Para calcular a quinta aproximação da raiz positiva de uma função usando o método de Newton, você precisa seguir alguns passos. Vou te guiar pelo processo: 1. Identifique a função: Vamos supor que a função seja \( f(x) = x^2 - 10 \). Queremos encontrar a raiz onde \( f(x) = 0 \). 2. Derivada da função: Calcule a derivada da função, que é \( f'(x) = 2x \). 3. Escolha um ponto inicial: Como você mencionou que a raiz está em um intervalo de comprimento 1, podemos escolher \( x_0 = 3 \) (já que a raiz quadrada de 10 está entre 3 e 4). 4. Aplique a fórmula do método de Newton: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 5. Iterações: - 1ª iteração: \[ x_1 = 3 - \frac{3^2 - 10}{2 \cdot 3} = 3 - \frac{9 - 10}{6} = 3 + \frac{1}{6} \approx 3.1667 \] - 2ª iteração: \[ x_2 = 3.1667 - \frac{(3.1667)^2 - 10}{2 \cdot 3.1667} \approx 3.1623 \] - 3ª iteração: \[ x_3 = 3.1623 - \frac{(3.1623)^2 - 10}{2 \cdot 3.1623} \approx 3.1623 \] - 4ª iteração: \[ x_4 = 3.1623 - \frac{(3.1623)^2 - 10}{2 \cdot 3.1623} \approx 3.1623 \] - 5ª iteração: \[ x_5 = 3.1623 - \frac{(3.1623)^2 - 10}{2 \cdot 3.1623} \approx 3.1623 \] Após cinco iterações, você deve ter uma aproximação bastante precisa da raiz positiva da função, que é aproximadamente \( 3.1623 \). Se precisar de mais detalhes ou de um passo específico, é só avisar!