Cálculo II - Corrigida

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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
CÁLCULO II 
2
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MISSÃO
Formar profissionais com consciência ci-
dadã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
3
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, 
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, 
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de 
cursos de graduação, pós-graduação e extensão 
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento: 
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo 
entre as 100 melhores do País, a Multivix preocu-
pa-se bastante com o contexto da realidade lo-
cal e com o desenvolvimento do país. E para isso, 
procura fazer a sua parte, investindo em projetos 
sociais, ambientais e na promoção de oportuni-
dades para os que sonham em fazer uma facul-
dade de qualidade mas que precisam superar 
alguns obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para 
o mercado de trabalho, com elevado padrão de 
qualidade, sempre mantendo a credibilidade, se-
gurança e modernidade, visando à satisfação dos 
clientes e colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
Diretor Executivo do Grupo Multivix
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CÁLCULO II 
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
 > FIGURA 1 - Gráfico da família de funções de f(x) = x2 + c 18
 > FIGURA 2 - Área de uma região curva qualquer no intervalo [A,B] 52
 > FIGURA 3 - Aproximação da área por retângulos 53
 > FIGURA 4 - Aproximação da área por número maior de retângulos 54
 > FIGURA 5 - Sólido formado a partir da rotaçãoda curva y = √x 
em torno do eixo x 65
 > FIGURA 6 - Sólido gerado 66
 > FIGURA 7 - Representação do triângulo retângulo na forma 2 − 2 87
 > FIGURA 8 - Representação do triângulo retângulo na forma 2 − 2 87
 > FIGURA 9 - Representação do triângulo retângulo na forma 88
 > FIGURA 10 - Representação no triângulo retângulo 89
 > FIGURA 11 - Representação no triângulo retângulo 90
 > FIGURA 12 - Representação no triângulo retângulo 91
 > FIGURA 13 - Trombeta de Gabriel 114
 > Gráfico da função f(x, y) = x= + y2 122
 > 0 Gráfico da função f(x, y) = 1 – x2 – y2 122
 > Dimensões da piscina 130
5
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
LISTA DE GRÁFICOS
 > GRÁFICO 1 - Gráfico da função y = x2 58
 > GRÁFICO 2 - Gráfico da função y = 4 - x2 59
 > GRÁFICO 3 - Gráfico da função y = x2 – 5x 60
 > GRÁFICO 4 - Gráfico da função y = sen x 61
 > GRÁFICO 5 - Gráfico da região limitada pelas curvas 
y = x2 – 1 e y = x + 1 62
 > GRÁFICO 6 - Gráfico da região limitada pelas curvas 
y = (x – 1)3 e y = x – 1 63
 > GRÁFICO 7 - Gráfico da função y = √x 64
 > GRÁFICO 8 - Gráfico da curva y=ex 66
 > GRÁFICO 9 - Área sob uma curva qualquer 104
 > GRÁFICO 10 - Área da região formada pela curva y
x
=
1
2
 107
 > GRÁFICO 11 - Área da região formada pela curva y
x
=
1
2
, no 
intervalo [1,2] 107
6
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
SUMÁRIO
1 INTEGRAL INDEFINIDA 14
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 14
1.1 PRIMITIVA 15
1.1.1 DEFINIÇÃO 16
1.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL INDEFINIDA 18
1.3 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS 20
1.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA 23
1.5 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: TROCA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL INDEFI-
NIDA 27
CONCLUSÃO 31
2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 33
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 33
2.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES 34
2.2 EXEMPLOS DE INTEGRAÇÃO UTILIZANDO OS MÉTODOS DE SUBSTITUI-
ÇÃO DE VARIÁVEIS E INTEGRAÇÃO POR PARTES 38
2.3 APLICAÇÕES DE TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 41
CONCLUSÃO 45
3 INTEGRAL DEFINIDA 48
INTRODUÇÃO 48
3.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL DEFINIDA POR SOMA DE RIE-
MANN 49
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
7
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 52
3.3 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 52
3.4 CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS 54
3.5 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 61
3.6 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO 65
3.7 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS NA FÍSICA 66
3.7.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA 66
3.7.2 TRABALHO 67
3.8 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS 68
CONCLUSÃO 71
4 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 73
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 73
4.1 INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 74
4.1.1 INTEGRAIS ∫ SEN U DU E ∫ COS U DU 74
4.1.2 INTEGRAIS ∫TG U DU E ∫COTG U DU 75
4.1.3 INTEGRAIS ∫SEC U DU E ∫COSSEC U DU 77
4.2 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES QUE ENVOLVEM POTÊNCIAS DE FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 78
4.2.1 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENN (U) DU E ∫COSN (U) DU, N � IN 78
4.2.2 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENM (U).COSN(U) DU, M,N ϵ IN 80
4.2.3 INTEGRAIS DA FORMA ∫TGN (U)DUE ∫SECN U DU, N ϵ N 81
4.3 SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 83
4.4 INTEGRAÇÃO DE EXPRESSÕES CONTENDO O TRINÔMIO DE 2º GRAU 90
4.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS COM FRAÇÕES PARCIAIS 92
4.6 APLICAÇÕES 98
CONCLUSÃO 99
SUMÁRIO
UNIDADE 4
8
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
SUMÁRIO
5 FUNÇÕES IMPRÓPRIAS 101
INTRODUÇÃO 101
5.1 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 102
5.2 INTERVALOS INFINITOS 104
5.3 INTERVALOS DESCONTÍNUOS 108
5.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 111
CONCLUSÃO 113
6 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 115
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 115
6.1 FUNÇÕES DE DUAS E TRÊS VARIÁVEIS 116
6.1.1 DOMÍNIO 118
6.2 DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 121
6.3 REGRA DA CADEIA 125
6.4 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 127
CONCLUSÃO 130
REFERÊNCIAS 132
UNIDADE 5
UNIDADE 6
ICONOGRAFIA
9
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
ICONOGRAFIA
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
10
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
BIODATA DAS AUTORAS 
Aparecida de Cássia Oliveira Lima
Mestre em Gestão Social, Educação e Desenvolvimento Local pelo Centro Universitá-
rio de Minas Gerais – UNA. Especialista em Informática na Educação pelo IEC – Pontifí-
cia Universidade Católica de Minas Gerais. Graduação em Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de Minas Gerias. Experiência como Docente no ensino supe-
rior desde 2010, trabalhando na Faculdadesugere-se que você acompanhe atentamente os vários exemplos e as expli-
cações que são apresentadas, a fim de se familiarizar com cada um deles. Por fim, 
serão apresentados alguns exemplos de problemas de aplicação dos métodos de 
integração discutidos nesta unidade. Aconselha-se que você exercite bastante, pois 
será necessário adquirir habilidades na escolha e no uso das técnicas empregadas.
4.1 INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas envolvem combinações algébricas das seis funções trigo-
nométricas básicas: seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente. 
Geralmente, é mais simples expressar tais integrais em termos de seno e cosseno; 
porém, isso nem sempre facilitará a sua vida, pois, em alguns casos, transformam-se 
em funções mais complicadas do que as originais. Veja, nos subtópicos seguintes, 
alguns casos que envolvem as integrais trigonométricas.
4.1.1 INTEGRAIS ∫ SEN U DU E ∫ COS U DU 
As integrais da função seno e da função cosseno fazem parte da tabela de integrais 
imediatas, obtidas a partir das fórmulas de derivação:
No entanto, em algumas situações, faz-se necessário aplicar o método da substitui-
ção para que uma determinada integral esteja em uma das duas formas apresenta-
das. Veja: 
75
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 1: ∫cos (2x)dx
Usando o método da substituição, tem-se que u = 2x. Então, du = 2dx ou 
2
du
dx= . Portanto:
1 1cos(2 ) cos . (2 )
2 2 2
du
x dx u sen u c sen x c= = + = +∫ ∫
Exemplo 2: ∫x3 sen (x4 + 2)dx
Exemplo 3: ∫esen x.cos x dx
=
= cos
→ . = . = + = +∫ ∫
4.1.2 INTEGRAIS ∫TG U DU E ∫COTG U DU
Essas duas integrais também estão presentes na tabela de integrais imediatas, 
mas pode-se obtê-las por meio das identidades trigonométricas fundamentais. 
Vale relembrar algumas:
Portanto: 
=
cos
76
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Utilizando do método de substituição de variáveis, tem-se que: v = cos u 
Por consequência, obtém-se que: dv = –sen u du, Então:
Sintetizando: 
Para a cotangente, usa-se raciocínio análogo: 
Exemplo 1: ∫x tg(x2 + 1)dx 
= 2
= 2
2
=
→ ∫ 2 + 1 = ∫ .
2
=
1
2
ln | sec | + =
1
2
ln | sec( 2 + 1)| +
Exemplo 2: 
=
3
=
1
3
3 =
→
3
= . 3 = 3 ln + = 3 ln
3
+
77
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
4.1.3 INTEGRAIS ∫SEC U DU E ∫COSSEC U DU
Para resolver essas integrais, utiliza-se alguns artifícios matemáticos. Veja:
Na integral da secante, multiplica-se e divide-se o integrando por sec u + tg u. 
sec =
sec (sec )+
sec +
Recorrendo ao método de substituição de variáveis, tem-se que: v = sec u + tg u e 
dv = (sec u.tg u+ sec2 u)du. Portanto, 
sec = = ln + = ln | sec + | +
Já na integral da cossecante, multiplica-se e divide-se o integrando por cosec u – 
cotg u. 
=
−
−
Faz-se v = cosec u – cotg u, obtém-se dv = [–cosec u . cotg u–(–cosec2 u)]du. Então:
= = ln + = ln − +
Essas duas integrais também integram a tabela de integrais imediatas.
Exemplo 1: ∫sec (x + 1)dx
= + 1
=
→ + 1 = sec = ln | sec + | + =
= ln | sec( + 1) + ( + 1)| +
Exemplo 2: ∫ ⁄6
⁄3
78
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
⁄6
⁄3
2 =
1
2 ⁄6
⁄3 1
=
1
2 ⁄6
⁄3
=
1
2
ln (2 ) − 2 ⁄6
⁄3 =
=
1
2
ln
3
−
3
−
1
2
ln
3
−
3
=
1
2
ln 3
A seguir, serão apresentadas integrais de funções trigonométricas que envolvem 
potências.
4.2 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES QUE ENVOLVEM 
POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
4.2.1 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENN (U) DU E ∫COSN (U) 
DU, N � IN
Para resolver este tipo de integrais, é necessário relembrar mais algumas identidades 
trigonométricas que serão aplicadas no cálculo:
2
+
2
= 1
2
=
1−cos
2
2
=
1 + cos 2
2
2
2 =
1
2
1 + cos 4
(1) (2) (3) (4)
Para n ímpar, é usualmente aplicada a identidade trigonométrica (1), 
enquanto para n par, geralmente são utilizadas (2) e (3).
A utilização dessas identidades visa à preparação das integrais para aplicação do 
método da substituição, facilitando a integração. Os exemplos que seguem ilustram 
os dois casos possíveis: n é um número ímpar ou n é um número par.
79
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 1: ∫cos3 x dx
Para iniciar a resolução dessa integral, primeiramente será utilizada a identi-
dade trigonométrica (1): cos2 x = 1–sen2 x. Em seguida, será necessário utilizar 
a substituição de variáveis para realizar a integração.
=
= cos
→ ∫
3
= ∫
2
. cos = ∫ 1 −
2
. cos =
= ∫ 1 −
2
. = −
3
3
+ = −
3
3
+
Exemplo 2: ∫sen4 x dx
Novamente, utiliza-se as identidades trigonométricas. Nesse caso, será neces-
sário utilizar (2) e (4), antes da substituição de variáveis para calcular a integral.
4
=
2
.
2
=
1 − cos 2
2
2
=
1
4
1 − 2 cos 2 + cos
2
2 ) =
=
1
4
− 2 cos 2 + cos
2
2 =
1
4
− 2 cos 2 +
1
2
1 + cos 4 =
=
1
4
− 2 cos 2 +
1
2
+ cos 4
Resolvendo separadamente as integrais obtidas pelo método da substitui-
ção de variáveis:
= 2
= 2
2
=
→ cos 2 = cos .
2
=
1
2
2
= 4
= 4
4
=
→ cos 4 = cos .
4
=
1
4
4
Portanto, juntando todos os resultados obtidos, tem-se:
4
=
1
4
− 2
1
2
2 +
1
2
+
1
4
4 =
4
−
2
4
+
8
+
4
32
+
80
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
4.2.2 INTEGRAIS DA FORMA ∫SENM (U).COSN(U) DU, 
M,N ϵ IN
Assim como a forma anterior, também são necessárias as identidades trigonométri-
cas para preparar o integrando e, em seguida, aplicar o método da substituição de 
variáveis. Caso pelo menos um dos expoentes seja número ímpar, utiliza-se a iden-
tidade (1); caso os dois expoentes sejam pares, usa-se (2) e (3) e, em alguns casos, 
também (1) e (4). Veja alguns exemplos:
Exemplo 1: ∫sen3 x.cos2 x dx
Nesse exemplo, tem-se m ímpar. Portanto, utiliza-se a identidade sen2 x = 
1– cos2 x. Além disso, na substituição de variáveis, u = cosx e du= –sen x dx.
∫ 3 . 2 = ∫ 1 − 2 . . 2 = ∫ 1 − 2 . 2 − =
= −
3
3
+
5
5
+ = −
3
3
+
5
5
+
Exemplo 2: ∫cos5 x.sen4 x dx
Nesse exemplo, tem-se n ímpar. Portanto, utiliza-se a identidade cos2 x = 1–
sen2 x. Além disso, na substituição de variáveis, u = sen x e du = cos x dx.
∫ 5 . 4 = ∫ 1 − 2 2. cos . 4 = ∫(1 − 2)2. 4 =
= ∫( 4−2 6 + 8) =
5
5
−
2 7
7
+
9
9
+ =
5
5
−
2 7
7
+
9
9
+
81
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 3: ∫sen2 x.cos2 x dx
Nesse exemplo, tem-se m e n pares. Portanto, utiliza-se as identidades 
2
=
1−cos
2
, 2
=
1+cos
2
 e 2
=
1
2
1 + cos . Também se utili-
za a substituição de variáveis, = e du
4
= .
2
.
2
=
1 − cos 2
2
1 + cos 2
2
=
1
4
1 −
2
2 =
=
1
4
−
1
2
(1 + cos )4 =
1
4
−
1
2
+ cos 4 =
1
4
−
1
2
+ cos .
4
=
=
1
4
−
1
2
+
1
4
4 + =
8
−
4
32
+
4.2.3 INTEGRAIS DA FORMA ∫TGN (U)DUE ∫SECN U DU, 
N ϵ N
Os procedimentos para integração de potências de tangente e secante seguem os 
mesmos princípios dos de seno e cosseno. Na preparação do integrando, usa-se as 
identidades: 
(5) (6)
2
=
2
− 1
2
=
2
− 1
82
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 1: ∫tg3 x dx
Reescrevendo o integrando e usando a identidade (5), chega-se em:
3
=
2
. = ( 2
− 1) =
2
. −
Agora, utiliza-se substituição de variáveis para resolver a primeira integral:
=
=
2
→
2
. = =
2
2
=
2
2
Portanto, como a integral da tangente você já conhece, tem-se que:
3 =
2
2
− ln sec +
Exemplo 2: ∫sec3 x dx
Nesse exemplo, usa-se o método de integração por partes para calcular o 
valor da integral.
= sec → =
2
= sec → =
→
3
= sec . − ( )(sec . ) =
= sec . − ( 2
− 1). sec = sec . + sec −
3
Assim, chega-se em: 
3
= sec . + sec −
3
83
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Ao combinar as duas integrais da secante ao cubo, tem-se:
2 3 = sec . + sec = sec . + ln(sec + ) +
Isolando ∫sec3 x dx, chega-se ao resultado da integral:
3 =
1
2
sec . +
1
2
ln(sec + ) +
A seguir, será apresentada a você uma técnica de integração muito utilizada 
quando ocorrem integrandos algébricos, baseada nas identidades trigono-
métricas, denominada substituição trigonométrica.
4.3 SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Se o integrando contém funções do tipo 2 − 2, 2 + 2 e 2 − 2, onde a > 0, 
geralmente é possível efetuar a integração por meio de uma substituição trigono-
métrica que levaráa uma integral envolvendo funções trigonométricas. Para cada 
um dos três casos apresentados a seguir, existe uma substituição trigonométrica 
adequada.
Aprofunde seu estudo pesquisando na internet sobre as relações trigono-
métricas no triângulo retângulo. Vai ser bem útil para você!
1º Caso: A função integrando envolve uma expressão da forma 2 − 2 . Nesse caso, 
usa-se a substituição u = a sen θ. Obtém-se du = a cos θ dθ. Tem-se:
84
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2 − 2 = 2 − 2 2 = 2 1 − 2 = 2 2 = cos
O triângulo retângulo ao lado nos fornece a representação geométrica dessa substi-
tuição. Observe que θ representa a medida de um dos ângulos agudos do triângulo 
retângulo. Pela definição de seno, tem-se que o cateto oposto a θ está representado 
por u e a hipotenusa, por a.
FIGURA 7 - REPRESENTAÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO NA FORMA 2 − 2
Fonte: Elaborada pelas autoras.
2º Caso: A função integrando envolve uma expressão da forma . Nesse caso, usa-se a 
substituição u = a tg θ. Obtém-se du = a sec2 θ dθ. Tem-se:
2 + 2 = 2 2 + 2 = )2(1 + 2 = 2 2 = sec
A figura a seguir fornece a representação geométrica dessa substituição. Observe que 
θ representa a medida de um dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Pela defi-
nição de tangente, tem-se que o cateto oposto a θ está representado por u, e o cateto 
adjacente, por a.
FIGURA 8 - REPRESENTAÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO NA FORMA 2 − 2
85
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Fonte: Elaborada pelas autoras.
3º Caso: A função integrando envolve uma expressão da forma 2 − 2. Nesse caso, 
usa-se a substituição u = a sec θ. Obtém-se du = a sec θ tgθ dθ. Tem-se:
2 − 2 = 2 2 − 2 = )2( 2 − 1 = 2 2 =
Na figura a seguir, tem-se a representação geométrica dessa substituição. Observe 
que θ representa a medida de um dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Pela 
definição de secante, tem-se que o cateto adjacente a θ está representado por a, e a 
hipotenusa, por u.
FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO NA FORMA 
Fonte: Elaborada pelas autoras.
86
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Os triângulos retângulos servem de referência para identificar os lados x e a 
para cada substituição.
87
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 1: Determine o valor de: ∫ 2+4
Observe que este exemplo se refere ao segundo caso, pois temos no inte-
grando uma expressão do tipo , onde a = 2 e u = x. Assim, fazemos x 
= 2tg θ e obtemos dx = 2sec2 θ dθ. Portanto,
2 + 4 = 2 2 + 4 = 4 2 + 4 = )4( 2 + 1 = 4 2 = 2 sec
Substituindo na integral, temos: 
2 + 4
=
2 2
2 sec
= sec = ln | sec + | +
Agora, deve-se voltar à variável original, x. Para isso, conta-se com o auxílio 
do triângulo retângulo para obter secθ. Pela substituição inicial, temos que:
= → =
2
. Pela definição de tangente, sabe-se que x será o 
cateto oposto, e 2 o cateto adjacente. 
Pela definição de secante, obtém-se: sec =
2+4
2
FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
2
x
Fonte: Elaborada pelas autoras.
88
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Finalmente, voltando à integral, tem-se que:
2 + 4
= ln | sec + | + = ln
2 + 4
2
+
2
+
Exemplo 2: Determine o valor de: ∫
2−25
Este exemplo se refere ao terceiro caso, pois tem-se no integrando uma 
expressão do tipo 2 − 2 , onde a = 5 e u = x. Assim, faz-se x=5sec θ e 
obtém-se dx = 5secθ.tgθ dθ. 
Portanto,
2 − 25 = 5 sec 2 − 25 = 25 2 − 25 = )25( 2 − 1 = 25 2 = 5
Substituindo na integral, tem-se:
2 − 25
=
5
5 sec
. 5 sec = 5
2
= 5 )2
− 1 = 5( − +
Como x=5sec θ, então: =sec
5
. Logo, obtém-se que = arc secsec
5
. 
No triângulo retângulo, chega-se facilmente ao valor de =tg
2−25
5
.
FIGURA 11 - REPRESENTAÇÃO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
5
x
Fonte: Elaborado pelas autoras.
89
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Portanto,
2−25
= 5 − + = 5
2−25
5
− arcsec
5
+ = 2 − 25 − 5 arcsec
5
+
Exemplo 3: Determine o valor de: ∫
9− 2
2 2
Este exemplo se refere ao primeiro caso, pois tem-se no integrando uma 
expressão do tipo 2 − 2 , onde a = 3 e u = x. Assim, faz-se x=3sen θ e 
obtém-se dx = 3 cosθ dθ. Portanto,
9 − 2 = 9 − 3 2 = )9(1 − 2 = 3 cos
Substituindo na integral, temos:
9 − 2
2 2
=
3 cos
2 3 2
. 3 cos =
1
2
2
2
=
1
2
2
=
=
1
2
2
− 1 =
1
2
− − +
Como x = 3sen θ, então =
3
. Logo, obtém-se que =
3
. Fazen-
do a substituição no triângulo retângulo, obtemos o valor de =
9− 2
. 
FIGURA 12 - REPRESENTAÇÃO NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
3
x
Fonte: Elaborado pelas autoras.
90
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Portanto,
9 − 2
2 2
=
1
2
− − + =
1
2
−
9 − 2
−
3
+
Na próxima sessão, será apresentado outro método de integração, desta vez, 
relacionado com funções que apresentam trinômios quadrados perfeitos.
4.4 INTEGRAÇÃO DE EXPRESSÕES CONTENDO O 
TRINÔMIO DE 2º GRAU
As integrais que envolvem a expressão quadrática ax2 + bx + c, onde a e b ≠ 0, podem 
ser calculadas usando uma substituição conveniente, precedida da complemen-
tação do quadrado desse trinômio. O método de completar quadrados é utilizado 
para resolver equações do 2º grau, transformando-as em um produto notável. 
Aprofunde seu estudo pesquisando na internet sobre o método de comple-
tar quadrado. Vai facilitar seu entendimento sobre esse assunto.
91
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Os exemplos seguintes ilustram essa situação.
Exemplo 1: Calcule 
2− +8
Primeiramente, completa-se o quadrado do trinômio x2 – 4x+8:
x2 – 4x + 8 = (x2 = –4x + 4) + 8 – 4 = (x – 2)2 + 4
Agora, usa-se o método da substituição de variáveis: u = x – 2, obtém-se du = dx, que 
transforma a integral em:
2 − 4 + 8
=
− 2 2 + 4
=
+ 2
2 + 4
= 2 + 4
+ 2 2 + 4
=
=
1
2
ln 2 + 4 + 2
1
2 2
+ =
1
2
ln − 2 2 + 4 +
− 2
2
+
Exemplo 2: Calcule ∫ 2+ +15
Completando o quadrado, obtém-se: x2 + 8x + 15 = (x + 4)2 - 1
A substituição apropriada é: u = x + 4; du = dx. Assim,
2+ +15
= 2−1
= ln + 2 − 1 + = ln + 4 + 2 + + 15 +
Vale lembrar que a integral das funções algébricas ∫ 2+ 2
 e ∫ 2− 2 , 
utilizadas nos exemplos anteriores também estão presentes na tabela de 
integrais imediatas, sendo que: 
2+ 2 =
1
2
+ e 
2− 2
= ln + 2 − 2 +
Na próxima sessão, será apresentado outro método de integração, desta vez, relacio-
nado com funções racionais.
92
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
4.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS COM 
FRAÇÕES PARCIAIS
Como você sabe, uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais. 
Agora, você aprenderá como expressar uma função racional como uma soma de 
frações mais simples, chamadas frações parciais, que facilitam o processo de integra-
ção. O método de integração por frações parciais é utilizado para resolver integrais 
quando o integrando não pode ser calculado diretamente por substituição de variá-
vel ou integração por partes. 
Nesse método, decompõe-se o integrando como uma soma de frações parciais e, em 
seguida, a integra-se membro a membro. A decomposição é feita a partir da fato-
ração do polinômio do denominador e vai depender como este se decompõe em 
fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Por exemplo, a função racional −3
2− −3
 
