Para determinar quais grandezas são comensuráveis, precisamos verificar se existe um número racional \( q \) tal que a medida de uma grandeza é igual a \( q \) vezes a medida da outra. 1. Comprimento e diâmetro de uma circunferência: Comensuráveis, pois o comprimento \( C \) é igual a \( \pi \) vezes o diâmetro \( d \) (ou seja, \( C = \pi d \)). 2. Área e diâmetro de um círculo: Não são comensuráveis, pois a área \( A \) é igual a \( \pi r^2 \) e o diâmetro \( d \) é \( 2r \). Não existe um número racional \( q \) que satisfaça essa relação. 3. Área e perímetro de um círculo: Não são comensuráveis, pois a área \( A = \pi r^2 \) e o perímetro \( P = 2\pi r \). A relação entre eles não é uma constante racional. 4. Diagonal e lado de um quadrado: Comensuráveis, pois a diagonal \( d \) é igual a \( l\sqrt{2} \), onde \( l \) é o lado do quadrado. Aqui, \( q = \sqrt{2} \), que não é racional, mas a relação é direta. 5. Aresta de um cubo de volume \( V \) e aresta de um cubo de volume \( 2V \): Não são comensuráveis, pois as arestas são \( a = V^{1/3} \) e \( b = (2V)^{1/3} \), e a relação entre elas não é uma constante racional. Portanto, as grandezas comensuráveis são: o comprimento e o diâmetro de uma circunferência e a diagonal e o lado de um quadrado.