Cálculo Diferencial e Integral III

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Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Unidade 1
Integrais múltiplas
Aula 1
Integral tripla
Introdução
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Nessa aula nós discutiremos sobre o cálculo de integrais
triplas em regiões paralelepipedais e regiões mais gerais. Para isso é necessário que você
relembre os conceitos relacionados ao cálculo de integrais de funções de uma variável real, visto
que para o cálculo de integrais triplas é necessário o cálculo de integrais iteradas. Além disso, é
importante que você relembre como determinar a região sobre a qual a integral será calculada,
conceito este visto no cálculo de integrais duplas. Ao estudarmos o conceito de integral tripla,
esperamos que você tenha compreensão de como utilizá-lo para descrever situações que
possam emergir no seu campo pro�ssional ou ainda em disciplinas futuras do seu curso.
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Estudar Cálculo Diferencial e Integral requer a prática de exercícios e uma rotina de estudos,
portanto, não deixe de realizar exercícios relacionados às integrais triplas
Integral tripla
Em estudos anteriores você já aprendeu sobre as integrais de funções de uma variável real e que
essas podem estar associadas a problemas que envolvem área sob e entre curvas. Além disso,
você também já estudou sobre as integrais de funções de duas variáveis reais e que essas
podem estar associadas a problemas que envolvem área de determinadas regiões no plano xy.
Agora, você irá aprender sobre as integrais triplas, isto é, integrais para funções de três variáveis
reais. 
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Figura 1 | Região sólida delimitada por uma caixa retangular. Fonte: Anton et al. (2014, p. 1039).
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Para calcularmos esse tipo de integral, começamos resolvendo a integral à direita, que é
resolvida em relação à variável z , assim mantemos x e y �xos. Posteriormente, integramos o
resultado em relação à variável y, assim mantemos x e z �xos. Por �m, integramos o resultado da
segunda integral em relação à variável x, obtendo assim o resultado do cálculo da integral tripla.
A Figura 2 ilustra a ordem a ser seguida para calcular uma integral tripla.
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Figura 2 | Passo a passo para se resolver uma integral tripla. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que a ordem de integração mostrada anteriormente não é única. Existem mais outras
cinco possíveis ordens de integração, conforme segue:
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Com bases nessas de�nições, nosso foco daqui para frente é explorar as propriedades
envolvendo as integrais triplas. 
Integral tripla – propriedades
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Anteriormente, vimos a de�nição de integrais triplas em regiões paralelepipedal e em regiões
mais gerais. Além disso, estudamos que o método prático para calcular uma integral tripla
consiste em expressá-la como uma integral iterada, possibilitando assim o cálculo de integrais
sucessivas. Para isso, você pode utilizar todas as técnicas relacionadas a integrais de�nidas de
funções de uma variável real. A seguir, apresentamos as principais regras e propriedades de
integração. Fique atento a elas, pois você irá usá-las durante toda a nossa aula.
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Além dessas regras, você também poderá utilizar técnicas avançadas de integração, como, por
exemplo, o método de integração por partes e o método da mudança de variável. Além disso,
algumas das propriedades vistas anteriormente podem ser estendidas para as integrais triplas,
conforme segue.
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Para isso, temos que primeiro montar a integral iterada. Nesse momento é importante que você
�que atento às variações de cada uma das variáveis e que nesse caso existem seis
possibilidades de ordem de integração. Lembre-se que, independentemente da ordem que você
escolher, o resultado será o mesmo. Considerando nossa região G , temos as seguintes
possibilidades de ordem de integração:
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Aqui iremos resolver a primeira possibilidade e você pode resolver as demais possibilidades em
casa como uma forma de estudo. Lembre-se que para resolver essa integral resolvemos as
integrais da direita para a esquerda, isto é, de dentro para fora. Não se esqueça também que,
quando estamos integrando em relação a uma determinada variável, as demais são mantidas
�xas, ou seja, as tratamos como constantes. Logo,
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Observe que o cálculo de uma integral tripla calculada sobre uma caixa retangular pode ser
realizado por meio de seis possibilidades, todas fornecendo o mesmo resultado. Porém, quando
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calculamos uma integral tripla sobre regiões mais gerais, não podemos utilizar essa propriedade;
assim, não temos seis diferentes possibilidades. Para o cálculo de integrais triplas em regiões
mais gerais, você deve se atentar às funções que delimitam as variáveis seja no espaço, seja na
projeção no plano. 
Figura 3 | Região geral E e sua projeção no plano xy. Fonte: Stewart (2017, p. 923).
Para montarmos a integral, observe que a variação de depende de duas funções de x e y, assim,
essa deve ser a primeira integral a ser resolvida. Quando analisamos a projeção no plano xy ,
temos que y depende de duas funções de x , assim a segunda integral a ser resolvida deve ser
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em relação à variável y. Por �m, resolvemos a integral em relação à variável x, visto que sua
variação é um intervalo de números reais. Assim, temos uma única possiblidade de integração:
Agora, que você já estudou as de�nições e algumas propriedades envolvendo as integrais triplas,
daqui para frente, enfocaremos o cálculo de integrais em regiões mais gerais e paralelepipedal.
Para isso, resolveremos uma série de exemplos.
Cálculo de integrais triplas
Chegamos à última parte de nossa aula, e agora iremos utilizar os conceitos vistos
anteriormente para resolvermos alguns exemplos de integrais triplas. Antes de começarmos a
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resolução, vamos relembrar quais passos você deve seguir para calcular uma integral tripla sobre
uma caixa retangular.
1º passo: Identi�que a região de integração, isto é, as variações de ,e .
2º passo: Escolha uma das seis ordens possíveis de integração.
3º passo: Resolva a integral à direita, isto é, a integral de dentro em relação à variável dada.
4º passo: Integre o resultado obtido no terceiro passo em relação à segunda variável.
5º passo: Integre o resultado obtido no quarto passo em relação à variável restante.
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Vamos resolver a primeira possibilidade.
3º passo: Considerando a primeira possibilidade, temos que integrar em relação à variável , para
isso consideramos  e  constantes. Logo,
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4° passo: Agora temos que integrar o resultado encontrado no passo 3 em relação à variável y no
intervalo [–1 , 0]. .
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5° passo: integramos o resultado da integral resolvida no passo anterior em relação à variável .
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O exemplo apresentado mostra o cálculo de uma integral tripla sobre uma região paralelepipedal.
Agora resolveremos um exemplo do cálculo de integrais triplas em regiões mais gerais. O
método para calcular as integrais é semelhante ao visto anteriormente, o que difere é a
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determinação da região de integração, visto que a região D é delimitada por duas funções. Os
passos elencados a seguir podem ser utilizados para a determinação dos limites de integração.
Passo 1: Analisar a representação da região D (tridimensional).
Passo 2: Analisar a representaçãoentre esses dois pontos.
Note que esse problema pode ser rapidamente modelado usando o conceito de derivada. Como
queremos a função da posição, mas foi informado o valor da aceleração, partimos do princípio
de que devemos calcular primeiro a função da velocidade em relação ao tempo. Assim, teremos:
v  =   lim
Δt → 0
 
