Cálculo Integral - Unidade 4

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL
Unidade 4
Cálculo Integral
CEO 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ALESSANDRA FERREIRA
Gerente Editorial 
LAURA KRISTINA FRANCO DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
MARINA VARGAS REIS DE PAULA GONÇALVES
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Marina Vargas Reis de Paula Gonçalves
Olá! Sou formada em Matemática, com especialização 
em Educação Matemática. Meu mestrado e doutorado são 
na área de Métodos Numéricos em Engenharia. A escolha por 
trabalhar com pesquisa nessa área se deu pela minha paixão 
pela Matemática Aplicada. Com esse foco desenvolvi pesquisas 
na área de movimentação pedonal usando inteligência artificial. 
Ao longo desses quase 20 anos de carreira, tive a 
oportunidade de lecionar em cursos presenciais e à distância. 
Trabalhei e trabalho com estudantes do ensino médio, graduação 
e pós-graduação, e tenho verdadeira paixão por lecionar.
Nos últimos anos, tive a oportunidade de trabalhar com 
instituições e empresas que produzem conteúdo para a educação 
à distância e ensino híbrido. Nessa trajetória, experimentei e 
experimento a cada dia uma nova motivação para continuar 
lecionando, pois produzir conteúdo envolve se colocar mais 
e mais no lugar do estudante e se perguntar continuamente 
se o que você está escrevendo ou falando será realmente 
compreendido. Por isso, fui convidada pela Editora Telesapiens a 
integrar seu elenco de autores independentes.
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Primitivas e integral de Riemann ............................................ 9
Um pouco de história ........................................................................................ 9
Primitivas .............................................................................................................12
Partição de um intervalo ..................................................................................15
Soma de Riemann ..............................................................................................16
Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo ..... 24
Teorema fundamental do cálculo ...................................................................25
Propriedades ......................................................................................................35
Integrais Indefinidas e Regras de Integração ...................... 39
Integrais Indefinidas ..........................................................................................40
Regras ou Técnicas de Integração ..................................................................42
Regra da Cadeia ..................................................................................42
Regra da cadeia para integrais definidas ........................................ 47
Integração por Partes .........................................................................49
Integrais de funções trigonométricas ............................................. 53
Integração de funções Racionais (técnica de frações parciais) .. 54
Aplicações do Conceito de Integral ....................................... 58
Área entre Curvas ..............................................................................................59
Volume de Sólidos de Revolução ....................................................................62
Volume por Arruelas .........................................................................................73
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Olá, estudante! Prepare-se para mergulhar na fascinante 
aventura do cálculo, desta vez focando no poderoso mundo 
das integrais. Esses conceitos são fundamentais para a análise 
matemática e nos ajudam a resolver problemas complexos 
relacionados a áreas, volumes e outras propriedades de funções 
contínuas no mundo real.
Você já se perguntou como calcular a área sob uma 
curva ou o volume de um objeto com uma forma irregular? As 
integrais são a resposta! Ao estudar integrais, você desenvolverá 
habilidades valiosas e aprenderá a aplicar a matemática para 
entender e resolver problemas desafiadores em ciência, 
engenharia e além.
Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: 1) 
primitivas e integral de Riemann; 2) integral definida e o teorema 
fundamental do cálculo; 3) integrais indefinidas e regras de 
integração; e 4) aplicações do conceito de integral. Cada aula 
aprofundará sua compreensão das integrais e o preparará para 
enfrentar problemas avançados e situações práticas.
Assim como fizemos ao explorar limites e continuidade, 
também investigaremos a história e o desenvolvimento das 
ideias por trás das integrais. Descobriremos como matemáticos 
como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Bernhard Riemann 
contribuíram para moldar essas teorias e como se tornaram 
essenciais para a matemática moderna.
Então, está pronto para desvendar os segredos e os 
desafios das integrais? Junte-se a nós nesta empolgante viagem 
e explore o mundo das integrais, expandindo seu conhecimento 
e suas habilidades matemáticas. Vamos lá!
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Olá! Seja muito bem-vindo à Unidade 4. Nosso objetivo 
é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências 
profissionais até o término desta etapa de estudos.
1. Definir os conceitos de primitivas e de integral de 
Riemann, aplicando-os em situações práticas do dia a 
dia profissional de quem atua em ciências exatas e suas 
tecnologias.
2. Compreender o conceito de integral definida e o teorema 
fundamental do cálculo, aplicando-os na resolução de 
problemas inerentes às práticas profissionais da área 
de ciências exatas e suas tecnologias.
3. Entender o que são e para que servem as integrais 
indefinidas, bem como as regras de integração.
4. Aplicar o conceito de cálculo integral nos mais variados 
contextos do dia a dia das engenharias, das tecnologias 
e das ciências afins.
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Primitivas e integral de 
Riemann
OBJETIVO
Neste capítulo, você mergulhará no universo das 
primitivas e da integral de Riemann, explorando 
definições, propriedades e a importância desses 
conceitos em aplicações matemáticas e tecnoló-
gicas e nas demais ciências exatas. Ao fim deste 
estudo, você será capaz de compreender o que 
são primitivas e a integral de Riemann, identificar 
suas características e entender sua relação com 
as funções. Dominar esses conhecimentos é fun-
damental para a construção de uma base sólida 
em matemática e na sua preparação para temas 
mais avançados, como integrais definidas e téc-
nicas de integração. Juntos, vamos desenvolver 
essa habilidade e descobrir como as primitivas e 
a integral de Riemann podem ser poderosas fer-
ramentas no seu aprendizado e na aplicação prá-
tica do cálculo integral!
Um pouco de história 
O embrião do cálculo integral pode ser encontrado 
na Antiguidade. Os antigos gregos, como Eudoxo de Cnido e 
Arquimedes, desenvolveram técnicas para calcular áreas e 
volumes usando o método da exaustão. Esse método consistia 
em aproximar o valor da área ou do volume por meio de polígonos 
ou sólidos inscritos e circunscritos, aumentando, gradualmente, 
o número de lados ou divisões. Arquimedes também calculou o 
centro de gravidade de figuras planas e sólidos, uma aplicação 
que, posteriormente, foi facilitada pelo cálculo integral.
A verdadeira revolução no cálculo integral ocorreu 
no século XVII, com os trabalhos de Isaac Newton e Gottfried 
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Wilhelm Leibniz. Ambos desenvolveram a teoria do cálculo de 
forma independente e quase simultaneamente, embora suas 
abordagens fossem ligeiramente diferentes. Newton introduziu 
o conceito de “fluxions”e trabalhou com séries infinitesimais. Isso 
permitiu que explicasse os movimentos dos planetas e a queda 
dos corpos na Terra de maneira precisa e coerente. Já Leibniz 
desenvolveu a notação que usamos hoje para as integrais (∫) e 
desenvolveu a regra geral de integração.
No século XVIII, outros matemáticos expandiram e apri-
moraram a teoria das integrais. Leonhard Euler contribuiu para 
o campo, generalizando o conceito de função e explorando pro-
priedades das integrais. Joseph-Louis Lagrange também desem-
penhou um papel importante, especialmente no desenvolvimen-
to da integração por partes.
