \Rightarrow x < e^9 - 1 \). - Considerando o domínio \( x > -1 \), a solução é: \( e^2 - 1 < x < e^9 - 1 \). --- d) \( e^{2 - 3x} > 4 \) - Como \( e^{2 - 3x} > 4 \), podemos escrever: \( 2 - 3x > \ln(4) \). - Isolando \( x \): \( -3x > \ln(4) - 2 \) \( x < \frac{2 - \ln(4)}{3} \) (lembre que ao dividir por número negativo, inverte o sinal da desigualdade). --- Respostas finais: a) \( x \in \mathbb{R} \) b) \( x > \frac{1}{e} \) c) \( e^2 - 1 < x < e^9 - 1 \) d) \( x < \frac{2 - \ln(4)}{3} \)