x (t + Δt) − x (t)
Δt
a  =   dvdt   =  60                                                                            (1)
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Dessa forma, fazemos
Agora queremos encontrar função da posição em relação ao tempo, portanto, procuramos o
valor para x(t).
Lembrando que 
fazemos
As equações (1) e (2) são equações diferenciais, pois são compostas pela derivada de uma
função. Podemos também escrever a equação (2) da forma:
E o que encontramos ao resolver a equação (2)?
Encontramos a função da posição em relação ao tempo, para o carro que se locomove do ponto
A ao ponto B. Portanto, conhecendo a equação da velocidade e do tempo, podemos determinar
em que ponto entre A e B se encontra esse automóvel.
Vamos analisar o grá�co dessas funções a seguir.
dv
dt   =  60
∫ dv  =   ∫ 60 dt
v(t)  +  C1  =  60  +  C2
v(t)  =  60t  +  C3
v  =   dx
dt
dx
dt   =  60t  +  C3                                                                         (2)
∫ dx  =   ∫ (60t  +  C3) dt
x(t)  +  C1  =  30t2  +  C3t  +  C4
x(t)  =  30t2  +  C3t  +  C5
x′(t)  =  60t  +  C3                                                                        (3)
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Figura 2 | Grá�co das funções de aceleração, velocidade e posição. - Fonte: elaborada pela autora.
Note que usamos os conceitos de derivadas e integrais de funções de uma variável. Além disso
resolver 
signi�ca encontrar a função de  tal que a derivada dessa função em relação ao tempo t é igual a
60 vezes t mais uma constante.
A solução de uma equação diferencial será sempre uma função ou uma família de funções.
Os autores Zill e Cullen são referência na área de equações diferenciais. Por esses autores,
temos a seguinte de�nição: “Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou
mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de
equação diferencial” (ZIL; CULLEN, 2001, p. 2).
E pode ser representada na forma
São exemplos de equações diferenciais:
dx
dt   =  60t  +  C3
F  (x,  y(x),  y′(x),  y′′(x), . . . , y(n)(x))                                            (4)
∙ y′  =   sinx
∙ 2y′′  +  y′  +  4x  =  0
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Note que em todas as equações temos uma ou mais derivadas.
Classi�cação de EDOs
Modelar um fenômeno físico usando equações diferenciais é uma das maneiras matemáticas de
se obter soluções para esse fenômeno.
Contudo, para encontrar essa solução, ou seja, resolver essa equação diferencial, inicialmente é
necessário classi�cá-la, pois existem técnicas de resolução que se adequam melhor a diferentes
casos (tipos) de equações diferenciais.
Dessa forma, antes de falarmos em técnicas de resolução, traremos a classi�cação das
equações diferenciais, pois cada técnica está diretamente relacionada a quantidade de variáveis,
ordem, funções incógnitas e estrutura da equação.
Classi�cação
Para classi�car uma equação diferencial (ED), é necessário avaliar algumas características. São
elas:
1. Analisar se a função incógnita possui uma ou mais variáveis independentes.
∙ ex y′′  =  (x2  +  2) y2
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2. Analisar o número de funções incógnitas.
3. Analisar a estrutura da equação.
4. Procurar a derivada de maior ordem para classi�car a equação quanto a sua ordem.
Dessa forma, podemos ter equações diferenciais ordinárias ou parciais que serão determinadas
justamente pela quantidade de variáveis independentes da função incógnita.
Quando a função incógnita é uma função com uma variável independente, esta equação
diferencial tem a classi�cação de ordinária (EDO).
Se isso não se veri�ca, então temos uma equação diferencial parcial (EDP).
São exemplos de equações diferenciais de acordo com o número de variáveis independentes da
função incógnita:
Quanto ao número de incógnitas, podemos ter problemas que envolvem apenas uma função
incógnita e, neste caso, podemos trabalhar com EDOs ou EDPs, ou podemos ter um problema
que envolve mais de uma função incógnita. Nesta última situação teremos os chamados
sistemas de equações diferenciais.
Todos os exemplos que trouxemos até o momento são problemas que envolvem apenas uma
função incógnita.
O seguinte exemplo traz duas funções incógnitas:
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Com relação à ordem, temos que a ordem de uma equação diferencial é determinada pela
derivada de mais alta ordem. Assim, são exemplos de equações classi�cadas de acordo com a
ordem:
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Nas próximas aulas trabalharemos com EDOs de primeira e segunda ordem.
Por �m, vamos classi�car em relação à estrutura.
As equações diferenciais seguem a seguinte classi�cação:
Lineares: quando a incógnita e suas derivadas aparecem de forma linear na equação.
Não lineares: Caso contrário.
Vejamos um exemplo de cada um desses casos.
Exemplo 1
Uma equação diferencial linear de ordem n pode ser escrita na forma:
Exemplo 2
(Equação não linear)
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pois apresenta o produto de y' por y''.
Vejamos mais alguns exemplos.
Classi�camos uma equação diferencial como de primeira ordem quando essa apresenta apenas
a primeira derivada.
É comum encontrarmos as equações diferenciais de primeira ordem escritas em função da
variável x e, portanto, na forma 
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isto é, uma equação do tipo
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A ideia principal a ser considerada ao resolvermos uma equação diferencial de primeira ordem é
a de que precisamos determinar as curvas cujas retas tangentes no ponto (x0, y0) têm inclinação 
Para compreender melhor esse conceito, vamos exempli�car.
Exemplo 3
A EDO
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forma um campo de direções em 2. Cada curva 
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com C uma constante arbitrária, possui uma reta tangente no ponto (x, y), com inclinação m = -2y
+ x2 - 1.
A �gura a seguir mostra o campo de direções (campo de vetores) e a solução para a EDO 
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Figura 3 | Campo de direções e solução para. - Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
Os campos de direções são também uma ferramenta importante para avaliar o comportamento
de soluções de equações diferenciais, como podemos ver na imagem acima. Veremos a
de�nição e como construí-lo na nossa próxima aula. 
Problemas de valor inicial e de contorno
Quando resolvemos uma equação diferencial, em geral encontramos uma família de curvas.
Para limitar a solução a uma determinada curva, precisamos impor condições iniciais ou de
contorno ao problema. Essas duas situações formam o que chamamos de problema de valor
inicial (PVI) e problema de valor de contorno (PVC).
Ambos têm em comum a existência de informações adicionais, portanto, informações que vão
além do conhecimento da equação diferencial.
Mas, o que são essas informações a mais e o que faz com que alguns problemas tenham
condição inicial e outros tenham condição de contorno? Para entendê-las, vamos de�nir
inicialmente um PVI.
De�nição 1
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Sejam y0 e y1 constantes arbitrárias. Considere uma equação diferencial de segunda ordem
sujeita a determinadas condições:
O problema apresentado em (6) é chamado de problema de valor inicial (PVI).
Portanto, para que um problema seja um PVI, precisamos conhecer as condições iniciais ou
valores especí�cos para 
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O grá�co de uma solução (6) será uma função que satisfaça essa equação e passe por (x0, y0)
com inclinaçãoinicial igual a y0.
No exemplo a seguir, analisaremos uma EDO de segunda ordem homogênea com coe�cientes
constantes, conhecendo as condições iniciais dessa equação.
Exemplo 4
A função 
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é solução para a equação diferencial homogênea 
Se considerarmos as seguintes condições: 
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iremos obter a solução para o PVI:
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é a solução da equação diferencial, sua derivada é 
Logo, a partir das condições iniciais temos
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Portanto, a solução do PVI é a função 
Como percebemos, conhecer a condição inicial e, portanto, ter um problema de valor inicial,
permite que encontremos a solução da EDO e suas respectivas constantes para modelos com
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suas respectivas particularidades.
Um problema de valor de contorno (PVC) também busca a solução de uma equação diferencial
dada algumas condições. A diferença entre as condições de um PVI e um PVC é que em um PVI
a função e suas derivadas são avaliadas em um mesmo ponto, enquanto em um PVC a função e
suas derivadas são avaliadas em pontos distintos (SILVA, 2005).
Por exemplo, seja a EDO de segunda ordem descrita a seguir
Com relação à quantidade de soluções de um problema de valor de contorno, temos que este
pode apresentar várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução. Vamos observar o
seguinte exemplo.
Exemplo 5
Sejam c1 e c2 constantes. A função 
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é solução geral da equação diferencial . Vamos obter a solução dos seguintes PVC
Solução:
(a) A partir da solução geral, temos
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Do sistema de equações acima, concluímos que c1 = 0 e que c2 pode ser qualquer valor, pois sin
2π = 0. Portanto, o PVC dado admite in�nitas soluções da forma y = c2 sin 2x.
(b) A partir da solução geral temos
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Do sistema de equações acima, concluímos que c1 = c2 = 0. Portanto, o PVC dado admite uma
única solução, que é y = 0.
(c) A partir da solução geral temos
Do sistema de equações acima, concluímos que c1 = 0. Porém, não é possível especi�car o valor
de c2, pois na expressão c2 sin 2π = 1, temos que . Portanto, o PVC dado não possui solução.
Note que para cada contorno obtivemos soluções diferentes.
Nessa seção vimos os problemas de valor inicial e de contorno. Estudamos que ambos os
problemas objetivam resolver uma equação diferencial mediante algumas condições, porém,
eles se diferenciam quanto às condições fornecidas e às soluções obtidas. Enquanto um PVI
fornece condições sobre um mesmo ponto e fornece uma única solução, um PVC fornece
condições sobre pontos distintos podendo, assim, fornecer nenhuma, uma ou várias soluções. 
Videoaula: De�nição de EDOs
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No vídeo dessa aula traremos a de�nição e a classi�cação das equações diferenciais.
Falaremos também dos problemas de valor inicial e de contorno e a diferença entre ambos.
O foco dessa aula é trazer a você, estudante, uma introdução dessa grande área da matemática
chamada de equações diferenciais. Nas próximas aulas falaremos de métodos de resolução,
mas nesta queremos compreender o quão longe podemos ir modelando fenômenos da natureza
a partir de equações diferenciais.
Saiba mais
Existem algumas calculadoras online que auxiliam a resolver equações diferenciais,
principalmente as ordinárias. Caso tenha curiosidade em manipular essas ferramentas,
sugerimos o endereço eletrônico Symbolab, que contempla diversas calculadoras de cálculo e
outras áreas das exatas.
https://pt.symbolab.com/solver
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Referências
BOYCE, W. E; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valor de
contorno. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
FERREIRA, J. A. Equações diferenciais ordinárias: uma abordagem computacional utilizando o
software wxMaxima. Trabalho de conclusão de curso. Rio Grande do Sul: FURG, 2017. Disponível
em:
https://imef.furg.br/images/stories/Monogra�as/Matematica_aplicada/2017/Juciara_Ferreira.pd
f. Acesso em: 16 jan. 2023.
SILVA, P. N. Equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeiro: UFRJ, 2005. Disponível em:
https://ravuthleang12.�les.wordpress.com/2013/08/calculo_diferencial_e_integral_iii_-
_equacoes_diferenciais_ordinarias_-_mauricio_a1_vilches_e_maria_l_correa.pdf. Acesso em: 16
jan. 2023.
SODRÉ, U. Equações diferenciais ordinárias. Notas de aula. Londrina: UEL, 2003. Disponível em:
https://docplayer.com.br/12336467-Equacoes-diferenciais-ordinarias.html. Acesso em: 30 mar.
2023.
SOTOMAYOR TELLO, J. M. Lições de equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeiro: IMPA,
1979. Disponível em: https://kupdf.net/download/li-ccedil-otilde-es-de-equa-ccedil-otilde-es-
diferenciais-ordin-aacute-rias-sotomayor_59134bccdc0d607740959e81_pdf. Acesso em: 30 mar.
2023.
STEWART, J. Cálculo. v. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
https://imef.furg.br/images/stories/Monografias/Matematica_aplicada/2017/Juciara_Ferreira.pdf
https://imef.furg.br/images/stories/Monografias/Matematica_aplicada/2017/Juciara_Ferreira.pdf
https://ravuthleang12.files.wordpress.com/2013/08/calculo_diferencial_e_integral_iii_-_equacoes_diferenciais_ordinarias_-_mauricio_a1_vilches_e_maria_l_correa.pdf
https://ravuthleang12.files.wordpress.com/2013/08/calculo_diferencial_e_integral_iii_-_equacoes_diferenciais_ordinarias_-_mauricio_a1_vilches_e_maria_l_correa.pdf
https://docplayer.com.br/12336467-Equacoes-diferenciais-ordinarias.html
https://kupdf.net/download/li-ccedil-otilde-es-de-equa-ccedil-otilde-es-diferenciais-ordin-aacute-rias-sotomayor_59134bccdc0d607740959e81_pdf
https://kupdf.net/download/li-ccedil-otilde-es-de-equa-ccedil-otilde-es-diferenciais-ordin-aacute-rias-sotomayor_59134bccdc0d607740959e81_pdf
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Aula 2
Família de soluções e campos de direções
Introdução
Diversas áreas do conhecimento utilizam as equações diferenciais para responder suas
questões físicas. As equações diferenciais estão na base das disciplinas de Física, Química e
Engenharias, como é normal de se esperar, pois todas são fortemente embasadas pela
modelagem matemática.
Mas também estão nas questões relacionadas à Biologia, Economia, Administração e em muitas
outras situações da área biológica e humana.
Assim, nessa aula continuamos a estudar as equações diferenciais. Veremos como de�nir uma
solução nesse campo de estudo e como analisar o comportamento de soluções antes mesmo
de obtê-las. Parece impossível? Vamos entender.
Seja bem-vindo ao estudo das equações diferenciais. 
Solução particular e família de soluções
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Considere uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem  dada pela equação (1) a seguir
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Essa equação também pode ser representada pela notação de Leibniz, da forma:
A partir da equação (2), de�nimos o conceito de solução.
De�nição 1
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Seja o intervalo dado por I e seja a função de�nida nesse intervalo, com pelo menos n
derivadas contínuas em I. Fazendo a substituição dessas n derivadas em uma EDO de ordem n,
teremos a redução da equação a uma identidade. Essa relação será denominada de solução da
equação diferencial no intervalo I (ZILL, 2016, p. 4).
Portanto, uma solução de uma EDO é uma função que satisfaz a identidade da equação.
O intervalo I será chamado de domínioda solução e pode ser classi�cado como aberto (a, b),
fechado [a, b], ilimitado (a, ∞), limitado por [a, ∞) ou por (-∞, a].
Em termos de equação, podemos escrever que (x) é uma solução da EDO em (2) quando:
Dentre as formas de apresentação de uma solução, temos a chamada solução explícita.
De�nição 2
Uma solução explícita é aquela que pode ser escrita na forma y = f(x), ou seja, é a solução onde a
variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e das constantes
(ZILL e CULLEN, 2001, p. 6).
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1
Seja a EDO de primeira ordem dada por
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Temos que uma solução explícita para essa EDO é dada por
Além da solução explícita, temos a chamada solução implícita de uma equação diferencial.
De�nição 3
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Uma solução implícita para uma EDO do tipo (2), no intervalo I, é expressa através de uma
relação G (x1, ..., xn y) quando existe pelo menos uma função que satisfaça a relação, bem
como a equação diferencial em I (ZILL CULLEN, 2001, p. 6).
Vejamos um exemplo de funções que tenham soluções implícitas.
Exemplo 2
Vamos usar uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para exempli�car. Seja
Para obtermos a solução explícita, é necessário isolar na solução e nesse caso o resultado será
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Substituindo (4), (5) em (3), percebemos que 
satisfaz a identidade. Contudo, a obtenção dessa solução de forma explícita não é algo simples
e muitas vezes os métodos analíticos que nos levam a solução de EDs fornecem a solução
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implícita do problema.
Vejamos gra�camente o comportamento da solução implícita e da solução explícita da EDO (3)
para c = 2,3
Figura 1 | Solução implícita. - Fonte: elaborada pela autora.
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Figura 2 | Solução explícita. - Fonte: elaborada pela autora.
Note que, como  é uma constante, a variação desse parâmetro nos levará a novas soluções. O
que isso signi�ca?
Signi�ca que quando encontramos uma solução particular para uma EDO, esta pertence a uma
família de soluções. Assim, podemos de�nir:
De�nição 4
A solução geral para uma EDO de ordem n, conforme apresentada na equação (1), é uma função
que possui n constantes  c1, c2, ..., cn, chamadas de parâmetros (ZILL; CULLEN, 2001, p. 10).
Quando esses parâmetros podem ser determinados, seja por conhecermos uma condição inicial
ou de contorno, temos as chamadas soluções particulares.
Note que a solução geral, ou seja, a solução completa da EDO de ordem n é uma família de n-
parâmetros de soluções (na forma explícita ou implícita) que contém todas as soluções
possíveis num intervalo I.
Campos de direções para EDOs
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Agora vamos direcionar nosso trabalho para as EDOs de primeira ordem.
Relembramos essa de�nição a seguir:
De�nição 5
Classi�camos uma equação diferencial como de primeira ordem quando essa apresenta apenas
a primeira derivada.
É comum encontrarmos as equações diferenciais de primeira ordem escritas em função da
variável x.
De forma geral, podemos escrever uma EDO de primeira ordem conforme a equação (6) a seguir:
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A ideia principal a ser considerada ao resolvermos uma equação diferencial de primeira ordem, é
a de que precisamos determinar as curvas cujas retas tangentes no ponto (x0, y0) têm inclinação
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Para compreender melhor esse conceito, vamos exempli�car.
Exemplo 3
A EDO 
tem solução geral dada por 
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Cada curva 
com c uma constante arbitrária, possui uma reta tangente no ponto (x, y), com inclinação m = y -
x.
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Ao construirmos o grá�co com todas essas retas para cada ponto (x, y), teremos o que é
chamado de direções (ou campo de inclinações ou campo de vetores). A F�gura abaixo, mostra
o campo de direções e a solução para a EDO
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Figura 3 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
Note que a solução da EDO se encaixa perfeitamente no campo de direções. Ou seja, através do
campo de inclinações (direções) é possível compreender o comportamento da solução de uma
EDO.
Vamos supor a seguinte EDO de primeira ordem:
Nós não sabemos a solução para ela, mas podemos supor alguns pontos no plano cartesiano
por onde ela passa, de forma que consigamos ter uma ideia da inclinação da reta tangente em
cada um desses pontos.
Dessa forma, teremos uma ideia do comportamento dessa função, ou seja, de como ela se
parece.
O campo de direções da equação (7) pode ser visto na Figura 4
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Figura 4 | Campo de direções da equação diferencial. - Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, é possível supor o comportamento da solução para a EDO 
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Observe a solução apresentada na �gura abaixo.
Figura 5 | Campo de direções e família de soluções. - Fonte: elaborada pela autora.
Isso não é uma coincidência. Como discutimos anteriormente, o campo de direções nos mostra
o comportamento da equação diferencial (ED) e, mais detalhadamente, o comportamento das
soluções da ED, que serão soluções particulares quando conhecemos condições que permitam
encontrar o valor de c.
A seguir, veremos a utilização dos campos de direções como forma complementar de
apresentação de uma solução de equações diferenciais ordinárias. 
Representação grá�ca das soluções e dos campos de direções
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De acordo com Silva (2005):
“Do ponto de vista geométrico, as curvas integrais (soluções) de uma EDO do tipo
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são tais que, em cada ponto (x, y) a reta tangente à curva integral passando pelo ponto tem
coe�ciente angular m = f (x, y)” (SILVA, 2005, p. 9).
Com isso, podemos dizer que, ao traçarmos um pequeno segmento de reta (ou vetor unitário) em
cada ponto (x, y) com coe�ciente angular f (x, y), teremos um mapa de comportamento para as
curvas integrais. A esse conjunto de segmentos damos o nome de campo de direções ou campo
de inclinações da EDO, como vimos na seção anterior.
A EDO 
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forma um campo de direções em 2. Cada curva 
com c uma constante arbitrária, tem uma reta tangente no ponto (x, y), com inclinação 
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A �gura a seguir mostra o campo de direções (campo de inclinações) e a solução 
Figura 6 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
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Como comentamos na seção anterior, compreender esse comportamento nos auxilia na
resolução das EDO. Assim, veremos como construir os campos de direções tendo apenas a EDO
como referência, ou seja, ainda sem possuirmos ferramentas e técnicas que permitam calcular
as soluções para cada EDO.
Usaremos para isso o Geogebra, que é um software de geometria dinâmica que traz, dentre
muitas das suas funções intrínsecas, a função “CampoDeDireções”.
Para usá-la precisamos apenas conhecer a EDO. Assim, seja uma EDO de primeira ordem dada
por
Ou seja
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Para visualizar de maneira interativa nossa construção, você pode acessar o endereço eletrônico
GeoGebra.
Figura 7 | Campo de direções. - Fonte: elaborada pela autora.
https://www.geogebra.org/graphing/fj8bkcug
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Observe que conseguimos perceber um padrão na inclinação das retas, principalmente do
primeiro para o segundo quadrante do plano cartesiano.
Figura 8 | Padrão do Campo de direções. - Fonte: elaborada pela autora.
Sem conhecimento da solução, apenas tendo a EDO, é possível supor curvas que se ajustem a
esse padrão.
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Figura 9 | Curva ajustada ao Campo de direções. - Fonte: elaborada pela autora.
Essa curva que ajustamos, que poderia ser construída de maneira intuitiva, nada mais é do que
uma solução particular para a EDO dada por 
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quando c = -1,1.
Quando c = 1, teremos uma outra curva que também se ajusta ao campo de direções construído
e pode ser vista na �gura a seguir.
Figura 10 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
Na Figura 10, conseguimos ver os comandos usados na construção dessa imagem no Geogebra.
Observe que, para construir o campo de direções, inicialmente escrevemos a EDO 
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e na sequência chamamos o comando especí�co para a construção do campo de direções que
foi nomeada como “cdd1”.
Como conhecemos a solução, também a deixamos descrita através da função g (x), mas como
já foi comentado, ela não seria necessária para já conseguirmos visualizar o comportamento de
famílias de soluções para essa EDO.
Na sequência, apresentamos mais duas EDOs com seus respectivos campos de direções e
imagens dos grá�cos representativos com o uso do Geogebra.
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Figura 11 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
Figura 12 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
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Sugiro que você acesse esses endereços eletrônicos e manipule através do controle deslizante
para c em cada solução, percebendo assim a importância dos campos de direções para a
compreensão dos resultados de uma EDO. 
Videoaula: Família de soluções e campos de direções
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No vídeo dessa aula trabalharemos com o conceito de solução de uma EDO e entenderemos por
que em alguns casos temos as chamadas soluções gerais e em outros temos uma solução
particular.
Trabalharemos também com os campos de direções, que permitem que entendamos o
comportamento de uma equação diferencial sem que tenhamos para isso a sua solução. Para
obtermos esse resultado grá�co, traremos o software de geometria dinâmica Geogebra, contudo,
outras ferramentas computacionais também podem ser usadas com a mesma �nalidade. 
Saiba mais
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Podemos visualizar os campos de direções (campo de vetores ou de inclinações) utilizando
softwares como o GeoGebra, Maple©, Matlab®, dentre outros softwares de geometria dinâmica
ou de matemática computacional. Também podem ser utilizadas linguagens de programação,
como C++, PythonTM, Scilab, GnuOctave© etc. O GeoGebra é um software que pode ser usado
tanto online como off-line e uma de suas funcionalidades é a plotagem de campos de direções.
O artigo Aplicações para o ensino de equações diferenciais, escrito por Sonia Barbosa Camargo
Igliori e Marcio Vieira Almeida, traz, além dessa funcionalidade do GeoGebra, outras ideias de
aplicação do software para o estudo de equações diferenciais.
Acesse um exemplo de projeto no GeoGebra, com a representação de grá�cos com campos de
direções e soluções de EDOs.
Referências
https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/1982-5153.2017v10n1p257
https://www.geogebra.org/m/vdskw9ht
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FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. Equações diferenciais aplicadas. IMPA, 1997.
IGLIORI, S. B. C.; ALMEIDA, M. V. Aplicações para o ensino de equações diferenciais. Alexandria,
v. 10, n. 1, 2017. Disponível em:
https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/1982-5153.2017v10n1p257. Acesso
em: 23 jan. 2023.
SILVA, P. N. Equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeira: IME-UERJ, 2005.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. v. 1.
Aula 3
EDOs de 1ª ordem
Introdução
https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/1982-5153.2017v10n1p257
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Vimos nas aulas anteriores que as equações diferenciais podem ser aplicadas na resolução de
fenômenos da natureza. Um exemplo prático e simples dessa aplicação é a relação entre a taxa
de crescimento de bactérias e a quantidade �nal obtida após um determinado tempo. Ao
falarmos de bactérias, podemos generalizar essa teoria para populações como um todo,
inclusive para populações de seres humanos.
Mas se modelar esses problemas usando equações diferenciais é uma certeza, como resolvê-
los? Como obter essas soluções e mais, como veri�car se as soluções encontradas representam
realmente o problema físico?  
Vamos responder a algumas dessas perguntas nessa aula.
Seja bem-vindo ao estudo das equações diferenciais. 
Equações diferenciais de 1ª ordem
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Talvez o método mais simples a ser aplicado para resolver uma EDO de 1ª ordem seja o método
da separação de variáveis que comentaremos na sequência.
A de�nição para o Método da Separação de variáveis traz:
De�nição 1
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma:
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é chamada de equação separável.
Essa nomenclatura é dada, pois, como podemos observar na equação (2), a expressão do lado
direito pode ser organizada como um produto de duas funções, sendo M (x) dependente apenas
da variável y, e a outra, N (y), dependente apenas da variável y.
Assim, para aplicarmos o método da separação de variáveis, inicialmente podemos identi�car se
a EDO pode ser escrita como em (1) e, na sequência, precisamos escrevê-la na forma a seguir:
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Conhecendo a equação (2), é fácil visualizar que basta integrar os dois lados da igualdade para
obter a solução geral para a EDO desejada.
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Observe o exemplo a seguir, onde resolveremos uma EDO pelo método da separação de
variáveis.
Exemplo 1
Determine a solução geral da equação diferencial
Solução
Vamos resolver essa equação através do método das variáveis separáveis, portanto, precisamos
manipular essa equação algebricamente até que tenhamos M (x) dx e N (y) dy. Assim fazendo
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podemos escrever
Portanto:
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A partir dessa equação, conseguimos identi�car as funções
Utilizando a equação (3), integrando M(x) e N(y), temos:
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Logo
que é igual a
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Logo, a solução para a equação diferencial 
Ao analisarmos o grá�co da solução em relação aos campos de direções, encontramos:
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Figura 1 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
Mas e quando não conseguimos separar as variáveis?
Veremos a seguir mais alguns métodos.
Seja a EDO dada por 
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Note que essa EDO não pode ser separada em relação as variáveis x e y e, portanto, não
conseguimos aplicar de forma imediata o método das variáveis separáveis.
Assim, vamos tentar classi�cá-la de outra maneira. Para isso usaremos a de�nição de função
homogênea a seguir
De�nição 2
Quando podemos escrever
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dizemos que f (x, y) é homogênea com grau de homogeneidade n
Com essa de�nição, conseguimos trazer o conceito de equação diferencial homogênea. Assim
temos:
De�nição 3
Dizemos que uma equação
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é homogênea quando M(x, y) e N(x, y) são funções homogêneas.
Utilizando a de�nição de função homogênea, podemos dizer que M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é
homogênea quando 
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Vamos veri�car no exemplo a seguir, se a equação apresentada no início dessa seção, que não
era separável, é homogênea.
Exemplo 2
Seja 
podemos escrever
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Logo, temos que
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Portanto
é uma função homogênea de ordem 1 e grau 2.
Para
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fazemos:
Portanto, 
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é uma função homogênea de ordem 1 e grau 2.
Assim, temos que a equação diferencial ordinária dada por 
é homogênea.
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Para resolver uma equação diferencial do tipo (4), precisamos utilizar substituição algébrica.
Inicialmente faz-se uma mudança de variável da seguinte forma: x = uy ou y = tx. Então, se y = tx,
temos que:
Substituindo a equação (5) em (4), tem-se:
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Se a função homogênea for de grau , pode-se escrever:
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Portanto,
Assim, através de manipulações algébricas, conseguimos transformar uma equação diferencial
homogênea em uma equação diferencial separável. Com essa manipulação, recaímos na
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utilização do método da separação de variáveis, trabalhado anteriormente.
O exemplo a seguir completa a nossa análise da EDO 
Exemplo 3
Resolva a equação diferencial 
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Solução:
O primeiro passo é veri�car se estamos trabalhando com funções homogêneas. Fizemos essa
análise no Exemplo 2.
O segundo passo é realizar a substituição de variáveis da forma: 
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O terceiro passo é realizar a separação de variáveis:
Resolvendo a equação pelo método da separação de variáveis, obtemos:
Integrando
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Resolvendo 
por substituição de variáveis, obteremos. 
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Logo,
Voltando à equação de variáveis separáveis 
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e resolvendo-a:
Voltando a y.
Mas, sabemos que y = tx, ou seja, 
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As raízes da equação 
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são a solução da EDO homogênea 
Observe o resultado no grá�co a seguir.
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Figura 2 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
Note que as soluções vão se ajustando aos campos de direções para qualquer c informado.
Equações diferenciais exatas
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E se a EDO não pode ser resolvida pelo método das variáveis separáveis e não é homogênea?
Como devemos proceder?
Veremos mais um método a seguir, que auxiliará na resolução de EDOs que são ditas exatas.
Vamos entender.
Antes de de�nirmos o que é uma equação diferencial exata, vamos deixar a seguinte a�rmação e
explicaremos esse contexto ao longo da seção:
“Toda EDO homogênea é exata, mas nem toda EDO exata é homogênea”.
Com a a�rmação acima, de�nimos:
De�nição 4
Temos uma equação diferencial exata quando, ao assumir M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, o seu
primeiro membro é a diferencial total de alguma função U. Isso nos mostra que existe uma
função U(x, y) tal que dU = Mdx + Ndy.
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Observe que se dU = Mdx + Ndy, temos que:
Além disso, dU = Mdx + Ndy = 0, assim U = C.
Mas como identi�car uma equação exata?
Teorema 1
(Critério para Diferencial Exata (ZILL, 2016, p.61)
Sejam M(x, y) e N(x, y) contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma
região R de�nida por aIII
Integrando 
em relação à , obtemos:
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Logo, a solução geral será 
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temos que para a condição inicial adotada, tem-se:
c = 0
Assim, o PVI tem solução particular igual a
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Observe a seguir o grá�co com a campo de direções e a solução para o PVI
Figura 3 | Campo de direções e solução. - Fonte: elaborada pela autora.
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Com a técnica do fator integrante, ampliamos nossas ferramentas de resolução de equações
diferenciais ordinárias de primeira ordem.
Um fator integrante sempre pode ser calculado para uma equação diferencial linear.
De acordo com Zill e Cullen (2001), uma EDO linear pode ser de�nida da seguinte maneira:
De�nição 5
A forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n é dada por:
(Zill; Cullen, 2001, p. 68).
Portanto, a linearidade depende da veri�cação de todos os coe�cientes an(x), que precisam ser
funções somente de x. Neste caso, y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência.
Para caracterizar uma equação de primeira ordem, teremos e podemos escrever:
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Fazendo a divisão desta por a1(x), obtemos:
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Procuramos uma solução para a equação acima em um intervalo no qual as funções p(x) e q(x)
são contínuas. Dessa forma, podemos reescrever na forma (Zill; Cullen, 2001, p. 69):
Vimos através do fator integrante que, para equações lineares, sempre é possível encontrar μ(x).
Sendo assim, escrevermos:
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que é uma equação diferencial exata, logo:
Esse cálculo nos leva a concluir que μ(x) é um fator de integração para a equação linear.
Assim, segue o Teorema:
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Teorema 3
A equação diferencial linear de primeira ordem
admite um fator integrante
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e a solução geral é 
Resumindo:
1. Calcule o fator integrante.
2. Multiplique a equação pelo fator integrante.
3. Integre para achar a solução.
Portanto, temos com o fator integrante as técnicas necessárias para resolver equações
diferenciais lineares. 
Videoaula: EDOs de 1ª ordem
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O campo da Matemática que abrange as equações diferenciais é amplo e riquíssimo, não só em
suas teorias, mas nas possibilidades de aplicações. No vídeo dessa aula veremos alguns
métodos para encontrarmos a solução de EDOs de  ordem, sendo o método do fator integrante
uma ótima ferramenta para essa �nalidade.
Essa é só a pontinha do iceberg, pois, além de ferramentas para solução de equações analíticas,
precisamos lembrar que existe um campo inteiro de métodos numéricos possíveis de resolução
computacional. Venha comigo.
Saiba mais
Existem algumas calculadoras online que auxiliam na veri�cação dos resultados encontrados
neste capítulo. Caso tenha curiosidade em manipular essas ferramentas, sugerimos o endereço
eletrônico Symbolab, que contempla diversas calculadoras de cálculo e outras áreas das exatas.
Outra ferramenta muito usada nessa área é o Wolfram|Alpha. O Wolfram|Alpha pode resolver
muitos problemas neste importante campo da matemática, incluindo resolver EDOs, encontrar
uma EDO que satisfaça uma função e resolver uma EDO usando uma série de métodos
numéricos.
Referências
https://pt.symbolab.com/solver
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
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FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. Equações diferenciais aplicadas. IMPA, 1997.
SILVA, P. N. Equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeira: IME-UERJ, 2005.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
Aula 4
Equações diferenciais lineares de ordem superior
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante. Nessa aula vamos trazer o conceito de equação diferencial ordinária (EDO) de
alta ordem e vamos pensar em algumas técnicas de resolução para EDO homogêneas. As EDO
de segunda ordem ou maiores são o nosso campo de estudo dos dois primeiros blocos, contudo,
no segundo bloco trabalharemos com as EDOs não homogêneas e para isso explanaremos sobre
o cálculo de soluções particulares para EDO não homogêneas. No último bloco trabalharemos
com uma EDO que é utilizada como modelo matemático para a Lei do Resfriamento de Newton.
Além de resolvê-la analiticamente, traremos uma estratégia para sua resolução computacional.
Seja bem-vindo ao estudo das equações diferenciais.
Teoria das equações homogêneas de ordem superior
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Nesta aula trabalharemos para solucionar EDOs de ordem superior, ou seja, equações da forma:
com n≥2.
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Para isso, enunciamos a seguir o teorema da superposição, que nos auxiliará a encontrar todas
as soluções de uma EDO de ordem n.
Teorema 1 (Princípio de Superposição):
Sejam y1, ..., yn soluções da EDO linear homogênea de ordem n dada por:
no intervalo aberto I, então a combinação linear k1y1(x) + ... + knyn(x) também é solução de (2)
para quaisquer que sejam k1, ..., kn R.
Note que usamos o termo “combinação linear”, que nos leva diretamente a conceitos muito bem
fundamentados na álgebra linear. Estamos dizendo, portanto, que se as soluções de uma
determinada EDO de ordem superior são linearmente independentes (LI), então a combinação
dessas soluções ainda é uma solução para essa EDO.
Um conjunto de funções { 1, 2, ..., n} é dito LI no intervalo I = (a, b) se não existem constantes
λ1, λ2, ..., λn tais que:
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exceto para λ1 = λ2 = ..., λn = 0.
Uma ferramenta de veri�cação rápida para analisar se um conjunto de funções é LI é o
determinante Wronskiano.
Teorema 2 (Wronskiano):
Um conjunto de funções deriváveis { 1, ..., n} é LI no intervalo I, se e somente se, o Wronskiano
do conjunto é diferente de zero, ou seja:
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em I.
Exemplo 1
Sejam as funções 1(x) = x, 2(x) = x1nx e 3(x) = x2. Neste caso temos:
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Portanto, o conjunto de funções { 1, 2, 3} é LI.
O próximo teorema que estudaremos completa o conceito de determinante Wronskiano aplicado
à análise da independência linear de funções.
Teorema 3:
Suponha que as funções pn-1(x). pn-2(x), ..., p1(x) e g(x) são contínuas e deriváveis no intervalo
aberto I = (a, b) e as funções y1(x), y2(x), ..., yn(x) são soluções da equação homogênea
então se W(y1, y2, ..., yn)(x) ≠ 0 em pelo menos um ponto ae Integral III
uma equação com n soluções do tipo r1, ..., rn, então expressamos a solução geral da EDO como
desde que ri ≠ rj para todo i ≠ j, ou seja, quando não houver raízes repetidas.
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Vejamos um exemplo desse conceito.
Exemplo 2
Encontre uma solução para a EDO
Solução:
Temos que a equação característica para essa EDO é:
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Portanto, a solução da EDO enunciada é dada por:
Raízes iguais da equação característica
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Seja a equação característica apresentada em (9). Queremos calcular se alguma das raízes
desta possui multiplicidade . Se isso se comprovar, podemos escrever:
Vamos entender esse caso através do exemplo a seguir.
Exemplo 3
Encontre a solução geral de
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Solução:
A EDO pode ser escrita em termos da sua equação característica como:
Assim:
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Desse modo a solução da EDO é dada por:
Como a equação característica é uma polinomial, ainda podemos recair no caso em que, dentre
as raízes possíveis, teremos raízes complexas conjugadas. Vejamos o próximo caso
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Raízes complexas distintas
Se r1 e r2 forem raízes complexas conjugadas, então:
r1 = a + bi e r2 = a - bi
Para usar a fórmula de Euler, faz-se:
e podemos escrever a combinação linear
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da forma:
No exemplo a seguir recairemos nessa situação. Vamos avaliar.
Exemplo 4
Disciplina
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Determine a solução geral para a EDO 
Solução:
A equação característica da EDO é dada por:
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Assim:
Portanto, a solução da EDO é dada por:
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Com isso, trabalhamos os casos em que, através da equação característica, pudemos encontrar
a solução para a EDO homogênea de ordem  com coe�cientes constantes.
Equações diferenciais não homogêneas
Queremos agora pensar em métodos que permitam encontrar as soluções de EDOs não
homogêneas.
Vamos supor agora que y1(x) e y2(x) são soluções da equação não homogênea
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De�nindo y = y1 - y2 e substituindo na equação acima, encontramos:
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Dessa forma, observa-se que a diferença entre as duas soluções da equação resulta na solução
da equação homogênea associada.
Por esse motivo, podemos escrever o seguinte teorema:
Teorema 4: (Solução geral para equações não homogêneas)
Seja a equação diferencial linear de ordem n não homogênea dada por:
e suponha que y1(x), ..., yn(x) é um conjunto de n soluções linearmente independentes (LI) da
equação homogênea associada
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Se yp(x) é uma solução particular de (11), então a solução geral de (11) será da forma:
onde yh é a solução para a EDO homogênea associada representada pela equação (12).
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Portanto, se desejamos encontrar a solução de uma EDO não homogênea é preciso:
Obter uma solução geral yh para a equação homogênea relacionada.
Obter uma solução particular yp.
A solução geral da equação não homogênea será: 
O princípio da superposição já estudado anteriormente aqui continua sendo válido.
A partir dessas de�nições, podemos trabalhar com alguns métodos que permitirão encontrar a
solução para EDOs não homogêneas. Traremos, na sequência um desses métodos, chamado de
“Método dos coe�cientes a determinar”.
Método dos coe�cientes a determinar
A ideia do método dos coe�cientes a determinar, também chamado de método dos coe�cientes
indeterminados, é a de encontrar uma solução particular para uma equação não homogênea.
O método dos coe�cientes a determinar está limitado às equações lineares não homogêneas:
Que têm coe�cientes constantes.
Em que g(x) é uma constante k, uma função polinomial, uma função exponencial aeβx, ωx,
ωx ou somas e produtos dessas funções.
Dessa forma, de�niremos caso a caso e resolveremos alguns exemplos para que os casos
citados possam ser visualizados com maior clareza.
De�nição 2: (Polinômio)
Se g(x) é um polinômio de grau m, apresentado na forma
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Assim, conseguiremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea,
partindo do princípio de que encontraremos primeiro os coe�cientes A0, A1, ..., Am. Note que
funções classi�cadas como constantes enquadram-se neste caso.
Exemplo 5
Encontre a solução particular da equação não homogênea 
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Solução:
Partindo da solução para a EDO homogênea associada temos,
Logo 
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Com isso, teremos como função complementar 
Agora, como a função é um polinômio do primeiro grau, temos como suposição que a solução
particular também será uma função linear.
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yp = Ax + B
Assim, precisamos determinar os coe�cientes A e B dessa função. Para isso usaremos as
derivadas de yp dadas por 
Esse valor será substituído em 
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Logo
2A + 3 (Ax + B) = 5x + 6
Portanto
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que nos permite escrever:
De�nição 3 (Exponencial):
Se g(x) é uma função exponencial da forma
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esta terá solução particular da forma:
Exemplo 6
Encontre uma solução particular da equação 
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Solução:
Neste caso usamos processo similar ao aplicado para g(x) polinomial, obtendo com isso
De�nição 4 (Trigonométrica):
Se g(x) é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja
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admitimos uma solução particular da forma:
Exemplo 7
Encontre uma solução particular da equação não homogênea
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Solução:
Não falaremos nessa aula sobre o método da variação dos parâmetros e nem sobre o método da
redução de ordem, mas deixamos referências para estudo desses métodos, caso se interesse.  
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Lei de Resfriamento de Newton e métodos computacionais para equações de
ordem superior
A lei do resfriamento de Newton é um modelo físico-matemático que descreve o equilíbrio
térmico entre um corpo e o ambiente em que está inserido.
Exemplos simples dessa aplicação podem ser apresentados:
Quanto tempo levará para que uma panela de inox aquecida a 100° Celsius, diminua 10° C ao ser
colocada em um freezer que está com temperatura igual a 5° C?
Portanto, a lei do resfriamento de Newton diz que, quando um determinado corpo que está com
temperatura T é inserido em um ambiente de temperatura Ta (constante), a temperatura T irá se
aproximar de Ta. Se T for maior que Ta, o corpo será resfriado. Se T for menor que Ta, o corpo
será aquecido.
Bassanezi e Ferreira Júnior (1998) descrevem esse princípio da seguinte forma: “A taxa de
variação da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua
temperatura e a do meio ambiente”.
Matematicamente, para representar taxas de variação usamos derivadas. Assim, o modelo
matemático para a lei do resfriamento de Newton �ca escrito como:
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onde k > 0 é uma constante de proporcionalidade.
Assim, é fácil observar que:
Se T > Ta, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo 
será menor do que zero.
Se Te Integral III
Integrando (15) de ambos os lados encontramos:
Aplicando a de�nição de logaritmo obtemos
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Vamos ver um exemplo prático e pensar em maneiras computacionais de resolver esse
problema.
Exemplo 8
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Vamos supor que uma tigela de sopa foi aquecida e encontra-se a uma temperatura de 80°
celsius ( 80°C). Ao retirar essa tigela do forno, ela foi colocada em um ambiente com
temperatura constante igual a  20°C. Como ela estava muito quente para ser servida
imediatamente, aguardou-se 2 minutos para que fosse servida. Após esses dois minutos, foi
medida a temperatura da sopa novamente e ela encontrava-se a 60°. Sabe-se que a prática em
bons restaurantes é a de servir esse prato com temperatura entre 60° e 50° graus celsius. Assim,
pergunta-se: se não for possível levar à mesa a tigela de sopa no exato momento em que os 60°
foram aferidos, em quanto tempo, no máximo, ela deverá ser servida?
Solução:
Vamos retirar os dados do problema.
Assim, escrevemos
T(0) = 80
Então
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Logo, 
Passados 2 minutos, temos 
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Assim, fazemos
Logo,
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E, portanto
k ≈ 0,2
Dessa forma, podemos escrever T (t) = 60e(-0,2)t + 20
Queremos saber para qual t em minutos, a temperatura será de 50°C. Fazemos
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Logo, essa sopa, estando a 60°C, ainda poderá �car na cozinha mais 3 minutos e 27 segundos
até ser servida.
E computacionalmente, o que poderíamos usar para auxiliar na resolução desse tipo de
problema?
Computacionalmente, os métodos matemáticos são discretos. Isso signi�ca que, mesmo que
analiticamente encontremos soluções exatas, o computador não resolve os cálculos dessa
forma. Isso se dá, pois o computador nada mais é do que um liga e desliga de chaves que
permitem a passagem ou não de energia. Assim, esse sistema binário, que é discreto, permite
que os cálculos realizados também sejam feitos em domínios discretos.
Dito isso, sabemos que algumas linguagens de programação de alto nível, como Python,
Gnuoctave, Scilab, dentre outras, possuem pacotes que permitem a resolução de expressões
matemáticas, inclusive EDOs e EDPs.
Importante: O resultado que encontraremos será similar ao obtido analiticamente, contudo é
importante saber que, por dentro dos pacotes e ferramentas intrínsecos dessas linguagens de
programação, o cálculo realizado será sempre um método numérico em um domínio discreto.
Para resolver a EDO 
que modela o Exemplo 8, usaremos a linguagem de programação Python. Para isso, usaremos
duas bibliotecas que permitirão a fácil manipulação das expressões e a representação grá�ca
dos resultados, sendo respectivamente: numpy e matplotlib. A seguir, apresentamos o código
para resolução e plotagem grá�ca dessa EDO.
dT
T  − 20   =   − (0, 2)dt
https://numpy.org/
https://matplotlib.org/
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CódigoPython 1
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
To = 80.0 #temperatura inicial da sopa
Tamb = 20.0 #temperatura ambiente
T1 = 60.0 #temperatura da sopa após 2 minutos
T2 = 50.0 #temperatura desejada após t minutos
t1 = 2.0 #tempo 1 (em minutos)
k = -np.log((T1 - Tamb)/(To - Tamb))/t1
t2 = -np.log((T2 - Tamb)/(To - Tamb))/k
 