Nesse período, o cálculo integral desempenhou um papel 
crucial no desenvolvimento da mecânica dos fluidos e da teoria 
da elasticidade. Euler, Daniel Bernoulli e Claude-Louis Navier 
usaram o cálculo integral para estudar o movimento dos fluidos 
e a deformação dos sólidos elásticos. Isso teve implicações 
importantes para a engenharia e o projeto de estruturas, como 
pontes e edifícios. Modelos matemáticos como os de Navier-Stokes 
são, até hoje, utilizados no contexto da mecânica dos fluidos.
No século XIX, o cálculo integral continuou a evoluir. 
Augustin-Louis Cauchy formalizou o conceito de limite e 
estabeleceu uma base rigorosa para o cálculo, enquanto Bernhard 
Riemann desenvolveu a integral de Riemann, uma abordagem 
mais geral para calcular integrais que permitiu o cálculo de áreas 
sob curvas não diferenciáveis.
Também no século XIX, o cálculo integral foi aplicado 
no estudo da termodinâmica e do eletromagnetismo. Lord 
Kelvin e James Clerk Maxwell usaram o cálculo integral em seus 
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trabalhos sobre a teoria do calor e a teoria eletromagnética, 
respectivamente. Essas aplicações tiveram um impacto 
duradouro na física, na engenharia e na tecnologia.
No século XX e no início do século XXI, o cálculo integral 
foi expandido e aprimorado ainda mais, com novas abordagens 
e técnicas sendo desenvolvidas. Os matemáticos exploraram 
integrais em espaços mais gerais, como as integrais de Lebesgue 
e as integrais estocásticas. Além disso, com o advento dos 
computadores, o cálculo integral passou a ser aplicado em muitos 
problemas da engenharia e das ciências, e foram desenvolvidos 
métodos numéricos para calcular integrais em casos complexos.
Juntos, esses matemáticos estabeleceram a base para 
a análise matemática moderna e a teoria das integrais e suas 
aplicações. Suas ideias e seus tratamentos rigorosos permitiram 
que a matemática evoluísse e abordasse problemas cada vez 
mais complexos e abstratos em diversas áreas das ciências 
e engenharias. Ao aprender integrais e suas propriedades, 
você se aprofundará no legado desses grandes pensadores e 
desenvolverá uma compreensão mais profunda do cálculo e de 
seu impacto no avanço da ciência e na vida cotidiana.
Por meio do estudo das integrais, você explorará 
como esses conceitos foram fundamentais para moldar nosso 
entendimento atual de áreas como mecânica dos fluidos, teoria 
da elasticidade e otimização de processos. Ao dominar técnicas 
e aplicações das integrais, você estará apto a enfrentar desafios 
reais e a contribuir para o progresso científico e tecnológico, 
seguindo os passos desses grandes matemáticos e inovadores.
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Primitivas
O conceito de primitiva de uma função parte da ideia 
de existir uma “operação” que possa ser tratada como o 
procedimento inverso ao da derivada. Procurar uma primitiva 
é procurar uma família de funções que, ao serem derivadas, 
recaem sobre a mesma função (um mesmo resultado). Vamos 
entender esse conceito.
 “Uma função F em um intervalo é denominada de 
primitiva (ou antiderivada) de uma função nesse mesmo 
intervalo se para todo em (Guidorizzi, 2018, p. 290). 
EXEMPLO 1
Se for definida por , em que C é uma 
constante, então . 
Imagem 4.1 - Gráficos da primitiva e da derivada, respectivamente, das funções e 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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Portanto, se for a função definida por 
, podemos afirmar que é a derivada de e que é uma 
primitiva de .
Note que, se for qualquer primitiva particular de em 
um intervalo , então toda primitiva de em será dada por 
, sendo uma constante arbitrária.
Se for definida por , então . 
Se for definida por , então .
Portanto, dizemos que F forma uma família de funções 
em que 
TEOREMA 1 
Se e forem duas funções, tais que para 
todo no intervalo , então haverá um constante, tal que
 para todo em .
DEMONSTRAÇÃO
Vamos considerar uma função h em tal que 
(1)
Portanto, a derivada de h será
(2)
Mas, se, por hipótese, para todo em , existe 
uma constante tal que para todo .
Assim, de maneira ampla, podemos usar o como balizador 
para o entendimento da primitiva de uma função.
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TEOREMA 2 
Balizador para o entendimento da primitiva de uma 
função
TEOREMA 2
Se for primitiva particular de em um intervalo , então 
toda antiderivada de em será dada por
(3)
 é uma constante arbitrária, e todas as primitivas de 
 em poderão ser obtidas da equação (3) atribuindo certos 
valores a .
Existem vários processos (regras, propriedades etc.) que 
podem ser usados para encontrar as primitivas de uma função 
de uma variável. Mas, antes de entrar nesse assunto, vamos 
relacionar o que estamos chamando de primitiva com o que 
chamaremos, daqui para frente, de integrais. 
Para isso, vamos enunciar uma importante definição para 
este capítulo.
Integral indefinida
Se é uma primitiva de , a expressão é 
chamada de integral indefinida da função e é denotada por
Com esses conhecimentos iniciais, já podemos dizer que 
estamos trabalhando com o que é chamado de cálculo integral. 
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Pela notação de Leibniz, escrevemos a integral definida 
na forma .
Denotar dessa forma pode ser bastante útil para 
entender os processos de derivação e integração utilizados. 
Também auxilia na compreensão de muitas propriedades que 
ainda vamos enunciar neste capítulo.
Na sequência, vamos entender como representar o 
conceito de integral geometricamente. Para isso, precisaremos 
do que é conhecido como Soma de Riemann, mas vamos iniciar 
com o particionamento de um intervalo (ou partição do intervalo).
Partição de um intervalo
De acordo com Guidorizzi (2018), “Uma partição 
de um intervalo é um conjunto finito onde 
 (Guidorizzi, 2018, p. 299)”.
Fazer uma partição P em um intervalo de é dividir 
esse intervalo fechado em subintervalos , com .
Imagem 4.2 - Partição do intervalo fechado 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Chamamos de amplitude ou tamanho do intervalo 
a distância entre e . A amplitude de é denotada por 
. 
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Dessa forma, podemos calcular a amplitude de cada 
subintervalo de P da forma
IMPORTANTE
Os valores para não são 
iguais, necessariamente. O maior é chamado de 
“amplitude de P” e denotado por .
Portanto, denotaremos uma partição de por
.
Usaremos o conceito de partição para entender 
o processo para o cálculo da área sob uma curva 
ou função.
Soma de Riemann
Definimos partição baseados no conceito de Guidorizzi 
e seguiremos com a ideia proposta nessa obra. “Sejam uma 
função definida em e uma partição 
de . Para cada índice seja um número em 
 escolhido arbitrariamente” (Guidorizzi, 2018, p. 299).
Adotaremos como o ponto médio entre , e, 
dessa forma, a partição fica representada pela Imagem 1.3.
Imagem 4.3 - Visualização dos s em uma partição do intervalo fechado 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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Chamamos de soma de Riemann de o número 
, relativamente à partição
 e aos números .
Observe, geometricamente, essa representação.
Imagem 4.4 - Soma de Riemann para a função com sendo o ponto 
médio entre os subintervalosde P
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
 • Se , será a área do retângulo 
determinado pelas retas ; ; e . 
 • Se , a área do retângulo será .