pode ser reescrita como:
5 − 3
2 − 2 − 3
=
5 − 3
+ 1)( − 3
=
2
+ 1
+
3
− 3
Aprofunde seu estudo pesquisando na internet sobre fatoração de polinô-
mios. Vai facilitar seu entendimento sobre esse assunto.
Assim, se tivesse a integral ∫
−3
2− −3
, poderia-se facilmente integrá-la usando a soma 
das frações parciais obtidas. Veja:
5 − 3
2 − 2 − 3
=
5 − 3
+ 1)( − 3
=
2
+ 1
+
3
− 3
Para facilitar o entendimento considere, separadamente, quatro casos possíveis de 
decomposição do polinômio, detalhando cada etapa do método empregado para o 
cálculo da integral.
93
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
1º Caso: A fatoração é feita com polinômios do primeiro grau não repetidos. 
Nesse caso, o fator linear da forma ax + b aparece apenas uma vez no denominador 
de uma fração racional, correspondendo a uma fração parcial da forma: 
+
.
Exemplo 1: Calcule a integral de 
−3
2− −3
Fatorando o denominador, obtém-se: x2 – 4 = (x + 2) (x – 2). Então, o integran-
do pode ser reescrito como:
1
2 − 4
=
1
+ 2)(− 2
=
+ 2
+
− 2
Agora, determine os coeficientes A e B. Para isso, basta calcular o mínimo 
múltiplo comum (MMC) entre os denominadores das frações do membro 
da direita da igualdade:
1
2 − 4
=
)− 2 + ( + 2
+ 2)( − 2
Para encontrar os valores dos coeficientes indeterminados, A e B, eliminam-
-se as frações e obtém-se:
1 = A(x – 2) + B(x + 2)
Existem várias maneiras de determinar as variáveis desconhecidas A e B em 
um sistema de equações lineares como esse. Seja qual for o método escolhi-
do por você, a solução será = −
1
4
e =
1
4
. O próximo passo será reescrever e 
calcular a integral. Veja:
2 − 4
=
+ 2
+
− 2
=
−
1
4
+ 2
+
1
4
− 2
= −
1
4 + 2
+
1
4 − 2
=
= −
1
4
ln + 2 +
1
4
ln − 2 +
94
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 2: 
+1
3+ 2−
A fatoração do denominador fornece: x3 + x2 – 6x = x (x – 2)(x + 3). Reescreven-
do o integrando, obtém-se:
3 2
1
2 36
x A B C
x x xx x x
+
= + +
− ++ −
Calculando o mínimo múltiplo comum dos denominadores, chega-se a:
x + 1 = A(x–2)(x + 3) + B(x)(x + 3) + C(x)(x–2)
Dessa resolução, obtém-se 1 3 2,
6 10 15
A B e C= − = = − . Voltando ao cálculo da 
integral:
+1
3+ 2−6
= +
−2
+
+3
=
−
1
6
+
3
10
−2
+
−
2
15
+3
2º Caso: A fatoração é feita com polinômios do primeiro grau repetidos. Nesse caso, 
pode ocorrer de um fator linear do tipo ax + b aparecer n vezes no denominador de 
uma fração racional própria, o que corresponde a uma soma de n frações parciais da 
forma: 
+
+
( + )2
+
( + )3
+ ⋯ Veja o exemplo:
95
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo: Calcule 
+5
3− 2− +1
Fatorando o denominador, obtém-se: x3 – x2 – x + 1 = (x + 1)(x–1)2. O fator que 
repete é o x – 1, uma vez que (x-1)2 = (x–1)(x–1). Reescrevendo o integrando, 
tem-se:
3 + 5
3 − 2 − + 1
=
+ 1
+
− 1
+
− 1 2
Calculando o mínimo múltiplo comum dos denominadores e utilizando o 
método de sua preferência, você obterá: =
1
2
, = −
1
2
e = 4. Retomando 
à integral dada, tem-se:
3 + 5
3 − 2 − + 1
=
1
2
+ 1
+
−
1
2
− 1
+
4
− 1 2 =
1
2
ln + 1 −
1
2
ln − 1 −
4
− 1 2 +
3º Caso: Na fatoração, aparecem polinômios quadráticos irredutíveis não repetidos. 
Cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 + bx + c que aparece uma vez no 
denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma fração parcial da 
forma: +
2+ +
.
96
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo: ∫
+2
3−1
A fatoração do denominador fornece: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1). A decomposição 
em frações parciais é:
+ 2
3 − 1
=
1
− 1
+
2 + 3
2 + + 1
Resolvendo o sistema, obtém-se A1 = 1, A2 = 0 e A3 = –1. Reescrevendo a inte-
gral:
+ 2
3 − 1
=
1
− 1
−
1
2 + + 1
= ln − 1 − 2 + + 1
Observe que deverão ser realizados novos processos para determinar a últi-
ma integral obtida. Pode-se completar o quadrado do denominador do inte-
grando (visto anteriormente nesta unidade) e, em seguida, utilizar o método 
da substituição de variáveis.
2 + + 1
=
+
1
2
2
+
3
4
=
2 +
3
4
=
2
2
3
3
=
2
3
)2 + 1
3
Portanto,
( )3
2 2 2 11
3 31
x xIn x arc tg c
x
 + +
= − − + 
−  
∫
4º Caso: Na fatoração, aparecem polinômios quadráticos irredutíveis repetidos. Nesse 
caso, a cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 + bx+c que aparece n 
vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma soma de 
n frações parciais da forma: 1 + 1
2+ +
+
2 + 2
2+ + 2
+ ⋯ +
+
2+ +
97
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo: ∫
2+ +2
2+ +3 2
Ao fatorar o denominador, obtém-se: 
2
+ + 2
2 + 2 + 3 2
=
1 + 2
2 + 2 + 3
+
3 + 4
2 + 2 + 3 2
Tem-se então que:
x2 + 2x + 3 = (A1 x + A2 )(x
2 + 2x + 3) + A3 x + A4
Ao resolver o sistema, tem-se: A1 = 0, A2 = 1, A3 = –1 e A4 = –1. Reescrevendo e 
calculando a integral, tem-se que:
2
+ + 2
2 + 2 + 3 2
=
2 + 2 + 3
−
+ 1
2 + 2 + 3 2
Para resolver as integrais obtidas, deve-se novamente completar o quadra-
do e aplicar o método de integração por substituição. Feito isso, deve-se 
encontrar:
2
+ + 2
2 + 2 + 3 2
=
2
2
+ 1
2
+
1
)2( 2 + 2 + 3
+
Na próxima sessão, serão apresentadas algumas aplicações envolvendo 
todos os métodos de integração discutidos ao longo desta unidade.
98
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
4.6 APLICAÇÕES 
Exemplo 1: Determine, aproximadamente, o volume do sólido obtido quando a 
região sob a curva y = sen2 x, no intervalo 0,
2
, gira em torno do eixo x.
=
0
⁄2
)(
2 2
=
0
⁄2
4
=
3
8
−
1
4
2 +
1
32
4
0
⁄2
≅ 1,85 . .
Exemplo 2: Funcionários da área financeira de uma empresa estimaram que a taxa 
com que o lucro arrecadado com a venda anual de determinada mercadoria, desde o 
início das vendas, pode ser definida segundo a função: ′ = +
1
2+
 (em reais). 
Qual é, aproximadamente, o lucro obtido entre o primeiro e o quarto ano, após o 
início das vendas?
Exemplo 3: Uma partícula se move em linha reta com função velocidade v(t) = cos3 
x.sen x. Sabendo que s(0) = 0, determine a função que descreve a posição dessa partí-
cula em um instante t qualquer.
= = (
3
. ) = −
cos
4
4
+ → 0 = 0 → =
1
4
Logo, a função procurada é: = −
cos
4
4
+
1
4
Exemplo 4: Determine a área da região, no primeiro quadrante, delimitada pela curva 
=
1
9− 2
 no intervalo .
A = ∫
0
⁄3 2 1
9− 2
=
3 0
⁄3 2
=
6
99
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
CONCLUSÃO 
Você já sabe que a determinação de primitivas nem sempre é uma tarefa simples, 
principalmente quando envolve muitas combinações de funções. Há meios diferen-
tes para integrar uma função e para cada integral, deve-se identificar qual o melhor 
dos métodos a aplicar. Em alguns casos, é necessário o uso de uma mesma técnica 
mais de uma vez ou, ainda, a utilização de duas técnicas simultaneamente. Nesta 
unidade, você aprendeu mais duas técnicas diferentes: a integração para funções 
trigonométricas e a integração para funções racionais. 
Inicialmente, discutiu-se métodos para integrar funções trigonométricas, que envol-
vem combinações algébricas das seis funções trigonométricas, tendo por fio condu-
tor, as integrais de seno e cosseno. Além disso, foi necessário relembrar algumas iden-
tidades trigonométricas, pois, a partir delas, consegue-se transformar o integrando, 
formado muitas vezes por potências, em funções mais fáceis de trabalhar.
Ainda explorando as funções trigonométricas, foi abordado também o método da 
substituição de variáveis, muito útil quando se tem radicais presentes no integrando. 
Nesse caso, como o próprio nome sugere, troca-se a variável de integração por uma 
função trigonométrica. Como você pôde perceber, essas substituições surgem dos 
triângulos retângulos de referência que identificam, baseadas nas relações trigono-
métricas, as substituições adequadas em cada caso. Por fim, deve-se inverter a subs-
tituição inicial no resultado da integração, voltando-se à variável original.
Na sequência, apresentou-se também a integração de funções racionais, que são 
aquelas que envolvem quociente de polinômios. No primeiro momento, discutiu-
-se funções com denominadores que contenham trinômios do segundo grau, que 
podem ser resolvidos por complementação de quadrado, técnica oriunda do ensino 
fundamental. Em seguida, descreveu-se o método de frações parciais, que consiste 
em escrever uma função racional como uma soma de frações. A decomposição de 
uma função racional depende do modo como o denominador se decompõe nos 
fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Explorou-se as diversas situações nos 
exemplos, para que você compreendesse os vários casos possíveis. 
100
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 5
> Explicar o conceito das 
integrais impróprias e 
suas aplicações.
> Descrever relações 
entre o cálculo de 
integrais e outras áreas 
do conhecimento.
101
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
5 FUNÇÕES IMPRÓPRIAS
Segundo a definição de integral definida, construída com base na soma de Riemann, 
toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo. Nesta unida-
de, o conceitode integral definida será ampliado, com o objetivo de incluir intervalos 
de integração infinitos e integrandos que se tornam infinitos no intervalo dado, com 
assíntotas verticais dentro do intervalo de integração. Essas integrais são denomina-
das integrais impróprias e podem ser classificadas em convergente ou divergente, de 
acordo com o valor obtido no limite da integral. 
Elas são de grande utilidade em diversos ramos da matemática, como no estudo das 
probabilidades, em estatística, no cálculo do comprimento de uma circunferência 
ou de áreas e volumes de determinadas funções, na economia, entre outras. Essas 
aplicações são apresentadas no último tópico desta unidade. Além disso, você perce-
berá, por meio dos exemplos apresentados ao longo desta unidade, que, para resol-
ver algumas integrais impróprias, será necessária a utilização de algumas técnicas de 
integração, como o método da substituição e a integração por partes. 
INTRODUÇÃO
No cálculo, algumas situações requerem a extensão do conceito de integral definida, 
pois uma função contínua num intervalo aberto pode ter limites infinitos em um ou 
nos dois extremos do intervalo. Como exemplo, pode-se citar o problema de deter-
minar a área sob o gráfico de uma função f positiva e contínua no intervalo finito [a,b), 
porém com uma assíntota vertical em x=b. Nessas situações, a fim de se estudar o 
comportamento diferente de uma integral definida, na qual um ou ambos os limi-
tes de integração tendem ao infinito, surgem as integrais impróprias, tema que será 
discutido nesta unidade. 
As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites à teoria 
de integrais. Você verá que elas podem ser definidas sobre intervalos não limitados 
como o limite de integrais sobre intervalos limitados e como o limite de integrais de 
funções contínuas, no caso de o integrando apresentar descontinuidades infinitas no 
102
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
intervalo de integração. Essas definições serão formalizadas ao longo das discussões 
e exemplos desta unidade.
5.1 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Pela definição de integral definida, uma função contínua num intervalo fechado é 
integrável nesse intervalo, ou seja, quando escreve-se f x dx� ��a
b
 , então admite-se 
que o limite de integração são números finitos e que o integrando é uma função 
contínua no intervalo limitado a ≤ x ≤ b. Em outras palavras, a função f (x) é definida 
em todos os pontos do intervalo [a,b] e não apresenta descontinuidades infinitas 
nesse intervalo. O Teorema Fundamental do Cálculo garante isso. Graficamente, sua 
representação é a área sob a curva, conforme mostra o gráfico a seguir.
GRÁFICO 9 - ÁREA SOB UMA CURVA QUALQUER
f(x)
a b x
y
Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, esse conceito de integral definida será estendido para os casos em que o inter-
valo de integração é infinito e, também, para alguns casos em que a função f(x) apre-
senta descontinuidades infinitas em [a,b]. As integrais dessas funções são chamadas 
integrais impróprias. Assim, a ampliação desse conceito permite que funções com 
assíntota vertical dentro do intervalo de integração sejam integradas. Essas assíntotas 
são denominadas descontinuidades infinitas.
103
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Aprofunde seu estudo pesquisando no livro “Cálculo”, volume 1, de Jon 
Rogawski, Jon, na página 41, na qual encontrará informações sobre limites e 
assíntotas verticais e horizontais. Vai ser bem útil para você!
Existem dois tipos de funções impróprias:
• Integrais impróprias com intervalos de integração infinitos:
In xx
x
e dx dx
x21
0
2
1
��
�� ��
��
� � � �
 
