Matemática em Contexto Geometria plana e espacial (45)

Prévia do material em texto

Atividades Não escreva no livro.
 15. Quanto mede o comprimento da diagonal de um 
paralelepípedo retângulo no qual as medidas das 
dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm?
 16. O comprimento da aresta de um cubo mede 10 3  cm. 
Calcule a medida de comprimento da diagonal des-
se cubo.
 17. Em um cubo, a soma das medidas de comprimento de 
todas as arestas é 48 cm. Calcule a medida de compri-
mento da diagonal desse cubo.
 18. Um cubo tem o comprimento da aresta medindo 6 cm. 
Qual é a medida de área total desse cubo?
19. Modifique a informação apresentada na atividade an-
terior de modo que a medida de área desse cubo seja 
121,5 cm2.
 20. Quantos centímetros quadrados de papelão são gas-
tos para fazer uma caixa de sapatos com formato de 
bloco retangular e a tampa conforme as medidas de 
comprimento indicadas a seguir? 
 21. Quantos metros quadrados de azulejo são neces-
sários para revestir até o teto as quatro paredes de 
uma cozinha com as medidas de comprimento in-
dicadas na figura abaixo? Sabe-se que cada porta 
tem 1,60 m2 de medida de área e a medida de área 
da janela é de 2 m2.
4 m
3 m
2,70 m
 22. Quantos metros quadrados de madeira são gastos, 
aproximadamente, para fabricar 100 caixas para trans-
portar geladeiras? A forma e as medidas de compri-
mento da caixa estão indicadas na figura abaixo.
1,80 m
90 cm
90 cm
 23. A figura abaixo representa uma peça de enfeite. A 
cavidade, em forma de prisma regular de base trian-
gular, cujo comprimento da aresta mede 5 cm, esten-
de-se da face inferior à face superior da peça. Já o 
restante da peça tem a forma de um cubo cujo com-
primento da aresta mede 20 cm. Determine a medida 
de área total da peça.
 24. Um calendário tem o tipo e o tamanho apresentados 
na figura abaixo. Quantos centímetros quadrados de 
papelão são necessários para fazer esse calendário 
sabendo que a parte triangular tem formato de um 
triângulo equilátero? (Dado: 3 5 1,7.)
10 2 cm
30 cm
4 3 cm
216 cm2
Alterando a medida de comprimento da aresta para 
4,5 cm, obtemos 121,5 cm2 para a medida de área.
2 264 cm2
32,6 m2
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
810 m2
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra




25 400 25 3
2
 cm2
Aproximadamente 
414,4 cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23
29 30
24 25 26 27 28
S
T
Q
Q
Abril
S
S
D
8 cm
15 cm
17 cm 32 cm
10 cm
2 cm
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
87
082a102_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 87082a102_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 87 9/22/20 4:29 PM9/22/20 4:29 PM
Medida de volume de sólidos geométricos
Suponha que queiramos medir o espaço ocupado por um 
sólido S. Para isso, precisamos comparar S com uma unidade de 
medida de volume. O resultado dessa comparação é um núme-
ro que exprime quantas vezes o sólido S contém a unidade de 
medida de volume. Esse número é a medida de volume de S.
Por exemplo, a medida de volume do sólido S ao lado é de 
12 unidades de volume: 12 U.
Cubo unitário
Vamos estabelecer como unidade de medida de volume um cubo cujo comprimento da aresta mede 
uma unidade de comprimento. Ele será chamado cubo unit‡rio.
Cubo unitário.
1
1
1
Qualquer cubo cujo comprimento da aresta meça 1 terá, por definição, medida de volume igual a 1.
Medida de volume de um paralelepípedo retângulo 
(ou bloco retangular)
Como vimos, o paralelepípedo retângulo é um poliedro formado por 
6 faces retangulares. Ele tem 3 dimensões: comprimento (a), largura (b) e 
altura (c). Assim, indicaremos a medida de volume desse paralelepípedo retân-
gulo por V (a, b, c) e a medida de volume do cubo unitário por V (1, 1, 1) 5 1.
A medida de volume do paralelepípedo retângulo é proporcional à medida de cada uma das dimensões, 
ou seja, se mantivermos constante a medida de duas das dimensões e multiplicarmos a medida da terceira 
dimensão por um número natural qualquer não nulo, a medida de volume também será multiplicada pelo 
mesmo número natural. Isso pode ser observado no exemplo abaixo.
V(a, b, 3c) 5 V(a, 3b, c) 5 V(3a, b, c) 5 3V(a, b, c)
a
a
a
b
c
a
b
c
a
b
b
b
c
a
b
c c c
É possível provar que esse fato, constatado com um número natural não nulo, vale para qualquer número 
real positivo. Ou seja, mantida constante a medida de duas das dimensões do paralelepípedo retângulo, a 
medida de volume é proporcional à medida da terceira dimensão. Assim, temos:
V (a, b, c) 5 a ? V (1, b, c) 5 ab ? V (1, 1, c) 5 abc ? V(1, 1, 1) 5 abc ? 1 5 abc 
Logo: V(a, b, c) 5 abc
Observe que a ? c é a medida de área da base (A
b
) do paralelepípedo retângulo e b é a medida de com-
primento da altura (h); assim, podemos escrever:
V 5 A
b
 ? h
Portanto, a medida de volume de um paralelepípedo retângulo é dada pelo produto das medidas das 
três dimensões.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Sólido S. Unidade de medida 
de volume: U.
a
b
c
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 
im
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
88
082a102_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 88082a102_V3_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 88 07/09/2020 12:3707/09/2020 12:37