def T(t):
   return Tamb + (To - Tamb)*np.exp(-k*t) #solução da EDO
 
t = np.linspace(0, 25)
plt.plot(t, T(t), color = ‘b’, marker = ‘*’)
plt.xlabel(‘t (min)’)
plt.ylabel(‘T (oC)’)
plt.show()
Figura 1 | Solução da EDO. - Fonte: elaborada pela autora.
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Com isso, podemos pensar em ajustes desse código em Python para nos auxiliar a resolver
outras EDOs. 
Videoaula: Equações diferenciais lineares de ordem superior
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No vídeo dessa aula vamos falar das estratégias de resolução de EDOS homogêneas e não
homogêneas de alta ordem. Traremos também mais uma aplicação da lei do resfriamento e
detalharemos sua resolução usando para isso a linguagem de programação Python.
 Venha comigo.
Saiba mais
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A obra de Zill e Cullen, intitulada Equações diferenciais, traz a demonstração de muitos dos
teoremas que descreveremos neste material. Um deles é o  Teorema 2 (Wronskiano), que pode
ser encontrado no capítulo 4, p. 150. Sugerimos a leitura dessa demonstração.
Acesse o Python e compreenda um pouco mais sobre essa linguagem de programação, como
instalar e usar.
Sugerimos também a leitura da documentação da biblioteca numpy, que permitirá a resolução
computacional e numérica de EDOs e de outras expressões matemáticas.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. ISBN
9788582602263.
BASSANEZI, R. C. FERREIRA JR, W. C. Equações diferenciais com aplicações. São Paulo: Editora
Harbra Ltda, 1998.
KONZEN, P. H. A. Equações diferenciais ordinárias. 2022. Disponível em:
https://notaspedrok.com.br/notas/EDO/main.pdf. Acesso em: 8 fev. 2023.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
https://www.python.org/
https://numpy.org/doc/stable/
https://notaspedrok.com.br/notas/EDO/main.pdf
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Aula 5
Resumo da unidade
Resolução de EDOs que modelam fenômenos físicos
Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que apresenta derivadas em no
mínimo um dos seus termos.
Dentro desse contexto, podemos ter equações diferenciais ordinárias e parciais, de primeira ou
de mais alta ordem, homogêneas ou não homogêneas, lineares ou não lineares. Classi�car uma
equação diferencial auxilia na escolha de métodos de resolução.
Esses métodos podem nos levar a soluções exatas (em geral métodos analíticos) ou
aproximadas (em geral métodos numéricos).
Como é possível perceber, esse é um grande campo de estudo da matemática em
desenvolvimento contínuo.
As equações diferenciais ordinárias (EDO) foram o nosso campo de estudo dessa unidade.
A forma geral para uma EDO linear de ordem n é dada por:
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(Zill; Cullen, 2001, p. 68).
Resolvemos EDOs de primeira ordem e usamos os campos de direções para analisar o
comportamento de soluções.
Assim, classi�cando uma EDO como linear de primeira ordem é possível aplicar a técnica dos
fatores integrantes para encontrar sua solução.
Seja a EDO dada por:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
1. Se
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é uma função só de x, então e∫h(x)dx é um fator integrante.
2. Se
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é uma função só de y, então e∫k(y)dy é um fator integrante.
É comum trabalharmos com fatores integrantes na variável x. Nesse caso, adotamos a notação
μ(x) = e∫h(x)dx.
Como exemplo prático da modelagem de fenômenos através de EDOs de primeira ordem, vimos
a lei do resfriamento de Newton.
A lei do resfriamento é aplicada em uma ampla variedade de situações, incluindo o resfriamento
de líquidos, a termorregulação em sistemas eletrônicos e o controle da temperatura em reatores
químicos.
Resolvemos em aula um exemplo de aplicação da lei do resfriamento em sistemas eletrônicos.
As EDOs homogêneas de ordem superior, ou seja, com n ≥ 2, com coe�cientes constantes
podem ser resolvidos com o auxílio de equações características, onde assumimos que
é uma solução não trivial para a equação 
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Dessa forma, encontramos
A equação (3) é chamada de equação característica para a EDO e possui n raízes reais e/ou
complexas.
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Por�m, tratamos das EDOs não homogêneas e suas soluções.
Seja uma EDO não homogênea dada por
Vamos supor que y1(x), ..., yn(x) é um conjunto de n soluções linearmente independentes (LI) da
equação homogênea associada.
Se yp(x) é uma solução particular de (4), então a solução geral de (4) será da forma:
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onde yn é a solução para a EDO homogênea associada.
Portanto, se desejamos encontrar a solução de uma EDO não homogênea, é preciso:
Passo 1: Encontrar a solução da equação diferencial homogênea correspondente.
Primeiro, encontre a equação diferencial homogênea correspondente, substituindo a
função não homogênea g(x) por 0.
Resolva a equação diferencial homogênea correspondente para encontrar a solução geral,
que será uma combinação linear de funções.
Passo 2: Encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea.
Use um método apropriado para encontrar uma solução particular da equação diferencial
não homogênea.
Passo 3: Encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea.
Combine a solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não
homogênea para encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea.
Isso pode ser feito adicionando a solução particular à solução geral da equação
homogênea.
Passo 4: Aplicar a condição inicial.
Se a equação diferencial vier com condições iniciais (PVI), aplique-as à solução geral para
encontrar os valores das constantes da solução geral.
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Passo 5: Simpli�que a solução, se necessário.
Simpli�que a solução geral, se possível, substituindo as constantes pelas condições iniciais
ou pela de�nição de alguma outra variável, caso seja possível.
Quer facilitar todo esse processo? Programe ou utilize softwares de programação numérica
como:
1. MATLAB: é uma das plataformas mais populares para a resolução de equações
diferenciais. Ele tem uma biblioteca extensa de funções e ferramentas para a resolução de
EDOs e EDPs.
2. Maple: é outro software de cálculo simbólico que pode resolver uma ampla variedade de
equações diferenciais. Ele também tem ferramentas para visualizar soluções de EDOs e
EDPs.
3. Python: é uma linguagem de programação popular para a análise numérica e cientí�ca, e
tem muitas bibliotecas que permitem a resolução de equações diferenciais, como o pacote
SciPy.
Além disso, existem muitos outros softwares e ferramentas que podem ser usados para resolver
equações diferenciais, incluindo o software Wolfram Alpha, o software de visualização de dados
gnuplot e muitos outros. A escolha de software depende da preferência pessoal, do tipo de
equação diferencial que você está resolvendo e do seu nível de experiência em programação e
análise numérica.
Videoaula: Resumo da unidade
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Nessa aula faremos uma revisão das EDOs, quais suas aplicações e como resolvê-las.
Para isso, trataremos das EDOs homogêneas de primeira ordem usando a técnica de separação
de variáveis aplicada a um modelo termodinâmico. Em seguida, falaremos das EDOs não
homogêneas de primeira ordem, usando a técnica de fator integrante. Finalmente, revisaremos o
conceito de EDOs não homogêneas de ordem  e solução geral.
Usaremos a linguagem Python para resolver essas EDOs. Essas habilidades serão úteis na
solução de problemas em muitas áreas da Física, Engenharia, Matemática e Ciência da
Computação.
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Estudo de caso
Neste estudo de caso, vamos resolver uma EDO de segunda ordem para modelar o movimento
de um pêndulo simples amortecido. A equação diferencial é dada por:
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Onde:
m é a massa do pêndulo.
x é o deslocamento angular do pêndulo em relação ao equilíbrio.
c é o coe�ciente de amortecimento.
k é a constante de elasticidade da corda que sustenta o pêndulo.
x' e x'' são, respectivamente, a primeira e a segunda derivada de x em relação ao tempo.
Nossa tarefa é resolver essa EDO para determinar o movimento do pêndulo ao longo do tempo.
Para resolver essa EDO, vamos usar o módulo "scipy.integrate" da biblioteca SciPy do Python.
Este módulo contém a função "odeint", que permite resolver EDOs numéricas usando o método
de integração de Runge-Kutta.
Primeiro, vamos de�nir as constantes do problema:
CódigoPython 1
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
 
m = 1.0  # massa do pêndulo
c = 0.5  # coe�ciente de amortecimento
k = 1.5  # constante de elasticidade da corda
Em seguida, vamos de�nir a função "ode", que é a EDO que queremos resolver. Esta função
recebe um vetor "x" contendo as variáveis de estado (x e x') e o tempo atual "t" como entrada, e
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retorna um vetor contendo as derivadas das variáveis de estado em relação ao tempo. A função
é de�nida como:
CódigoPython 2
def ode(x, t):
    x1 = x[0]  # x
    x2 = x[1]  # x'
    x1_dot = x2
    x2_dot = (-c * x2 - k * x1) / m
    return [x1_dot, x2_dot]
Agora, vamos de�nir as condições iniciais e o vetor de tempo para a solução. Neste caso, vamos
começar com um deslocamento inicial de 0,5 radianos e uma velocidade inicial de
 radianos/segundo, e vamos simular o movimento do pêndulo por 10 segundos:
CódigoPython 3
x0 = [0.5, 0.0]  # condições iniciais
t = np.linspace(0, 10, 1000)  # vetor de tempo
Finalmente, vamos chamar a função "odeint" para resolver a EDO. A função retorna um vetor
contendo as soluções para as variáveis de estado (x e x') em cada ponto no tempo:
CódigoPython 4
sol = odeint(ode, x0, t)
Podemos agora plotar a solução para ver o movimento do pêndulo ao longo do tempo. Para
plotar o deslocamento angular do pêndulo em função do tempo, podemos usar o seguinte
código:
CódigoPython 5
import matplotlib.pyplot as plt
 
plt.plot(t, sol[:, 0])
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Deslocamento angular (rad)')
plt.show
Uma variação interessante para o movimento do pêndulo seria adicionar uma força externa
periódica ao sistema, que poderia representar, por exemplo, um empurrão periódico na direção
do movimento do pêndulo.
Para modelar essa variação, precisamos modi�car a equação diferencial original para incluir a
força externa. A nova equação diferencial é dada por:
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Cálculo Diferencial e Integral III
Onde F é a amplitude da força externa, Ω é a frequência da força externa, e cos(Ωt) é a função
cosseno que modela a variação periódica da força externa em função do tempo.
Agora é com você. Resolva esse caso. 
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Para resolver essa equação diferencial, precisamos modi�car nossa função "ode" para incluir a
força externa. A nova função �ca assim:
CódigoPython 6
def ode_with_force(x, t):
    x1 = x[0]  # x
    x2 = x[1]  # x'
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Cálculo Diferencial e Integral III
    x1_dot = x2
    x2_dot = (-c * x2 - k * x1 + F * np.cos(omega * t)) / m
    return [x1_dot, x2_dot]
Note que adicionamos os parâmetros "F" e "omega" à função, e modi�camos a equação para
incluir a força externa.
Agora, vamos de�nir os valores para os novos parâmetros:
CódigoPython 7
F = 0.5  # amplitude da força externa
omega = 2.0  # frequência da força externa
Podemos então chamar a função "odeint" para resolver a nova equação diferencial com força
externa:
CódigoPython 8
sol_with_force = odeint(ode_with_force, x0, t)
E �nalmente, podemos plotar a solução para comparar o movimento do pêndulo com e sem a
força externa:
CódigoPython 9
plt.plot(t, sol[:, 0], label='Sem força externa')
plt.plot(t, sol_with_force[:, 0], label='Com força externa')
plt.legend()
plt.xlabel('Tempo(s)')
plt.ylabel('Deslocamento angular (rad)')
plt.show()
O código a seguir nos dará um grá�co que mostra a variação do deslocamento angular do
pêndulo ao longo do tempo, com e sem a força externa, permitindo comparar os dois
movimentos e ver como a força externa afeta o movimento do pêndulo.
CódigoPython 10
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Parâmetros do pêndulo
m = 1.0  # massa
c = 0.5  # coe�ciente de amortecimento
k = 1.0  # constante elástica
l = 1.0  # comprimento do pêndulo
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# Condições iniciais
theta0 = np.pi / 4.0  # ângulo inicial
omega0 = 0.0  # velocidade angular inicial
x0 = [theta0, omega0]
 