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Imagem 4.5 - Visualização dos s em uma partição do intervalo fechado 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Geometricamente, podemos interpretar a soma de 
Riemann como a área da base vezes a altura :
ou seja, a diferença entre a soma das áreas dos retângulos 
 que estão acima do eixo e a soma das áreas dos retângulos 
 que estão abaixo do eixo .
Imagem 4.6 - Discretização da área da função em relação ao eixo das abscissas
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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ACESSE
O vídeo intitulado “Somas de Riemann em nota-
ção de somatório”, da plataforma Khan Academy, 
é uma ferramenta de complementação para essa 
teoria que acabamos de definir. Por meio da mes-
ma linguagem utilizada, é possível acompanhar o 
desenvolvimento de cada etapa da montagem do 
somatório para uma função qualquer 
Vamos trazer mais exemplos.
EXEMPLO 3
 soma das áreas dos retângulos acima do 
eixo menos a soma das áreas dos retângulos abaixo 
do eixo 
Seja uma função definida em e seja 
 uma partição de . Assim,
ou seja,
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-3/v/generalizing-a-left-riemann-sum-with-equally-spaced-rectangles
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Generalizando
Observa-se que a aproximação será melhor quanto 
menor for o intervalo para cada . Assim, se for contínua em 
 podemos escrever
.
 é o maior intervalo existente entre as partições 
para .
Integral de Riemann
Chamamos a integral de Riemann de integral definida de 
 em tal que , 
desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas 
as escolhas de .
A escolha de no intervalo não necessariamente 
será o ponto médio. 
EXEMPLO 4
Seja a função f(x)=x2 integrada no intervalo [-2,2]. Assim, 
escrevemos . Ainda não vamos nos preocupar 
com técnicas de resolução, mas observe como ficaria a área 
abaixo da curva dessa integral fazendo aproximações por Soma 
de Riemann.
Imagem 4.7 - Integração com n=6 intervalos
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 4Fonte: Elaborada pela autoria (2023). 
A área abaixo da curva tem valor exato de 
. 
Observe que, para n=6, a área aproximada será 5,19. Se 
aumentarmos o número de intervalos, teremos o seguinte.
Imagem 4.8 - Integração com n=25 intervalos
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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Observe que, nessa segunda integração, com mais 
intervalo (n=25), a área se aproximou mais do valor exato. Quanto 
mais intervalos for possível colocar, ou seja, quando fazemos a 
base de cada um desses retângulos tender a zero, chegaremos 
mais próximos do valor exato para a área abaixo da função.
ACESSE
O vídeo “Integral definida como o limite de uma 
soma de Riemann”, da plataforma Khan Academy, 
complementa a ideia desenvolvida nesta seção. 
RESUMINDO
Neste capítulo, nosso objetivo foi apresentar 
os conceitos fundamentais relacionados às 
primitivas e à integral de Riemann, com foco 
na compreensão das ideias e das técnicas 
envolvidas. Iniciamos com um breve panorama 
histórico, destacando as contribuições de 
grandes matemáticos que moldaram o campo da 
integração.
Exploramos o conceito de primitivas, que são 
funções derivadas inversas e desempenham um 
papel crucial no cálculo integral. Compreender 
as primitivas é fundamental para abordar 
problemas de integração de maneira eficiente e 
eficaz. Em seguida, discutimos a partição de um 
intervalo, que nos permite dividir o intervalo de 
integração em subintervalos menores. A partição 
é essencial para o processo de integração de 
Riemann, pois permite aproximar a área sob uma 
curva por meio da soma das áreas de retângulos 
ou trapézios.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-3/v/riemann-sums-and-integrals
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Por fim, abordamos a soma de Riemann, que é 
uma técnica para calcular a integral de Riemann 
ao somar as áreas dos retângulos ou trapézios 
formados a partir da partição do intervalo. A 
soma de Riemann nos ajuda a entender como a 
integral de Riemann aproxima a área sob uma 
curva e a importância de escolher uma partição 
adequada.
Para consolidar esses conceitos, você pode criar 
um mapa conceitual que inclua os seguintes 
elementos e suas relações.
• Primitivas e integral de Riemann
• Um pouco de história
• Primitivas
• Partição de um intervalo
• Soma de Riemann
No mapa conceitual, conecte “Um pouco de 
história”, “Primitivas”, “Partição de um intervalo” 
e “Soma de Riemann” sob o tema geral “Primitivas 
e integral de Riemann”. Isso ajudará a visualizar 
a estrutura do capítulo e a relação entre os 
conceitos apresentados.
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Integral Definida e o Teorema 
Fundamental do Cálculo
OBJETIVO
Neste capítulo, você aprofundará seu 
conhecimento do campo do cálculo integral, 
explorando o conceito de integral definida e o 
teorema fundamental do cálculo, que estabelece a 
conexão crucial entre derivadas e integrais. Esses 
conceitos são fundamentais para a compreensão 
das aplicações matemáticas e tecnológicas e das 
demais ciências exatas relacionadas à análise de 
áreas, volumes e problemas dinâmicos. 
Ao fim deste estudo, você será capaz de 
compreender a integral definida e o teorema 
fundamental do cálculo, identificar suas 
características e suas aplicações teóricas, bem 
como entender sua importância no contexto das 
práticas profissionais da área de ciências exatas 
e suas tecnologias. Dominar esses conceitos é 
crucial para a construção de uma base sólida 
em matemática e na sua preparação para 
abordar temas mais complexos, como integrais 
indefinidas e técnicas avançadas de integração.
Vamos, juntos, aprimorar suas habilidades e 
descobrir como a integral definida e o teorema 
fundamental do cálculo podem ser ferramentas 
poderosas no seu aprendizado e na compreensão 
teórica do cálculo integral, criando, assim, uma 
base sólida para futuras aplicações práticas em 
suas atividades acadêmicas e profissionais!
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Teorema fundamental do cálculo
Assumindo a integração por Riemann, enunciaremos um 
dos teoremas mais importantes do cálculo.
TEOREMA 3
Seja uma função contínua no intervalo . A função 
, dada por , é derivável em todos os pontos 
interiores ao intervalo , e sua derivada é dada por 
.
Como consequência, se é uma função contínua no 
intervalo , então 
 é uma primitiva qualquer de , ou seja, .
A diferença será indicada por . Dessa 
forma,
.
Note que podemos dizer que o Teorema fundamental do 
Cálculo (TFC) é dividido em duas partes.
Parte 1: Teorema Fundamental do Cálculo - parte da 
integração
É representada por .
Parte 2: Teorema Fundamental do Cálculo - parte da 
diferenciação
Essa parte fica representada por .
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Algumas obras trazem a demonstração de vários dos 
teoremas que trazemos para este capítulo. Caso tenha interesse 
de analisá-los, sugirmos as obras de Guidorizzi (2018), Stewart 
(2014) e Flemming e Gonçalves (2006).
ACESSE
A demonstração do Teorema Fundamental 
do Cálculo também pode ser encontrada na 
plataforma Khan Academy. 
Além disso, a plataforma é cheia de exercícios 
para fixar o conteúdo. Sugerimos, fortemente, 
que acessem, assistam e resolvam os exercícios.
EXEMPLO 
Calcule .
