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<p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Unidade 1</p><p>Técnicas de Integração</p><p>Aula 1</p><p>A Integral De�nida</p><p>A Integral de�nida</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Nessa aula iniciaremos nossos estudos sobre o cálculo de integrais. Em um primeiro</p><p>momento, vamos discutir sobre as motivações por trás do desenvolvimento do conceito de integral.</p><p>Posteriormente, vamos discutir sobre o Método de Riemann e o teorema fundamental do cálculo.</p><p>Além disso, discutiremos sobre o processo de encontrar primitivas. Fique atento a esse processo,</p><p>pois ele será fundamental em nossas próximas aulas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>As integrais de�nidas desempenham um papel fundamental no campo da análise matemática,</p><p>representando uma ferramenta poderosa para calcular área de regiões ou volume de determinados</p><p>sólidos. Este ramo da Matemática, desenvolvido principalmente por Isaac Newton e Gottfried Leibniz</p><p>no século XVII, revolucionou a maneira como compreendemos e modelamos fenômenos que variam</p><p>de forma contínua.</p><p>Vamos começar nossa exploração sobre integrais ao compreender a interpretação geométrica na</p><p>aplicação da integral de Riemann. Além disso, exploraremos as integrais de�nidas, o teorema</p><p>fundamental do cálculo e as antiderivadas, também conhecidas como integrais primitivas. O</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>entendimento desses conceitos fundamentais nas integrais é crucial para resolver problemas em</p><p>diversas áreas do nosso dia a dia.</p><p>Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, suponha que você esteja</p><p>estudando sobre o cálculo de integrais e resolveu fazer um comparativo dos resultados encontrados</p><p>ao calcular uma integral por meio do método de Riemann e utilizando o teorema fundamental do</p><p>cálculo. A função a ser estudada é</p><p>Vamos Começar!</p><p>Primeiramente, já pensou em como calcular a área abaixo de uma curva? Se essa curva for reta, é</p><p>fácil, pois basta relacionar com triângulos ou retângulos e fazer as relações adequadas, conforme</p><p>exempli�cado na Figura 1.</p><p>Figura 1 | Exemplos de �guras com lados que são curvas retas. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).</p><p>Entretanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos (como na Figura 2). As</p><p>tradicionais fórmulas de áreas não são úteis para determinar áreas em casos de �guras curvilíneas,</p><p>sendo assim, são necessárias ferramentas mais elaboradas para chegar ao resultado pretendido.</p><p>f(x) = x2</p><p>[0, 2]</p><p>f(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x. Fonte: Stewart, Clegg e</p><p>Watson (2021, p. 342).</p><p>O matemático Riemann formulou um método para estimar áreas sob curvas, utilizando retângulos</p><p>para preencher os espaços. Nessa abordagem, a altura de cada retângulo corresponde ao valor da</p><p>função em um ponto especí�co e o comprimento da base pode variar. A soma de Riemann é uma</p><p>aproximação da área abaixo de uma curva, alcançada ao dividir a região em múltiplos retângulos.</p><p>Riemann concebeu a ideia de obter a área</p><p>S</p><p>n</p><p>Δx = b−a</p><p>n</p><p>f(xi)</p><p>Si = Δx ⋅ f(xi)</p><p>S</p><p>S = S1 + S2 +⋯+ Sn</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 3 | Representação do método de Riemann dividindo a área em retângulos. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 345).</p><p>Pode surgir a dúvida sobre a quantidade de retângulos necessários para subdividir a área abaixo da</p><p>curva. Para responder a essa indagação, é preciso analisar a Figura 4.</p><p>Figura 4 | Aproximação da área pelo Método de Riemann com retângulos. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 346).</p><p>Observe que a precisão da estimativa da área aumenta à medida que reduzimos o tamanho da base</p><p>e, consequentemente, aumentamos o número de retângulos utilizados. Nesse sentido, quanto maior</p><p>o número de retângulos, mais próxima será a estimativa da área total. Logo, “a área</p><p>Um ponto importante a ser destacado é que a �m de estimar a área sob o grá�co de</p><p>A</p><p>S</p><p>A = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) ⋅ Δx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 5 | Somas inferiores e superiores. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 347).</p><p>Até este ponto, exploramos um método para calcular a área sob uma curva e você pode estar se</p><p>questionando sobre a conexão desse tipo de problema com o estudo das integrais. Eles estão</p><p>relacionados uma vez que, se temos uma função</p><p>Se esse limite existir, dizemos que</p><p>f</p><p>x</p><p>*</p><p>i</p><p>f(x</p><p>*</p><p>i )</p><p>f</p><p>A</p><p>f</p><p>[a, b]</p><p>a</p><p>b</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) ⋅ Δx</p><p>∫</p><p>b</p><p>a f(x)dx = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) ⋅ Δx</p><p>f</p><p>[a, b]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Segundo Stewart (2021), o símbolo</p><p>Mas como podemos calcular uma integral? Será necessário resolver o limite da soma de Riemann?</p><p>Fique tranquilo, não abordaremos diretamente esse limite, pois calcular tal limite frequentemente</p><p>envolve complexidades. Felizmente, há um teorema que facilita o processo, o qual é tão importante</p><p>que é conhecido como teorema fundamental do cálculo. O teorema fundamental do cálculo</p><p>estabelece uma relação precisa entre a derivada e a integral. Newton e Leibniz foram os pioneiros na</p><p>exploração dessa relação, utilizando-a para desenvolver o cálculo como um método matemático</p><p>sistemático. Em particular, perceberam que o teorema fundamental os habilitava a calcular áreas e</p><p>integrais com maior facilidade, evitando a necessidade de abordar diretamente o cálculo como</p><p>limites de somas (STEWART; CLEGG; WATSON, 2021). De acordo com esse teorema; se uma função</p><p>onde</p><p>é qualquer primitiva de</p><p>, isto é, uma função tal que</p><p>. Podemos dizer, então, que uma integral de�nida pode ser calculada encontrando-se uma primitiva</p><p>do integrando e, então, subtraindo-se o valor dessa primitiva no limite inferior de integração de seu</p><p>valor no limite superior de integração. Não se esqueça que uma função</p><p>∫</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>f(x)</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>dx</p><p>x.</p><p>f</p><p>[a, b]</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = F(b) − F(a)  em   que  F ' = f.</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F ′ = f</p><p>F</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>só será uma primitiva de</p><p>se ao derivarmos a função</p><p>encontramos</p><p>. Por exemplo, vamos considerar a função</p><p>sua derivada é</p><p>. Assim podemos dizer que uma primitiva de</p><p>é</p><p>, uma vez que</p><p>. Vamos agora calcular a integral que segue:</p><p>f(x)</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F ′(x) = 6x2</p><p>f(x) = 6x2</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F ′(x) = f(x)</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F ′ = f</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F ′(x) = 6x2</p><p>f(x) = 6x2</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F ′(x) = f(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Sabemos que a primitiva de</p><p>é</p><p>, assim aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos que determinar a primitiva calculada em</p><p>cada um dos limites de integração, isto é,</p><p>e</p><p>. Após esse cálculo fazemos a subtração</p><p>, ou seja,</p><p>Vamos agora considerar a função</p><p>. A derivada dessa função é</p><p>, logo podemos dizer que</p><p>é uma primitiva da função constante</p><p>, pois</p><p>∫ 2</p><p>1 6x2 dx</p><p>∫ 2</p><p>1 6x2 dx</p><p>6x2</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F(2) = 2 ⋅ (2)3 = 16</p><p>F(1) = 2 ⋅ (1)3 = 2</p><p>F(2) − F(1) = 16 − 2 = 14</p><p>6x2</p><p>F(x) = 2x3</p><p>F(2) = 2 ⋅ (2)3 = 16</p><p>F(1) = 2 ⋅ (1)3 = 2</p><p>F(2) − F(1) = 16 − 2 = 14</p><p>∫</p><p>2</p><p>1 6x2dx = [2x3]</p><p>2</p><p>1 = 2 ⋅ (2)3 − 2 ⋅ (1)3 = 16 − 2 = 14</p><p>∫ 2</p><p>1 6x2dx = [2x3]</p><p>2</p><p>1</p><p>= 2 ⋅ (2)3 − 2 ⋅ (1)3 = 16 − 2 = 14</p><p>G(x) = 2x</p><p>G′(x) = 2</p><p>2x</p><p>g(x) = 2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>.  Diante disso, temos que</p><p>Siga em Frente...</p><p>Agora que você já viu como funciona o processo de determinar uma integral de�nida, vamos</p><p>conhecer algumas de suas propriedades.</p><p>Propriedade Exemplo</p><p>Tabela 1 | Propriedades de integrais de�nidas</p><p>Esteja atento a essas propriedades, pois serão extensivamente empregadas durante nossos estudos</p><p>sobre integrais. É crucial ressaltar que nem toda integral de�nida pode ser interpretada como uma</p><p>G′(x) = g(x)</p><p>G(x) = 2x</p><p>G′(x) =</p><p>não é mesmo?</p><p>S = ∫ b</p><p>a f(x)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x</p><p>Nessa situação, a função assume valores negativos, resultando na integral da função f(x) que</p><p>também será negativa. Assim, se almejamos calcular a área entre o grá�co da função e o eixo x,</p><p>onde essa área está localizada abaixo do eixo x teremos que calcular essa área em módulo, ou seja,</p><p>uma vez que área sempre assume um valor positivo. Pode surgir a dúvida: Como saber se devo</p><p>calcular a integral no módulo? A resposta está em esboçar a função e identi�car visualmente a</p><p>região desejada sempre que enfrentar um problema que envolva o cálculo de área. Diante disso,</p><p>vamos resolver o exemplo 1.</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine a área compreendida entre função</p><p>Solução</p><p>S = ∫ b</p><p>a f(x)dx∣ ∣f(x) = x2 − 4</p><p>[−2,2]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O primeiro passo é esboçar a função, a �m de identi�car a região que queremos determinar a área. A</p><p>Figura 3 ilustra essa região.</p><p>Figura 3 | Região delimitada pela função f(x) e eixo x</p><p>Observe que a região cuja área deve ser determinada encontra-se abaixo do eixo</p><p>Perceba que se não calculássemos a integral em módulo, teríamos um resultado negativo, o que</p><p>estaria errado, uma vez que o problema envolve o cálculo de área e essa não pode ser negativa.</p><p>Agora, observe a Figura 4.</p><p>x</p><p>A = ∫ 2</p><p>−2(x</p><p>2 − 4)dx = [ x3</p><p>3 − 4x]</p><p>2</p><p>−2∣ ∣ ∣ ∣= ( (2)3</p><p>3 − 4(2))− ( (−2)3</p><p>3 − 4(−2)) = ( 8</p><p>3 − 8)− (− 8</p><p>3 + 8)∣ ∣ ∣ ∣= − 16</p><p>3 − ( 16</p><p>3 ) = − 16</p><p>3 − 16</p><p>3 = − 32</p><p>3 = 32</p><p>3  u. a.∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 4 | Função que assume valores maiores e menores que zero</p><p>Qual seria a área entre</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>a</p><p>b</p><p>x</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O primeiro passo para encontrar uma solução é encontrar o zero (ou, em casos mais gerais, os</p><p>zeros) da função. No caso, estudar o ponto</p><p>Exemplo 2</p><p>Determine a área compreendida entre função</p><p>Solução</p><p>Primeiro vamos esboçar o grá�co da função</p><p>c</p><p>f(x) = 0</p><p>x</p><p>A = ∫</p><p>c</p><p>a f(x)dx + ∫</p><p>b</p><p>c f(x)dx∣ ∣ ∣ ∣f(x) = sen(x)</p><p>x</p><p>[0,  2π]</p><p>sem(x).</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 5 | Região delimitada pela função f(x) e eixo x</p><p>Observe que no intervalo de</p><p>Se você calcular a integral no intervalo</p><p>[0,  π]</p><p>[π,  2π]</p><p>A = ∫ π</p><p>0 sen (x)dx + ∫ 2π</p><p>π</p><p>sen (x)dx∣ ∣ ∣ ∣=  |(− cos (x))π0 | + (− cos (x))2ππ∣ ∣= |− cos(π) − (− cos (0))| + |− cos (2π) − (− cos (π))|</p><p>= |−(−1) − (−1)| + | − (1) − (−(−1)|</p><p>= |1 + 1| + |−1 − 1| = 2 + 2 = 4 u. a</p><p>[0,2π]</p><p>0</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Além das situações mais simples com apenas uma curva, podemos nos deparar com situações em</p><p>que a área da região plana está entre duas curvas (veja Figura 6). Nessa situação, também podemos</p><p>utilizar a integral para determinar a área entre as duas curvas.</p><p>Figura 6 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) e pelas retas verticais x = a e x = b</p><p>Para calcularmos a área compreendida entre duas funções</p><p>A Figura 7 demonstra visualmente a ideia do motivo de que se faz a subtração de</p><p>f(x)</p><p>g(x),</p><p>f(x) ≥ g(x)</p><p>a</p><p>b</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>A = ∫</p><p>b</p><p>a [f(x) − g(x)] dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 7 | Região delimitada pelas funções contínuas f(x) e g(x) com extremos que se interseccionam</p><p>Em algumas situações, é possível que as funções limitantes superior e inferior intersectarem-se em</p><p>um ou em ambos os extremos, então, nesses casos, podemos observar que as laterais da região</p><p>serão pontos em vez de segmentos de retas verticais. Para esses casos, precisamos determinar os</p><p>pontos de intersecção para obter os limites de integração. Para encontrar esses pontos de</p><p>intersecção, devemos resolver a igualdade</p><p>Agora que você já sabe como calcular a área entre duas curvas, vamos resolver alguns exemplos.</p><p>Exemplo 3</p><p>Determine a área da região compreendida entre as funções</p><p>Solução</p><p>Primeiro vamos esboçar as funções dadas:</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>g(x)</p><p>f(x) = g(x)</p><p>f(x) = x2 + 1</p><p>g(x) = −2x2 + 4</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 8 | Região delimitada pelas funções f(x) e g(x)</p><p>Agora, é necessário identi�car os pontos de interseção entre ambas as funções, já que esses pontos</p><p>estabelecem os limites da área que estamos procurando. Para isso basta igualarmos as duas</p><p>funções:</p><p>Analisando a Figura 8, podemos inferir que a função</p><p>x2 + 1 = −2x2 + 4</p><p>3x2 = 3</p><p>x2 = 1</p><p>x = ±1</p><p>g(x)</p><p>f(x)</p><p>[−1,1]</p><p>A = ∫ 1</p><p>−1(−2x2 + 4)− (x2 + 1)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, a área entre as funções</p><p>Exemplo 4</p><p>Sejam as funções</p><p>Solução</p><p>Vamos analisar o esboço dessas funções:</p><p>= ∫ 1</p><p>−1 −3x2 + 3dx</p><p>= [− 3x3</p><p>3 + 3x]</p><p>1</p><p>−1</p><p>= [−(1)3 + 3(1)]− [−(−1)3 + 3(−1)]</p><p>= (−1 + 3) − (1 − 3)</p><p>= 2 − (−2) = 2 + 2 = 4 u. a.</p><p>f</p><p>g</p><p>4 u. a.</p><p>f(x) = cos (x)</p><p>g(x) = sen (x)</p><p>[0, π</p><p>2 ]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 9 | Região delimitada pelas funções f(x) e g(x)</p><p>Siga em Frente...</p><p>Observe que a função</p><p>g(x)</p><p>f(x)</p><p>[0, π</p><p>2 ]</p><p>A</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>π</p><p>2</p><p>cos(x) = sin(x)</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Calculando</p><p>Calculando</p><p>A área total será dada pela soma das duas áreas:</p><p>Portanto, a área compreendida entre as funções</p><p>π</p><p>4</p><p>cos( π</p><p>4 ) = sen( π</p><p>4 ) = √2</p><p>2 .</p><p>A = A1 +A2</p><p>A1</p><p>A1 = ∫</p><p>π</p><p>4</p><p>0 [cos(x) − sen(x)]dx</p><p>= [sen(x) + cos(x)]</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>= [sen( π</p><p>4 )+ cos( π</p><p>4 )]− [sen(0) + cos(0)]</p><p>= √2</p><p>2 + √2</p><p>2 − 1 = √2 − 1</p><p>A2</p><p>A1 = ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>π</p><p>4</p><p>[sen(x) − cos(x)]dx</p><p>= [−cos(x) − sen(x)]</p><p>π</p><p>2</p><p>π</p><p>4</p><p>= [−cos( π</p><p>2 )− sen( π</p><p>2 )]− [−cos( π</p><p>4 )− sen( π</p><p>4 )]</p><p>= 0 − 1 + √2</p><p>2 + √2</p><p>2 = √2 − 1</p><p>A = A1 +A2</p><p>A = (√2 − 1)+ (√2 − 1)A = 2√2 − 2 u. a</p><p>f</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já aprendeu a calcular área entre duas curvas, vamos retomar a nossa situação</p><p>inicial. Nessa situação temos que calcular a área da região compreendida entre as funções</p><p>O primeiro passo é esboçar os grá�cos dessas funções:</p><p>Figura 10 | Região delimitada pelas funções f(x) e g(x)</p><p>Agora, vamos determinar os pontos A, B e C, que são os pontos de interseção entre as duas funções.</p><p>Para determinarmos esses pontos, basta igualarmos as funções e resolver a equação resultante:</p><p>g</p><p>[0, π</p><p>2 ]</p><p>2√2 − 2 u. a.</p><p>0,83</p><p>f(x) = 3x3 − x2 − 10x</p><p>g(x) = −x2 + 2x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Esses três pontos determinam dois intervalos de integração</p><p>f(x) = g(x)</p><p>3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x</p><p>3x3 − x2 − 10x+ x2 − 2x = 0</p><p>3x3 − 12x = 0</p><p>3x(x2 − 4) = 0</p><p>3x = 0 → x = 0</p><p>x2 − 4 = 0 → x = ±2</p><p>[−2,0]</p><p>[0,2]</p><p>g(x)</p><p>f(x)</p><p>[−2,0]</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>[0,2].</p><p>∫ 0</p><p>−2 [(3x</p><p>3 − x2 − 10x)− (−x2 + 2x)] dx+ ∫ 2</p><p>0 [(−x2 + 2x)− (3x3 − x2 − 10x)]dx</p><p>= ∫ 0</p><p>−2(3x</p><p>3 − 12x)dx+ ∫ 2</p><p>0 (−3x3 + 12x)dx</p><p>= [ 3x4</p><p>4 − 12x2</p><p>2 ]</p><p>0</p><p>−2</p><p>+ [− 3x4</p><p>4 + 12x2</p><p>2 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>= [(</p><p>3(0)4</p><p>4 − 6(0)2)− (</p><p>3(−2)4</p><p>4 − 6(−2)2)]+ [(−</p><p>3(2)4</p><p>4 + 6(2)2)− (−</p><p>3(0)4</p><p>4 + 6(0)2)]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, a região tem uma área de 24 unidades de área.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o cálculo de área leia a seção 5.4 – A área e</p><p>o teorema fundamental do cálculo e a seção 5.5 – A área de uma região limitada por dois grá�cos</p><p>do livro Cálculo Aplicado – Curso rápido do autor Ron Larson disponível na sua biblioteca virtual.</p><p>Ao �nal de cada seção, há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica,</p><p>resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir</p><p>se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 2</p><p>Cálculo de Volume de Sólidos de Revolução</p><p>= 0 − 0 − 12 + 24 − 12 + 24 = 24 u. a</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Cálculo de volume de sólidos de revolução</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos explorar uma segunda aplicação das</p><p>integrais de�nidas, o cálculo de volume de sólidos de rotação. Discutiremos sobre como determinar</p><p>o volume de sólidos formados pela rotação de funções em torno do eixo x e eixo y. Ao �nal,</p><p>exploraremos um exemplo de como podemos aplicar esse cálculo na resolução de problemas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Utilizando a geometria euclidiana, é simples determinar o volume de formas padrão, como cilindros</p><p>e cubos. No entanto, em nosso dia a dia, nos deparamos com uma variedade de formas, a maioria</p><p>das quais não é regular, ao contrário dos exemplos mencionados anteriormente. Estas formas</p><p>comuns ao nosso redor podem ser descritas por meio de funções matemáticas. No entanto, como</p><p>resolver essas funções de maneira a encontrar o volume correspondente a essas formas?</p><p>Antes do desenvolvimento das teorias do cálculo, os volumes dessas formas eram calculados de</p><p>forma aproximada. No entanto, atualmente, o cálculo oferece uma abordagem precisa para</p><p>determinar o volume de formas complexas. Nesta aula exploraremos como calcular o volume de</p><p>formas intricadas a partir de suas funções matemáticas, com ênfase especial nos sólidos de</p><p>revolução. Esses sólidos são obtidos girando o grá�co de uma função em torno de um dos eixos</p><p>canônicos.</p><p>Para ilustrar como determinar o volume de um sólido de revolução, suponha que você deseje</p><p>calcular o volume de uma casca formada rotacionando a região limitada entre as retas</p><p>y  =  0</p><p>x  =  0</p><p>y  =  25 – x2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Como podemos determinar esse volume? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>As integrais desempenham um papel fundamental no cálculo de volumes de formas tridimensionais,</p><p>proporcionando uma ferramenta poderosa para compreender e quanti�car o espaço ocupado por</p><p>objetos complexos. Ao aplicar integrais de�nidas, especialmente em contextos como sólidos de</p><p>revolução, é possível determinar o volume de um objeto girando uma curva em torno de um eixo.</p><p>A abordagem clássica envolve a divisão do objeto em in�nitesimais elementos de volume, cada um</p><p>modelado como um cilindro. A soma desses cilindros in�nitesimais, obtida por meio da integral,</p><p>resulta no volume total do sólido. Considere um sólido</p><p>y  =  25 – x2</p><p>–5  ≤  x  ≤  5</p><p>y  =  24,7 – 1,12x2</p><p>x</p><p>–4,7  ≤  x  ≤  4,7</p><p>y</p><p>S</p><p>xi</p><p>A(xi)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Volume por fatiamento. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 412).</p><p>Agora, podemos fazer uma aproximação. Suponha que em uma região de largura  a área transversal</p><p>é a mesma, conforme ilustra a Figura 2.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Área da seção transversal. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 412).</p><p>O volume de cada fatia na aproximação é dado por:</p><p>Portanto, divida o intervalo</p><p>Vi = A(xi) ⋅ Δx</p><p>[a, b]</p><p>Δx</p><p>xi</p><p>A(xi</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 3 | Sólido como soma de fatias. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 412).</p><p>Somando o volume de cada fatia, teremos uma estimativa do volume do sólido completo:</p><p>Como melhorar a estimativa? Diminuindo as larguras</p><p>Seja</p><p>VS = ∑n</p><p>i=1 A(xi) ⋅ Δx</p><p>VS = ∑n</p><p>i=1 A(xi) ⋅ Δx</p><p>Δx</p><p>Δx  →  0</p><p>S</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>S</p><p>Px</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Um exemplo extremamente útil em que tal método é aplicado é no caso dos conhecidos sólidos de</p><p>revolução. A ideia de um sólido de revolução é poder imaginar uma �gura plana construída por meio</p><p>de uma função</p><p>Figura 4 | Diversos tipos de sólidos de revolução. Fonte: Anton et al. (2014, p. 424).</p><p>As imagens estão representando sólidos originados pela rotação em torno do eixo</p><p>x</p><p>x</p><p>A(x)</p><p>A</p><p>S</p><p>V = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 A(xi) ⋅ Δx = ∫</p><p>b</p><p>a A(x)dx</p><p>f(x)</p><p>]a, b[</p><p>x</p><p>y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 5 | Rotação em torno do eixo y. Fonte: Wikimedia Commons.</p><p>Uma característica importante dos sólidos de revolução é que, para esse tipo de sólido, as seções</p><p>transversais perpendiculares ao eixo de rotação são circulares, conforme ilustra a Figura 6.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 6 | Sólido de revolução particionado em discos. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 415).</p><p>Siga em Frente...</p><p>Na geometria plana, a área de círculos é dada pela equação</p><p>Observe na Figura 6, que o raio do disco é dado pela função calculada em</p><p>Fique atento ao eixo pelo qual a função será rotacionada. Caso a rotação aconteça em torno do eixo</p><p>Quando a rotação é em torno do eixo</p><p>πr2</p><p>V = ∫ b</p><p>a</p><p>A(x)dx = ∫ b</p><p>a</p><p>πr2dx</p><p>x</p><p>V = ∫ b</p><p>a</p><p>π[f(x)]2dx</p><p>y</p><p>V = ∫ d</p><p>c</p><p>π[g(y)]2dy</p><p>y,</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando essas informações, vamos resolver alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1: encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo</p><p>Solução</p><p>Queremos determinar o volume do sólido formado ao rotacionar a função</p><p>Portanto, o volume do sólido de revolução formado é de</p><p>Exemplo 2: calcule o volume de uma taça, cujo recipiente é obtido por meio da rotação da função</p><p>Solução</p><p>x = g(y)</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y = √x</p><p>[0,4]</p><p>y = √x</p><p>x</p><p>V = ∫ 4</p><p>0 π[√x]</p><p>2</p><p>dx</p><p>= π ∫ 4</p><p>0 xdx = π[ x2</p><p>2 ]</p><p>4</p><p>0</p><p>= π[ (4)2</p><p>2 − (0)2</p><p>2 ] = 8π u. v.</p><p>8π u. v.</p><p>25,13</p><p>f(x)  =  x3</p><p>y</p><p>y = 8</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O esboço do grá�co e da rotação em torno do eixo y podem ser vistos na Figura 7.</p><p>Figura 7 | Sólido de revolução. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 415).</p><p>Observe que queremos calcular o volume do sólido ao rotacionar a função em torno do eixo</p><p>Agora, podemos calcular o volume:</p><p>y</p><p>x = g(y)</p><p>y = x3</p><p>x = 3√y = y</p><p>1</p><p>3</p><p>∫ 8</p><p>0 π[y</p><p>1</p><p>3 ]</p><p>2</p><p>dy = π ∫ 8</p><p>0 y</p><p>2</p><p>3 dy = π[ y</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>]</p><p>8</p><p>0</p><p>= π[ 3</p><p>5</p><p>3√y5]</p><p>8</p><p>0</p><p>= 3</p><p>5 π[</p><p>3√(8)5 − 3√(0)5]</p><p>∫</p><p>8</p><p>0 π[y</p><p>1</p><p>3 ]</p><p>2</p><p>dy = π ∫</p><p>8</p><p>0 y</p><p>2</p><p>3 dy = π[ y</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>]</p><p>8</p><p>0</p><p>= π[ 3</p><p>5</p><p>3√y5]</p><p>8</p><p>0</p><p>= 3</p><p>5 π[</p><p>3√(8)5 − 3√(0)5]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, o volume do sólido é de</p><p>Exemplo 3: calcule o volume do sólido obtido girando a região limitada pelas retas</p><p>Solução</p><p>O esboço do grá�co e da rotação em torno do eixo</p><p>Figura 8 | Sólido de revolução</p><p>O volume será dado por:</p><p>= 3</p><p>5 π[32 − 0] = 96</p><p>5 π u. v.</p><p>= 3</p><p>5 π[32 − 0] = 96</p><p>5 π u. v.</p><p>96</p><p>5 π u. v</p><p>60,32</p><p>y = x</p><p>y = 0</p><p>x = 5</p><p>x</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, o volume será de</p><p>, ou seja, aproximadamente</p><p>unidades de volume.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Considerando o que você aprendeu sobre o cálculo de volume de sólidos de revolução, vamos</p><p>retomar a nossa situação inicial: você deve determinar o volume de uma casca formada</p><p>rotacionando a região limitada entre as retas</p><p>Primeiro vamos fazer o esboço das funções que serão rotacionadas,</p><p>lembrando que iremos calcular</p><p>o volume da casca formada entre essas duas funções.</p><p>V = ∫ 5</p><p>0 π[x]2dx = π ∫ 5</p><p>0 x2dx = π[ x3</p><p>3 ]</p><p>5</p><p>0</p><p>= π[ (5)3</p><p>3 − (0)3</p><p>3 ] = 125</p><p>3 π u. v.</p><p>V = ∫</p><p>5</p><p>0 π[x]2dx = π ∫</p><p>5</p><p>0 x2dx = π[ x3</p><p>3 ]</p><p>5</p><p>0</p><p>= π[ (5)3</p><p>3 − (0)3</p><p>3 ] = 125</p><p>3 π u. v.</p><p>125</p><p>3 π u. v.</p><p>130,90</p><p>125</p><p>3 π u. v.</p><p>130,90</p><p>y  =  0</p><p>x  =  0</p><p>y  =  25 – x2</p><p>x</p><p>–5  ≤  x  ≤  5</p><p>y  =  24,7 – 1,12x2</p><p>x</p><p>–4,7  ≤  x  ≤  4,7</p><p>y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 9 | Funções a serem rotacionadas</p><p>Como em ambos os casos, iremos rotacionar as funções em torno do eixo</p><p>y,</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Observe que</p><p>No caso da função</p><p>Sendo</p><p>Agora, calculamos o volume do sólido formado pela rotação da primeira função:</p><p>x = g(y)</p><p>y = 25 − x2</p><p>y = 25 − x2</p><p>x2 = 25 − y</p><p>x = √25 − y</p><p>0 ≤ y ≤ 25</p><p>y  =  24,7 – 1,12x2</p><p>y  =  24,7 – 1,12x2</p><p>1,12x2 = 24,7 − y</p><p>x2 = 22,05 − 0,89y</p><p>x = √22,05 − 0,89y</p><p>0 ≤ y ≤ 24,7</p><p>V1 = ∫ 25</p><p>0 A(y)dy = ∫ 25</p><p>0 π(√25 − y)</p><p>2</p><p>dy</p><p>= ∫ 25</p><p>0 π(25 − y)dy = π[25y− y2</p><p>2 ]</p><p>25</p><p>0</p><p>= π[25(25) − (25)2</p><p>2 ] = π[625 − 625</p><p>2 ]</p><p>= 625</p><p>2 π = 312,5π</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Calculando o volume do sólido formado pela rotação da segunda função, temos:</p><p>Para obter o volume da casca formado pela rotação das duas funções será dado pela diferença</p><p>entre os volumes encontrados:</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>V2 = ∫ 24,7</p><p>0 A(y)dy = ∫ 24,7</p><p>0 π(√22,05 − 0,89y)</p><p>2</p><p>dy</p><p>V2 = ∫</p><p>24,7</p><p>0 A(y)dy = ∫</p><p>24,7</p><p>0 π(√22,05 − 0,89y)</p><p>2</p><p>dy</p><p>= ∫</p><p>24,7</p><p>0 π(22,05 − 0,89y)dy = π[22,05y− 0,89y2</p><p>2 ]</p><p>24,7</p><p>0</p><p>= ∫ 24,7</p><p>0 π(22,05 − 0,89y)dy = π[22,05y− 0,89y2</p><p>2 ]</p><p>24,7</p><p>0</p><p>= π[22,05(24,7) − 0,89(24,7)2</p><p>2 ] = π[544,635 − 271,49005]</p><p>= π[22,05(24,7) − 0,89(24,7)2</p><p>2 ] = π[544,635 − 271,49005]</p><p>= 273,14495π</p><p>= 273,14495π</p><p>V = V1 − V2</p><p>V = V1 − V2</p><p>V = 312,5 π− 273,14495π = 39,35505 π  ≈ 123,64 u. v.</p><p>V = 312,5 π− 273,14495π = 39,35505 π  ≈ 123,64 u. v.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos o cálculo de volume leia a seção 6.2 – Volumes</p><p>do livro do livro Cálculo: v.1 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua</p><p>biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e</p><p>uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode</p><p>conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido. Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 3</p><p>Problemas de Valores Iniciais Imediatos</p><p>Problemas de valores iniciais imediatos</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Anteriormente estudamos que as integrais podem ser</p><p>utilizadas no cálculo de área e volume. Além disso, podemos utilizar as integrais para resolver</p><p>problemas de valor inicial. Nessa aula iremos aprender sobre esse tipo de problemas. Discutiremos</p><p>quais são as características desse tipo problema e como podemos utilizar as integrais para resolvê-</p><p>los. Ao �nal, discutiremos situações em que esse tipo de problema pode ser utilizado.</p><p>Ponto de Partida</p><p>O problema de valor inicial imediato, também conhecido como problema de Cauchy, é um conceito</p><p>fundamental na teoria das equações diferenciais ordinárias (EDOs). Essas equações descrevem o</p><p>comportamento de uma função em termos de sua derivada em relação à variável independente. O</p><p>problema de valor inicial ocorre quando tentamos determinar a solução de uma EDO especi�cando</p><p>não apenas a equação diferencial, mas também as condições iniciais da função em um ponto</p><p>especí�co.