Para calcular a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas descrito pela equação \( r = \cos(2\theta) \), utilizamos a fórmula da área em coordenadas polares: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] Neste caso, a função \( r = \cos(2\theta) \) tem quatro pétalas, e cada pétala é formada em um intervalo de \( \theta \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). Portanto, para calcular a área total, precisamos multiplicar a área de uma pétala por 4. 1. Calcular a área de uma pétala: \[ A_{\text{pétala}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos(2\theta))^2 \, d\theta \] 2. Usar a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): \[ A_{\text{pétala}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} \, d\theta \] \[ = \frac{1}{4} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(4\theta) \, d\theta \right) \] 3. Calcular as integrais: - A primeira integral: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \] - A segunda integral: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(4\theta) \, d\theta = \left[ \frac{\sin(4\theta)}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 0 \] 4. Substituir os resultados: \[ A_{\text{pétala}} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi}{8} \] 5. Calcular a área total: \[ A_{\text{total}} = 4 \times A_{\text{pétala}} = 4 \times \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \] Portanto, a área total contida em um laço de rosácea de quatro pétalas é: B) \( \frac{\pi}{2} \).