Solução
,
ou seja,
.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/a/proof-of-fundamental-theorem-of-calculus
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Imagem 4.9 - Gráfico de 
Fonte: Elaborada pela autora.
Esse gráfico ilustra a relação entre a integral de no 
intervalo e a diferença entre os valores da antiderivada 
nesse intervalo, mostrando, visualmente,a equação do Teorema 
Fundamental do Cálculo: .
Vamos a mais dois exemplos.
EXEMPLO
Calcule .
Solução
,
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ou seja,
.
Imagem 4.10 - Gráfico de 
Fonte: Elaborada pela autora.
Calcule .
Solução
,
ou seja,
.
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Imagem 4.11 - Visualização geométrica da área calculada por meio da equação 
 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Se , então , se 
existir.
EXEMPLO 
Calcule .
Solução
Se , então .
Se existe, então .
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EXEMPLO 
Calcule .
TEOREMA 4
Vamos supor que a função seja contínua no intervalo 
fechado . Se e forem, respectivamente, os valores 
mínimo e máximo de em , ou seja,
,
então
(4)
Demonstração:
Como é contínua em , o teorema do valor extremo 
garante a existência de e de .
Vimos que
(5)
(6)
Como para todo , temos
.
De (5), segue-se que
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(7)
Da mesma forma, como para todo , 
segue-se que .
De (6), temos que
(8)
Combinando (7) e (8), tem-se que
(9)
Vamos usar a função no intervalo como 
exemplo e calcular e .
Para ilustrar a desigualdade 
graficamente, podemos criar um gráfico que mostre a função 
contínua f(x) no intervalo fechado [a, b], as linhas horizontais m 
e M e a área sob a curva f(x) no intervalo [a, b]. Dessa forma, 
podemos ver que a área sob a curva está contida entre as áreas 
dos retângulos formados pelos valores mínimo (m) e máximo (M) 
da função no intervalo.
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Imagem 4.12 - no intervalo [0,2] 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023). 
Os retângulos formados pelos valores mínimo (m) e 
máximo (M) da função no intervalo são mostrados em verde 
e vermelho, respectivamente. A área sob a curva está contida 
entre as áreas dos retângulos, ilustrando a desigualdade 
.
Por fim, nesta seção, não poderia faltar o teorema do 
valor médio para integrais.
Teorema 5
Teorema do Valor Médio
Se a função for contínua no intervalo fechado , 
existe um número em , tal que .
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Demonstração
Como é contínua em do teorema do valor extremo, 
 apresenta valores de máximo e mínimo em .
Seja o mínimo que ocorre em . Assim,
 tal que (10)
Seja o valor máximo ocorrendo em . Portanto,
tal que (11)
Temos, então,
(12)
Do (Teorema 4), segue-se que
(13)
Dividindo por , com 
(14)
Mas, de (10) e (11), tem-se e . Logo,
.
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Assim, podemos concluir que existe algum em um 
intervalo fechado contendo e , tal que
.
Logo,
(15)
Suponha que a função contínua f(x) seja . 
Graficamente, teremos o seguinte.
Imagem 4.13 - TVM por no intervalo [0,2]
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Vamos avaliar um exemplo.
EXEMPLO: 
Ache o valor tal que se 
.
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Solução
 
Logo, , ou seja .
Como então . Com isso, concluímos que 
.
Logo, .
Imagem 4.14 - Aplicação do Teorema fundamental do cálculo
Fonte: Elaborada pela autoria (2023). 
Propriedades
Acabamos de explorar o conceito de integral definida, que 
nos permite calcular a integral em um intervalo pré-estabelecido. 
A seguir, vamos nos aprofundar em algumas propriedades 
importantes que nos ajudarão a resolver problemas nesse 
contexto.
36 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Conhecer as propriedades associadas às integrais é 
fundamental para selecionar a abordagem adequada ao resolver 
problemas de integração. Portanto, apresentaremos algumas 
propriedades aplicáveis às integrais definidas que também 
serão úteis para trabalhar com integrais indefinidas. Essas 
propriedades facilitarão sua compreensão e sua habilidade na 
resolução de problemas envolvendo integrais e aprimorarão sua 
eficiência ao abordar diferentes situações de integração.
•	
 é integrável em e 
.
EXEMPLO 
•	
 é integrável em , e .
•	 Se em então . Como 
 então .
•	 Se e é integrável em e , então
.
37CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Ao dominar essas propriedades, você não apenas 
aumentará sua eficiência e sua compreensão na abordagem dos 
problemas de integração, mas também desenvolverá habilidades 
fundamentais para aplicar esses conceitos em diversas áreas das 
ciências exatas.
RESUMINDO
Neste capítulo, nosso objetivo foi apresentar 
os conceitos-chave relacionados à integral 
definida e ao teorema fundamental do cálculo, 
focando a compreensão das ideias e das técnicas 
subjacentes. Esses tópicos desempenham um 
papel crucial no estudo do cálculo integral e de 
suas aplicações.
Iniciamos com o teorema fundamental do 
cálculo, que estabelece a conexão entre a 
derivada e a integral, permitindo-nos calcular 
integrais definidas de maneira eficiente. Esse 
teorema é a base do cálculo integral e é vital para 
entender como a integração e a diferenciação 
estão relacionadas.
Em seguida, exploramos as propriedades das 
integrais definidas, que nos ajudam a simplificar 
e a resolver problemas de integração de maneira 
mais eficaz. Compreender e aplicar essas 
propriedades são passos essenciais para lidar com 
uma ampla gama de problemas de integração, 
bem como para desenvolver habilidades 
analíticas e de resolução de problemas.
38 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Para consolidar esses conceitos, você pode criar 
um mapa conceitual que inclua os seguintes 
elementos e suas relações.
• Integral definida e o teorema fundamental 
do cálculo
• Teorema fundamental do cálculo
• Propriedades
No mapa conceitual, conecte “Teorema funda-
mental do cálculo” e “Propriedades” sob o tema 
geral “Integral definida e o teorema fundamental 
do cálculo”. Isso ajudará a visualizar a estrutura 
do capítulo e a relação entre os conceitos apre-
sentados. Com esse entendimento, você estará 
mais preparado para lidar com problemas avan-
çados e aplicações práticas envolvendo integrais 
definidas e o teorema fundamental do cálculo.
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Integrais Indefinidas e Regras 
de Integração 
OBJETIVO
Neste capítulo, você explorará o fascinante 
mundo das integrais indefinidas e as regras de 
integração, aprofundando sua compreensão das 
técnicas e dos conceitos fundamentais do cálculo 
integral. As integrais indefinidas e as regras de 
integração são cruciais para resolver uma ampla 
variedade de problemas matemáticos e aplicar 
o cálculo integral em contextos práticos. Na 
verdade, sem essas técnicas, quase ficamos de 
braços cruzados. Sendo assim, vamos não só as 
apresentar, mas também treiná-las. 
Ao fim deste estudo, você será capaz de entender 
o que são integrais indefinidas e para que servem, 
assim como de conhecer e aplicar as principais 
regras de integração, como a integração por 
substituição e a integração por partes. Dominar 
esses conceitos e técnicas é essencial para a 
construção de uma base sólida em matemática 
e sua preparação para abordar problemas mais 
complexos e desafiadores.