</p><p>Nessa aula vamos estudar um tipo especí�co de equação diferencial, sendo que um estudo mais</p><p>aprofundado sobre as EDOs pode ser realizado em disciplinas futuras. Nossa aula terá como foco</p><p>problemas que envolvem equações do tipo</p><p>Para ilustrar como podemos determinar a solução de um problema de valor inicial imediato,</p><p>considere a seguinte situação: a Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem</p><p>para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é:</p><p>Considerando que a produção na primeira semana é de 5000 unidades, calcule a quantidade de</p><p>calculadoras produzidas na quarta semana.</p><p>Como podemos resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos sobre problemas de valor</p><p>inicial?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Anteriormente, exploramos o conceito de que uma integral inde�nida deve ser acompanhada por</p><p>uma constante, representada por "K". Essa necessidade surge devido à existência de uma família de</p><p>primitivas que responde à pergunta: "Qual é a função</p><p>y' = f(x)</p><p>dp</p><p>dt</p><p>= 4000 + 4000 t3</p><p>F(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Na Figura 1, podemos observar que todas as funções apresentadas compartilham a mesma</p><p>derivada para um valor constante de</p><p>Figura 1 | Família de funções da função</p><p>Em alguns casos, como veremos a seguir, é importante e tem signi�cado a escolha precisa de uma</p><p>determinada primitiva, com a obtenção da constante de integração</p><p>f(x)</p><p>F(x)  +  K</p><p>K</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x³+K</p><p>x³+K</p><p>K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>. Um desses casos é na resolução de um problema de valor inicial (PVI). Esse tipo de problema</p><p>envolve uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem e linear. Uma EDO é uma</p><p>equação que contém uma função incógnita e suas respectivas derivadas, como por exemplo</p><p>, em que</p><p>e</p><p>são funções de</p><p>. Nosso foco serão problemas que envolvem EDOs do tipo</p><p>, além disso, os problemas nos fornecerão uma condição inicial do tipo</p><p>. Nesse sentido um problema de valor inicial imediato será do tipo:</p><p>A resolução desse tipo de problema requer que encontremos a solução da EDO e, para isso, basta</p><p>integrarmos os dois membros da igualdade e posteriormente utilizamos a condição inicial para</p><p>determinarmos o valor da constante</p><p>.</p><p>y' + P(x)y = Q(x)</p><p>P(x)</p><p>Q(x)</p><p>x</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>K</p><p>y' + P(x)y = Q(x)</p><p>P(x)</p><p>Q(x)</p><p>x</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>{</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>{</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>K</p><p>K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para analisarmos como resolver esse tipo de problema, vamos analisar os exemplos que seguem.</p><p>Exemplo 1</p><p>Em uma re�naria, uma máquina parou de funcionar, gerando uma taxa de variação do prejuízo (em</p><p>milhares de reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina �ca parada dada por:</p><p>Sabendo que com a máquina funcionando não há prejuízo</p><p>, calcule o prejuízo da empresa caso a máquina �que parada por 4 horas.</p><p>Solução</p><p>Para iniciar o problema,</p><p>uma boa conduta é sempre organizar suas ideias, anotando todas as</p><p>informações do problema, conforme a seguir:</p><p>Como queremos determinar o prejuízo se a máquina �car parada por 4 horas, primeiro temos que</p><p>determinar a função</p><p>. Para isso basta integrarmos a EDO dada:</p><p>P '(t)  =  2t  +  20</p><p>P '(t)  =  2t  +  20</p><p>(P(0)  =  0)</p><p>(P(0)  =  0)</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩P '(t) = 2t+ 20</p><p>P(0) = 0</p><p>P(4) =?</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩P '(t) = 2t+ 20</p><p>P(0) = 0</p><p>P(4) =?</p><p>P(t)</p><p>P(t)</p><p>∫ P '(t) = ∫ (2t+ 20)dt</p><p>∫ P '(t) = ∫ (2t+ 20)dt</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para determinarmos o valor de</p><p>, utilizamos a condição inicial</p><p>, e para isso basta substituirmos o valor</p><p>na função</p><p>encontrada:</p><p>Assim, a função que fornece o prejuízo será</p><p>. Agora, basta encontrarmos o valor de</p><p>:</p><p>P(t) = 2t2</p><p>2 + 20t+K</p><p>P(t) = 2t2</p><p>2 + 20t+K</p><p>P(t) = t2 + 20t+K</p><p>P(t) = t2 + 20t+K</p><p>K</p><p>P(0) = 0</p><p>t = 0</p><p>P(t)</p><p>K</p><p>P(0) = 0</p><p>t = 0</p><p>P(t)</p><p>P(0) = (0)2 + 20(0) +K = 0</p><p>P(0) = (0)2 + 20(0) +K = 0</p><p>K = 0</p><p>K = 0</p><p>P(t) = t2 + 20t</p><p>P(4)</p><p>P(t) = t2 + 20t</p><p>P(4)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, o prejuízo da empresa caso a máquina �que parada por 4 horas é de 96 mil reais.</p><p>Exemplo 2</p><p>Uma caixa d’água está com um vazamento cuja taxa de variação pode ser descrito pela função</p><p>litros em função do tempo em minutos. Sabendo que no instante inicial já havia vazado 20 litros, ou</p><p>seja,</p><p>, você deverá determinar quantos litros já terão vazado em 49 minutos.</p><p>Solução</p><p>Temos os seguintes dados fornecidos pelo problema:</p><p>Agora, temos que determinar qual a função que descreve o vazamento em relação ao tempo. Para</p><p>isso, vamos integrar a função</p><p>P(4) = (4)2 + 20(4) = 16 + 80 = 96</p><p>P(4) = (4)2 + 20(4) = 16 + 80 = 96</p><p>V '(t )  = 1</p><p>2√t</p><p>V (0)  =  20</p><p>V '(t )  = 1</p><p>2√t</p><p>V (0)  =  20</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩V '(t) = 1</p><p>2√t</p><p>V (0) = 20</p><p>V (49) =?</p><p>⎧⎪⎨⎪⎩V '(t) = 1</p><p>2√t</p><p>V (0) = 20</p><p>V (49) =?</p><p>V '(t) :</p><p>V '(t) :</p><p>V (t) = ∫ 1</p><p>2√t</p><p>dt = ∫ 1</p><p>2t</p><p>1</p><p>2</p><p>dt = ∫ 1</p><p>2 t</p><p>− 1</p><p>2 dt</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Siga em Frente...</p><p>Agora, para determinarmos o valo de</p><p>Logo, a função que determina a vazão em relação ao tempo é dada por</p><p>Assim sendo, vazaram 27 litros de água da caixa d’água em 49 minutos.</p><p>Exemplo 3</p><p>Um colecionador de arte comprou uma pintura por R$1.500,00 de um artista cuja variação do valor</p><p>dos trabalhos aumenta de acordo com a fórmula</p><p>V (t) = ∫ 1</p><p>2√t</p><p>dt = ∫ 1</p><p>2t</p><p>1</p><p>2</p><p>dt = ∫ 1</p><p>2 t</p><p>− 1</p><p>2 dt</p><p>= 1</p><p>2 ∫ t</p><p>− 1</p><p>2 dt = 1</p><p>2 ⋅ t</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>+K = 1</p><p>2 ⋅ 2√t+K = √t+K</p><p>= 1</p><p>2 ∫ t</p><p>− 1</p><p>2 dt = 1</p><p>2 ⋅ t</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>+K = 1</p><p>2 ⋅ 2√t+K = √t+K</p><p>K</p><p>V (0) = 20</p><p>V (t) = √t+K</p><p>V (0) = √(0) +K = 20</p><p>K = 20</p><p>V (t) = √t+ 20</p><p>t = 49</p><p>V (49) = √49 + 20</p><p>V (49) = 7 + 20 = 27</p><p>V '(t) = 5t</p><p>3</p><p>2 + 10t+ 50</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Solução</p><p>Para estimarmos o valor previsto daqui a 4 anos, temos que encontrar a função V(t), para isso</p><p>integraremos a função</p><p>Logo</p><p>Portanto</p><p>Como etapa �nal temos que encontrar o valor previsto daqui a 4 anos temos que calcular o valor de</p><p>V(4). Logo,</p><p>V</p><p>V '(t) = 5t</p><p>3</p><p>2 + 10t+ 50</p><p>V (t) = ∫(5t</p><p>3</p><p>2 + 10t+ 50)dt</p><p>= 5t</p><p>5</p><p>2 ∙ 2</p><p>5 + 10t2</p><p>2 + 50t+K</p><p>= 2√t5 + 5t2 + 50t+K</p><p>V (t) = 2√t5 + 5t2 + 50t+ C</p><p>V (0) = 2√(0)5 + 5(0)2 + 50(0) +K = 1500</p><p>0 + 0 + 0 +K = 1500</p><p>K = 1500</p><p>V (t) = 2√t5 + 5t2 + 50t+ 1500</p><p>V (4) = 2√(4)5 + 5(4)2 + 50(4) + 1500</p><p>V (4) = 2√1024 + 5(16) + 200 + 1500</p><p>V (4) = 2(32) + 80 + 200 + 1500</p><p>V (4) = 64 + 1780 = 1844</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, daqui a 4 anos a pintura valerá R$1.844,00.</p><p>É crucial ressaltar que os problemas de valor inicial frequentemente abordam Equações Diferenciais</p><p>Ordinárias (EDO). Nos enunciados desses problemas, é comum encontrar termos como taxa de</p><p>variação, custo marginal e receita marginal. É importante lembrar que as derivadas estão</p><p>intrinsecamente ligadas à ideia de taxa de variação.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Considerando o que aprendemos sobre os problemas de valor inicial, vamos retomar a nossa</p><p>situação inicial, em que foi fornecida a taxa de produção de calculadoras após t semanas:</p><p>Além disso, foi fornecida a informação de que a produção na primeira semana é de 5000 unidades.</p><p>De posse dessas informações temos que calcular a produção na quarta semana, ou seja,</p><p>Como temos uma EDO do tipo</p><p>Agora temos que encontrar o valor de K e para isso vamos utilizar os valores iniciais dados no</p><p>problema, isto é,</p><p>Portanto, a função que descreve a produção de calculadoras após</p><p>dp</p><p>dt = 4000 + 4000 t3</p><p>P(4)</p><p>P '(t) = 4000 + 4000 t3</p><p>P(t)</p><p>P(t) = ∫(4000 + 4000 t3)dt</p><p>= 4000t+ 1000t4 +K</p><p>P(1) = 5000</p><p>P(1) = 4000(1) + 1000(1)4 +K = 5000</p><p>4000 + 1000 +K = 5000</p><p>K = 0</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, a produção na quarta semana é de 272.000 unidades de calculadoras.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Vimos que os problemas de valor inicial envolvem o cálculo de integrais inde�nidas, assim é</p><p>importante que você aprimore seus conhecimentos sobre  cálculo de integrais. Para isso, leia a</p><p>seção 5.4 – Integrais Inde�nidas e o Teorema da Variação Total do livro do livro Cálculo: v.1 de</p><p>James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção</p><p>há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios</p><p>ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos</p><p>cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>t</p><p>P(t) = 4000t+ 1000t4</p><p>P(4) = 4000(4) + 1000(4)4 = 16000 + 256000 = 272000</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Aula 4</p><p>Outras Aplicações de Integrais</p><p>Outras aplicações de integrais</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos explorar algumas aplicações das</p><p>integrais em outras áreas do conhecimento, para além da Matemática. Discutiremos como podemos</p><p>empregar as integrais para o estudo da distância e deslocamento de um corpo. Além disso,</p><p>discutiremos como utilizar as integrais na determinação do centro de massa de uma placa plana.</p><p>Por �m, discutiremos como podemos utilizar as integrais para determinar o excedente do</p><p>consumidor para o produto.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Exploramos anteriormente as diversas aplicações das integrais, destacando seu papel no cálculo de</p><p>áreas entre curvas, na determinação de volumes de sólidos de revolução e na resolução de</p><p>problemas de valor inicial. No entanto, é importante ressaltar que essas não são as únicas utilidades</p><p>das integrais. Elas também desempenham um papel fundamental em uma variedade de contextos</p><p>matemáticos e cientí�cos,</p><p>abrangendo desde a modelagem de fenômenos físicos até a análise de</p><p>taxas de variação em diferentes áreas.</p><p>Nesta aula, abordaremos diversas aplicações das integrais que ultrapassam o âmbito da</p><p>matemática. Exploraremos a utilização das integrais para calcular deslocamentos e distâncias</p><p>percorridas por um corpo. Além disso, examinaremos como determinar momentos e o centro de</p><p>massa de uma placa plana. Para concluir, dedicaremos um tempo ao estudo de como aplicar o</p><p>conceito de integral para calcular o excedente do consumidor em relação a um determinado</p><p>produto. Essa ampla gama de aplicações destaca a versatilidade e relevância das integrais em</p><p>diversos campos do conhecimento.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para ilustrar uma dessas aplicações você deve determinar o centroide da região delimitada pela reta</p><p>Como podemos resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se temos uma função</p><p>contínua em um intervalo</p><p>então temos</p><p>em que</p><p>é uma primitiva de</p><p>, ou seja, uma função que satisfaz a seguinte igualdade</p><p>. Podemos interpretar que</p><p>representa a taxa de variação da função</p><p>em relação a</p><p>, e</p><p>corresponde à variação</p><p>em quando o valor de</p><p>y  =  x</p><p>y  =  x2</p><p>f(x)</p><p>[a, b]</p><p>f(x)</p><p>[a, b]</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = F(a) − F(b)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = F(a) − F(b)</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F '(x) = f(x)</p><p>F '(x)</p><p>y  =  F(x)</p><p>x</p><p>F(b) – F(a)</p><p>y</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>transita de</p><p>para</p><p>. Importante observar que, embora a função</p><p>possa apresentar variações em ambas as direções, como crescimento, decrescimento e</p><p>subsequente crescimento novamente, a expressão</p><p>captura a variação total em</p><p>decorrente dessa mudança de</p><p>de</p><p>para</p><p>(STEWART; CLEGG; WATSON, 2021). Diante disso, podemos enunciar o teorema da variação total: a</p><p>integral de uma taxa de variação é a variação total:</p><p>a</p><p>b</p><p>y</p><p>F(b) – F(a)</p><p>y</p><p>x</p><p>a</p><p>b</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F '(x) = f(x)</p><p>F '(x)</p><p>y  =  F(x)</p><p>x</p><p>F(b) – F(a)</p><p>y</p><p>x</p><p>a</p><p>b</p><p>y</p><p>F(b) – F(a)</p><p>y</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O teorema da variação total abrange todas as taxas de variação presentes nas ciências naturais e</p><p>sociais. Este princípio fundamental destaca a universalidade de sua aplicação, proporcionando</p><p>insights valiosos em diversas disciplinas. Ao analisarmos fenômenos em campos como física,</p><p>biologia, economia e outras ciências sociais, percebemos que o teorema é uma ferramenta</p><p>essencial para compreender e quanti�car mudanças ao longo do tempo. Tendo como base esse</p><p>teorema, vamos conhecer algumas de suas aplicações (STEWART; CLEGG; WATSON, 2021).</p><p>A partir desse teorema podemos determinar a variação na quantidade de água em um reservatório</p><p>nos instantes de tempo</p><p>e</p><p>. Sabemos que se</p><p>é o volume de água em um reservatório no instante</p><p>, então sua derivada</p><p>é a taxa segundo a qual a água �ui para dentro do reservatório no instante, logo, a variação na</p><p>quantidade de água no reservatório será dada por:</p><p>a</p><p>b</p><p>∫</p><p>b</p><p>a F '(x)dx = F(b) − F(a)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>F '(x)dx = F(b) − F(a)</p><p>t1</p><p>t2</p><p>V (t)</p><p>t</p><p>V '(t)</p><p>t1</p><p>t2</p><p>V (t)</p><p>t</p><p>V '(t)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>V '(t)dt = V (t2) − V (t1)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>V '(t)dt = V (t2) − V (t1)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Se a massa de uma barra, medida a partir da extremidade esquerda até um ponto</p><p>, for representada por</p><p>a densidade linear nesse ponto é dada pela derivada da massa em relação a</p><p>, denotada por</p><p>). Logo, a massa do segmento da barra que está entre</p><p>e</p><p>será denotada por:</p><p>Outra aplicação relevante desse teorema está associada à concepção de deslocamento e distância</p><p>percorrida por um objeto. É crucial destacar a distinção existente entre deslocamento e distância,</p><p>pois esses termos são frequentemente utilizados de maneira intercambiável, mas têm signi�cados</p><p>distintos.</p><p>O deslocamento refere-se à mudança de posição de um objeto em relação a seu ponto inicial,</p><p>levando em consideração a direção. Por outro lado, a distância percorrida é a soma total das</p><p>distâncias efetivamente cobertas pelo objeto, independentemente da direção.</p><p>Para determinarmos o deslocamento de um objeto, considere que ele se move ao longo de uma reta</p><p>com a função posição dada por</p><p>, logo, sua velocidade é dada por</p><p>x</p><p>m(x),</p><p>x</p><p>ρ(x)  =  m'(x</p><p>x =  a</p><p>x  =  b</p><p>x</p><p>m(x),</p><p>x</p><p>ρ(x)  =  m'(x</p><p>x =  a</p><p>x  =  b</p><p>∫</p><p>b</p><p>a ρ(x)dx = m(b) −m(a)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>ρ(x)dx = m(b) −m(a)</p><p>s(t)</p><p>v(t) = s'(t)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>. Nesse sentido, o deslocamento do objeto durante o período de</p><p>a</p><p>será dado por:</p><p>Se desejarmos determinar a distância percorrida ao longo de um intervalo de tempo, precisamos</p><p>levar em consideração os períodos em que a função</p><p>(indicando que o objeto se move para a direita) e os períodos em que</p><p>(indicando que o objeto se move para a esquerda). Em ambos os cenários, a distância percorrida é</p><p>calculada integrando a função</p><p>, que representa a velocidade escalar, destacando a magnitude da velocidade, independentemente</p><p>da direção. Portanto, a distância total percorrida no intervalo de tempo de</p><p>a</p><p>será dada por:</p><p>t1</p><p>t2</p><p>s(t)</p><p>v(t) = s'(t)</p><p>t1</p><p>t2</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = s(t2) − s(t1)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = s(t2) − s(t1)</p><p>v(t)  ≥  0</p><p>v(t)  ≤  0</p><p>| v(t) |</p><p>t1</p><p>t2</p><p>v(t)  ≥  0</p><p>v(t)  ≤  0</p><p>| v(t) |</p><p>t1</p><p>t2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Tanto o deslocamento quanto a distância podem ser interpretados em termos de área sob a curva</p><p>velocidade, conforme ilustra a Figura 1.</p><p>Figura 1 | Interpretação grá�ca do deslocamento e distância. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2021, p. 380).</p><p>Diante disso, temos que:</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt</p><p>Deslocamento = ∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = A1 −A2 +A3</p><p>Deslocamento = ∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = A1 −A2 +A3</p><p>Distância = ∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt = A1 +A2 +A3</p><p>Distância = ∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt = A1 +A2 +A3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ainda no âmbito da física, quando possuímos informações sobre a aceleração de um objeto,</p><p>podemos determinar a mudança na velocidade do instante</p><p>a</p><p>. Se a aceleração é dada por</p><p>, então a mudança na velocidade será dada por:</p><p>Vamos agora empregar esses conhecimentos para resolver o exemplo que segue.</p><p>Exemplo 1</p><p>Um carro move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua velocidade no instante</p><p>Solução</p><p>O deslocamento será dado por:</p><p>t1</p><p>t2</p><p>a(t) = v'(t)</p><p>t1</p><p>t2</p><p>a(t) = v'(t)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>a(t)dt = v(t2) − v(t1)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>a(t)dt = v(t2) − v(t1)</p><p>t</p><p>v(t) = t2 − t− 6</p><p>0 ≤ t ≤ 4</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = ∫ 4</p><p>0 (t</p><p>2 − t− 6)dt =</p><p>= [ t3</p><p>3 − t2</p><p>2 − 6t]</p><p>4</p><p>0</p><p>=</p><p>= [</p><p>(4)3</p><p>3 −</p><p>(4)2</p><p>2 − 6(4)]− (0)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Isso signi�ca que o carro se moveu aproximadamente 11 m para a esquerda. Para determinarmos a</p><p>distância percorrida, primeiro vamos esboçar gra�camente a função velocidade.</p><p>Figura 2 | Representação da curva velocidade</p><p>= 64</p><p>3 − 16</p><p>2 − 24 = − 32</p><p>3 ≅−11 m</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Observe que em um determinado intervalo a função assume valores negativos, assim a integral da</p><p>função nesse intervalo deve ser calculada em módulo. Para descobrimos qual é o limite superior do</p><p>intervalo, basta determinarmos a raiz da função velocidade, isto é, em que tempo a velocidade será</p><p>nula. Ao resolver a equação</p><p>, encontraremos as raízes</p><p>e</p><p>. Assim, a distância percorrida será dada por:</p><p>t2 − t− 6 = 0</p><p>t = −2</p><p>t = 3</p><p>t2 − t− 6 = 0</p><p>t = −2</p><p>t = 3</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt = A1 +A2</p><p>∫</p><p>t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt = A1 +A2</p><p>= ∫</p><p>3</p><p>0 (t2 − t− 6)dt + ∫</p><p>4</p><p>3 (t2 − t− 6)dt∣ ∣= ∫ 3</p><p>0 (t2 − t− 6)dt + ∫ 4</p><p>3 (t2 − t− 6)dt∣ ∣= [ t3</p><p>3 − t2</p><p>2 − 6t]</p><p>3</p><p>0</p><p>+ [ t3</p><p>3 − t2</p><p>2 − 6t]</p><p>4</p><p>3∣ ∣= [ t3</p><p>3 − t2</p><p>2 − 6t]</p><p>3</p><p>0</p><p>+ [ t3</p><p>3 − t2</p><p>2 − 6t]</p><p>4</p><p>3∣ ∣= ( 33</p><p>3 − 32</p><p>2 − 6(3) − 0) + [( 43</p><p>3 − 42</p><p>2 − 6(4))− ( 33</p><p>3 − 32</p><p>2 − 6(3))]∣ ∣= ( 33</p><p>3 − 32</p><p>2 − 6(3) − 0) + [( 43</p><p>3 − 42</p><p>2 − 6(4))− ( 33</p><p>3 − 32</p><p>2 − 6(3))]∣ ∣= 9 − 9</p><p>2 − 18 + [− 32</p><p>3 − (− 27</p><p>2 )]∣ ∣= 9 − 9</p><p>2 − 18 + [− 32</p><p>3 − (− 27</p><p>2 )]∣ ∣</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Na economia, temos que a função demanda, representada por</p><p>determina o preço que uma empresa deve estabelecer para</p><p>vender</p><p>unidades de um produto. Tipicamente, a �m de promover a venda de quantidades maiores, é</p><p>necessário reduzir os preços; portanto, a função demanda é caracterizada por ser decrescente. O</p><p>grá�co comumente conhecido como curva de demanda, ilustrado na Figura 3, retrata essa relação.</p><p>Se</p><p>representa a quantidade do produto atualmente disponível para venda, então</p><p>denota o preço de venda vigente (STEWART; CLEGG; WATSON, 2021).</p><p>= − 27</p><p>2 + [− 32</p><p>3 + 27</p><p>2  ] = 27</p><p>2 + 17</p><p>6 = 49</p><p>3 ≅16 m∣ ∣= − 27</p><p>2 + [− 32</p><p>3 + 27</p><p>2  ] = 27</p><p>2 + 17</p><p>6 = 49</p><p>3 ≅16 m∣ ∣ p(x),</p><p>x</p><p>X</p><p>P   =  p(X)</p><p>p(x),</p><p>x</p><p>X</p><p>P   =  p(X)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 3 | Curva de demanda</p><p>A um determinado preço, alguns consumidores que adquirem um bem estariam dispostos a gastar</p><p>mais; contudo, eles se bene�ciam ao não precisarem fazê-lo. A diferença entre o valor que um</p><p>consumidor estaria disposto a pagar e o montante efetivamente desembolsado pelos consumidores</p><p>pelo bem é conhecida como excedente do consumidor. Ao calcular o excedente do consumidor total,</p><p>abrangendo todos os compradores do bem, os economistas podem avaliar o benefício global de um</p><p>mercado para a sociedade. Nesse contexto, a quantia que os consumidores economizam ao adquirir</p><p>um produto pelo preço</p><p>correspondente a uma quantidade demandada de</p><p>e será expressa por:</p><p>P</p><p>X</p><p>P</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Com base nessas informações, vamos resolver o exemplo que segue.</p><p>Exemplo 2</p><p>Considere que a demanda por um produto é dada pela função</p><p>Solução</p><p>Como o número de produtos vendidos é</p><p>, o preço correspondente é:</p><p>Utilizando a fórmula do excedente, teremos:</p><p>X</p><p>∫ X</p><p>0 [p(x) − P ]dx</p><p>∫ X</p><p>0 [p(x) − P ]dx</p><p>p = 1200 − 0,2x− 0,001x2</p><p>p</p><p>x</p><p>X  =  400</p><p>X  =  400</p><p>P = 1200 − 0,2(400) − 0,001(400)2 = 960</p><p>P = 1200 − 0,2(400) − 0,001(400)2 = 960</p><p>∫ X</p><p>0 [p(x) − P ]dx = ∫ 400</p><p>0 [1200 − 0,2x− 0,001x2 − 960]dx</p><p>= ∫ 400</p><p>0 (240 − 0,2x− 0,001x2)dx</p><p>= [240x− 0,2x2</p><p>2 − 0,001x3</p><p>3 ]</p><p>400</p><p>0</p><p>= 240(400) − 0,1(400)2 − 0,001</p><p>3 (400)3 ≈ 58666,67</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Siga em Frente...</p><p>Além das aplicações vistas até o momento, podemos utilizar as integrais para determinar o centro</p><p>de gravidade de uma placa. O centro de gravidade de uma placa, também conhecido como centro de</p><p>massa, é um ponto hipotético onde toda a massa da placa pode ser considerada concentrada para</p><p>efeitos de cálculos físicos. Ao buscar determinar o centro de massa, focalizamos nossa atenção em</p><p>uma placa plana, referida como lâmina, que apresenta densidade uniforme</p><p>Figura 4 | Região S</p><p>O centro de massa da placa, também denominado centroide ou centro geométrico da região</p><p>, será dado por:</p><p>ρ</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>x</p><p>f</p><p>f</p><p>S</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>em que</p><p>é área da região.</p><p>Se a região</p><p>estiver localizada entre duas curvas</p><p>e</p><p>onde</p><p>É crucial ressaltar que, para além das aplicações abordadas nessa aula, as integrais desempenham</p><p>um papel fundamental em diversas outras áreas. Podemos empregar essas ferramentas</p><p>matemáticas no estudo do �uxo sanguíneo, explorando questões relacionadas à circulação e</p><p>dinâmica cardiovascular. Além disso, as integrais são essenciais para analisar a capacidade</p><p>cardíaca, fornecendo insights valiosos sobre o desempenho do coração em diferentes situações.</p><p>No âmbito físico, as integrais têm aplicação direta na compreensão de fenômenos como pressão e</p><p>força hidrostática. Elas possibilitam uma análise detalhada das variações nessas grandezas ao</p><p>longo de diferentes con�gurações e ambientes. Além disso, o conceito de trabalho, intrinsecamente</p><p>ligado às integrais, desempenha um papel crucial em estudos físicos, permitindo a quanti�cação do</p><p>esforço necessário para realizar determinadas tarefas ou superar resistências.</p><p>S</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xf(x)dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 [f(x)]</p><p>2dx</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xf(x)dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 [f(x)]</p><p>2dx</p><p>A</p><p>A</p><p>S</p><p>y  =  f (x)</p><p>y  =  g(x),</p><p>S</p><p>y  =  f (x)</p><p>y  =  g(x),</p><p>f (x)  ≥  g(x)</p><p>y  =  g(x),</p><p>y  =  g(x),</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, as integrais revelam-se uma ferramenta poderosa e versátil, estendendo seu alcance para</p><p>além das aplicações especí�cas estudadas, enriquecendo diversas disciplinas cientí�cas e</p><p>proporcionando uma compreensão mais profunda de fenômenos complexos.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Estudamos que uma das aplicações das integrais é no cálculo do centro de massa de placa plana</p><p>delimitada por uma determinada região. Diante disso, temos condições de retornar a nossa situação</p><p>inicial. Nessa situação você deve determinar o centroide, ou seja, o centro de massa, da região pela</p><p>reta</p><p>e pela parábola</p><p>.</p><p>Sabemos que como a região está delimitada por duas curvas o centro de massa será dado por:</p><p>Primeiro vamos esboçar a região:</p><p>y  =  x</p><p>y  =  x2</p><p>y  =  x</p><p>y  =  x2</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>x[f(x) − g(x)]dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 {[f(x)]</p><p>2 − [g(x)]2} dx</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A ∫ b</p><p>a</p><p>x[f(x) − g(x)]dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A ∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 {[f(x)]</p><p>2 − [g(x)]2} dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 5 | Região a ser determinado o centroide</p><p>Para determinarmos os pontos de interseção entre as duas funções, basta igualarmos essas</p><p>funções:</p><p>x2 = x</p><p>x2 = x</p><p>x2 − x = 0</p><p>x2 − x = 0</p><p>x(x− 1) = 0</p><p>x(x− 1) = 0</p><p>x = 0</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Assim, a região que queremos determinar o centroide está compreendida no intervalo</p><p>. Uma informação que precisamos é a da área da região, para isso observe que no intervalo dado a</p><p>função</p><p>é maior que a função</p><p>. Diante disso, a área da região será:</p><p>Considerando esse valor da área vamos calcular a primeira coordenada do centroide:</p><p>x = 0</p><p>x− 1 = 0 → x = 1</p><p>x− 1 = 0 → x = 1</p><p>[0,1]</p><p>y = x</p><p>y = x2</p><p>[0,1]</p><p>y = x</p><p>y = x2</p><p>A = ∫ 1</p><p>0 (x− x2)dx = [ x2</p><p>2 − x3</p><p>3 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 1</p><p>2 − 1</p><p>3 = 1</p><p>6</p><p>A = ∫</p><p>1</p><p>0 (x− x2)dx = [ x2</p><p>2 − x3</p><p>3 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 1</p><p>2 − 1</p><p>3 = 1</p><p>6</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>x[f(x) − g(x)]dx</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A ∫</p><p>b</p><p>a x[f(x) − g(x)]dx</p><p>= 1</p><p>1</p><p>6</p><p>∫</p><p>1</p><p>0 x(x− x2)dx = 6 ∫</p><p>1</p><p>0 (x</p><p>2 − x3)dx</p><p>= 1</p><p>1</p><p>6</p><p>∫</p><p>1</p><p>0 x(x− x2)dx = 6 ∫</p><p>1</p><p>0 (x</p><p>2 − x3)dx</p><p>= 6[ x3</p><p>3 − x4</p><p>4 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 6( 1</p><p>3 − 1</p><p>4 ) = 6 ⋅ 1</p><p>12 = 6</p><p>12 = 1</p><p>2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>A segunda coordenada será dada por:</p><p>Portanto, o centroide da região dada é</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados nesta aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as aplicações de integrais estudadas, leia a</p><p>seção 5.4 - Integrais Inde�nidas e o Teorema da Variação Total do livro do livro Cálculo: v.1 de James</p><p>Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson, disponível na sua biblioteca virtual.</p><p>A �m de que você conheça outras aplicações das integrais, leia a seção 8.4 – Aplicações à</p><p>Economia e à Biologia e a seção 8.5 – Probabilidade do livro do livro Cálculo: v.1 de James Stewart,</p><p>Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual.</p><p>= 6[ x3</p><p>3 − x4</p><p>4 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 6( 1</p><p>3 − 1</p><p>4 ) = 6 ⋅ 1</p><p>12 = 6</p><p>12 = 1</p><p>2</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A ∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 {[f(x)]</p><p>2 − [g(x)]2} dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A ∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 {[f(x)]</p><p>2 − [g(x)]2} dx</p><p>= 1</p><p>1</p><p>6</p><p>∫</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>2 [(x)</p><p>2 − (x2)</p><p>2</p><p>]dx = 6 ⋅ 1</p><p>2 ∫</p><p>1</p><p>0 (x</p><p>2 − x4)dx</p><p>= 1</p><p>1</p><p>6</p><p>∫</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>2 [(x)</p><p>2 − (x2)</p><p>2</p><p>]dx = 6 ⋅ 1</p><p>2 ∫</p><p>1</p><p>0 (x</p><p>2 − x4)dx</p><p>= 3[ x3</p><p>3 − x5</p><p>5 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 3( 1</p><p>3 − 1</p><p>5 ) = 3 ⋅ 2</p><p>15 = 6</p><p>15 = 2</p><p>5</p><p>= 3[ x3</p><p>3 − x5</p><p>5 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 3( 1</p><p>3 − 1</p><p>5 ) = 3 ⋅ 2</p><p>15 = 6</p><p>15 = 2</p><p>5</p><p>( 1</p><p>2 ,</p><p>2</p><p>5 ).