• Integrais impróprias com descontinuidades infinitas nos intervalos de inte-
gração:
dx
x
dx
x
23
3
0 2
9� ��
��
� � � �
 tg x dx
�
104
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Dados números reais a 0.
Exemplo 2: 
1 1 1
2
1
2
1
31 31 2
1x
dx
x
dx
xb b b
� � ��
��
�
��
� �
���
��
��� ���� �lim lim lim
b
b
22
1
2
2b
�
�
�
�
�
� �
Nesse caso, a integral imprópria também converge.
Exemplo 3: 
1 1
1 1 1x
dx
x
dx Inx Inb
b
b
b
b
b
� � � � � � ��
���
��
��� ���� �lim lim lim
Nesse caso, a integral imprópria também diverge e, portanto, não tem valor 
algum. Considera-sea área como sendo infinita.
Exemplo 4: 
1
1
1
1
1
1
2 20
0
�
�
�
�
�
��
����
��
��� x
dx
x
dx
x
dx
108
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Agora, deve-se calcular cada integral imprópria do lado direito da equação.
1
1
1
1 2
1
1
2
0
2
0 0
2
�
�
�
� � � �
�
����� ���� �x x
x
a
dx dx arc tg x
d
a a a
lim lim
�
xx dx arc tg x b
�
�
� � � �
��
��� ���� �0 20 0
1
1 2
lim lim
a
b
ax
�
Assim, 
1
1 2 2
20 �
� � �
��
� x
dx
� �
�
Portanto, a integral converge.
Exemplo 5: Para quais valores de p a integral 
dx
x p�
�
� converge?
No exemplo 3, p = 1 e, portanto, obteve-se uma integral divergente. Sendo 
assim, agora supõe-se p ≠ 1. Nesse caso, tem-se que:
dx
x
x
p b b b1
1
1
1
1
1
1 1
�
��
�
��
� �
��
� �
� �� �
�
�
�
�
�
�
� �lim lim limx dx
p
bb p b p
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
���
� �
p
b
p p
b 1 p
1
1
1
1
lim
b
Se p > 1, então o expoente 1 - p é negativo e b(1-p) → 0 quando b→∞; se p 1 e diverge em caso contrário. 
A seguir, serão discutidas integrais impróprias cujos integrandos têm 
descontinuidades infinitas.
5.3 INTERVALOS DESCONTÍNUOS
Esse tipo de integral imprópria surge quando o integrando tem uma assíntota verti-
cal, ou seja, uma descontinuidade infinita, em um limite de integração ou em algum 
ponto entre os limites de integração. 
109
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Definição: integrais de funções que se tornam infinitas em um ponto dentro do inter-
valo de integração são definidas por: 
1. Se f(x) é contínua em (a,b] e descontínua em a, então:
f x dx lim f x dx
c
b
� � � � �� �� �a
b
c a
2. Se f(x) é contínua em [a,b) e descontínua em b, então:
f x dx lim f x dx
a
b
a
c
� � � � �� �� �
c b
3. Se f(x) é descontínua em c, onde a Ampliar a extensão de 
cálculo de uma variável 
para várias variáveis.
> Definir o conceito 
de função de duas 
e três variáveis e sua 
relação com modelos 
matemáticos.
> Calcular derivadas 
parciais de primeira e 
segunda ordem.
> Descrever as aplicações 
das derivadas parciais 
para funções de duas e 
três variáveis.
UNIDADE 6
115
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
6 FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS
Nesta unidade,você entenderá o conceito de função de uma variável para o caso 
de funções de várias variáveis. A ampliação desse estudo se deve ao fato de diversas 
situações práticas que exemplificam a utilização dessas funções em diferentes áreas 
do conhecimento. Para isso, inicia-se definindo as funções de duas e três variáveis, 
que constituem nosso objeto de estudo. Em seguida, serão apresentadas as deriva-
das parciais, de primeira e segunda ordem, que são calculadas aplicando as mesmas 
regras para a derivação de funções de uma variável. A ideia central aqui é derivar consi-
derando apenas uma variável, enquanto todas as outras são mantidas fixas. Pode-se, 
nesse caso, considerar a taxa de variação com relação a cada uma das variáveis inde-
pendentes. Em seguida, será apresentada a você a regra da cadeia para funções de 
várias variáveis, utilizada para calcular a derivada de uma função composta. Por fim, 
serão abordados alguns exemplos de aplicações das funções de várias variáveis, que 
descrevem e relacionam essas variáveis entre si. Para se ter uma ideia, as aplicações 
das derivadas parciais são mais variadas do que para o cálculo de uma variável.
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Uma função é uma relação de dependência entre dois conjuntos (ou grandezas), 
representada por uma lei de formação, que associa os valores desses conjuntos. Até 
aqui, você estudou apenas as funções de uma variável real independente, do tipo 
y=f(x). Porém, grande parte dos fenômenos que ocorrem na natureza está relaciona-
da com a influência mútua de duas ou mais variáveis. O volume de uma jarra cilíndri-
ca, por exemplo, depende do raio e da altura. Pode-se modelar a função que permite 
calcular o volume dessa jarra por: V(r,h) = πr2 h. Assim, o volume V é função do raio 
r e da altura h. Portanto, esse é um exemplo de função de duas variáveis. A pressão 
de estado de um gás ideal depende do volume, da temperatura e da massa gasosa. 
Constitui, então um exemplo de função de três variáveis. Assim, através das funções 
de várias variáveis pode-se modelar uma grande quantidade de fenômenos dos 
mais diversos ramos da Ciência. Como você verá ao longo da unidade, o estudo das 
116
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
funções de três variáveis difere muito pouco do estudo de funções de duas variáveis. 
Verá também que essas funções podem ter mais de uma taxa de variação (derivada) 
e como determiná-las. 
6.1 FUNÇÕES DE DUAS E TRÊS VARIÁVEIS 
Ao abastecer um veículo o valor a ser pago depende da quantidade de litros colo-
cados no tanque. Observa-se, portanto, que o preço a ser pago está em função da 
quantidade de litros, pois depende da quantidade de combustível abastecido. Assim, 
pode-se estabelecer uma relação entre a quantidade de litros de combustível e o 
valor pago:
f(x) = preço a pagar (varia de acordo com a quantidade de litros abastecidos)
x= quantidade de litros (variável)
y= preço do litro (valor pré-fixado)
A relação descrita acima é um exemplo de função de uma variável independente. 
Porém, em diversas situações cotidianas, o valor de uma grandeza está relacionado 
com a influência mútua de duas ou mais grandezas. O volume de água em um reser-
vatório, por exemplo, depende das chuvas e da água consumida pelos habitantes. 
Em relações como essa, utilizam-se funções com mais de uma variável, pois uma 
grandeza depende dos valores de duas ou mais variáveis independentes. 
Definição: seja A seja um conjunto do espaço n-dimensional (A ⊆ Rn ), isto é, os 
elementos de A são n-uplas ordenadas de (x1, x2,…, xn) de números reais. Se a cada 
ponto P do conjunto A associa-se um único elemento z ϵ R, tem-se uma função f:a ⊆ 
Rn → R. Essa função é denominada de função de n-variáveis reais. Denota-se por:
z = f(P) ou z = f(x1, x2,…,xn)
O conjunto A é o domínio da função z=f(P). O conjunto de valores de z assumidos por 
f é a imagem da função. O símbolo z é a variável dependente de f e diz-se que f é uma 
função de n variáveis independentes x1 a xn. 
117
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Função de duas variáveis: uma função real f de duas variáveis é uma relação que a 
cada par ordenado de números reais (x,y) associa um único número real f(x,y). 
z = f(x,y) =3x-2y 
2 variáveis
A notação “z = f(x,y)” significa que z é dado como uma função de x e y para todos os 
pontos de um domínio A do plano xy. As variáveis x e y são chamadas variáveis inde-
pendentes, enquanto z é a variável dependente. 
Função de três variáveis: uma função real f de três variáveis é uma relação que, a cada 
terna ordenada de números reais (x, y, z), associa um único número real f(x, y, z). 
f(x, y, z) = 3x – 2y + z
3 variáveis
Exemplo 1: dada a função f(x,y) = x3 + 2y – 4xy + 1, determine f(–1,2).
f(–1,2) = (–1)3 + 2.2 – 4.(–1).2+1=1+4+8+1=14
Exemplo 2: dada a função f(x, y, z) = x4 z + 2y3 – z2 – 4yz + z + 5, determine 
f(1, 0, –2).
f(1, 0, –2) = (1)4 (–2) + 2(0)3 - (–2)2 – 4(0)(–2) + (–2) + 5 = –3
Exemplo 3: encontre uma função de várias variáveis que nos permita deter-
minar o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
V(x, y, z) = x. y. z
118
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
6.1.1 DOMÍNIO
Você já sabe que o domínio de uma função de uma variável, f:R → R, é um conjun-
to formado por todos os valores reais de x para os quais um valor da função y=f(x) 
pode ser calculado. De forma análoga, o domínio de uma função de duas variáveis, 
f:R → R, é formado por todos os pontos (x, y) pertencentes ao plano R2, para os quais 
um valor da função z = f(x, y) pode ser calculado. O mesmo raciocínio vale para funções 
de três variáveis.
Aprofunde seu estudo pesquisando na internet domínio de funções reais. 
Vai ser bem útil para você!
Determinar o domínio das seguintes funções:
a) f(x, y) = 3x –1
Como essa função não apresenta nenhuma restrição, logo, D = R2.
b) f x y y x( , ) ( )� �
A condição de existência dessa função é y – x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é 
D = {(x,y) ϵ R2/ y – x ≥ 0}.
c) f x y
x
x y
( , )�
�
2
2
119
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D ϵ (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que D = {(x, y) ϵ R2 / y ≠ 2x}.
d) f x y
x y
x y
( , )�
�
�
3
2
2 2
x2 + y2 ≠ 0. Logo, como x2 ≥ 0 e y2 ≥ 0, então, D = f(x, y) ϵ R2 – {(0, 0)}.
e) f(x,y,z)= 16
2 2 2− − −x y z
D = f(x, y, z) ϵ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 16.
As funções de uma variável podem ser representadas graficamente como 
curvas desenhadas em um sistema de coordenadas bidimensional. Funções 
de duas variáveis independentes podem ser representadas por superfícies 
num sistema tridimensional de coordenadas. Não existem, porém, modos 
análogos para visualizar funções com mais de duas variáveis independen-
tes. O gráfico de funções de três variáveis, por exemplo, estaria em quatro 
dimensões, o que não é possível em nosso sistema tridimensional. Veja, a 
seguir, alguns exemplos de gráficos de funções com duas variáveis.
120
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X, Y) = X= + Y2 
Z
A superfície é um paraboloide 
de revolução.
X
Y
Fonte: Elaborada pelas autoras.
0 GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X, Y) = 1 – X2 – Y2 
Z
Y
X
A superfície é uma semiesfera 
com centro na origem.
Fonte: Elaborada pelas autoras.
No próximo tópico, serão apresentadas as derivadas parciais, geradas a partir de 
funções com várias variáveis, que permitem calcular a taxa de variação (derivada) de 
problemas do nosso cotidiano. 
121
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
6.2 DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA E 
SEGUNDA ORDEM
Você já sabe que a derivada de uma função mede sua taxa de variação. Assim, se 
y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f x
f x x f x
xx
'( ) lim
( ) ( )
�
� �
��
�
�0
 pode 
ser interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função decli-
vidade da reta tangente ao gráfico de f. 
De forma análoga, se z = f(x, y) é uma função de duas variáveis, pode-se falar em duas 
derivadas. A ideia a ser usada para funções de duas ou mais variáveis é derivarapenas 
uma variável e manter todas as outras fixas. Assim, deriva-se apenas uma variável por 
vez, encarando todas as outras como constantes. Esse procedimento, fornece uma 
derivada para cada uma das variáveis independentes, chamada de derivada parcial. 
As regras utilizadas para encontrar as derivadas parciais são as mesmas empregadas 
no estudo das derivadas de funções com uma variável independente.
Definição: a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) é definida como 
sendo o valor do limite
fx x y
f
x
x y
f x x y f x y
xx
( , ) ( , ) lim
( , ) ( , )
�
�
�
�
� �
��
�
�0
se o limite existir.
A definição da derivada parcial de f com relação a y em um ponto (x,y) é semelhante 
à definição da derivada parcial em relação a x. Nesse caso, mantém-se x fixo e deri-
va-se y.
fy x y
f
y
x y
f x y y f x y
yy
( , ) ( , ) lim
( , ) ( , )
�
�
�
�
� �
��
�
�0
desde que o limite exista.
De modo equivalente são definidas as derivadas parciais de três variáveis indepen-
dentes.
122
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
As notações comumente utilizadas para representar as derivadas parciais 
de 1ª ordem são:
A derivada 
df
dx
x y( , ) também é representada por: 
f x y
f
x
x y D f x y ou D f x y
x x
( , ); ( , ); ( , ) ( , )
∂
∂ 1 .
A derivada df
dy
x y( , ) também é representada por: 
f x y
f
y
x y D f x y ou D f x y
y y
( , ); ( , ); ( , ) ( , )
∂
∂ 1 .
O símbolo ∂ na notação ∂
∂
f
x
 é utilizado para enfatizar que há outras variáveis 
independentes e não apenas x.
As definições ∂
∂
∂
∂
f
x
e
f
y
 fornecem duas maneiras diferentes de derivar a função em 
um ponto. Geralmente, os valores dessas derivadas também são diferentes. Veja os 
exemplos:
Exemplo 1: determine a derivada parcial de f(x,y) = x2 + y – x em relação a x e a y.
�
�
�
�
�
�
f
x
x e
f
y
2 1 1
Exemplo 2: determine as derivadas parciais de f(x, y) = 5xy – 6y2 – 3y + 14.
�
�
�
�
�
� � �
f
x
y e
f
y
x y5 5 12 3
Exemplo 3: encontre os valores de fx e fy no ponto (–2, 4), sabendo que f(x, y) = 
x3 + 2xy2 – y + 5.
123
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
fx = 3x2 + 2y2 → fx (–2, 4) = 3 (–2)2 +2.42 =12 + 32 = 44
fy = 4xy – 1 → fy (–2, 4) = 4(–2) . 4–1 = –32 –1= –33
Exemplo 4: seja f(x, y) = (x2 + y2).ln x, determine ∂
∂
∂
∂
f
x
e
f
y
.
Nesse caso, tem-se que usar a regra do produto para determinar essa derivada.
�
�
� � �
f
x
x In x x y
x
( ). ( ).2
12 2
�
�
� � � �
f
y
y In x x y y In x( ). ( ).2 0 2
2 2
Exemplo 5: dada a função z = sen (2x + y), encontre ∂
∂
z
y
.
�
�
� � � �
z
y
x y x ycos( ). cos( )2 1 2
Exemplo 6: determine as derivadas parciais de f(x, y, z) = 4x3 z – 3x2 yz2 – 4xy2 z3 – 6y3 
z4 – y + 9.
�
�
� � �
f
x
x z xyz y z12 6 4
2 2 2 3
�
�
� � � � �
f
y
x z xyz y z3 8 18 1
2 2 3 2 4
�
�
�� � � �
f
z
x x yz xy z y z4 6 12 24
3 2 2 2 3 3
Quando se deriva uma função f(x, y) duas vezes, encontram-se suas derivadas de 
segunda ordem. As derivadas parciais das derivadas de segunda ordem, se existi-
rem, constituirão as derivadas parciais de terceira ordem; e assim sucessivamente. 
Essas derivadas são, geralmente, denotadas por:
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
f
x
ou f
f
y
ou f
xx yy
�
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
2 2
f
x y
ou f e
f
y x
ou f
yx xy
124
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A notação fxy ou ∂
∂ ∂
2
f
x y
 significa que primeiro se deriva em relação a x e, depois em 
relação a y, ao passo que no cálculo de fyx a ordem é invertida. 
Exemplo 7: determine as derivadas parciais de f(x,y) = x3 + x2 y3 – 2y2.
fx = 3x2 + 2xy3
fxx = 6x + 2y3
fyx = 6xy2
fy = 3x2 y2 – 4y 
fyy = 6x2 y – 4 
fxy = 6xy2 
Observe que as derivadas parciais mistas fyx e fxy são iguais. Isso não é coincidência. 
Se f(x, y) e suas derivadas parciais fx, fy, fxy e fyx forem contínuas, então, fyx = fxy.
Exemplo 8: se f(x, y) = x3 y + x2 y4, determine suas derivadas parciais de segunda 
ordem. 
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
x
f
x
xy y
f
y x
x xy
x y xy3 2
6 2
3 8
2 4
2
2
4
2
2 3
�
�
� � �
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
y
x x y
f
y
x y
f
x
x xy
3 2 3
2
2
2
2
2 3
4
12 2
3 8
Exemplo 9: se f(x, y) = x cos y + yex, encontre as derivadas de segunda ordem.
125
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
�
�
� � �
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
y
x x y
f
y
x y
f
x
x xy
3 2 3
2
2
2
2
2 3
4
12 2
3 8
�
�
