Para aproximar o comprimento de arco da curva \( y = 5x^2 - 4x \) de \( x = 1 \) a \( x = 2 \) usando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, siga os passos abaixo: 1. Defina a função: \( f(x) = 5x^2 - 4x \). 2. Calcule a derivada: \( f'(x) = 10x - 4 \). 3. Determine o comprimento de arco: A fórmula para o comprimento de arco é dada por: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx \] Portanto, precisamos calcular: \[ L = \int_1^2 \sqrt{1 + (10x - 4)^2} \, dx \] 4. Divida o intervalo: O intervalo de \( [1, 2] \) será dividido em 6 subintervalos. O comprimento de cada subintervalo é: \[ h = \frac{2 - 1}{6} = \frac{1}{6} \] 5. Pontos de amostragem: Os pontos são: - \( x_0 = 1 \) - \( x_1 = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \) - \( x_2 = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3} \) - \( x_3 = 1 + \frac{3}{6} = \frac{5}{3} \) - \( x_4 = 1 + \frac{4}{6} = \frac{11}{6} \) - \( x_5 = 2 \) 6. Calcule \( f'(x) \) para cada ponto: - \( f'(1) = 6 \) - \( f'\left(\frac{7}{6}\right) = \frac{46}{6} \) - \( f'\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{32}{3} \) - \( f'\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{26}{3} \) - \( f'\left(\frac{11}{6}\right) = \frac{14}{3} \) - \( f'(2) = 16 \) 7. Calcule \( \sqrt{1 + (f'(x))^2} \) para cada ponto e some: - \( \sqrt{1 + 6^2} = \sqrt{37} \) - \( \sqrt{1 + \left(\frac{46}{6}\right)^2} \) - \( \sqrt{1 + \left(\frac{32}{3}\right)^2} \) - \( \sqrt{1 + \left(\frac{26}{3}\right)^2} \) - \( \sqrt{1 + \left(\frac{14}{3}\right)^2} \) - \( \sqrt{1 + 16^2} = \sqrt{257} \) 8. Aplique a regra dos trapézios: \[ L \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{5} f(x_i) + f(x_5) \right) \] 9. Calcule o valor final. Esse é o procedimento para calcular o comprimento de arco usando a regra dos trapézios composta. Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só avisar!