</p><p>( 1</p><p>2 ,</p><p>2</p><p>5 ).</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ao �nal de cada seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica,</p><p>resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir</p><p>se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1.</p><p>Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos discutir sobre as integrais e suas</p><p>aplicações. Discutiremos sobre como podemos empregar as integrais no cálculo de área sob e entre</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>curvas, além disso, exploraremos como determinar o volume de sólidos de revolução. Ao �nal</p><p>discutiremos as características de um problema de valor inicial imediato e algumas aplicações das</p><p>integrais no âmbito da física e na economia.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Olá, estudante! Para desenvolver a competência desta unidade, que é identi�car as diversas</p><p>situações em que o cálculo de integrais pode ser aplicado para solucionar problemas, é necessário</p><p>que você conheça as características relacionadas as diferentes aplicações.</p><p>Uma das aplicações é o cálculo de área, que permite determinar a extensão de uma região</p><p>delimitada por curvas no plano, sendo uma ferramenta valiosa em diversas áreas da ciência e</p><p>engenharia. Para calcular a área sob uma curva, utiliza-se a integral de�nida. Suponha que tenhamos</p><p>uma função contínua e não negativa</p><p>Essa integral fornece a área entre o grá�co de</p><p>e o eixo</p><p>no intervalo</p><p>. É importante notar que, se</p><p>for negativa em algum ponto, é necessário calcular a integral em módulo.</p><p>f(x)</p><p>[a,  b].</p><p>f(x)</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>f(x)</p><p>A = ∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>[a,  b]</p><p>f(x)</p><p>f(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Além disso, para calcular a área entre duas curvas, a abordagem é semelhante. Dadas duas funções</p><p>contínuas</p><p>e</p><p>no intervalo</p><p>, onde</p><p>é maior ou igual a</p><p>nesse intervalo, a área entre as curvas pode ser calculada pela diferença de suas integrais de�nidas:</p><p>O cálculo do volume de sólidos de revolução é outra aplicação importante das integrais. Quando</p><p>uma região delimitada por uma curva é girada em torno de um eixo, ela gera um sólido de revolução.</p><p>O volume desse sólido pode ser calculado por meio da integral de�nida, utilizando anéis</p><p>in�nitesimais perpendiculares ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume</p><p>é dada por:</p><p>x</p><p>[a,  b]</p><p>f(x)</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>[a,  b]</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>[a,  b]</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>A = ∫</p><p>b</p><p>a [f(x) − g(x)] dx</p><p>A = ∫ b</p><p>a</p><p>[f(x) − g(x)] dx</p><p>V</p><p>V</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Fique atento ao eixo pelo qual a função será rotacionada. Caso a rotação aconteça em torno do eixo</p><p>temos que realizar algumas alterações na equação e a função a ser integrada deve ser da forma</p><p>Outra aplicação das integrais é na resolução de um problema de valor imediato. Um problema de</p><p>valor inicial imediato será do tipo:</p><p>A solução desse tipo de problema demanda a obtenção da solução da Equação Diferencial Ordinária</p><p>(EDO). Para alcançar isso, é su�ciente realizar a integração em ambos os lados da equação e, em</p><p>seguida, empregar a condição inicial para encontrar o valor da constante</p><p>.</p><p>No âmbito da física podemos empregar o cálculo da integral para determinar a distância e o</p><p>deslocamento de uma partícula. Para calcular o deslocamento de um objeto que se move ao longo</p><p>de uma reta com a função de posição</p><p>, podemos considerar que sua velocidade é representada por</p><p>. Dessa forma, o deslocamento do objeto no intervalo de tempo entre</p><p>V = ∫ b</p><p>a π[f(x)]</p><p>2dx</p><p>V = ∫ b</p><p>a</p><p>π[f(x)]2dx</p><p>y</p><p>x = g(y)</p><p>y</p><p>x = g(y)</p><p>V = ∫</p><p>d</p><p>c π[g(y)]2dy</p><p>V = ∫ d</p><p>c</p><p>π[g(y)]2dy</p><p>{</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>{</p><p>y' = P(x)</p><p>y(x0) = y0</p><p>K</p><p>K</p><p>s(t)</p><p>v(t) = s'(t)</p><p>t1</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>a</p><p>será dado por:</p><p>Ao buscar determinar a distância percorrida ao longo de um intervalo de tempo, é necessário</p><p>considerar os períodos nos quais a função</p><p>(indicando que o objeto se move para a direita) e nos quais</p><p>(indicando movimento para a esquerda). Em ambas as situações, a distância percorrida é calculada</p><p>integrando a função</p><p>, que representa a velocidade escalar, evidenciando a magnitude da velocidade, independentemente</p><p>da direção. Portanto, a distância total percorrida no intervalo de tempo de</p><p>a</p><p>será expressa por:</p><p>t2</p><p>s(t)</p><p>v(t) = s'(t)</p><p>t1</p><p>t2</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = s(t2) − s(t1)</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>v(t)dt = s(t2) − s(t1)</p><p>v(t) ≥ 0</p><p>v(t) ≤ 0</p><p>∣ v(t) ∣</p><p>t1</p><p>t2</p><p>v(t) ≥ 0</p><p>v(t) ≤ 0</p><p>∣ v(t) ∣</p><p>t1</p><p>t2</p><p>∫</p><p>t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O centro de gravidade de uma placa, também referido como centro de massa, também pode ser</p><p>calculado utilizando as integrais. Para esse cálculo, temos que considerar uma placa plana, referida</p><p>como lâmina, que apresenta densidade uniforme</p><p>e abrange uma região</p><p>no plano delimitada entre as retas</p><p>e</p><p>, acima do eixo</p><p>e abaixo do grá�co de</p><p>, onde</p><p>é uma função contínua. O centro de massa da placa, também denominado centroide ou centro</p><p>geométrico da região</p><p>será dado por:</p><p>em que</p><p>é área da região.</p><p>∫ t2</p><p>t1</p><p>|v(t)|dt</p><p>ρ</p><p>S</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>x</p><p>f</p><p>f</p><p>S</p><p>ρ</p><p>S</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>x</p><p>f</p><p>f</p><p>S</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xf(x)dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 [f(x)]</p><p>2dx</p><p>−</p><p>x = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xf(x)dx</p><p>−</p><p>y = 1</p><p>A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>1</p><p>2 [f(x)]</p><p>2dx</p><p>A</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>No âmbito da economia, podemos utilizar as integrais para determinar o excedente do consumidor.</p><p>O excedente do consumidor é um conceito que re�ete a satisfação adicional que os consumidores</p><p>obtêm ao adquirir um bem ou serviço a um preço inferior ao máximo que estariam dispostos a</p><p>pagar. Em outras palavras, é a diferença entre o valor que os consumidores estão dispostos a pagar</p><p>por um determinado produto e o preço real pelo qual conseguem adquiri-lo. Nesse contexto, a</p><p>quantia que os consumidores economizam ao adquirir um produto pelo preço</p><p>, correspondente a uma quantidade demandada de</p><p>, será expressa por:</p><p>As aplicações abordadas aqui não constituem uma lista exaustiva, sendo apenas exemplos</p><p>representativos das situações em que o cálculo de integrais desempenha um papel essencial. Ao se</p><p>familiarizar com essas aplicações, você estará capacitado a reconhecer uma variedade mais ampla</p><p>de contextos nos quais o cálculo integral pode ser empregado, proporcionando uma base sólida</p><p>para a compreensão e resolução de problemas em diversas áreas da matemática e além.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Olá, estudante! Buscando contextualizar o conteúdo trabalhado na unidade e auxiliar sua</p><p>aprendizagem, comece imaginando que você é um engenheiro iniciante e recentemente abriu uma</p><p>empresa para prestar consultorias em uma região da sua cidade.</p><p>Em um certo dia, um possível cliente, morador local e membro da associação de moradores da</p><p>região, acabou chegando à sua nova empresa à procura de</p><p>ajuda. Após se apresentarem, o cliente</p><p>lhe conta a seguinte história: no bairro, há uma praça grande e bem conhecida da população. O</p><p>A</p><p>P</p><p>X</p><p>P</p><p>X</p><p>∫ X</p><p>0 [p(x) − P ]dx</p><p>∫ X</p><p>0 [p(x) − P ]dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>urbanista que projetou essa parte do bairro, incluindo a praça, é um grande amante da matemática e,</p><p>em praticamente em todos seus projetos, fazia questão de fazer referências aos diversos elementos</p><p>matemáticos. Dessa forma, até a praça tem uma história matemática por trás dela: o projeto dela se</p><p>baseia em uma região limitada por funções matemáticas (nesse momento, o cliente fez um desenho</p><p>esboçando a praça e as curvas matemáticas) e relatou que as unidades de medidas consideradas</p><p>pelo urbanista são em centenas de metros.</p><p>Figura 1 | Esboço do formato da praça</p><p>Após apresentar o esboço da praça, o cliente perguntou se era possível determinar a área dessa</p><p>praça, apenas com essas informações, uma vez que eles precisavam dessa informação para</p><p>solicitar à prefeitura uma manutenção nessa praça. Como você poderá calcular essa área?</p><p>Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem</p><p>ser aplicados, convidamos à re�exão sobre essas duas questões:</p><p>Como as integrais são aplicadas de forma prática e essencial na sua área de atuação?</p><p>Considere o conceito de excedente do consumidor e sua relação com integrais no contexto</p><p>econômico. Como as análises de excedente do consumidor, usando integrais, podem in�uenciar</p><p>decisões econômicas e políticas?</p><p>Observe que a área dessa praça é uma região delimitada por duas curvas, logo nessa situação,</p><p>fazemos a integração da função que delimita a região superiormente subtraindo a função que está</p><p>delimitando inferiormente a área, com os limites de integração adequados. Para determinarmos os</p><p>limites de integração basta igualarmos as duas funções que delimitam a região:</p><p>1,5x4 − 2 = 2 − 1,5x4</p><p>1,5x4 + 1,5x4 = 2 + 2</p><p>3x4 = 4</p><p>x4 = 4</p><p>3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, utilizando integrais, a área da praça será dada pela expressão:</p><p>Logo, a área da praça é aproximadamente 6,88 unidades quadradas de área, uma vez que</p><p>trabalhamos com aproximações nos cálculos. No nosso caso foi informado que a unidade de</p><p>medida utilizada foi centenas de metros. Então, devemos multiplicar 6,88 por 10000, pois</p><p>. Portanto, a área da praça é de  .</p><p>Assimile</p><p>A resolução de variados problemas requer a aplicação do cálculo de integrais. Portanto, é</p><p>essencial que você seja capaz de reconhecer os contextos nos quais esse cálculo pode ser</p><p>empregado. A Figura 2 exempli�ca algumas das aplicações das integrais.</p><p>Figura 2 | Integrais e suas aplicações</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>x = ± 4√ 4</p><p>3 ≈ ±1,08</p><p>A = ∫</p><p>1,08</p><p>−1,08 [(2 − 1,5x4)− (1,5x4 − 2)]dx = ∫</p><p>1,08</p><p>−1,08(4 − 3x4)dx</p><p>= [4x− 3x5</p><p>5 ]</p><p>1,08</p><p>−1,08</p><p>= [4(1,08) − 3(1,08)5</p><p>5 ]− [4(−1,08) − 3(−1,08)5</p><p>5 ]</p><p>(4,32 − 0,88) − (−4,32 + 0,88) = 3,44 + 3,44 = 6,88</p><p>100 ⋅ 100 = 10000 68800 m2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>,</p><p>Unidade 3</p><p>Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais</p><p>Aula 1</p><p>Função de Várias Variáveis</p><p>Função de várias variáveis</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nesta aula, temos como objetivo entender o conceito de</p><p>funções de duas e três variáveis. Portanto, iniciaremos a aula de�nindo esse conceito e destacando</p><p>suas principais características. Além disso, exploraremos o domínio, a imagem e os grá�cos de</p><p>funções de duas variáveis. Ao �nal, resolveremos alguns exemplos de como encontrar domínio e</p><p>imagem de funções de duas variáveis.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Funções de duas variáveis são conceitos fundamentais na matemática e na ciência, que descrevem</p><p>como uma quantidade depende simultaneamente de duas outras quantidades independentes. Em</p><p>essência, essas funções mapeiam pares ordenados de números reais em um único número real.</p><p>Um exemplo simples de uma função de duas variáveis seria a temperatura em um determinado</p><p>ponto em um campo, onde a temperatura depende tanto da latitude quanto da longitude. Outros</p><p>exemplos incluem a altitude em um mapa geográ�co, a concentração de um produto químico em</p><p>uma solução em diferentes pontos, ou até mesmo o preço de um produto em relação à quantidade</p><p>demandada e ao custo de produção.</p><p>Nessa aula discutiremos sobre o conceito de funções de duas variáveis reais, bem como sobre os</p><p>conceitos de domínio e imagem de uma função desse tipo, além de realizarmos uma interpretação</p><p>grá�ca dessas funções.</p><p>Para ilustrar como podemos utilizar esses conceitos na resolução de problemas, vamos considerar</p><p>que você esteja realizando o estudo matemático sobre o relevo de Minas Gerais. Após suas</p><p>pesquisas, você descobriu que o relevo da região é composto por muitos morros e serras, sendo a</p><p>Serra do Curral uma das muitas existentes no estado.</p><p>Figura 1 | Serra do Curral em Minas Gerais</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Durante suas pesquisas, você encontrou um matemático que realizou um estudo dos morros dessa</p><p>serra. Com base em dados coletados, ele determinou um modelo matemático que fornece a altura</p><p>de um morro dessa serra dado a sua base</p><p>De posse dessa função, você �cou curioso para saber qual a sua representação grá�ca e se essa</p><p>realmente se assemelha a um morro. Diante desse questionamento, optou-se por realizar um estudo</p><p>abrangente dessa função, elucidando seu domínio, imagem e a representação visual por meio de um</p><p>grá�co.</p><p>Como podemos fazer essa análise? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Imagine que você esteja analisando os custos de produção de uma empresa de componentes</p><p>eletrônicos. A empresa produz dois tipos de produtos, resistores e transistores, sendo que há um</p><p>custo �xo para manter a empresa produzindo, bem como um custo unitário para a produção de cada</p><p>um desses produtos. Observe que nessa situação temos uma relação de dependência entre o custo</p><p>de produção total e os custos unitários de cada produto. Essa relação de dependência entre</p><p>grandezas é a ideia central do conceito de funções. Outro aspecto importante que podemos analisar</p><p>a partir dessa situação é a ideia de variável, para isso tente responder às perguntas: qual a</p><p>quantidade produzida de resistores? E de transistores? No problema não �ca evidente qual é essa</p><p>quantidade, sendo que ela pode variar dependendo de certas condições. Assim o conceito de</p><p>variável está diretamente ligado a ideia de valores desconhecidos que podem variar. Não confunda o</p><p>conceito de incógnita e variável, a incógnita representa uma quantidade desconhecida que satisfaz a</p><p>uma determinada equação, já as variáveis representam quantidades desconhecidas, mas que</p><p>variam. Assim, podemos dizer que a ideia de variável e de relação de dependência são centrais para</p><p>entender funções.</p><p>Notou</p><p>a semelhança dessa situação com outras situações com as quais você já se deparou em</p><p>seus estudos anteriores? Pois bem, o conceito de funções de duas ou mais variáveis é uma</p><p>extensão do conceito de função de uma variável real, que você já estudou em outras disciplinas.</p><p>Vamos relembrar qual a de�nição de função de uma variável real?</p><p>Segundo Stewart, Clegg e Watson (2021), uma função é uma lei que associa cada elemento</p><p>(x)</p><p>(y)</p><p>h(x, y) = 1</p><p>1+x2+y2</p><p>(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Agora que você já relembrou o conceito de função de uma variável real, faremos um paralelo desse</p><p>conceito com o de funções de duas ou mais variáveis reais. Podemos dizer que uma função de duas</p><p>variáveis é composta por uma variável dependente e duas variáveis independentes. Portanto,</p><p>podemos de�nir uma função</p><p>D</p><p>f(x)</p><p>E</p><p>D</p><p>E</p><p>f(x)</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>f</p><p>(x, y)</p><p>D ⊂ R</p><p>2</p><p>f(x, y)</p><p>z = f(x, y)</p><p>z</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Naturalmente, podemos dizer que uma função</p><p>Vamos retomar a nossa situação sobre a análise do custo de produção da empresa. Vamos</p><p>considerar que o custo �xo de produção é de</p><p>O primeiro passo é identi�car as variáveis do problema. Lembre-se que elas são parte fundamental</p><p>da de�nição de função! Nesse problema podemos representar a quantidade produzida de resistores</p><p>por</p><p>Ao trabalharmos com funções de duas variáveis é preciso se atentar ao signi�cado de “calcular a</p><p>função no ponto dado”. Ao dizermos isso, queremos encontrar a imagem de</p><p>Por exemplo: suponhamos que sejam produzidas 400 unidades de resistores e 600 unidades de</p><p>transistores. Qual será o custo total de produção da empresa? Nesse problema devemos calcular a</p><p>x, y</p><p>f</p><p>(x, y, z)</p><p>D ⊂ R</p><p>3</p><p>f(x, y, z)</p><p>R$4.000,00</p><p>R$4,00</p><p>R$6,00</p><p>(x)</p><p>(y)</p><p>C(x, y) = 4000 + 4x+ 6y</p><p>C(x, y)</p><p>f</p><p>(x, y)</p><p>x, y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>função</p><p>Assim, o custo total de produção é de</p><p>Sabemos que uma função de duas variáveis é de�nida como uma lei que associa cada par</p><p>ordenado</p><p>C(x, y)</p><p>(400,600)</p><p>x</p><p>y</p><p>C(400,600) = 4000 + 4 ⋅ 400 + 6 ⋅ 600</p><p>C(400,600) = 4000 + 1600 + 3600</p><p>C(400,600) = 9200</p><p>R$9.200,00</p><p>x, y</p><p>(x, y)</p><p>D ⊂ R</p><p>2</p><p>f(x, y)</p><p>f</p><p>f(x) = 1</p><p>x</p><p>x</p><p>x = 0</p><p>f</p><p>x = 0</p><p>x = 0</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Não existe divisão por zero;</p><p>Não existe raiz de índice par de número negativo;</p><p>Não existe logaritmo de número negativo ou zero.</p><p>Logo, os pares ordenados que se originam de uma dessas condições, no interior da função</p><p>estudada, devem ser excluídos do domínio da função.</p><p>Por exemplo, determinemos o domínio da função</p><p>f</p><p>(x, y)</p><p>f(x, y) = √x2 + y2</p><p>f</p><p>x2 + y2 ≥ 0</p><p>x2 ≥ −y2</p><p>D</p><p>f</p><p>D = {(x, y) ∈ R</p><p>2 x2 ≥ −y2}∣f(x, y) = √x2 + y2</p><p>z</p><p>Im = R+</p><p>f</p><p>D</p><p>(x, y, z)</p><p>R</p><p>3</p><p>z = f(x, y)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Representação grá�ca da função f</p><p>O grá�co apresentado na Figura 2 nos permite visualizar que a função só assume valores maiores</p><p>que zero, conforme já discutimos.</p><p>Nós já estudamos sobre as de�nições a respeito de domínio, imagem e representação grá�ca de</p><p>funções de duas variáveis, agora nosso foco é explorar particularidades desses conceitos. Quando</p><p>temos uma função</p><p>(x, y) ∈ D</p><p>f(x, y) = √x2 + y2</p><p>f</p><p>f(x, y) = ln(x+y)</p><p>√x2−y</p><p>f</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 3 | Representação grá�ca do domínio de</p><p>Ao avaliarmos a função</p><p>Figura 4 | Representação grá�ca do domínio de</p><p>f</p><p>ln (x+ y)</p><p>x+ y > 0</p><p>y > −x</p><p>y = −x</p><p>ln (x+ y)</p><p>ln (x+ y)</p><p>f</p><p>x2 − y > 0</p><p>y −x</p><p>D = {(x, y) ∈ R</p><p>2 − x 0</p><p>x > −y3</p><p>D2</p><p>D2 = {(x, y) ∈ R</p><p>2 x > −y3}∣D1</p><p>D2</p><p>g(x, y)</p><p>D = {(x, y) ∈ R</p><p>2 − y3</p><p>E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Aula 2</p><p>Derivadas Parciais e de Ordem Superior</p><p>Derivadas parciais e de ordem superior</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. 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Enquanto a derivada ordinária mede a taxa de variação de uma</p><p>função em relação a uma única variável, a derivada parcial permite calcular essa taxa de variação</p><p>em relação a uma variável especí�ca, enquanto todas as outras variáveis permanecem constantes.</p><p>As derivadas parciais são fundamentais em diversos campos da matemática aplicada, como física,</p><p>engenharia, economia e ciências naturais. Elas permitem analisar como uma função responde a</p><p>mudanças em diferentes variáveis e são essenciais para compreender o comportamento de</p><p>sistemas complexos. Além disso, as derivadas parciais são frequentemente utilizadas em conjunto</p><p>com outras ferramentas matemáticas, como o gradiente e as derivadas direcionais, para resolver</p><p>problemas de otimização, modelagem e análise de sistemas multidimensionais.</p><p>Nessa aula, estudaremos sobre as derivadas de funções de duas variáveis. Para isso será</p><p>necessário que você se lembre de todas as regras de derivação de funções de uma variável real, pois</p><p>elas serão essenciais para o nosso estudo!</p><p>Para ilustrar como podemos empregar o conceito de derivada parcial, suponha que esteja sendo</p><p>realizado um experimento para avaliar a variação do volume de objetos com diferentes formatos.</p><p>Sabe-se que para um desses objetos o volume pode ser dado pela função:</p><p>em que</p><p>a. Determine a taxa de variação instantânea de   em relação à   se   permanecer constante.</p><p>b. Determine a taxa de variação instantânea de   em relação à   se   permanecer constante.</p><p>c. Determine a taxa de variação de  em relação à   quando  e  seja um valor</p><p>constante de  .</p><p>d. Determine a taxa de variação de   em relação à   quando  e   seja um valor</p><p>constante de  .</p><p>Como podemos responder a essas perguntas? Como podemos aplicar o conceito de derivada</p><p>parcial para responder a essas perguntas? Vamos começar nossos estudos sobre derivadas</p><p>parciais?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Em estudos anteriores, você já aprendeu porque a derivada de função de uma variável real está</p><p>associada ao problema das taxas de variação. A de�nição da derivada de uma função de duas</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2√4y2 − x2</p><p>x</p><p>y</p><p>V x y</p><p>V y x</p><p>V   x x = 16cm  y</p><p>10cm</p><p>V   y y = 10cm  x</p><p>16cm</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>variáveis é semelhante à de�nição para uma variável, a diferença é que agora vamos avaliar duas</p><p>variáveis ao invés de apenas uma. Portanto, considere que</p><p>Como</p><p>f</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y = b</p><p>b</p><p>x</p><p>x</p><p>h(x) = f(x, b)</p><p>g</p><p>a</p><p>f</p><p>x</p><p>(a, b)</p><p>fx(a, b)</p><p>fx(a, b) = g'(a)</p><p>g(x) = f(x, b)</p><p>g'(a) = lim</p><p>h→0</p><p>g(a+h)−g(a)</p><p>h</p><p>fx(a, b) = g'(a)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Analogamente, a derivada parcial de</p><p>Logo,</p><p>Agora que já vimos a de�nição das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas</p><p>variáveis, podemos realizar uma intepretação do seu signi�cado. Primeiro é preciso que você se</p><p>lembre do signi�cado da derivada para funções de uma variável. Sabemos que se</p><p>fx(a, b) = lim</p><p>h→0</p><p>f(a+h,b)−f(a,b)</p><p>h</p><p>f</p><p>y</p><p>(a, b)</p><p>fy(a, b)</p><p>x</p><p>(x = a)</p><p>y</p><p>fy(a, b) = lim</p><p>h→0</p><p>f(a,b+h)−f(a,b)</p><p>h</p><p>fx(a, b)</p><p>fy(a, b)</p><p>(a, b)</p><p>f</p><p>z = f(x, y)</p><p>fx(x, y) = fx = ∂f</p><p>∂x = ∂</p><p>∂x f(x, y) = ∂z</p><p>∂x</p><p>fy(x, y) = fy =</p><p>∂f</p><p>∂y = ∂</p><p>∂y f(x, y) = ∂z</p><p>∂y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Superfície S e suas retas tangentes. Fonte: Anton et al. (2014, p. 929).</p><p>A derivada</p><p>y = f(x)</p><p>f '(x0)</p><p>y</p><p>x</p><p>x0</p><p>f</p><p>x0</p><p>z = f(x, y)</p><p>S</p><p>C1</p><p>y = y0</p><p>C2</p><p>S</p><p>x = x0</p><p>fx(x0, y0)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Segundo Anton et al. (2014, p. 930), “dizemos que</p><p>Além disso,</p><p>C1</p><p>(x0, y0)</p><p>fy(x0, y0)</p><p>C2</p><p>(x0, y0)</p><p>fx(x0, y0)</p><p>x</p><p>(x0, y0)</p><p>fy(x0, y0)</p><p>y</p><p>(x0, y0)</p><p>fx(x0, y0)</p><p>(x0, y0)</p><p>x</p><p>C1</p><p>fy(x0, y0)</p><p>z = f(x, y)</p><p>y</p><p>C2</p><p>(x0, y0)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>É natural questionar se calcular uma derivada parcial sempre requer a aplicação direta da de�nição</p><p>de limite. Entretanto, na prática, é reconfortante saber que podemos empregar as regras usuais de</p><p>derivação para funções de uma variável. Isso se dá porque ao mantermos uma das variáveis �xas,</p><p>transformamos a função de duas variáveis em uma função de apenas uma variável, simpli�cando,</p><p>assim, o processo de cálculo da derivada parcial. A seguir apresentamos as principais regras de</p><p>derivação para funções de uma variável, �que atento a elas, pois você irá usá-las durante toda a</p><p>nossa aula.</p><p>Além dessas regras, lembre-se que para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis,</p><p>mantemos uma dessas variáveis �xas. Seja</p><p>Para determinar  , considere   como uma constante e derive   em relação a  .</p><p>Para determinar  , considere   como uma constante e derive   em relação a  .</p><p>Até o momento, vimos sobre as derivadas parciais de primeira ordem, mas será que uma função de</p><p>duas variáveis possui derivadas de ordem superior? A resposta é sim! Considerando uma função</p><p>[k ⋅ f(x)]' = k ⋅ f '(x)</p><p>[f(x) ± g(x)]' = f '(x)± g'(x)</p><p>[f(x) ⋅ g(x)]' = f '(x) ⋅ g(x)+ f(x) ⋅ g'(x)</p><p>[ f(x)</p><p>g(x) ]</p><p>'</p><p>=</p><p>f '(x)⋅g(x)−f(x)⋅g'(x)</p><p>[g(x)]2</p><p>[f(g(x))]' = f '(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>f(x, y)</p><p>fx y f(x, y) x</p><p>fy x f(x, y) y</p><p>z = f(x, y)</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para �car mais claro, vamos trabalhar com alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Calcule as derivadas de primeira ordem da função</p><p>Solução</p><p>Primeiro vamos calcular a derivada da função</p><p>Observe que para derivar o termo</p><p>x</p><p>z = f(x, y)</p><p>fxx(x, y) = fxx = ∂ 2f</p><p>∂x2 = ∂</p><p>∂x (</p><p>∂</p><p>∂x )</p><p>fyy(x, y) = fyy =</p><p>∂ 2f</p><p>∂y2 = ∂</p><p>∂y (</p><p>∂</p><p>∂y )</p><p>fxy(x, y) = fxy =</p><p>∂ 2f</p><p>∂x∂y = ∂</p><p>∂x (</p><p>∂</p><p>∂y )</p><p>fyx(x, y) = fyx = ∂ 2f</p><p>∂y∂x = ∂</p><p>∂y (</p><p>∂</p><p>∂x )</p><p>f(x, y) = x3 + x2y2 + y3</p><p>f</p><p>x</p><p>y</p><p>fx = 3x2 + 2xy2</p><p>x3</p><p>[xn]' = nxn−1</p><p>x2y2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos utilizar um raciocínio análogo para encontrar a derivada parcial da função</p><p>Observe que para derivar o termo</p><p>[k ⋅ f(x)]' = k ⋅ f '(x)</p><p>y2</p><p>y3</p><p>[k]' = 0</p><p>y3</p><p>f</p><p>y</p><p>x</p><p>fy = 0 + x2 ⋅ 2 ⋅ y2−1 + 3 ⋅ y2</p><p>fy = 2x2y+ 3y2</p><p>x3</p><p>[k]' = 0</p><p>x3</p><p>x2y2</p><p>[k ⋅ f(x)]' = k ⋅ f '(x)</p><p>x2</p><p>y3</p><p>[xn]' = nxn−1</p><p>f</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Exemplo 2:</p><p>Calcule as derivadas de segunda ordem da função</p><p>Solução</p><p>Primeiro temos que calcular as derivadas de primeira ordem dessa função. Assim, a derivada de</p><p>A derivada de</p><p>Agora vamos derivar</p><p>2</p><p>2x</p><p>g(x) = 2</p><p>G′(x) = g(x)</p><p>∫</p><p>1</p><p>0 2dx = [2x]10 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 = 2 − 0 = 2</p><p>∫</p><p>1</p><p>0 2dx = [2x]10 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 = 2 − 0 = 2</p><p>∫ a</p><p>a</p><p>f(x)dx = 0 ∫ 1</p><p>1 2dx = [2x]11 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = 0</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = − ∫ a</p><p>b</p><p>f(x) dx</p><p>∫ 1</p><p>0 3dx = [3x]10 = 3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0 = 3 − 0 = 0</p><p>∫ 0</p><p>1 3dx = [3x]01 = 3 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 = 0 − 3 = −</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>cf(x) dx = c ∫ b</p><p>a</p><p>f(x) dx ∫ 2</p><p>1 6x2dx = 6 ∫ 2</p><p>1 x2dx</p><p>∫</p><p>b</p><p>a [f(x)± g(x) ]dx = ∫</p><p>b</p><p>a f(x) dx± ∫</p><p>b</p><p>a g(x) dx∫</p><p>1</p><p>0 [x</p><p>3 − 4]dx = ∫</p><p>1</p><p>0 x3dx− ∫</p><p>1</p><p>0 4dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>área. Na verdade, o problema da área e o método de Riemann desempenharam um papel</p><p>fundamental na concepção da integral de�nida, possibilitando sua aplicação na resolução de</p><p>problemas que envolvem áreas. Nas próximas aulas aprofundaremos ainda mais essa aplicação das</p><p>integrais de�nidas.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já conhece o método de Riemann e o teorema fundamental do cálculo, vamos</p><p>retornar a nossa situação inicial. Nessa situação, você deve determinar o resultado da integral da</p><p>função</p><p>Estudamos que o método de Riemann foi utilizado para estimar área abaixo de uma curva e consiste</p><p>em dividir a região em retângulos e calcular suas respectivas áreas. Basicamente, os retângulos</p><p>podem �car acima da curva, fornecendo uma estimativa superior da área (pois o resultado será</p><p>maior do que o valor real) ou podem estar abaixo da curva, fornecendo uma estimativa inferior,</p><p>conforme ilustra a Figura 6.</p><p>Figura 6 | Soma de Riemann</p><p>O primeiro passo é determinarmos o tamanho da base de cada retângulo, que será dado por:</p><p>f(x) = x2</p><p>[0, 2]</p><p>f(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Agora, precisamos das alturas de cada retângulo. Primeiro vamos considerar os valores de</p><p>de tal forma que</p><p>apresente o valor mínimo, conforme ilustra a Figura 7.