# Parâmetros da simulação
t_max = 10.0  # tempo máximo
n_points = 1000  # número de pontos
t = np.linspace(0.0, t_max, n_points)
 
# Função que de�ne a equação diferencial do pêndulo sem força externa
def ode(x, t):
    x1 = x[0]  # theta
    x2 = x[1]  # omega
    x1_dot = x2
    x2_dot = (-c * x2 - k * np.sin(x1)) / m
    return [x1_dot, x2_dot]
 
# Resolvendo a equação diferencial do pêndulo sem força externa
sol = odeint(ode, x0, t)
 
# Função que de�ne a equação diferencial do pêndulo com força externa
F = 0.5  # amplitude da força externa
omega = 2.0  # frequência da força externa
def ode_with_force(x, t):
    x1 = x[0]  # theta
    x2 = x[1]  # omega
    x1_dot = x2
    x2_dot = (-c * x2 - k * np.sin(x1) + F * np.cos(omega * t)) / m
    return [x1_dot, x2_dot]
 
# Resolvendo a equação diferencial do pêndulo com força externa
sol_with_force = odeint(ode_with_force, x0, t)
 
# Plotando os resultados
plt.plot(t, sol[:, 0], label='Sem força externa')
plt.plot(t, sol_with_force[:, 0], label='Com força externa')
plt.legend()
plt.xlabel('Tempo (s)')
plt.ylabel('Deslocamento angular (rad)')
plt.show()
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Cálculo Diferencial e Integral III
Este código irá gerar um grá�co com duas curvas: uma para o movimento do pêndulo sem força
externa e outra para o movimento do pêndulo com a força externa que adicionamos. As curvas
serão rotuladas e terão legendas correspondentes para indicar qual curva representa qual
movimento, como podemos ver a seguir
Figura 1 | Grá�cos para pêndulo sem e com força externa. - Fonte: elaborada pela autora.
Observamos que a mudança na massa e no comprimento afeta signi�cativamente o movimento
do pêndulo, resultando em diferentes padrões de oscilação.
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. ISBN
9788582602263.
YARTEY, J. N. A.; RIBEIRO, S. Equações diferenciais. Salvador: UFBA, 2017.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. 
,
Unidade 4
Transformada de Laplace
Aula 1
Transformada de Laplace e sua inversa
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Nessa aula vamos começar a preparar o terreno para resolvermos equações diferenciais mais
complexas, geralmente envolvidas em aplicações práticas (a Engenharia Elétrica está cheia
desses exemplos) usando uma teoria chamada transformada de Laplace.
Uma aplicação prática da transformada de Laplace em um modelo real é na análise de sistemas
de controle. Por exemplo, um engenheiro de controle pode usar a transformada de Laplace para
modelar um sistema de controle de um robô industrial. O sistema de controle recebe sinais de
entrada e produz sinais de saída que controlam o movimento do robô.
Esse é apenas um exemplo dessa importante ferramenta matemática. Vamos entender. 
De�nição de transformada de Laplace
Disciplina
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A transformada de Laplace é uma técnica matemática que transforma uma função de tempo em
uma função de frequência, permitindo a resolução de equações diferenciais lineares com
coe�cientes constantes de forma mais simples. Em outras palavras, a transformada de Laplace é
um operador que converte uma equação diferencial em uma equação algébrica através de
mudanças de variáveis, o que pode facilitar sua resolução. A técnica é amplamente utilizada em
engenharia, física e outras áreas da ciência para resolver problemas envolvendo equações
diferenciais.
De�nição 1
Seja f(t) uma função de�nida para t ≥ 0. Chama-se transformada de Laplace a integral
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onde s é uma variável complexa e a integral é tomada ao longo de todos os valores de tempo
positivos.
Essa de�nição pode ser interpretada da seguinte maneira: a transformada de Laplace transforma
uma função de tempo, f(t), em uma função de frequência, F(s).
A transformada de Laplace pode ser indicada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Neste texto usaremos letras minúsculas para denotar a função que está sendo transformada e a
letra maiúscula correspondente para denotar sua transformada de Laplace. Por exemplo,
Nem toda função possui transformada de Laplace.
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Para que a transformada de Laplace exista, a função f(t) deve satisfazer a condição de ser uma
função de tempo causal e ter uma taxa de crescimento não muito grande.
Uma função causal é aquela que é zero para valores negativos de tempo. Por exemplo, se f(t)
representa a posição de um objeto em função do tempo, a posição só pode ser medida a partir
do momento em que o objeto começa a se mover, ou seja, para  maior ou igual a zero.
Já a taxa de crescimento limitada se refere à rapidez com que a função cresce ou diminui. Se a
função crescer ou diminuir muito rapidamente, a integral que de�ne a transformada pode divergir
e a transformada não existirá. Por exemplo, se f(t) crescer mais rápido do que uma exponencial,
a transformada de Laplace não existirá.
Vamos apresentar, então, uma condição de existência para a transformada, mas antes,
precisamos da seguinte de�nição:
Se uma função não satisfaz as condições do Teorema 1, não podemos a�rmar que a
transformada desta função existe, pois o teorema fornece condições su�cientes, mas não
necessárias, para a existência da transformada de uma função.
Em resumo, para que a transformada de Laplace exista, a função f(t) precisa ser causal e ter uma
taxa de crescimento limitada. Essa condição é importante para garantir que a transformada seja
bem de�nida e possa ser utilizada para resolver equações diferenciais e outros problemas em
Engenharia, Física e outras áreas da ciência.
Nesta aula iremos trabalhar somente com funções de ordem exponencial e contínuas por partes.
Exemplo 1
Calcule a transformada de Laplace para a função f(t) = 1.
Pela
De�nição 1 temos que
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Vamos analisar o que acontece com o valor da integral de acordo com o valor de s.
Para s ≤ 0 temos que e-sb ∞ quando b ∞, portanto, a integral diverge.
Para s > 0 temos que e-sb 0 quando b ∞, portanto, a integral converge.
Então, podemos escrever que
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Transformada de Laplace e funções
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Podemos listar as transformadas de Laplace para algumas funções, as quais usaremos com
mais frequência. Recorrendo a esta tabela, não será preciso aplicar a
De�nição 1, pois nos utilizaremos de resultados já pré-estabelecidos.
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Tabela 1 | Tabela resumida de transformadas de Laplace. - Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 281).
Todos esses valores da tabela podem ser calculados resolvendo uma integral imprópria, desde
que as condições de existência da transformada sejam veri�cadas.
Veja o exemplo a seguir, que representa a resolução da transformada para f(t) = eat
Exemplo 2
Calcule a transformada de Laplace para a função f(t) = eat, sendo  uma constante real.
Pela
De�nição 1 temos que
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Vamos analisar o que acontece com o valor dada região R que corresponde à projeção de D sobre um
dos planos coordenados xy,xz ou yz (bidimensional).
Após a determinação da região de integração, você deve montar sua integral, respeitando a
dependência existente nos limites de integração, e realizar o cálculo das integrais, começando da
integral à direita para a esquerda.
Passo 1: é necessário que analisemos a representação grá�ca da região , ilustrada na Figura 4.
Para isso você pode utilizar softwares de geometria, como por exemplo, o GeoGebra.
 