� � �
�
�
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
x
y ye
f
ye
f
y x
sen y e
x
x
x
cos
2
2
2
Se as funções envolvidas são fáceis de decompor, pode-se derivar diretamente, 
mas frequentemente se tem que trabalhar com funções cujas expressões são mais 
complicadas para obter sua derivada. 
Aprofunde seu estudo pesquisando na internet sobre a regra da cadeia para 
funções de uma variável. Vai ser bem útil para você!
Nesses casos, deve-se utilizar a regra da cadeia, assunto que será abordado a seguir.
6.3 REGRA DA CADEIA
Outra regra que é aplicável tanto no estudo de funções de uma variável como em 
funções de várias variáveis é a regra da cadeia, usada para calcular a derivada de 
uma função composta. Neste último caso, ela vai depender da quantidade de variá-
veis envolvidas.
126
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A regra da cadeia para uma função derivável w = f(x, y), quando tanto x = x(t) quanto 
y = y(t) são funções deriváveis de t, é dada no teorema abaixo, aplicável para funções 
de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.
Teorema 1: se w = f(x, y) é diferenciável e se x = x(t), y = y(t) forem funções deriváveis de 
t, então, a composta w = f(x (t),y (t)) será uma função derivável de t e
dw
dt
f x t y t x t f x t y t y t
x t
� �( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )
ou
dw
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
�
�
�
�
�
�
A regra da cadeia para funções de três variáveis intermediárias envolve somente a 
adição do terceiro termo esperado à fórmula de duas variáveis. Veja o teorema:
Teorema 2: se w = f(x, y, z) for diferenciável e x, y, e z forem funções diferenciáveis de t, 
então, w será uma função diferençável de t e 
dw
dt
w
x
dx
dt
w
y
dx
dt
dw
z
dz
dt
�
�
�
�
�
�
�
�
Exemplo 1: encontre dw
dt
, com w(t) = f(x(t), y(t)), se f(x, y) = x2 y + ln x y2, x(t) = t2, y(t) = t.
Usando a regra da cadeia, tem-se que:
dw
dt
f
x
dx
dt
dy
dt
�
�
�
�
dw
dt
xy
y
xy
t x
xy
xy
t t
t
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
2 2
2
1 2
1
2
2
2
2
2
2
� � � ���
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � ��2 2
5 4
44
t t
t
t
t
Exemplo 2: encontre dw
dt
 se w = xy + z, x = cos t, y = sen t, z = t.
dw
dt
w
x
dx
dt
w
y
dy
dt
w
z
dz
dt
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
� � � �
�
( )( ) ( )(cos ) ( )( )
( )( ) (cos )(cos )
y sen t x t
sen t sen t t t
1 1
1
�� � � � �sen t t t
2 2
1 1 2cos cos
Veja agora algumas situações práticas que exemplificam a utilização das funções de 
várias variáveis nas mais diversas áreas do conhecimento.
127
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
6.4 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS
Na introdução da unidade, você viu que muitas grandezas dependem de mais de 
uma variável, por isso foi necessário ampliar as ideias básicas do cálculo de uma variá-
vel a funções de várias variáveis. É muito importante tentar descrever quantitativa-
mente a forma pela qual essas grandezas se relacionam, bem como seu valor numé-
rico, pois aparecem naturalmente em vários problemas práticos.
Nas funções com duas variáveis, as derivadas parciais podem ser usadas para repre-
sentar a taxa de variação de uma função f(x, y), podendo, por exemplo, ser aplicada na 
determinação de um plano e das retas tangentes em um gráfico.
Além dessa, pode-se encontrar aplicações na Estatística, Física, Química, dentre 
outras ciências. Veja alguns exemplos.
Exemplo 1: no ponto (x, y) de uma chapa plana, a temperatura é dada por:
T x y e
x y
( , ) .�
�
20
2
4
50 com “x” e “y” em centímetros e “T” em °C.
a) Calcule a temperatura no ponto P = (3, 4).
T e C
p
� �
�
20 32 97
3 4 4
50
2 .
, º
b) Calculea taxa de variação de T em f na direção do eixo x.
�
�
�
�T
x
e
x y
x20
4
50
1
50
2
2
� � �
Como T e
x y
�
�
20
2
4
50� , logo, em x:
�
�
� �
T
x
T x Tx. . ,
1
50
2 0 04
�
�
� � �
T
x
P Tx C cm( ) , , .( ).( , ) , º /0 04 0 04 3 32 97 3 96
Exemplo 2: um determinado empresário vende certa quantidade (x) de um produ-
to no varejo por R$ 30,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo produto, por 
R$ 25,00 a unidade no atacado. Determine: 
128
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
a) A função receita
Para determinar a receita total (RT), deve-se multiplicar o preço do produto (P) pela 
quantidade vendida (Q). Assim, tem-se:
RT = P .Q → R(x, y) = 30x + 25y
A receita do empresário quando a quantidade vendida no varejo alcançar 75 unida-
des, e no atacado, 2.400 unidades.
R(75,2400) = 30(75) + 25(2400) = 62.250 reais
Exemplo 3: pretende-se construir uma piscina com as seguintes dimensões: x metros 
de comprimento, y metros de largura e z metros de altura, conforme figura abaixo.
DIMENSÕES DA PISCINA
x
y
z
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Encontre:
a) Uma função que possibilite determinar o volume dessa piscina.
V(x, y, z) = x . y . z
b) O volume quando as medidas desejadas sejam de 10 metros de comprimento, 5,5 
cm de largura e 1,5 metros de altura.
V(10; 5,5; 1,5) = 10 . 5,5 . 1,5 = 82,5 m3 = 82.500 litros
c) Uma função que possibilite determinar área dessa piscina.
A(x, y, z) = x. y + 2xz + 2yz
129
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
d) A área dessa piscina com as medidas fornecidas no item b.
A(10; 5,5; 1,5) = 10 . 5,5 + 2.10.1,5 + 2.5, 5.1,5 = 101,5 m2
Exemplo 4: o volume de um cone circular pode ser determinado por V h
d h� �
��2 2 2
24
4 , 
onde h é o comprimento da geratriz, e d é o diâmetro da base. Encontre a taxa de 
variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante e h = 16 
cm, enquanto a geratriz d varia. Encontre essa taxa de variação no instante em que 
d = 10 cm. 
�
�
� � �
�
�V
d
h
d h d
h d
d h
1
2 24
4 8
6 4
2
2 2 1 2
2
2 2
.
.
.( ) .
. ./� �
Para h = 16 cm e d = 10 cm, tem-se que:
�
�
�
�
�
V
d
cm por cm
�.( ) .
( ) ( )
,
16 10
6 4 10 16
111 70
2
2 2
3
Exemplo 5: seja a função de produção P(x, y) = 2x3.y2, em que P é a quantidade colhi-
da de um produto (em toneladas), x é o número de homens-hora empregados (em 
milhares) e y é o número de hectares plantados, determine:
a) A produtividade marginal �
�
�
�
�
�
�
�
P
x
.
�
�
�
P
x
x y6
2 2
b) A produtividade marginal para ∂
∂
P
x
( , )2 5 .
�
�
� �
P
x
toneladas6 2 5 600
2 2.( ) .( )
Exemplo 6: encontre a inclinação da reta tangente à curva de intercessão das super-
fícies z x y� � �32 2
3 2 com o plano y = 2, no ponto (1, 2, 3).
�
�
� � � � �
�
� �
� ��z
x
x y x
x
x y
1
2
32 2 6
3
32 2
21
7
3 2 1 2 2
2
3 2
.( ) .( )/
130
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
BIBLIOGRAFIA COMENTADA
Veja, a seguir, algumas indicações de obras que complementarão seu conhecimento 
sobre os assuntos abordados na disciplina.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Grupo GEN, 2001.
Essa obra, de autor brasileiro, apresenta o conteúdo de forma bastante rigorosa e 
conteudista, priorizando uma abordagem técnica, sem aplicações práticas relevantes. 
É uma obra completa, na qual o autor faz uma revisão pré-cálculo nos dois primeiros 
capítulos, trazendo um apanhado dos números reais e das funções. No restante da 
obra, são abordados limite, derivada e integral de funções de uma variável real. Há 
uma quantidade considerável de exemplos e exercícios. Esses últimos são apresenta-
dos em ordem crescente de dificuldade. 
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2018.
Essa obra dá ênfase aos conceitos com uma linguagem menos formal, mais próxima 
do estudante. Os assuntos abordados são enriquecidos por variadas figuras (gráficos), 
ilustrando e exemplificando os assuntos. Apresenta exemplos e exercícios variados, 
muitos deles voltados à aplicabilidade do conteúdo, além de alguns desafios. Incen-
tiva também o uso de calculadoras gráficas e sistemas algébricos computacionais 
em exercícios que procuram instigar e despertar o interesse do estudante. O autor faz 
uso de lembretes ao longo de todo o livro, que estabelecem relações com conceitos 
anteriores. A obra oferece ainda notas históricas, possibilitando uma contextualiza-
ção histórica em cada passagem. O capítulo 1 faz uma revisão pré-cálculo, para, em 
seguida, introduzir os conteúdos de limites, derivada e integral. 
CONCLUSÃO 
Formalmente, pode-se definir uma função como uma associação a qual, para cada 
elemento x em um conjunto A, faz corresponder exatamente um elemento chamado 
f(x), em um conjunto B. Em geral, chama-se x de variável independente e y de variável 
dependente. 
131
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Porém, suas aplicações vão muito além dessa definição formal. Por isso, função é um 
dos conceitos mais importantes da Matemática. Sempre há o interesse em saber 
como certas grandezas (ou variáveis) se relacionam entre si. Conhecer, por exemplo, a 
taxa de rejeitos que cairão em um rio após o rompimento de uma barragem depen-
de da distância da barragem e do tempo desde o rompimento. Isso pode ser crucial 
para salvar vidas. Ou, ainda, determinar o tempo certo de colheita de uma plantação, 
que depende da quantidade de chuva e da quantidade de fertilizantes usada, pode 
proporcionar maior lucro para o agricultor. Esses são alguns exemplos que envolvem 
funções. 
Nesta unidade, o conceito de função foi ampliado para funções de mais de uma 
variável independente pois, conforme os exemplos citados anteriormente, muitas 
delas dependem de mais do que uma variável para ser definida. 
Assim, uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma 
quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única. Você apren-
deu que, através delas, pode-se modelar uma grande quantidade de fenômenos dos 
mais diversos ramos do conhecimento.
Outro ponto importante discutido foi em relação ao conceito de derivada, que aqui 
também foi estendido para funções com mais de uma variável. Essas funções possuem 
mais de uma derivada, denominadas derivadas parciais. Você estudou como calcu-
lá-las, partindo da ideia que, a derivada parcial de uma função de várias variáveis é a 
sua derivada com respeito a uma dessas variáveis, quando as demais são mantidas 
constantes. Com o auxílio das derivadas, pode-se obter mais informações sobre o 
comportamento das funções. Além disso, foram apresentados vários exemplos de 
aplicação dessas funções.
132
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
REFERÊNCIAS 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v. 1. Porto Alegre: Grupo A, 2014.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado,prático 
e descomplicado. São Paulo: Grupo GEN, 2012.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. v. 1. São Paulo: Grupo GEN, 2001.
HOFFMANN, Laurence D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. São Paulo: 
Grupo GEN, 2015.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. v. 1. Porto Alegre: Grupo A, 2009.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2018.
SILVA, Paulo Sergio Dias da. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Grupo GEN, 2017.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v. 1. Grupo A. 2014.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de; Cálculo - ilustrado, práti-
co e descomplicado. Grupo GEN; 2012.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. v. 1. Grupo GEN, 2001.
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. et al; Cálculo - um curso moderno e suas 
aplicações. Grupo GEN, 2015.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. v. 1. Grupo A, 2018.
______. ______. v. 2. Grupo A, 2018.
SILVA, Paulo Sérgio Dias da. Cálculo diferencial e integral. Grupo GEN, 2017.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. Porto Alegre: Grupo A, 2014. vol. 1.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático 
e descomplicado.São Paulo: Grupo GEN, 2012.
133
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. São Paulo: Grupo GEN, 2001. vol. 1.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. et al. Cálculo: um curso moderno e suas 
aplicações. São Paulo: Grupo GEN, 2015.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Grupo A, 2009. vol. 2.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Grupo A, 2018. vol. 1.
SILVA, Isaac Nobre Lima. A Trombeta de Gabriel. 2016. 85 f. Dissertação (Mestrado profis-
sional em Matemática em rede nacional) – Centro de Ciências, departamento de Mate-
mática, Universidade Federal do Ceará. Fortaleza, 2016. Disponível em: . Acesso em: 27 jul. 2019.
SILVA, Paulo Sergio Dias da. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Grupo GEN, 2017.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2014.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: Ilustrado, Prático 
e Descomplicado. Grupo GEN, 2012.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Grupo GEN, 2001.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. et al. Cálculo: um curso moderno e suas 
aplicações. Grupo GEN, 2015.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2018.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Vol. 2. Grupo A, 2009.
SILVA, Paulo Sergio Dias da. Cálculo Diferencial e Integral. Grupo GEN, 2017.
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/21175/1/2016_dis_inlsilva.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/21175/1/2016_dis_inlsilva.pdf
134
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
EAD.MULTIVIX.EDU.BR
CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓS-GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE:
SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
	FIGURA 1 - Gráfico da família de funções de f(x) = x2 + c
	FIGURA 2 - Área de uma região curva qualquer no intervalo [A,B]
	FIGURA 3 - Aproximação da área por retângulos
	FIGURA 4 - Aproximação da área por número maior de retângulos
	FIGURA 5 - Sólido formado a partir da rotaçãoda curva y = √x em torno do eixo x
	FIGURA 6 - Sólido gerado
	FIGURA 7 - Representação do triângulo retângulo na forma 
	FIGURA 8 - Representação do triângulo retângulo na forma 
	FIGURA 9 - Representação do triângulo retângulo na forma 
	FIGURA 10 - Representação no triângulo retângulo 
	FIGURA 11 - Representação no triângulo retângulo
	FIGURA 12 - Representação no triângulo retângulo 
	FIGURA 13 - Trombeta de Gabriel
	Gráfico da função f(x, y) = x= + y2 
	0 Gráfico da função f(x, y) = 1 – x2 – y2 
	Dimensões da piscina
	GRÁFICO 1 - Gráfico da função y = x2 
	GRÁFICO 2 - Gráfico da função y = 4 - x2 
	GRÁFICO 3 - Gráfico da função y = x2 – 5x 
	GRÁFICO 4 - Gráfico da função y = sen x 
	GRÁFICO 5 - Gráfico da região limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x + 1
	GRÁFICO 6 - Gráfico da região limitada pelas curvas y = (x – 1)3 e y = x – 1
	GRÁFICO 7 - Gráfico da função y = √x
	GRÁFICO 8 - Gráfico da curva y=ex 
	GRÁFICO 9 - Área sob uma curva qualquer
	GRÁFICO 10 - Área da região formada pela curva  
	GRÁFICO 11 - Área da região formada pela curva  , no intervalo [1,2]
	1 Integral Indefinida
	Introdução da Unidade
	1.1 Primitiva
	1.1.1 Definição
	1.2 Propriedades operatórias da integral indefinida
	1.3 Tabela de integrais imediatas
	1.4 Aplicação de integral indefinida
	1.5 Método da substituição: troca de variável na integral indefinida
	Conclusão
	2 Técnicas de Integração
	Introdução da Unidade
	2.1 Integração por Partes 
	2.2 Exemplos de Integração Utilizando os Métodos de Substituição de Variáveis e Integração por Partes