</p><p>Δx = b−a</p><p>n</p><p>Δx = b−a</p><p>n</p><p>Δx = 2−0</p><p>4 = 2</p><p>4 = 1</p><p>2</p><p>Δx = 2−0</p><p>4 = 2</p><p>4 = 1</p><p>2</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 7 | Soma inferior</p><p>Agora, calculamos a área de cada um dos retângulos:</p><p>A1 = 1</p><p>2 ⋅ f(0) = 1</p><p>2 ⋅ [(0)2] = 1</p><p>2 ⋅ 0 = 0</p><p>A1 = 1</p><p>2 ⋅ f(0) = 1</p><p>2 ⋅ [(0)2] = 1</p><p>2 ⋅ 0 = 0</p><p>A2 = 1</p><p>2 ⋅ f( 1</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 1</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 1</p><p>4 = 1</p><p>8</p><p>A2 = 1</p><p>2 ⋅ f( 1</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 1</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 1</p><p>4 = 1</p><p>8</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Somando as áreas temos que a soma de Riemann inferior é</p><p>A3 = 1</p><p>2 ⋅ f(1) = 1</p><p>2 ⋅ [(1)2] = 1</p><p>2 ⋅ [1] = 1</p><p>2 ⋅ 1 = 1</p><p>2</p><p>A3 = 1</p><p>2 ⋅ f(1) = 1</p><p>2 ⋅ [(1)2] = 1</p><p>2 ⋅ [1] = 1</p><p>2 ⋅ 1 = 1</p><p>2</p><p>A4 = 1</p><p>2 ⋅ f( 3</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 3</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 9</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 9</p><p>4 = 9</p><p>8</p><p>A4 = 1</p><p>2 ⋅ f( 3</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 3</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 9</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 9</p><p>4 = 9</p><p>8</p><p>7</p><p>4 = 1,75</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 8 | Soma superior</p><p>A área de cada um dos retângulos será dada por:</p><p>A1 = 1</p><p>2 ⋅ f( 1</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 1</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 1</p><p>4 = 1</p><p>8</p><p>A1 = 1</p><p>2 ⋅ f( 1</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 1</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 1</p><p>4 = 1</p><p>8</p><p>A2 = 1</p><p>2 ⋅ f(1) = 1</p><p>2 ⋅ [(1)2] = 1</p><p>2 ⋅ [1] = 1</p><p>2 ⋅ 1 = 1</p><p>2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Somando as áreas, temos que a soma de Riemann superior é</p><p>Agora vamos determinar o resultado da integral utilizando o teorema fundamental do cálculo. O</p><p>primeiro passo é determinarmos uma primitiva para a função</p><p>A2 = 1</p><p>2 ⋅ f(1) = 1</p><p>2 ⋅ [(1)2] = 1</p><p>2 ⋅ [1] = 1</p><p>2 ⋅ 1 = 1</p><p>2</p><p>A3 = 1</p><p>2 ⋅ f( 3</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 3</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 9</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 9</p><p>4 = 9</p><p>8</p><p>A3 = 1</p><p>2 ⋅ f( 3</p><p>2 ) = 1</p><p>2 ⋅ [( 3</p><p>2 )</p><p>2</p><p>] = 1</p><p>2 ⋅ [ 9</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 9</p><p>4 = 9</p><p>8</p><p>A4 = 1</p><p>2 ⋅ f(2) = 1</p><p>2 ⋅ [(2)2] = 1</p><p>2 ⋅ [4] = 1</p><p>2 ⋅ 4 = 2</p><p>A4 = 1</p><p>2 ⋅ f(2) = 1</p><p>2 ⋅ [(2)2] = 1</p><p>2 ⋅ [4] = 1</p><p>2 ⋅ 4 = 2</p><p>15</p><p>4 = 3,75</p><p>[0, 2]</p><p>[1, 75; 3, 75]</p><p>f(x) = x2</p><p>x2.</p><p>x3</p><p>3x2</p><p>f(x)</p><p>x3</p><p>3</p><p>3x2</p><p>3 = x2</p><p>f(x)</p><p>f(x) = x2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Observe que o valor que encontramos pertence ao intervalo encontrado utilizando o método de</p><p>Riemann. À medida que aumentamos a quantidade de retângulos, nos aproximamos ainda mais do</p><p>resultado de</p><p>. A Figura 9 mostra a soma de Riemann inferior e superior para 80 retângulos e posteriormente 200</p><p>retângulos.</p><p>F(x) = x3</p><p>3</p><p>∫ 2</p><p>0 x2dx = [ x3</p><p>3 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>= (2)3</p><p>3 − (0)3</p><p>3 = 8</p><p>3 ≈ 2,67</p><p>2, 67</p><p>2, 67</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 9 | Soma de Riemann</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as integrais de�nidas leia a seção 5.1 – Os</p><p>problemas de áreas e distâncias, a seção 5.2 – A integral de�nida e a seção 5.3 – O teorema</p><p>fundamental do cálculo do livro Cálculo v.1, de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson</p><p>disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal de cada seção, há uma série de exercícios, selecione</p><p>alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as</p><p>respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos!</p><p>O conceito de integrais de�nidas será importante para você no estudo de outras disciplinas do seu</p><p>curso, assim, é fundamental que você entenda o seu signi�cado e saiba calculá-las, por isso não</p><p>deixe de fazer exercícios dessas seções. Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 2</p><p>As Integrais Imediatas</p><p>As Integrais Imediatas</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Anteriormente, começamos os nossos estudos sobre as</p><p>integrais. Agora, vamos discutir sobre a diferença entre as integrais de�nidas e as integrais</p><p>inde�nidas, além de discutir sobre como realizar o cálculo dessas integrais. Além disso,</p><p>aprenderemos algumas técnicas para calcular integrais de funções polinomiais, trigonométricas,</p><p>exponenciais. Fique atento a essas técnicas, pois elas serão fundamentais na resolução de</p><p>diferentes problemas!</p><p>Ponto de Partida</p><p>Anteriormente, proporcionamos uma introdução às integrais, abordando o conceito de integral como</p><p>a área de uma região plana sob uma curva, o método de Riemann e o teorema fundamental do</p><p>cálculo. Agora, apresentaremos algumas integrais imediatas, ou seja, compreenderemos algumas</p><p>regras que facilitarão o processo de integração e a aplicação do teorema fundamental do cálculo.</p><p>Além disso, vamos discutir a diferença entre integrais de�nidas e inde�nidas.</p><p>Essas regras se revelarão úteis na solução de problemas futuros, simpli�cando a obtenção de</p><p>resultados de integrais. Daqui em diante, essas serão as diretrizes que utilizaremos para resolver</p><p>uma ampla variedade</p><p>novamente, logo a derivada de a derivada de</p><p>fx = 3x2 + 2xy2</p><p>fy = 2x2y+ 3y2</p><p>g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20</p><p>g</p><p>x</p><p>g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20</p><p>gx(x, y) = 3 ⋅ 2 ⋅ x2−1 + 2 ⋅ 1 ⋅ x1−1 ⋅ y3 + 0 + 0</p><p>gx(x, y) = 6x+ 2y3</p><p>g</p><p>y</p><p>g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20</p><p>gy(x, y) = 0 + 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ y3−1 + 4 ⋅ y4−1 + 0</p><p>gy(x, y) = 6xy2 + 4y3</p><p>gx</p><p>x</p><p>gx(x, y) = 6x+ 2y3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>A derivada de</p><p>A derivada da derivada de</p><p>A derivada da derivada de</p><p>Siga em Frente...</p><p>gxx(x, y) = 6 ⋅ 1 ⋅ x1−1 + 0</p><p>gxx(x, y) = 6</p><p>gx</p><p>y</p><p>gx(x, y) = 6x+ 2y3</p><p>gxy(x, y) = 0 + 2 ⋅ 3 ⋅ y3−1</p><p>gxy(x, y) = 6y2</p><p>gy</p><p>y</p><p>gy(x, y) = 6xy2 + 4y3</p><p>gyy(x, y) = 6 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ y2−1 + 4 ⋅ 3 ⋅ y3−1</p><p>gyy(x, y) = 12xy+ 12y2</p><p>gy</p><p>x</p><p>gy(x, y) = 6xy2 + 4y3</p><p>gyx(x, y) = 6 ⋅ 1 ⋅ x1−1 ⋅ y2 + 0</p><p>gyx(x, y) = 6y2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Observe que as derivadas mistas</p><p>Exemplo 3:</p><p>Considere</p><p>Solução</p><p>Sabemos que a inclinação de uma superfície na direção de uma determinada coordenada é dada</p><p>pela derivada parcial da superfície. Assim temos que a inclinação da superfície</p><p>gxy</p><p>gyx</p><p>gxy</p><p>gyx</p><p>f</p><p>fxy</p><p>fyx</p><p>fxy = fyx</p><p>x</p><p>y</p><p>h(x, y) = −x2 − y2 − xy+ 5</p><p>z = h(x, y)</p><p>x</p><p>(1,1)</p><p>z = h(x, y)</p><p>y</p><p>(1,1)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Esse resultado signi�ca que</p><p>z = h(x, y)</p><p>x</p><p>(1,1)</p><p>h(x, y)</p><p>x</p><p>(1,1)</p><p>h(x, y) = −x2 − y2 − xy+ 5</p><p>hx(x, y) = −2 ⋅ x2−1 − 0 − 1 ⋅ x1−1 ⋅ y+ 0</p><p>hx(x, y) = −2x− y</p><p>hx(1,1) = −2 ⋅ 1 − 1</p><p>hx(1,1) = −3</p><p>z</p><p>x</p><p>z = h(x, y)</p><p>y</p><p>(1,1)</p><p>h(x, y) = −x2 − y2 − xy+ 5</p><p>hy(x, y) = 0 − 2 ⋅ y2−1 − x ⋅ 1 ⋅ y1−1 + 0</p><p>hy(x, y) = −2y− x</p><p>hy(1,1) = −2 ⋅ 1 − 1</p><p>hy(1,1) = −3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Esse resultado signi�ca que</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já aprendeu sobre as derivadas parciais e suas propriedades, está pronto para</p><p>retornar à nossa situação inicial. Nessa situação temos que considerar a função:</p><p>e determinar a taxa de variação instantânea em relação a variável</p><p>e</p><p>em relação a variável . Antes de iniciarmos a solução, perceba que nos itens pede-se para calcular a</p><p>taxa de variação ou taxa de variação instantânea, mas o que isso quer dizer? Nós já estudamos que</p><p>uma interpretação das derivadas parciais é a de taxa de variação, assim nos quatro itens teremos</p><p>que encontrar as derivadas parciais da função</p><p>a) Nesse item pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de</p><p>z</p><p>y</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2√4y2 − x2</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2√4y2 − x2</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>V</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2√4y2 − x2</p><p>[f(g(x))]' = f '(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>n√xm = x</p><p>m</p><p>n</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2√4y2 − x2</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2(4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, a taxa de variação instantânea</p><p>V</p><p>x</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>V</p><p>π</p><p>24 x</p><p>2</p><p>(4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>[f(x) ⋅ g(x)]' = f '(x) ⋅ g(x)+ f(x) ⋅ g'(x)</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>Vx = ( π</p><p>24 x</p><p>2)</p><p>'</p><p>⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 + π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ((4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 )</p><p>'</p><p>Vx = ( π</p><p>24 ⋅ 2x) ⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 + π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ( 1</p><p>2 (4y</p><p>2 − x2)</p><p>1</p><p>2 −1</p><p>⋅ (0 − 2x))</p><p>Vx = π</p><p>12 ⋅ x ⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 + π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ (−x(4y2 − x2)</p><p>− 1</p><p>2 )</p><p>Vx = π</p><p>12 ⋅ x ⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 + π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ( −x</p><p>(4y2−x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>Vx = π</p><p>12 ⋅ x ⋅√4y2 − x2 − π</p><p>24 ⋅ ( x3</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>V</p><p>x</p><p>Vx = π</p><p>12 ⋅ x ⋅√4y2 − x2 − π</p><p>24 ⋅ ( x3</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>b) Pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de</p><p>Logo, a taxa de variação instantânea de</p><p>V</p><p>y</p><p>x</p><p>V</p><p>y</p><p>V</p><p>x</p><p>π</p><p>24 x</p><p>2</p><p>Vy</p><p>V = π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ (4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>Vy = π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ((4y2 − x2)</p><p>1</p><p>2 )</p><p>'</p><p>Vy =</p><p>π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ( 1</p><p>2 (4y</p><p>2 − x2)</p><p>1</p><p>2 −1</p><p>⋅ (8y− 0))</p><p>Vy =</p><p>π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ (4y(4y2 − x2)</p><p>− 1</p><p>2 )</p><p>Vy =</p><p>π</p><p>24 x</p><p>2 ⋅ ( 4y</p><p>(4y2−x2)</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>Vy = π</p><p>24 ⋅ ( 4x2y</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>Vy =</p><p>π</p><p>6 ⋅ ( x2y</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>V</p><p>y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>c) Nesse item pede-se que determinemos a taxa de variação de</p><p>d) Por �m, pede-se para determinar a taxa de variação de</p><p>Vy = π</p><p>6 ⋅ ( x2y</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>V</p><p>x</p><p>x = 16cm</p><p>y</p><p>10cm</p><p>Vx(16,10)</p><p>Vx</p><p>Vx(16,10) = 4608π</p><p>288 − 4096π</p><p>288</p><p>Vx(16,10) = 512π</p><p>288 = 16</p><p>9 π</p><p>V</p><p>y</p><p>y = 10cm</p><p>x</p><p>x = 16</p><p>Vy(16,10)</p><p>Vy</p><p>Vy =</p><p>π</p><p>6 ⋅ ( x2y</p><p>√4y2−x2</p><p>)</p><p>Vy(16,10) = π</p><p>6 ⋅( (16)2⋅10</p><p>√4(10)2−(16)2</p><p>)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Com isso, encerramos nossa aula sobre derivadas parciais.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre derivadas parciais leia a seção 14.3 –</p><p>Derivadas parciais do livro Cálculo – Volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson</p><p>disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de exercícios, selecione alguns</p><p>para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as</p><p>respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Vy(16,10) = π</p><p>6 ⋅ ( 256⋅10</p><p>√400−256</p><p>)</p><p>Vy(16,10) = π</p><p>6 ⋅ 2560</p><p>12</p><p>Vy(16,10) = 2560π</p><p>72 = 320</p><p>9 π</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Aula 3</p><p>Derivada Direcional</p><p>Derivada direcional</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos explorar o conceito de derivadas</p><p>direcionais, isto é, iremos analisar a taxa de variação de uma função em um determinado ponto em</p><p>direção de um vetor unitário. Para isso iniciaremos nossa aula com a de�nição de derivada</p><p>direcional e discorreremos sobre sua intepretação. Ao �nal, vamos resolver exemplos sobre o</p><p>cálculo das derivadas direcionais.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Anteriormente estudamos as derivadas parciais em relação à variável</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>f(x, y)</p><p>xz</p><p>y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para ilustrar como podemos empregar esse conceito na resolução de problemas, suponha que em</p><p>uma determinada região do espaço a temperatura do ar seja dada pela função:</p><p>Considerando que um avião está, nesta região, localizado no ponto</p><p>Como podemos resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos sobre derivadas direcionais?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Anteriormente estudamos que as derivadas parciais de uma função nos fornecem taxas de variação</p><p>dessa função na direção dos eixos coordenados. E se quiséssemos calcular taxas de variação de</p><p>uma função em relação a qualquer direção? Para isso, precisaremos do conceito de derivada</p><p>direcional. Considere</p><p>Se o limite existir.</p><p>f(x, y)</p><p>yz</p><p>T(x, y) = xy2 + x2y+ x2y3</p><p>(−1,2)</p><p>f(x, y)</p><p>D ⊂ R</p><p>2</p><p>(x0, y0)</p><p>→</p><p>u = (a, b)</p><p>f</p><p>(x0, y0)</p><p>→</p><p>u</p><p>Duf(x0, y0) = lim</p><p>h→0</p><p>f(x0+ha,y0+hb)−f(x0,y0)</p><p>h</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos analisar a derivada direcional para dois casos, quando o vetor é dado por</p><p>Observe que essa derivada direcional é exatamente a derivada parcial da função em relação a</p><p>isto é,</p><p>Nesse sentido podemos dizer que as derivadas parciais da função</p><p>Se uma função</p><p>→</p><p>u = (1,0)</p><p>→</p><p>u = (0,1)</p><p>Duf(x0, y0) = lim</p><p>h→0</p><p>f(x0+h⋅1,y0+h⋅0)−f(x0,y0)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>f(x0+h,y0)−f(x0,y0)</p><p>h</p><p>x</p><p>→</p><p>u = (1,0)</p><p>Duf(x0, y0) = fx</p><p>→</p><p>u = (0,1)</p><p>Duf(x0, y0) = lim</p><p>h→0</p><p>f(x0+h⋅0,y0+h⋅1)−f(x0,y0)</p><p>h = lim</p><p>h→0</p><p>f(x0,y0+h)−f(x0,y0)</p><p>h</p><p>Duf(x0, y0) = fy</p><p>f</p><p>x</p><p>y</p><p>f</p><p>f(x, y)</p><p>(x0, y0)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>ou ainda:</p><p>O primeiro vetor no produto escalar não apenas desempenha um papel crucial no cálculo da</p><p>derivada direcional, mas também em muitas outras situações. Por essa razão, é atribuído a ele um</p><p>nome especial, conhecido como o gradiente de</p><p>Lembre-se que para o cálculo da derivada direcional o vetor deve ser unitário, o que signi�ca que seu</p><p>módulo deve ser igual a 1, ou seja,</p><p>Além dessa forma, um vetor unitário</p><p>→</p><p>u = ⟨a, b⟩</p><p>Duf(x0, y0)</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a+ fy(x0, y0) ⋅ b</p><p>Duf(x0, y0) = ⟨fx(x0, y0), fy(x0, y0)⟩ ∙ ⟨a, b⟩</p><p>f</p><p>grad f</p><p>∇f</p><p>f</p><p>x</p><p>y</p><p>f</p><p>f</p><p>∇f(x, y) = ⟨fx(x, y), fy(x, y)⟩ = ∂f</p><p>∂x i + ∂f</p><p>∂y j</p><p>→</p><p>u = √a2 + b2 = 1∣ ∣ →</p><p>u</p><p>→</p><p>u∣ ∣</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Agora que nós já vimos as formas de calcular uma derivada direcional, vamos focar em como</p><p>podemos interpretá-la geométrica e analiticamente.</p><p>Geometricamente, podemos interpretar a derivada direcional como sendo a inclinação da superfície</p><p>→</p><p>u</p><p>xy</p><p>→</p><p>u = cos(θ)i + sen(θ)j</p><p>θ</p><p>x</p><p>→</p><p>u</p><p>(x0, y0)</p><p>→</p><p>u</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ cos(θ) + fy(x0, y0) ⋅ sen(θ)</p><p>z = f(x, y)</p><p>→</p><p>u</p><p>(x0, y0; f(x0, y0))</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Interpretação geométrica da derivada direcional. Fonte: Anton et al. (2014, p. 960).</p><p>Podemos perceber que o valor da derivada direcional</p><p>Duf(x0, y0)</p><p>(x0, y0)</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>u</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Inclinação da superfície quando �xamos um ponto. Fonte: Anton et al. (2014, p. 961).</p><p>Segundo Anton et al. (2014), a interpretação analítica da derivada direcional é de uma taxa de</p><p>variação instantânea de</p><p>Com base nos conceitos apresentados até agora, vamos aplicá-los na resolução de alguns</p><p>exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Seja a função</p><p>z = f(x, y)</p><p>→</p><p>u</p><p>(x0, y0)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Solução</p><p>Para encontrar a derivada direcional precisamos primeiro determinar as derivadas parciais de</p><p>primeira ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a</p><p>A derivada da função em relação a</p><p>O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor</p><p>(x0, y0)</p><p>(3,4)</p><p>→</p><p>u = ( √3</p><p>2 , 1</p><p>2 )</p><p>x</p><p>(3,4)</p><p>fx(x, y) = 3 ⋅ 2 ⋅ xy</p><p>fx(x, y) = 6xy</p><p>fx(3,4) = 6 ⋅ 3 ⋅ 4 = 72</p><p>y</p><p>(3,4)</p><p>fy(x, y) = 3x2 ⋅ 1</p><p>fy(x, y) = 3x2</p><p>fy(3,4) = 3 ⋅ (3)2 = 27</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>u =√( √3</p><p>2 )</p><p>2</p><p>+ ( 1</p><p>2 )</p><p>2∣ ∣→</p><p>u = √ 3</p><p>4 + 1</p><p>4 = √ 4</p><p>4 = 1∣ ∣</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Como o módulo do vetor é 1, podemos calcular a derivada direcional:</p><p>Logo, a taxa de variação da função</p><p>Exemplo 2:</p><p>Seja a função</p><p>Solução</p><p>Para encontrar a derivada direcional precisamos primeiro determinar as derivadas parciais de</p><p>primeira ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a+ fy(x0, y0) ⋅ b</p><p>Duf(3,4) = 72 ⋅ √3</p><p>2 + 27 ⋅ 1</p><p>2</p><p>Duf(3,4) = 36√3 + 27</p><p>2 ≅75,9</p><p>f</p><p>(3,4)</p><p>→</p><p>u = ( √3</p><p>2 , 1</p><p>2 )</p><p>75,9</p><p>f(x, y) = excos(y)</p><p>(0, π</p><p>4 )</p><p>f</p><p>→</p><p>u = 5i − 2j</p><p>x</p><p>(0, π</p><p>4 )</p><p>fx(x, y) = excos(y)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>A derivada da função em relação a</p><p>O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor</p><p>Perceba que o módulo do vetor dado não é 1, assim, antes de calcular a derivada direcional, temos</p><p>que escrever esse vetor em sua forma unitária, para isso devemos escrever o vetor na forma</p><p>Agora, podemos calcular a derivada direcional:</p><p>Logo, a taxa de variação da função</p><p>fx(0, π</p><p>4 ) = e0cos( π</p><p>4 ) = 1 ⋅ √2</p><p>2 = √2</p><p>2</p><p>y</p><p>(0, π</p><p>4 )</p><p>fy(0, π</p><p>4 ) = −e0sen( π</p><p>4 ) = −1 ⋅ √2</p><p>2 = − √2</p><p>2</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>u = √(5)2 + (−2)2∣ ∣→</p><p>u = √25 + 4 = √29∣ ∣ →</p><p>u</p><p>→</p><p>u∣ ∣→</p><p>u = 5</p><p>√29</p><p>i − 2</p><p>√29</p><p>j</p><p>→</p><p>u = 5√29</p><p>29 i − 2√29</p><p>29 j</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a+ fy(x0, y0) ⋅ b</p><p>Duf(0,</p><p>π</p><p>4 ) = √2</p><p>2 ⋅ 5√29</p><p>29 + (− √2</p><p>2 ) ⋅ − 2√29</p><p>29</p><p>Duf(0,</p><p>π</p><p>4 ) = 5√58</p><p>58 + 2√58</p><p>58 = 7√58</p><p>58 ≅0,92</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Exemplo 3:</p><p>Seja a função</p><p>Solução</p><p>Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função</p><p>Siga em Frente...</p><p>O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado:</p><p>No problema nos foi informado que a derivada deve ser calculada na direção indicada pelo ângulo</p><p>f</p><p>(0, π</p><p>4 )</p><p>→</p><p>u = 5i − 2j</p><p>0,92</p><p>f(x, y) = ye−x</p><p>(0,4)</p><p>θ = 2π</p><p>3</p><p>f</p><p>f(x, y) = ye−x</p><p>fx(x, y) = y ⋅ −1 ⋅ e−x = −ye−x</p><p>fy(x, y) = 1 ⋅ e−x = e−x</p><p>fy(x, y) = e−x</p><p>fy(0,4) = e0 = 1</p><p>θ = 2π</p><p>3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Logo, a taxa de variação da função</p><p>Nesses exemplos vimos como calcular a derivada direcional para funções de duas variáveis reais,</p><p>será que é possível calcular a derivada direcional de uma função com três variáveis reais? Sim, é</p><p>possível e o seu cálculo é feito de maneira análoga ao feito para funções de duas variáveis. Seja</p><p>→</p><p>u = cos( 2π</p><p>3 )i + sen( 2π</p><p>3 )j</p><p>→</p><p>u = − 1</p><p>2 i + √3</p><p>2 j</p><p>Logo,  a derivada direcional será dada por :</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a+ fy(x0, y0) ⋅ b</p><p>Duf(0,4) = −4 ⋅ − 1</p><p>2 + 1 ⋅ √3</p><p>2</p><p>Duf(0,4) = 4</p><p>2 + √3</p><p>2 = 2 + √3</p><p>2 ≅2,87</p><p>f</p><p>(0,4)</p><p>θ = 2π</p><p>3</p><p>→</p><p>u = − 1</p><p>2 i + √3</p><p>2 j</p><p>2,87</p><p>f(x, y, z)</p><p>(x0, y0, z0)</p><p>→</p><p>u =  ⟨a, b, c⟩</p><p>Duf(x0, y0, z0)</p><p>Duf(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0) ⋅ a+ fy(x0, y0, z0) ⋅ b+ fz(x0, y0, z0) ⋅ c</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Por exemplo, seja a função</p><p>O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado:</p><p>O vetor informado possui módulo igual a 1, assim, a derivada direcional será dada por:</p><p>Lembre-se que para calcular a derivada direcional de uma função em um ponto, é necessário</p><p>primeiro determinar o gradiente da função nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na</p><p>direção de maior crescimento da função e cuja magnitude indica a taxa de variação máxima. Em</p><p>f(x, y, z) = 5x2 − 3xy+ xyz</p><p>(1,2, 3)</p><p>→</p><p>u = (0, 1</p><p>2 ,</p><p>√3</p><p>2 )</p><p>f(x, y, z) = 5x2 − 3xy+ xyz</p><p>fx(x, y, z) = 5 ⋅ 2 ⋅ x− 3 ⋅ 1 ⋅ y+ 1 ⋅ yz = 10x− 3y+ yz</p><p>fy(x, y, z) = 0 − 3 ⋅ x ⋅ 1 + x ⋅ 1 ⋅ z = −3x+ xz</p><p>fz(x, y, z) = 0 − 0 + x ⋅ y ⋅ 1 = xy</p><p>fx(1,2, 3) = 10 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 10</p><p>fy(x, y, z) = −3x+ xz</p><p>fy(1,2, 3) = −3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 = 0</p><p>fz(x, y, z) = xy</p><p>fz(1,2, 3) = 1 ⋅ 2 = 2</p><p>Duf(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0) ⋅ a+ fy(x0, y0, z0) ⋅ b+ fz(x0, y0, z0) ⋅ c</p><p>Duf(1,2, 3) = 10 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1</p><p>2 + 2 ⋅ √3</p><p>2</p><p>Duf(1,2, 3) = 0 + 0 + 2√3</p><p>2 = √3 ≅1,73</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>seguida, a derivada direcional é obtida fazendo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário</p><p>que representa a direção desejada.</p><p>Este conceito é amplamente utilizado em diversas áreas, como física, engenharia e economia, para</p><p>analisar a taxa de mudança de uma grandeza em uma direção especí�ca. Por exemplo, na física, a</p><p>derivada direcional pode ser utilizada para determinar a taxa de variação da temperatura em uma</p><p>determinada direção em um ponto especí�co de um campo térmico.</p><p>Em resumo, a derivada direcional é uma ferramenta poderosa que nos permite entender como uma</p><p>função se comporta em uma direção especí�ca, sendo essencial para a modelagem e análise de</p><p>fenômenos variados em várias disciplinas cientí�cas.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já conheceu as propriedades relacionadas às derivadas direcionais, vamos retornar</p><p>a nossa situação inicial. Nessa situação devemos considerar que em uma determinada região do</p><p>espaço, a temperatura do ar seja dada pela função:</p><p>Além disso, devemos considerar que um avião está, nesta região, localizado no ponto</p><p>Sabemos que as derivadas</p><p>direcionais nos fornecem a taxa de variação de uma função em um</p><p>determinado ponto na direção de um vetor, assim, para resolver esse problema, será necessário</p><p>investigar algumas características da derivada direcional.</p><p>A derivada direcional da função</p><p>T(x, y) = xy2 + x2y+ x2y3</p><p>(−1,2)</p><p>T</p><p>Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a+ fy(x0, y0) ⋅ b</p><p>Duf(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) ∙ (a, b) =</p><p>→</p><p>v ∙</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Sabemos que o valor máximo atingido pelo</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>u ∙→v = →</p><p>u ∙ →</p><p>v cos(θ)∣ ∣ ∣ ∣θ</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>u ,</p><p>→</p><p>v ≥ 0∣ ∣ ∣ ∣cos(θ)</p><p>−1 ≤ cos(θ) ≤ 1</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>cos(θ)</p><p>cos(θ)</p><p>θ = 0</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>v</p><p>θ = π</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Em nosso problema, o piloto deseja resfriar o motor deste avião o mais rápido possível, então ele</p><p>deverá voar em uma direção oposta ao vetor gradiente, isto é, o vetor</p><p>Como o avião está localizado no ponto</p><p>Portanto, para resfriar o motor o mais rápido possível, o avião deve voar na direção do vetor</p><p>A partir desse estudo podemos calcular a derivada direcional no ponto</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>v</p><p>→</p><p>v = −(Tx,Ty)</p><p>T(x, y) = xy2 + x2y+ x2y3</p><p>T(x, y) = xy2 + x2y+ x2y3</p><p>Tx(x, y) = y2 + 2 ⋅ x ⋅ y+ 2 ⋅ x ⋅ y3 = y2 + 2xy+ 2xy3</p><p>Ty(x, y) = x ⋅ 2 ⋅ y+ x2 ⋅ 1 + x2 ⋅ 3 ⋅ y2 = 2xy+ x2 + 3x2y2</p><p>(−1,2)</p><p>Tx(−1,2) = (2)2 + 2(−1)(2) + 2(−1)(2)3 = 4 − 4 − 16 = −16</p><p>Ty(−1,2) = 2(−1)(2) + (−1)2 + 3(−1)2(2)2 = −4 + 1 + 12 = 9</p><p>→</p><p>v = −(−16,9) = (16,−9)</p><p>(−1,2)</p><p>θ = π</p><p>→</p><p>u</p><p>→</p><p>u = cos(π)i + sen(π)j</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando o vetor gradiente</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre derivadas parciais leia a seção 14.6 –</p><p>Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente do livro Cálculo – Volume 2 de James Stewart, Daniel</p><p>Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de</p><p>exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao</p><p>�nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>→</p><p>u = −i</p><p>→</p><p>v = (16,−9)</p><p>→</p><p>u = (−1,0),</p><p>Duf(−1,2) = (16,−9) ∙ (−1,0) = −16</p><p>(−1,2)</p><p>→</p><p>u = (−1,0)</p><p>−16</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Aula 4</p><p>Otimização</p><p>Otimização</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Uma das aplicações das derivadas parciais são os</p><p>problemas de otimização. A otimização permite tomar decisões informadas ao buscar maximizar ou</p><p>minimizar uma determinada função em um contexto especí�co, levando em consideração múltiplas</p><p>variáveis e suas interações. Nessa aula discutiremos sobre os pontos de máximos e mínimos locais,</p><p>que são conceitos essenciais na resolução de problemas de otimização. Ao �nal vamos utilizar</p><p>esses conceitos para resolver problemas de otimização.</p><p>Ponto de Partida</p><p>A otimização de funções de duas variáveis é um ramo importante da análise matemática que se</p><p>concentra em encontrar os pontos onde uma função atinge valores máximos ou mínimos em um</p><p>domínio bidimensional. Esses pontos extremos podem representar, por exemplo, o maior lucro em</p><p>um negócio ou o menor custo de produção em um processo industrial.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para encontrar esses pontos, é necessário aplicar técnicas de cálculo diferencial, como encontrar</p><p>derivadas parciais e utilizar testes de segunda derivada para determinar se um ponto crítico é um</p><p>máximo, mínimo ou ponto de sela. Os pontos críticos são os pontos onde as derivadas parciais da</p><p>função são iguais a zero ou não existem.</p><p>Nessa aula discutiremos sobre como determinar os pontos de mínimo e máximo local e como</p><p>podemos empregar esses conceitos para resolver problemas de otimização.</p><p>Para exempli�car como podemos utilizar as derivadas parciais na solução de problemas de</p><p>otimização, suponha que certa empresa é responsável pela fabricação de um produto (cuja</p><p>quantidade será representada por</p><p>A partir destas informações, qual a produção que maximiza o lucro? Qual será o lucro máximo</p><p>atingido nesse caso?</p><p>Como podemos responder a essas perguntas? Quais são os conceitos necessários para resolver</p><p>esse problema? Vamos iniciar nossos estudos sobre otimização?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Entendemos que uma das aplicações primárias das derivadas em funções de uma variável real</p><p>reside na identi�cação dos valores máximo e mínimo, ou seja, os extremos da função. Da mesma</p><p>forma, ao lidar com funções de duas variáveis, podemos estender esse conceito ao utilizar as</p><p>derivadas parciais para localizar pontos de máximo e mínimo em uma função bidimensional. Isso</p><p>nos permite não apenas visualizar a superfície da função, mas também entender como ela varia em</p><p>diferentes direções, facilitando a identi�cação dos pontos onde atinge seus extremos.</p><p>Para explorarmos esses conceitos, analise a �gura que segue.</p><p>z</p><p>x</p><p>y</p><p>R $  2,00</p><p>R $  1,00</p><p>R $  5,00</p><p>z = 900 − x2 − y2 + 32x + 41y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Representação da função f. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 930).</p><p>Nessa �gura podemos observar os pontos de máximo e mínimo ao longo do grá�co da função</p><p>f</p><p>(a,  b)</p><p>f</p><p>f(a, b)</p><p>f(x, y)</p><p>f</p><p>f(a, b)</p><p>f(x, y)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>De acordo com Stewart, Clegg e Watson (2022, p. 930),</p><p>“uma função de duas variáveis tem um máximo local em</p><p>A partir dessa de�nição podemos dizer que se</p><p>f</p><p>(a, b)</p><p>f(x, y) ≤ f(a, b)</p><p>(x, y)</p><p>(a, b)</p><p>f(a, b)</p><p>f(x, y) ≥ f (a, b)</p><p>(x, y)</p><p>(a, b)</p><p>(a, b)</p><p>f(a, b)</p><p>f</p><p>(a, b)</p><p>fx(a, b) = 0</p><p>fy(a, b) = 0</p><p>(a, b)</p><p>f</p><p>f</p><p>(a,  b)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para determinarmos se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois</p><p>podemos aplicar o teste da segunda derivada. Para aplicar esse teste consideremos que as</p><p>derivadas parciais de segunda ordem de</p><p>Se   e   então   é um mínimo local.