Para calcular a integral dupla \(\iint_R (x - 3y^2) \, dA\) onde \(R = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\}\), vamos seguir os passos: 1. Definir os limites de integração: - Para \(x\), os limites são de 0 a 2. - Para \(y\), os limites são de 1 a 2. 2. Escrever a integral dupla: \[ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2} (x - 3y^2) \, dx \, dy \] 3. Calcular a integral interna (em relação a \(x\)): \[ \int_{0}^{2} (x - 3y^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3y^2x\right]_{0}^{2} = \left[\frac{2^2}{2} - 3y^2(2)\right] - \left[0\right] \] \[ = \left[2 - 6y^2\right] \] 4. Agora, calcular a integral externa (em relação a \(y\)): \[ \int_{1}^{2} (2 - 6y^2) \, dy = \left[2y - 2y^3\right]_{1}^{2} \] \[ = \left[2(2) - 2(2^3)\right] - \left[2(1) - 2(1^3)\right] \] \[ = \left[4 - 16\right] - \left[2 - 2\right] \] \[ = -12 - 0 = -12 \] Portanto, o resultado da integral dupla é \(-12\). A alternativa correta é: C) -12.