Vamos, juntos, desenvolver suas habilidades 
e descobrir como as integrais indefinidas e as 
regras de integração podem ser poderosas 
ferramentas no seu aprendizado e na aplicação 
prática do cálculo integral em suas atividades 
acadêmicas e profissionais!
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Integrais Indefinidas
Observamos que o processo chamado, inicialmente, de 
antiderivação, ou seja, o processo de encontrar a primitiva de 
uma função nada mais é do que o cálculo de integrais de uma 
forma mais generalizada, quando não conhecemos, diretamente, 
o intervalo de integração, como ocorre na integral de Riemann. 
Essas integrais são chamadas, também, de “integrais indefinidas”. 
A seguir, veremos alguns processos para encontrar essas funções.
Como a antiderivação é a operação inversa da 
diferenciação, os teoremas de antiderivação podem ser obtidos 
dos teoremas de diferenciação.
Assim, podemos escrevero seguinte.
.
, com constante.
.
.
A regra da potência, muito útil para o processo de 
derivação, tem a sua versão para integrais.
 • com .
Vamos resolver alguns exemplos.
41CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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EXEMPLO 
Os teoremas para primitivas de funções trigonométricas 
também seguem os teoremas para diferenciação.
 •
 •
 •
 •
 •
 •
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Note que, para as funções seno e cosseno, temos um 
processo cíclico, assim como nas derivadas.
Todas essas regras nos permitem resolver muitos casos 
de integração, como vimos nos exemplos. Mas existem alguns 
casos que não abordamos. Veremos a seguir.
Regras ou Técnicas de Integração
Existem várias técnicas para calcular integrais, como in-
tegração por substituição, integração por partes, integração de 
funções racionais por frações parciais e integração trigonométri-
ca. Além disso, em casos mais complexos, às vezes precisamos 
recorrer a métodos numéricos, como a regra dos trapézios e a 
regra de Simpson.
Vamos aprender mais algumas técnicas.
Regra da Cadeia
Seguindo o caminho do uso de propriedades para 
resolver situações que envolvem integrais, nesta seção, traremos 
um importante teorema, conhecido como Regra da Cadeia para 
integrais ou regra da substituição e sua demonstração. De forma 
prática, é usado como mais uma técnica de resolução.
TEOREMA 6
Seja uma função diferenciável, com sua imagem um 
intervalo . Suponha que seja uma função definida em e que 
 seja uma função primitiva de em . 
43CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Então,
.
Demonstração
Por hipótese
(16)
Pela regra da cadeia para diferenciação
(17)
Substituindo (16) em (17),
(18)
ou seja,
(19)
Se for uma diferenciável cuja imagem é um 
intervalo e for contínua em , então
(20)
Dessa forma, se , então .
44 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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ACESSE
Já trouxemos algumas indicações de vídeos da 
plataforma Khan Academy e sugerimos mais um 
sobre o conceito de regra da cadeia para integrais, 
também chamada de regra da cadeia reversa. O 
vídeo traz uma explicação teórica vinculada a 
um exemplo, permitindo mais contato com esse 
conceito e, assim, entender e fixar melhor esse 
importante teorema do cálculo. 
Agora, suponha que temos duas funções, e . 
Queremos encontrar a integral de .
De acordo com a regra da cadeia, podemos escrever essa 
integral como , em que é uma 
primitiva de .
Nesse caso, uma primitiva para é 
. Então, queremos encontrar a integral de 
.
Vamos representar as funções 
graficamente.
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-techniques-calc/reverse-chain-rule-calc/v/reverse-chain-rule-introduction
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Imagem 4.15 - Regra da cadeia
Fonte: Elaborada pela autoria (2023). 
Nesse gráfico, mostramos a área sob a curva de 
 e os valores de F(g(x)) nos pontos a e b. A diferença 
entre os valores de nesses dois pontos corresponde à 
área sob a curva de .
Vamos analisar mais exemplos.
EXEMPLO 
Calcule .
Solução
Assim, temos
46 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Resolvendo para , temos
.
Voltando a equação para , temos
.
Calcule .
Solução
Assim, temos
Resolvendo para , temos
.
Voltando a equação para , temos
.
Com isso, vimos a regra da cadeia aplicada às primitivas, 
mas o mesmo raciocínio pode ser usado para as integrais 
definidas, sendo que o intervalo será conhecido.
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Agora, na aplicação da regra da cadeia para integrais em 
casos em que temos integrais definidas, conhecemos o domínio 
de integração.
Regra da cadeia para integrais definidas
Quando comparamos com u, precisamos tomar o 
cuidado de ajustar os intervalos de integração para essa nova 
função. Assim, se for contínua em um intervalo 
conhecido, e for contínua na imagem de , teremos
(21)
Observe que o intervalo de integração precisou ser 
ajustado em relação à mudança de variável. É importante que 
fique claro que tanto a mudança de variável como o ajuste 
do intervalo não altera o valor final da área a ser encontrada. 
Portanto, geometricamente, tanto como 
 fornecerá a mesma área final. Vejamos um passo 
a passo para resolução.
Passo 1) Identificar e comparar com .
Passo 2) Ajustar os intervalos de integração de forma que, se 
, então .
Passo 3) Derivar os dois lados dessa equação em relação a .
Passo 4) Isolar . Usamos a variável x como padrão, mas poderia 
ser qualquer outra variável.
Passo 5) Substituir por na integral e pelo resultado 
encontrado no passo 4. Substituir, também, os novos intervalos 
de integração.
48 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Passo 6) Simplificar a função, de forma que restem apenas 
elementos da variável .
Passo 7) Resolver a integral em relação a .
Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para 
a variável original, pois, como conhecemos os intervalos de 
integração, o resultado será numérico.
Segue um exemplo que será discutido após a resolução.
EXEMPLO
Determine a área A da função .
Solução
Passo 1) .
Passo 2) e se .
Passo 3) Como u=2t-1, então .
Passo 4) .
Passo 5) .
Passo 6) .
Passo 7) .
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Imagem 4.16 – Comparação entre áreas
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Chamamos a atenção para as áreas encontradas na 
Imagem 4.16: geometricamente, são diferentes, mas a área total 
é igual. Nesse caso, A1=A2.
Integração por Partes
Em alguns casos, a regra da cadeia para integrais não é 
suficiente para encontrarmos a primitiva de uma função. Nesse 
caso, podemos usar uma regra conhecida como “integração por 
partes”.
Tomando, como referência, as obras de Anton et al. (2014) 
e Stewart (2017), vamos entender esse processo.
Suponhamos f e g, definidas e deriváveis em um mesmo 
intervalo I determinado. Temos
.
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Assim, isolando f(x)g’(x), obtemos
.
Agora, vamos supor que admite primitiva em 
I. Note que é uma primitiva de , portanto f(x)
g’(x) também admitirá primitiva em I. Logo,
(22)
Essa é a regra da integração por partes.
A equação (22) é denotada, comumente, por
.
.
A seguir, resolveremos um exemplo aplicando essa 
técnica.
EXEMPLO
Calcule .
Solução
Como realizaremos uma substituição de variáveis e alguns 
ajustes algébricos antes mesmo de começarmos a resolver a 
integral, é interessante deixarmos um quadro explicativo com 
esses ajustes. 
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Como , então .