</p><p>Se   e   então   é um máximo local.</p><p>Se   então   não é mínimo local nem máximo local, ou seja, é um ponto de sela.</p><p>Denominamos</p><p>Vamos, agora, analisar um exemplo de como podemos aplicar esse teste.</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine os valores máximos e mínimos locais os pontos de sela da função</p><p>Solução</p><p>O primeiro passo é encontrar os pontos críticos da função,</p><p>derivando a função, temos:</p><p>(a,  b)</p><p>f</p><p>f</p><p>(a, b)</p><p>fx(a, b) = 0</p><p>fx(a, b) = 0</p><p>H = H(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b) − [fxy(a, b)]</p><p>2</p><p>H > 0 fxx(a, b) > 0 f(a, b)</p><p>H > 0 fxx(a, b) 0</p><p>fxx(1,1) > 0</p><p>(1,1)</p><p>(−1,−1)</p><p>H(−1,−1) = 144(−1)2(−1)2 − 16 = 128</p><p>H > 0</p><p>fxx(−1,−1) > 0</p><p>(−1,−1)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>fornecendo assim soluções ótimas para os problemas de otimização e auxiliando na tomada de</p><p>decisões em diversos campos.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Considerando essa aplicação, vamos resolver o exemplo que segue.</p><p>Exemplo 2</p><p>Qual o volume de uma caixa retangular sem tampa, sabendo que esta deve ser construída com 12</p><p>m2 de papelão?</p><p>Solução</p><p>Sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros), respectivamente. O volume</p><p>da caixa será dado por:</p><p>A área total da caixa deve ser igual a 12 m2, assim,</p><p>Da equação da área temos:</p><p>Substituindo o valor de z na equação do volume teremos:</p><p>Calculando as derivadas parciais segue que:</p><p>V = xyz</p><p>2xz+ 2yz+ xy = 12</p><p>2z(x+ y) = 12 − xy</p><p>z = 12−xy</p><p>2(x+y)</p><p>V = xy ⋅ ( 12−xy</p><p>2(x+y) )</p><p>V = 12xy−x2y2</p><p>2(x+y)</p><p>y2(12−2xy−x2)</p><p>2(x+y)2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ao igualar estas derivadas a zero, temos:</p><p>Comparando (1) e (2) temos:</p><p>Obtemos</p><p>∂V</p><p>∂y =</p><p>(12x−2x2y)(2x+2y)−(12xy−x2y2)(2)</p><p>4(x+y)2</p><p>=</p><p>= 24x2+24xy−4x3y−4x2y2−24xy+2x2y2</p><p>4(x+y)2</p><p>=</p><p>24x2−2x2y2−4x3y2</p><p>4(x+y)2</p><p>= 12y2−x2y2−2xy</p><p>2(x+y)2</p><p>=</p><p>x2(12−2xy−y2)</p><p>2(x+y)2</p><p>y2(12−2xy−x2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 0</p><p>12y2 − 2xy3 − y2x2 = 0 (1)</p><p>x2(12−2xy−y2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 0</p><p>12x2 − 2x3y− y2x2 = 0 (2)</p><p>12y2 − 2xy3 − y2x2 = 12x2 − 2x3y− y2x2</p><p>y2(12 − 2xy) = x2(12 − 2xy) − y2x2 + y2x2</p><p>y2 = x2(12−2xy)</p><p>(12−2xy)</p><p>y2 = x2</p><p>x2 = y2</p><p>x = y</p><p>x = y</p><p>x = y = 2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Agora, temos que veri�car se esse ponto crítico é ponto de máximo ou mínimo. Para isso primeiro</p><p>temos que determinar as derivadas de segunda ordem da função.</p><p>12 − 3y2 = 0</p><p>12 = 3y2 → y2 = 4  ↔ y = ±2</p><p>y = 2,   pois  y é  uma  medida   de   comprimento</p><p>∂V</p><p>∂x =</p><p>y2(12−2xy−x2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 12y2−2xy3−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>∂V</p><p>∂x =</p><p>y2(12−2xy−x2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 12y2−2xy3−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>∂ 2V</p><p>∂x2 =</p><p>(0−2y3−2xy2)(2(x+y)2)−(12y2−2xy3−x2y2)(2⋅2(x+y)⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>∂ 2V</p><p>∂x2 =</p><p>(0−2y3−2xy2)(2(x+y)2)−(12y2−2xy3−x2y2)(2⋅2(x+y)⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>=</p><p>(0−2y3−2xy2)(2(x+y)1)−(12y2−2xy3−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>=</p><p>(0−2y3−2xy2)(2(x+y)1)−(12y2−2xy3−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4xy3−4y4−4x2y2−4xy3−48y2+8xy3+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4xy3−4y4−4x2y2−4xy3−48y2+8xy3+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4y4−48y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −y4−12y2</p><p>(x+y)3</p><p>= −4y4−48y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −y4−12y2</p><p>(x+y)3</p><p>∂V</p><p>∂y =</p><p>x2(12−2xy−y2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 12x2−2x3y−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Nos resta calcular a derivada mista da função, conforme segue:</p><p>∂V</p><p>∂y =</p><p>x2(12−2xy−y2)</p><p>2(x+y)2</p><p>= 12x2−2x3y−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>∂ 2V</p><p>∂y2 =</p><p>(0−2x3−2x2y)(2(x+y)2)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2(x+y)⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>∂ 2V</p><p>∂y2 =</p><p>(0−2x3−2x2y)(2(x+y)2)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2(x+y)⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>=</p><p>(0−2x3−2x2y)(2(x+y)1)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>=</p><p>(0−2x3−2x2y)(2(x+y)1)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4x4−4x3y−4x3y−4x2y2−48x2+8x3y+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4x4−4x3y−4x3y−4x2y2−48x2+8x3y+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −4x4−48x2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −x4−12x2</p><p>(x+y)3</p><p>= −4x4−48x2</p><p>4(x+y)3</p><p>= −x4−12x2</p><p>(x+y)3</p><p>∂V</p><p>∂y = 12x2−2x3y−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>∂V</p><p>∂y = 12x2−2x3y−x2y2</p><p>2(x+y)2</p><p>∂ 2V</p><p>∂y∂x =</p><p>(24x−6x2y−2xy2)(2(x+y)2)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2(x+y)1⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>∂ 2V</p><p>∂y∂x =</p><p>(24x−6x2y−2xy2)(2(x+y)2)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2(x+y)1⋅1)</p><p>4(x+y)4</p><p>=</p><p>(24x−6x2y−2xy2)(2(x+y)1)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Calculando as derivadas parciais de segunda ordem no ponto crítico</p><p>, temos:</p><p>Calculando a Hessiana temos:</p><p>=</p><p>(24x−6x2y−2xy2)(2(x+y)1)−(12x2−2x3y−x2y2)(2⋅2⋅1)</p><p>4(x+y)3</p><p>= 48x2+48xy−12x3y−12x2y2−4x2y2−4xy3−48x2+8x3y+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= 48x2+48xy−12x3y−12x2y2−4x2y2−4xy3−48x2+8x3y+4x2y2</p><p>4(x+y)3</p><p>= 48xy−4x3y−12x2y2−4xy3</p><p>4(x+y)3</p><p>= 12xy−x3y−3x2y2−xy3</p><p>(x+y)3</p><p>= 48xy−4x3y−12x2y2−4xy3</p><p>4(x+y)3</p><p>= 12xy−x3y−3x2y2−xy3</p><p>(x+y)3</p><p>(2,2)</p><p>(2,2)</p><p>∂ 2V</p><p>∂x2 = Vxx(2,2) =</p><p>−(2)4−12(2)2</p><p>(2+2)3</p><p>= − 64</p><p>64 = −1</p><p>∂ 2V</p><p>∂x2 = Vxx(2,2) =</p><p>−(2)4−12(2)2</p><p>(2+2)3</p><p>= − 64</p><p>64 = −1</p><p>∂ 2V</p><p>∂y2</p><p>= Vyy(2,2) =</p><p>−(2)4−12(2)2</p><p>(2+2)3</p><p>= − 64</p><p>64 = −1</p><p>∂ 2V</p><p>∂y2 = Vyy(2,2) =</p><p>−(2)4−12(2)2</p><p>(2+2)3</p><p>= − 64</p><p>64 = −1</p><p>∂ 2V</p><p>∂y∂x = Vyx(2,2) =</p><p>12(2)(2)−(2)3(2)−3(2)2(2)2−(2)(2)3</p><p>(2+2)3</p><p>=   − 32</p><p>64 = − 1</p><p>2</p><p>∂ 2V</p><p>∂y∂x = Vyx(2,2) =</p><p>12(2)(2)−(2)3(2)−3(2)2(2)2−(2)(2)3</p><p>(2+2)3</p><p>=   − 32</p><p>64 = − 1</p><p>2</p><p>H = H(x, y) = Vxx(2, 2)Vyy(2, 2) − [Vyx(2, 2)]</p><p>2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Como</p><p>e</p><p>temos um ponto de máximo local. Isso signi�ca se o comprimento for</p><p>e a largura</p><p>, temos que o maior volume possível. Falta apenas encontrar o valor da altura, ou seja,</p><p>, e para isso basta substituirmos o valor</p><p>na equação da área total, encontrando</p><p>. Logo, o volume máximo desta caixa será igual a</p><p>.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já sabe como resolver problemas de otimização, vamos retornar a nossa situação</p><p>inicial. Nessa situação devemos determinar o lucro máximo de uma empresa, considerando a</p><p>H = H(x, y) = Vxx(2, 2)Vyy(2, 2) − [Vyx(2, 2)]</p><p>2</p><p>H = −1 ⋅ −1 − (− 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>= 1 − 1</p><p>4 = 3</p><p>4</p><p>H = −1 ⋅ −1 − (− 1</p><p>2 )</p><p>2</p><p>= 1 − 1</p><p>4 = 3</p><p>4</p><p>H > 0</p><p>Vxx(2,2) 0</p><p>Vxx(2,2)</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, o lucro obtido com a venda deste produto será caracterizado por:</p><p>ou seja,</p><p>Queremos determinar a produção que maximiza o lucro, para isso, iremos veri�car quais as</p><p>quantidades de insumos I e II necessárias para a maximização do lucro. Devemos, neste caso,</p><p>identi�car os pontos de máximo da função lucro</p><p>Inicialmente, para a identi�cação dos pontos críticos de</p><p>Portanto, o ponto  é um ponto crítico da função lucro. Precisamos ainda veri�car se ele corresponde</p><p>a um ponto de máximo. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:</p><p>e, na sequência, avaliar o teste da segunda derivada referente à função lucro sobre o ponto</p><p>L(x, y) = R(x, y) − C(x, y) = 4500 − 5x2 − 5y2 + 160x+ 205y− (2x+ y)</p><p>L(x, y) = 4500 − 5x2 − 5y2 + 158x+ 204y</p><p>L(x, y)</p><p>L(x, y)</p><p>x</p><p>y</p><p>∂L</p><p>∂x = −10x+ 158 = 0 ⇒ x = 15,8</p><p>∂L</p><p>∂y = −10y+ 204 = 0 ⇒ y = 20,4</p><p>∂ 2L</p><p>∂x2 = −10</p><p>∂ 2L</p><p>∂y2 = −10</p><p>∂ 2L</p><p>∂x∂y = ∂ 2L</p><p>∂y∂x = 0</p><p>(15.8,  20.4)</p><p>H = [ ∂ 2L</p><p>∂x2 (15,8;  20,4)][</p><p>∂ 2L</p><p>∂x2 (15,8;  20,4)]− [ ∂ 2L</p><p>∂x∂y (15,8;  20,4)]</p><p>2</p><p>= (−10)2 = 100</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Como</p><p>Podemos concluir que</p><p>Desta forma, a quantidade que maximiza a produção corresponde a</p><p>Portanto, o lucro máximo será de R$ 7.829,00 e a quantidade que para que se tenha esse lucro é</p><p>1576,2 Kg.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre problemas de otimização, leia a seção 14.7</p><p>– Valores máximo e mínimo do livro Cálculo – Volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem</p><p>Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de exercícios, selecione</p><p>alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as</p><p>respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>H > 0</p><p>∂ 2L</p><p>∂x2 (15,8;  20,4) = −10</p><p>utilizá-lo na construção do seu software. A função Cobb-</p><p>Douglas se baseia na produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); na quantidade</p><p>de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e na quantidade de capital</p><p>investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios). Matematicamente a função é</p><p>expressa por:3</p><p>Em que   é produção total,   a quantidade de trabalho e  a quantidade de capital investido e  e</p><p>são parâmetros �xos. Após a implementação dessa função, você decidiu realizar estudos</p><p>teóricos. Sua primeira tarefa é encontrar o domínio dessa função, visto que se esse não for</p><p>considerado corretamente no momento da implementação da função, teremos problemas no</p><p>software. Depois considerando que   e  calcule a produção total em um ano</p><p>quando a quantidade de capital investido é de   e a quantidade de trabalho é</p><p>horas. Sua segunda tarefa é avaliar a produção marginal em relação à quantidade de trabalho e em</p><p>relação à quantidade de capital investido. Depois encontrar essa produção quando a quantidade de</p><p>capital investido é de  ,00 e a quantidade de trabalho é    horas. Para isso, considere</p><p>que   e  . Por �m, você deve avaliar produção marginal quando a quantidade de</p><p>capital investido é de   e a quantidade de trabalho é  horas e essa variação está</p><p>na direção do vetor  . Nesse momento, considere também que   e</p><p>.</p><p>Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem</p><p>ser aplicados, convidamos à re�exão sobre essas duas questões:</p><p>De que maneira você poderia utilizar as derivadas parciais para solucionar desa�os especí�cos</p><p>dentro da sua área de atuação?</p><p>P(L,K) = bLαK 1−α</p><p>P L K  b</p><p>α</p><p>b = 1,456 α = 0,60,</p><p>R$50.000, 00 2200</p><p>R$50.000 2200</p><p>b = 1,456 α = 0,60</p><p>R$50.000,00 2200</p><p>→</p><p>u = ( 1</p><p>2 ,</p><p>√3</p><p>2 ) b = 1,456</p><p>α = 0,60</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Suponha que você esteja projetando um recipiente cúbico de volume �xo para armazenar um</p><p>produto. Como você pode usar as derivadas parciais para determinar as dimensões que minimizam</p><p>a quantidade de material necessária para construir o recipiente?</p><p>Antes de iniciarmos a solução do problema, vamos retomar suas tarefas. A primeira delas é</p><p>encontrar o domínio da função de produção de Cobb-Douglas e calcular o seu valor quando</p><p>horas. Sua segunda tarefa é analisar a produção marginal e depois calcular</p><p>essa produção quando   e  horas. Sua terceira e última tarefa é avaliar</p><p>produção marginal quando   e   horas e essa variação está na direção do</p><p>vetor  . Agora, que você já relembrou quais suas tarefas, vamos colocar a mão na</p><p>massa e resolvê-las.</p><p>Primeira tarefa:</p><p>Para encontrarmos o domínio da função, você deve se lembrar de que o domínio são todos os</p><p>valores que as variáveis   e  podem assumir. Sabemos que a função de produção de Cobb-</p><p>Douglas é dada por  , que   e   são parâmetros �xos, o domínio dessa</p><p>função seria todos os pares ordenados  . Porém, essa função modela uma situação</p><p>relacionada à economia, assim, além dessa análise matemática, é importante que você considere o</p><p>signi�cado dessas variáveis.  refere-se à quantidade de trabalho ao �nal de um ano, essa</p><p>quantidade pode ser negativa?   refere-se ao capital investido, esse capital pode ser um valor</p><p>negativo? Em ambos os casos as variáveis não podem assumir valores negativos, mas podem ser</p><p>zero, o que acarretaria uma produção nula. Assim, o domínio dessa função são todos os pares</p><p>ordenados  , isto é,    e  .</p><p>Para calcularmos a produção quando   e  , devemos considerar que</p><p>e  . Realizando as substituições necessárias na função</p><p>.</p><p>Logo, a produção total é de aproximadamente  .</p><p>Segunda tarefa:</p><p>Nessa tarefa, você deve analisar a produção marginal, isto é, a derivada da função produção em</p><p>relação a cada uma das variáveis. Considerando que  e    são parâmetros �xos, temos que a</p><p>derivada parcial da função  em relação à   será dada por:</p><p>Analogamente, a derivada parcial em relação a à   será dada por:</p><p>K = 50000 L = 2200</p><p>K = 50000 L = 2200</p><p>K = 50000 L = 2200</p><p>→</p><p>u = ( 1</p><p>2 ,</p><p>√3</p><p>2 )</p><p>L K</p><p>P(L,K) = bLαK 1−α b α</p><p>(L,K) ∈ R</p><p>2</p><p>L</p><p>K</p><p>(L,K) ∈ R+</p><p>2 L ≥ 0 K ≥ 0</p><p>K = 50000 L = 2200</p><p>b = 1,456 α = 0,60</p><p>P(L,K) = bLαK 1−α</p><p>P(L,K) = 1,456L0,60K 0,4</p><p>P(2200,50000) = 1,456(2200)0,60(50000)0,4</p><p>P(2200,50000) ≅11173,85</p><p>11173,85</p><p>b  α</p><p>P   L</p><p>P(L,K) = bLαK 1−α</p><p>PL(L,K) = b ⋅ αLα−1K 1−α</p><p>K</p><p>P(L,K) = bLαK 1−α</p><p>PK(L,K) = b ⋅ Lα ⋅ (1 − α)K 1−α−1</p><p>PK(L,K) = b ⋅ Lα ⋅ (1 − α)K−α</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Assim, a produtividade marginal do trabalho será dada por   e a</p><p>produtividade marginal do capital será dada por  . Agora temos</p><p>que calcular essa produtividade marginal do trabalho considerando  ,  ,</p><p>e</p><p>Analogamente, teremos a produtividade marginal do capital:</p><p>Portanto, a produtividade marginal do trabalho é de aproximadamente   e a produtividade</p><p>marginal do capital é de aproximadamente  .</p><p>Terceira tarefa:</p><p>Nessa tarefa, você deve encontrar a derivada direcional da função dada quando a variação está na</p><p>direção do vetor  . Para o cálculo da derivada direcional, o primeiro passo é encontrar</p><p>as derivadas parciais de primeira ordem no ponto dado. Nós já realizamos esse passo na tarefa</p><p>anterior. O segundo passo é veri�car se o vetor dado é unitário, o que é o nosso caso. Agora,</p><p>podemos calcular a derivada direcional:</p><p>Portanto, esta é a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de  e a quantidade</p><p>de trabalho é de  horas e essa variação está na direção do vetor</p><p>Assimile</p><p>Os princípios das funções de duas variáveis e suas derivadas parciais desempenham um papel</p><p>fundamental na resolução de uma variedade de problemas em diversas áreas do conhecimento.</p><p>Diante dessa amplitude de aplicação, é essencial que se compreenda as características principais</p><p>desses conceitos. Essas características são apresentadas na Figura 1.</p><p>PL(L,K) = b ⋅ αLα−1K 1−α</p><p>PK(L,K) = b ⋅ Lα ⋅ (1 − α)K−α</p><p>b = 1,456 α = 0,60</p><p>K = 50000 L = 2200</p><p>P(L,K) = 1,456L0,60K 0,40</p><p>PL(L,K) = 1,456 ⋅ 0,60 ⋅ L0,60−1K 0,40</p><p>PL(L,K) = 0,8736 ⋅ L−0,40K 0,40</p><p>PL(2200,50000) = 0,8736 ⋅ (2200)−0,40(50000)0,40</p><p>PL(2200,50000) ≅3,05</p><p>PK(L,K) = 1,456 ⋅ L0,60 ⋅ (0,40)K−0,60</p><p>PK(L,K) = 0,5824 ⋅ L0,60K−0,60</p><p>PK(2200,50000) = 0,5824 ⋅ (2200)0,60(50000)−0,60</p><p>PK(2200,50000) ≅0,09</p><p>3,05</p><p>0,09</p><p>→</p><p>u = ( 1</p><p>2 ,</p><p>√3</p><p>2 )</p><p>DuP(L0,K0) = PL(L0,K0) ⋅ a+ PK(L0,K0) ⋅ b</p><p>DuP(2200,50000) = 3,05 ⋅ 1</p><p>2 + 0,09 ⋅ √3</p><p>2</p><p>DuP(2200,50000) ≅1,60</p><p>2200</p><p>→</p><p>u = ( 1</p><p>2 ,</p><p>√3</p><p>2 ).</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Resumo visual dos conceitos de função de duas variáveis e derivadas parciais</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>,</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Unidade 4</p><p>Integrais Duplas</p><p>Aula 1</p><p>Integrais Duplas: Regiões Retangulares</p><p>Integrais duplas: regiões retangulares</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo</p><p>para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nesta aula, iremos nos aprofundar no estudo das</p><p>integrais duplas. Para começar, vamos entender a de�nição dessas integrais. Em seguida, vamos</p><p>examinar o teorema de Fubini, uma ferramenta fundamental que nos permite calcular essas integrais</p><p>de forma e�ciente, facilitando a análise e resolução de problemas complexos de integração em duas</p><p>variáveis.</p><p>Ponto de Partida</p><p>As integrais duplas são uma ferramenta poderosa na matemática que nos permite calcular áreas e</p><p>volumes em regiões bidimensionais. Enquanto as integrais simples lidam com uma única variável, as</p><p>integrais duplas estendem esse conceito para duas variáveis, abrindo um novo mundo de</p><p>possibilidades para a análise e resolução de problemas geométricos e físicos.</p><p>Nesta aula, vamos explorar o conceito de integrais duplas, um dos pilares fundamentais do cálculo</p><p>com aplicações que se estendem por diversas áreas do conhecimento. As integrais duplas são</p><p>ferramentas poderosas que nos permitem calcular uma variedade de quantidades, desde volumes</p><p>de tanques de armazenamento de água, independentemente de sua forma, até momentos de inércia</p><p>de corpos, campos magnéticos e elétricos, densidade de partículas, estresse e resistência na</p><p>con�abilidade de equipamentos, entre outros.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ao compreender esse conceito, você estará preparado para resolver uma variedade de problemas</p><p>que envolvam cálculos matemáticos em seu campo de atuação. A versatilidade das integrais duplas</p><p>as torna uma ferramenta valiosa para analisar e modelar fenômenos em diferentes áreas,</p><p>proporcionando uma compreensão mais profunda e um arsenal de técnicas para lidar com desa�os</p><p>quantitativos complexos.</p><p>Para ilustrar como você pode empregar o conceito de integral dupla na resolução de problemas,</p><p>suponha que você deseja calcular o volume do sólido</p><p>Como podemos determinar o volume desse sólido? Como podemos utilizar o conceito de integral</p><p>dupla para resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos sobre as integrais duplas?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Para começarmos nossos estudos de integrais duplas, precisamos revisar o conceito de integral</p><p>de�nida de função de uma variável. Assim, suponha que</p><p>Se tomarmos o limite dessa soma quando</p><p>S</p><p>f(x, y) = 4 − x− y</p><p>R = [0,2] × [0,1]</p><p>f</p><p>a ≤ x ≤ b</p><p>[a, b]</p><p>n</p><p>Δx = b−a</p><p>n</p><p>xi</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) Δ x</p><p>n → ∞</p><p>a</p><p>b</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Nosso objetivo neste momento é expandir esse conceito para uma função de duas variáveis. Então,</p><p>para fazermos isso, vamos considerar uma função</p><p>Em analogia ao conceito de integral de�nida de funções de uma variável em que o objetivo, em geral,</p><p>era o cálculo de áreas, nossa meta, então, é o cálculo de volumes. Em particular, estamos</p><p>interessados em calcular o volume da superfície</p><p>f</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) Δ x</p><p>f</p><p>R = [a, b] × [b, c] = {(x, y) ∈ R</p><p>2 a ≤ x ≤ b,  c ≤ y ≤ d}∣f(x) ≥ 0</p><p>f</p><p>z = f(x, y)</p><p>f</p><p>R</p><p>S</p><p>S = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3 0 ≤ z ≤ f(x, y),  (x, y) ∈ R}∣ S</p><p>[a, b]</p><p>n</p><p>R</p><p>n</p><p>[a, b]</p><p>m</p><p>Δx = b−a</p><p>m</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos escolher um ponto amostral</p><p>Figura 1. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 959).</p><p>Então, seguindo esse procedimento para todos os retângulos, o volume total da superfície</p><p>No entanto, nosso objetivo é obter uma aproximação mais e�ciente para o volume. Neste caso, essa</p><p>aproximação pode ser facilmente obtida quando aumentamos os valores de m e n, isto é, esperamos</p><p>que o volume seja ótimo se:</p><p>[c, d]</p><p>n</p><p>Δy = d−c</p><p>n</p><p>ΔA = ΔxΔ y</p><p>(xk</p><p>ij, y</p><p>k</p><p>ij)</p><p>S</p><p>Rij</p><p>f(xk</p><p>ij, y</p><p>k</p><p>ij)</p><p>S</p><p>V = ∑m</p><p>i=1∑</p><p>n</p><p>j=1 f(x</p><p>k</p><p>ij, y</p><p>k</p><p>ij)ΔA</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Usamos essa expressão para de�nir o volume do sólido</p><p>Com base no exposto até o momento, podemos dizer que se</p><p>Vale ressaltar que, em geral, calcular integrais de funções de uma única variável real diretamente</p><p>pela de�nição pode ser uma tarefa árdua. Contudo, o teorema fundamental do cálculo oferece um</p><p>método mais acessível para realizar esses cálculos. Por outro lado, o cálculo de integrais duplas a</p><p>partir da de�nição é ainda mais complexo. No entanto, neste contexto, aprenderemos a expressar</p><p>uma integral dupla como uma integral iterada, facilitando o processo ao transformá-la em duas</p><p>integrais unidimensionais que podem ser calculadas separadamente (STEWART; CLEGG; WATSON,</p><p>2022).</p><p>Suponha que</p><p>V = lim</p><p>m,n→∞</p><p>∑m</p><p>i=1∑</p><p>n</p><p>j=1 f(x</p><p>k</p><p>ij, y</p><p>k</p><p>ij)ΔA</p><p>S</p><p>f</p><p>R.</p><p>f</p><p>R</p><p>∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y)dA  = lim</p><p>m,n→∞</p><p>∑m</p><p>i=1∑</p><p>n</p><p>j=1 f(x</p><p>k</p><p>ij, y</p><p>k</p><p>ij)ΔA</p><p>f (x,  y)  ≥  0</p><p>V</p><p>R</p><p>z  =  f (x,  y)</p><p>V = ∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y) dA</p><p>f</p><p>R = [a, b] × [c, d].</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Agora, se integrarmos a função</p><p>A integral do lado direito dessa equação é denominada de integral iterada. Geralmente os colchetes</p><p>são omitidos. Assim,</p><p>signi�ca que primeiro devemos integrar com relação a</p><p>∫ d</p><p>c f(x, y)dy</p><p>x</p><p>f(x, y)</p><p>y</p><p>y = c</p><p>y = d</p><p>y</p><p>∫ d</p><p>c</p><p>f(x, y)dy</p><p>x</p><p>x</p><p>A(x) = ∫ d</p><p>c</p><p>f(x, y)dy</p><p>A</p><p>x</p><p>x = a</p><p>x = b</p><p>∫</p><p>b</p><p>a A(x)dx = ∫</p><p>b</p><p>a [∫</p><p>d</p><p>c f(x, y)dy]dx</p><p>∫</p><p>b</p><p>a ∫</p><p>d</p><p>c f(x, y)dydx = ∫</p><p>b</p><p>a [∫</p><p>d</p><p>c f(x, y)dy]dx</p><p>y</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>signi�ca que primeiro devemos integrar com relação a</p><p>O teorema de Fubini apresenta um método prático para calcular uma integral dupla, permitindo</p><p>expressá-la como uma integral iterada em qualquer ordem desejada. Considere uma função</p><p>De forma mais ampla, esse resultado é válido quando consideramos que a função</p><p>y  =  c</p><p>y  =  d</p><p>x</p><p>x</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>∫ d</p><p>c</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x, y)dxdy = ∫ d</p><p>c</p><p>[∫ b</p><p>a</p><p>f(x, y)dx]dy</p><p>x</p><p>y</p><p>x  =  a</p><p>x  =  b</p><p>y</p><p>y</p><p>y  =  c</p><p>y  =  d</p><p>f</p><p>R = [a, b] × [c, d]</p><p>∫R ∫ f(x, y)dA = ∫</p><p>b</p><p>a ∫</p><p>d</p><p>c f(x, y)dydx = ∫</p><p>d</p><p>c ∫</p><p>b</p><p>a f(x, y)dxdy</p><p>f</p><p>R</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Determine o valor da integral da função</p><p>Solução</p><p>De acordo com o teorema de Fubini temos as seguintes possibilidades de cálculo da integral:</p><p>Siga em Frente...</p><p>Vamos resolver a primeira possibilidade de cálculo, para isso lembre-se que primeiro integraremos a</p><p>função em relação a variável</p><p>Exemplo 2:</p><p>Determine o valor da integral da função</p><p>f(x, y) = 4xy+ 2x+ 3y</p><p>R = [0,1] × [2,3].</p><p>∫ 3</p><p>2 ∫</p><p>1</p><p>0 (4xy+ 2x+ 3y) dxdy</p><p>∫ 1</p><p>0 ∫</p><p>3</p><p>2 (4xy+ 2x+ 3y) dydx</p><p>x</p><p>y</p><p>∫ 3</p><p>2 ∫</p><p>1</p><p>0 (4xy+ 2x+ 3y) dxdy = ∫ 3</p><p>2 [∫</p><p>1</p><p>0 (4xy+ 2x+ 3y)dx]dy</p><p>= ∫</p><p>3</p><p>2 [</p><p>4x2y</p><p>2 + 2x2</p><p>2 + 3yx]</p><p>1</p><p>0</p><p>dy = ∫</p><p>3</p><p>2 ([(2(1)</p><p>2</p><p>y)+ (1)2 + 3y(1)]− 0)dy</p><p>= ∫</p><p>3</p><p>2 (2y+ 1 + 3y)dy = ∫</p><p>3</p><p>2 (5y+ 1)dy</p><p>= [ 5y2</p><p>2 + y]</p><p>3</p><p>2</p><p>= [ 5(3)2</p><p>2 + 3]− [ 5(2)2</p><p>2 + 2] = 45</p><p>2 + 3 − 20</p><p>2 − 2 = 27</p><p>2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Solução</p><p>Considerando os resultados do teorema de Fubini, temos as seguintes possibilidades de cálculo da</p><p>integral:</p><p>Vamos resolver a segunda possibilidade, assim primeiro vamos integrar a função em relação a</p><p>variável</p><p>Ao resolver uma integral dupla por meio do processo das integrais iteradas, é fundamental utilizar</p><p>todos os resultados relacionados às integrais de funções de uma variável real. Esses resultados</p><p>incluem propriedades, a regra da soma e da constante múltipla, além das técnicas de integração,</p><p>como integração por partes e mudança de variável.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Como você já estudou sobre as integrais duplas e como resolvê-las, vamos retornar a nossa</p><p>situação inicial. Nessa situação temos que determinar o volume do sólido limitado superiormente</p><p>por</p><p>f(x, y) = (x− 3y2)</p><p>R = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2,  1 ≤ y ≤ 3}</p><p>∫ 3</p><p>1 ∫</p><p>2</p><p>0 (x− 3y2)dxdy</p><p>∫ 2</p><p>0 ∫</p><p>3</p><p>1 (x− 3y2)dydx</p><p>y</p><p>∫ 2</p><p>0 ∫</p><p>3</p><p>1 (x− 3y2)dydx  = ∫ 2</p><p>0 [∫</p><p>3</p><p>1 (x− 3y2)dy]dx</p><p>= ∫ 2</p><p>0 [xy− y3]</p><p>3</p><p>1dx = ∫ 2</p><p>0 [(3x− (3)3)− (1x− (1)3)]dx</p><p>= ∫ 2</p><p>0 2x− 26dx = [ 2x2</p><p>2 − 26x]</p><p>2</p><p>0</p><p>= [x2 − 26x]</p><p>2</p><p>0</p><p>= 4 − 26(2) = −48</p><p>f(x, y) = 4 − x− y</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Assim, o volume do sólido apresentado é de 5 unidades de volume.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre integrais duplas em regiões retangulares</p><p>leia a seção 15.1 – Integrais duplas sobre retângulos do livro Cálculo – Volume 2 de James Stewart,</p><p>Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de</p><p>exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao</p><p>�nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H.et al. Cálculo: v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>R = [0,2] × [0,1]</p><p>R</p><p>f</p><p>V = ∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y)dA =</p><p>1</p><p>∫</p><p>0</p><p>2</p><p>∫</p><p>0</p><p>(4 − x− y)dxdy</p><p>=</p><p>1</p><p>∫</p><p>0</p><p>[</p><p>2</p><p>∫</p><p>0</p><p>(4 − x− y)dx]dy = ∫ 1</p><p>0 [4x− x2</p><p>2 − xy]</p><p>2</p><p>0</p><p>dy</p><p>= ∫ 1</p><p>0 [4(2) −</p><p>(2)2</p><p>2 − 2y− 0]dy = ∫ 1</p><p>0 (8 − 2 − 2y)dy</p><p>= ∫ 1</p><p>0 (6 − 2y)dy = [6y− 2y2</p><p>2 ]</p><p>1</p><p>0</p><p>= 6(1) − (1)2 = 5 u. v.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Aula 2</p><p>Integrais Duplas: Regiões Não Retangulares</p><p>Integrais duplas: regiões não retangulares</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos discutir sobre o conceito de integrais</p><p>duplas em regiões gerais e a suas aplicações. Pensando nisso, iniciamos com o conceito</p><p>matemático desse tipo de integral com base em uma região D geral e, em seguida, aprenderemos</p><p>como resolver esse tipo de integral. Além disso, discutiremos sobre algumas aplicações das</p><p>integrais duplas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Para as integrais de funções de uma variável real, a região de integração é sempre um intervalo. No</p><p>entanto, ao trabalharmos com integrais duplas, buscamos integrar a função</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para ilustrar como você pode utilizar o conceito de integral dupla em regiões mais gerais, considere</p><p>que você deseja determinar o centro de massa de uma placa de uma lâmina triangular de vértices</p><p>Como podemos determinar o centro de massa dessa placa? Como o conceito de integral duplas</p><p>pode ser aplicado para resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Anteriormente, abordamos o cálculo de integrais sobre regiões retangulares, no entanto, as regiões</p><p>nem sempre seguem essa forma. Em alguns casos, nos deparamos com regiões que são</p><p>delimitadas por curvas. Para entendermos como encontrar a integral sobre regiões mais gerais</p><p>vamos de�nir uma região</p><p>Figura 1 | Representação grá�ca da região geral D. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 971).</p><p>f</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>(0,0),  (1,0),  (0,2)</p><p>ρ(x, y) = 1 + 3y+ y</p><p>D</p><p>D</p><p>R</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>A partir da Figura 1, note que D é uma região que será uma região chamada de tipo I, se estiver entre</p><p>o grá�co de duas funções contínuas de x. Neste caso, a região D é descrita pelo conjunto de pontos:</p><p>em que</p><p>Figura 2 | Exemplos de regiões do tipo I. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 972).</p><p>Neste caso, para calcularmos a integral dupla de uma função contínua</p><p>Por outro lado, podemos ter</p><p>como uma região, chamada de tipo II, que está entre o grá�co de duas funções contínuas de</p><p>. Nesse caso, a região D é descrita pelo conjunto de pontos</p><p>D = {(x, y), a ≤ x ≤ b,  g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}</p><p>g1(x)</p><p>g2(x)</p><p>[a, b]</p><p>f</p><p>D</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ f(x, y)dA = ∫ b</p><p>a</p><p>∫ g2(x)</p><p>g1(x)</p><p>f(x, y)dydx</p><p>D</p><p>y</p><p>D</p><p>y</p><p>D = {(x, y), c ≤ y ≤ d,  h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>em que</p><p>e</p><p>são funções contínuas em</p><p>. A Figura 3 ilustra alguns exemplos de regiões do tipo II.</p><p>Figura 3 | Alguns exemplos de regiões do tipo II. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 972).</p><p>O cálculo da integral dupla de uma função</p><p>contínua de duas variáveis sobre uma região</p><p>do tipo II é dado pela expressão:</p><p>A maneira de integrar essas funções é idêntica àquela usada para regiões retangulares, iniciando a</p><p>integração de dentro para fora. A única distinção é que, neste caso, não há duas opções de ordem</p><p>para a integração; há apenas uma.</p><p>D = {(x, y), c ≤ y ≤ d,  h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}</p><p>h1(y)</p><p>h2(y)</p><p>[c, d]</p><p>h1(y)</p><p>h2(y)</p><p>[c, d]</p><p>f</p><p>D</p><p>f</p><p>D</p><p>∫D ∫ f(x, y)dA = ∫ d</p><p>c ∫ h2(y)</p><p>h1(y)</p><p>f(x, y)dxdy</p><p>∫D ∫ f(x, y)dA = ∫</p><p>d</p><p>c ∫</p><p>h2(y)</p><p>h1(y)</p><p>f(x, y)dxdy</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide</p><p>Solução</p><p>O primeiro passo é desenhar ambas as curvas para entendermos como trabalhar com os limites de</p><p>integração. Neste caso, as curvas estão ilustradas na Figura 4.</p><p>Figura 4 | Região D</p><p>Observe que as funções se interceptam em dois pontos, assim devemos encontrar quais são esses</p><p>pontos. Para isso, basta igualarmos as duas funções e resolver a equação resultante:</p><p>z = x2 + y2</p><p>xy</p><p>y = 2x</p><p>y = x2</p><p>2x = x2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Assim temos que as funções se interceptam em</p><p>De�nida a região de integração, podemos calcular o volume do sólido, lembrando que o volume é</p><p>dado pela integral dupla da função sobre a região dada. Assim, o volume do paraboloide dado é:</p><p>Portanto, o volume será de aproximadamente 6,17 unidades de volume.</p><p>Exemplo 2</p><p>x2 − 2x = 0</p><p>x(x− 2) = 0</p><p>x = 0</p><p>x− 2 = 0 → x = 2</p><p>x = 0</p><p>x = 2</p><p>D</p><p>x</p><p>D = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2,  x2 ≤ y ≤ 2x}</p><p>V = ∫ 2</p><p>0 ∫</p><p>2x</p><p>x2 (x2 + y2) dy dx = ∫ 2</p><p>0 [∫</p><p>2x</p><p>x2 (x2 + y2)dy ]dx</p><p>V = ∫ 2</p><p>0 ∫</p><p>2x</p><p>x2 (x2 + y2) dy dx = ∫ 2</p><p>0 [∫</p><p>2x</p><p>x2 (x2 + y2)dy ]dx</p><p>= ∫ 2</p><p>0 [2x</p><p>3 + 8x3</p><p>3 − x4 − x6</p><p>3 ]dx = ∫ 2</p><p>0 (</p><p>14</p><p>3 x3 − x4 − x6</p><p>3 )dx</p><p>= [ 14</p><p>3 ⋅ x4</p><p>4 − x5</p><p>5 − x7</p><p>3⋅7 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>= [ 14x4</p><p>12 − x5</p><p>5 − x7</p><p>21 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>= (</p><p>14(2)4</p><p>12 −</p><p>(2)5</p><p>5 −</p><p>(2)7</p><p>21 )− 0</p><p>= 224</p><p>12 − 32</p><p>5 − 128</p><p>21 = 216</p><p>35 ≈ 6,17 u. v.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Seja a região</p><p>limitada pela reta</p><p>e pela parábola</p><p>. Calcule a integral</p><p>Solução</p><p>O primeiro passo é esboçar a região</p><p>, conforme ilustra a Figura 5.</p><p>D</p><p>y = x− 1</p><p>y2 = 2x+ 6</p><p>D</p><p>y = x− 1</p><p>y2 = 2x+ 6</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ 2xydA</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ 2xydA</p><p>D</p><p>D</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 5 | Região D</p><p>A região</p><p>Primeiro vamos descrever a região</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>x</p><p>y = x− 1</p><p>x</p><p>y2 = 2x+ 6</p><p>y = ±√2x+ 6</p><p>D</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 6 | Região do tipo I</p><p>A curva que de�ne a fronteira inferior seria:</p><p>Nesse sentido para calcularmos a integral considerando a região</p><p>como sendo do tipo I teríamos que calcular</p><p>as seguintes integrais:</p><p>Resolver essa integral seria muito complexo, assim podemos escrever a região</p><p>g1(x) = {</p><p>−√2x+ 6,  se− 3 ≤ x ≤ −1</p><p>x− 1.  se− 1</p><p>E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Em algumas situações, as coordenadas cartesianas não</p><p>são adequadas para descrever certas regiões, como, por exemplo, regiões circulares. Nestes casos,</p><p>as coordenadas polares se tornam uma ferramenta útil, especialmente quando lidamos com curvas</p><p>como círculos, elipses, parábolas e outras formas curvilíneas. Nessa aula, discutiremos sobre as</p><p>coordenadas polares e sua relação com as coordenadas cartesianas. Fique atento a essas relações,</p><p>pois elas serão úteis no cálculo de integrais duplas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>A escolha de um sistema de coordenadas especí�co geralmente é feita com base na facilidade de</p><p>representação das funções que serão descritas dentro desse sistema. Por isso, é bastante lógico</p><p>utilizar um sistema de coordenadas que tenha como referência o ângulo formado por uma curva</p><p>com algum eixo de referência, além da distância radial dessa curva em relação ao mesmo eixo.</p><p>É exatamente essa situação que nos leva ao uso do sistema de coordenadas polares. Nele,</p><p>podemos representar curvas de maneira mais intuitiva, especialmente aquelas que têm uma relação</p><p>intrínseca com a distância e a orientação radial. Por exemplo: uma circunferência é facilmente</p><p>expressa em coordenadas polares, onde o raio</p><p>Nessa aula, trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano</p><p>bidimensional ortogonal para um sistema de coordenadas polares. Para ilustrar como podemos</p><p>empregar as coordenadas polares na resolução de problemas, suponha para que um avião atinja</p><p>uma altitude desejada num determinado tempo, deve-se seguir uma trajetória pré-determinada,</p><p>conforme ilustra a Figura 1. Observa-se que a posição do ponto B foi fornecida ao piloto do avião em</p><p>coordenadas cartesianas, sendo</p><p>r</p><p>θ</p><p>B (10,7)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Trajetória do avião</p><p>Como podemos resolver esse problema? Como as coordenadas polares podem ser utilizadas para</p><p>resolver o problema? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Existem diferentes sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas polares pode ser</p><p>comparado em importância ao sistema de coordenadas cartesianas, devido à sua gama de</p><p>utilizações.</p><p>As coordenadas polares oferecem uma perspectiva única e e�caz para descrever a posição de um</p><p>ponto em um plano e sua relação com as coordenadas cartesianas é fundamental para</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>entendermos melhor o espaço bidimensional. Enquanto as coordenadas cartesianas se baseiam em</p><p>direções ortogonais (horizontal e vertical), as coordenadas polares utilizam a distância de um ponto</p><p>a partir de um ponto central (o polo) e o ângulo formado com um eixo de referência.</p><p>Em coordenadas cartesianas, um ponto é descrito por um par ordenado</p><p>Já em coordenadas polares, um ponto é representado por um par ordenado</p><p>(x,  y)</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>(3,  4)</p><p>(r,  θ)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 2 | Coordenadas polares</p><p>O ponto �xo é chamado de polo (origem), representado pela letra</p><p>A cada ponto</p><p>é a distância do polo   ao ponto  .</p><p>é o ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta  .</p><p>Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a distância em relação à</p><p>origem �xada e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto.</p><p>Observação: por convenção, o ângulo</p><p>No caso de</p><p>Se   , o ponto   está no mesmo quadrante que  .</p><p>Se    , ele está no quadrante do lado oposto ao polo.</p><p>O</p><p>Ox</p><p>P</p><p>(r,  θ)</p><p>r O P</p><p>θ OP</p><p>−→</p><p>θ</p><p>r</p><p>(−r, θ)</p><p>(r,  θ)</p><p>O</p><p>|r|</p><p>O</p><p>r > 0 (r, θ) θ</p><p>r</p><p>de integrais e enfrentar problemas relacionados a elas.</p><p>Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, suponha que você deseja</p><p>praticar o cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.</p><p>Quais técnicas você deve utilizar para resolver essas integrais? Vamos iniciar nossos estudos sobre</p><p>as integrais imediatas?</p><p>a) ∫( 1</p><p>x3 + 1</p><p>x</p><p>+ ex +√x3)dx</p><p>b)  ∫ π</p><p>0 (sen(x) + cos(x)) dx</p><p>c) ∫ (u+ 4)(2u+ 1)du</p><p>d)  ∫</p><p>2</p><p>1 (</p><p>1+√x+x</p><p>x )dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos Começar!</p><p>Para iniciarmos nossos estudos, vamos considerar a função</p><p>lido como a integral de</p><p>Nesse sentido, temos que a primitiva da função</p><p>F(x) = 3x2</p><p>F '(x) = 6x</p><p>3x2</p><p>f(x) = 6x</p><p>F '(x) = f(x).</p><p>G(x) = 3x2 + 10</p><p>G'(x) = 6x</p><p>G(x) = 3x2 + 10</p><p>f(x) = 6x</p><p>∫ f(x)dx = F(x) +K</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>F(x)</p><p>F(x) +K</p><p>f(x)</p><p>K</p><p>f(x) = 6x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para determinar a constante</p><p>É importante fazer uma distinção cuidadosa entre integral de�nida e inde�nida. Uma integral</p><p>de�nida</p><p>Agora que você já sabe a distinção entre uma integral de�nida e inde�nida, vamos aprender algumas</p><p>regras para determinar as primitivas de alguns tipos de funções.</p><p>Sabemos que uma função polinomial é do tipo</p><p>Além dessa regra, devemos utilizar a regra para integrar uma função potência, em que</p><p>. Segundo essa regra, para integrarmos funções do tipo</p><p>somamos um ao expoente e dividimos a função pelo novo expoente, ou seja,</p><p>∫ 6xdx = 3x2 +K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>K</p><p>∫</p><p>b</p><p>a f(x)dx</p><p>[a, b]</p><p>∫ f(x)dx</p><p>K</p><p>f(x) = a0 + a1x+ a2x</p><p>2 +…+ anx</p><p>n,</p><p>a0,  a1,  … ,  an</p><p>∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx</p><p>n ≠ −1</p><p>xn</p><p>n ≠ −1</p><p>xn</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Você deve estar se perguntando e no caso de que</p><p>Nesse caso, teremos uma função do tipo</p><p>e para esse tipo de função a primitiva é a função</p><p>, ou seja,</p><p>Um outro caso é quando temos uma função constante do tipo</p><p>. A integral desse tipo de função é a constante multiplicada pela variável que está sendo integrada,</p><p>ou seja,</p><p>No caso de termos funções exponencias do tipo</p><p>a integral será:</p><p>∫ xndx = xn+1</p><p>n+1 +K</p><p>∫ xndx = xn+1</p><p>n+1 +K</p><p>n = −1?</p><p>f(x) = 1</p><p>x = x−1</p><p>ln (x)</p><p>n = −1?</p><p>f(x) = 1</p><p>x = x−1</p><p>ln (x)</p><p>∫ 1</p><p>x dx = ln|x| +K</p><p>∫ 1</p><p>x</p><p>dx = ln|x| +K</p><p>f(x) = c</p><p>f(x) = c</p><p>∫ cdx = cx+K</p><p>∫ cdx = cx+K</p><p>f(x) = ax</p><p>f(x) = ax</p><p>∫ axdx = ax</p><p>ln(a) +K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Dentre as funções exponenciais, temos</p><p>, cuja integral é a função</p><p>, conforme segue:</p><p>No caso das funções trigonométricas, temos as seguintes integrais:</p><p>Além dessas regras, lembre-se que a integral de uma soma ou subtração de funções, e a soma ou</p><p>subtração das integrais dessas funções, isto é,</p><p>Cuidado com o caso em que há multiplicação ou divisão de funções no integrando, pois não há uma</p><p>regra que diz que a integral desse tipo de função é a multiplicação ou divisão da integral de cada</p><p>uma das funções. Para esses tipos de funções ou temos que realizar manipulações matemáticas de</p><p>∫ axdx = ax</p><p>ln(a) +K</p><p>f(x) = ex</p><p>F(x) = ex +K</p><p>f(x) = ex</p><p>F(x) = e</p><p>x +K</p><p>∫ exdx = ex</p><p>ln(e) +K = ex</p><p>1 +K = ex +K</p><p>∫ exdx = ex</p><p>ln(e) +K = ex</p><p>1 +K = ex +K</p><p>∫ cos(x)dx = sen(x) +K</p><p>∫ cos(x)dx = sen(x) +K</p><p>∫ sen(x)dx = −cos(x) +K</p><p>∫ sen(x)dx = −cos(x) +K</p><p>∫ tg(x)dx = sec2(x) +K</p><p>∫ tg(x)dx = sec2(x) +K</p><p>∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx± ∫ g(x)dx</p><p>∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx± ∫ g(x)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>tal forma que tenhamos uma soma ou subtração de funções ou aplicar regras mais complexas de</p><p>integração, mas não se preocupe pois iremos explorar essas técnicas nas nossas próximas aulas.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Agora que você conhece as regras para calcular integrais de alguns tipos de funções, vamos aplicá-</p><p>las para resolver algumas integrais inde�nidas e de�nidas. Lembre-se que para calcular uma integral</p><p>de�nida, após determinar a primitiva, devemos aplicar o teorema fundamental do cálculo.</p><p>Exemplo 1: Resolva a integral inde�nida</p><p>Para resolvermos essa integral, temos que aplicar as seguintes regras:</p><p>Logo,</p><p>∫(3x3 − 4)dx</p><p>∫ [f(x) − g(x)]dx = ∫ f(x)dx− ∫ g(x)dx</p><p>∫ [f(x) − g(x)]dx = ∫ f(x)dx− ∫ g(x)dx</p><p>∫ cdx = cx+K</p><p>∫ cdx = cx+K</p><p>∫ xndx = xn+1</p><p>n+1 +K</p><p>∫ xndx = xn+1</p><p>n+1 +K</p><p>∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx</p><p>∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx</p><p>∫(3x3 − 4)dx = 3 ∫ x3dx− ∫ 4dx</p><p>∫(3x3 − 4)dx = 3 ∫ x3dx− ∫ 4dx</p><p>= 3 ⋅ x3+1</p><p>3+1 − 4x+K = 3x4</p><p>4 − 4x+K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Exemplo 2: Resolva a integral de�nida</p><p>Nesse caso temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo e as regras de integração.</p><p>Exemplo 3: Resolva a integral inde�nida</p><p>Note que as funções a serem integradas não apresentam semelhança com as funções que</p><p>examinamos até o momento. Nestes casos, é necessário realizar manipulações matemáticas a �m</p><p>de obtermos funções semelhantes àquelas cujas integrais já conhecemos. Nesse caso duas</p><p>propriedades matemáticas podem ser utilizadas, são elas:</p><p>= 3 ⋅ x3+1</p><p>3+1 − 4x+K = 3x4</p><p>4 − 4x+K</p><p>∫ 2</p><p>1 (e</p><p>x + 1</p><p>x</p><p>)dx</p><p>∫ 2</p><p>1 (e</p><p>x + 1</p><p>x</p><p>)dx</p><p>∫</p><p>2</p><p>1 (e</p><p>x + 1</p><p>x )dx = ∫</p><p>2</p><p>1 exdx+ ∫</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>x dx</p><p>∫</p><p>2</p><p>1 (e</p><p>x + 1</p><p>x )dx = ∫</p><p>2</p><p>1 exdx+ ∫</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>x dx</p><p>= [ex]21 + [ln|x|]21 = (e2 − e1)+ (ln 2 − ln 1)</p><p>= [ex]21 + [ln|x|]21 = (e2 − e1)+ (ln 2 − ln 1)</p><p>= e2 − e1 + ln 2 ≈ 5,36</p><p>= e2 − e1 + ln 2 ≈ 5,36</p><p>∫( 1</p><p>x2 +√x)dx</p><p>∫( 1</p><p>x2 +√x)dx</p><p>n√xm = x</p><p>m</p><p>n</p><p>n√xm = x</p><p>m</p><p>n</p><p>1</p><p>xn = x−n</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Utilizaremos essas propriedades para reescrever as funções do integrando e com isso chegaremos</p><p>a uma função do tipo potência.</p><p>Exemplo 4: Resolva a integral de�nida.</p><p>Nesse caso temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo e as regras de integração. Observe</p><p>que estamos integrando as funções em relação a variável</p><p>, assim a integral da constante será a constante vezes a variável</p><p>.</p><p>1</p><p>xn = x−n</p><p>∫( 1</p><p>x2 +√x)dx = ∫(1 ⋅ x−2 + x</p><p>1</p><p>2 )dx</p><p>∫( 1</p><p>x2 +√x)dx = ∫(1 ⋅ x−2 + x</p><p>1</p><p>2 )dx</p><p>= ∫ x−2dx+ ∫ x</p><p>1</p><p>2 dx</p><p>= ∫ x−2dx+ ∫ x</p><p>1</p><p>2 dx</p><p>= x−2+1</p><p>−2+1 + x</p><p>1</p><p>2 +1</p><p>1</p><p>2 +1</p><p>+K</p><p>= x−2+1</p><p>−2+1 + x</p><p>1</p><p>2 +1</p><p>1</p><p>2 +1</p><p>+K</p><p>= x−1</p><p>−1 + x</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>+K = −x−1 + 2</p><p>3 x</p><p>3</p><p>2 +K</p><p>= x−1</p><p>−1 + x</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>+K = −x−1 + 2</p><p>3 x</p><p>3</p><p>2 +K</p><p>= − 1</p><p>x</p><p>+ 2</p><p>3</p><p>√x3 +K</p><p>= − 1</p><p>x</p><p>+ 2</p><p>3</p><p>√x3 +K</p><p>∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 [cos(t) + 2]dt</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>É fundamental que você esteja atento às regras de integração, pois elas desempenharão um papel</p><p>crucial na resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Compreender e aplicar essas</p><p>regras não apenas simpli�cará o processo de integração, mas também será essencial para enfrentar</p><p>uma ampla variedade de desa�os na análise de funções e na resolução de problemas práticos.</p><p>Portanto, familiarizar-se e dominar as regras de integração é um passo essencial para o sucesso em</p><p>estudos mais avançados em cálculo.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já conhece as técnicas de integração, vamos retomar nossa situação inicial e</p><p>resolver as integrais propostas.</p><p>Antes de aplicarmos as regras de integração, temos que reescrever essas funções de tal forma que</p><p>elas sejam semelhantes às integrais imediatas. Para isso utilizaremos as propriedades</p><p>e</p><p>.</p><p>t</p><p>∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 [cos(t) + 2]dt = ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos(t)dt+ ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 2dt</p><p>= [sen (t)]</p><p>π</p><p>2</p><p>0 + [2t]</p><p>π</p><p>2</p><p>0 = [sen( π</p><p>2 )− sen(0)]+ [2 ⋅ π</p><p>2 − 2 ⋅ 0]</p><p>= 1 − 0 + π− 0 = 1 + π ≈ 4,14</p><p>a) ∫( 1</p><p>x3 + 1</p><p>x + ex +√x3)dx</p><p>a) ∫( 1</p><p>x3 + 1</p><p>x + ex +√x3)dx</p><p>n√xm = x</p><p>m</p><p>n</p><p>1</p><p>xn = x−n</p><p>n√xm = x</p><p>m</p><p>n</p><p>1</p><p>xn = x−n</p><p>∫( 1</p><p>x3 + 1</p><p>x</p><p>+ ex +√x3)dx = ∫(1 ⋅ x−3 + 1</p><p>x</p><p>+ ex + x</p><p>3</p><p>2 )dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Nesse caso temos que encontrar a primitiva para as funções e posteriormente aplicar o teorema</p><p>fundamental do cálculo.</p><p>∫( 1</p><p>x3 + 1</p><p>x</p><p>+ ex +√x3)dx = ∫(1 ⋅ x−3 + 1</p><p>x</p><p>+ ex + x</p><p>3</p><p>2 )dx</p><p>= ∫ x−3dx+ ∫ 1</p><p>x</p><p>dx+ ∫ exdx+ ∫ x</p><p>3</p><p>2 dx</p><p>= ∫ x−3dx+ ∫ 1</p><p>x dx+ ∫ exdx+ ∫ x</p><p>3</p><p>2 dx</p><p>= x−3+1</p><p>−3+1 + ln|x| + ex + x</p><p>3</p><p>2 +1</p><p>3</p><p>2 +1</p><p>+K</p><p>= x−3+1</p><p>−3+1 + ln|x| + ex + x</p><p>3</p><p>2 +1</p><p>3</p><p>2 +1</p><p>+K</p><p>= x−2</p><p>−2 + ln|x| + ex + x</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>+K</p><p>= x−2</p><p>−2 + ln|x| + ex + x</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>+K</p><p>= − 1</p><p>2x2 + ln|x| + ex + 2</p><p>5</p><p>√x5 +K</p><p>= − 1</p><p>2x2 + ln|x| + ex + 2</p><p>5</p><p>√x5 +K</p><p>b)  ∫</p><p>π</p><p>0 (sen(x) + cos(x)) dx</p><p>b)  ∫ π</p><p>0 (sen(x) + cos(x)) dx</p><p>∫ π</p><p>0 (sen(x) + cos(x)) dx = ∫ π</p><p>0 sen(x)dx+</p><p>9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Aula 4</p><p>Integrais Duplas: Coordenadas Polares</p><p>Integrais duplas: coordenadas polares</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nesta aula, o objetivo é entender o conceito de integrais</p><p>duplas em regiões polares e a sua importância em diferentes tipos de situações. Assim, primeiro</p><p>vamos discutir sobre como podemos descrever uma região em termos de coordenadas polares e</p><p>como podemos calcular uma integral dupla em regiões desse tipo. Ao �nal, vamos analisar uma</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>situação em que as coordenadas polares podem ser empregadas na resolução de uma integral</p><p>dupla.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Anteriormente, estudamos as integrais duplas em intervalos retangulares e gerais e suas diferentes</p><p>aplicações. Vamos aprender agora uma técnica simples que pode facilitar muito o cálculo de</p><p>algumas integrais duplas, principalmente quando a região de integração é do tipo circular. As</p><p>integrais em coordenadas polares são uma ferramenta poderosa na matemática, especialmente</p><p>quando lidamos com problemas que possuem simetria radial. Ao invés de trabalharmos com os</p><p>tradicionais sistemas de coordenadas retangulares</p><p>Essa mudança de coordenadas nos permite simpli�car a descrição de muitas �guras e funções,</p><p>especialmente aquelas que possuem simetria circular ou espiral. Para entender como funcionam as</p><p>integrais em coordenadas polares, é importante utilizarmos as relações entre coordenadas</p><p>cartesianas e polares, vistas anteriormente.</p><p>Para ilustrar como podemos empregar o conceito de integrais duplas em regiões polares, suponha</p><p>que você deseje projetar uma superfície semelhante a uma cúpula para armazenamento de grãos</p><p>agrícolas, isto é, você deseja projetar um silo agrícola com forma de cúpula. Então, como primeiro</p><p>passo do seu projeto, você necessita de�nir qual será o volume dessa superfície. Sabendo que o</p><p>volume ideal da superfície pode ser aproximado, em m³ (no caso, unidade de milhar), pelo sólido</p><p>limitado acima do cone</p><p>Como podemos resolver esse problema? Como as integrais duplas em regiões polares podem ser</p><p>empregadas na resolução desse problema? Vamos iniciar nossos estudos?</p><p>Vamos Começar!</p><p>(x,  y)</p><p>(r,  θ)</p><p>r</p><p>θ</p><p>x</p><p>z = √x2 + y2</p><p>x2 + y2 + z2 = 8</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Suponha que você deseje calcular a área da região delimitada pelo círculo</p><p>Para avaliarmos a variação de</p><p>Assim, a região de integração é dada por</p><p>Em que</p><p>x2 + y2 = 4</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y2 = 4 − x2</p><p>y = ±√4 − x2</p><p>x</p><p>y = 0</p><p>4 − x2 = 0</p><p>x2 = 4</p><p>x = ±2</p><p>D = {(x, y),−2 ≤ x ≤ 2,   − √4 − x2 ≤ y ≤ √4 − x2 }</p><p>R</p><p>x = r cos (θ)</p><p>y = r sen (θ)</p><p>r2 = x2 + y2</p><p>r</p><p>θ</p><p>R</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>em que</p><p>R = {(r, θ)|a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β}</p><p>r</p><p>θ</p><p>0</p><p>2π</p><p>[a, b]</p><p>m</p><p>[ri−1,  ri]</p><p>Δr = b−a</p><p>m</p><p>[α,  β]</p><p>n</p><p>[θj−1,  θj]</p><p>Δθ = β−α</p><p>n</p><p>r = ri</p><p>θ = θi</p><p>R</p><p>Rij</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Elementos de integração. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 982).</p><p>Portanto, a integral dupla em coordenada polar é calculada pela expressão:</p><p>A expressão acima estabelece que a conversão de coordenadas retangulares para coordenadas</p><p>polares em uma integral dupla ocorre ao substituirmos</p><p>∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y)dA = ∫ β</p><p>α</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(r cos(θ),  r sen (θ)) r drdθ</p><p>x</p><p>r cos (θ)</p><p>y</p><p>r sen (θ)</p><p>r</p><p>θ</p><p>dA</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcule a integral, convertendo-as antes para coordenadas polares.</p><p>Solução</p><p>Da integral temos que:</p><p>Logo, a região em coordenadas polares será dada por:</p><p>Portanto,</p><p>rdrdθ</p><p>r</p><p>r dθ</p><p>dr</p><p>dA  =  rdrdθ</p><p>∫ 4</p><p>−4 ∫</p><p>√16−x2</p><p>0 sen (x2 + y2)dydx</p><p>0 ≤ y ≤ √16 − x2</p><p>−4 ≤ x ≤ 4</p><p>y = √16 − x2</p><p>y2 = 16 − x2</p><p>y2 + x2 = 16</p><p>r2 = 16 → r = 4</p><p>0 ≤ r ≤ 4</p><p>y = √16 − x2</p><p>0 ≤ θ ≤ π</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Siga em Frente...</p><p>Para resolver essa integral temos que utilizar a mudança de variável. Assim, considerando que</p><p>Exemplo 2</p><p>Deseja-se calcular a integral:</p><p>R = {(x, y)|0 ≤ r ≤ 4,  0 ≤ θ ≤ π}</p><p>r</p><p>θ</p><p>sen (x2 + y2)</p><p>x2 + y2 = r2</p><p>sen (r2)</p><p>∫ 4</p><p>−4 ∫</p><p>√16−x2</p><p>0 sen  (x2 + y2)dydx = ∫ π</p><p>0 ∫ 4</p><p>0 sen (r2) ⋅ rdrdθ =</p><p>u = r2</p><p>du = 2r dr</p><p>r = 0</p><p>u = 0</p><p>r = 4</p><p>u = (4)2 = 16.</p><p>∫ π</p><p>0 ∫ 4</p><p>0 sen(r2) ⋅ rdrdθ = ∫ π</p><p>0 ∫ 16</p><p>0 senu du</p><p>2 dθ = ∫ π</p><p>0</p><p>1</p><p>2 [− cos(u)]160 dθ</p><p>= 1</p><p>2 ∫</p><p>π</p><p>0 [− cos(16) − (− cos(0))] dθ = 1</p><p>2 ∫</p><p>π</p><p>0 (− cos(16) + 1)dθ</p><p>= 1</p><p>2 [−θ cos(16) + θ]π0 = − 1</p><p>2 π cos(16) + π</p><p>2 ≅3,07</p><p>∫D ∫ ydA</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>onde D é a região do limitada pelo semicírculo</p><p>Solução</p><p>Primeiro temos que encontrar a região</p><p>Logo,</p><p>Exemplo 3</p><p>Determine o volume do sólido limitado pelo plano</p><p>Solução</p><p>y = √9 − x2.</p><p>D</p><p>y = √9 − x2.</p><p>y = √9 − x2</p><p>y2 = 9 − x2</p><p>y2 + x2 = 9</p><p>r2 = 9 → r = 3</p><p>0 ≤ r ≤ 3</p><p>0 ≤ θ ≤ π</p><p>y = r sen (θ)</p><p>∫D ∫ ydA = ∫ 3</p><p>0 ∫</p><p>π</p><p>0 (r sen (θ)) ⋅ rdθdr = ∫ 3</p><p>0 ∫</p><p>π</p><p>0 r2 sen (θ)dθdr = ∫ 3</p><p>0 r2[− cos(θ)]π0dr = ∫ 3</p><p>0 r</p><p>∫ 3</p><p>0 2r2dr = [ 2r3</p><p>3 ]</p><p>3</p><p>0</p><p>= 2(3)3</p><p>3 − 0 = 18</p><p>z  =  0</p><p>z  =  4  −  x2 − y2.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Se considerarmos</p><p>Portanto, o volume é de</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já aprendeu sobre as coordenadas polares e como utilizá-las para o cálculo de</p><p>integrais duplas, vamos retornar a nossa situação inicial. Nessa situação, você precisa de�nir qual</p><p>será o volume de um sólido limitado superiormente pelo cone</p><p>Para determinar o volume, o primeiro passo é de�nir a nossa região</p><p>z = 0</p><p>x2 + y2 = 4</p><p>x2 + y2 = 4</p><p>D</p><p>x2 + y2 ≤ 4</p><p>D</p><p>0 ≤ r ≤ 2</p><p>0 ≤ θ ≤ 2π</p><p>4 − x2 − y2 = 4 − (x2 + y2) = 4 − r2</p><p>V = ∫D ∫ (4 − x2 − y2)dA = ∫</p><p>2π</p><p>0 ∫</p><p>2</p><p>0 (4 − r2)rdrdθ = ∫</p><p>2π</p><p>0 ∫</p><p>2</p><p>0 (4r− r3)drdθ</p><p>= ∫</p><p>2π</p><p>0 [ 4r2</p><p>2 − r4</p><p>4 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>dθ = ∫</p><p>2π</p><p>0 [2(2)2 − (2)4</p><p>4 − 0]dθ = ∫</p><p>2π</p><p>0 (8 − 4) dθ = ∫</p><p>2π</p><p>0 4dθ</p><p>= [4θ]2π0 = 8π</p><p>8π</p><p>z = √x2 + y2</p><p>x2 + y2 + z2 = 8</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Então, com base nessas condições, a nossa região é uma região do tipo polar. Assim, considerando</p><p>que</p><p>Neste ponto, vamos encontrar o volume da superfície em questão, assim temos que:</p><p>Para resolvermos a integral</p><p>R</p><p>R</p><p>z</p><p>x2 + y2 + (√x2 + y2)</p><p>2</p><p>= 8</p><p>x2 + y2 + x2 + y2 = 8</p><p>2(x2 + y2) = 8</p><p>x2 + y2 = 8</p><p>2</p><p>r2 = x2 + y2</p><p>r2 = 4</p><p>r = 2</p><p>R</p><p>R = {(r, θ), 0 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤ 2π}</p><p>V = ∫</p><p>R</p><p>∫(√8 − x2 − y2 −√x2 + y2) dA = ∫ 2π</p><p>0 ∫ 2</p><p>0 (√8 − r2 − r)rdrdθ</p><p>= ∫ 2π</p><p>0 ∫ 2</p><p>0 r√8 − r2drdθ− ∫ 2π</p><p>0 ∫ 2</p><p>0 r2drdθ</p><p>∫ 2</p><p>0 r√8 − rdr</p><p>u = 8 − r2</p><p>du = −2r dr</p><p>r = 0</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Portanto, o volume do sólido é de aproximadamente 13,88 unidades de volume.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>u = 8</p><p>r =</p><p>2</p><p>u = 8 − (2)2 = 4.</p><p>V = ∫</p><p>2π</p><p>0 ∫</p><p>2</p><p>0 r√8 − r2drdθ− ∫</p><p>2π</p><p>0 ∫</p><p>2</p><p>0 r2drdθ</p><p>= ∫ 2π</p><p>0 ∫ 4</p><p>8 √u ⋅ du</p><p>−2 dθ− ∫ 2π</p><p>0 ∫ 2</p><p>0 r2drdθ</p><p>= − 1</p><p>2 ∫</p><p>2π</p><p>0 ∫ 4</p><p>8 u</p><p>1</p><p>2 dudθ− ∫ 2π</p><p>0 ∫ 2</p><p>0 r2drdθ</p><p>= − 1</p><p>2 ∫</p><p>2π</p><p>0 [ 2</p><p>3 u</p><p>3</p><p>2 ]</p><p>4</p><p>8</p><p>dθ− ∫ 2π</p><p>0 [ r3</p><p>3 ]</p><p>2</p><p>0</p><p>dθ</p><p>= − 1</p><p>3 ∫</p><p>2π</p><p>0 [√(4)3 −√(8)3]dθ− ∫ 2π</p><p>0 [ (2)3</p><p>3 − 0]dθ</p><p>= − 1</p><p>3 ∫</p><p>2π</p><p>0 (8 − 16√2)dθ− ∫</p><p>2π</p><p>0</p><p>8</p><p>3 dθ</p><p>= − 1</p><p>3 [(8 − 16√2)θ]</p><p>2π</p><p>0</p><p>− [ 8</p><p>3 θ]</p><p>2π</p><p>0</p><p>= − 1</p><p>3 [(8 − 16√2)2π]− 16π</p><p>3 ≈ 13,88</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre integrais em coordenadas polares leia a</p><p>seção 15.3 – Integrais duplas coordenadas polares do livro Cálculo – volume 2 de James Stewart,</p><p>Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual.</p><p>Ao �nal da seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva</p><p>os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se</p><p>acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula primeiro vamos discutir sobre o cálculo de</p><p>integrais em regiões retangulares. Posteriormente, vamos discutir sobre o cálculo de integrais de</p><p>funções em regiões mais gerais. Além disso, discutiremos sobre as coordenadas polares e como</p><p>podemos empregar essas coordenadas para resolver integrais duplas sobre regiões circulares.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Olá, estudante! Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender conceitos e</p><p>técnicas relativas às integrais de funções de duas variáveis e suas aplicações, é necessário que</p><p>você conheça quais são essas técnicas.</p><p>As integrais duplas são ferramentas poderosas na matemática que nos permitem calcular a integral</p><p>de uma função de duas variáveis sobre uma região no plano. Enquanto as integrais simples lidam</p><p>com funções de uma variável ao longo de um intervalo, as integrais duplas expandem esse conceito</p><p>para funções de duas variáveis sobre uma região bidimensional. Essas regiões podem ser do tipo</p><p>retangular, não retangular (ou gerais) e polares.</p><p>Dada uma função</p><p>Por outro lado, dada uma função</p><p>f</p><p>R = [a, b] × [c, d].