	2.3 Aplicações de Técnicas de Integração
	Conclusão 
	3 Integral Definida
	Introdução 
	3.1 Introdução ao conceito de integral definida por soma de Riemann
	3.2 Teorema fundamental do cálculo
	3.3 Propriedades da integral definida 
	3.4 Cálculo de áreas entre curvas 
	3.5 Volumes de sólidos de revolução
	3.6 Valor médio de uma função
	3.7 Aplicação de integrais na física
	3.7.1 Distância percorrida
	3.7.2 Trabalho
	3.8 Aplicação de integrais definidas
	Conclusão 
	4 Integração de Funções Trigonométricas
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	4.1 Integrais de Funções Trigonométricas
	4.1.1 Integrais ∫ sen u du e ∫ cos u du 
	4.1.2 Integrais ∫tg u du e ∫cotg u du
	4.1.3 Integrais ∫sec u du e ∫cossec u du
	4.2 Integração de funções que envolvem potências de funções trigonométricas 
	4.2.1 Integrais da forma ∫senn (u) du e ∫cosn (u) du, n � IN
	4.2.2 Integrais da forma ∫senm (u).cosn(u) du, m,n ϵ IN
	4.2.3 Integrais da forma ∫tgn (u)due ∫secn u du, n ϵ N
	4.3 Substituições trigonométricas 
	4.4 Integração de expressões contendo o trinômio de 2º grau
	4.5 Integração de Funções Racionais com Frações Parciais
	4.6 Aplicações 
	CONCLUSÃO 
	5 Funções Impróprias
	Introdução
	5.1 Integrais impróprias
	5.2 Intervalos infinitos
	5.3 Intervalos descontínuos
	5.4 Aplicação de integrais impróprias
	Conclusão
	6 Funções de Várias Variáveis
	Introdução da Unidade
	6.1 Funções de Duas e Três Variáveis 
	6.1.1 Domínio
	6.2 Derivadas Parciais de Primeira e Segunda Ordem
	6.3 Regra da Cadeia
	6.4 Aplicações de Funções de Várias variáveis
	Conclusão 
	REFERÊNCIASPitágoras em Betim, onde ministra as 
disciplinas Matemática Instrumental, Geometria Analítica e Álgebra Linear, Métodos 
Numéricos Aplicados, Probabilidade e Estatística, Cálculo Diferencial e Cálculo Inte-
gral. Nos ensinos médio e fundamental, atua desde 2001 na rede pública estadual 
como professora de Matemática e Física.
Carine Saraiva Diniz
Mestre em Gestão Social, Educação e Desenvolvimento Local pelo Centro Universitário 
de Minas Gerais – UNA. Especialista em Educação Matemática pela Pontifícia Univer-
sidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas) e Licenciada em Matemática pela Ponti-
fícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas). Experiência como Docente 
no ensino superior desde 2013, ministrando as disciplinas de Geometria Analítica e 
Álgebra Linear, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo de Várias Variáveis, Equa-
ções Diferenciais e Matemática Instrumental. Nos ensinos médio e fundamental, atua 
desde 2001 como professora de Matemática, nas redes pública e privada. Atualmen-
te, é Professora Assistente na Faculdade UNA de Betim nos cursos de Engenharia 
e Professora Efetiva de Matemática na Secretaria de Estado de Educação de Minas 
Gerais (SEE-MG).
JUSTIFICATIVA 
Cálculo integral é uma importante ferramenta matemática que possibilita o estudo 
e a modelagem de problemas reais de várias áreas do conhecimento. Além disso, 
auxilia na construção de um importante embasamento de raciocínio lógico e crítico, 
necessário para a estruturação e resolução de situações diversas do cotidiano.
11
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
ENGAJAMENTO 
Imagine que você quer calcular o campo elétrico da parte de baixo de um poste que, 
dependendo do nível, pode trazer complicações para a saúde humana. Como você 
faria isso? Num retângulo ou num triângulo, podemos calcular sua área facilmente, 
certo? Agora, como você faria para calcular a área de uma região curva, formada, por 
exemplo, entre uma parábola e o eixo x? Ou, ainda, como construir uma cobertura 
com contornos curvos de um grande galpão? E qual a área ocupada por essa cober-
tura? Como projetar a aerodinâmica de um avião ou o design de um eletrodoméstico 
para que seja moderno e eficiente ao mesmo tempo? 
Todas essas perguntas podem ser respondidas usando o cálculo de integrais. Uma 
das maiores vantagens de integral, inclusive, é poder trabalhar de forma simples com 
linhas e superfícies curvas. Antes de tudo, é preciso ter em mente que a integral 
representa, na verdade, uma operação inversa da derivação. E é isso que esta discipli-
na pretende: apresentar o que são as integrais e algumas aplicações possíveis. Alguns 
processos apresentam certo grau de complexidade, exigindo disposição e dedicação 
de você, estudante, para um bom entendimento.
APRESENTAÇÃO DA 
DISCIPLINA
Bem-vindo à disciplina Cálculo II!
Nesta disciplina, você estudará conceitos como integrais indefinida e definida, inte-
gração de funções trigonométricas, integrais impróprias e funções de duas e três 
variáveis organizados em 6 (seis) unidades de ensino. A primeira unidade apresenta-
rá uma introdução ao conceito de integral indefinida a partir da definição de primiti-
va, que é fundamental para o entendimento da disciplina como um todo. A segunda 
unidade abordará o método de integração por partes. Na unidade seguinte, a integral 
definida, suas propriedades, interpretação geométrica e aplicações, como o cálculo 
de áreas entre curvas, serão o foco. Na quarta unidade, você verá alguns métodos 
12
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
mais avançados utilizados na resolução de integrais envolvendo funções trigonomé-
tricas e funções racionais. A quinta unidade tratará da integração nas funções impró-
prias e algumas aplicações na física. Por fim, a sexta unidade contemplará as funções 
de duas e três variáveis, que possibilitam modelar uma grande quantidade de fenô-
menos dos mais diversos ramos do conhecimento. 
Esta disciplina é composta por este material didático, bem como pelas aulas inte-
rativas, que apresentam os principais temas a serem estudados. Além destes, conte 
também com fóruns de discussão e atividades elaboradas para que você consiga 
uma melhor compreensão dos conceitos trabalhados. 
Enfim, os conteúdos foram organizados tendo em vista um melhor aproveitamento e 
rendimento. No entanto, para que isso se concretize, é necessário manter uma rotina 
de estudos para que você se dedique aos processos de leitura, participação e realiza-
ção das atividades propostas. Participe ativamente!
Bons estudos!
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Ao final desta disciplina, esperamos que você seja capaz de: 
• Discutir e utilizar os conceitos fundamentais da integração e aplicá-los na reso-
lução de problemas.
• Apontar o conceito de integral e explicar os diversos métodos de integração e 
suas aplicações.
• Aplicar o conceito de integral definida para obter a área entre curvas e o volu-
me de sólidos de revolução.
• Discutir o conceito de função de duas ou mais variáveis e sua relação com 
modelos matemáticos.
• Analisar o conceito de derivadas parciais e suas diferentes aplicações.
13
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Definir o conceito de 
integral e as diversas 
técnicas de integração.
> Aplicar o estudo das 
técnicas de integração 
em fenômenos e 
situações diversos.
UNIDADE 1
14
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
1 INTEGRAL INDEFINIDA
Nesta unidade, você estudará a integral, começando com a noção de primitiva. Em 
seguida, trataremos da definição de integração indefinida, que consiste, essencial-
mente, no processo inverso da derivação. Veremos também as propriedades das inte-
grais indefinidas e a tabela de integrais imediatas, que decorrem de forma direta das 
derivadas elementares. Na sequência, serão apresentadas algumas aplicações das 
integrais indefinidas em diferentes áreas e, por fim, mostrar-se-á o método da subs-
tituição, que consiste na troca de variável na integral indefinida com o objetivo de 
torná-la uma função mais simples de ser resolvida. Em cada caso, serão apresentados 
vários exemplos para que você se familiarize com o conteúdo estudado, proporcio-
nando uma assimilação gradual do conteúdo.
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Derivada e integral são dois conceitos básicos em torno dos quais se desenvolve todo 
o cálculo. Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, 
e a potenciação e a radiciação, a operação inversa da derivação é a antiderivação 
ou integração indefinida. O eixo central desta disciplina é o conceito de integral. 
Nela, estudaremos, basicamente, as definições, propriedades e aplicações das inte-
grais indefinidas. A integral é de fundamental importância em estatística, ciências e 
engenharia. Situações como a determinação da expressão da posição de um corpo 
ao longo do tempo, conhecendo a função horária da velocidade, a expressão da rela-
ção entre duas grandezas, sendo conhecida a taxa de variação de uma em relação à 
outra, a determinação do custo de uma produção, o crescimento de uma população, 
entre outros, são alguns dos exemplos de aplicação da integral.
Você perceberá que o resultado de uma integral indefinida é uma função e que nem 
sempre será possível encontrar essa função utilizando apenas conceitos e proprieda-
des da derivação. Mas não se preocupe: existem técnicas para facilitar essa determi-
nação. Nesta unidade, aprenderemos o método de substituição de variáveis e, como 
você perceberá, esse método transformará integrais complexas em integrais bem 
simples, nas quais o processo de determinação da primitiva será bem mais fácil.
15
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
1.1 PRIMITIVA
Inicialmente, você verá o conceito de primitiva de uma função real e, em seguida, 
aprenderá o conceito de integral indefinida.
Dizemos que uma função F(x) é primitiva de outra função f(x) em um intervalo I se 
esta é a derivada daquela, isto é, F’(x) = f(x).
A função F(x) = x3+2x é primitiva de f(x) = 3x2+2;a função F(x) = senx é primiti-
va da função f(x) = cosx; a função F(x) = x4 é primitiva de f(x)=4x^3.
Observe que a função F(x) = x4 não é a única primitiva da função f(x) = 4x3, tendo 
em vista que, se tomarmos como exemplo a função F1(x) = x4+6 ou a função 
F2(x) = x4 —5, veremos que elas também são primitivas de f(x)=4x3. Assim, 
percebe-se que qualquer função do tipo F(x) = x4+c é uma primitiva de f(x) = 
4x3. 
Portanto, uma mesma função f(x) admite uma infinidade de primitivas, pois 
a derivada de uma constante c é sempre zero. 
Desse modo, o cálculo de primitivas nada mais é do que o inverso do cálculo 
de derivadas. O processo que determina a função original (primitiva) a partir 
de sua derivada denominamos de antiderivação.
Conhecida uma primitiva, podemos determinar o conjunto de todas as 
primitivas de uma função, variando apenas sua parte constante. Esse 
conjunto de primitivas constituído de uma família de curvas que diferem 
apenas pela constante recebe o nome de integral indefinida da função.
16
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Para determinar primitivas, é importante conhecer bem as regras de deriva-
ção e as derivadas de várias funções. Sendo assim, para um melhor entendi-
mento do assunto, pesquise na internet sobre as regras de derivação.
1.1.1 DEFINIÇÃO
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x)+c é chamada integral indefinida da 
função f(x), sendo denotada por:
f(x)dx = f(x)+ c∫
Segundo essa notação, o símbolo ∫ é chamado de sinal de integração; f(x), função 
integrando; e dx, diferencial. Este último aparece no integrando e serve para identi-
ficar a variável de integração. O processo que permite achar a integral indefinida de 
uma função, que é a operação inversa da derivação, é chamado de integração ou 
antiderivação.
17
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2 36 x dx = 2 x + c∫ , pois '( )+ =3 2
2x c 6x
3dx = 3 x+ c∫ 
24tdt = 2t + c∫
A partir da definição, temos que:
• 
'f(x)dx = F(x)+ c F (x) = f(x)↔∫ .
• f(x)dx∫ representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as 
primitivas da função integrando.
A figura abaixo mostra uma família de primitivas da função integrando f(x) = x2+c, 
quando c = 0, c = —1, c = — 4 e c = — 9.
FIGURA 1 - GRÁFICO DA FAMÍLIA DE FUNÇÕES DE F(X) = X2 + C
8
6
4
2
0-4 -2 2
-2
-4
-6
-8
-10
Fonte: Elaborada pelas autoras.
18
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Graficamente, a constante c desloca a representação gráfica da função do conjunto 
de primitivas na direção do eixo y.
1.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL 
INDEFINIDA
As primeiras propriedades de antiderivadas seguem diretamente as regras do fator 
constante, da soma e da diferença de derivadas.
Sejam F(x) e G(x) primitivas de f(x) e g(x), respectivamente, e a um número real, então: 
1) Uma constante pode ser movida para fora do sinal de integração, isto é:
. ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫
2) A antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas, isto é:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
3) A antiderivada de uma diferença é a diferença das antiderivadas, isto é:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
19
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
a) ( )x dx∫ 4
6
 Aplicando P1 ( ) x
x dx x dx c∫ = ∫ = +
5
4 4
6 6 6
5
b) ( )2
x 2x 5 dx+ −∫
 Aplicando P2 e P3 ( )x x dx x dx xdx dx∫ + − = ∫ + ∫ − ∫ =
2
2
2 5 2 5
 Aplicando P1 2
3 2
x dx 2 xdx 5 dx
x x
2 5x c
3 2
+ − =
= + − + =
∫ ∫ ∫
Portanto, ( ) x
x x dx x x c∫ + − = − +
3
2 2
2 5 5
3
c) 
x
dx x dx c c
x x
�� � � � � � � �
�
3
3 22 2
Nesse caso, é necessário aplicar propriedades da potenciação para reescre-
ver a função dada.
 Aplicando P1 
20
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Essas propriedades podem ser facilmente verificadas, derivando-se o resul-
tado para obter o integrando. Para complementar seus estudos em relação 
a este tema, consulte as provas de tais propriedades no volume 1 do livro 
Cálculo, de Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis.
1.3 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
Agora que você já sabe que o processo de integração de uma função é o inverso do 
processo de diferenciação, é possível obter uma tabela de integrais imediatas escri-
ta a partir da função derivada a fim de facilitar o processo de obtenção da função 
primitiva. Esses resultados podem ser facilmente verificados, calculando a derivada 
do segundo membro.
1) du u c∫ = +
2) | |du In u c
u
∫ = +
3) ( )
a
a u
u du c a
a
+
∫ = + ≠ −
+
1
1
1
4) 
u
u aa du c
In a
∫ = +
5) u u
e dx e c∫ = +
6) cossen u u c∫ = − +
7) cos u du sen u c∫ = +
8) sec u du tg u c∫ = +2
21
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
9) cos cotec u du g u c∫ = − +2
10) sec . secu tg u du u c∫ = +
11) cos . cot cosec u u du ec u c∫ = − +
12) 
du
arc sen u c
u
∫ = +
− 2
1
13) 
du
arc tg u c
u
∫ = +
+ 2
1
14) secdu
arc u c
u u
∫ = +
−2
1
15) coshsenh u du u c∫ = +
16) cosh u du senh u c∫ = +
17) sech u du tgh u c∫ = +2
18) cos cotech u du gh u c∫ = − +2
19) sec . sech u tgh u du h u c∫ = − +
20) cos . cot cosech u gh u du ech u c∫ = − +
21) | |du arc senh u c In u u c
u
∫ = + = + + +
+
2
2
1
1
22) 
2
2
du arc cosh u + c = In|u + u 1| c
u 1
= − +
−
∫
22
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
23) 
du uarc tgh u c In c
uu
+ ∫ = + = + − −2
1 1
2 11
24) sec | |du
arc h u c
u u
∫ = − +
− 2
1
25) cos | |du
arc ech u c
u u
∫ = − +
+ 2
1
Veja alguns exemplos de aplicação da tabela de integrais imediatas e das proprie-
dades da integral indefinida.
 
