Para determinar o comprimento do arco da função \( g(x) = \ln(\cos x) \) a partir do ponto \( x = 0 \) até \( x = 4 \), precisamos usar a fórmula do comprimento de arco: \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primeiro, precisamos calcular a derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx} \ln(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x \] Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco: \[ s = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx \] Sabemos que \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \), então: \[ s = \int_{0}^{4} \sec x \, dx \] A integral de \( \sec x \) é \( \ln | \sec x + \tan x | + C \). Portanto, precisamos calcular: \[ s(4) = \left[ \ln | \sec x + \tan x | \right]_{0}^{4} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = 0 \): - \( \sec(0) = 1 \) - \( \tan(0) = 0 \) - Portanto, \( \ln |1 + 0| = \ln(1) = 0 \). 2. Para \( x = 4 \): - \( \sec(4) = \frac{1}{\cos(4)} \) - \( \tan(4) = \frac{\sin(4)}{\cos(4)} \) - Assim, \( \sec(4) + \tan(4) = \frac{1 + \sin(4)}{\cos(4)} \). Portanto, o valor de \( s(4) \) é: \[ s(4) = \ln \left| \frac{1 + \sin(4)}{\cos(4)} \right| - 0 = \ln(1 + \sin(4)) - \ln(\cos(4)) \] Agora, precisamos verificar qual das alternativas se aproxima desse resultado. Analisando as opções: A) \( \ln 2 \) B) \( \ln(v^3 + 1) \) C) \( \ln 5 \) D) \( \ln(2 + 1) \) E) \( \ln 23 \) A opção que mais se aproxima do resultado que obtivemos é a que envolve uma soma que pode ser simplificada. A resposta correta, considerando a forma que temos, é a alternativa B \( \ln(v^3 + 1) \), onde \( v \) pode ser uma representação de \( \sin(4) \) ou similar, dependendo do contexto. Portanto, a resposta correta é B \( \ln(v^3 + 1) \).