</p><p>f</p><p>R = [a, b] × [c, d]</p><p>∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y)dA = ∫ b</p><p>a</p><p>∫ d</p><p>c</p><p>f(x, y)dydx = ∫ d</p><p>c</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x, y)dxdy</p><p>f</p><p>D</p><p>y</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para calcularmos a integral dupla de uma função contínua</p><p>e o cálculo da integral dupla de uma função</p><p>Dada uma função</p><p>Para o cálculo desse tipo de integral, devemos utilizar as relações existentes entre as coordenadas</p><p>cartesianas e polares:</p><p>D = {(x, y), a ≤ x ≤ b,  g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>D = {(x, y), c ≤ y ≤ d,  h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}</p><p>f</p><p>D</p><p>∫D ∫ f(x, y)dA = ∫</p><p>b</p><p>a ∫</p><p>g2(x)</p><p>g1(x)</p><p>f(x, y)dydx</p><p>f</p><p>D</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ f(x, y)dA = ∫ d</p><p>c</p><p>∫ h2(y)</p><p>h1(y)</p><p>f(x, y)dxdy</p><p>f</p><p>R</p><p>R = {(r, θ)|a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β}</p><p>∫</p><p>R</p><p>∫ f(x, y)dA = ∫ β</p><p>α</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(r cos(θ),  r sen (θ)) r drdθ</p><p>x = r cos (θ)</p><p>y = r sen (θ)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Entre as aplicações das integrais duplas, é possível empregá-las para determinar o volume. Dado</p><p>que se</p><p>Além da determinação de volumes, as integrais duplas também podem ser empregadas no cálculo</p><p>da área de uma região plana</p><p>Além das aplicações mencionadas até agora, as integrais duplas também podem ser usadas para</p><p>encontrar o centro de massa de uma lâmina ou placa �na. Suponha que uma lâmina ocupe uma</p><p>região</p><p>r2 = x2 + y2</p><p>f (x,  y)  ≥  0</p><p>V</p><p>R</p><p>z  =  f (x,  y)</p><p>V = ∫R ∫ f(x, y) dA</p><p>D</p><p>D</p><p>A = ∫D ∫ 1dA</p><p>D</p><p>xy</p><p>(x, y)</p><p>D</p><p>ρ(x, y)</p><p>ρ</p><p>D</p><p>m = ∫</p><p>D</p><p>∫ ρ(x, y)dA</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para determinarmos o centro de massa precisamos encontrar os momentos da lâmina em relação</p><p>aos eixos coordenados. Assim, o momento em relação ao eixo</p><p>E o momento em relação ao eixo</p><p>As coordenadas</p><p>É crucial notar que as integrais duplas possuem uma ampla gama de aplicações em diversas áreas</p><p>da matemática, física, engenharia e outras disciplinas. Desde o cálculo de áreas e volumes até o</p><p>estudo de densidades e centros de massa, esses conceitos são fundamentais em muitos contextos.</p><p>Portanto, é essencial que você pratique a resolução de problemas que envolvam integrais duplas.</p><p>Isso não só solidi�cará seu entendimento teórico, mas também desenvolverá suas habilidades</p><p>práticas na aplicação desses conceitos. Quanto mais você praticar com uma variedade de</p><p>problemas, mais con�ante e experiente se tornará no uso e�caz das integrais duplas.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>x</p><p>Mx = ∫</p><p>D</p><p>∫ yρ(x, y)dA</p><p>y</p><p>My = ∫</p><p>D</p><p>∫ xρ(x, y)dA</p><p>(</p><p>−</p><p>x,</p><p>−</p><p>y)</p><p>D</p><p>ρ(x,  y)</p><p>−</p><p>x =</p><p>My</p><p>m = 1</p><p>m ∫D ∫ xρ(x, y)dA =</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ xρ(x,y)dA</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ ρ(x,y)dA</p><p>−</p><p>y = Mx</p><p>m</p><p>= 1</p><p>m</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ yρ(x, y)dA =</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ yρ(x,y)dA</p><p>∫</p><p>D</p><p>∫ ρ(x,y)dA</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você vai projetar uma máquina industrial com</p><p>dois componentes   e   e deseja saber a probabilidade de esses componentes falharem caso a</p><p>máquina sofra algum processo de deterioração. Particularmente, você deseja saber a probabilidade</p><p>de o primeiro componente sobreviver sete horas ou menos, e o segundo componente sobreviver</p><p>duas horas ou mais, pois, por condições do gestor da indústria, é necessário que o primeiro</p><p>componente tenha um tempo de falha maior do que o segundo. Sabendo que a função densidade de</p><p>probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes é descrita por:</p><p>tal que   e  , como calculamos essa probabilidade? Como calculamos a</p><p>probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou menos e o segundo componente</p><p>sobreviver duas horas ou mais com base nos conceitos aprendidos nessa unidade, particularmente,</p><p>utilizando o conceito de integral dupla?</p><p>Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem</p><p>ser aplicados, convidamos à re�exão sobre essas duas questões:</p><p>Como a escolha da ordem de integração em uma integral dupla pode afetar o resultado �nal?</p><p>De que maneira as integrais duplas podem ser empregadas para resolver problemas em sua área de</p><p>atuação?</p><p>Atualmente, a teoria de probabilidade se tornou o ramo da estatística que é relacionado com</p><p>fenômenos aleatórios (ou casuais), sendo a peça-chave para o desenvolvimento de modelos. Nas</p><p>últimas décadas, muitos pesquisadores têm se dedicado</p><p>ao seu estudo devido ao seu interesse</p><p>intrínseco, bem como as muitas aplicações bem-sucedidas em muitas áreas das ciências físicas,</p><p>biológicas e sociais, na engenharia e no mundo dos negócios. Sabe-se que uma função densidade</p><p>conjunta de   e   é uma função   de duas variáveis tais que a probabilidade de que   esteja</p><p>em uma região   seja:</p><p>Em particular, se a região for um retângulo, a probabilidade de que   esteja entre   e  e de que</p><p>esteja entre   e   é:</p><p>Como queremos determinar a probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou</p><p>menos temos que  , além disso, queremos determinar a probabilidade de que o segundo</p><p>componente sobreviva duas horas ou mais, ou seja,  . Utilizando a função densidade de</p><p>probabilidade teremos:</p><p>x y</p><p>f(x, y) = 1</p><p>1500 (x+ 2y)</p><p>0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 10</p><p>X Y f (X,  Y )</p><p>D</p><p>P((X,Y ) ∈ D) = ∫D ∫ f(x, y)dA</p><p>X a b  Y</p><p>c d</p><p>P(a ≤ X ≤ b,  c ≤ Y ≤ d) = ∫ d</p><p>c</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x, y)dxdy</p><p>0 ≤ x ≤ 7</p><p>2 ≤ y ≤ 10</p><p>P(0 ≤ X ≤ 7,  2 ≤ Y ≤ 10) = ∫ 10</p><p>2 ∫ 7</p><p>0 [</p><p>1</p><p>1500 (x+ 2y)]dxdy</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Isto é, existe uma probabilidade de 57,87% de que o primeiro componente da máquina projetada por</p><p>você sobreviva sete horas ou menos, e de que o segundo componente sobreviva duas horas ou</p><p>mais.</p><p>Os conceitos das integrais duplas têm um papel essencial na solução de uma ampla gama de</p><p>problemas em várias áreas do conhecimento. Dada essa extensa aplicabilidade, é fundamental</p><p>compreender as características principais desses princípios. Essas características estão</p><p>ilustradas na Figura 1.</p><p>Figura 1 | Integrais duplas</p><p>= 1</p><p>1500 ∫</p><p>10</p><p>2 [ x2</p><p>2 + 2yx]</p><p>7</p><p>0</p><p>dy = 1</p><p>1500 ∫</p><p>10</p><p>2 [ (7)2</p><p>2 + 2y(7) − 0]dy</p><p>= 1</p><p>1500 ∫</p><p>10</p><p>2 ( 49</p><p>2 + 14y)dy = 1</p><p>1500 [</p><p>49</p><p>2 y+ 14y2</p><p>2 ]</p><p>10</p><p>2</p><p>= 1</p><p>1500 [(</p><p>49⋅10</p><p>2 + 7(10)2)− ( 49⋅2</p><p>2 + 7(2)2)]</p><p>= 1</p><p>1500 [245 + 700 − 49 − 28] = 868</p><p>1500 = 0,5787</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo. v.2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo Aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book.</p><p>ISBN 9786555584103. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso em: 11 fev. 2024.</p><p>∫ π</p><p>0 cos(x)dx</p><p>∫ π</p><p>0 (sen(x) + cos(x)) dx = ∫ π</p><p>0 sen(x)dx+ ∫ π</p><p>0 cos(x)dx</p><p>= [− cos (x)]π0 + [sen (x)]π0</p><p>= [− cos (x)]π0 + [sen (x)]π0</p><p>= [− cos(π) − (− cos(0))]  + [sen(π) − sen(0)]</p><p>= [− cos(π) − (− cos(0))]  + [sen(π) − sen(0)]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Antes de integrarmos, temos que realizar a multiplicação das duas funções, uma vez que</p><p>Logo,</p><p>Antes de integrarmos essa função, temos que reescrevê-la, uma vez que temos uma divisão de</p><p>funções. Para reescrever a função, podemos utilizar a propriedade de divisão de potências de</p><p>= −(−1) + 1 + 0 + 0 = 2</p><p>= −(−1) + 1 + 0 + 0 = 2</p><p>c) ∫(u+ 4)(2u+ 1)  du</p><p>c) ∫(u+ 4)(2u+ 1)  du</p><p>∫ [f(x) ⋅ g(x)]dx ≠ ∫ f(x) dx ⋅ ∫ g(x) dx</p><p>∫ [f(x) ⋅ g(x)]dx ≠ ∫ f(x) dx ⋅ ∫ g(x) dx</p><p>∫(u+ 4)(2u+ 1)du = ∫(2u2 + u+ 8u+ 4)du</p><p>∫(u+ 4)(2u+ 1)du = ∫(2u2 + u+ 8u+ 4)du</p><p>= ∫(2u2 + 9u+ 4)du = 2 ∫ u2du+ 9 ∫ udu+ ∫ 4du</p><p>= ∫(2u2 + 9u+ 4)du = 2 ∫ u2du+ 9 ∫ udu+ ∫ 4du</p><p>= 2 ⋅ u2+1</p><p>2+1 + 9 ⋅ u1+1</p><p>1+1 + 4u+K</p><p>= 2 ⋅ u2+1</p><p>2+1 + 9 ⋅ u1+1</p><p>1+1 + 4u+K</p><p>= 2u3</p><p>3 + 9u2</p><p>2 + 4u+K</p><p>= 2u3</p><p>3 + 9u2</p><p>2 + 4u+K</p><p>d)  ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1+√x+x</p><p>x</p><p>)dx</p><p>d)  ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1+√x+x</p><p>x</p><p>)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>mesma base, ou seja,</p><p>.</p><p>xn</p><p>xm = xn−m</p><p>xn</p><p>xm = xn−m</p><p>∫ 2</p><p>1 (</p><p>1+√x+x</p><p>x</p><p>)dx = ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x</p><p>+ x</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>+ x</p><p>x</p><p>)dx = ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x</p><p>+ x</p><p>1</p><p>2 −1 + x1−1)dx</p><p>∫ 2</p><p>1 (</p><p>1+√x+x</p><p>x )dx = ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x + x</p><p>1</p><p>2</p><p>x + x</p><p>x)dx = ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x + x</p><p>1</p><p>2 −1 + x1−1)dx</p><p>= ∫</p><p>2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x + x− 1</p><p>2 + x0)dx = ∫</p><p>2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x + x− 1</p><p>2 + 1)dx</p><p>= ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x</p><p>+ x− 1</p><p>2 + x0)dx = ∫ 2</p><p>1 (</p><p>1</p><p>x</p><p>+ x− 1</p><p>2 + 1)dx</p><p>= ∫ 2</p><p>1 1/xdx+ ∫ 2</p><p>1 x( − 1/2)dx+ ∫ 2</p><p>1 1dx</p><p>= ∫ 2</p><p>1 1/xdx+ ∫ 2</p><p>1 x( − 1/2)dx+ ∫ 2</p><p>1 1dx</p><p>= [ln|x|]21 + [ x</p><p>− 1</p><p>2 +1</p><p>− 1</p><p>2 +1</p><p>]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21</p><p>= [ln|x|]21 + [ x</p><p>− 1</p><p>2 +1</p><p>− 1</p><p>2 +1</p><p>]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21</p><p>= [ln|x|]21 + [ x</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21 = = [ln|x|]21 + [2√x]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21</p><p>= [ln|x|]21 + [ x</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21 = = [ln|x|]21 + [2√x]</p><p>2</p><p>1</p><p>+ [x]21</p><p>= ln|2| − ln|1| + 2√2 − 2√1 + 2 − 1</p><p>= ln|2| − ln|1| + 2√2 − 2√1 + 2 − 1</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as integrais inde�nidas e as técnicas de</p><p>integração leia a seção 5.1 – Primitivas e integrais inde�nidas do livro Cálculo Aplicado – Curso</p><p>rápido do autor Ron Larson disponível na sua biblioteca virtual.</p><p>Uma outra opção de leitura sobre as integrais inde�nidas é a seção 5.2 – A integral inde�nida do</p><p>livro Cálculo: volume 1 de Howard Anton et al. disponível em sua biblioteca virtual.</p><p>Ao �nal de cada seção, há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica,</p><p>resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir</p><p>se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>= ln(2) − 0 + 2√2 − 2 + 2 − 1</p><p>= ln(2) − 0 + 2√2 − 2 + 2 − 1</p><p>ln(2) + 2√2 − 1 ≈ 2,52</p><p>ln(2) + 2√2 − 1 ≈ 2,52</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 3</p><p>Integração por Mudança de Variável</p><p>Integração por Mudança de Variável</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos explorar uma técnica de integração</p><p>que permite que encontremos a primitiva de funções em casos em que temos funções do tipo</p><p>. Assim estudaremos a técnica de mudança de variável ou método da substituição,</p><p>bem como iremos resolver exemplos de como aplicar essa técnica na resolução de integrais</p><p>de�nidas e inde�nidas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>No contexto do cálculo diferencial e integral, observamos que muitas funções primitivas não podem</p><p>ser determinadas diretamente por meio da aplicação de técnicas de integração mais simples, como</p><p>a regra da potência para integrais. Em alguns casos, são necessárias manipulações algébricas</p><p>especí�cas para obter essas funções. Por exemplo, podemos empregar a regra da cadeia para</p><p>integrais ou, de maneira mais direta, a regra da mudança de variáveis.</p><p>A regra da mudança de variáveis, uma técnica fundamental no cálculo integral, oferece uma maneira</p><p>e�caz de simpli�car integrais complexas. Ela envolve a substituição de uma variável por uma</p><p>expressão diferente, facilitando a manipulação e resolução da integral. Essa estratégia não apenas</p><p>simpli�ca cálculos, mas também permite lidar com funções de forma mais conveniente, tornando a</p><p>avaliação de integrais mais acessível e e�ciente em uma variedade de contextos matemáticos.</p><p>f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Para que você compreenda como podemos utilizar essa técnica, suponha que você deseja praticar o</p><p>cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.</p><p>Como podemos empregar a técnica de mudança de variáveis para resolver essas integrais? Vamos</p><p>iniciar nossos estudos sobre essa técnica?</p><p>Vamos Começar!</p><p>É possível que você tenha notado a complexidade ao lidar com integrais de produto ou divisão de</p><p>funções, correto? Nesta aula, abordaremos esses desa�os, aplicando as técnicas de integração,</p><p>especialmente a substituição de variáveis ou mudança de variáveis. A ideia central dessa técnica é</p><p>transformar uma integral relativamente complexa em uma mais simples. Esse objetivo é alcançado</p><p>ao realizar uma mudança da variável original</p><p>Teorema: seja g uma função diferençável com sua imagem em um intervalo</p><p>a) ∫ e√x</p><p>√x</p><p>dx</p><p>b)  ∫ x2√x− 1dx</p><p>c)  ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos( x</p><p>2 )dx</p><p>d)  ∫</p><p>2</p><p>0 (2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>I</p><p>I</p><p>F</p><p>f</p><p>I</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = F(g(x)) +K               (1)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos à demonstração desse teorema. Assumimos a hipótese que</p><p>. Utilizando a regra da cadeia para diferenciar a primitiva temos:</p><p>Por hipótese, temos que</p><p>, logo</p><p>Assim, temos que</p><p>é uma primitiva da função</p><p>, uma vez que a derivada da primitiva é a função a ser integrada. Se �zermos a mudança de variável</p><p>ou substituição</p><p>então a equação (1) �cará:</p><p>Logo, podemos enunciar a regra da mudança de variável como:</p><p>F '(g(x)) = f(g(x))</p><p>F '(g(x)) = f(g(x))</p><p>d</p><p>dx [F(g(x))] = F '(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>d</p><p>dx [F(g(x))] = F '(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>F '(g(x)) = f(g(x))</p><p>F '(g(x)) = f(g(x))</p><p>d</p><p>dx</p><p>[F(g(x))] = f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>d</p><p>dx [F(g(x))] = f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>F(g(x))</p><p>f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>u = g (x)</p><p>F(g(x))</p><p>f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>u = g (x)</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = F(g(x)) +K = F(u) +K = ∫ f(u)du</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = F(g(x)) +K = F(u) +K = ∫ f(u)du</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Se</p><p>for uma função derivável cuja imagem é um intervalo</p><p>e</p><p>for contínua em</p><p>, então,</p><p>Lembre-se que se</p><p>Note que a demonstração</p><p>apresenta o caminho que adotaremos para encontrarmos funções</p><p>primitivas por meio de uma substituição de variáveis. Descrevemos, a seguir, um passo a passo para</p><p>aplicação:</p><p>Passo 1: Identi�car</p><p>Passo 2: Derivar os dois lados dessa equação em relação a</p><p>Passo 3: Isolar</p><p>u  =  g (x)</p><p>I</p><p>f</p><p>I</p><p>u  =  g (x)</p><p>I</p><p>f</p><p>I</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ f(u)du</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ f(u)du</p><p>u = g(x)</p><p>du = g'(x)dx</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>x</p><p>dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Passo 4: Substituir na integral</p><p>Passo 5: Simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável</p><p>Passo 6: Resolver a integral em relação a</p><p>Passo 7: Voltar esse resultado para a variável</p><p>A seguir, resolveremos alguns exemplos dessa aplicação:</p><p>Exemplo 1: Resolva a integral</p><p>Solução</p><p>Passo 1: devemos identi�car a função</p><p>Passo 2: Derivamos ambos os membros da equação em relação a variável</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>dx</p><p>u</p><p>x</p><p>u</p><p>u</p><p>x</p><p>∫[2x(x2 + 4)</p><p>20</p><p>] dx</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>g(x)</p><p>g(x)</p><p>u = x2 + 4</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Passo 3: isolamos</p><p>Passo 4: realizamos as substituições na integral:</p><p>Passo 5: realizamos as simpli�cações de tal forma que tenhamos apenas a variável</p><p>Passo 6: integramos em relação a</p><p>Passo 7: escrevemos o resultado em termos da variável original</p><p>Exemplo 2: Resolva a integral</p><p>Solução</p><p>Passo 1: identi�car a função</p><p>du = 2xdx</p><p>dx</p><p>dx = du</p><p>2x</p><p>∫[2x(x2 + 4)</p><p>20</p><p>] dx = ∫(2x(u)20) du</p><p>2x</p><p>u</p><p>∫[2x(x2 + 4)</p><p>20</p><p>] dx = ∫(2x(u)20) du</p><p>2x = ∫ u20du</p><p>u</p><p>∫[2x(x2 + 4)</p><p>20</p><p>] dx = ∫ u20du = u21</p><p>21 +K</p><p>x</p><p>∫[2x(x2 + 4)</p><p>20</p><p>] dx = ∫ u20du = u21</p><p>21 +K =</p><p>(x2+4)</p><p>21</p><p>21 +K</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx</p><p>g(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Passo 2: derivar ambos os membros da equação em relação a variável</p><p>Passo 3: isolar</p><p>Passo 4: realizar as substituições na integral:</p><p>Passo 5: realizar as simpli�cações de tal forma que tenhamos apenas a variável</p><p>Passo 6: integrar em relação a</p><p>Passo 7: escrever o resultado em termos da variável original</p><p>Siga em Frente...</p><p>Pensaremos, agora, na aplicação da regra da substituição para integrais em casos em que temos</p><p>integrais de�nidas, ou seja, conhecemos o domínio de integração. Nesse caso, quando</p><p>u = sen (x)</p><p>x</p><p>du = cos(x)dx</p><p>dx</p><p>dx = du</p><p>cos(x)</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2 cos(x) du</p><p>cos(x)</p><p>u</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2 cos(x) du</p><p>cos(x)  =   ∫ u2du</p><p>u</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2du = u3</p><p>3 +K</p><p>x</p><p>∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2du = u3</p><p>3 +K = sen3(x)</p><p>3 +K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>comparamos</p><p>com</p><p>, precisamos tomar o cuidado de ajustar os intervalos de integração para essa nova função. Assim,</p><p>se</p><p>for contínua em um intervalo</p><p>conhecido e</p><p>for contínua na imagem de</p><p>, teremos:</p><p>Observe que o intervalo de integração precisou ser ajustado em relação à mudança de variável.</p><p>Vejamos um passo a passo para resolução:</p><p>Passo 1: identi�car   e comparar com  .</p><p>Passo 2: ajustar os intervalos de integração de forma que se   então</p><p>.</p><p>Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a  .</p><p>Passo 4: isolar  .</p><p>Passo 5: substituir na integral   por   e  pelo resultado encontrado no quarto passo,</p><p>como também os novos intervalos de integração encontrados no segundo passo.</p><p>Passo 6: simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável  . Caso após</p><p>a simpli�cação você ainda tenha variável  , retorne aos passos anteriores e veri�que seus</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>g'(x)</p><p>[a, b]</p><p>f(x)</p><p>u = g(x)</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>g'(x)</p><p>[a, b]</p><p>f(x)</p><p>u = g(x)</p><p>∫ b</p><p>a [f(g(x)) ⋅ (g</p><p>'(x))]dx = ∫ g(b)</p><p>g(a) f(u)du</p><p>∫</p><p>b</p><p>a [f(g(x)) ⋅ (g</p><p>'(x))]dx = ∫</p><p>g(b)</p><p>g(a) f(u)du</p><p>g(x) u</p><p>x ∈ [a, b] u ∈ [g(a), g(b)]</p><p>x</p><p>dx</p><p>g(x) u dx</p><p>u</p><p>x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>cálculos, uma vez que quando a mudança de variável for realizada, você deve ter apenas a</p><p>variável   no integrando.</p><p>Passo 7: resolver a integral em relação a  .</p><p>Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para a variável original, pois, como conhecemos</p><p>os intervalos de integração, o resultado será numérico. Vejamos alguns exemplos de como resolver</p><p>uma integral de�nida utilizando o método da mudança de variável.</p><p>Exemplo 3: resolva a integral</p><p>Solução</p><p>Passo 1: identi�car</p><p>Passo 2: ajustar os intervalos de integração:</p><p>Quando</p><p>Quando</p><p>Passo 3: derivar os dois lados em relação a</p><p>Passo 4: isolar</p><p>u</p><p>u</p><p>∫</p><p>4</p><p>0</p><p>√3x+ 4dx</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>u = 3x+ 4</p><p>x = 0</p><p>u = 3(0) + 4 = 4</p><p>x = 4</p><p>u = 3(4) + 4 = 16</p><p>x :</p><p>du = 3dx</p><p>dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Passo 5: realizar as substituições</p><p>Passo 6: simpli�car a função</p><p>Passo 7: resolver a integral em relação a</p><p>Exemplo 4: resolva a integral</p><p>Solução</p><p>Passo 1: identi�car</p><p>Passo 2: ajustar os intervalos de integração:</p><p>Quando</p><p>dx = du</p><p>3</p><p>∫</p><p>4</p><p>0 √3x+ 4dx = ∫</p><p>16</p><p>4 √u du</p><p>3</p><p>∫ 4</p><p>0</p><p>√3x+ 4dx = ∫ 16</p><p>4 √u du</p><p>3 = 1</p><p>3 ∫</p><p>16</p><p>4 u</p><p>1</p><p>2 du</p><p>u</p><p>∫</p><p>4</p><p>0 √3x+ 4dx = ∫</p><p>16</p><p>4 √u du</p><p>3 = 1</p><p>3 ∫</p><p>16</p><p>4 u</p><p>1</p><p>2 du = 1</p><p>3 [</p><p>u</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>]</p><p>16</p><p>4</p><p>= 1</p><p>3 ⋅ 2</p><p>3 [√u3]</p><p>16</p><p>4</p><p>= 2</p><p>9 [√(16)3 −√(4)3] = 2</p><p>9 [64 − 8] = 2</p><p>9 ⋅ 56 = 112</p><p>9</p><p>∫</p><p>2</p><p>1</p><p>2x</p><p>(3−5x2)3</p><p>dx</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2x</p><p>(3−5x2)3</p><p>dx</p><p>g(x)</p><p>u</p><p>u = 3 − 5x2</p><p>x = 1</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Quando</p><p>Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a</p><p>Passo 4: isolar</p><p>Passo 5: realizar as substituições</p><p>Passo 6: simpli�car a função</p><p>Passo 7: resolver a integral em relação a</p><p>O desa�o primordial ao empregar a regra da substituição reside em identi�car uma substituição</p><p>apropriada. Deve-se tentar selecionar</p><p>u = 3 − 5(1)2 = −2</p><p>x = 2</p><p>u = 3 − 5(2)2 = −17</p><p>x</p><p>du = −10xdx</p><p>dx</p><p>dx = − du</p><p>10x</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2x</p><p>(3−5x2)3</p><p>dx = ∫ −17</p><p>−2</p><p>2x</p><p>(u)3</p><p>(− du</p><p>10x )</p><p>∫</p><p>2</p><p>1</p><p>2x</p><p>(3−5x2)3</p><p>dx = ∫</p><p>−17</p><p>−2</p><p>2x</p><p>(u)3</p><p>(− du</p><p>10x ) = ∫</p><p>−17</p><p>−2</p><p>1</p><p>(u)3</p><p>(− du</p><p>5 ) = − 1</p><p>5 ∫</p><p>−17</p><p>−2 u−3du</p><p>u</p><p>∫ 2</p><p>1</p><p>2x</p><p>(3−5x2)3</p><p>dx = ∫ −17</p><p>−2</p><p>2x</p><p>(u)3</p><p>(− du</p><p>10x ) = ∫ −17</p><p>−2</p><p>1</p><p>(u)3</p><p>(− du</p><p>5 ) = − 1</p><p>5 ∫</p><p>−17</p><p>−2 u−3du</p><p>= − 1</p><p>5 [</p><p>u−2</p><p>−2 ]</p><p>−17</p><p>−2</p><p>= − 1</p><p>5 ⋅ − 1</p><p>2 [u</p><p>−2]</p><p>−17</p><p>−2 = 1</p><p>10 [</p><p>1</p><p>u2 ]</p><p>−17</p><p>−2</p><p>= 1</p><p>10 [</p><p>1</p><p>(−17)2</p><p>− 1</p><p>(−2)2</p><p>]</p><p>= 1</p><p>10 [</p><p>1</p><p>289 − 1</p><p>4 ] =</p><p>1</p><p>10 ⋅ − 285</p><p>1156 = − 57</p><p>2312</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já conhece o método da mudança de variável e como empregá-lo na resolução de</p><p>integrais inde�nidas e de�nidas, vamos retomar a nossa situação inicial. Nessa situação, você deve</p><p>resolver uma série de integrais empregando o método estudado.</p><p>Observe que a função do integrando é uma função composta, além disso, temos a possibilidade de</p><p>termos a derivada da função g(x). Para isso vamos veri�car a substituição</p><p>Derivando essa substituição, temos:</p><p>Ou seja,</p><p>Realizando as substituições e posteriormente resolvendo a integral teremos:</p><p>u</p><p>u</p><p>a) ∫ e√x</p><p>√x</p><p>dx</p><p>u = √x  ou  u = x</p><p>1</p><p>2</p><p>du = dx</p><p>du = 1</p><p>2 x</p><p>− 1</p><p>2 dx</p><p>du = 1</p><p>2 x</p><p>− 1</p><p>2 dx</p><p>du = 1</p><p>2√x</p><p>dx</p><p>du = 1</p><p>2√x</p><p>dx</p><p>dx = 2√xdu</p><p>dx = 2√xdu</p><p>∫ e√x</p><p>√x</p><p>dx = ∫ eu</p><p>√x</p><p>⋅ 2√xdu = ∫ 2eudu = 2eu +K = 2e√x +K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O método de substituição é relativamente direto quando o integrando possui uma composição</p><p>facilmente identi�cável e o restante é um múltiplo constante de</p><p>. Caso essa condição não seja satisfeita, o método ainda pode ser aplicado, mas pode demandar</p><p>mais cálculos, como é o caso desse exemplo. A substituição a ser utilizada será</p><p>, logo</p><p>. No momento de realizarmos a substituição na integral, perceba que teríamos algo do tipo</p><p>, e isso não pode acontecer. Assim, antes de integramos temos que reescrever</p><p>em função de</p><p>. Para isso utilizamos a igualdade</p><p>:</p><p>∫ e√x</p><p>√x</p><p>dx = ∫ eu</p><p>√x</p><p>⋅ 2√xdu = ∫ 2eudu = 2eu +K = 2e√x +K</p><p>b)  ∫ x2√x− 1dx</p><p>b)  ∫ x2√x− 1dx</p><p>f(g(x))</p><p>g'(x)</p><p>u = x− 1</p><p>du = dx</p><p>x2√u</p><p>x</p><p>u</p><p>u = x− 1</p><p>f(g(x))</p><p>g'(x)</p><p>u = x− 1</p><p>du = dx</p><p>x2√u</p><p>x</p><p>u</p><p>u = x− 1</p><p>u = x− 1</p><p>u = x− 1</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Considerando esse valor para , realizamos as substituições e manipulações matemáticas na</p><p>integral:</p><p>Observe que a função  é uma função composta. Nesse caso, vamos realizar a mudança:</p><p>x = u+ 1</p><p>x = u+ 1</p><p>x2 = (u+ 1)2 = u2 + 2u+ 1</p><p>x2 = (u+ 1)2 = u2 + 2u+ 1</p><p>∫ x2√x− 1dx = ∫(u2 + 2u+ 1)√udu = ∫(u2 + 2u+ 1)u</p><p>1</p><p>2 du</p><p>=</p><p>∫ x2√x− 1dx = ∫(u2 + 2u+ 1)√udu = ∫(u2 + 2u+ 1)u</p><p>1</p><p>2 du =</p><p>= ∫ (u2 ⋅ u</p><p>1</p><p>2 + 2u ⋅ u</p><p>1</p><p>2 + 1 ⋅ u</p><p>1</p><p>2) du = ∫ (u</p><p>5</p><p>2 + 2u</p><p>3</p><p>2 + u</p><p>1</p><p>2 ) du</p><p>= ∫ (u2 ⋅ u</p><p>1</p><p>2 + 2u ⋅ u</p><p>1</p><p>2 + 1 ⋅ u</p><p>1</p><p>2) du = ∫ (u</p><p>5</p><p>2 + 2u</p><p>3</p><p>2 + u</p><p>1</p><p>2 ) du</p><p>= u</p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>+ 2 u</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>+ u</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>+K = 2</p><p>7</p><p>√u7 + 4</p><p>5</p><p>√u5 + 2</p><p>3</p><p>√u3 +K</p><p>= u</p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>+ 2 u</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>+ u</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>+K = 2</p><p>7</p><p>√u7 + 4</p><p>5</p><p>√u5 + 2</p><p>3</p><p>√u3 +K</p><p>= 2</p><p>7</p><p>√(x− 1)7 + 4</p><p>5</p><p>√(x− 1)5 + 2</p><p>3</p><p>√(x− 1)3 +K</p><p>= 2</p><p>7</p><p>√(x− 1)7 + 4</p><p>5</p><p>√(x− 1)5 + 2</p><p>3</p><p>√(x− 1)3 +K</p><p>c)  ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos( x</p><p>2 )dx</p><p>c)  ∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos( x</p><p>2 )dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ou seja</p><p>Como temos uma integral de�nida, temos que realizar a mudança dos limites de integração, logo</p><p>quando</p><p>temos que</p><p>e quando</p><p>temos</p><p>. Realizando as substituições necessárias:</p><p>u = x</p><p>2</p><p>u = x</p><p>2</p><p>du = 1</p><p>2 dx</p><p>du = 1</p><p>2 dx</p><p>dx = 2du</p><p>dx = 2du</p><p>x = 0</p><p>u = 0</p><p>2 = 0</p><p>x = π</p><p>2</p><p>u =</p><p>π</p><p>2</p><p>2 = π</p><p>4</p><p>x = 0</p><p>u = 0</p><p>2 = 0</p><p>x = π</p><p>2</p><p>u =</p><p>π</p><p>2</p><p>2 = π</p><p>4</p><p>∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos( x</p><p>2 )dx = ∫</p><p>π</p><p>4</p><p>0 2 cos(u)du = 2 ∫</p><p>π</p><p>4</p><p>0 cos(u)du = 2[sen(u)]</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>∫</p><p>π</p><p>2</p><p>0 cos( x</p><p>2 )dx = ∫</p><p>π</p><p>4</p><p>0 2 cos(u)du = 2 ∫</p><p>π</p><p>4</p><p>0 cos(u)du = 2[sen(u)]</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>= 2[sen( π</p><p>4 )− sen(0)] = 2 ⋅ √2</p><p>2 − 2 ⋅ 0 = √2</p><p>= 2[sen( π</p><p>4 )− sen(0)] = 2 ⋅ √2</p><p>2 − 2 ⋅ 0 = √2</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos realizar a seguinte substituição:</p><p>Ou seja,</p><p>Não podemos nos esquecer de realizar a mudança nos limites de integração, assim quando</p><p>temos</p><p>e quando</p><p>temos</p><p>. Agora podemos resolver a integral:</p><p>d)  ∫ 2</p><p>0 (2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5</p><p>d)  ∫</p><p>2</p><p>0 (2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5</p><p>u = x2 + 7x+ 3</p><p>u = x2 + 7x+ 3</p><p>du = (2x+ 7)dx</p><p>du = (2x+ 7)dx</p><p>dx = du</p><p>(2x+7)</p><p>dx = du</p><p>(2x+7)</p><p>x = 0</p><p>u = (0)2 + 7(0) + 3 = 3</p><p>x = 2</p><p>u = (2)2 + 7(2) + 3 = 21</p><p>x = 0</p><p>u = (0)2 + 7(0) + 3 = 3</p><p>x = 2</p><p>u = (2)2 + 7(2) + 3 = 21</p><p>∫ 2</p><p>0 (2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5 = ∫ 21</p><p>3 (2x+ 7) 4√u5 du</p><p>(2x+7)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o método de integração da mudança de</p><p>variável leia a seção 5.5 – A regra da Substituição do livro do livro Cálculo: v.1 de James Stewart,</p><p>Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de</p><p>exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao</p><p>�nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>∫</p><p>2</p><p>0 (2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5 = ∫</p><p>21</p><p>3 (2x+ 7) 4√u5 du</p><p>(2x+7)</p><p>= ∫ 21</p><p>3</p><p>4√u5du = ∫ 21</p><p>3 u</p><p>5</p><p>4 du = [ u</p><p>9</p><p>4</p><p>9</p><p>4</p><p>]</p><p>21</p><p>3</p><p>= 4</p><p>9 [</p><p>4√u9]</p><p>21</p><p>3</p><p>= ∫ 21</p><p>3</p><p>4√u5du = ∫ 21</p><p>3 u</p><p>5</p><p>4 du = [ u</p><p>9</p><p>4</p><p>9</p><p>4</p><p>]</p><p>21</p><p>3</p><p>= 4</p><p>9 [</p><p>4√u9]</p><p>21</p><p>3</p><p>4</p><p>9 [</p><p>4√(21)9 −   4√(3)9 ] ≈ 414,312</p><p>4</p><p>9 [</p><p>4√(21)9 −   4√(3)9 ] ≈ 414,312</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 4</p><p>Integração por Partes</p><p>Integração por partes</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula, vamos aprender um novo método de</p><p>integração denominado integração por partes. Esse método é utilizado quando temos um produto</p><p>de funções no integrando e tem como objetivo transformar esse produto em uma função mais fácil</p><p>de ser integrada. Assim, vamos discutir como aplicar esse método na resolução de integrais</p><p>de�nidas e inde�nidas.