É necessário acrescentar a constante de integração “C” 
todas as vezes em que resolvermos integrais indefinidas.
Com a integração por partes, é possível resolver muitos 
problemas envolvendo integrais.
ACESSE
Para reforçar esse conceito, sugerimos dois vídeos 
que abordam a teoria e apresentam exemplos 
resolvidos. O primeiro é um vídeo da plataforma 
Khan Academy, que, além de oferecer explicações 
claras, permite que você resolva exercícios na 
própria plataforma para auxiliar na fixação do 
conteúdo. Introdução à Integração por Partes.
O segundo vídeo, para proporcionar uma 
variedade maior de exemplos e abordagens 
diferentes desse conceito, é “Integral por partes - 
exemplo explicado” do canal Projeto Plin. 
Ambos os vídeos são excelentes recursos para 
aprimorar seu conhecimento sobre a integração 
por partes e oferecem perspectivas distintas 
sobre o tema, permitindo uma compreensão 
mais profunda.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/v/deriving-integration-by-parts-formula
https://www.youtube.com/watch?v=LoiKf5BmMq0
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Com a integração por partes, é possível resolver muitos 
problemas envolvendo integrais. 
No próximo exemplo, usaremos as duas técnicas (regra 
da cadeia e integração por partes).
EXEMPLO 
Conhecendo a função , encontre a primitiva 
de 
Solução
A primitiva de é dada por . Logo,basta 
integrar a função Assim, fazendo , teremos 
 Logo, . Substituindo na 
integral, teremos
,
Mas, como , então .
Note que ainda não conseguimos resolver essa integral 
de maneira direta. Usaremos, para resolvê-la, a integração por 
partes. Como a variável u já foi usada, chamaremos as partes de 
t e dk.
Portanto,
.
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Logo,
.
Integrais de funções trigonométricas
Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é 
comum usarmos a integração por partes. 
Vejamos a resolução do exemplo na sequência.
EXEMPLO 
Calcule usando integração por partes.
Solução
Neste ponto, aplicamos a integração por partes:
.
Logo,
Note que temos uma integral na resposta que apresenta 
o mesmo grau de dificuldade da integral inicial. Contudo, nesta 
etapa, usaremos a identidade trigonométrica, 
para finalizar o processo de integração. 
54 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Como temos dos dois lados da igualdade, 
podemos organizar esse termo do lado esquerdo da igualdade:
.
Assim,
.
Por fim,
.
Observe que, nesse exemplo, usamos uma identidade 
trigonométrica, mas também era possível aplicar uma segunda 
integração por partes, resolvendo, assim, . O resultado 
obtido seria o mesmo. 
Na sequência, veremos mais uma técnica de integração 
que permite integrar funções racionais.
Integração de funções Racionais (técnica de 
frações parciais)
Quando precisamos integrar funções racionais, podemos 
cair em seis casos diferentes (e suas variações). A possibilidade 
de fatorar tais funções racionais facilita o processo de integração 
e é interpretada como técnica.
Vejamos, na sequência, como realizar essas fatorações.
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Teorema 7
Integração de funções racionais
Sejam , reais dados, com . Então, 
existem constantes tais que
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Assumindo , , reais dados, se , então 
existem constantes tais que
6. 
7. 
56 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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SAIBA MAIS
Como em todas as técnicas, a resolução de 
exercícios é parte fundamental para a fixação. 
Assim, sugerimos que acesse a página E-Cálculo, 
que contém muitos exemplos resolvidos da 
integração de funções racionais. Disponível aqui.
Com a apresentação e a exemplificação das teorias e das 
técnicas de integração, tanto para integrais definidas quanto 
para indefinidas, você tem as ferramentas essenciais para aplicar 
esses conhecimentos em diversas situações.
Essa base sólida permitirá que você utilize a integração 
de maneira eficiente e eficaz, abrindo um leque de possibilidades 
para a resolução de problemas e aplicações.
RESUMINDO
Neste capítulo, nosso objetivo foi apresentar os 
conceitos fundamentais relacionados às integrais 
indefinidas e às regras de integração, com foco 
na compreensão das técnicas envolvidas. Esses 
tópicos são essenciais para o estudo do cálculo 
integral e suas aplicações em diversos campos 
das ciências exatas e das tecnologias.
Começamos com as integrais indefinidas, que são 
integrais sem limites específicos e representam 
uma família de funções primitivas. Entender 
as integrais indefinidas é crucial para abordar 
problemas de integração de maneira eficiente e 
eficaz.
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/tecnicas_prim/fracoes/exercicios_frac/exercicios_frac.htm
http://ecalculo.if.usp.br/integrais/tecnicas_prim/fracoes/exercicios_frac/exercicios_frac.htm
57CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Em seguida, exploramos as regras ou técnicas de 
integração, que nos permitem resolver integrais 
de várias funções de maneira sistemática. 
Discutimos a regra da cadeia, a integração 
por partes e a integração de funções racionais 
utilizando a técnica de frações parciais. Essas 
técnicas são fundamentais para lidar com uma 
ampla variedade de problemas de integração e 
desenvolver habilidades analíticas e de resolução 
de problemas.
Para consolidar esses conceitos, você pode criar 
um mapa conceitual que inclua os seguintes 
elementos e suas relações.
• Integrais indefinidas e regras de integração
• Integrais indefinidas
• Regras ou técnicas de integração
Regra da cadeia
Integração por partes
Integração de funções racionais (técnica de 
frações parciais)
No mapa conceitual, conecte “Integrais 
indefinidas” e “Regras ou técnicas de integração” 
sob o tema geral “Integrais indefinidas e regras de 
integração”. Isso ajudará a visualizar a estrutura 
do capítulo e a relação entre os conceitos 
apresentados. Com esse entendimento, você 
estará mais preparado para lidar com problemas 
avançados e as aplicações práticas envolvendo 
integrais indefinidas e as regras de integração.
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Aplicações do Conceito de 
Integral 
OBJETIVO
Neste capítulo, você explorará as diversas e 
fascinantes aplicações do conceito de cálculo 
integral nos mais variados contextos do dia a dia 
das engenharias, das tecnologias e das ciências 
afins. O cálculo integral é uma ferramenta 
poderosa e versátil que desempenha um 
papel fundamental na resolução de problemas 
complexos, no desenvolvimento de inovações e 
na transformação do mundo ao nosso redor.
Ao fim deste estudo, você será capaz de aplicar 
o conceito de cálculo integral em diferentes con-
textos, como calcular áreas e volumes de objetos 
irregulares, analisar o comportamento de siste-
mas dinâmicos e otimizar processos em enge-
nharias, tecnologias e ciências afins. Além disso, 
você compreenderá a importância dessa ferra-
menta matemática na solução de problemas prá-
ticos e desafiadores, enfrentando desafios reais 
em suas atividades acadêmicas e profissionais.
Juntos, vamos aprimorar suas habilidades e mer-
gulhar em exemplos concretos e empolgantes, 
descobrindo como as aplicações do cálculo inte-
gral podem ser úteis e impactantes no seu apren-
dizado e na sua atuação profissional em enge-
nharias, tecnologias e ciências afins. Ao dominar 
essas aplicações, você estará bem equipado para 
explorar as maravilhas do cálculo integral e en-
frentar os desafios do mundo real com confiança 
e habilidade!