/
/( )
/
x x
x x dx x dx dx x dx x c∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ = − + +
3 3 2
2 2 1 2
4 3 4 3 4 3
3 3 2
/x
x x c= − + +
3
3 22
4
3 3
b) 
| |x x xe x dx e dx x dx dx ex In x c
x x
 ∫ + − = ∫ + ∫ − ∫ = + − + 
 
2
5 1
2 7 2 7 5 2 7 5
2
c) ( ) cossen x dx sen x dx x c∫ = ∫ = − +6 6 6
 
| |x x xdx dx dx x dx In x c
xx x x
− +
−−   ∫ = ∫ − = ∫ − ∫ = − +    − +   
2 1
2
2 2 2
2 2 1
2 2
2 1
/ / /x dx x dx x dx− −= ∫ + ∫ + ∫ =11 3 5 6 1 3
4
/ / /
/ / /. .
/ /
x x x c x x x c= + + + = + + +
14 3 1 6 2 3
14 3 1 6 2 33
3 4 18 6
14 3 1 6 2 14
d)
a)
23
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
 
| |x x xdx dx dx x dx In x c
xx x x
− +
−−   ∫ = ∫ − = ∫ − ∫ = − +    − +   
2 1
2
2 2 2
2 2 1
2 2
2 1
/ / /x dx x dx x dx− −= ∫ + ∫ + ∫ =11 3 5 6 1 3
4
/ / /
/ / /. .
/ /
x x x c x x x c= + + + = + + +
14 3 1 6 2 3
14 3 1 6 2 33
3 4 18 6
14 3 1 6 2 14
f) 
x x x
x dx x dx x dx dx x c
 
∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ = − + +  
 
2 3 2
23 1 3 3
10 10 10
5 4 5 4 15 2
g) 
/
/ /
/
y
y dy c y c
−∫ = + = +
3 5
2 5 3 53
3 5 5
 
( ) ( )s ds s s ds s ds s ds ds∫ − = ∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ =2
3 5 9 2 30 25 9 2 30 25
s s
s c s s s c= − + + = − + +
3 2
3 2
9 30 25 3 15 25
3 2
1.4 APLICAÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA
Como brevemente comentado anteriormente, a integral tem diversas aplicações 
nos mais variados campos do conhecimento. Embora a maior parte dessas aplica-
ções seja relativa à integral definida, cujo estudo será contemplado em unidades 
posteriores, a integral indefinida pode ser utilizada para: determinação da expressão 
da posição de um corpo ao longo do tempo, a partir da função horária da velocida-
de; expressão da relação existente entre duas grandezas, conhecendo-se a taxa de 
variação de uma em relação à outra; entre outras aplicações. 
e)
h)
24
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Não raro, em aplicações envolvendo integral indefinida (antiderivação), deseja-se 
encontrar uma antiderivada específica que satisfaça determinadas condições iniciais, 
que, ao serem substituídas no resultado encontrado, fornecem o valor específico da 
constante arbitrária c. Com esse valor, determinada antiderivada é obtida. 
Veja alguns exemplos que ilustram essa aplicabilidade.
1) Um objeto move-se ao longo de um eixo s, e sua velocidade é dada pela 
função v(t)=2t2 - t, sendo t dado em segundos, e a velocidade, em metros por 
segundo. Se a posição do corpo no instante 1 segundo é 0 metro, determine 
a posição do objeto 6 segundos depois.
Como você já sabe, a velocidadeinstantânea de uma partícula é a taxa de 
variação (derivada) da posição da partícula em relação ao tempo. Sendo 
assim, como a integral é a operação inversa da derivada, ao integrarmos a 
função velocidade obteremos a função da posição para qualquer valor de t. 
3 2
t t
s t v t dt t t dt c= = − = − +( ) ( ) ( )∫ ∫ 2
2 2
3 2
Como s(1)=0, temos:
c c= − + → =
3 2
1 1 1
0 2
2 2 6
Logo, a função procurada é: ( ) . ( ) ,s s m= − + → ≅
2
32 6 1
6 6 6 126 17
3 2 6
Como queremos determinar a posição do objeto para t = 6 s é:
( )
2
32 6 1
s 6 6 s 6 126 17m
3 2 6
( ) ,= ⋅ − + → ≅
25
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2) Uma partícula se desloca com uma aceleração igual a (3t+2) m/s2. No 
instante t=1 segundo, a partícula encontra-se a 5 metros da origem, e sua 
velocidade é 6 m/s2. Qual é a equação horária do movimento?
A aceleração do móvel é a taxa de variação (derivada) da velocidade instan-
tânea em função do tempo. Ao integrarmos a função aceleração, encontra-
remos a função velocidade e, ao integrarmos esta, obteremos a função da 
posição (ou equação horária do movimento).
Como v(1)=6 m/s, substituindo na função velocidade, encontramos o valor 
de c:
. . c c= + + → =
2
1 5
6 3 2 1
2 2
Portanto, a função da velocidade é: ( ) t
v t t= + +
2
5
3 2
2 2
Para encontrarmos a equação horária do movimento, integramos v(t):
( ) ( ) t t
s t v t dt t dt t t c
 
= = + + = + + +  
 
∫ ∫
2 3
5 5
3 2 2
2 2 2 2
Como s(1)=5m, temos:
. c c= + + + → =
3
21 5
5 1 1 1
2 2
Assim, a equação horária do movimento pode ser descrita por:
( )s t t t t= + + +3 21 5
1
2 2
26
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3) Determine a equação de determinada curva que contém o ponto (1, 3), 
cuja reta tangente tem inclinação igual a y = x + 2.
Como a inclinação da reta a uma curva em qualquer ponto (x, y) é o valor da 
derivada nesse ponto, temos que:
'y x= +2
Logo, se integrarmos essa função, obteremos a equação procurada:
( ) x
y x dx x c= ∫ + = + +
2
2 2
2
x
y x c= + +
2
2
2
 é a família de curvas. Como queremos a curva que passa 
por (1, 3):
. c c= + + → =
2
1 1
3 2 1
2 2
Portanto, a curva será: 
2
x 1
y 2x
2 2
= + +
 
4) O custo fixo de produção de determinada empresa é R$ 100,00. Saben-
do-se que o custo marginal é dado pela função C^’ (x)=0,08x+3, determine a 
função custo total.
O custo marginal C^’ (x) é a derivada da função custo total C(x). Assim, para 
obtermos C(x), basta calcularmos a integral indefinida da função custo 
marginal:
2
c x 0 08x 3 dx 0 04x 3x c( ) ( , ) ,= + = + +∫
27
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Quando a produção for nula (x = 0), o custo fixo será de R$ 100,00, ou seja: 
100 = 0,04.02 + 3.0 + cc = 100
Portanto, a função custo total é: C(x) = 0,04x2 + 3x + 100
1.5 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: TROCA DE 
VARIÁVEL NA INTEGRAL INDEFINIDA
Ao longo desta unidade, serão apresentadas muitas fórmulas básicas de integração 
a partir das correspondentes fórmulas de diferenciação. Por exemplo, sabendo que 
a derivada de sen x é cosx, podemos deduzir que a integral de cosx é sen x. 
Porém, nem sempre é possível obter a integral indefinida de uma função usando-se 
as propriedades descritas acima e a tabela de integrais imediatas. Algumas vezes, 
faz-se necessário usar técnicas específicas, que transformam funções mais elabora-
das em imediatas, facilitando o processo de encontrar as primitivas. 
O papel da substituição na integração é comparável ao da regra da cadeia na dife-
renciação. Essa técnica consiste em substituir a variável a ser integrada a fim de obter 
uma função mais simples de calcular. 
Teorema: se F é uma antiderivada de f, então: 
( ( )). '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c= +∫
Fazendo u = g(x), du = g^’ (x) dx, então:
( ( )). '( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u c∫ = ∫ = +
28
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Não existe um procedimento geral para a escolha da função u=g(x). Na prática, deve-
mos convenientemente defini-la, de tal forma que a integral obtida seja mais simples 
de calcular. 
1) 
2
2x
dx
1 x+∫
Note que não se trata de uma integral imediata. Fazemos, portanto, u=1+x2, 
então, du=2xdx. Temos:
( )2
2
2x dudx In u c In 1 x c
1 x u
= = + = + +
+∫ ∫
Na técnica da substituição, a mudança da variável deve sempre vir acompa-
nhada da mudança da diferencial. Como você pode perceber nos exemplos 
apresentados, ao substituir a variável x pela variável u = g(x), é necessário 
que a diferencial dx seja substituída pela diferencial du através da relação: 
du = g’(x) dx.
29
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2) ( )
5
1 2x dx−∫
Fazemos u 1 2x= − Então, 
du
du 2dx dx
2
= − = − = . Portanto:
( )
6 6
5
5 5du 1 1 u u
1 2x dx u u du c c
2 2 2 6 12
 − = ⋅ − = − = − ⋅ + = + 
 ∫ ∫ ∫
Voltando à variável x, ou seja, substituindo u=1-2x, temos:
( ) ( )
5 61
1 2x dx 1 2x c
12
− = − − +∫
3) 
sen x dx sen u
du
sen u du u c x3
3
1
3
1
3
1
2
3( ) = = = −( ) + = −∫ ∫ ∫ . . cos cos( )++ c
u x
du dx
du
dx
=
= → =
3
3
3




4) .x u u u xdu
xe dx e e du e c e c
− − = ∫ − = − ∫ = − + = − + 
 ∫
2
6 6 2
4 4 2 2 2
2
u x
du
du xdx xdx
 = −


= − → − =
2
6
2
2
5) 
dx du x
u du u c c
u
x
−
 ∫ = ∫ = ∫ − = − − + = − + + 
  + 
 
4
5 5
3 3 3
3 5 4 8
4 4 31
8
3
u x
du dx du dx
 = +

 = → =

1
8
3
1
3
3
30
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
6) cos( ) cos . ( )x dx u du sen u c sen x c∫ + = ∫ = + = + +9 9
u x
du dx
= +
 =
9
7) senx u u senx c
e xdx e du e c ecos +⋅ = = + =∫ ∫
u senx
du xdxcos
=
=
8) 
9) 
10) 
31
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
CONCLUSÃO
Derivada e integral são duas noções básicas do cálculo. Tanto o cálculo diferencial 
quanto o integral são ferramentas de análise de funções que podem ser utiliza-
das nas mais variadas formas para resolver desde problemas simples até os mais 
complexos.
Muito da grande evolução científica e tecnológica dos últimos séculos se deve ao surgi-
mento dos cálculos diferencial e integral no século XVII por Leibniz e Isaac Newton. 
Para se ter uma ideia, antes do conceito de integral ser introduzido, os matemáticos 
lidavam apenas com funções relativamente simples. O físico Isaac Newton, por exem-
plo, desenvolveu o cálculo como forma de criar ferramentas matemáticas capazes de 
solucionar problemas em seus estudos na física, até então desconhecidos. 
É claro também que, desde esses primeiros estudos e descobertas na área do cálcu-
lo, muito se evoluiu, principalmente com relação a programas de computação, que 
permitem calcular primitivas com bastante facilidade. Porém, embora esses progra-
mas ofereçam rapidez nos resultados obtidos, é indispensável que o usuário desses 
programas tenha noção dos princípios básicos de integração para poder manuseá-los 
com maior eficiência. Sendo assim, mesmo depois de tantos anos desde os primeiros 
estudos desenvolvidos, a derivada e a integral continuam sendo indispensáveis para o 
entendimento dos fundamentos de diversas áreas do conhecimento.
Nesta unidade, foi apresentada a definição de integral indefinida, começando com a 
noção de primitiva e sua relação com a derivada. Você estudou como calcular uma 
integral indefinida, aplicando suas propriedades e utilizando a tabela de integrais 
imediatas. Aprendeu também como calcular uma integral usando o método da 
mudança de variável, tornando o cálculo da integral mais simples. Além disso, foram 
apresentados vários exemplos de aplicação da integral indefinida.
32
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Descrever as técnicas 
para o cálculo das 
integrais.
> Explicar a técnica de 
integração por partes.
> Empregar as aplicações 
das integrais.
UNIDADE 2
33
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Nesta unidade, você estudará outra técnica de integração: a integração por partes, 
que permite determinar primitivas (ou integrais indefinidas) para muitas combina-
ções de funções, formadas, geralmente, por um produto, cujas primitivas não podem 
ser definidas por meio das propriedadesdas integrais, da tabela de integrais imedia-
tas ou, ainda, pelo método da substituição de variáveis. Você verá que, em alguns 
casos, teremos que utilizar a integração por partes repetidas vezes ou combiná-la 
com o método da substituição de variáveis para a resolução de um mesmo exercício. 
Os exemplos apresentados ao longo desta unidade ilustrarão bem todas essas situa-
ções, de forma bem detalhada, mostrando passo a passo os procedimentos matemá-
ticos utilizados na resolução de cada integral. Além disso, serão apresentados alguns 
exemplos de aplicações das técnicas mencionadas em problemas contextualizados, 
em diferentes áreas do conhecimento.
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade, você estudará o método de integração por partes. Decorrente da 
regra do produto da derivação, essa técnica ajuda a reduzir o cálculo de uma inte-
gral mais elaborada em uma integral mais simples. Geralmente, a integração por 
partes é empregada em produto de funções. Em linhas gerais, separa-se a função a 
ser integrada em duas partes, representadas por u e dv. A diferencial dx acompanha 
a parte de dv. Geralmente, u será a função mais simples de derivar, e dv, a função 
mais fácil para integrar. Para fazer essa escolha de forma assertiva, é necessário que 
você pratique bastante. Além disso, alguns casos requerem a aplicação da integração 
por partes mais de uma vez, podendo também ser aplicado concomitante o método 
de substituição de variáveis para o cálculo simplificado de alguma integral. Ao longo 
da unidade, você perceberá que será detalhada bastante a integração por partes, 
apresentando vários exemplos e aplicações para possibilitar seu pleno aprendizado.
34
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
O método de integração por partes baseia-se na regra da derivação de um produto 
de duas funções e é frequentemente usado quando o integrando envolve logaritmos, 
exponenciais, funções trigonométricas inversas e produtos de funções. Assim como o 
método de substituição de variáveis, a integração por partes também ajuda a redu-
zir o cálculo de uma integral mais elaborada ao cálculo de uma integral mais simples. 
Para relembrar o cálculo da derivada de um produto, consulte este livro:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2014, 
p. 198.
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis no intervalo I, então, pela regra do produto, tem-se 
que:
(f(x) .g(x))’=f’ (x).g(x)+f(x) .g’(x) ou f(x) .g’ (x)=[f(x).g(x)]’ – f(x)’ . g(x)
Integrando os dois lados dessa equação, obtém-se:
( ). ( ) [ ( ). ( )]' ( ).' '( )f x g x dx f x g x dx g x f x dx= −∫ ∫∫
Como ( ). ( ) ( ) ( )' .f x g x dx f x g x=∫ , a igualdade acima pode ser escrita como:
( ). ( ) ( ). ( )' '( ) '. ( )f x g x df x g x d f x g x xx −=∫ ∫
Substituindo as expressões u = f(x) e v = g(x) e, respectivamente, du = f ’ (x)dx e dv = 
g’ (x)dx, obtém-se, de forma mais simplificada, a fórmula de integração por partes:
.u dv u v v du= −∫ ∫
35
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Observe que em nenhum momento há a preocupação em se escrever a 
constante de integração, pois ela será introduzida no final do processo.
Ao aplicar essa técnica deve-se separar a função a ser integrada em duas partes, 
representadas por u e dv. A diferencial dx deve ser parte de dv. 
Não há uma regra para a escolha dessas partes. Geralmente, a parte escolhida como 
dv deve ser facilmente integrável, enquanto que u deve ser facilmente derivável. Além 
disso, ∫v du deve ser mais simples do que ∫u dv. Veja alguns exemplos:
Exemplo 1: determine ∫x.ex dx
Analise as opções para u e dv: 
ª ) .
ª ) .
ª )
x
x
x
u e dv x dx
u x e dv dx
u x dv e dx
 = → =
 = → =