</p><p>Ponto de Partida</p><p>Anteriormente, você estudou que para resolver integrais de determinadas funções temos que</p><p>empregar técnicas mais avançadas de integração, como a mudança de variável. Não são todos os</p><p>casos em que podemos aplicar essa técnica, por isso precisamos conhecer outras opções para</p><p>resolução de problemas.</p><p>Nessa aula, vamos discutir sobre a integração por partes, que é uma ferramenta valiosa no cálculo</p><p>integral, oferecendo uma abordagem e�caz para integrar produtos de funções. Ao aplicar o método</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>corretamente, a integral original pode ser transformada em uma forma mais fácil de integrar, muitas</p><p>vezes simpli�cando o problema original. A integração por partes é especialmente aplicável quando a</p><p>integração direta parece complicada e oferece uma alternativa e�ciente para abordar integralmente</p><p>produtos de funções. Essa técnica não apenas amplia a caixa de ferramentas de métodos de</p><p>integração, mas também destaca a �exibilidade e a versatilidade do cálculo integral, permitindo a</p><p>resolução de uma gama mais ampla de problemas matemáticos.</p><p>Para que você compreenda como podemos utilizar essa técnica, suponha que você deseja praticar o</p><p>cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.</p><p>Como podemos empregar a técnica da integração por partes para resolver essas integrais? Vamos</p><p>iniciar nossos estudos sobre essa técnica?</p><p>Vamos Começar!</p><p>Podemos dizer que cada regra de derivação possui uma correspondente na integração, a regra da</p><p>substituição para integração, por exemplo, está relacionada à regra da cadeia para derivação. Já a</p><p>regra de integração que corresponde à regra do produto na derivação é conhecida como integração</p><p>por partes (STWEART; CLEGG; WATSON, 2021).</p><p>De acordo com a regra do produto, se</p><p>Observe que o produto</p><p>é uma primitiva da função</p><p>, logo:</p><p>a) ∫ t2etdt</p><p>b)  ∫ x2 cos(2x)dx</p><p>c)  ∫ e</p><p>1 y2 ln(y)dy</p><p>f</p><p>g</p><p>[f(x) ⋅ g(x)]' = f(x)g'(x) + f '(x)g(x).</p><p>f(x) ⋅ g(x)</p><p>f(x)g'(x) + f '(x)g(x)</p><p>f(x) ⋅ g(x)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Essa equação pode ser reescrita como:</p><p>que é denominada de fórmula para integração por partes (STWEART; CLEGG; WATSON, 2021). Essa</p><p>fórmula é comumente denotada por:</p><p>em que</p><p>e</p><p>.</p><p>Pensando em um passo a passo para a integração por partes, temos:</p><p>Passo 1: escolher qual parte será chamada de</p><p>f(x)g'(x) + f '(x)g(x)</p><p>∫ [f(x)g'(x) + f '(x)g(x)]dx = f(x)g(x)</p><p>∫ [f(x)g'(x) + f '(x)g(x)]dx = f(x)g(x)</p><p>∫ f(x)g'(x)dx+ ∫ f '(x)g(x)dx = f(x)g(x)</p><p>∫ f(x)g'(x)dx+ ∫ f '(x)g(x)dx = f(x)g(x)</p><p>∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx</p><p>∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu</p><p>u = f(x)</p><p>v = g(x)</p><p>u = f(x)</p><p>v = g(x)</p><p>u = f(x)</p><p>dv = g(x)dx</p><p>dv</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Passo 2: de�nidos</p><p>Passo 3: por �m, resolver:</p><p>Note que a parte mais importante da integração por partes é a escolha de quem serão as funções</p><p>1. Logarítmica,</p><p>2. Inversa Trigonométrica,</p><p>3. Algébrica,</p><p>4. Trigonométrica,</p><p>5. Exponencial.</p><p>Nessa situação, frequentemente, obtemos êxito ao escolher</p><p>A seguir resolveremos alguns exemplos aplicando essa técnica.</p><p>Exemplo 1: Resolva a integral</p><p>u</p><p>dv</p><p>u</p><p>x</p><p>dv</p><p>x</p><p>∫ udv</p><p>∫ vdu</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>u</p><p>dv</p><p>u</p><p>dv</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Solução</p><p>Passo 1: escolher as funções que serão</p><p>Passo 2: derivar</p><p>Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula</p><p>Logo, teremos:</p><p>Não se esqueça de acrescentar a constante</p><p>Exemplo 2: Resolva a integral</p><p>∫ x cos (x)dx</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = x</p><p>dv = cos (x)dx</p><p>u</p><p>dv</p><p>du = 1dx</p><p>v = ∫ cos(x)dx = sen (x)</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ x cos (x)dx = x sen (x) − ∫ sen (x)dx</p><p>∫ x cos (x)dx = x sen (x) − ∫ sen (x)dx</p><p>= x sen (x) − (− cos(x)) +K = x sen(x) + cos(x) +K</p><p>= x sen (x) − (− cos(x)) +K = x sen(x) + cos(x) +K</p><p>K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Solução</p><p>Passo 1: escolher as funções que serão</p><p>Passo 2: derivar</p><p>Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula</p><p>Logo, teremos:</p><p>Se a integral for de�nida, podemos aplicar normalmente a integral, porém iremos aplicar o teorema</p><p>fundamental do cálculo. Nesse sentido temos:</p><p>Ou ainda,</p><p>∫ ln (x)dx</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = ln (x)</p><p>dv = dx</p><p>u</p><p>dv</p><p>du = 1</p><p>x dx</p><p>v = ∫ 1dx = x</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ ln (x)dx = x ln (x) − ∫ x ⋅ 1</p><p>x</p><p>dx</p><p>= x ln (x) − ∫ 1dx = x ln(x) − x+K</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>f '(x)g(x)dx</p><p>∫</p><p>b</p><p>a udv =  uv|ba − ∫</p><p>b</p><p>a vdu</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Siga em Frente...</p><p>Vamos agora resolver alguns exemplos de integrais de�nidas.</p><p>Exemplo 3: Resolva a integral</p><p>Solução</p><p>Passo 1: escolher as funções que serão</p><p>Passo 2: derivar</p><p>Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula</p><p>Logo, teremos:</p><p>Como você pode perceber, o principal propósito da integração por partes é a escolha estratégica de</p><p>∫ 1</p><p>0 xexdx</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = x</p><p>dv = exdx</p><p>u</p><p>dv</p><p>du = 1dx</p><p>v = ∫ exdx = ex</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>udv =  uv|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>∫ 1</p><p>0 xexdx = xex|10 − ∫ 1</p><p>0 exdx</p><p>= xex|10 − ex|10 = (1 ⋅ e1 − 0 ⋅ e0)− (e1 − e0)</p><p>= e− 0 − e+ 1 = 1</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Agora que você já conhece o método da integração por partes e como empregá-lo na resolução de</p><p>integrais inde�nidas e de�nidas, vamos retomar a nossa situação inicial. Nessa situação, você deve</p><p>resolver uma série de integrais empregando o método estudado.</p><p>O primeiro passo é escolhermos</p><p>Resolvendo a integral utilizando a fórmula</p><p>teremos:</p><p>A integral que obtivemos,</p><p>u</p><p>dv</p><p>a) ∫ t2etdt</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = t2</p><p>dv = etdt</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = t2 → du = 2tdt</p><p>dv = etdt → v = ∫ etdt = et</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt</p><p>∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Aplicando novamente a fórmula na integral</p><p>teremos:</p><p>O primeiro passo é escolher</p><p>e</p><p>. No integrando temos uma multiplicação de uma função algébrica por uma função trigonométrica,</p><p>assim de acordo com o método LIATE podemos ter</p><p>e</p><p>. Agora derivamos  e integramos</p><p>:</p><p>∫ et2tdt</p><p>u = 2t</p><p>dv = etdt</p><p>u = 2t → du = 2dt</p><p>dv = etdt → v = ∫ etdt = et</p><p>∫ et2tdt</p><p>∫ et2tdt</p><p>∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt = t2et − [2tet − ∫ 2etdt]</p><p>∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt = t2et − [2tet − ∫ 2etdt]</p><p>= t2et − 2tet + 2 ∫ etdt = t2et − 2tet + 2et +K</p><p>= t2et − 2tet + 2 ∫ etdt = t2et − 2tet + 2et +K</p><p>b)  ∫ x2 cos(2x)dx</p><p>b)  ∫ x2 cos(2x)dx</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = x2</p><p>dv = cos(2x)dx</p><p>dv</p><p>u</p><p>dv</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Observe que para resolver essa integral teremos que utilizar o método da mudança de variável em</p><p>que</p><p>, assim</p><p>. Aplicando o método teremos:</p><p>Resolvendo a integral utilizando a fórmula</p><p>teremos:</p><p>A integral que obtivemos,</p><p>u = x2</p><p>dv = cos(2x)dx</p><p>dv</p><p>u = x2 → du = 2xdx</p><p>u = x2 → du = 2xdx</p><p>dv = cos(2x)dx → v = ∫ cos(2x)dx</p><p>dv = cos(2x)dx → v = ∫ cos(2x)dx</p><p>u = 2x</p><p>du = 2dx</p><p>u = 2x</p><p>du = 2dx</p><p>v = ∫ cos(2x)dx = ∫ cos (u) du</p><p>2 = 1</p><p>2 ∫ cos (u)du = 1</p><p>2 sen(u) =</p><p>1</p><p>2 sen (2x)</p><p>v = ∫ cos(2x)dx = ∫ cos (u) du</p><p>2 = 1</p><p>2 ∫ cos (u)du = 1</p><p>2 sen(u) =</p><p>1</p><p>2 sen (2x)</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ 1</p><p>2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx</p><p>∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ 1</p><p>2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx</p><p>∫ x sen(2x)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>, é mais simples que a integral original, mas ainda não é imediata. Portanto, usamos a integração por</p><p>partes mais uma vez, mas agora com</p><p>e</p><p>. Logo,</p><p>Para resolver essa integral teremos que utilizar o método da mudança de variável em que</p><p>, assim</p><p>. Aplicando o método teremos:</p><p>Aplicando novamente a fórmula na integral</p><p>teremos:</p><p>u = x</p><p>dv = sen(2x)dx</p><p>∫ x sen(2x)dx</p><p>u = x</p><p>dv = sen(2x)dx</p><p>u = x → du = 1dx</p><p>u = x → du = 1dx</p><p>dv = sen(2x)dx → v = ∫ sen(2x)dx</p><p>dv = sen(2x)dx → v = ∫ sen(2x)dx</p><p>u = 2x</p><p>du = 2dx</p><p>u = 2x</p><p>du = 2dx</p><p>v = ∫ sen(2x)dx = ∫ sen (u) du</p><p>2 = 1</p><p>2 ∫ sen (u)du = − 1</p><p>2 cos(u) = − 1</p><p>2 cos (2x)</p><p>v = ∫ sen(2x)dx = ∫ sen (u) du</p><p>2 = 1</p><p>2 ∫ sen (u)du = − 1</p><p>2 cos(u) = − 1</p><p>2 cos (2x)</p><p>∫ x sen(2x)dx</p><p>∫ x sen(2x)dx</p><p>∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ 1</p><p>2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>O primeiro passo é escolher</p><p>e</p><p>. No integrando temos uma multiplicação de uma função algébrica por uma função logarítmica,</p><p>assim de acordo com o método LIATE podemos ter</p><p>e</p><p>. Agora derivamos</p><p>e</p><p>integramos:</p><p>∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ 1</p><p>2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1</p><p>2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) − [x ⋅ − 1</p><p>2 cos(2x) − ∫ − 1</p><p>2 cos(2x)dx]</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) − [x ⋅ − 1</p><p>2 cos(2x) − ∫ − 1</p><p>2 cos(2x)dx]</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>2 ∫ cos(2x)dx</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>2 ∫ cos(2x)dx</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>2 [</p><p>1</p><p>2 sen(2x)]+K</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>2 [</p><p>1</p><p>2 sen(2x)]+K</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>4 sen(2x) +K</p><p>= 1</p><p>2 x</p><p>2 sen(2x) + 1</p><p>2 x cos(2x) − 1</p><p>4 sen(2x) +K</p><p>c)  ∫ e</p><p>1 y2 ln(y)dy</p><p>c)  ∫ e</p><p>1 y2 ln(y)dy</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = ln (y)</p><p>dv = y2dy</p><p>u</p><p>dv</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = ln (y)</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Resolvendo a integral utilizando a fórmula</p><p>teremos:</p><p>dv = y2dy</p><p>u</p><p>dv</p><p>u = ln (y) → du = 1</p><p>y</p><p>dy</p><p>u = ln (y) → du = 1</p><p>y dy</p><p>dv = y2dy → v = ∫ y2dy = y3</p><p>3</p><p>dv = y2dy → v = ∫ y2dy = y3</p><p>3</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>udv =  uv|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>∫</p><p>b</p><p>a udv =  uv|ba − ∫</p><p>b</p><p>a vdu</p><p>∫ e</p><p>1 y2 ln(y)dy = ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− ∫ e</p><p>1</p><p>y3</p><p>3 ⋅ 1</p><p>y dy∣∫ e</p><p>1 y2 ln(y)dy = ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− ∫ e</p><p>1</p><p>y3</p><p>3 ⋅ 1</p><p>y</p><p>dy∣= ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− 1</p><p>3 ∫</p><p>e</p><p>1 y2dy∣= ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− 1</p><p>3 ∫</p><p>e</p><p>1 y2dy∣= ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− 1</p><p>3 [</p><p>y3</p><p>3 ]</p><p>e</p><p>1∣= ln(y) ⋅ y3</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>− 1</p><p>3 [</p><p>y3</p><p>3 ]</p><p>e</p><p>1∣= [ln(e) ⋅ e3</p><p>3 − ln(1) ⋅ 13</p><p>3 ]−</p><p>1</p><p>3 [</p><p>e3</p><p>3 − 13</p><p>3 ]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Saiba mais</p><p>Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de</p><p>exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos</p><p>discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns</p><p>exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados durante a aula.</p><p>Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o método de integração da mudança de</p><p>variável leia a seção 7.1 – Integração por partes do livro Cálculo: v.1 de James Stewart, Daniel Clegg</p><p>e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao �nal da seção há uma série de exercícios,</p><p>selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro</p><p>existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/.</p><p>Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>= [ln(e) ⋅ e3</p><p>3 − ln(1) ⋅ 13</p><p>3 ]−</p><p>1</p><p>3 [</p><p>e3</p><p>3 − 13</p><p>3 ]</p><p>= [1 ⋅ e3</p><p>3 − 0 ⋅ 1</p><p>3 ]−</p><p>1</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9</p><p>= [1 ⋅ e3</p><p>3 − 0 ⋅ 1</p><p>3 ]−</p><p>1</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9</p><p>= 1</p><p>3 e</p><p>3 − 1</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9 = 2</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9 ≈ 4,575</p><p>= 1</p><p>3 e</p><p>3 − 1</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9 = 2</p><p>9 e</p><p>3 + 1</p><p>9 ≈ 4,575</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>Aula 5</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula discutiremos sobre os principais aspectos</p><p>relacionados às integrais de�nidas e inde�nidas. Além disso, vamos explorar as características de</p><p>dois métodos de integração, a saber: mudança de variável e integração por partes. Esses métodos</p><p>são fundamentais para a resolução de diferentes tipos de problemas relacionados ao cálculo de</p><p>área e volume, entre outros.</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender as técnicas de integração a �m</p><p>de aplicá-las na resolução de problemas que envolvem o cálculo de integrais, é necessário que você</p><p>saiba identi�car as características de cada uma das técnicas de integração.</p><p>Dada uma função</p><p>f</p><p>[a, b]</p><p>f</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Ao abordar o cálculo dessa integral, evitaremos lidar diretamente com o limite, uma vez que o</p><p>cálculo desse limite muitas vezes envolve complexidades e pode ser desa�ador. Em vez disso,</p><p>faremos uso do Teorema Fundamental do Cálculo, uma ferramenta valiosa que estabelece uma</p><p>relação fundamental entre derivadas e integrais de�nidas. Esse teorema proporciona uma maneira</p><p>mais acessível de avaliar integrais de�nidas ao permitir a conexão direta entre a função a ser</p><p>integrada e sua primitiva. De acordo com esse teorema, se uma função</p><p>onde</p><p>Não é sempre que nos deparamos com a necessidade de calcular a integral de uma função em um</p><p>intervalo especí�co. Quando isso não é o caso, lidamos com o conceito de integral inde�nida. Uma</p><p>integral inde�nida refere-se à primitiva de uma função, ou seja, uma função cuja derivada é a função</p><p>original. Ao contrário da integral de�nida, que envolve a avaliação em limites de integração</p><p>especí�cos, a integral inde�nida busca a expressão geral da primitiva da função, proporcionando</p><p>uma visão mais ampla e abstrata do processo de integração. Uma integral inde�nida é da forma:</p><p>Sendo que K é uma constante real qualquer e, ao derivar a primitiva</p><p>Encontrar a primitiva de uma função envolve a re�exão sobre "qual função, ao ser derivada, nos</p><p>conduzirá ao resultado desejado", uma tarefa que, reconhecidamente, pode ser desa�adora e</p><p>trabalhosa. Por esse motivo, é crucial adquirir conhecimento sobre as principais regras de</p><p>∫ b</p><p>a f(x)dx = lim</p><p>n→∞</p><p>∑n</p><p>i=1 f(xi) ⋅ Δx</p><p>f</p><p>[a, b]</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx = F(b) − F(a)  em   que  F ' = f.</p><p>F</p><p>f(x)</p><p>F ' = f</p><p>∫ f(x)dx = F(x) +K</p><p>F(x) +K</p><p>f(x)</p><p>K</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>integração imediatas. Na Tabela 1, você terá acesso às principais regras e propriedades que</p><p>facilitam esse processo, tornando a abordagem de integração mais e�ciente e acessível.</p><p>Tabela 1 | Regras de integração</p><p>A obtenção de primitivas nem sempre é viável apenas por meio das regras de integração imediatas;</p><p>em algumas situações, torna-se necessário empregar técnicas mais avançadas de integração. Entre</p><p>as diversas abordagens disponíveis, duas se destacam pelo uso frequente: o método da mudança</p><p>de variável, também conhecido como método da substituição, e a integração por partes. Essas</p><p>técnicas oferecem ferramentas adicionais e estratégias fundamentais para lidar com funções mais</p><p>complexas, expandindo as possibilidades de resolução de problemas integrais.</p><p>A regra da mudança de variáveis envolve a substituição de uma variável por uma expressão</p><p>diferente, facilitando a manipulação e o resolução da integral. Podemos utilizar essa técnica quando</p><p>a função a ser integrada é do tipo</p><p>Não se esqueça que após integrar a função em relação à variável</p><p>No caso de ser uma integral de�nida, ao aplicar o método da mudança de variável, é necessário</p><p>realizar a mudança nos limites de integração, uma vez que estamos realizando uma mudança de</p><p>variável. Assim, se</p><p>∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx ∫ cdx = cx+K</p><p>∫ xndx = xn+1</p><p>n+1 +K,  n ≠ −1 ∫ 1</p><p>x</p><p>dx = ln|x| +K</p><p>∫ axdx = ax</p><p>ln(a) +K ∫ exdx = ex +K</p><p>∫ cos(x)dx = sen(x) +K ∫ sen(x)dx = −cos(x) +K</p><p>∫ tg(x)dx = sec2(x) +K ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx± ∫ g(x)dx</p><p>f(g(x)) ⋅ g'(x)</p><p>u = g(x),</p><p>∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ f(u)du</p><p>u,</p><p>g'(x)</p><p>[a, b]</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Já o método de integração por partes pode ser utilizado quando temos um produto de funções no</p><p>integrando. Para resolver uma integral por esse método, utilizamos a fórmula:</p><p>Que geralmente é apresentada como:</p><p>em que</p><p>e</p><p>.</p><p>Quando temos uma integral de�nida, basta que avaliemos o resultado nos limites de integração,</p><p>assim a fórmula será:</p><p>Ou ainda,</p><p>O principal propósito da integração por partes é a escolha estratégica de</p><p>f(x)</p><p>u = g(x)</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>[f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ g(b)</p><p>g(a) f(u)du</p><p>∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu</p><p>u = f(x)</p><p>v = g(x)</p><p>u = f(x)</p><p>v = g(x)</p><p>∫ b</p><p>a f(x)g</p><p>'(x)dx = f(x)g(x)|ba − ∫ b</p><p>a f</p><p>'(x)g(x)dx</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>f '(x)g(x)dx</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>udv =  uv|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>udv =  uv|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>u</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>É crucial que você compreenda todas as técnicas de integração abordadas nesta unidade, pois você</p><p>as aplicará na resolução de diversos problemas ao longo deste curso e em disciplinas</p><p>subsequentes. O domínio dessas técnicas não apenas fortalecerá sua base em cálculo integral, mas</p><p>também será fundamental para enfrentar desa�os mais avançados em disciplinas correlatas. Este</p><p>conhecimento não só aprimorará suas habilidades matemáticas, mas também abrirá portas para</p><p>uma compreensão mais profunda e aplicada em áreas que dependem fortemente do cálculo.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você esteja participando de um processo</p><p>seletivo para ingressar em um programa de iniciação cientí�ca. Esse programa tem como objetivo</p><p>estudar o papel da Matemática no campo pro�ssional. A primeira parte do processo seletivo</p><p>consiste em uma prova de conhecimentos gerais, que englobam os conceitos relacionados às</p><p>diferentes disciplinas do seu curso. Com o objetivo de se preparar para essa primeira etapa, você</p><p>decidiu realizar uma pesquisa sobre quais os conceitos mais recorrentes nas provas anteriores.</p><p>Como resultado dessa pesquisa, você constatou que conceitos relacionados ao cálculo integral</p><p>eram recorrentes em todas as provas. Após analisar as provas, você percebeu que eram frequentes</p><p>questões sobre o cálculo de integrais de�nidas e inde�nidas. A �m de relembrar as regras de</p><p>integração, você selecionou uma série de exercícios sobre o cálculo de integrais. Sua tarefa, então, é</p><p>resolver esses exercícios, conforme apresentado a seguir.</p><p>Questão 1: Calcule o valor da integral:</p><p>Questão 2: Resolva a integral:</p><p>Questão 3: Calcule o valor da integral de�nida:</p><p>Re�ita</p><p>Quais técnicas de integração serão necessárias na resolução de cada uma dessas questões?</p><p>Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem</p><p>ser aplicados, convidamos à re�exão sobre essas duas questões:</p><p>dv</p><p>∫ 1</p><p>(4−5t)4</p><p>dt</p><p>∫ x2 e−x dx</p><p>∫ e</p><p>1 (ln (x))2dx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Em que situações especí�cas você consideraria necessário recorrer a técnicas mais avançadas de</p><p>integração, além das regras imediatas, para abordar integralmente um problema matemático ou</p><p>aplicado?</p><p>Como as técnicas de integração, como o método da mudança de variáveis e a integração por partes,</p><p>podem ser aplicadas de forma e�caz na resolução de problemas práticos em diversas disciplinas?</p><p>Para resolver cada uma dessas questões é importante que você realize uma análise das funções a</p><p>serem integradas a �m de veri�car qual o melhor método de resolução.</p><p>Solução da Questão 1</p><p>Temos que resolver a integral inde�nida:</p><p>Observe que a função do integrando é uma função composta, logo, podemos aplicar o método da</p><p>mudança de variável. Para isso vamos utilizar a substituição:</p><p>Derivando essa substituição temos:</p><p>Realizando as substituições e posteriormente resolvendo a integral, teremos:</p><p>Solução da Questão 2</p><p>Temos que resolver a integral inde�nida:</p><p>Observe que temos um produto de funções de tipos diferentes dentro do integrando, assim,</p><p>podemos aplicar a integração por partes para resolvê-la. O primeiro passo é escolher   e  . No</p><p>integrando temos uma multiplicação de uma função algébrica por uma função exponencial, assim,</p><p>de acordo com o método LIATE, podemos ter   e  . Agora derivamos   e</p><p>integramos:</p><p>Essa integral não pode ser revolvida de forma imediata, uma vez que temos como integrando uma</p><p>função composta, assim, para resolver essa integral teremos que utilizar o método da mudança de</p><p>variável em que  , assim  . Aplicando o método teremos:</p><p>Resolvendo a integral utilizando a fórmula</p><p>Teremos</p><p>∫ 1</p><p>(4−5t)4</p><p>dt</p><p>u = 4 − 5t</p><p>du = −5dt</p><p>dt = − du</p><p>5</p><p>∫ 1</p><p>(4−5t)4</p><p>dt = ∫ 1</p><p>u4 (−</p><p>du</p><p>5 ) = − 1</p><p>5 ∫ u</p><p>−4du</p><p>= − 1</p><p>5 [</p><p>u−3</p><p>−3 ]+K = − 1</p><p>5 ⋅ − 1</p><p>3 u</p><p>−3 +K = 1</p><p>15u3 +K</p><p>= 1</p><p>15(4−5t)3</p><p>+K</p><p>∫ x2 e−x dx</p><p>u dv</p><p>u = x2 dv = e−xdx u dv</p><p>u = x2 → du = 2xdx</p><p>dv = e−x → v = ∫ e−xdx</p><p>u = −x du = −dx</p><p>v = ∫ e−xdx = ∫ eu ⋅ −du = − ∫ eudu = −eu = −e−x</p><p>∫ udv = uv− ∫ vdu.</p><p>∫ x2 e−x dx = x2 ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2xdx</p><p>= −x2e−x + ∫ 2xe−xdx</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>A integral que obtivemos,  , é mais simples que a integral original, mas ainda não é</p><p>imediata. Portanto, usamos a integração por partes mais uma vez, mas agora com   e</p><p>. Logo,</p><p>Aplicando novamente a fórmula na integral   teremos:</p><p>Solução da Questão 3</p><p>Temos que resolver a integral de�nida:</p><p>Primeiro vamos reescrever essa integral:</p><p>Observe que não é possível aplicar o método da mudança de variável, assim, vamos aplicar o</p><p>método da integração por partes. Como as duas funções são   uma delas será   e a outra  .</p><p>Assim teremos,</p><p>A integral da função   é resolvida utilizando o método da integração por partes em que</p><p>e  .</p><p>Resolvendo a integral inicial utilizando a fórmula</p><p>teremos</p><p>A solução de distintos problemas demanda a aplicação do cálculo de integrais, por isso, é</p><p>fundamental que você adquira um entendimento sólido das principais regras e técnicas de</p><p>integração. A Figura 1 serve como uma representação visual dessas regras.</p><p>∫ 2xe−xdx</p><p>u = 2x</p><p>dv = e−xdx</p><p>u = 2x → du = 2dx</p><p>dv = e−x → v = ∫ e−xdx = −e−x</p><p>∫ 2xe−xdx,</p><p>∫ x2 e−x dx = x2 ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2xdx</p><p>= −x2e−x + ∫ 2xe−xdx = −x2e−x + [2x ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2dx]</p><p>= −x2e−x − 2xe−x + 2 ∫ e−xdx</p><p>= −x2e−x − 2xe−x + 2[−e−x] +K</p><p>= −x2e−x − 2xe−x − 2e−x +K</p><p>∫ e</p><p>1 (ln (x))2dx</p><p>∫ e</p><p>1 (ln (x))2dx = ∫ e</p><p>1 [ln(x) ⋅ ln(x)]dx</p><p>ln (x), u dv</p><p>u = ln(x) → du = 1</p><p>x dx</p><p>dv = ln(x)dx → v = ∫ ln(x)dx = x ln (x) − x</p><p>ln (x)</p><p>u = ln (x) dv = 1dx</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>udv =  uv|ba − ∫ b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>∫</p><p>e</p><p>1 (ln(x))2dx = ∫</p><p>e</p><p>1 [ln(x) ⋅ ln(x)]dx</p><p>= [ln(x) ⋅ (x ln(x) − x)]e1 − ∫ e</p><p>1 (x ln(x) − x) 1</p><p>x</p><p>dx</p><p>= [x ln2(x) − x ln(x)]</p><p>e</p><p>1 − ∫</p><p>e</p><p>1 (ln(x) − 1) dx</p><p>= [x ln2(x) − x ln(x)]</p><p>e</p><p>1</p><p>− ∫ e</p><p>1 ln(x)dx+ ∫ e</p><p>1 1 dx</p><p>= [x ln2(x) − x ln(x)]</p><p>e</p><p>1 − [x ln(x) − x]e1 + [x]e1</p><p>= [(e ln2(e) − e ln(e))− (1 ln2(1) − 1 ln(1))]− [(e ln(e) − e) − (1 ln(1) − 1)] + (e− 1)</p><p>= [e ⋅ 1 − e ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0] − [e ⋅ 1 − e− 1 ⋅ 0 + 1] + e− 1</p><p>= e− e− 0 + 0 − e+ e+ 0 − 1 + e− 1 = e− 2 ≈ 0,72</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Figura 1 | Regras e técnicas de integração</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível</p><p>em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo:</p><p>Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São</p><p>Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book.</p><p>ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan. 2024.</p><p>,</p><p>Unidade 2</p><p>Integrais e suas Aplicações</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Aula 1</p><p>Cálculo de Áreas Sob e entre Curvas</p><p>Cálculo de áreas sob e entre curvas</p><p>Este conteúdo é um vídeo!</p><p>Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador</p><p>ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir</p><p>mesmo sem conexão à internet.</p><p>Dica para você</p><p>Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua</p><p>aprendizagem ainda mais completa.</p><p>Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula apresentaremos as ideias para calcular áreas</p><p>sob e entre curvas por meio de integrais. Serão expostos alguns conceitos importantes para aplicar</p><p>as integrais no cálculo de áreas e alguns exemplos. Fique atento às diferentes formas de curvas que</p><p>mostraremos, pois há algumas ideias que serão abordadas em cada tipo de curva.</p><p>Ponto de Partida</p><p>As integrais de�nidas têm uma variedade de aplicações em diversas áreas da matemática, ciência e</p><p>engenharia. Uma dessas aplicações consiste no cálculo de área, uma vez que a integral de�nida é</p><p>frequentemente usada para calcular áreas sob e entre curvas em grá�cos. Isso é particularmente útil</p><p>em Geometria, Física e Estatística. Já estudamos que podemos realizar um cálculo aproximado da</p><p>área por meio do método de Riemann, agora, aplicaremos o teorema fundamental do cálculo para</p><p>mensurar o valor de área abaixo e entre curvas, permitindo obter valores precisos com a aplicação</p><p>de um esforço muito menor do que o aplicado quando se usa o método de Riemann.</p><p>Para ilustrar como determinamos área por meio das integrais de�nidas, suponha que você deseja</p><p>calcular a área compreendida entre as funções</p><p>f(x) = 3x3 − x2 − 10x</p><p>g(x) = −x2 + 2x</p><p>Disciplina</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL II</p><p>Vamos Começar!</p><p>Podemos calcular com facilidade a área de formas planas já familiares, como triângulos, retângulos,</p><p>círculos e outras �guras geométricas conhecidas. No entanto, ao lidar com formas planas curvas,</p><p>distintas das habituais, o cálculo das áreas pode tornar-se complexo. Uma ferramenta valiosa para</p><p>quanti�car essas áreas são as integrais de�nidas, que permitem determinar as áreas sob curvas e</p><p>entre curvas. No caso de área abaixo de uma curva (veja a Figura 1), em que a área é delimitada com</p><p>uma curva e por retas, temos uma área cujo cálculo é mais complexo de ser realizado por meio de</p><p>métodos convencionais.</p><p>Figura 1 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x</p><p>Entretanto, as integrais de�nidas se destacam por sua utilidade ao determinar essas áreas,</p><p>fornecendo valores precisos para tais medidas. Por meio do uso da integral, a área S mencionada</p><p>anteriormente pode ser calculada da seguinte maneira:</p><p>Como a função é, em todos os pontos, positiva, teremos que S será um valor positivo. Veja agora a</p><p>função da Figura 2. A função assume valores negativos,</p>