Para encontrar a derivada da função composta \( f(x) = \ln(\sin(x^2)) \) usando a regra da cadeia, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Derivada da função externa: A função externa é \( \ln(u) \), onde \( u = \sin(x^2) \). A derivada de \( \ln(u) \) em relação a \( u \) é \( \frac{1}{u} \). 2. Derivada da função interna: A função interna é \( \sin(x^2) \). A derivada de \( \sin(v) \) em relação a \( v \) é \( \cos(v) \), e a derivada de \( x^2 \) em relação a \( x \) é \( 2x \). Portanto, a derivada de \( \sin(x^2) \) em relação a \( x \) é \( \cos(x^2) \cdot 2x \). 3. Aplicando a regra da cadeia: Agora, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna: \[ f'(x) = \frac{1}{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = \frac{2x \cos(x^2)}{\sin(x^2)} \] Assim, as lacunas podem ser preenchidas da seguinte forma: A derivada de \( f(x) \) é \( \frac{2x \cos(x^2)}{\sin(x^2)} \) e a função composta resultante é \( \ln(\sin(x^2)) \).