Figura 4 |Representação da região D. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 5 | Variação de z. Fonte: elaborada pela autora.
Passo 2: a região R , que corresponde à projeção de  D sobre um dos planos coordenados xy ,
conforme ilustrado na Figura 6.
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Figura 6 | Projeção da região D no plano xy. Fonte: elaborada pela autora.
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Com esses exemplos, chegamos ao �nal da nossa aula. Espero que tenha gostado! Bons
estudos!
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Cálculo Diferencial e Integral III
Videoaula: Integral tripla
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Olá, estudante! Nessa videoaula iremos explorar o conceito de integrais de funções de três
variáveis reais. Para isso, iniciaremos com a de�nição de integrais triplas, posteriormente iremos
mostrar como é feito o cálculo de integrais triplas sobre regiões paralelepipedais, isto é, caixas
retangulares. Por �m, iremos mostrar outros tipos de regiões sobre as quais uma integral tripla
pode ser calculada.  
Saiba mais
O conceito de integrais triplas será importante para você no estudo de outras disciplinas do seu
curso. Assim, é fundamental que você domine todas as regras de integração, bem como saiba
determinar corretamente a região de integração. Para isso, sugiro que você coloque em prática o
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que aprendeu nessa aula e resolva exercícios que envolvam o cálculo de integrais triplas sobre
uma caixa retangular e sobre regiões mais gerais. Tenho uma ótima sugestão para você! Acesse
o livro Cálculo - Volume 2, de James Stewart, disponível na sua biblioteca virtual em Minha
Biblioteca. A seção 15.6 desse livro é dedicada às integrais triplas e, ao �nal, há uma série de
exercícios. Selecione alguns deles e os resolva! Uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois ao
�nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos! 
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 
Aula 2
Mudança de variáveis
Introdução
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Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Em nossa aula anterior, estudamos sobre as integrais
triplas em regiões paralelepipedais e regiões mais gerais, sendo que essas regiões eram
descritas em um sistema de coordenadas cartesianas . Porém, em alguns casos faz-se
necessário escrever a região de integração em outro sistema de coordenadas. O foco de nossa
aula será a mudança de variáveis nas integrais triplas. Assim, ao �nal, esperamos que você seja
capaz de realizar a mudança de variáveis, determinando corretamente o jacobiano associado a
essa mudança. Além disso, esperamos que você compreenda as diferentes relações existentes
entre os sistemas de coordenadas, bem como aplique esses conceitos na resolução de
problemas que envolvem o cálculo de integrais triplas.
Estudar Cálculo Diferencial e Integral requer a prática de exercícios e uma rotina de estudos,
portanto, não deixe de realizar exercícios relacionados à mudança de variáveis em integrais
triplas! 
Mudança de variáveis em integrais triplas
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Em estudos anteriores você já aprendeu sobre a mudança de variáveis em integrais simples, isto
é, integrais de funções de uma variável real. Esse método é utilizado quando temos uma integral
do tipo
No caso das integrais duplas, a mudança de variável é de�nida por uma transformação T que
aplica uma região A do plano uv em uma região  B do plano xy. Essa transformação leva
retângulos pequenos do plano  em paralelogramos curvilíneos no plano xy, conforme ilustra a
Figura 1. A função que descreve essa transformação é dada por:
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Figura 1 | Mudanças de coordenadas do plano uv no plano xy. Fonte: elaborada pela autora.
onde R é a região de integração descrita em coordenadas retangulares, e S é a região de
integração descrita em coordenadas polares. No segundo membro da igualdade temos que a
função descrita em coordenadas polares é multiplicada por r. Você sabe qual o seu signi�cado?
Esse r é o que denominamos de jacobiano associado a mudança de variável, sendo ele o
responsável por manter a igualdade entre as integrais, isto é, se você calcular a integral em
coordenadas retangulares ou em coordenadas polares, você terá o mesmo resultado.
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Figura 2 | Mudança de coordenadas do plano uvw para o plano xyz. Fonte: elaborada pela autora.
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Observe que o jacobiano de uma transformação é determinado por meio do cálculo do
determinante das derivadas parciais das equações que de�nem a transformação. Partindo do
cálculo do jacobiano, podemos descrever a fórmula de mudança de variáveis para integrais
triplas.
Quando você estiver realizando a mudança de variáveis em integrais triplas, não se esqueça de
que, após escrever a função em termos da nova variável, você deve multiplicar essa função pelo
jacobiano associado à mudança.
Até o momento, estudamos sobre a mudança de variáveis e a necessidade de encontrar o
jacobiano. Daqui para frente, iremos colocar em prática esses conceitos por meio da resolução
de exemplos
Cálculo do jacobiano e mudança de variáveis
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Anteriormente, nós estudamos sobre os conceitos que envolvem a mudança de variável em
integrais triplas. Nesse momento, nós iremos estudar esses conceitos na prática, isto é, iremos
resolver exemplos que envolvam tais conceitos. Antes de resolvermos esses exemplos, é
importante que você tenha em mente que encontrar o jacobiano envolve o cálculo de derivadas
parciais e de determinantes! Nessa aula, nós iremos utilizar a regra Sarrus para o cálculo dos
determinantes, mas se você quiser utilizar outra regra para esse cálculo não tem problema! O
importante é que você encontre o jacobiano!
Agora vamos ver alguns exemplos.
Determine o jacobiano associado a essa transformação.
Para resolvermos esse tipo de problema, o primeiro passo é você veri�car se as variáveis, x, y e z
estão escritas em função das variáveis do novo sistema de coordenadas. No caso desse
exemplo, as variáveis x, y e z estão escritas em função das variáveis u, v e w. O segundo passo é
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encontrarmos as derivadas parciais que irão compor o determinante jacobiano. Primeiro,
calculemos as derivadas parciais de x
Agora, calculemos as derivadas parciais de y
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Agora, calculemos as derivadas parciais de z
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O determinante jacobiano será dado por
Utilizando a regra de Sarrus, teremos:
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Exemplo 2: Considere a seguinte integral
Observe que nesse problema temos que escrever a integral de acordo com a mudança sugerida,
assim, além de encontrar o jacobiano, temos também que determinar a região de integração em
termos das novas variáveis e ainda escrever a função a ser integrada de acordo com o novo
sistema de coordenadas.
Primeiro iremos determinar o jacobiano, o que requer que você veri�que se as variáveisintegral de acordo com o valor de s.
Para  temos que e-(s-a)b ∞ quando b ∞, portanto, a integral diverge.
Para  temos que e-(s-a)b 0 quando b ∞, portanto, a integral converge.
Então, podemos escrever que
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Vimos que, para obter a Transformada de Laplace, a função deve satisfazer as condições do
Teorema 1. Além disso, para alguns tipos de funções podemos recorrer a tabelas para obter a
expressão de sua transformada. Não é preciso recorrer à de�nição da transformada, que é uma
integral imprópria.
Exemplo 3
Calcule 
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Pela Tabela 1, temos que 
Como a = 2, temos que
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A transformada de Laplace em sua de�nição é uma integral. Uma propriedade que integrais
apresentam é a seguinte: dadas as funções f(t), g(t) e as constantes a1, a2, temos que
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Então, da discussão acima, podemos dizer que a transformada de Laplace possui a propriedade
de linearidade.
Teorema 2: (NAGLE, 2012, p. 277):
Sejam f(t), g(t) funções cujas transformadas de Laplace existam para s > c e sejam a1, a2
constantes. Então:
Exemplo 4
Calcule 
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Usando a propriedade de linearidade da transformada e com o auxílio da, temos que
Portanto,
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Exemplo 5
Dado que 
Usando a propriedade de linearidade da transformada e com auxílio da Tabela 1, temos que
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Sabendo que a transformada de Laplace é uma transformação linear, podemos dizer que a
transformada inversa é uma importante estrutura a ser analisada. Veremos a introdução desse
conceito no próximo bloco 
Introdução à transformada inversa de Laplace
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A transformada inversa é aplicada em diversas áreas da Matemática, da Engenharia e das
Ciências Naturais para solucionar problemas de sistemas dinâmicos. Alguns exemplos de
aplicações práticas da transformada inversa incluem:
1. Circuitos elétricos: a transformada inversa de Laplace é utilizada para solucionar
problemas relacionados a circuitos elétricos, como a resposta transitória de circuitos RLC e
a estabilidade de sistemas de controle.
2. Mecânica: a transformada inversa é usada para analisar sistemas mecânicos em
movimento, como sistemas massa-mola, vibrações mecânicas, amortecimento e outros
sistemas vibratórios.
3. Biologia: a transformada inversa é aplicada na modelagem de sistemas biológicos, como a
dinâmica de populações e a propagação de doenças.
4. Química: a transformada inversa é usada para resolver problemas relacionados à cinética
química, como a degradação de substâncias, a difusão de gases e a reação de substâncias
químicas.
5. Física: a transformada inversa é utilizada na resolução de problemas de mecânica quântica,
como o cálculo de energias de transição de estados em átomos e moléculas.
A transformada inversa de Laplace, denotada por 
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nos permite encontrar uma função a partir do conhecimento da sua Transformada de Laplace.
Assim, “se F(s) representa a Transformada de Laplace de uma função f(t), dizemos, então, que
f(t) é a Transformada Inversa de Laplace de F(s)” (ZILL, 2016, p. 296). Ou seja,
se
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Existem algumas técnicas para a transformada inversa de Laplace, como:
1. Decomposição em frações parciais: essa técnica é útil quando a transformada de Laplace é
uma função racional. É possível decompor a função em frações parciais e, em seguida,
utilizar tabelas de transformadas de Laplace inversas para obter a solução da equação
diferencial.
2. Método da expansão em séries: esse método é útil quando a função não pode ser
decomposta em frações parciais. Nesse caso, a função é expandida em uma série de
potências e a transformada inversa é obtida a partir da inversão da série.
3. Método da mudança de variáveis: esse método é útil para transformadas de Laplace que
envolvem funções exponenciais. A ideia é aplicar uma mudança de variáveis que
transforme a função exponencial em uma função racional, que pode ser resolvida utilizando
a técnica de frações parciais.
4. Técnica de convolução: essa técnica é utilizada para resolver equações diferenciais
lineares com termos não homogêneos. A ideia é utilizar a transformada inversa da
convolução entre a transformada da solução homogênea e a transformada da função não
homogênea.
Algumas tabelas construídas a partir das estratégias citadas são facilmente encontradas na
literatura e auxiliam na obtenção das transformadas inversas mais comuns. Vejamos uma tabela
exempli�cando essa ideia.
 Algumas Transformadas Inversas
Tabela 2 | Algumas transformadas inversas de Laplace. - Fonte: Zill (2016, p. 296).
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Vejamos um exemplo do uso de tabelas.
Exemplo 6
Utilizando a Tabela 2, podemos calcular 
Para isso, tome n = 4 na transformada 
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Assim,
Existem tabelas mais completas para as Transformadas Inversas de Laplace; estas podem ser
encontradas em outros materiais que tratam do tema.
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No entanto, as tabelas podem ser limitadas à resolução de alguns casos. Para contornar estas
situações, na próxima aula apresentaremos aplicações usando o método de expansão por
frações parciais. 
Videoaula: Transformada de Laplace e sua inversa
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Nessa aula traremos o conceito de transformada de Laplace e a importância dessa ferramenta
matemática aplicada em outras áreas de conhecimento, como nas engenharias. Além da
conceituação e visualização do panorama de aplicação, falaremos das condições de existência e
da possibilidade de trabalhar com transformadas inversas, que permitirão uma visualização
ampla das transformações na unidade de tempo para frequência e vice-versa.
Saiba mais
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Para auxiliar em todos esses cálculos, sugerimos dois ambientes online:
O primeiro deles é o Wolfram. O Wolfram Alpha é um motor de busca matemático que pode
calcular Transformadas de Laplace e Transformadas Inversas de Laplace.
O segundo é o Symbolab. O Symbolab é um site que pode ser usado para calcular
Transformadas de Laplace e Transformadas Inversas de Laplace. Essa também é uma
ferramenta fácil de ser acessada.
Referências
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=88757d44d1e0a2bf33e366fe78461e31
https://pt.symbolab.com/solver/laplace-calculator
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NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8 ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
SAUTER, E., AZEVEDO, F. S., STRAUCH, I. M. F. (orgs). Transformada de Laplace: um livro
colaborativo. Porto Alegre, UFRGS, 2022 Disponível em:
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html. Acesso em: 23 fev
2023.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
Aula 2
Linearidade e transformada de derivadas e equações diferenciais
Introdução
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html
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Olá, estudante! Bem-vindo a mais uma aula sobre a Transformada de Laplace!
Nesta aula, você aprenderá um pouco mais sobre essa ferramenta matemática que é
amplamente utilizada em diversas áreas da Engenharia, incluindo sistemas de controle,
processamento de sinais, telecomunicações, eletrônica, dentre outras.
Durante a aula, falaremossobre a transformada e suas propriedades, bem como sobre como
aplicá-la para resolver equações diferenciais e analisar sistemas dinâmicos. Além disso, você
aprenderá sobre a inversa da transformada de Laplace e como aplicá-la para obter a solução de
problemas.
A Transformada de Laplace é uma ferramenta importante para engenheiros, e estou muito
animada para compartilhar este conhecimento com você. 
Inversa da transformada de Laplace – prática
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Nesta aula iremos relembrar o método de frações parciais, considerando os três casos
existentes: fatores lineares não repetidos, fatores lineares repetidos e fatores quadráticos
irredutíveis. Mas, agora, vamos aplicar esse método às transformadas de Laplace.
Para cada caso iremos estudar um exemplo que pode ser facilmente generalizado.
Exemplo 1
(Fatores lineares não repetidos): Calcule a função f(x) cuja transformada é 
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Vamos determinar os números  tais que
Fazendo os devidos cálculos na expressão acima, temos que
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Comparando os polinômios da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema
cuja solução é A = 2, B = -1. Assim, escrevemos
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Calculando a transformada inversa de F(s) temos
Usando uma tabela de valores para a transformada inversa, temos que 
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Então,
Tomando a = -1, temos 
Tomando a = -2, temos
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Cálculo Diferencial e Integral III
Logo, a transformada inversa de F(s) é
Portanto, a função procurada é 
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Exemplo 2
(Fatores lineares repetidos): Calcule a transformada inversa da função 
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Como o fator repetido tem multiplicidade três, a expansão por frações parciais envolve três
termos. Assim, vamos determinar os números A, B, C tais que
Fazendo os devidos cálculos na expressão acima obtemos
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Cálculo Diferencial e Integral III
Comparando os polinômios da igualdade acima obtemos o seguinte sistema
cuja solução é A = 2, B = 0, C = 1. Assim, escrevemos F(s) como
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Cálculo Diferencial e Integral III
Calculando a transformada inversa de F(s) temos
Usando uma tabela de valores para a transformada inversa, temos que 
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Cálculo Diferencial e Integral III
Tomando a = -1 e n = 2 temos
Tomando a = -1 temos 
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Logo, a transformada inversa de F(s) é
Portanto, a função procurada é 
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Exemplo 3
(Fatores quadráticos irredutíveis): Calcule a transformada inversa da função 
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A função possui um fator quadrático irredutível, isto é, um fator com raízes complexas. Neste
caso, vamos determinar os números A, B, C tais que
Fazendo os devidos cálculos na expressão anterior, obtemos
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Cálculo Diferencial e Integral III
Comparando os polinômios da igualdade anterior, obtemos o seguinte sistema
cuja solução é A = 1, B = -1, C = 0. Assim, escrevemos F(s) como
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Calculando a transformada inversa de F(s) temos
Usando uma tabela de valores para a transformada inversa, temos que 
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Para obter 
vamos precisar fazer alguns “ajustes” na função. Podemos escrever:
Denominador:
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Numerador: 
Assim,
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Então,
Com auxílio de uma tabela de Transformadas Inversas de Laplace, podemos observar que
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Assim, tomando 
temos
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Assim, tomando 
temos
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Logo, dos resultados acima, a transformada inversa de F(s) é
Portanto, a função procurada é 
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Transformada de Laplace de derivadas
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A Transformada de Laplace de uma derivada é uma ferramenta matemática que permite
expressar a transformada de Laplace de uma função derivada em termos da transformada de
Laplace da própria função.
A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t), denotada por
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é dada por 
onde s é uma variável complexa que representa a frequência.
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Suponha que queremos encontrar a transformada de Laplace da primeira derivada de uma
função f(t). Usando a de�nição, temos:
Podemos integrar por partes usando 
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Substituindo em (1) teremos:
A primeira parte da equação pode ser eliminada, desde que f(t) seja limitada.
A segunda parte da equação é a transformada de Laplace de f(t), que denotamos por . Portanto,
temos:
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Que também podemos escrever como
Este resultado é muito útil para resolver equações diferenciais lineares com coe�cientes
constantes usando a transformada de Laplace.
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Ao aplicar a transformada de Laplace e resolver a equação algébrica resultante, é possível obter
a solução da equação diferencial original por meio da transformada inversa de Laplace. Vamos
entender.
Exemplo 4
Uma equação diferencial que modela o decaimento de um sistema pode ser representada pela
equação:
em que a é uma constante positiva que determina a taxa de decaimento do sistema.
Essa equação pode ser resolvida usando a transformada de Laplace.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:
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Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, obtemos:
Resolvendo para Y (s), teremos:
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Agora, para encontrar a solução , basta aplicar a transformada inversa de Laplace em Y (s).
Logo:
Dessa forma, a solução da equação diferencial que modela o decaimento do sistema é dada por
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onde y(0) é a condição inicial do sistema.
Podemos generalizar esse processo usando o seguinte Teorema:
Teorema 1
(Transformada de Laplace da Derivada): Sejam 
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contínuas em [0, ∞) tal que f(n)(t) é contínua por partes em [0, ∞), com todas essas funções de
ordem exponencial c.
Então, para s > 0,
A �gura a seguir mostra o grá�co da transformada de derivadas para 
Disciplina
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Figura 1 | Transformada de Laplace de derivadas. - Fonte: elaborada pela autora.
Como é possível perceber, essa técnica é muito útil para resolver problemas modelados a partir
de equações diferenciais.
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De acordo com Nagle (2012, p. 296), para resolver um problema de valor inicial (PVI) utilizando a
Transformada de Laplace devemos seguir os seguintes passos:
(i) Aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação.
(ii) Usar as propriedades da transformada e as condições iniciais para obter uma
equação para a Transformada de Laplace da solução e depois resolver essa equação
para a transformada.
(iii) Determinar a Transformada Inversa de Laplace da solução. (NAGLE, 2012, p. 296)
Transformada de Laplace de equações diferenciais
Nós já usamos a transformada para resolver uma EDO. A seguir trazemos mais exemplos:
Exemplo 5
Resolva o problema de valor inicial dado por
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Solução:
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, obtemos
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Para o lado esquerdo vamos usar a propriedade de linearidade da transformada. Do lado direito
vamos obter a transformada da função dada com o auxílio de uma tabela de transformadas.
Assim,
TomandoDisciplina
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e aplicando o Teorema 1, temos
Trocando 
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na equação obtemos
Agora precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace para a função Y (s) acima. Este
cálculo será deixado como exercício para você, cujo resultado a ser obtido é o seguinte:
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Lembre-se que tomamos 
Portanto, a solução do problema de valor inicial dado é 
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Vejamos um exemplo aplicado na área de Engenharia Elétrica e Eletrônica.
Exemplo 6
Seja um circuito elétrico do tipo RLC (com resistores, capacitores e indutores) em série, que pode
ser modelado pela equação diferencial:
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onde q(t) é a carga elétrica no capacitor, L é a indutância do indutor, R é a resistência do resistor,
C é a capacitância do capacitor e V (t) é a tensão aplicada no circuito.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e utilizando as
propriedades da transformada, podemos obter a solução da equação no domínio da frequência:
Em seguida, podemos aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a solução no
domínio do tempo:
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A solução no domínio do tempo nos fornece a carga elétrica no capacitor ao longo do tempo, a
partir da qual podemos analisar o comportamento do circuito e suas características, como a
frequência natural de ressonância e o amortecimento do sistema.
Vamos agora trabalhar com um exemplo aplicado a sistemas dinâmicos.
A análise de sistemas dinâmicos é uma área da engenharia que estuda o comportamento de
sistemas que mudam com o tempo. Esses sistemas podem ser físicos, elétricos, mecânicos,
químicos, biológicos ou mesmo econômicos. A análise de sistemas dinâmicos utiliza
ferramentas matemáticas, como a Transformada de Laplace, para descrever o comportamento
desses sistemas e prever seu desempenho em diferentes condições.
Por exemplo, em engenharia elétrica, a análise de sistemas dinâmicos pode ser usada para
modelar e analisar circuitos elétricos que mudam com o tempo, como circuitos com corrente
alternada. A Transformada de Laplace é usada para converter equações diferenciais que
descrevem o comportamento desses circuitos em equações algébricas que podem ser
facilmente resolvidas.
Outro exemplo é a modelagem e análise de um sistema massa-mola-amortecedor. Esse sistema
consiste em uma massa m presa a uma mola de constante elástica k e um amortecedor de
coe�ciente de amortecimento b. O sistema é modelado por uma equação diferencial de segunda
ordem que descreve o movimento da massa em função do tempo:
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onde x é a posição da massa, ty é o tempo e f(t) é a força externa aplicada ao sistema.
Aplicando a transformada de Laplace para converter a equação diferencial em uma equação
algébrica, teremos:
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onde X(s) e F(s) são as transformadas de Laplace de x(t) e f(t), respectivamente.
A solução para X(s) será:
Dessa forma, conseguimos encontrar x(t) aplicando a Transformada Inversa de Laplace.
O grá�co a seguir mostra o grá�co de x(t) para m = 1; b = 0,1; k = 1, f(t) = 0
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Figura 2 | Transformada de Laplace de derivadas. - Fonte: elaborada pela autora.
Essa análise dinâmica pode ser aplicada em diversas áreas, como engenharia mecânica,
automotiva e civil, para modelar e analisar sistemas vibratórios, como pontes, edifícios, carros e
aviões, e prever seu comportamento sob diferentes condições.  
Videoaula: Linearidade e transformada de derivadas e equações diferenciais
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Olá, futuro engenheiro! Se você está procurando uma aula sobre Transformada de Laplace e suas
aplicações em cálculo diferencial e integral, este vídeo é para você! Vamos explorar a inversa da
transformada de Laplace, transformada de Laplace de derivadas e equações diferenciais. Este é
um conteúdo fundamental para entender a matemática por trás de muitos sistemas e processos
importantes na engenharia. Então, prepare-se para aprender e aplicar esses conceitos em seus
projetos futuros!
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Saiba mais
Sugerimos como ferramenta computacional para colocar em prática tudo o que estamos
montando a linguagem de programação Python.
Algumas bibliotecas podem auxiliar nesse processo. Uma delas é o SymPy.
O SymPy é uma biblioteca de matemática simbólica em Python que permite manipular
expressões matemáticas simbolicamente. Ele tem um módulo dedicado a Transformada de
Laplace e Transformada Inversa de Laplace. Com o SymPy, você pode calcular facilmente a
Transformada de Laplace de uma função usando a função laplace_transform() e a Transformada
Inversa de Laplace usando a função inverse_laplace_transform().
Referências
https://www.python.org/doc/
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Cálculo Diferencial e Integral III
ARAÚJO, A. S. de; BOULOS, P. Cálculo avançado. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
KREYSZIG, E. Advanced engineering mathematics. 10 ed. New York: John Wiley & Sons, 2011.
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8 ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
SAUTER, E., AZEVEDO, F. S., STRAUCH, I. M. F. (orgs) Transformada de Laplace: um livro
colaborativo. Porto Alegre, UFRGS, 2022 Disponível em:
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html. Acesso em: 23 fev.
2023.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. V. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
Aula 3
Transformada de Laplace de funções degrau, periódicas e impulso
Introdução
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Bem-vindo a mais uma aula da disciplina de cálculo diferencial e integral III! Hoje,
exploraremos três conceitos fundamentais da Transformada de Laplace: Transformada de
Laplace de Funções Degrau, Transformada de Laplace de Funções Periódicas e Transformada de
Laplace de Funções Impulso. Esses conceitos são muito úteis em diversas áreas da engenharia,
como em eletrônica, comunicações e controle de sistemas dinâmicos. Ao longo da aula, você
aprenderá como aplicar a Transformada de Laplace a esses tipos de funções e como usar essa
ferramenta poderosa para solucionar problemas complexos de forma mais simples e e�ciente.
Vamos lá. 
Funções degrau
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Cálculo Diferencial e Integral III
Uma função degrau, também conhecida por “função Heaviside” - em homenagem ao matemático
e engenheiro Oliver Heaviside, seu desenvolvedor – é uma função matemática que muda
instantaneamente de valor de uma constante para outra em um determinado ponto, geralmente
de zero para um (ou outra constante real), e é representada gra�camente como um degrau
vertical.
Tal função é muito usada na análise de circuitos elétricos por poder representar
matematicamente o circuito ligado (1) ou desligado (0) com bastante simplicidade.
A função degrau pode ser descrita matematicamente como:
De�nição 1
Chama-se função degrau, denotada por u, a função de�nida por
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Figura 1 | Grá�co da função g(t) = U(t-a). - Fonte: elaborada pela autora.
Fonte: elaborada pela autora.
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Vamos considerar neste texto que a função degrau está de�nida para valores de t maiores do
que zero para que seja possível a aplicação da Transformada de Laplace.
Exemplo 1
Vamos calcular a Transformada de Laplace para a função degrau, isto é, vamos obter uma
expressão para 
Aplicando a De�nição 1 obtemos
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Portanto, a Transformada de Laplace da função degrau é
Reciprocamente, temos que a função degrau 
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Reciprocamente, temos que a função degrau 
é a Transformada Inversa de Laplace da função
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ou seja, podemos escrever
A vantagem de usar a transformada de Laplace para analisar funções degrau é que ela permite
transformar a solução de uma equação diferencial que envolve funções degrau em uma equação
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algébrica mais simples que pode ser facilmente resolvida, sendo que não precisamos ter a
preocupação de que essa função seja descontínua.
Por exemplo, suponha que tenhamos a seguinte equação diferencial:
onde u(t) é a função degrau unitário (a = 0).
Ao aplicarmos a transformada de Laplace a ambos os lados da equação, obtemos:
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onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) e y(0) e y'(0) são as condições iniciais de y(t).
A partir daí, podemos resolver para Y(s) e então encontrar a solução para y(t) usando a
transformada inversa de Laplace.
É possível multiplicar uma função degrau u(t - a) por outra função qualquer, g(t) de�nida para , de
forma que a função degrau cancele uma porção do grá�co da função g(t), ou seja, a função
degrau faz o papel de limitante do intervalo da função g(t).
Por exemplo, considere a função g(t) = sin(t) de�nida para t≥0. O grá�co da função g(t) está
apresentado na Figura 2: Grá�co da função g(t) = sin(t).
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Figura 2 | Grá�co da função g(t) = sin(t). - Fonte: elaborado pela autora.
Se multiplicarmos a função g(t) pela função degrau u(t - 2π), iremos obter a função
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cujo grá�co está esboçado na �gura a seguir.
Figura 3 | Grá�co da função. - Fonte: elaborada pela autora.
Unindo esse conceito à propriedade de translação da transformada de Laplace, que diz:
De�nição 2
Se a Transformada de Laplace 
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existe para s > c, então
para s > a + c
Ainda, considerando 
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para 0 ≤ a ≤ s, então
Reciprocamente, uma Transformada Inversa de Laplace de 
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é dada por 
Ou ainda
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temos as ferramentas necessárias para aplicar a transformada de Laplace em equações
diferenciais que apresentem como função de entrada funções degrau ou funções ajustadas por
funções degrau.
Funções periódicas
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Por de�nição, uma função periódica é aquela que tem sua imagem repetida em períodos do
domínio de igual tamanho. Mais formalmente, uma função f(x) é periódica se existe um número
positivo T (chamado período) tal que f(x + T) = f(x) para todo valor de .
Um exemplo clássico de uma função regular é a função seno, que oscila entre -1 e 1 ao longo de
um período de T = 2π. Outro exemplo é a função cosseno, que também é periódica com um
período de T = 2π e é deslocada em relação à função seno.
A transformada de Laplace de uma função periódica, de período T e contínua por partes, para
todo  será dada por:
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É importante notar que a transformada de Laplace de uma função periódica continuará sendo
uma função periódica, com o mesmo período da função original.
Além disso, a transformada de Laplace pode ser usada para analisar as propriedades da função
periódica, como sua estabilidade e comportamento em relação a diferentes condições iniciais e
de contorno. Por exemplo, a transformada de Laplace pode ser usada para calcular a resposta de
um sistema dinâmico periódico a diferentes entradas, como uma função senoidal ou uma função
degrau periódica.
Vamos apresentar a seguir as transformadas de Laplace para duas funções periódicas degrau
conhecidas por: função onda quadrada e função onda triangular.
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Figura 4 | Onda quadrada de período T=2a. - Fonte: elaborada pela autora.
Figura 5 | Onda triangular de período T=2a. - Fonte: elaborada pela autora.
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As ondas quadradas e triangulares são comumente usadas em diversas aplicações de
engenharia, incluindo eletrônica, controle e comunicações.
Na eletrônica, as ondas quadradas e triangulares são frequentemente usadas para gerar sinais
de temporização ou para simular condições de operação em circuitos digitais. Por exemplo, um
circuito integrado pode usar uma onda quadrada para gerar pulsos de clock (sinal elétrico
utilizado em eletrônica digital para sincronizar a operação de um circuito digital. É geralmente
gerado por um oscilador de frequência constante e é caracterizado por uma forma de onda
quadrada ou retangular com uma taxa de repetição regular que controla o tempo de operação do
circuito. Na área de controle, as ondas quadradas e triangulares são usadas para gerar sinais de
referência ou de comando que controlam o comportamento de sistemas dinâmicos. Por
exemplo, um controlador de motor pode usar uma onda triangular para gerar um sinal de controle
que varia linearmente com o tempo, permitindo que a velocidade do motor seja ajustada com
precisão.
Seja a função de uma onda quadrada conforme apresentado na Figura 4: Onda quadrada de
período T = 2a.
Para calcular a transformada de Laplace dessa função, precisamos usar a equação (8). Logo,
teremos
Como a função da onda quadrada é contínua por partes, fazemos
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Logo
Assim, integrando por partes, teremos
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Simpli�cando essa expressão com o uso do produto da soma pela diferença, 
e do quadrado perfeito,
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teremos:
Já a transformada de Laplace da função onda triangular descrita na Figura 5: Onda triangular de
período T = 2a também pode ser resolvida aplicando a equação (8). Contudo, é possível notar
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que a função onda triangular, g(t), é derivada da função onda quadrada. Assim, podemos
escrever
Como a onda triangular vale zero na origem e isso pode ser observado na Figura 5: Onda
triangular de período T = 2a, temos que
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Logo,
Portanto, para calcular a transformada de funções periódicas, basta respeitar a de�nição
apresentada em (8). 
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Funções impulso
A função Delta de Dirac (também chamada de função impulso), denotada por δ(t), pode ser
considerada como o limite de uma sequência de funções impulso que se aproximam da derivada
de uma função degrau unitário.
Essa função é geralmente associada a modelos que dependem de uma força aplicada muito
grande em um pequeno intervalo de tempo. Pode ser utilizada para modelar situações
especí�cas, como por exemplo, com massas e cargas pontuais ou ainda instantâneas, como a
adição instantânea de uma substância em uma reação química, ou um avião sendo atingido por
um raio.
Para as próximas de�nições, consideraremos intervalo de tempo t  [- , + ] onde . é tão
pequeno quanto possível. Assim, a função pulso unitário em torno de t = a pode ser representada
por
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Descrevendo a função impulso, tomando como base o conhecimento de δ , temos a seguinte
de�nição.
De�nição 3
A função Delta de Dirac é caracterizada por
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Para simpli�car a notação, escreveremos apenas δ ao invés de δ .
Assim, a função impulso unitário, δ(t), satisfaz
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para t ≠ 0 e
quando o argumento da função δ(t) está deslocado em um valor a.
Pela De�nição 3 e pela equação (11), temos que a Transformada de Laplace para a função Delta
de Dirac é expressa como
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Da equação (12), tomando a = 0, obtemos
A seguir vamos resolver duas aplicações que envolvem a função degrau e a função delta de
Dirac.
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Exemplo 2
A corrente i em um circuito LC em série é controlada pelo problema de valor inicial
onde a corrente é uma função do tempo, i = i(t), e a função g(t) é dada por 
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Determine a corrente como uma função do tempo .
Solução:
Em primeiro lugar escreveremos a função g(t) com o uso de funções degrau.
Assim, o grá�co da função g(t) é dado por
Figura 6 | Grá�co da função g(t). - Fonte: elaborada pela autora.
Considere a função degrau 
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cujo grá�co está apresentado na �gura a seguir.
Figura 7 | Grá�co da função degrau u(t - 1). - Fonte: elaborada pela autora.
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Com isso, escrevemos a função g1(t) = 1 - u(t - 1), que fornece a seguinte expressão e grá�co:
Figura 8 | Grá�co da função. - Fonte: elaborada pela autora.
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Considere agora a função
Então 
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Figura 9 | Grá�co da função. - Fonte: elaborada pela autora.
Note que
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Portanto, expressamos a função g(t) em termos da função degrau com
Com isso, podemos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial.
Logo
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Tomando
obtemos 
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Assim, substituindo 
com o uso de 
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podemos reescrever a expressão acima como
Calculando a Transformada Inversa de Laplace para I(s) temos
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Utilizando o método de frações parciais e uma tabela de transformadas, obtemos
Como 
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concluímos que a corrente é 
Exemplo 3
Resolva o seguinte problema de valor inicial
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Solução:
Aplicando a Transformada de Laplace à equação diferencial, obtemos
Tomando 
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e usando a transformada de Laplace da derivada, escrevemos
Da equação (12) temos 
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Então, substituindo 
obtemos
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Calculando a Transformada Inversa de Laplace para Y(s) obtemos
Como 
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a solução do problema dado será
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Olá, futuro engenheiro! Você sabe o que funções degrau, periódicas e impulso têm em comum?
Todas elas possuem uma representação em termos da Transformada de Laplace. E por que isso
é importante? Esses conceitos são fundamentais para o estudo da dinâmica de sistemas
complexos e são muito utilizados em diversas áreas da engenharia, como eletrônica,
comunicações e mecânica. Nesta aula, você aprenderá como utilizar a Transformada de Laplace
para modelar e analisar esses tipos de funções e como aplicar esses conhecimentos em
problemas reais. Vamos lá?
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Saiba mais
Nesse Saiba Mais sugerimos a leitura de dois trabalhos. O primeiro é um artigo publicado na
Revista Brasileira de ensino de Física:
TONIDANDEL, D. A. V.; ARAÚJO, A. E. Transformada de Laplace: uma obra de engenharia. Revista
Brasileira de Ensino de Física, v. 34, n. 2, abr. 2012.
O segundo é uma dissertação de mestrado que também foi publicada em forma de artigo na
revista da ABENGE (Associação Brasileira de e Educação em Engenharia):
VORPAGEL, M. O ensino de sistemas de controle por meio da utilização de uma planta térmica e
transformadas de Laplace. 2021. Dissertação (Mestrado) – Curso de Ensino de Ciências Exatas,
Universidade do Vale do Taquari - Univates, Lajeado, 26 maio 2021.
Referências
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016
http://hdl.handle.net/10737/3293
http://hdl.handle.net/10737/3293
Disciplina
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BOYCE, W. E; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valor de
contorno. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R. K., SAFF, E. B., SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8 ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
SAUTER, E., AZEVEDO, F. S., STRAUCH, I. M. F. (orgs). Transformada de Laplace: um livro
colaborativo. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-
tl/main.html. Acesso em: 20 jan. 2021.
STEWART, J. Cálculo. v. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
TONIDANDEL, D. A. V.; ARAÚJO, A. E. Transformada de Laplace: uma obra de engenharia. Revista
Brasileira de Ensino de Física, v. 34, n. 2, abr. 2012. Disponível em:
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016. Acesso em: 20 jan. 2023.
VORPAGEL, M. O ensino de sistemas de controle por meio da utilização de uma planta térmica e
transformadas de Laplace. 2021. Dissertação (Mestrado) – Curso de Ensino de Ciências Exatas,
Universidade do Vale do Taquari - Univates, Lajeado, 26 maio 2021. Disponível em:
http://hdl.handle.net/10737/3293. Acesso em: 20 jan. 2023.ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações
diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
Aula 4
Transformada de Laplace e problemas de valor inicial
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/main.html
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016
http://hdl.handle.net/10737/3293
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Introdução
Olá, estudante! Hoje, abordaremos alguns tópicos importantes relacionados à Transformada de
Laplace: os problemas de valores iniciais e sua relação com a Transformada de Laplace, as
funções de transferência e vamos conversar sobre métodos computacionais para o cálculo da
Transformada de Laplace. Esses conceitos são essenciais para compreender a dinâmica de
sistemas complexos em diversas áreas da Engenharia, incluindo controle, comunicações e
eletrônica. Durante a aula, você aprenderá como utilizar a Transformada de Laplace em
problemas de valores iniciais, como modelar sistemas usando Funções de Transferência e como
realizar cálculos computacionais para resolver problemas envolvendo Transformada de Laplace.
Vamos começar. 
Problemas de valores iniciais e a Transformada de Laplace
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Como sabemos, a transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas que foram
modelados matematicamente por equações diferenciais. Nas aulas anteriores vimos alguns
exemplos e nessa aula trabalharemos com mais algumas aplicações.
Para relembrarmos, um problema de valor inicial (PVI) é aquele que construímos por uma
equação diferencial e suas condições iniciais.
Um problema simples que pode ser modelado usando equações diferenciais ordinárias (EDO) é o
movimento de um robô que se desloca em linha reta em uma velocidade constante.
Exemplo 1
Suponha que um robô esteja se deslocando em linha reta em uma velocidade constante de . A
posição do robô pode ser descrita por uma função , onde  é o tempo em segundos. A velocidade
constante indica que a taxa de mudança da posição é constante.
A equação diferencial que modela esse problema é 
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onde  é a posição do robô no tempo . As condições iniciais são f(0)
Logo, o modelo matemático será:
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Para resolver essa EDO usando transformada de Laplace, aplicamos a transformada em ambos
os lados da equação:Resolvendo para F(s), temos:
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Assim, escrevemos 
Usando a propriedade de multiplicação constante da transformada inversa de Laplace dada por 
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teremos
Aplicando a transformada inversa de Laplace, onde 
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encontramos a solução para o problema de valor inicial:
A solução faz sentido, pois a posição do robô aumenta linearmente com o tempo a uma taxa
constante de 5 m/s. Além disso, as condições iniciais são satisfeitas, pois f(0) = 0 e
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Vamos a mais uma aplicação.
Exemplo 2
Um outro problema que pode ser modelado usando EDO e resolvido por transformadas de
Laplace é o carregamento de um capacitor em um circuito elétrico.
Suponha que um capacitor C de 10 μF esteja carregando através de um resistor R de 100 Ω e
uma fonte de tensão V de 12 V. A carga Q no capacitor pode ser descrita por uma função Q(t),
onde t é o tempo em segundos.
A equação diferencial que modela esse problema é
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onde R é a resistência em ohms e C é a capacitância em farads. As condições iniciais são Q(0) =
0.
Logo, o modelo matemático será
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Para resolver esse problema de valor inicial usando transformada de Laplace, aplicamos a
transformada em ambos os lados da equação:
Que, aplicando a condição inicial e os valores conhecidos, será:
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Resolvendo para Q(s), temos:
Aplicando a transformada inversa de Laplace, teremos:
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Usando a propriedade de multiplicação constante da transformada inversa de Laplace dada por 
teremos
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Por
escrevemos
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A solução faz sentido, pois a carga do capacitor aumenta exponencialmente com o tempo até
atingir o valor de , que é a tensão da fonte. Além disso, as condições iniciais são satisfeitas, pois
Q(0) = 0.
O uso da transformada de Laplace é adequado para esse problema, pois permite que
transformemos uma equação diferencial em uma equação algébrica, que pode ser facilmente
resolvida para encontrar a solução. Além disso, a transformada de Laplace tem muitas
aplicações em eletrônica e engenharia elétrica, e é uma ferramenta importante para a análise de
circuitos elétricos.
Funções de transferência
As funções de transferência são usadas em sistemas dinâmicos para descrever a relação entre a
entrada e a saída de um sistema. Assim, a chamada função de transferência é um coe�ciente
que relaciona a resposta de um determinado sistema com uma função de entrada ou excitação a
esse sistema.
Elas são amplamente usadas na teoria de controle, processamento de sinais e na análise de
circuitos elétricos.
Uma função de transferência nada mais é do que uma função matemática que descreve a
relação entre a entrada e a saída de um sistema em termos da frequência de entrada.
Ela é de�nida como a razão da transformada de Laplace da saída do sistema pela transformada
de Laplace da entrada do sistema, onde todas as condições iniciais são conhecidas e nulas.
Esse tipo de função permite que os engenheiros e cientistas analisem o comportamento do
sistema em diferentes frequências e projetem sistemas de controle que sejam estáveis e
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robustos em relação a variações na entrada ou perturbações externas.
Figura 1 | Modelo em blocos para a função de transferência. - Fonte: elaborada pela autora.
De�nição:
Seja H(s) uma função de transferência. Essa é dada por
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onde X(s) é a transformada de Laplace da resposta do sistema e F(s) é a transformada de
Laplace do sinal de entrada do sistema.
Quando conhecemos a função de transferência de um sistema, podemos estudar o
comportamento desse sistema considerando diferentes funções de entrada.
Vamos resolver alguns exemplos para entender melhor esse conceito.
Exemplo 3
Sistema Massa-Mola-Amortecedor
Considere um sistema de massa-mola-amortecedor com a massa k, constante elástica k e
coe�ciente de amortecimento b. Esse sistema físico pode ser modelado matematicamente por
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onde x é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio e F(t) é a força externa
aplicada no sistema.
Para encontrar a Função de Transferência deste sistema, podemos utilizar a transformada de
Laplace.
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Assumindo que as condições iniciais do sistema são nulas, temos:
onde X(s) e F(s) são as transformadas de Laplace de  e , respectivamente.
Dividindo os dois lados da expressão por F(s), obtemos a Função de transferência H(s) que será
dada por
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Esta função de transferência descreve o comportamento dinâmico do sistema massa-mola-
amortecedor em relação a uma força externa aplicada F(s).
Exemplo 4
Sistema de Controle de Posição
Considere um sistema de controle de posição que controla a posição angular de um motor
elétrico. O sistema é composto por um controlador, um ampli�cador e um motor com uma
inércia rotacional I e um coe�ciente de atrito viscoso B. A posição angular do motor é medida por
um sensor de posição.
O controlador é projetado para gerar um sinal de controle u(t) que é ampli�cado e enviado para o
motor. O objetivo do sistema de controle de posição é manter a posição angular do motor em um
determinado valor de referência r(t).
Para modelar o sistema de controle de posição do motor elétrico, começamos com a equação
diferencial que descreve o comportamento dinâmico do motor:
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onde θ(t) é a posição angular do motor, J é a inércia rotacional, B é o coe�ciente de atrito viscoso
e T(t) é o torque aplicado ao motor.
Suponha que o ampli�cador seja ideal, ou seja, o torque do motor seja diretamente proporcional
ao sinal de controle u(t) ampli�cado:
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onde Ku é a constante de proporcionalidade do ampli�cador.
O controlador é projetado para gerar um sinal de controle u(t) com base no erro de posição e(t),
que é a diferença entre a posição angular de referência r(t) e a posição angular medida θ(t):
e(t) = r(t) - θ(t)
Suponha que o controlador seja um controlador proporcional:
u(t) = Kp e(t)
onde Kp é o ganho proporcional do controlador.
Substituindo as expressões para e(t) e T(t) na equação diferencial do motor, obtemos:
Agora, para encontrar a função de transferência do sistema, aplicamos a Transformada de
Laplace à equação diferencial:
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onde Θ(s) e R(s) são as transformadas de Laplace de θ(s) e r(t), respectivamente.
Rearranjando os termos, obtemos:
A função de transferência, que relaciona a saída  à entrada , é dada por:
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A função de transferência para este sistema representa a relação entre a posição angular de
referência do motor R(s) e a posição angular medida  no domínio da frequência. Mecanicamente,
ela descreve como o sistema de controle de posição (controlador, ampli�cador e motor)
responde a diferentes referências de posição angular, levando em consideração a inércia
rotacional, o coe�ciente de atrito viscoso e os ganhos do controlador e do ampli�cador. 
Métodos computacionais para Transformada de Laplace
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Agora nós usaremos ferramentas computacionais para resolver os exemplos dos blocos
anteriores. Lembramos, para isso, que nossos exemplos foram simpli�cados, pois desejamos
encontrar a solução analítica para os modelos apresentados.
É importante destacar que, em muitos casos, precisamos recair em métodos numéricos de
solução, pois os métodos analíticos tornam-se insu�cientes para modelos muito complexos.
Assim, usaremos algumasbibliotecas do Python para auxiliar nessa resolução.
Vamos começar essa construção com o Exemplo 1 do Bloco 1 que trata da movimentação de
um robô.
Relembrando:
Modelo matemático que descreve o movimento do robô será:
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Usando a transformada de Laplace, obtemos
E aplicando a transformada inversa, obtemos
f(t) = 5t
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Logo, teremos a seguinte representação grá�ca
Figura 2 | Posição do robô em função do tempo. - Fonte: elaborada pela autora.
Para resolver essa EDO usando Python, podemos utilizar a biblioteca SymPy, que possui funções
para resolver equações diferenciais ordinárias. O código para resolver o problema seria o
seguinte:
Código Python 1
 