= → =
1
2
3
Na 1ª opção, obtêm-se x
du e= e x
v =
2
2
, pois .dv x dx∫ = ∫ . Então, aplicando a 
fórmula de integração por partes:
. . .e x xx x
x xdx e e dx= −∫ ∫
2 2
2 2
Obtemos uma nova integral mais complicada do que a original. Por isso, a 
escolha para u e dv não foi a mais adequada. 
36
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Na 2ª opção, obtêm-se du = ex + xex dx e v = x, pois ∫dv = ∫dx. Então, aplicando 
a fórmula de integração por partes:
. . . .( . )x x x x
x e dx x e x x e x e dx= − +∫ ∫
Novamente obtemos uma integral mais complicada do que a original.
Na 3ª opção, obtêm-se du = 1dx = dx e v = ex, pois ∫dv = ∫ex dx. Então, aplicando 
a fórmula de integração por partes:
. .x x x
x e dx xe e dx= −∫ ∫
Agora sim você encontrou uma integral mais simples que a original. Efetuan-
do os cálculos finais, obtém-se:
. . . . ( )x x x x x x
x e dx x e e dx x e e c e x c= − = − + = − +∫ ∫ 1
Exemplo 2: determine ∫x . ln x dx
Escolhendo a parte mais simples u = ln x, a parte restante será dv = xdx. Essa 
escolha parece ser a mais adequada, pois você sabe calcular a integral de dv: 
∫xdx. Assim, tem-se que:
u Inx du dx
x
= → =
1
x
dv xdx v xdx= → = =∫
2
2
Substituindo na fórmula, 
. .x x x x x x xIn x dx In x dx In x x dx x dx In x c
x
− = − = − = = − +∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 4
37
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 3: calcule ∫x.senx dx
cos
u x du dx
dv senx dx v x
= → =
 = → = −
∫ x.senx dx = x .(–cosx) – ∫ (–cosx)dx = –xcos + senx + c
Exemplo 4: calcule ∫ ln x dx
u In x du dx
x
dv dx v x
 = → =

 = → =
1
∫ ln x dx = ln x .x – ∫x .1/x dx = x ln x – ∫dx = x ln x - x + c = x(ln x –1) + c
Exemplo 5: calcule ∫t2 et dt
t t
u t du t dt
dv e dt v e
� � � ��
�
� � ���
2
2
Essa escolha de u e dv transformou a integral original ∫t2 et dt numa 
expressão que contém uma integral mais simples ∫et . t dt, devi-
do à redução da potência de t. Nesse caso, aplique o méto-
do de integração por partes novamente para o cálculo de 
∫et . t dt. Veja:
t t
u t du dt
dv e dt v e
= → =

= → =
. . .t t t t t
e t dt e e e dt te e c= − = − +∫ ∫
Substituindo esse resultado na expressão obtida anteriormente, tem-se:
∫t2 et dt = t2 et – 2[tet – et ] + c = t2 et – 2tet + 2et + c = et (t2 – 2t + 2)+c
38
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 6: calcule ∫x3 ln x dx
u In x du dx
x
xdv x dx v
 = → =

 = → =
4
3
1
4
. .x x x x xx In x dx In x dx In x x dx In x c
x
= − = − = − +∫ ∫ ∫
4 4 4 4 4
3 31 1
4 4 4 4 4 4
2.2 EXEMPLOS DE INTEGRAÇÃO UTILIZANDO OS 
MÉTODOS DE SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS E 
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Como você viu no exemplo anterior, pode acontecer de determinada integral exigir 
repetidas aplicações da integração por partes. Além disso, em alguns casos, será 
necessário o uso do método da substituição de variáveis juntamente com o método 
da integração por partes na resolução de um mesmo exercício. 
Relembre mais sobre o método de substituição de variáveis consultando:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1. Grupo A, 2014, 
p. 365.
39
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Veja alguns exemplos: 
Exemplo 1: calcule ∫x e–2x dx
Nesse exemplo, pode-se fazer u = x e obtém-se du = dx. 
Consequentemente, dv = e–2x dx. Como se faz a integral de dv para encontrar 
v, tem-se: v = ∫e–2x dx. Essa integral não é imediata, deve-se, portanto, utilizar 
o método da substituição de variáveis para resolvê-la.
du
u x du dx= − → = − → −2 2
2
.x u xdu
e dx eu e du e c
− − = − = − = − + 
 ∫ ∫ ∫2 21 1
2 2 2
Portanto, voltando à integração por partes, tem-se que:
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −
= → =


= → = −
2 21
2
. .
.
x x x x x
x x x x
x
xe dx x e e dx e e dx
x x
e e c e e c
− − − − −
− − − −
   = − − = +   
   
 = − + − + = − − + 
 
∫ ∫ ∫2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 4
Exemplo 2: calcule ∫x cos(5x)dx
cos( )
u x du dx
dv x dx
= → =
= 5
cos( )v x dx
du
u x du dx dx
 =


= → = → =

∫ 5
5 5
5
cos( ). ( )du
v u sen x→ = =∫
1
5
5 5
cos( ) . ( ) ( ) ( ) ( )x
x x dx x sen x sen x dx sen x sen x dx
 = − = − 
 ∫ ∫ ∫
1 1
5 5 5 5 5
5 5 5
40
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A integral de ∫sen(5x)dx requer o uso do método da substituição de variá-
veis:
u x
du
du dx dx
=


= → =
5
5
5
( ) .cos( )du
sen x dx sen u x= = −∫ ∫
1
5 5
5 5
Substituindo, tem-se:
cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )x x
x x dx sen x x c sen x x c
 = − − + = + +  ∫
1 1 1
5 5 5 5 5
5 5 2 5 25
Exemplo 3: calcule x x dx∫ +2
u x du dx
dv x dx
v x dx
u x du dx
v x
= → =
= +
= +
= + → =




= +
∫( )
( )
( )
/
/
2
2
2
2
1 2
1 2
11 2 1 2
3 2
3 2
3 2
2
3
2/ /
/
/
/
( )dx u du u x∫ ∫= = = +
x x dx x x x dx x x x+ = +( )




 − +( ) = + −∫ ∫2 2
3
2 2
3
2 2
3
2 2
3
3 2 3 2 3 2. . ( ) (/ / / ++∫ 2 3 2) / dx
Novamente, você utilizará a substituição de variáveis para resolver a integral 
∫(x + 2)3⁄2 dx:
u x
du dx
x dx u du u c x c
= +
=



→ + = = + = +( ) +∫ ∫
2
2
8 2
2
5
23 2 3 2
5 2
5 2( )
/
/ /
/
/
Voltando ao cálculo da integral dada e substituindo esse resultado, tem-se:
x x dx x x x c x x x+ = + − +( )




 + = + −∫ 2 2
3
2 2
3
2
5
2 2
3
2 4
15
3 2 5 2 3 2( ) ( ) (/ / / ++ +2 5 2) / c
41
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Exemplo 4: calcule ∫x2.e(1–x) dx
u x du x dx
dv e dx v ex x
= → =
= → = −



− −
2
1 1
2
x e dx x e e xdx x e x e dxx x x x x2 1 2 1 1 2 1 12 2− − − − −∫ ∫ ∫= − − − = − + =.( ) . .
No exemplo 1, você calculou a integral de ∫e–2x dx, e nele se usou o mesmo 
raciocínio para obter a integral de ∫e1–x dx = e1–x, utilizando o método de subs-
tituição de variáveis.
Aplicando novamente a integração por partes:
u x du dx
dv e dx v ex x
= → =
= → = −



− −1 1
x e dx x e x e e dx x e xex x x x x x2 1 2 1 1 1 2 1 12 2 2− − − − − −∫ ∫= − + − − −


 = − − −.( ) ee cx1− +
2.3 APLICAÇÕES DE TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Acompanhe alguns exemplos de aplicação das duas técnicas de integração: 
42
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
substituição de variáveis e integração por partes.
Exemplo 1: sabe-se que um objeto se move ao longo de uma reta com 
velocidade igual a v(t) = te–t m/s, após t segundos. Determine a função que 
permite calcular a distância percorrida por esse objeto para qualquer valor 
de t, sabendo que s(0) = 0.
Primeiramente, calcule a integral da função velocidade, utilizando a inte-
gração por partes, pois ela nos fornece a função posição.
s t v t dt t e dt
u t du dt
dv e dt v e
t
t t
( ) = ( ) =
= → =
= → = −



−
− −
∫∫ .
Para calcular ∫e–t dt, pode-se utilizar a substituição de variáveis. Veja:
u t
du dt
du dt
e dt e dt et u t
= −
= −
− =





= − = −− −∫∫ .( )
43
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
t e dt t e e dt te e ct t t t t. .( )− − − − −= − − − = − − +∫∫
44
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Como s(0) = 0, tem-se que:
0 = –0.e–0 – e–0 + c → c = 1
Portanto:
s(t) = –te–t – e–t + 1
Exemplo 2: calcule ∫x2 sen x dx
Nesse exemplo, aplique o método de integração por partes duas vezes.
u x du xdx
dv sen x dx v x
= → =
= → = −



2 2
cos
Integrando por partes, tem-se:
x sen x dx x x x x dx x x x xdx2 2 22 2= − − − = − +∫ ∫ ∫.( cos ) ( cos ). cos .cos
Como a integral ∫x.cos xdx também requer resolução por partes, tem-se:
u x du dx
dv x dx v sen x
x xdx x sen x sen x dx xsen x
= → =
= → =



= − = +
cos
.cos . . ccos x∫∫
Logo:
x sen xdx x x xen x x x x xsen x x c2 2 22 2 2= − + +[ ] = − + + +∫ cos cos cos cos
Exemplo 3: a função custo marginal de uma empresa é dada pela função 
Cmg (x) = ∫x.ln 3x dx. Sabendo que o custo fixo é de R$98,00, obtenha a função 
custo.
Com a função custo marginal Cmg (x) = C’(x), tem-se:
C x C x dx x x dxmg( ) ( ) .ln= = ∫∫ 3
45
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Calculando a integral pelos métodos já estudados, tem-se que:
u x du
x
dx
dv x dx v x
= → =
= → =






ln 3 1
2
2
x x dx x x x
x
dx x x xdx x x x c.ln ln . . ln ln3 3
2 2
1
2
3 1
2 2
3
4
2 2 2 2 2
= − = − = − +∫ ∫ ∫
Como C(0) = 98, tem-se que a constante de integração será c = 98. Logo, a 
função custo será:
C x x x x( ) ln= − +
2 2
2
3
4
98
CONCLUSÃO 
O processo de encontrar primitivas (ou antiderivadas) de uma função é denominado 
integração. Você sabe que a integração é de fundamental importância em diversas 
áreas do conhecimento, como na Estatística, Economia, Física e Engenharia. Para 
se ter uma ideia, conhece-se a velocidade de um carro durante um determinado 
intervalo de tempo, então, por meio das técnicas utilizadas nesta unidade, pode-se 
determinar a distância percorrida por ele nesse intervalo. 
O processo para resolução de uma integral nem sempre é feito de forma simples. Em 
alguns casos, precisamos transformar as funções para depois calcular sua primitiva. 
Como o método de substituição de variáveis não é suficiente para resolver muitas 
integrais, Nesta unidade, você aprendeu como se pode transformar o produto de 
funções utilizando o método de integração por partes. Essa técnica é, essencialmen-
te, a formulação para primitivas a partir da regra do produto para a derivação. 
46
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
O objetivo principal da integração por partes é escolher u e dv para obter uma nova 
integral que seja mais fácil de calcular do que a original. Não existe uma regra para 
essa escolha. Na realidade, somente a prática o tornará capaz de fazê-la de forma 
eficiente. Você viu que, em alguns casos, tem-se que utilizar a integração por partes 
repetidas vezes ou utilizar, ao mesmo tempo, a integração por partes e o método de 
substituição de variáveis para resolução de uma única integral. Assim, foram apre-
sentados vários exemplos bastante detalhados do processo utilizado para resolver 
cada integral.
47
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 3
> Definir o conceito de 
integral definida.
> Aplicar o conceito 
de integral definida 
na resolução de 
problemas diversos, 
principalmente os 
relacionados ao cálculo 
da área de figuras 
planas com contornos 
curvos e volume de 
sólidos de revolução.
48
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3 INTEGRAL DEFINIDA
Nesta unidade você, estudará a integral definida, iniciando pela interpretação geomé-
trica a partir do conceito da soma de Riemman, para o cálculo aproximado da área 
de uma região plana com contornos curvos. Esse método propõe que a região curva 
seja dividida em uma infinidade de retângulos verticais. A área da figura de contornos 
curvos seria a soma infinita da área de todos esses retângulos. Como esse processo é 
longo e demorado, utiliza-se o cálculo da integral definida, num determinado inter-
valo, para obter o valor aproximado dessa área. O método de Riemman conseguiu 
formalizar o conceito de integral definida. Em seguida, serão abordadas suas proprie-
dades, que servirão como ferramenta para provar o teorema fundamental do cálculo. 
Este diz como calcular a integral definida, relacionando as operações de derivação e 
integração. 
Nas sessões subsequentes, você verá outras importantes aplicações da integral defi-
nida, como o cálculo do volume de sólidos de revolução – obtidos com a rotação 
de uma região plana em torno de um eixo em seu plano –, do valor médio de uma 
função, para resolver problemas físicos – distância percorrida e trabalho realizado por 
uma força –, entre outras. 
INTRODUÇÃO 
A geometria ensina como calcular áreas de polígonos e do círculo, regiões estas que 
podem ser divididas em um número finito de regiões poligonais ou setores circula-
res. Porém, quando a região não pode ser decomposta desse modo, não é possível 
determinar sua área. A integral definida surgiu, justamente, a partir da necessidade 
de matemáticos na solução de problemas relacionados ao cálculo de áreas de uma 
figura plana delimitada por uma curva qualquer. Um exemplo bem simples desse 
fato é o cálculo da área da região limitada pelos gráficos das funções y = x2 e y = x, no 
intervalo [0, 1] ou, ainda, a área da região limitada por uma elipse. Será apresentado 
um método sistemático para o cálculo da área de certas regiões, como as exemplifi-
cadas acima, além de servir de motivação para o tema principal desta unidade.
49
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A partir dele, serão abordadas as propriedades da integral definida, seguidasde diver-
sos exemplos, todos bem detalhados, com o objetivo de levar você ao pleno domínio 
do cálculo das mais variadas integrais definidas. Por fim, serão apresentadas outras 
aplicações para a integral definida, na qual se destacam o volume de sólidos de revo-
lução e algumas aplicações na física.
3.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL 
DEFINIDA POR SOMA DE RIEMANN
A integral definida surge da necessidade de se determinar a área de uma região com 
contornos curvos, como na figura a seguir:
FIGURA 2 - ÁREA DE UMA REGIÃO CURVA QUALQUER NO INTERVALO [A,B]
y
f(x)
A B
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Como determinar a área da região hachurada? Não existe fórmula geométrica para 
o cálculo dessa área, como é o caso, por exemplo, do cálculo da área do triângulo ou 
do quadrilátero. Diante dessa dificuldade, o matemático Riemann criou um método 
que permite a determinação aproximada de uma maneira simples. Ele propôs uma 
partição do intervalo [A, B], ou seja, divide-se o intervalo em n subintervalos, esco-
lhendo os pontos:
50
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
A = x0uma separadamente. Em seguida, basta somar as duas áreas encontra-
das:
Caso 3: cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = 
a e x = b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a,b]. Nesse caso, 
a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico 
de g, ou seja:
59
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Fazer o esboço do gráfico da região para determinar qual curva limita acima e qual 
limita abaixo é de fundamental importância. Caso os gráficos se cruzem em algum 
ponto, de modo que g passe a estar acima de f, basta estudar cada intervalo separada-
mente.
1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x + 1:
Agora, serão encontrados os interceptos entre as duas curvas. Para isso, basta 
igualar as funções: 
GRÁFICO 5 - GRÁFICO DA REGIÃO LIMITADA PELAS CURVAS Y = X2 – 1 E Y = X + 1
y
6
4
4
0
-2f(x) = x + 1
-3 -2 -1 1 2 3
x
g(x) = x2 -1
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
x2 – 1 = x + 1 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = -1 e x = 2
A integral que determina essa área será:
( ) ( ) ( ) . .x x
A x x dx x x dx x u a
− −
−
 