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Área entre Curvas
Assim como temos muitas aplicações que dependem 
do uso das derivadas, podemos encontrar diversas aplicações 
utilizando o conceito de integrais. O fato de termos uma 
ferramenta poderosa para o cálculo de áreas e, ainda, uma 
ferramenta que permite operações inversas às derivadas nos 
ajuda a imaginar a gama de possibilidades.
Vamos trazer as principais aplicações na área do cálculo, 
mas podemos extrapolar esse conhecimento para muitas outras 
áreas.
Quando falamos em aplicações do conceito de integrais 
de funções de uma variável, o primeiro exemplo que vem à 
cabeça é o dos sólidos de revolução. 
Outra aplicação bem importante é o cálculo para a área 
entre curvas. Vamos ver essas aplicações e como proceder 
matematicamente em cada um dos diferentes casos.
Nesta seção, vamos definir uma importante relação 
do uso da integral, que é o cálculo da área entre curvas. Para 
isso vamos usar a definição de Stewart, (2014, p. 382) que diz 
o seguinte: “A área da região limitada pelas curvas 
, , e pelas retas e , onde e são 
contínuas e para todo em , é
”.
Usando a discretização do domínio e a soma de Riemann, 
esse processo pode ser entendido da seguinte forma:
.
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Imagem 4.17 - Discretização pela ideia de Riemann para o cálculo de área entre duas 
funções
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Dessa forma, tomando como ponto médio entre 
 e lembrando que pode assumir qualquer posição 
nesse intervalo, teremos, pela Soma de Riemann, que
Fazendo , ou seja, , teremos
.
Pela Soma de Riemann, tomando 
escrevemos
EXEMPLO 
Encontre a área da região limitada acima por , 
abaixo por e nas laterais por e .
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Solução
Usando a discretização do domínio por Riemann no 
intervaloentre x=0 e x=2, obteremos a representação a seguir.
Imagem 4.18 - Discretização no n=15
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Imagem 4.19 - Discretização com n=250
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Note que o cálculo da área entre duas funções segue o 
mesmo princípio usado na Soma de Riemann para uma única 
função, sendo que, quanto maior for o valor de n, ou seja, 
quanto menor for a base dos retângulos usados para discretizar 
o domínio, mais próximo estaremos da área exata. 
Isso nos permite escrever o seguinte.
Imagem 4.20 - Área entre 
 e 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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Obtemos, assim, a área exata unidades de área 
(u.a.).
SAIBA MAIS
Para desenhar esse gráfico, usamos o Geogebra 
com a função “integral entre (função, função, 
valor inicial, valor final)”. Caso tenha interesse 
de visualizar essa função e esse gráfico 
especificamente, acesse o endereço eletrônico 
disponível.
Você poderá utilizar o Geogebra como ferramenta 
auxiliar em todos os gráficos do capítulo e do 
conteúdo de cálculo como um todo.
Portanto, para calcular a área entre curvas, recaímos em 
uma propriedade das integrais: a de poder integrar a subtração 
entre duas funções. 
Volume de Sólidos de Revolução
A ideia de um sólido de revolução é poder imaginar uma 
figura plana construída por meio de uma função f(x) limitada em 
um intervalo aberto ]a,b[ que, ao “girar” (rotacionar) em torno de 
um dos eixos do plano cartesiano, gera um sólido. Esse sólido 
carrega o nome que dá sua origem: sólido de revolução.
https://www.geogebra.org/graphing/uzgrjby7
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Imagem 4.21 - Diversos tipos de sólidos de revolução
Cone Sólido Cilindro circular reto
Fonte: Wikimedia Commons. Fonte: Wikimedia Commons
Esfera sólida
Fonte: Wikimedia Commons
.
As imagens representam sólidos originados pela rotação 
em torno do eixo x, mas também podemos avaliar rotações ao 
redor do eixo y.
Vamos aplicar o conceito de integral para calcular o 
volume desses sólidos. Iniciaremos essa representação por um 
método conhecido como “volume por fatiamento”.
A ideia por trás dessa técnica é a de fatiar um sólido ao 
longo do seu domínio com uma espessura tão pequena quanto 
for possível (infinitesimal) e somar todas as áreas dessas secções 
transversais ao longo desse domínio. 
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Imagem 4.22 - Volume por fatiamento
Fonte: Stewart (2017, p. 389).
Note que o domínio é particionado de forma similar às 
somas de Riemann. Dessa forma, se for possível somar todas 
as áreas geradas pela intersecção entre o sólido, , e um plano, 
 perpendicular ao eixo das abscissas, será possível obter o 
volume de . 
Assim, seja um sólido S, gerado pela rotação de uma 
função em torno do eixo das abscissas, com domínio 
conhecido. Seja, também, a área formada pela interseção 
entre um plano , perpendicularmente ao eixo , e o sólido , 
conforme indica a Imagem 4.23.
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Imagem 4.23 - Área da seção transversal
Fonte: Stewart (2017, p. 390).
Considerando que é tão pequeno quanto for possível, 
então o volume de será dado por
(23)
Agora, seja a função , rotacionada em torno do 
eixo x e no intervalo x ∈ [0, 4]. 
66 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Imagem 4.24 - Função rotacionada em torno do eixo das abscissas
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Aplicar o fatiamento nesse sólido é particioná-lo em 
discos, de acordo com as imagens a seguir.
Imagem 4.25 - Sólido de revolução particionado em discos
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
67CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Com os discos reunidos, temos o seguinte.
Imagem 4.26 - Sólido de revolução particionado em discos para 
Fonte: Elaborado pela autoria (2023).
Note que, ao fatiarmos esse sólido, a área A(x) gerada, 
com , é a área de um círculo.
Imagem 4.27 - Sólido de revolução particionado em discos
Fonte: Adaptada de Stewart (2017).
68 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Na geometria plana, a área de círculos é dada pela 
equação , portanto, se conhecermos o raio de cada fatia 
(ou disco) ao longo do domínio determinado, poderemos aplicar 
a equação (23). 
Como o raio desse círculo será a função , 
então a equação (23) passa a ser escrita da forma seguinte:
(24)
A mesma ideia pode ser aplicada quando a rotação se 
dá em torno do eixo y. A diferença, nesse caso, é que o volume 
será construído a partir de seções transversais ao sólido, 
perpendiculares ao eixo das ordenadas. Dessa forma, não 
teremos , mas trabalharemos com . 
Essa mudança transforma a equação (23) em
(25)
.
Com isso, para funções x=g(y) que rotacionam em torno 
do eixo y, teremos 
(26)
Agora, vamos resolver alguns exemplos aplicando o 
cálculo de volumes por discos com rotação em torno do eixo x e 
do eixo y. Vejamos o primeiro exemplo.
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EXEMPLO 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em 
torno do eixo da região sob a curva de a .
Note que esse exemplo foi iniciado no bloco anterior. 
Agora, vamos resolvê-lo.
Solução
Quando fatiamos o sólido gerado pela rotação de 
em torno do eixo das abscissas, no intervalo para x entre 0 e 
4, obtemos discos de raio . Logo, podemos somar todos 
esses discos usando .
Portanto, teremos
.