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Variáveis simbólicas
t, s = sp.symbols('t s')
F_s = sp.Function('F')(s)
 
# Condições iniciais
x0 = 0
v0 = 5
 
# Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial
LHS = s**2 * F_s - s * x0 - v0
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RHS = 0
 
# Resolvendo a equação para F(s)
F_s = sp.solve(LHS - RHS, F_s)[0]
 
# Calculando a Transformada Inversa de Laplace de F(s)
f_t = sp.inverse_laplace_transform(F_s, s, t)
 
# Simpli�cando o resultado
f_t_simpli�ed = sp.simplify(f_t)
 
# Exibindo a solução
sp.pprint(f_t_simpli�ed)
 
# Função Heaviside personalizada para substituição
def heaviside(t):
    return np.where(tAssim, “se F(s) representa a Transformada de Laplace de uma função f(t), dizemos, então, que
f(t) é a Transformada Inversa de Laplace de F(s)” (ZILL, 2016, p. 296).
Ou seja,
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Diversas técnicas podem ser aplicadas para encontrar a Transformada de Laplace e a
Transformada Inversa de Laplace, como a decomposição em frações parciais, a expansão em
série de potências e a aplicação de tabelas de transformadas.
A Transformada de Laplace possui a propriedade de derivada, que a�rma que a transformada da
derivada de uma função é igual ao produto da variável da frequência (s) pela transformada da
função original, menos o valor da função original em t=0.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Essa propriedade é particularmente útil para resolver problemas de valor inicial (PVI), que
envolvem equações diferenciais com condições iniciais especi�cadas, e pode ser resumida
como apresentamos a seguir:
A Transformada de Laplace também pode ser aplicada a funções especiais, como funções
degrau, funções periódicas e a função Delta de Dirac.
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Cálculo Diferencial e Integral III
enquanto a transformada de uma função degrau deslocada no tempo é
A transformada de uma função periódica é uma soma in�nita de exponenciais ponderadas, e
pode ser multiplicada por uma função degrau, permitindo resultados como 
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Grá�co da função f(t) = sin(t) . u(t - 2π). - Fonte: elaborada pela autora.
A transformada da função Delta de Dirac (função impulso) é dada por 
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Cálculo Diferencial e Integral III
A função de transferência é um conceito fundamental na análise de sistemas dinâmicos,
descrevendo a relação entre a entrada e a saída de um sistema no domínio da frequência. A
função de transferência é obtida pela aplicação da Transformada de Laplace às equações que
descrevem o sistema. Análises de estabilidade, resposta em frequência e resposta transitória
podem ser realizadas utilizando a função de transferência.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 2 | Modelo em blocos para a função de transferência. - Fonte: elaborada pela autora.
De�nição:
Seja H(s) uma função de transferência. Essa é dada por
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onde X(s) é a transformada de Laplace da resposta do sistema e F(s) é a transformada de
Laplace do sinal de entrada do sistema.
Dessa forma, todos esses conceitos relacionados fazem da transformada de Laplace uma
ferramenta essencial para a análise e solução de sistemas complexos em diversas áreas da
engenharia e ciências aplicadas. Essa técnica permite a simpli�cação de problemas
matemáticos, facilitando a análise e o entendimento dos fenômenos físicos subjacentes. Além
disso, fornece uma abordagem uni�cada para lidar com diferentes tipos de funções e sistemas.
Videoaula: Resumo da unidade
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Nesta videoaula de revisão, estudaremos a Transformada de Laplace e seus conceitos
relacionados, fundamentais na análise de sistemas dinâmicos e solução de equações
diferenciais. Revisitaremos a transformada de Laplace e a sua inversa, técnicas de resolução e
aplicações em funções degrau, periódicas e Delta de Dirac. Além disso, reforçaremos o
entendimento da função de transferência e sua importância na análise de sistemas complexos. 
Estudo de caso
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Cálculo Diferencial e Integral III
Em muitas situações do dia a dia pro�ssional, engenheiros e técnicos são confrontados com
problemas complexos que exigem a aplicação de ferramentas matemáticas avançadas. Neste
estudo de caso, abordaremos a aplicação da Transformada de Laplace na análise de um circuito
elétrico com um resistor (R) e um indutor (L) em série, também conhecido como circuito RL. Este
tipo de circuito é comum em sistemas eletrônicos e sua análise é fundamental para entender o
comportamento do sistema sob diferentes condições.
O problema a ser resolvido é o seguinte: dado um circuito RL em série alimentado por uma fonte
de tensão que fornece um pulso de degrau unitário, determine a corrente no circuito como
função do tempo. Além disso, analise o comportamento da corrente em função dos parâmetros
R e L.
Para resolver este problema, você deve aplicar a Transformada de Laplace às equações que
descrevem o circuito RL. A equação diferencial que descreve a corrente no circuito é:
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Cálculo Diferencial e Integral III
V(t)é a tensão da fonte em função do tempo.
R é a resistência do resistor.
i(t)é a corrente no circuito em função do tempo.
L é a indutância do indutor.
Utilizando a Transformada de Laplace, você converterá a equação diferencial em uma equação
algébrica no domínio da frequência. A partir dessa equação algébrica, você obterá a função de
transferência do circuito, que descreve a relação entre a entrada (tensão) e a saída (corrente) no
domínio da frequência. Em seguida, você aplicará a Transformada Inversa de Laplace para
encontrar a corrente no circuito como função do tempo.
Ao realizar essa análise, considere as seguintes questões:
1. Qual é a in�uência dos parâmetros R e L no comportamento da corrente no circuito?
2. Como o aumento ou diminuição desses parâmetros afeta a resposta do circuito a um pulso
de degrau unitário?
3. Como a análise no domínio da frequência, proporcionada pela Transformada de Laplace,
pode ajudar na compreensão e no projeto de sistemas eletrônicos, como �ltros e
osciladores?
Este estudo de caso tem como objetivo reforçar a compreensão dos conceitos aprendidos sobre
a Transformada de Laplace e sua aplicação na análise de sistemas dinâmicos. Ao resolver este
problema, você aplicará as habilidades adquiridas na resolução de equações diferenciais e na
∙ 
di(t)
dt
 é a  taxa   de  variação  da   corrente   com  relação  ao   tempo.
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Cálculo Diferencial e Integral III
análise de funções de transferência, habilidades essenciais para pro�ssionais de engenharia e
áreas relacionadas.
Agora é com você. Resolva esse caso. 
_______
Re�ita
Como as ferramentas computacionais podem nos ajudar a resolver esse problema? Que outras
formas de representação da solução poderiam ser obtidas usando a computação?
Uma das ferramentas mais utilizadas para resolver problemas de sistemas dinâmicos é a
simulação numérica. O uso de software de simulação permite uma análise detalhada do
comportamento do sistema em diferentes condições, bem como a avaliação de diferentes
parâmetros de projeto.
Dessa forma, para aplicar a simulação numérica ao nosso problema, poderíamos utilizar uma
linguagem de programação como Python, MATLAB ou outra ferramenta de simulação de
circuitos elétricos.
Para o circuito RL, poderíamos utilizar softwares de simulação de circuitos elétricos para simular
a resposta do circuito a diferentes formas de onda de entrada e diferentes valores de R e L.
Dessa forma, poderíamos avaliar o comportamento do sistema em condições que não seriam
facilmente obtidas através de soluções analíticas.
Pesquise e re�ita sobre esse assunto. 
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Para resolver este estudo de caso, primeiro devemos aplicar a Transformada de Laplace na
equação diferencial que descreve o circuito RL:
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Suponha que a fonte de tensão forneça um pulso de degrau unitário, ou seja, V(t) = u(t), onde u(t)
é a função degrau unitário. Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da
equação, obtemos:
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Cálculo Diferencial e Integral III
Como 
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar i(t):
V (s)=   1
s  (Transformada   de   Laplace   da  função  degrau  unitário),   podemos   res
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Esta é a corrente no circuito como função do tempo. Para analisar o comportamento da corrente
em função dos parâmetros R e L, podemos utilizar o código em Python a seguir:
Código Python 1
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
R = 10  # Resistência (ohms)
L = 0.5  # Indutância (henries)
t = np.linspace(0, 2, 1000)  # Intervalo de tempo (segundos)
 