= + − − = − + = − = =  
 
∫ ∫
2
2 3
2 2
2 2
1 1
1
9
1 1 2 2
2 3 2
60
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Calcule a área limitada por: y = (x – 1)3 e y = x – 1:
GRÁFICO 6 - GRÁFICO DA REGIÃO LIMITADA PELAS CURVAS Y = (X – 1)3 E Y = X – 1
y
x
21
g(x) = x - 1
f(x) = (x - 1)3
-3
-2
-1
0
1
1
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Portanto, a área total da região é: A = 1/4 + 1/4 = 1/2 u. a. 
Além do cálculo de áreas de regiões com contornos curvilíneos, outra importante 
aplicação para a integral definida é o cálculo do volume de sólidos de revolução, 
assunto que será discutido no próximo item.
61
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3.5 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta fixa qualquer do plano, obtém-
-se uma figura espacial, um sólido, denominado sólido de revolução. A reta ao redor 
da qual a região gira é chamado eixo de revolução.
Uma das aplicações da integral definida é o cálculo do volume desse sólido. Se f é 
uma função contínua em [a,b], o volume do sólido de revolução gerado pela rotação 
em torno do eixo Ox⃗ em [a,b] é dado por: 
[ ( )] [ ( )]
b b
a a
V f x dx f x dx= π = π∫ ∫2 2
1. Encontrar o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 
y = √x e acima do intervalo [1, 4] é girada em torno do eixo x: 
A curva dessa função e o sólido formado pela sua rotação em torno do 
eixo x e no intervalo fornecido estão representados a seguir:
GRÁFICO 7 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = √X
y
x
2
4
1 2 3 4 50
-2
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
62
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
FIGURA 5 - SÓLIDO FORMADO A PARTIR DA ROTAÇÃODA CURVA Y = √X EM TORNO 
DO EIXO X
y
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
Seu volume será:
u. v. = unidade de volume
2. Determine, aproximadamente, o volume do sólido obtido pela rotação 
em torno da reta y = 1, da região limitada por y=ex e pela reta y = 1, no 
intervalo [0, 2] (Use π = 3,14):
63
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
GRÁFICO 8 - GRÁFICO DA CURVA Y=EX 
7
6
5
4
3
2
1
0-1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
FIGURA 6 - SÓLIDO GERADO
x
y
Fonte: Elaborado pelas autoras, 2019.
( ) ( ) , . .x x x x
v e dx e e dx e ex x u v
 = π − = π − + = π − + ≅  ∫ ∫
2
2 2
2 2 2
0 0
0
1
1 2 1 2 50 3
2
64
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3. Encontrar o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y =3 - 2x 
e acima do intervalo [0, 2] é girada em torno do eixo y:
De forma análoga, o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação 
em torno do eixo Oy⃗ pode ser obtido por:
[ ( )]
d
c
V g y dy= π∫ 2
Portanto, no exemplo dado, tem-se que:
y y y y
V dy
 − + π = π = π − + =  
    
∫
2
2 3 2
2
0
0
3 3 9 13
2 12 4 4 6
4. Determine o volume do sólido obtido pela rotação delimitada pelas 
curvas y2 = x e x = 2y, em torno do eixo y:
Quando o sólido é gerado pela superfície limitada por duas funções, f(x) e g(x), 
ambas contínuas no intervalo [a, b], em torno do eixo Ox⃗ , com f(x) ≥ g(x), ∀ x∈[a,b], 
o volume do sólido pode ser obtido por:
[( ( ) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dx= π −∫ 2
Primeiramente, igualam-se as funções para obter a intercessão das curvas:
y2 = 2y → y = 0 e y = 2
65
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Então, tem-se:
V y y dy y y
� � � � � ��
��
�
��
� �
�
�
�
�
�
� ��� �
�
0
2 2
2
2
2
5 3
0
2
2
5
4
3
64
15
Além do cálculo da área de regiões curvas e do volume de sólidos de revolução, outra 
importante aplicação para a integral definida é a determinação do valor médio de 
uma função. Ele permite, por exemplo, a determinação, em um intervalo dado, da 
temperatura média, do preço médio, da velocidade média, entre outras.
3.6 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO
O valor médio de uma função f no intervalo [a,b] é definido por:
( )
b
m
a
f f x dx
b a
=
− ∫
1
Teorema: se f é contínua em [a, b], então existe um número c, em [a, b], tal que:
( ) ( ).( )
b
a
f x dx f c b a= −∫
Esse teorema permite calcular uma média de todos os valores de f(x) quando x varia 
em um intervalo fechado [a, b].
1. Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado segundo a 
função v(t) = t3 – 2. Determine a velocidade média dessa partícula no 
intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ 4:
( )
m
t
V t dt t
 
= − = − = 
−   
∫
4
4
4
3
1
1
1 1 231
2 2
4 1 3 4 4
66
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
2. Um estudo realizado em laboratório chegou à conclusão de que o 
número de bactérias presentes numa certa cultura pode ser modelado 
pela equação Q(t) = 300e-t, em que Q(t) representa o número de bactérias 
presentes em um determinado intervalo de tempo. Encontre a quan-
tidade média aproximada de bactérias ao longo das primeiras cinco 
horas do estudo:
Além das aplicações discutidas anteriormente, as integrais definidas apresentam 
diversas aplicações na física, como para calcular o trabalho realizado por uma força, 
a distância percorrida, centros de massa e momento de inércia, fora várias outras 
aplicações. Veja algumas.
3.7 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS NA FÍSICA
3.7.1 DISTÂNCIA PERCORRIDA
Conhecendo a velocidade v(t) de uma partícula em movimento retilíneo, então a 
integral definida permite determinar a distância total percorrida por ela num deter-
minado intervalo de tempo. Ao integrar a velocidade ao longo de um intervalo de 
tempo, obtém-se o deslocamento e, ao integrar a velocidade escalar ao longo de um 
intervalo de tempo, obtém-se a distância percorrida.
Assim, para calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, deve-se 
considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 e, também, quando v(t) ≤ 0, ou seja:
67
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
| ( ) | ( ) ( )
b c b
a a c
v t dt v t dt v t dt= −∫ ∫ ∫
Suponha que uma partícula esteja em movimento ao longo do eixo x com velo-
cidade v(t) = 2 - t. Determine:
a. O deslocamento da partícula no intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ 3:
( ) t
t dt t
 
− = − = 
  
∫
3
2
3
1
1
2 2 0
2
b. A distância total percorrida pela partícula no intervalo 1 ≤ t ≤ 3:
| | ( ) ( )t dt t dt t dt− = − − − =∫ ∫ ∫
3 2 3
1 1 2
2 2 2 1
Em [1,2), a velocidade é positiva, o que significa que nesse intervalo a partícula percor-
re no sentido positivo; em (2, 3], a velocidade é negativa, o que significa que nesse 
intervalo a partícula recua, de tal modo que em t = 3 ela volta a ocupar a mesma 
posição por ela ocupada no instante t = 1.
3.7.2 TRABALHO
Na física, quando se empurra ou puxa um determinado objeto, realiza-se um traba-
lho. Se aplicar uma força F a um objeto, fazendo-o deslocar-se por uma determinada 
distância d na direção da força realizada, pode-se determinar o trabalho W realiza-
do por F sobre esse objeto. Sendo essa força constante, define-se o trabalho como 
sendo: 
W = F.d
68
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Se a força é variável, determina-se esse trabalho usando a integral definida:
( )
b
a
W F x dx= ∫
1. Determine o trabalho realizadopor uma pessoa para empurrar um carri-
nho de bebê utilizando uma força de 5x - 1 Newtons sobre ele, quando 
este se desloca 10 metros:
2. Encontre o trabalho realizado quando uma força variável F x x
N( ) =
1
2 no 
sentido positivo do eixo x move um objeto de x = 2 até x = 5 metros: 
Na sequência, serão apresentados outros exemplos em que a utilização da integral 
definida é de grande importância, além das já apresentadas anteriormente. 
3.8 APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS
Veja alguns outros exemplos de aplicação das integrais definidas.
69
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
1. Uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, possui aceleração 
descrita pela função a(t) = t + 6 (m/s2). Sabendo que sua velocidade inicial 
é v(0) = 3m/s, determine a distância percorrida durante os 10 primeiros 
segundos:
Primeiramente, encontre a função velocidade:
( ) ( ) ( ) t
v t a t dt t dt t c= = + = + +∫ ∫
2
6 6
2
Como a v(0) = 3, tem-se que c = 3. Logo, a função velocidade é:
( ) t
v t t= + +
2
6 3
2
Encontrando agora a distância no intervalo dado:
( ) t t
d t t dt t t m
   
= + + = + + =         
∫
10
2 3
10
2
0
0
1490
6 3 3 3
2 6 3
2. Em uma refinaria, a gasolina flui do interior de um tanque de armaze-
namento em direção ao caminhão transportador a uma taxa de f(t)=-
500-4t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 100. Mantida essa taxa, determine a 
quantidade de gasolina que flui desse tanque durante os 20 primeiros 
minutos: 
( )t dt litros− =∫
20
0
500 4 9200
70
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
3. Analistas financeiros concluíram que o preço do etanol vendido nos 
postos de combustível foi reajustado várias vezes ao longo de um ano a 
uma taxa de P(t) = 0,03t2 + 0,12t + 2, onde t representa os meses. Deter-
mine o preço médio do etanol durante os quatro primeiros meses desse 
ano:
( , , ) [ , , ] ,t t dt t t t reais+ + = + + =
− ∫
4
2 3 2 4
0
0
1 1
0 03 0 12 2 0 01 0 06 2 2 4
4 0 4
4. O excedente do consumidor representa a diferença entre a quantia 
que os consumidores se dispõem a pagar pelo produto e o valor real 
do produto. Esse valor pode ser obtido por meio da integral definida: 
EC f q p dqq� �� �� 0 0
0 ( ) , onde p = f(q) representa o preço como função da 
demanda para determinado produto. Posto isso e sabendo-se que a 
demanda de um produto é dada por p = 100 – 5q, determine o exceden-
te do consumidor quando o preço de mercado é R$ 20,00: 
Inicialmente, deve-se encontrar a quantidade correspondente ao preço de 
mercado:
20 = 100 - 5q → q = 16
Portanto: 
( )EC q dq reais= − − =∫
16
0
100 5 20 640
71
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
CONCLUSÃO 
Esta unidade iniciou-se com uma visão geral do problema de encontrar áreas. 
O problema do cálculo de áreas vem de séculos atrás. Mesmo com todos os avanços 
na geometria clássica com os gregos, persistia a dificuldade para se determinar áreas 
de regiões planas com contornos curvos. Embora ainda não se tenha um método 
para determinar a área exata, a partir da soma de Riemman pode-se obter o valor 
aproximado dessas áreas. 
O procedimento utilizado consiste em dividir a área procurada em retângulos de 
bases iguais e alturas apropriadas. A soma das áreas de todos esses retângulos, que 
é a soma de Riemman, aproxima-se da área da região curva. Entretanto, como esse 
cálculo é dispendioso e nem sempre é uma tarefa simples, demonstrou-se que a 
integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado permite deter-
minar a área de uma região curvilínea em um plano cartesiano. 
A ideia por trás da integral definida é que se pode calcular quantidades dividindo-as 
em subintervalos e, em seguida, somando cada uma dessas partes. Quanto maior o 
número de subintervalos, mais se aproxima do valor real procurado. 
O cálculo de uma integral definida por meio de sua definição pode ser extremamen-
te complexo e até inviável para algumas funções. Pode-se calcular integrais definidas 
usando o teorema fundamental do cálculo. Esse teorema oferece um método eficaz 
para o cálculo de integrais definidas usando antiderivadas. A integral definida pode 
ser calculada encontrando-se uma antiderivada do integrando e, então, subtraindo-
-se o valor dessa antiderivada no extremo inferior de integração de seu valor no extre-
mo superior de integração. Assim, enquanto o resultado da integral indefinida é uma 
família de funções (antiderivadas), a integral definida é um número.
Ao longo desta unidade, você viu também que as integrais definidas têm aplicações 
que vão muito além do cálculo de áreas, tais como o cálculo do volume de sólidos de 
revolução e do trabalho feito por uma força. 
Apresentaram-se todos esses conceitos e aplicações explorando muitos exemplos, 
com resoluções bem detalhadas, para que você possa acompanhar e entender todos 
os processos utilizados para resolver as integrais definidas.
72
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
UNIDADE 4
> Identificar as técnicas 
de integração que 
envolvem funções 
trigonométricas e 
funções racionais.
> Aplicar o cálculo de 
integrais de funções 
trigonométricas e 
racionais.
> Relacionar o cálculo 
de integrais com 
outras áreas do 
conhecimento.
73
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
4 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
Nesta unidade, você aprenderá alguns métodos para resolver integrais envolvendo 
funções trigonométricas. No cálculo das integrais de funções trigonométricas, geral-
mente, deve-se transformar o integrando utilizando identidades trigonométricas, que 
aqui serão brevemente relembradas, para, em seguida, aplicar o método da substi-
tuição de variáveis. A ideia é utilizar as identidades trigonométricas, bastante explo-
radas nesta unidade, para transformar as integrais em outras que sejam mais fáceis 
de calcular. Também será discutido um método para calcular integrais que conte-
nham radicais através das substituições trigonométricas. Nessa substituição, troca-se 
a variável de integração por uma função trigonométrica. Por sua vez, essas substitui-
ções serão encontradas no triângulo retângulo através do Teorema de Pitágoras, que 
ajudam a identificar os lados para cada substituição. 
Na sequência, serão apresentadas integrais de expressões contendo trinômio do 
segundo grau, que utilizam o método de completar quadrados para transformar 
esses trinômios em um produto notável, e integrais de funções racionais por frações 
parciais. Este último tipo de funções baseia-se na ideia de decompor uma função em 
uma soma de funções racionais mais simples, que possam ser integradas pelos méto-
dos já estudados por você anteriormente. 
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade, você estudará novas técnicas de integração que, em muitos casos, 
requerem a preparação das funções para a aplicação dos métodos corriqueiros. Entre 
essas funções, estão as funções trigonométricas e as funções racionais. O objeti-
vo inicial desta unidade é levar você a resolver integrais de funções trigonométricas 
envolvendo produtos e potências. Serão apresentadas integrais que envolvem uma 
única função trigonométrica e integrais que combinam produtos de funções trigono-
métricas. Para isso, será detalhado cada um dos muitos casos envolvendo esse tipo de 
funções. Em seguida, será abordado o método de substituição trigonométrica, que 
substitui a variável em estudo por uma função seno, tangente ou secante. 
74
CÁLCULO II 
SUMÁRIO
Outro assunto abordado, nesta unidade, são as integrais de expressões conten-
do trinômios de segundo grau, que podem ser resolvidos por meio da técnica de 
completar quadrado e a integração de funções racionais. Para resolver este último 
tipo de integrais, você usará a decomposição do denominador como uma soma de 
funções mais simples, de fácil integração. Este método é conhecido como decompo-
sição de frações parciais. Por fim, serão apresentados alguns exemplos de aplicação 
utilizando os métodos discutidos nesta unidade. Como são muitas técnicas e casos 
distintos,