Imagem 4.28 - Volume do sólido de revolução de em torno de 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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EXEMPLO 
Encontre o volume do sólido obtido quando a região 
sob a curva e acima do intervalo [0, 180] é 
rotacionada em torno do eixo 
Solução
Para resolver esse exemplo, basta extrair os dados do 
enunciado e resolver a expressão :
Imagem 4.29 - Revolução de sinx
 
no intervalo entre [0,180] em torno de x
Elaborada pela autoria (2023).
Agora, resolveremos um exemplo cuja função rotaciona 
em torno do eixo das ordenadas. Vamos avaliá-lo.
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EXEMPLO 
Calcule o volume de um sólido gerado pela rotação da 
função em torno do eixo , no intervalo .
Solução
Note que desejamos rotacionar a função 
em torno de y. Portanto, temos , mas, como o domínio 
em x será , então , para .
Imagem 4.30 - Área da região rotacionada em torno de y
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Logo, usando escrevemos
.
O último exemplo deste bloco permitirá que encontremos 
o volume de uma esfera, estudado, geralmente, na área da 
geometria espacial, ainda no ensino médio.
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EXEMPLO 
Rotacione uma região semicircular de raio r em torno do 
eixo x e calcule o volume da esfera gerada por essa revolução. 
Imagem 4.31 - Área da região rotacionada em torno de y
Fonte: Anton et al. (2014, p. 445).
Solução
A equação de uma circunferência é dada pela expressão 
. 
Assim, a metade superior dessa circunferência será 
representada pela função .
Com isso, conseguimos calcular o volume de uma esfera 
quando a função f(x) rotaciona em torno do eixo das abscissas. 
Logo, fazemos
.
Dessa forma, conseguimos aplicar as integrais no cálculo 
de volumes de estruturas cujos contornos são descritos por 
funções.
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Volume por Arruelas
Agora, resolveremos exemplos em que o volume será 
descrito pela rotação de duas funções em torno de um dos eixos 
principais, x ou y. Essa técnica é chamada de volume por arruelas, 
mas em quase nada se diferencia de tudo o que já definimos 
nesta aula. Vamos entender.
Ao calcularmos a área, aplicando o conceito de integrais 
entre duas curvas e , com e f, g 
contínuas, chegamos à seguinte expressão:
,
com .
Desejamos, agora, rotacionar essa área em torno do eixo 
das abscissas. 
Imagem 4.32 - Gráficos de f(x) e g(x)
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
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Note que vamos obter um sólidocom um furo central. 
Imagem 4.32 - Gráficos de f(x) e g(x)
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Partindo do mesmo princípio adotado para o volume 
em discos, fazendo, assim, cortes nesse sólido por planos 
perpendiculares ao eixo x, obteremos uma área chamada de 
arruela.
A área de cada arruela será dada por 
.
Portanto, usando a mesma lógica aplicada no cálculo do 
volume por discos, teremos
(27)
.
.
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Note que, na imagem a seguir, é o raio da 
circunferência maior, enquanto é o raio da circunferência 
menor. 
Imagem 4.34 - Raio das circunferências
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Para o cálculo de volume por arruelas perpendiculares 
ao eixo y, teremos duas funções, e , com 
. Logo, para calcular esse volume, fazemos
(28)
. 
Note que é o raio da circunferência maior, enquanto 
 é o raio da circunferência menor. 
EXEMPLO 
Calcule o volume do sólido de revolução em torno do 
eixo x, obtido pela rotação de e 
, com .
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Solução
Analisaremos, inicialmente, as funções que descrevem a 
região rotacionada.
Imagem 4.35 - Região entre f e g
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Como , fazemos
.
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Imagem 4.36 - Volume 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
No próximo exemplo, também calcularemos o volume 
por arruelas, mas com rotação das funções em torno do eixo das 
ordenadas.
EXEMPLO 
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela 
rotação da área formada pelas funções , 
com em torno de x=-2.
Solução
Note que a função fornecida é portanto, 
em primeiro lugar, precisamos calcular a função x=f(y). Logo, 
temos
.
Como , teremos .
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Essa região ficará determinada como pode ser observado 
na imagem a seguir.
Imagem 4.37 - Região 
Fonte: Elaborada pela autoria (2023).
Como desejamos rotacionar essa área em torno de 
x=-2, teremos que o raio externo da arruela será igual a 
 e o raio interno da arruela terá raio .
Logo,
.
Vimos, portanto, que, além de calcularmos o volume 
de uma única função rotacionada, podemos rotacionar regiões 
construídas por mais de uma função. Outras variações ainda 
podem ser pensadas para o cálculo de volumes de revolução.
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RESUMINDO
Neste capítulo, nosso objetivo foi explorar 
algumas das aplicações práticas do conceito de 
integral, focando a compreensão das técnicas 
envolvidas e a resolução de problemas do mundo 
real. Essas aplicações demonstram a importância 
e a versatilidade do cálculo integral em diversas 
áreas das ciências exatas e das tecnologias.
Começamos com a área entre curvas, que 
envolve o cálculo da área limitada por duas ou 
mais funções. Discutimos como usar integrais 
definidas para determinar a área entre curvas 
e resolvemos exemplos práticos para ilustrar o 
processo.
Em seguida, abordamos o volume de sólidos de 
revolução, que consiste em calcular o volume de 
um sólido obtido pela rotação de uma função 
em torno de um eixo. Exploramos as técnicas 
de discos e cascas cilíndricas para determinar o 
volume de sólidos de revolução, aplicando-as em 
exemplos concretos.
Por último, investigamos o volume por arruelas, 
uma técnica adicional para calcular o volume de 
sólidos de revolução que envolve a subtração de 
volumes internos e externos. Essa abordagem é 
útil para lidar com problemas mais complexos de 
volume.
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Para consolidar esses conceitos, você pode criar 
um mapa conceitual que inclua os seguintes 
elementos e suas relações.
• Aplicações do conceito de integral
• Área entre curvas
• Volume de sólidos de revolução
• Volume por arruelas
No mapa conceitual, conecte “Área entre curvas”, 
“Volume de sólidos de revolução” e “Volume por 
arruelas” sob o tema geral “Aplicações do conceito 
de integral”. Isso ajudará a visualizar a estrutura 
do capítulo e a relação entre os conceitos 
apresentados. Com esse entendimento, você 
estará mais preparado para aplicar o conceito de 
integral em diversas situações práticas e resolver 
problemas do mundo real nas ciências exatas e 
nas tecnologias.
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ANTON, H. et al. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. v.1
PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Veja, 1977.
THOMAS, G. B.; FINNEY, R. L. Cálculo Diferencial e Integral. São 
Paulo [s.n.], 1982. RE
FE
RÊ
N
CI
A
S
	Primitivas e integral de Riemann
	Um pouco de história 
	Primitivas
	Partição de um intervalo
	Soma de Riemann
	Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo
	Teorema fundamental do cálculo
	Propriedades
	Integrais Indefinidas e Regras de Integração 
	Integrais Indefinidas
	Regras ou Técnicas de Integração
	Regra da Cadeia
	Regra da cadeia para integrais definidas
	Integração por Partes
	Integrais de funções trigonométricas
	Integração de funções Racionais (técnica de frações parciais)
	Aplicações do Conceito de Integral 
	Área entre Curvas
	Volume de Sólidos de Revolução
	Volume por Arruelas