i_t = (1 / L) * np.exp(-R * t / L)  # Corrente no circuito como função do tempo
 
plt.plot(t, i_t)
plt.title("Corrente no circuito RL em função do tempo")
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.ylabel("Corrente (A)")
plt.grid(True)
plt.show()
O grá�co gerado será:
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Figura 3 | Corrente no circuito RL. - Fonte: elaborada pela autora.
A partir do grá�co gerado, é possível observar que a corrente no circuito aumenta rapidamente e
depois decai exponencialmente. A taxa de decaimento é determinada pelos valores de R e L. Se a
resistência R aumenta, a corrente decai mais rapidamente. Se a indutância L aumenta, a corrente
decai mais lentamente.
A análise no domínio da frequência, proporcionada pela Transformada de Laplace, permite
compreender como o circuito RL responde a diferentes frequências de entrada e ajuda no projeto
de sistemas eletrônicos, como �ltros e osciladores, que exigem controle preciso das frequências
de entrada e saída.
Resumo visual
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Cálculo Diferencial e Integral III
Referências
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Cálculo Diferencial e Integral III
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valor de
contorno. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8 ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
STEWART, J. Cálculo. v. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. v. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.x , y e z  e
estão escritas em função das variáveis do novo sistema de coordenadas. 
Com base nessas igualdades, podemos determinar y :
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Assim, o novo sistema de coordenadas será dado por
O segundo passo é encontrarmos as derivadas parciais que irão compor o determinante
jacobiano.
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O determinante jacobiano será dado por
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Com esses exemplos, encerramos a segunda parte da nossa aula! Bons estudos!
Aplicação de mudança de variáveis em integrais triplas
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Cálculo Diferencial e Integral III
Estudamos anteriormente sobre os conceitos relacionados à mudança de variáveis em integrais
triplas, além disso, vimos como realizar essa mudança. Diante do que já estudamos, pense sobre
o motivo de realizarmos a mudança de variável para calcular alguma integral tripla. Por que
utilizamos essa mudança de variável? Nós utilizamos essa mudança nos casos em que as
regiões de integração descritas em coordenadas retangulares tornam o cálculo da integral
complicado, demandando uma quantidade grande de manipulações matemáticas. Por exemplo,
quando temos regiões circulares ou cilíndricas, realizamos uma mudança de variável, para
facilitar o cálculo da integral! Não se preocupe, pois, na próxima aula, iremos nos debruçar sobre
as coordenadas cilíndricas e esféricas. Logo, podemos dizer que a mudança de variável, quando
possível de ser aplicada, pode facilitar o cálculo de uma integral.
Diante disso, vamos analisar uma situação em que o emprego da mudança de variável será útil.
Sabemos que a Terra não é perfeitamente esférica, visto que seus polos são achatados. Diante
disso, podemos aproximar o seu formato à de um elipsoide cuja equação geral é dada por
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Perceba que a mudança de variável nesse caso irá facilitar os cálculos, visto que, se
trabalhássemos em coordenas cartesianas, teríamos limites de integração na forma de raiz, uma
vez que seria necessário escrever z em função de x e y.
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que representa uma esfera de raio .
De posse dessas informações, vamos calcular o jacobiano associado à mudança de variáveis,
para determinarmos as derivadas parciais que irão compor o determinante:
O determinante jacobiano será dado por
A integral resultante dessa mudança representa o volume da região , que é uma esfera de raio ,
conforme apontado anteriormente. 
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Com esse exemplo, chegamos ao �nal de nossa aula. Espero que tenha gostado! Bons estudos
Videoaula: Mudança de variáveis
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Olá, estudante! Nessa videoaula, iremos estudar sobre a mudança de variáveis em integrais
triplas. Para isso, iniciaremos nossa aula discutindo sobre o que é essa mudança,
posteriormente iremos discutir sobre os procedimentos necessários para realizar essa mudança
de variável. Por �m, iremos realizar um exemplo de como calcular o jacobiano associado à
mudança de variável.  
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Cálculo Diferencial e Integral III
Saiba mais
O conceito mudança de variáveis será importante para você no estudo de coordenadas
cilíndricas e esféricas; assim, é fundamental que você compreenda os conceitos envolvidos, bem
como o cálculo do jacobiano. Para isso, sugiro que você coloque em prática o que aprendeu
nessa aula e resolva exercícios que envolvam a mudança de variável. Tenho uma ótima sugestão
para você! Acesse o livro Cálculo - Volume II de Howard Anton, disponível na sua biblioteca
virtual em Minha Biblioteca. A seção 14.8 desse livro é dedicada à mudança de variáveis e, ao
�nal, há uma série de exercícios. Selecione alguns deles e os resolva! Ah, e uma dica, resolva os
exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode conferir se
acertou nos cálculos!  
Referências
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Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.  
Aula 3
Integrais triplas: coordenadas cilíndricas e esféricas
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Em nossa aula anterior, estudamos sobre a mudança de
coordenadas em integrais triplas. Nessa aula, iremos estudar sobre dois tipos de sistemas de
coordenadas e como calcular integrais triplas nesses sistemas de coordenadas. Nosso foco
serão as coordenadas cilíndricas e esféricas, assim, espera-se que ao �nal dessa aula, você seja
capaz de relacionar esses dois tipos de coordenadas com as coordenadas cartesianas. Além
disso, espera-se que você tenha a capacidade de realizar o cálculo de integrais triplas nesses
sistemas de coordenadas.
Estudar Cálculo Diferencial e Integral requer a prática de exercícios e uma rotina de estudos,
portanto, não deixe de realizar exercícios relacionados ao cálculo de integrais em coordenadas
cilíndricas e esféricas! 
Coordenadas cilíndricas e esféricas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Você já estudou que algumas integrais triplas podem ser calculadas em sistemas de
coordenadas que não seja o de coordenadas cartesianas, uma vez que o cálculo nesse sistema
de coordenadas é algo complexo. Assim, quando necessário, podemos realizar uma mudança de
variáveis para calcular uma integral tripla.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Sistema de coordenadas cilíndricas. Fonte: elaborada pela autora.
Além dessas equações, também podemos utilizar as seguintes igualdades
Segundo Stewart (2017, p. 932), “as coordenas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem
simetria em torno de um eixo e o eixo z é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria”,
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Cálculo Diferencial e Integral III
como por exemplo, um cilindro circular reto. Quando temos problemas que envolvem regiões
com essas características, podemos utilizar uma mudança de coordenadas para converter a
integral antes descrita em coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas, facilitando,
assim, o cálculo da integral. Lembre-se que para realizar a mudança de variável o primeiro passo
é encontrar o jacobiano associado à mudança, para isso vamos encontrar as derivadas parciais.
O determinante jacobiano será dado por
Além das coordenadas cilíndricas, também podemos calcular uma integral tripla em
coordenadas esféricas. 
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 2 | Sistema de coordenadas esféricas. Fonte: elaborada pela autora.
As equações que relacionam as coordenadas cartesianas e as coordenas esféricas são
Segundo Stewart (2017, p. 936), “as coordenadas esféricas são especialmente úteis em
problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste
ponto”, como, por exemplo, uma esfera ou um semicone centrado na origem.  Assim, em
problemas que envolvam o cálculo de integrais triplas com regiões que possuem essas
características, podemos realizar uma mudança de variável e, ao invés de calcular a integral em
coordenadas retangulares, podemos calcular em coordenadas esféricas. Para realizar essa
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Cálculo Diferencial e Integral III
mudança, primeiro vamos encontrar o jacobiano. As derivadas parciais que compõem o
determinante jacobiano são:
O determinante jacobiano será dado por
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Cálculo Diferencial e Integral III
Considerando essa mudança e o jacobiano encontrado, uma integral tripla em coordenada
retangular pode ser expressa como uma integral iterada em coordenadas esféricas por
Chegamos ao �nal da primeira parte da nossa aula! Na próxima parte iremos discutir algumas
características sobre as integrais triplas nesses dois sistemas de coordenadas.
Integrais em coordenadas cilíndricase esféricas
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Cálculo Diferencial e Integral III
Nesse momento, vamos estudar alguns aspectos a que você precisa se atentar ao realizar uma
mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas a �m de calcular uma integral. Para
realizar esse tipo de mudança, é importante que você saiba o signi�cado de cada uma das
coordenadas que compõem o ponto, pois, quando estiver calculando uma integral tripla em
coordenadas cilíndricas, é preciso que você descreva a região de integração em termos desse
sistema.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 3 | Região cilíndrica. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 4 | Projeção da região E no plano xy
Resolvendo a integral, temos:
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Quando realizar esse tipo de mudança, não se esqueça de multiplicar a função pelo jacobiano
associado à mudança, que no caso das coordenadas cilíndricas é r.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 5 | Região G. Fonte: elaborada pela autora.
Com isso, chegamos ao �nal dessa segunda parte da aula! Nosso foco daqui para frente será o
cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Chegou o momento de colocarmos em prática todos os conceitos vistos anteriormente. Para
isso, iremos realizar uma série de exemplos que envolvam o cálculo de integrais em
coordenadas cilíndricas e esféricas. Antes de iniciarmos, lembre-se de que, para calcular a
integral no novo sistema, você irá utilizar todas as técnicas que são empregadas no cálculo de
integrais triplas em coordenadas retangulares.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 6 | Região E. Fonte: Stewart (2017, p. 940).
Determinada a região de integração, temos que escrever a função a ser integrada em
coordenadas cilíndricas, para isso, podemos utilizar as seguintes relações:
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Cálculo Diferencial e Integral III
Não se esqueça de multiplicar o jacobiano pela função a ser integrada. Utilizando as técnicas de
integração que você já estudou, temos
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Cálculo Diferencial e Integral III
Observe que nesse exemplo não é explicitado qual tipo de coordenada deve ser utilizado no
cálculo, porém, como a região E é descrita por duas esferas, então podemos utilizar as
coordenadas esféricas. A Figura 7 ilustra a região E .
Figura 7 | Região E. Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 8 | Projeção da região E no plano xy
Agora que já determinamos a região de integração, devemos escrever a função a ser integrada
em coordenadas esféricas. Para isso, podemos utilizar as seguintes relações:
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Cálculo Diferencial e Integral III
Com esses exemplos, encerramos nossa aula! Bons estudos
Videoaula: Integrais triplas: coordenadas cilíndricas e esféricas
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Olá, estudante! Nessa videoaula iremos estudar sobre as coordenadas cilíndricas e esféricas no
cálculo de integrais triplas. Em um primeiro momento, iremos de�nir as coordenadas polares
bem como mostrar como deve ser feita a mudança de coordenada na integral. Posteriormente,
iremos discorrer sobre um exemplo de cálculo de integral em coordenadas cilíndricas. Por �m,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
iremos estudar sobre as coordenadas esféricas, bem como analisaremos um exemplo de cálculo
de integral nesse tipo de sistema.
Saiba mais
O estudo da região de integração por vezes pode ser complicado, visto que é difícil visualizar
essa região. Nesse sentido, os softwares podem ser uma importante ferramenta nesse estudo. O
GeoGebra é um software livre que possui uma janela 3D, sendo possível construir grá�cos de
funções de duas variáveis. Acesse o site e clique em INICIAR CALCULADORA. Logo após, será
aberta a calculadora grá�ca; para você mudar para a janela 3D, basta clicar no canto superior
esquerdo e mudar para Calculadora 3D. Em FERRAMENTAS você tem a opção de construir
cilindros, esferas e cones, ou se você tem a função que descreve a região basta escrevê-la no
campo ENTRADA.
Esse software pode auxiliá-lo na resolução de exercícios que envolvam integrais em
coordenadas cilíndricas e esféricas. Você pode encontrar exercícios no livro Cálculo - Volume II,
de Howard Anton, disponível na sua biblioteca virtual em Minha Biblioteca, sendo que a seção
14.6 desse livro é dedicada a esse assunto e, ao �nal, há uma série de exercícios. Selecione
alguns deles e os resolva! Ah, e uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro
existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos!
 
 
https://www.geogebra.org/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.   
Aula 4
Aplicações de integrais triplas na física
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Até o momento estudamos sobre as integrais triplas,
sendo que nosso foco foi o cálculo dessas integrais em coordenadas cartesianas, coordenas
cilíndricas e coordenadas esféricas. Agora, chegou o momento de focarmos nas aplicações das
integrais triplas. Assim, espera-se que, ao �nal dessa aula, você seja capaz de identi�car
situações em que o cálculo das integrais triplas pode ser empregado. Esperamos que você seja
capaz de resolver problemas que envolvam o cálculo de volume por meio de integrais triplas,
problemas que envolvam centro de massa e momento de inércia.
Estudar Cálculo Diferencial e Integral requer a prática de exercícios e uma rotina de estudos,
portanto, não deixe de realizar exercícios relacionados ao cálculo de volume, momento de inércia
e centro de massa! 
Aplicações de integrais triplas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Você provavelmente já viu um jogador de basquete equilibrar uma bola na ponta do dedo, mas
você sabia que podemos utilizar as integrais triplas para descobrir qual é esse ponto de
equilíbrio? Nessa aula iremos estudar sobre essa e outros tipos de aplicações das integrais
triplas, principalmente na Física. A situação do equilíbrio da bola de basquete pode ser explicada
por meio do centro de massa, visto que a condição para que um corpo �que em equilíbrio é que o
seu centro de massa não saia da base do corpo. O centro de massa é o ponto que representa
o comportamento do sólido como se toda a sua massa estivesse concentrada neste ponto. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de G.
Além de serem empregadas no estudo do centro de massa de sólidos, as integrais triplas podem
ser utilizadas para estudar o momento de inércia de sólido em torno de um determinado eixo. De
acordo com Anton et al. (2014, p.1080), o momento de inércia refere-se à “tendência de um
sólido para resistir a uma mudança no movimento rotatório em torno de um eixo”. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
As três aplicações de integrais triplas que estudamos até aqui foram descritas em termos de
coordenadas cartesianas, porém, dependendo da região que o sólido G ocupa, podemos utilizar
outros sistemas de coordenadas para encontrar o centro de massa, momento de inércia ou o
volume desse sólido. Para isso você deve empregar a mudança de variável nas de�nições que
estudamos nessa parte da aula.
Até o momento, estudamos as de�nições que envolvem cada uma das aplicações. Nosso foco
daqui para frente será a análise e resolução de problemas que envolvam os conceitos vistos até
aqui.
Aplicações de integrais triplas em coordenadas cartesianasDisciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Anteriormente nós estudamos sobre três aplicações das integrais triplas: centro de massa,
momento de inércia e volume de um sólido . Nesses três casos a região que o sólido G ocupa
pode ser descrita tanto em coordenadas cartesianas quanto em outro sistema de coordenadas.
Nesse momento, nosso foco será analisar e resolver problemas que envolvam a descrição da
região em termos de coordenadas cartesianas.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Representação tridimensional do plano. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Agora precisamos avaliar a projeção dessa região no plano , isto é, quando , conforme ilustra a
Figura 2.
Figura 2 | Representação da projeção da região no plano xy. Fonte: elaborada pela autora.
Resolvendo essa integral teremos:
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Cálculo Diferencial e Integral III
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O momento em relação ao plano yz será
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Portanto, o momento de inércia do sólido G em relação ao eixo z é 16C, lembrando que C é um
valor constante e representa a densidade desse sólido.
Com esses exemplos, chegamos ao �nal dessa parte da aula. Na próxima parte iremos analisar e
resolver problemas que envolvam o cálculo de centro de massa, volume e momento de inércia
em outros tipos de coordenadas. Bons estudos
Aplicações de integrais triplas em outros tipos de coordenadas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Quando resolvemos problemas de cálculo de centro de massa, momentos de inércia ou volume
de um sólido, temos que analisar a região que esse sólido ocupa. Assim, dependendo das
características dessa região, podemos escrevê-la em coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Vamos agora resolver problemas em que as regiões podem ser descritas em termos do sistema
de coordenadas cilíndricas ou esféricas.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 3 | Sólido G. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 4 | Projeção da região no plano xy. Fonte: elaborado pela autora.
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Figura 5 | Sólido E. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 6 |Projeção da região no plano xy. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Com esses exemplos, chegamos ao �nal de nossa aula! Bons estudos!
Videoaula: Aplicações de integrais triplas na física
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Olá, estudante! Nessa videoaula, iremos estudar algumas aplicações das integrais triplas na
Física. Para isso, iniciaremos nossa aula discutindo sobre o centro de massa e como podemos
determiná-lo por meio das integrais triplas. Em seguida discutiremos os momentos de inércia em
relação aos eixos coordenados. Discutiremos também sobre o cálculo de volume de um sólido
por meio das integrais triplas. Por �m, resolveremos um exemplo sobre o cálculo do volume de
um sólido.
Saiba mais
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Cálculo Diferencial e Integral III
O cálculo do centro de massa, volume e momentos de inércia é empregado na resolução de
diferentes problemas físicos. É importante que você compreenda que o tipo de sistema de
coordenadas a ser utilizado nesse cálculo depende muito das características do sólido em
estudo. Nesse sentido, é muito importante que você saiba identi�car as características dessas
regiões, e uma forma de você se aprofundar no assunto é realizando exercícios. Assim, sugiro
que você resolva exercícios que envolvam as aplicações vistas em aula. Tenho uma ótima
sugestão para você! Acesse o livro Cálculo - Volume II de Howard Anton, disponível na sua
biblioteca virtual em Minha Biblioteca. A seção 14.5 desse livro aborda o conceito de volume em
coordenadas cartesianas. A seção 14.8 aborda outras aplicações de integrais. Ao �nal, há uma
série de exercícios que requerem o cálculo de centro de massa, momento de inércia e volume em
outros tipos de coordenadas. Selecione alguns exercícios dessas seções e os faça! Ah, e uma
dica: resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode
conferir se acertou nos cálculos! 
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTOS, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Aula 5
Revisão da unidade
Integrais triplas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Nesta unidade estudamos sobre as integrais de funções
de três variáveis reais, isto é, integrais triplas. Em um primeiro momento, discutimos sobre as
integrais triplas em regiões paralelepipedais e regiões mais gerais. Lembre-se que para calcular
uma integral tripla é necessário que você determine corretamente a região de integração,
de�nindo, assim, os limites de integração das integrais.
É importante salientar que essa é apenas uma das seis possibilidades de montar a integral,
sendo que, ao resolver cada uma dessas possibilidades, o resultado deve ser o mesmo. Para
resolver uma integral tripla, começamos resolvendo da integral da direita para a da esquerda.
Fique atento em relação a qual variável você está integrando!
Além das regiões paralelepipedais, podemos integrar funções de três variáveis em regiões mais
gerais. Esse tipo de região é caracterizado pelo fato de que está contida entre duas funções
contínuas de x e y ou duas funções contínuas de x e z ou ainda duas funções contínuas de y e z.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Quando estiver resolvendo integrais nesses tipos de regiões, você deve respeitar a dependência
existente nos limites de integração, portanto, não existem seis possibilidades para montar a
integral.
Em um segundo momento, discutimos sobre a mudança de variável e como podemos utilizá-la
no cálculo de integrais triplas. Sempre que necessário, você pode descrever a região de
integração em termos de outro sistema de coordenadas a �m de facilitar o cálculo da integral.
Para realizar essa mudança você deve calcular o jacobiano associado a mudança de variável,
que é dado por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Utilizando essas relações e o fato de que o jacobiano associado à mudança de coordenadas
desse sistema é r, podemos escrever uma integral tripla em coordenada retangular como uma
integral iterada em coordenadas cilíndricas:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Assim, encerramos o nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade. Espero que você
tenha gostado! Bons estudos!
Videoaula: Revisão da unidade
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Olá, estudante! Nessa revisão temos como objetivo entender quais são os principais conceitos
matemáticos abordados na nossa unidade. Assim, em um primeiro momento iremos retomar os
principais aspectos relacionados às integrais triplas em regiões paralelepipedais e regiões mais
gerais. Posteriormente iremos discutir sobre a mudança de variável em integrais triplas e sobre
as integrais em coordenadas cilíndricas e esféricas. Por �m, iremos discutir sobre algumas
aplicações das integrais triplas na Física!
Estudo de caso
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você esteja participando de um curso de
extensão, cujo objetivoé empregar os conceitos relacionados ao Cálculo Diferencial e Integral
para resolver diferentes tipos de situações, práticas ou relacionadas a outras áreas do
conhecimento. Um dos módulos desse curso é referente às aplicações de integrais triplas na
Física. Um dos temas tratados foi o centro de massa, que pode ser considerado como o ponto
geométrico relativo à posição média e ponderada de todas as massas que compõem o corpo.
Você sabia que a recomendação de �exionar os joelhos quando vamos levantar objetos pesados
está relacionada ao centro de massa do nosso corpo? O centro de massa do nosso corpo
encontra-se na altura da coluna; assim, quando vamos levantar objetos pesados, a ação de
�exionar os joelhos redistribui a massa em virtude da mudança de massa no nosso corpo, o que
pode evitar danos à coluna. 
Além do centro de massa, foi discutido também o volume de sólidos. 
Outro conceito discutido foi o cálculo do momento de inércia de um determinado sólido. O
momento de inércia está relacionado ao movimento de rotação sobre um determinado eixo
desse sólido, sendo que o momento de inércia expressa o grau de di�culdade em se alterar o
estado de movimento de um corpo em rotação.
Após o estudo dessas diferentes aplicações, o professor propôs a seguinte tarefa a ser resolvida
por você: uma construtora está elaborando um projeto para um monumento a ser construído em
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
frente a uma praça. 
a) Determine o volume de concreto necessário para construir esse sólido.
b) Determine o centro de massa.
c) Determine o momento de inércia em relação ao eixo z.
Como você executaria cada tarefa? Quais são os principais conceitos envolvidos no estudo do
centro de massa, do volume e do momento de inércia desse monumento?
_________
Re�ita
As integrais triplas possuem diferentes aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento. O
cálculo do volume, por exemplo, pode auxiliar na determinação de quanto concreto será
necessário para construir um determinado monumento. O cálculo do centro de massa, por sua
vez, pode auxiliar na posição que esse monumento deve ser colocado de modo que ele �que em
equilíbrio. Observe que encontrar o centro de massa e o volume irá auxiliar na tomada de decisão
em uma obra, por exemplo.
Com base nesse contexto, como poderemos resolver a atividade proposta? Além dos conceitos
de centro de massa, volume e momento de inércia, quais conceitos estarão envolvidos nesse
estudo? Qual o formato desse sólido? Será necessário realizar mudança de variável para realizar
os cálculos? Se sim, qual tipo de coordenadas poderemos utilizar? O que devo fazer para realizar
uma mudança de variável? Essas são algumas re�exões que iremos utilizar para resolver a
atividade proposta. Vamos iniciar a solução?
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Região G. Fonte: elaborada pela autora
A região foi descrita em coordenadas cartesianas, mas perceba que realizar o cálculo das
integrais necessárias para o cálculo do volume, centro de massa e momento de inércia nesse
sistema pode ser difícil. Os limites de integração possuem funções com radicais, e resolver
integrais desse tipo de função requer o uso de técnicas avançadas de integração, como por
exemplo, a substituição trigonométrica. Nesse caso, é interessante realizarmos uma mudança de
variável.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Com isso, �nalizamos a atividade proposta pelo professor.
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Resumo visual dos conceitos de integrais triplas. Fonte: elaborado pela autora
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.  
,
Unidade 2
Integrais múltiplas em outras coordenadas
Aula 1
Cálculo vetorial
Introdução
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Nessa aula iremos estudar um tipo de função que
associa vetores com pontos em um espaço bidimensional ou tridimensional. Essas funções são
empregadas, por exemplo, no estudo de campos de forças gravitacionais, campos de forças
eletromagnéticas, campos de velocidade, escoamento de �uidos entre outros. Para esse estudo,
iremos utilizar alguns conceitos relacionados a vetores, então seria interessante você relembrá-
los! Ao �nal dessa aula, esperamos que você seja capaz de identi�car uma função vetorial,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
também denominada de campo vetorial. Além disso, esperamos que você seja capaz de associar
um campo vetorial a sua representação grá�ca, bem como de identi�car os diferentes tipos de
campos vetoriais e operadores.
Lembre-se que o estudo de Cálculo requer que você tenha uma rotina de estudos e pratique
exercícios! 
Tópicos do cálculo vetorial
Para começarmos nossos estudos sobre campos vetoriais, imagine uma corrente de água em
que a água �ui horizontalmente em qualquer nível e considere uma camada de água dessa
corrente em uma determinada profundidade. Em cada um dos pontos dessa camada de água, a
água tem uma certa velocidade que pode ser representada por um vetor em cada ponto,
conforme ilustra a Figura 1.
 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Campo vetorial relacionado à corrente de água. Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Campos vetoriais
Anteriormente estudamos que um campo vetorial é uma função que relaciona cada ponto P do
plano a um único vetor F(P) paralelo ao plano. Considerando essa de�nição, podemos
representar gra�camente um campo vetorial desenhando-se os vetores representativos. Anton et
al. (2014) salientam que, ao construirmos uma representação grá�ca para um campo vetorial,
normalmente não é possível que representemos esse campo completamente, isto é, localizando
uma quantidade grande de vetores no plano. Apesar dessa limitação, a representação grá�ca de
um campo vetorial, pode fornecer informações importantes, desde que os vetores a serem
representados sejam escolhidos adequadamente.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 2 | Campo vetorial. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, para construir a representação ilustrada na Figura 2, utilizamos um software,
porém, é possível realizar essa representação sem ele. Nesse caso, você deve escolher pontos
(x,y) e encontrar o vetor correspondente utilizando a função que os associa.
É importante salientar que podemos representar um campo vetorial no espaço tridimensional,
porém, essa representação tende a ser confusa, portanto, iremos focar nossos estudos na
representação de um campo vetorial no espaço bidimensional.
Ao estudarmos sobre os campos vetoriais, não podemos deixar de falar de duas importantes
operações sobre campos vetoriais no espaço tridimensional, o rotacional e o divergente. Para
isso, iremos utilizar os dois operadores diferenciais vistos anteriormente, porém, iremos estender
a de�nição desses operadores para o espaço tridimensional. Assim teremos:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Resolução de problemas envolvendo campos vetoriais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 3 | Campo vetorial. Fonte: elaborada pela autora.
Utilizando o software WolframAlpha, podemos representar mais vetores em nosso campo
vetorial, conforme ilustra a Figura 4.Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 4 | Campo vetorial gerado por um software. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Com esses exemplos, chegamos ao �nal da nossa aula. Até a próxima aula! Bons estudos!
Videoaula: Cálculo vetorial
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Olá, estudante! Nessa aula iremos explorar os conceitos relacionados aos campos vetoriais.
Assim, em um primeiro momento, iremos discutir sobre o que é um campo vetorial e como
podemos representá-lo gra�camente. Posteriormente, iremos explorar sobre os operadores
diferenciais e sobre operações que são realizadas em campos vetoriais. Por �m, iremos discutir
sobre o que são caminhos ou curvas regulares.
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
A representação de um campo vetorial pode ser feita com o auxílio de um software. Nesse
sentido indico para você o software WolframAlpha – Campos vetoriais em 2D. Para utilizá-lo
você deve inserir as funções do campo vetorial dado por  
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=71a2ece857debf738ee4f7ae04831505
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 5 | Software WolframAlpha. Fonte: captura de tela elaborada pela autora.
Explore esse software no momento da realização de exercícios sobre campos vetoriais! Bons
estudos!
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
Aula 2
Integrais de linha
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Em outros momentos você já estudou sobre o cálculo de
integrais de funções de uma variável, duas e três variáveis reais em diferentes tipos de regiões.
Nessa aula nosso foco será as integrais de funções ao longo de uma curva, que são
denominadas integrais de linha. Ao �nal da aula, esperamos que você seja capaz de empregar o
cálculo de integral de linha de funções escalares para resolver problemas que envolvem esse
conceito. Além disso, esperamos que você saiba realizar o cálculo de integrais de linha em
campos vetoriais, bem como saiba identi�car problemas em que o teorema de Green possa ser
empregado.
Lembre-se que o estudo de Cálculo requer que você tenha uma rotina de estudos e pratique
exercícios! 
Integral de linha
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Interpretação da Integral de Linha. Fonte: Stewart (2017, p. 962).
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Agora, iremos explorar aspectos relativos a esses dois teoremas e propriedades relacionadas às
integrais de linha.
Integrais de linha – propriedades
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Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Cálculo de integrais de linha
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Agora iremos utilizar os conceitos vistos anteriormente para resolvermos alguns problemas
relacionados às integrais de linha e problemas em que o emprego do Teorema de Green é útil.
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Logo,
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Cálculo Diferencial e Integral III
Com esses problemas, chegamos ao �nal da nossa aula. Até a próxima e bons estudos!
Videoaula: Integrais de linha
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
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Olá, estudante! Nessa aula iremos explorar os conceitos relacionados às integrais de linha.
Assim, em um primeiro momento, iremos discutir sobre a de�nição de uma integral de linha de
uma função escalar ao longo de uma curva. Posteriormente, iremos explorar as integrais de linha
de campos vetoriais ao longo de uma curva. Por �m, iremos discutir sobre o Teorema de Green e
sua relação com as integrais de linha.
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
O conceito de integrais de linha será importante para você no estudo de outras disciplinas do seu
curso, assim, é fundamental que você domine o cálculo desse tipo de integral tanto de funções
escalares quanto de campos vetoriais. Para isso, sugiro que você coloque em prática o que
aprendeu nessa aula e resolva exercícios que envolvam o cálculo integrais de linha. Tenho uma
ótima sugestão para você! Acesse o livro Cálculo - Volume 2, de Howard Anton (2014), disponível
na sua biblioteca virtual em Minha Biblioteca. A seção 15.2 desse livro é dedicada às integrais de
linha e a seção 15.4 ao Teorema de Green. Ao �nal dessas seções há uma série de exercícios.
Selecione alguns deles e os faça! Uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro
existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
Aula 3
Integrais de superfície
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Em seus estudos no Cálculo Diferencial e Integral, você já
se deparou com as integrais de�nidas em um intervalo, com as integrais duplas, com as integrais
triplas e, em nossa última aula, você estudou sobre as integrais ao longo de curvas. Nessa aula,
você irá aprender sobre as integrais em superfícies no espaço tridimensional. Assim, ao �nal da
aula, espera-se que você saiba identi�car superfícies parametrizadas, bem como de realizar o
cálculo de integrais de superfície. Além disso, esperamos que você compreenda o Teorema de
Gauss e saiba reconhecer situações nas quais ele possa ser empregado.
Lembre-se que o estudo de Cálculo, requer que você tenha uma rotina de estudos e pratique
exercícios! 
Superfícies parametrizadas e integral de superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Figura 1 | Representação da superfície. Fonte: Stewart (2017, p. 996).
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Integral de superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Anteriormente estudamos sobre superfícies parametrizadas, área de superfície, integral de
superfície e enunciamos o teorema de Gauss. Nesse momento, iremos destacar alguns aspectos
importantes relacionados a cada um desses conceitos vistos na primeira parte da nossa aula.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Observe que o Teorema de Gauss que enunciamos na primeira parte da aula relaciona o �uxo
através de S (integral de superfície de um campo vetorial sobre S) à integral tripla da divergência
do campo vetorial na superfície S
Cálculo de integral de superfície
Chegou o momento de colocarmos a mão na massa e resolver problemas em que os conceitos
vistos anteriormente podem ser empregados.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Figura 2 | Representação da superfície. Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Com esses problemas, chegamos ao �nal da nossa aula. Bons estudos!Videoaula: Integrais de superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
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Olá, estudante! Nessa aula iremos explorar os conceitos relacionados às integrais de superfície.
Assim, em um primeiro momento, iremos discutir sobre superfícies parametrizadas, planos
tangentes e área dessas superfícies. Posteriormente iremos de�nir as integrais de superfície de
superfícies parametrizas e de campos vetoriais. Por �m, iremos discutir sobre o Teorema de
Gauss e sua relação com as integrais de superfície.
Saiba mais
O conceito de integrais de superfície será importante para você no estudo de outras disciplinas
do seu curso, assim, é fundamental que você domine o cálculo desse tipo de integral, tanto de
superfícies parametrizadas quanto de campos vetoriais. Para isso, sugiro que você coloque em
prática o que aprendeu nessa aula e resolva exercícios que envolvam o cálculo integrais de
superfície. Tenho uma ótima sugestão para você! Acesse o livro Cálculo - Volume 2, de James
Stewart, disponível na sua biblioteca virtual em Minha Biblioteca. A seção 16.6 desse livro é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
dedicada às superfícies parametrizadas e suas áreas e a seção 16.7 às Integrais de Superfície.
Ao �nal dessas seções há uma série de exercícios. Selecione alguns deles e os faça! Uma dica:
resolva os exercícios ímpares, pois ao �nal do livro existem as respostas, assim você pode
conferir se acertou nos cálculos! 
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
Aula 4
Volume e centro de massa
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Até o momento você estudou sobre as integrais de linha e
superfície, bem como alguns teoremas relacionados a essas integrais. Agora iremos estudar
sobre o Teorema de Stokes e sua relação com o Teorema de Green. Além disso, iremos estudar
sobre como podemos utilizar as integrais de linha e de superfície no cálculo de massa e centro
de massa. Assim, ao �nal dessa aula, esperamos que você seja capaz de identi�car situações
em que seja possível empregar o Teorema de Stokes, bem como problemas de massa e centro
de massa em que as integrais de linha ou de superfície podem ser utilizadas para resolvê-los.
Lembre-se que o estudo de Cálculo requer que você tenha uma rotina de estudos e pratique
exercícios! 
Teorema de Stokes, centro de massa e momentos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Anteriormente estudamos sobre as integrais de linha e de superfície, agora chegou o momento
de estudarmos sobre algumas aplicações relacionadas a esses dois conceitos, mas antes de
estudarmos essas aplicações, iremos discutir sobre um importante teorema relacionado ao
cálculo vetorial: o teorema de Stokes. Segundo Stewart et al. (2022), o teorema de Stokes pode
ser considerado como uma versão estendida do teorema de Green. Lembre-se que o teorema de
Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana com uma integral de linha. Já o
teorema de Stokes relaciona “uma integral de superfície sobre uma superfície  com uma integral
em torno da curva da fronteira ” (STEWART et al., 2022, p. 1104).  O teorema de Stokes diz que se
temos uma superfície  orientada, suave por partes que tem sua fronteira formada por uma curva
fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva e se é um campo vetorial cujas
componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de que contém , então
vale:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Além do teorema de Stokes, iremos discutir também sobre como podemos utilizar as integrais
de linha e de superfície no cálculo de momentos e de massa. Para empregar as integrais de linha
nesses cálculos, iremos tratar molas e �os como sendo massas distribuídas ao longo de curvas
lisas no espaço, sendo essa distribuição descrita por uma função densidade contínua , cuja
unidade é massa por unidade de comprimento.  Segundo Thomas (2012), para calcularmos a
massa de uma mola helicoidal de uma haste �na ou de �os distribuídos ao longo de uma curva
lisa, podemos utilizar as seguintes fórmulas:
 Além do centro de massa, também podemos encontrar os momentos de inércia em relação aos
eixos coordenados. Os momentos de uma mola helicoidal, ou de uma haste ou de �os
distribuídos ao longo de uma curva serão dados por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
E as coordenadas do centro de massa serão dadas por:
Perceba que o cálculo do momento de inércia, bem como do centro de massa, é bem semelhante
ao que você já estudou nas integrais duplas, ou triplas. O que mudou agora é o tipo de região na
qual estamos integrando.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
A seguir, iremos discutir sobre aplicações do teorema de Stokes, bem como outras aplicações
das integrais de linha e de superfície.
Aplicações de integrais de linha e de superfície
Na primeira parte da nossa aula, discutimos sobre o teorema de Stokes e como ele relaciona as
integrais de linha e de superfície, bem como aplicações desses tipos de integrais. Agora iremos
discutir sobre alguns aspectos relacionados aos conceitos vistos anteriormente. Antes disso,
vamos relembrar alguns aspectos relacionados às integrais de linha e integrais de superfície.
Sabemos que se uma partícula se move ao longo de uma curva lisa , que esteja orientada no
sentido do movimento da partícula, e que essa partícula esteja sob o efeito de um campo de
forças contínuo F , então podemos de�nir o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula
como sendo a seguinte integral de linha 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Segundo Anton et al. (2014, p. 1160) o teorema de Stokes pode ser empregado para o cálculo de
“trabalho ao longo de curvas lisas por partes com seções múltiplas, uma vez que elimina a
necessidade de calcular uma integral separada para cada seção”.
Também estudamos na primeira parte da aula que as integrais de linha e superfície podem ser
utilizadas para determinarmos a massa e centro de massa de uma haste �na ou de uma
superfície muito �na, bem como os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados.
Além disso, podemos encontrar o momento de inércia em relação a uma reta qualquer.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Agora, iremos resolver alguns problemas aplicando os conceitos vistos até o momento
Cálculo de centro de massa, momentos e trabalho
Chegamos à última parte de nossa aula, e agora iremos utilizar os conceitos vistos
anteriormente para resolvermos alguns problemas relacionados ao cálculo de massa, centro de
massa e momento de inércia bem como problemas em que o emprego do teorema de Stokes é
útil.
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Utilizando o raciocínio análogo para encontrar os demais momentos:
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Com esses problemas, chegamos ao �nal da nossa aula. Bons estudos! 
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Videoaula: Volume e centro de massa
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
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Olá, estudante! Nessa aula iremos explorar algumas aplicações das integrais de superfície e
integrais de linha e discutir sobre o teorema de Stokes. Assim, em um primeiro momento, iremos
enunciar o teorema de Stokes e relacioná-lo com o teorema de Green. Posteriormente iremos
discutir como encontrar centro de massa e momento de inérciautilizando integrais de linha ou
integrais de superfície.
Saiba mais
Olá, estudante! Nessa aula iremos explorar algumas aplicações das integrais de superfície e
integrais de linha e discutir sobre o teorema de Stokes. Assim, em um primeiro momento, iremos
enunciar o teorema de Stokes e relacioná-lo com o teorema de Green. Posteriormente iremos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
discutir como encontrar centro de massa e momento de inércia utilizando integrais de linha ou
integrais de superfície.
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
MUNIZ, N. Aplicações práticas para o ensino e aprendizagem das integrais de linha e superfície.
Revista de Matemática, v. 6, n. 1, 2019. Disponível em:
https://periodicos.ufop.br/rmat/article/view/1990. Acesso em: 17 mar. 2023
STEWART, J. et al. Cálculo. v. 2. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022.
THOMAS, G. B. et al. Cálculo. V. 2. 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2012.   
Aula 5
Revisão da unidade
Integrais de linha e de superfície
https://periodicos.ufop.br/rmat/article/view/1990
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Cálculo Diferencial e Integral III
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Cálculo Diferencial e Integral III
Em um quarto momento estudamos aplicações das integrais de linha e de superfície, sendo
possível calcular a massa, centro de massa e momento de inércia de mola helicoidal, de uma
haste �na ou de �os distribuídos ao longo de uma curva lisa por meio das integrais de linha.
Também podemos encontrar a massa, centro de massa e momento de inércia de superfícies
muito �nas, por meio das integrais de superfície.
Ao longo dessa unidade, também estudamos importantes teoremas do cálculo vetorial. Um
desses teoremas foi o de Green, que relaciona as integrais duplas em uma região plana  e as
integrais de linha em torno da fronteira dessa região por meio da seguinte igualdade 
Assim, encerramos o nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade. Espero que você
tenha gostado! Bons estudos!
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Olá, estudante! Nessa revisão temos como objetivo entender quais são os principais conceitos
matemáticos abordados na nossa unidade. Assim, em um primeiro momento iremos retomar os
principais aspectos relacionados aos campos vetoriais. Posteriormente, iremos discutir sobre as
integrais de linha e de superfície, bem como os teoremas relacionados a esses conceitos. Por
�m, iremos discutir sobre aplicações das integrais de linha e de superfície.
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você esteja participando de um processo
seletivo para ingressar em um programa de iniciação cientí�ca. Esse programa tem como
objetivo o desenvolvimento de softwares que realizem cálculo relacionados ao estudo de
campos de forças gravitacionais, campos de forças eletromagnéticas, campos de velocidade,
escoamento de �uidos entre outros. A primeira parte do processo seletivo consiste em uma
prova de conhecimentos gerais, que englobam os conceitos relacionados às diferentes
disciplinas do seu curso. Com o objetivo de se preparar para essa primeira etapa, você decidiu
realizar uma pesquisa sobre quais os conceitos mais recorrentes nas provas anteriores. Como
resultado dessa pesquisa, você constatou que conceitos relacionados ao Cálculo Vetorial eram
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
recorrentes em todas as provas, visto que podem ser empregados em diferentes estudos dentro
do projeto. Após analisar as provas, você selecionou algumas questões com o objetivo de
realizar um simulado para essa primeira etapa do processo seletivo. Sua tarefa, então, é resolver
as questões que compõem esse simulado, conforme apresentado a seguir.
O cálculo vetorial possui aplicações em diferentes contextos, principalmente aqueles que
envolvem estudos físicos relacionados ao eletromagnetismo e à mecânica dos �uídos. Por
exemplo, a primeira equação de Maxwell relaciona o divergente do campo elétrico com a
densidade volumétrica de carga. Os teoremas de Green, de Gauss e de Stokes são amplamente
empregados no cálculo de �uxo, campos conservativos, campos magnéticos, entre outros.
Diante dessa ampla aplicabilidade, é importante reconhecer as situações que eles podem ser
empregados. Com base nesse contexto, os teoremas citados podem ser utilizados para resolver
alguma questão do simulado? Quando podemos utilizar o teorema de Green? E o teorema de
Gauss? E o teorema de Stokes? Como podemos resolver uma integral de linha de um campo
vetorial? Como podemos utilizar as integrais de linha ou de superfície para calcular o trabalho?
Essas são algumas re�exões que iremos utilizar para resolver o simulado. Vamos iniciar a
solução?
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Após a leitura das questões, vamos resolver as questões do simulado.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Fonte: elaborado pela autora
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEWART, J. et al. Cálculo. v. 2. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022.
THOMAS, G. B. et al. Cálculo. v. 2, 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2012.  
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Unidade 3
Equações Diferenciais Ordinárias
Aula 1
De�nição de EDOs
Introdução
Considere algumas questões do nosso mundo, tais como:
de que forma os engenheiros aeroespaciais calculam a trajetória de um foguete?
como os etólogos encontram valores para o crescimento populacional?
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
de que forma os farmacêuticos calculam a quantidade de medicamento que deve ser
ministrada para cada paciente?
Essas e outras questões podem ser organizadas por meio de modelos matemáticos e resolvidas
de forma diretamente relacionada à escolha desses modelos. Além disso, nossos três
questionamentos podem ser – e já foram em algum momento – descritos por meio de modelos
matemáticos estruturados por equações diferenciais.
Portanto, compreender como se resolve uma equação diferencial ou um conjunto de equações
diferenciais permite que também encontremos respostas para o mundo ao nosso redor.
Este é o assunto da nossa aula, que permitirá que adentremos uma extensa área da matemática
compreendida como Equações Diferenciais.
Vamos entendê-la. 
De�nição de equações diferenciais ordinárias
As equações diferenciais são amplamente aplicadas na modelagem e simulação de fenômenos
que descrevem a natureza.
Mas, o que de fato é uma equação diferencial? Analise a seguinte situação.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral III
Um automóvel se desloca de um ponto A até um ponto B com uma velocidade calculada em
quilômetros por hora. A distância total percorrida por esse automóvel é �xa; contudo, a sua
velocidade pode mudar ao longo do caminho. Essa variação da velocidade in�uencia
diretamente o tempo necessário para completar o percurso.
Sabemos que a velocidade instantânea de um objeto relaciona espaço e tempo e é descrita por
que é a variação da distância em relação à variação do tempo.
Outro conceito útil da Física para entendermos o modelo descrito é a aceleração. A aceleração é
a variação da velocidade no tempo.
Figura 1 | Aceleração. - Fonte: elaborada pela autora.
Assumindo que a aceleração desse automóvel é de 60 km / h2, escreva a função da posição em
relação ao tempo, que expressa a posição (entre A e B) em que o automóvel estará localizado,
conhecendo o tempo de deslocamento